ỨNG DỤNG PHẦN MỀM MAPLE HỖ TRỢ DẠY VÀ HỌC CÁC BÀI TOÁN VỀ SIÊU MẶT BẬC HAI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾ
KHOA TOÁN
---------NGUYỄN TẤT PHÚ

ỨNG DỤNG PHẦN MỀM MAPLE HỖ TRỢ DẠY VÀ HỌC
CÁC BÀI TOÁN VỀ SIÊU MẶT BẬC HAI

BÀI TẬP LỚN
HỌC PHẦN: RÈN LUYỆN NGHIỆP VỤ SƯ PHẠM THƯỜNG XUYÊN 3

HUẾ, 10/2014


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾ
KHOA TOÁN
----------

NGUYỄN TẤT PHÚ

ỨNG DỤNG PHẦN MỀM MAPLE HỖ TRỢ DẠY VÀ HỌC
CÁC BÀI TOÁN VỀ SIÊU MẶT BẬC HAI

BÀI TẬP LỚN
HỌC PHẦN: RÈN LUYỆN NGHIỆP VỤ SƯ PHẠM THƯỜNG XUYÊN 3

NGƯỜI HƯỚNG DẪN: TS. NGUYỄN ĐĂNG MINH PHÚC

HUẾ, 10/2014


LỜI NÓI ĐẦU

Trong thời đại ngày nay, sự phát triển như vũ bão của khoa học kỹ thuật - công
nghệ đã dẫn đến sự tăng lên nhanh chóng của khối lượng tri thức nhân loại và tốc
độ ứng dụng tri thức vào mọi lĩnh vực của đời sống xã hội. Đặc biệt là công nghệ
thông tin, ngày nay với sự xuất hiện của nhiều phần mềm hỗ trợ giảng dạy toán
học đã làm thay đổi cách học, cách dạy. Phần mềm maple là một Phần mềm như
vậy.
Maple là một hệ thống tính toán trên các biểu thức đại số và minh họa toán
học mạnh mẽ do một nhóm các nhà khoa học của Canada thuộc trường đại học
Warterloo viết ra. Nó cung cấp nhiều công cụ trực quan, các gói lệnh tự học gắn
liền với toán phổ thông và đại học. Đặt biệt, nó thực hiện tốt các tính toán trong
đại số tuyến tính. Bài báo nhằm giới thiệu các mô-đun tính toán từng bước, được
viết trên Maple 13.0, để giải một số bài toán về siêu mặt bậc hai trong không gian
affine thực như: xác định phương trình chính tắc, tìm tọa tâm và điểm kì dị, siêu
phẳng kính liên hợp, phương tiệm cận và siêu tiếp diện. Mục đích của chúng tôi là
giúp bạn đọc giảm bớt được các tính toán, có nhiều thời gian nghiên cứu các vấn
đề bản chất.

1


MỤC LỤC
1. Nội dung các mô-đun tính toán………………………………………………………………………3
1.1 Xác định phương trình chính tắc của siêu mặt bậc hai……………………………………4
1.2 Xác định tọa độ tâm và điểm kì dị của siêu mặt bậc hai …………………………………6
2. Kết luận…………………………………………………………………………………………………………10

2


CƠ SỞ LÝ LUẬN

Bước vào thế kỷ 21, nước ta đang trong công cuộc đổi mới giáo dục - đào tạo
nhằm đáp ứng yêu cầu cao của xã hội. Vấn đề nâng cao chất lượng dạy học ở các
cấp học, bậc học được đặt ra hết sức cấp bách. Chính vì vậy trong mấy năm gần
đây ngành giáo dục - đào tạo rất coi trọng việc đổi mới phương pháp dạy học vứi
định hướng “Tổ chức cho học sinh, sinh viên học tập trong hoạt động và bằng
hoạt động tích cực để sáng tạo”.
Để làm được điều đó thì toán học đóng một vai trò hết sức quan trọng, nó là
chìa khóa mở cửa cho các ngành khoa học khác. Chính vì vậy, hơn ai hết giáo viên
dạy toán là người phải suy nghĩ : “ làm thế nào để tích cực hóa hoạt động của
người học học sinh sinh viên, khơi dậy và phát triển khả năng tự học nhằm hình
thành cho học sinh sinh viên tư duy tích cực, độc lập sáng tạo, nâng cao năng lực
phát hiện giải quyết vấn đề, rèn luyện kỹ năng vận dụng vào thực tiễn, tác động
đến tình cảm, đem lại niềm vui hứng thú học tập cho người học”.

CƠ SỞ THỰC TIỄN:
Các dạng toán về siêu mặt hai nói chung, đường và mặt bậc hai nói riêng là
những nội dung quan trọng trong các môn toán cao cấp và hình học cao cấp. Đa
số bài toán điều có thuật toán giải. Do đó, đối với các dạng toán trên chỉ đòi hỏi
các tính toán chính xác cao trong từng bước giải. Maple là một phần mềm tính
toán hình thức khá mạnh. Đặc biệt, nó hỗ trợ hầu hết các tính toán về ma trận, hệ
phương trình tuyến tính, đa thức và phương trình đa thức. Các chức năng đó đáp
ứng tốt việc thực hiện các thuật toán về siêu mặt bậc hai trên máy tính. Từ các
phân tích trên, chúng tôi sử dụng phần mềm Maple 13.0 viết ra 2 mô-đun tính
toán các dạng toán trên siêu mặt bậc hai trong không gian affine gồm: xác định
phương trình chính tắc, tọa độ tâm và điểm kì dị của một siêu mặt bậc hai. Các
mô-đun thực hiện tính toán từng bước nhằm giúp sinh viên kiểm tra những tính
toán của mình. Từ đó, giảm thời gian thực hiện các tính toán, tăng thời lượng
nghiên cứu các vấn đề bản chất trong các môn học.
1. Nội dung các mô-đun tính toán
3

Trong mục này, chúng tôi giới thiệu nội dung của các bài toán về siêu mặt
bậc hai trong không gian affine. Từ đó, mô tả thuật toán giải chúng trên Maple
13.0
1.1 Xác định phương trình chính tắc của siêu mặt bậc hai
1.1.1 Phương trình chính tắc của siêu mặt bậc hai
Trong không gian affine
∑,

+∑

, cho ( S) là một siêu mặt bậc hai có phương trình
+ a =0 , với

, ∀ i≠ ,∑ ,

=

≠ 0 (1.1)

Khi đó, tồn tại một phép biến đổi affine để đưa phương trình của (S ) về một
trong ba dạng sau.
…−

Dạng I:

+. . . +

-

=1

Dạng II:

+. . . +

-

…−

…−

=0

Dạng III:

+. . . +

-

…−

…−

−

=0

Các phương trình trên được gọi là phương trình chính tắc của ( S).

1.1.2 Thuật toán xác định phương trình chính tắc của siêu mặt hai
Để đưa phương trình của một siêu mặt bậc hai về dạng chính tắc, chúng ta
thực hiện các bước sau.
Bước 1. Đưa dạng toàn phương H (x) =∑ ,

về dạng chính tắc.Khi đó,

phương trình của (S) có dạng.
∑

–∑

+ 2∑

+

=0

Bước 2. Kiểm tra xem có tồn tại i ∈{m+1, m+2, ,n } để

≠0hay không?
4


- Nếu tồn tại

∈ {m+ 1, m+2, , n} để

≠0 thì đưa phương trình của ( s) về

dạngIII.
- Nếu

=0 với mọi i ∈{m+ 1,m+ 2,…, n} thì đưa phương trình của (s ) về dạng I

hoặc II.
Bước 3. Xác định phương trình chính tắc tương ứng của (s ) .
1.1.3 Thể hiện thuật toán trên Maple 13.00
Trước tiên, chúng ta dùng lệnh bt:=readstat(“Phuong trinh cua (S)”): để nhập
vào phương trình của siêu mặt bậc hai. Sau đó, xác định các ma trận A =(ij),[

]=( )

và

Để thực hiện Bước 1 trong thuật toán chúng ta xác định ma trận C để AC là
một ma trận đối xứng bằng cách: Đặt C :=IIn , xác định các ma trận CT[i ] khử các
số hạng , i≠j và gán C:=C.CT[i] . Khi đó, chúng ta đặt [y ]:= [ cx], thay các vào
phương trình của (s ). Cuối cùng, dùng lệnh print(bt): để in ra màn hình kết quả
tính toán của Bước 1.
Để thực hiện Bước 2, chúng ta gán m:= rank A và kiểm tra xem có phần tử ,
với i >m , nào khác 0 không? Nếu có thì ta kết luận (s ) có phương trình chính tắc
Dạng III và in ra phương trình chính tắc của nó. Ngược lại, nếu không có nào
khác 0 thì chúng ta đi khử các số hạng bậc nhất và xác định lại số hạng tự do .
Căn cứ vào tính khác 0 của chúng ta xác định được phương trình chính tắc của
(s ) là Dạng I hay Dạng II.
Để thực hiện Bước 3, căn cứ vào kết quả xác định ở Bước 2, chúng ta in ra
phương trình chính tắc của siêu mặt bậc hai (S).
1.1.4 Ví dụ minh họa
Nhập vào phương trình của (s):

+2

+2

−2

− 1 = 0 như Hình .1.
5


Kết quả tính toán trên Maple như sau.

1.2 Xác định tọa độ tâm và điểm kì dị của siêu mặt bậc hai
1.2.1 Phương trình xác định tâm và điểm kì dị của siêu mặt bậc hai
Trong không không gian affine
[ ] [ ] + 2[ ] [ ] +

, cho siêu mặt bậc hai (s ) có phương trình

= 0.

Khi đó, tọa độ tâm I và điểm kì dị N thỏa hệ phương trình
6


A[ ] + [ ] = 0 và

[ ]+[ ]=0
[ ] [ ]+[ ]=0

1.2.2 Thực hiện tính toán trên Maple 13.0
Nhập vào phương trình của siêu mặt bậc hai (s ). Sau đó, Maple sẽ xác định
các ma trận A , [a ] và . Tiếp theo kiểm tra đẳng thức Rank <A >=rank⟨ | ⟩ để
xác định (s ) có tâm hay không. Nếu nó có tâm thì dùng lệnh X := LinearSolve(A, -a,
free = 't'): để xác định tọa độ và thay tọa độ của tâm vào phương trình
[ ] [ ] + =0 đểxác định tọa độ các điểm kì dị của (s ) . hiện tính toán trên
Maple 13.0
Nội dung của file Maple.
restart:
bt := readstat("Phuong trinh cua sieu mat bac hai"): #Đọc phương trình siêu mặt
with(linalg):
with(LinearAlgebra):
# Xác định các ma trân A, a, ao
n := nops(indets(bt)):
bt := simplify(expand(lhs(bt)-rhs(bt))):
A := Matrix(n):
a := Matrix(n, 1):
ao := bt:
X := Matrix(n, 1, proc (i, j) options operator, arrow; x[i] end proc):
for i to n do
7


A[i, i] := coeff(bt, x[i], 2):
Tam := coeff(bt, x[i], 1):
ao := coeff(ao, x[i], 0):
a[i, 1] := coeff(Tam, x[i], 0):
for j from i+1 to n do
A[i, j] := (1/2)*coeff(Tam, x[j], 1):

A[j, i] := A[i, j]
end do:
for j to n do a[i, 1] := coeff(a[i, 1], x[j], 0) end do
end do:
pt := A.X = -a:
print("Toa do tam cua sieu mat bac hai thoa nam he phuong trinh"): print(pt = 0):
if Rank(A) = Rank(<A|a>) then
print("He nay co nghiem"):
Nghiem := X^%T = LinearSolve(A, -a, free = 't')^%T:
print(Nghiem)
else
print("He tren vo nghiem nen sieu mat bac hai da cho khong co tam")
end if:
8


#Xác định tọa độ điểm kì dị
pt := {}: bien := {}:
for i to n do
pt := pt union {(1/2)*tam = 0}:
bien :=bien union {x[i]}
end do:
if Rank(A) = Rank(<A|a>) then
Nghiem := solve(pt, bien) :
print("Phuong trinh a^T[x]+a[0]=0 co dang"):
pt := (<a>^%T.X)[1,1]+ao = 0:
print(pt):
print("Thay ", Nghiem, " vao phuong trinh tren ta duoc"):
KD := subs(Nghiem, pt): print(KD):
if lhs(KD) = 0 then

print("Suy ra toa do cac diem ki di thoa"):
print(Nghiem):
else
print("Suy ra. Sieu mat bac hai da cho khong co diem ki di"):
end if:
9


else
print("Suy ra, sieu mat bac hai da cho khong co tam va diem ki di"):
end if:
1.2.3 Ví dụ minh họa
Nhập vào phương trình của

10


2. Kết luận
Bài đã giới thiệu một số mô-đun được viết trên Maple 13.0 để giải một số bài
toán liên quan đến siêu mặt bậc hai như: Phương trình chính tắc, tìm tọa độ tâm
và điểm kì dị,…. của siêu mặt bậc hai. Đặc điểm của các mô-đun là thực hiện các
tính toán từng bước giúp cho sinh viên có thể kiểm tra lại từng bước giải. Hơn
nữa, nếu bạn đọc muốn sử dụng các mô-đun trên thì có thể chuyển chúng thành
các thủ tục và lưu vào máy để sử dụng như các gói lệnh cơ bản của Maple. Các
chương trình của chúng tôi hỗ trợ phần nhỏ trong việc tính toán khi học chuyên
đề siêu mặt bậc hai. Khi đó, chúng ta sẽ có nhiều thời gian để nghiên cứu các vấn
đề bản chất hơn.

11

TÀI LIỆU THAM KHẢO
Tiếng Việt
[1] Trần Quốc Chiến, Võ Đăng Thể (4/2009), Sử dụng phần mềm Maple hỗ trợ dạy
và học bài toán tìm các điểm cố định của họ đường cong, Tạp chí Khoa học và
Công nghệ, Đại học Đà Nẵng.
[2] Phạm Huy Điển (2002), Tính toán, lập trình và giảng dạy toán học trên Maple,
NXB Khoa học và kỹ thuật, Hà Nội.
[3] Nguyễn Mộng Hy (2004), Hình học cao cấp, NXB ĐHSP TP. Hồ Chí Minh.
[4] Nguyễn Chánh Tú (4/2004), Ứng dụng Maple trong đổi mới phương pháp học
tập và giảng dạy Toán học, Kû yÕu Héi th¶o KH, §HSP HuÕ.
Tiếng Anh
[1] Corless R. M. (2004), Essential Maple 7, An Introduction for Scientific
Programmers, Springer.
[2] Monagan M.B., Geddes K.O., Heal K.M., Labahn G., Vorkoetter S.M.,
McCarronJ., DeMarco P. (2007), Maple Introductory Programming Guide, Canada.
[3] Waterloo Maple (2008), Maple 13, Learning Guide.

12