04 phuong phap giai toan trac nghiem hinh hoc giai tich (NXB dai hoc quoc gia 2007) tran ba ha, 279 trang

Hành r.lio, í í ‘ki6i 12

An tặ l và PM Invện kĩ nầng giải các dạng Toán trắc nghiêm
Chuẩn grttlơ rác ki thì tdt nghiep, tuyếrsinft*po*?009
hing phương pháp tricighiệm khích quan cua^ílằĐ T.

NH À

XT BẢN O A I HỌC quốc GIA


Trần Bá Hà
Giảo
viênchuyên Toán
Tu nghiêp tan
Institutde Recherche
Pour L 'enseignement des Mathématiques
Pans-France

9 Dành cho HS khối 12
© Ơ n tập và rèn luyện kĩ năng giải
trắc nghiệm
© Chuẩn bị cho cốc- kì thi tốt nghiệp, tuyển sinh
2008-2009 bằng phương pháp trắc nghiệm khách
1 _ n A s~> r~\ C r x T *
quan cua Bộ UD&Đ 1.

'

.

Ơ 5*

/ ô ãĐ

L i n ú i õ u

r Nhằm giúp học sinh trang bị một số phương pháp giải các bài tập trắc
nghiệm vê các vân đê cơ bản cùa mơn hình học giải tích, chúng tơi biên
soạn tập sách: "
Phương
pháp
giải
tốtrắc nghiệm
Sách được trình bày theo từng vấn đề, mỗi vấn đề bao gồm:
Phần tóm tắt lí thuyết
Các dạng tốn cơ bản
Bài tập tự luận (có hướng dần giải) minh hoạ các dạng toán cơ bản
Bài tập trắc nghiệm (có hướng dần giải)
Cuối mỗi chương cịn có phần bài tập trắc nghiệm tổng họp (có đáp án) để
học sinh tự rèn luyện.
Nội dung cuốn sách gồm:
Chương I. Phương pháp tọa độ trong mặt phăng
vận đệ 1: Tọa độ điệm - Phep tinh vectơ
vận đề 2: Đường tháng
Vấn đề 3: Đường tròn
Vấn đề 4: Elip - Hyperboỉ
Vấn đề 5: Parabol - Các đường Conic
Chương II. Phương pháp tọa độ trong khơng gian
Vấn đề 1: Vectơ - Phép tính vectơ trong khơng gian

Vấn đề 2: Phép tính vectơ theo tọa độ
Vấn đề 3: Phương trình mặt phảng
Vẩn đề 4: Phưomg trình đường thảng
Vấn đề 5: Các vấn đề về đường thẳng và mặt phắng
Vấn đề 6: Mặt cầu
Các bài tập tự luận được chọn gồm phần kiểm tra kiến thức cơ bàn và
bài tập nâng cao. Phần trác.nghiệm bao gồm các loại trắc nghiệm nhận biêt,
thông hiểu, vận dụng,... Phần trác nghiệm cuối chương (không sắp xếp theo
thứ tự từng vấn đề) để học sinh kiểm tra cách lựa chọn chính xác của mình.
Hy vọng ràng tập sách này giúp ích cho học sinh ơn thi tốt nghiệp
THPT và tuyên sinh Đại học - Cao đáng.
Rất mong sự góp ý cùa độc giả và đồng nghiệp để lần xuất bản sau được
tốt hơn. Chân thành cám ơn.
Mọi góp ý xin gởi về:
- Trung tâm sách giáo dục Alpha - 225C Nguyễn Tri Phương, P,9. Q.5, Tp.
HCM.ĐT: (08) 8107718. 8547464.
- Email:
Tác giả


Chương I:
PHƯƠNG PHÁP TỌ A Đ Ộ TRONG MẶT PHẮNG
Vấn đề 1: TỌA ĐỘ ĐIẾM - PHÉP TÍNH VECTƠ
A. Tóm tắt lí thuyết
1. Hê trac toa đơ: Hệ trục tọa độ (0. ị,J) bao gồm:
•

Hai đường thẳng Ox và Oy vng góc nhau. *

•

i là vectơ đon vị trên trục Ox,. j là vectơ đon vị trên trục Oy.

• o là gốc toạ độ. Ox là trục hoành. Oy là trục tung.
2. Toa đỏ vectơ - Toa dỏ dicm:
•

Đinh nghĩa]: Đối với hệ trục toạ độ (O, ĩ, j) , nếu vectơ ẩ được viết

dạng: ã = xi + yj thì cặp số (x.y) được gọi là toạ độ cùa vectơ ã kí
hiệu ả = (x.y). Số thứ nhất X gọi là hồnh độ. sơ thứ hai y gọi là tung
độ.
• Dinh nghĩa 2: Trong mặt phăng Oxy, toạ độ của vectơ ÕM được
gọi là toạ độ điểm M.
Kí hiệu: M(x.y) <=> OM = xi + yj
3. Phép tinh vectơ: Trong mặt phăng Oxy cho các vectơ
a = (a ,.a ,), b = (b ,,b 2)
fa, =
_ ub,
• a=b
s
>
=
<
V4 %
~
•

ã + b = (a, + b ,;a, + b2)
ã -b = ? (a , - b t;a 2 -b_,)

ká = (ka, ;ka2) với Ke R

4. Cơng thức líén quan dền phép tính vectơ:

AB * V(xB - xA)2+ (yB-yA);
a / / b o a , b , = a 2bị
ã 1 b <=> a,b| + a 2b 2 = 0

■'

■

.

.

. ;■ '

18 Ị S ĩ®
WWẩÊ:9Ễ
V" :
; .
. ■
:; ■
■

-TNHHGT-


cos

• *•

•

(a,b)<=>

afy +

(fl,2+a22)(V +b22)

M chia đoạn AB theo ti số * -1 o M4 =
XA- k x B
_ yA~ kyB
M
1 -k
-, „
,
A A„ „
XA + X R + x r
M là trọng tâm A ABC
XM= —
,y
3

_ yA+ y B+ y c
.

3

B. Các dạng toán cơ bản

Dang 1: Xác định tọa độ một điếm thồ tinh chất cho trước:
• Gọi M(x,y) là điểm cần tìm, dựa vào tính chất đã cho đề thiết lập
các phương trình, giải hệ để xác đinh X, y.
Dang 2: Chứng minh các tính chất bàng phép tính vectơ:
• Áp dụng các tính chất liên quan khoảng cách, tính song song, tính
vng góc để xác định tính chất cùa các hình cần chứng minh.
Dang 3: Tính chất bất đẳng thức - Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhó nhất bằnp
phương pháp toạ độ:
• Áp dụng cơng thức về độ dài đoạn thăng kết hợp với các bất đănp
thức.
AB + AC > BC
|AB - AC] < BC

(đẳng thức khi A,B,C thẳng hàng)

b < a+b < a +

c. Bài tập tự luận
Bài

1.Chị AABC với A(4,2); B(-3,2), C(2,-3)
a) Tìm toạ độ trực tâm H, trọng tâm G và I là tâm đường tròn ngoại tiếp
AABC.
b) Chứng minh: H, G, I thẳng hàng.

Hướng dẫn siài:
5(x - 4 ) - 5(y - 2) = 0
IAH 1 BC
a) Gọi H(x,y) là trực tõm, ta cú : {___
ôã

2(x + 3) + 5(y - 2) = 0
BH 1 CA

.

<=> X = 2, y = 0: vậy H(2:0)
Gọi G(x, y) là trọng tâm, ta có : GA + GB + GC = õ

6

-TNHHGT


xA +

xB + xC

,

X = ---------------------- = 1

3
yA + yB + yC
3

<=>
y

1
3

Vậy ơ ( l . ị )
3
ỈA = ỈB

Ciọi I(x,y) là tâm đường trịn ngoại tiếp, ta có:

ỈA =
X=

1

Ta có HG = (-1 .1 1 , HI =
\
3j

0

,

ỉ
1^

( x - 4 ) 2 + {-y-2 ) = (x + 3)2
- ni L
<=> <
* c=> <,
ĩ ’ vậy I(H >
(x -4 )" + (_y-2): = { x - 2 Ỵ + (>' + 3)2
y=T

11 1

=> HI = —HG

2

HI cùng phưomg với 1IG <=> H, G. I thăng hậng.
Bài 2.Cho AABC với A(0,4), B(-3.0), c (10,4). Gọi M.N là chân các
phân giác trong, phân giác ngồi góc A. Xác định M,N.
Hướng
dẫn
siủ u
Theo tính chất đường phân giác, ta có:
MB

vV25
ồ _
vĩõo "

AB
Ăc

MC

1
xc
2
1

XB + .

XM=
1+

NB
NC

4

1
2

3 ;y ” B7

i

4
3

4 4
A/(—,—)
3 3

2

2.

AB
AC

1

y B 3" _ yc

1
2
1

XB

2 Xc

T

F

XN =

y B-V~yycc

= ~ 16;y N =

2

41— = - 4 = N (-lí.-4).

1 --

2

fiài i: Cho A/1ỔC với A(5,6), B (-3,2), C (2,-3). Tìm điểm M thồ mãn:
V2.BC.MA + VĨÕ.CA.ỈVĨB + V5.AB.MC = Õ (*)
Hướng dẫn giai:
Ta có:

Tẻ = (-8,-4)

-TNHHGT-

' '
=>AB
= 4^5
ị

*

7


AC - (-3,-9)

=>AC = 3vÌÕ

Gọi M(x, y) ;(*) o MA + 3MB + 2MC = õ
5 - x + 3 ( -3 -x ) + 2(2-.v) = 0x=0
<=> {
. ôã ị
[ó - y + 3(2 - >') + 2(-3 - >’) = 0
[>' = 1
Vậy Ẩ/(0.1).

Bài

4.Cho với

);B(-3,0);C (3.0). Gọi M,N xác định bởi
(o'ĩS
A

AM = —AB, Ĩ3N = —BC, gọi I là điểm giao.cùa AN và CM. Tính tọa độ
điểm I.
Hướng dần

gw j

Ta có ĂN = ÃB+BN = - Ã B + ị Ấc = (-1,-3)
3

3

CM = CA + BM = CA + -.ÃB = (-4.2 V ĩ)
Gọi I(x,y), I là giao điểm cua AN và CM nên:
A. I, N thắng hàng o ẢI = k.AN

c, I. M thẳng hàng o c ỉ =

k' -

C

M

X- 0 _ ỹ - 3-v/3
-1
X- 3
-4
X

y

- 3V3
y- 0
2V3

-3

/2 Vĩ

j-3
<=>!(--,— ị - ) .

Bài
5:Cho tứ giác ABCD cỏ: A(0.1). B (-2,-l), C ( - l -4), D(1,0)
a) Chứng minh các A ABD và ABCĐ là những tam giác vng.
b) Tính diện tích ABCD.
c) Tìm M trên Oy dể diện tích AMBD và diện tích ACDB bầng nhau.

8

-TNHHGT-

jiro vg dẫn

g iỏ i

a) Ta có:

AB= (-2 ,-2 );

AI) = (1.-1) => í/Ü /> 1.0 o

ỔD = (3,1); BC = (1, -3) =>

oo

D

Vậy AABD vuông tại A, và ABC D vuông tại B
b ) dt(ABCD) = dt( A ABD) + dt( A BĐC) = -ÍAB.AD I BD.BC)

2

= - ( 2V2.V2 + vTõ.Vĩõ
c)Gọi M(0.y)e O y, áp dụng : dt( A MBD) = - VMB'.MD2 - (MB.MD)
2
vả dt( ACBD) = - J c B2.CD- - (CB.CD)2
1 V
giài phương trình ta có V= 3, và y =

11

Vậy có 2 điểm M e Ov là Mị (0,3) vàM2(0
•

tài 6:Cho A(sina,cosa); B(1 + sina + cosa.sina+ cosa)* C(2sina,l).
Chứng minh: Va € R , A, B, c thăng hàng.
lướm dẫn
giải:
Tacó: AB = (I+cosa.sina);

AC = (sina.l-cosa)

a,b, -a ,b , = (1 +cosa)(l - cosa) - sin2a = 1- cos2a - sin2a = o Va 6 R
,

do đó AB cùng phương với AC o A,B,C thăng hàng Va € R.
ìài 7: Chứng minh : Vm2 n + \/P' + q 2 ỉ ựim + p)2 + (n + q)2
vm ,n,
p,q € A.
\fm,n,p,qe
R.
Iướnsim
dẫn
. úgiai:
m

giải-

ỈM.líciMi

m
vì: ã + b > a + b <=> v nr + n: + vV + q" ^ \/(ni + p)2 + (n + q)2

Xét a = (w,n);

b=

(p .q )

=>

a+

=>đpcm.
tài 8: Cho X, y, z >0 thoả:
Ịx2 + - y

X

+ y + z < 1. chứng minh:

+ J y 2+ -~ + J z 2 + -y >v82
) (1)
.

■í

. ■ đ : -.VíC - í "XXỈỊ. . -A

.

'■ ề : ,


Hướng

dầnsiùi:

.xét

a= (*,—);

Áp dụng: a +

Xy

+

b=
c = 0 ,- )
z

ã + b + c , ta có

l/XÍ + ^ +Ì ^ V + ì F ? ỉ J(X+y+Z)ỉ+(x + y 4 ,:

(l)

Mặt khác:
(x 4“y 4*z) 4- (—4

X

y

í— ) = 8 l(x 4- y 4- z) 4- (—4 h—y —80(x 4* V4- zỴ
X y z
z

>18(x + y + z )(- + - + - ) - 8 0 ( x + y + z)2 > 1 6 2 -8 0 = 82
X y z
.

(2)

từ (1) và (2) =>đpcm.
Bài 9:Chứng minh: Vx,y,z€ R,tacó:
^Jx2 + xy + y 2 +
Hướng
unx dẫn
uuri giui.

slx 2+

xz+

gịớii*

ta có: ^ x 2 + xy + y2 = Ậ x + ị y + ị ^ - y )
y[xĩ + xz + z - = ị( x + ~ ) 2 + ( ^ ~ z )2
, y

y/ĩ- . .
z. y/3 .
xét a = (x + ệ , - ^ y ) , b = (-(x + -^ ),-y -z )
- r r ,y z >/3 ,
ta có a + b = (------ ,-1—(y + z))

2

từ a +
Bài

2 2

> a + b => đpcm.

10:Tìm giá trị nhị nhất cùa:
y=

y[x2 2- px + 2p2 +

yfic-2qx + 2q2 với p.qe R, và

Hướng dần giai:
Ta có:

y = V (x -p

Ỷ + p2 + ự ( x - q )2 +qT

xét M(x,0)€ Ox , P(p,p), Q(q,q)

MP* V(x - p )2 + />2, MQ = y ị(x -q )2 + q 2
10

-TNHHGT


V SM
Đăng thức xày ra khi M trùng gốc 0. do đó miny =
*
1
1>
' ị

*

D. Bài tập tự luyện
Bài

11: ChƠ(vA(-*4,l); B( 1.4)7''Tìm c đê OACB là hình vng nhận AB làm

một đường chéo.
12:Cho A (-l,3); B(0,5); C(4,2); D(-2,l). Chứng minh ABCD Ịà tứ giác
trực tâm (tứ giác có một đỉnh là trực tâm của tam giác nối 3 đinh còn lại).
13:Cho ồ ABC vng cân tại A. Tìm toạ độ ba đinh của tam giác biết
2
trọng tâm G (—,0) và trung diêm M cua BC là M (ly-l).

Bài
Bài

Bài
14:Cho Ạ ABC có A(-4,-5); B(1-5); C (4,-l) Tìm toạ độ tâm đường
trịn nội tiếp I cùa A ABC.
Bài
15:Cho A( 1,0); B(0.2); C(l,2). Xét điểm D(m,2-2m)
a) Chứng minh: A.B.D thăng hàng 'im 6 R.
b) Tìm M đế AOCM có diện tích bằng 2.
Bài
16:cho A ABC có A(5,4): B (-l.l); C(3,-2). M là điểm di động thóa
mãn ạ MA + ßMB = ư
( a 2 + ß2 * o )
Tìm M để MA + MB nhị nhất.
Bài

17:Chứng minh: V.v. y 6

R.ta có.

Ự4COS2xcos2 >' + sin2( x - y ) + x/dsin2xsirr >’+ sin2( x - y ) > 2.
Bài 18: Chúng minh: Va2 + a +1 + Va2- a +1 > 2 Vö€ R.
Bài 19: Chứng minh:
yịĩc +4xy2 + 6x + 9 +

tỊ x 2+ 4y'

+1 - 2x -12

Bài 20: Tìm giá trị nhỏ nhất cùa:.
-y/x2 -2 p x + 2p2

Jĩc2- qx + 2q: V p.qeR *
+

Hướng dần
giàj:
Bài
Ị Ị:Để ý AOAB vuông cân tại o , chi cần tim C đê OACB là hình bình
hành. Đáp số: C(-3,5).
Bài 12:Chứng
w minh A là trực
* tâm cùa A BCD

-TNHHGT-

11


Bài

Đ
13: ể ý: AG = 2GM => A(0,2)
AM 1 BC

A ABC vng càn tại A «

MA
V

= M B= MC

X- 3 y - 4 = 0
Toạ độ B.c là nghiệm cùa <
(x - 1)2 +(y 1)2 = 10
Đáp số: B(4,0), C(-2,2).
5
Bài 14: Tọa độ chân đường phân giác trong cùaBlà DỌ,- —). 1 chia BD
theo k = ~ — =>1(1,0).
AD
Bài

15:a) Chứng minh: a,b2 - a 2bị = 0 V»? € R.
b) Đẻ ý D là trung điểm, chứng minh => M(2m~ 1,2-4m)
ẼD = (l-m .2 -2 m );F D = (m ,2m )=>ẼD//FD => đpcm.
,

t

c) Đáp sô: m = 0 và m = 1.
Bài
16:Đáp số m = (3.0)
Bài

17:Xét a = 2cos.vcos

+
Bài

*

y,sin(x- v), b

(2sin.Vsin y,s

i a +b => đpcm.

18:Xét A(

CI+

2

),

2

2 2

B(a

-- , — )

OA + OB > AB => đpcm.
Bài

19:Xét

a = (x + 3,2y),

Bài

20:Chọn M(x,0), A(p. ỊpỊ), B( q .-|q |)
MA + MB > AB =>

b - ( \- x ,3 - 2 y )

-Ịỹ}-2 p x + 2p: + sjx2 -2 q x + 2q2 > -

Đàng thức xây ra khi: M = ABHOx .

E. Càu hỏi trắc nghiệm
Câu
1:Cho A(-4.1). B(l,4), o là gốc tọa độ. Đế tứ giác OAMB là hình
vng thì đinh M là:
A. (3,5)
B. (-3,5)
c. (5,3)
D. (-5,3)
Câu
2:Cho tam giác ABC có A(0,4), B( -3,0), C( 10.4). Gọi M là chân đường
phân giác trong của góc A. Tọa độ của M là:

12

-TKỈiHGT-


(4 4)
A.
á ’ 3,

B.

( 4

4)

D.

c. f i , - í ì
\3

V 3 ’ *3

3;

A3 3 ^
7"•T“
4 4J

sau đây:
(I) . ABCD là hình thoi
(II) . ABCD là hình binh hành
(III)
. AC cắt BD tại 1(0. -1)
Hãy chọn câu đúng:
B. Chỉ câu (III) đúng
A. Chi câu (II) đúng
D. Càu (!) và (II) đúng
*•

c. Câu (II) và (III) đúng
Câu
4.Cho tam giác ABC có B( -3.1). C(l,5) và trọng tâm G di động trên
trục Ox. Tập hợp các dinh A là:
A. Đường thẳng có phương trình y - - 6
B. Đường thẳng có phương trình X= - 6
c. Đường thẳng có phương trình y = -6 loại trừ diêm (-10,-6)
D. Đường thẳng có phương trình X- -6 loại trừ điểm (-6,3)
Câu 5 : Trong mặt phẳng cho A(5,4). B(3,-2) M là điểm di động trên Ox. Giá
trị nhò phất cùa MA + MB là:
A. 2
B. 3
c. 5
D. 4
Câu
6:Cho tam giác ABC có A (-l,l), B(3,3), C (l,-l)i tọa độ chân đường
cao H vẽ từ A cùa tam giác ABC là:
Ạ. H

(1
V5 5 J

B. Tỉ

ì
rl
%
1 5 s)

c. H

đo của góc B cùa tam giác ABC là:

7^
5 '5

D. li

7
5

1
5

<

A. 45°
B. 135°
c. 60°
D. 120°
Câu 8 Trong mặt phảng cho A (-l.l), B(3,3), C (l.-l), D(-3,-3). Tứ giác
ABCD là hỉnh gi?
A. Hình vng
B. Hình chừ nhật
C. Hình thoi
•
D. Hình thang
Câu

T

9: rong mặt phăng cho A(l,2), B(3,l), C (2,-l). Đẹ AB+mAC đạt
1
•i
'r ■
giá trị nhó nhất thì giá trị cùa m là:12
A. m = 1
2

B. m
~

--

c. m = 2

D. m = -2

2

-TNHỈĨGT-

13'
.


Câu 10. Cho tam giác ABC có A(4,3), B(-5,6), C (-4,-l). Tọa độ trực tâm h
cùa tam giác là:
A. H(3 -2)
B. H(2,3)
c. H(-3,2)

D. H(-2,3)
Câu
C
1, ho M(l ,2), N(3,l). Hình vng MNPQ (theo thứ tự) có tọa độ
đinh p là:

A.P(5,1)

B. P(2,3)

c. P(8,0)

D. P(6, 1)

Câu
C
12: ho tam giác ABC có A(4,3), B (0-5). C(-6.-2). Tâm I cùa đườnj
tròn ngoại tiếp tam giác ABC có toa độ là:

1\

n

A. I -1 i
A

Câu

B. 1 i - 1

ì

n

c. I 1 -2-

D.K-1,-1)

2
)u )
l
2)
13:Cho A(-1,L), B(l,3), C(-2,0). Điểm A chia đoạn BC theo ti số nào?

Câu
A. 1

B. —
c . -2
D
D. - - —
—
2
2
14:Cho A (l,l), B(3,3), C(2,0). Tam giác ABC có diện tích là:
B. 2
c. 3
D. 4

Câu

T
15: rong mặt phẳng (Oxy) cho hai vectơ: u = —i - 5 j và

A. 2

V

'

=ki - 4j

(

i,

j

là các vectơ đơn vị trên trục). Để u

thỉ giá trị

của k là:
A. k = ±

c.
Càu

k = ±

A

5
V37

2

B .k = ± ^ ĩ
.2
D .k = ± ^

2

C
16: ho M(~l, -2), N(3,2), P(4, -1) và E(m.O). Để ẼM + ẼN + ẼPnhi

nhất thì giá trị cùa m là:
B. m = c. m = 2
D. m = 6
í
J3
Câu
T
17: oạ độ điềm N đối xứng cùa diêm M(3,5) qua đường thăng y X
có toạ độ là:
A. (-3,5)
B. (5, -3)
c. (3. -5)
D. (5,3)
Câu 18: Cho M và N chia đoạn thảng AB thành 3 phần hàng nhau với

A(l, -3), B(4,3) thì toạ độ của M,N là:
A. M(2, -1) và N(3,1)B. M (3 ,-l) và N (-2,l )
C.‘M(2, -1) và N (-l,2)
D. M(l,3) và N(l,2)
A. m = —
?

14

-TNHHGJ


Câu 19: Cho a = (5,3), b

(-4,2),

A. c = 2a + 3b

B. c = 3b + a

c . c = -2a + 3b

D. c = -2a - 3b

Câu
20:Cho A(-2, -1), B(3,4), Gọi F(m,0). Đê FA2 +FB
nhất thì giá trị cua m là:
A. m = - —
2

B. m = 1

c. m = 2

đạt giá trị nhỏ

D. m

F. Huóng dẫn giải câu hỏi trắc nghiệm
OA = OB = VĨ7

Câu

=> tam giác OAB vng cân tại o

OA.OB = 0
Do đó đề OAMB là hình vng thì chỉ cần OAMB là hình bình hành
nghĩa là OA = BM <=> M (-3,5).
Câu

ChọnB

M
2: là chân phân giác trong cùa A <=> •==•

AC
= -2 . Nghĩa là M
AB

chia đoạn BC theo ti số k = -2

xr - k x R 4
yc - kyB
_ —.
4 Chọn
nu câu
- A
— =
l-k
' 3 ’ y " " 1 -k
Câu 3: Ta có

AB = 0( ,-2),

DC= (0 .-2 ) =oA

AC cắt BD tại trung điểm AC => 1(0. -1). Chọn càu C
Câu
G
4: ọi (m.0) € Ox dùng công thức trọng tâm suy ra:
XA

=3m + 2, y A = - 6

Giao điệm của đường y - - 6 với BC là (-10, -6). Vậy tập hợp các điềm
A là đường thẳng y = - 6 loại trừ diêm (-10, -6). Chọn câu C
Câu 5: Gọi 'Hà trung điểm AB thì 1 (4.1)
MA + MB

2MĨ

2 MI

M(m.O) € Ox, MI = -/(m - 4 ) ’ +1
MI nhỏ nhất e> MI 1 Ox <=> M(4.0). Chọn câu A
Câu 6: Gọi H(x,v). H là chân đường cao xuất phát từ A
à H 1B C
BH cùng phương với BC

-TNHHGT-.

<=> (

- 2x - 4y + 2 = 0
- 4x + 2y + 6 = 0

15


Giái hệ ta được H

(1

1

5

5,

V

Va

•■
.>
N

Câu

7:cos B
.

Câu

=>

. Chọncâu

B =135°. Chọn câu

IAD = BC = (-2.-4)
,rv 1' 1• u*t • /•/
8Đe ý- J
O ABCD là hình thoi. ( hon
[a b = b c = V2Õ

9.AB + mÃC = (m + 2,-3m -1) => ÃB = mAC = Vĩ Om

Câu

1Om + 5

Giá trị nhỏ nhất cùa AB + mAC là —khi m = — .
2

Câu

- /(

B

2

10:Gọi H(x,y), ta cỏ;
ÃH.BC = 0 o x - 7 y = -17

=> H(-3,2). Chọn càu

c

BH.ÄC = 0 o 2 x + y = -4
Câu

11:Đề ý: ÄB = (2,3) => ÃD = (3,2) => D(4.4)

DC = Ấ B o C (6 ,l).
Câu

12:Để ý: BA = (4.8), BC = (-6,3) => BA.BC = 0
í
1\

A ABC vủơng tại B nên tâm I là trung điểm AC <=> I 1,
2,
Chọn

câu

Ả.

Câu 13:Để ý; AB = (2,2). l ĩ ’= (-1,-1); ta có ÃB = -2 Ã ẹ o
Chọn
uâcC
.
Câu

k

14:AB = (2,2), Ã c = (l,-1) => ÃB.ÃC = 0 o AB 1 AC

dt AABC = - AB AC = - V Õ = 2 (đvdt).
2
2
_
/
Câu
15:Để ý: u
và v = (k,-4)

B

H

Vi?
—k 2 -4-16<=> k = ± — —. Chon
4
2
/
Câu 16: Gọi G là trọng tâm A MNP thì G
—

u

—

1

V <=> —
--t-25

*

16

c

4

-TNHHG


EM + EN + EP = 3

E ở trên Ox. EG nho nhất khi
Câu

X(.

= X ị <=> m = 2 .

Đ
17. iểmM (x0,y 0)có điếm,đối xứng qua duờng y = X là điềm

N(y0,x 0) do dó N(5,3) là diêm đổi xứng của M(3,5) qua đường y = X.
Chọn
câuD.
Câu
18:Để ý giả thiết tương dương với M là trung điểm của AN và N là
trung điềm của BM. Kiểrrrtra băng công thức trung điếm chọn
M(2, -1), N(3,l). Chọn câu A. .
Câu 1

9:Kiểm tra phép tính vectơ: 2a = (10.6), 3b = (12,6)

3b - 2a = (2.0) = c . Vậy c = -2a + 3b .
Câu

20:F(m.O) => FA : + FB: =(m + l)2 +1 + ( m - 3 ) 2 +16

= 2(nr - m + 15) = 2 ( m - - ) 2 + —
2

(FA2 + FB2)min= ^ o r n = l . c 'hạn

2

câuD.

>3 t•"-X*>
■ •*
'*
-•' ’¿y*ụ

TNH1ỈGT-


vấn đề 2:

ĐƯỜNG THẢNG TRONG MẶT PHẢNG

A. Tóm tắt lí thuyết
1. Các dang nhương trình (lng thắng:
a) Phương trinh tham sơ: Đường thẳng A qua M( x0,y 0) có a = (a ,,a ,) là 1
vectơ chi phương thì phương trình tham sổ là:

x = x0 +a,

y = y0 + a2
b) Phương trình chính tấc: Ncư a ,,a : * 0 thì từ (1) ta có:

( 1).

—— =

a,

gọi là phương trình chính tác của A .
c) Phương trinh lổng qt: Mọi đường thẳng đều có phương trình dạng:
Ax + By + c = 0, trong đỏ n = (A,B) là 1 vectơ pháp tuyên và
a = (-B, A) là 1 vectơ chi phương.
d) Phương trình dường thăng qua 2 diêm
x- X

y-y.

x„
- aXa
a b

Vo
Va
V đ - V

(dường AB không song song với các trục Ox.Oy).

e) Phương trình đường thăng theo hệ số góc:
Đưịmg A qua M (x0,y 0) có hệ số góc k có phương trình:
y - y 0 = k ( x - x 0)
với k =

—

(ã =( a ,,a ,) là vectơ chi phương)

a,
( A không song song với Oy).
II. Các vấn đề liên quantlcn duòng thăng:
a) Khoảng cách từ 1 điểm đến dường thẳng:
Cho M( x0,y 0) và A Ax + By + c = 0, ta có d(M. A ) = L—'
—VA’ + B 2m

18

Ax0 + By0 + c
-’y - — gọi là khoáng cách dai số từ M đến A.

VA2 + B2

-TNỈUỈGT-


Phương trình phân giác cua góc tạo hời 2 đường thăng:
ủ, : AịX + B,y + C, và Aj : A,x + B,y + C2
A ịX+ B,y + C| __ . A,x + B2y + C2
•\/A| + B|'

-\/a 2* + B2

b) Vị trí tương đổi của hai đường thảng:
Cho A, : Atx + Bịy + c, = 0 và A ,: A2X+ B2y + C2 = 0
• A _ A,
A|Căt A2 <=>
a2

B,
b2

A, _ B, * 9 l (A 2,B2, ệ 2 * 0 )
c2
a 2 B,
B, ' _ c [
A| s A2 <=> A, _
a2

B;

c2

c) Góc cùa 2 đường thăng:
Aị: A,x + B,y + c, = 0 và A2: A,x + B2y + C2 = 0
góc nhọn tạo bời Ap A, xác định bời:
cos

|A,A,
+__B,B,
I I í __
_l *
■J(A,2 + B j2)(A22 + B ỏ

Gợi k.k’ là hệ số góc cua A, và A2
k llk '
c.

o A|

IA2

k.k'= 1 <=> ỉA, _LáA,
í

<*( I« ‘n ÍVỸ^
B. Các dạng tốn cơ bản
I. Bài tạp về phượng trinh dng thăng
Bài
21:Viết phương trình các cạnh cua A ABC .biết B(-4,-5) và 2 đường
cao' có phương trình: 5x + 3v -4 = 0 và 3x + 8y + 13 = 0.
Hướng
dẫn
gịàù_
Tọa độ B khơng thồ các phương trình đường cao nên các đường cao đó
là : AẢ’: 5 x + 3y -4 = 0 va C C :3 x + 8y + 13 = 0
+) Phương trình dường thăng qua AB vng góc với CC’ có dạng:
8x -3y + c = 0
Vi đường AB qua B nên: -32 + 15 + c = 0 = > c = 177
17 = 0
Vậy phương trình đường thẳng qua AB là: 8x -3y +17

-TNHHGT-

19


+) Phương trình đường thăng qua BC vng góc với AA' có dạng :

3x -5 ỹ + c = 0, qua B nên : c - -13
Do đổ phương trinh BC là: 3x~-5y -13 = 0
+) Tọa độ A là nghiệm của hệ phương trình

5 x + 3 y - 4 =0
8 x - 3 y + 17 = 0

=> A ( - U )
Í3x + 8y + 13 = 0
+) Toa đô c là nghiêm của ị
=>C(1,-2)
3 x -5 y -1 3 =0
Do đó phương trinh canh AC là:
=
<=> 5x + 2v -1 = 0.
■ ^
*
2 - 5
Bải
22: Viết phương trình các cạnh cùa tam giác ABC khi biết A( 1.5) và hai
trung tun có phương trình: 9x -4y -11 = 0 và 3x -5y = 0.
Hướng đần zim :
Tọa độ A khơng nghiệm đúng các phương trình trung tuyến nên các
trurg tuyển đó phải là BM: 9x -4y - l 1 = 0 và CN: 3x -5y = 0
+) Các diêm B và M ỡ trên : 9x ~4y - 1 1 = 0 nên
9 x B~ 4 \ - 1 1 = 0
9
y .+ v
B 3%
=> - ( x . + x c) - 4(— ■■ *-«-) -11 = 0

9xM
-1 1 = 0
2
.2
=>

[9xB- 4 y B =11
|9xc - 4 y c = 33

Tương lự C và N ỡ trên đường 3x -5y = 0 nên

3xc - 5 y c = 0
,3xB - 5 y B =22

| 9 x b - 4 y B = 11
Toa độ B và c là nghiệm của <
=> B (-l. -5)
Ì3 x B- 5 y B =22

. |3 x c - 5 y f = 0
1 W - 4 y c =33

=>c<5,3)

do đó
X —I y —5
+) Phương trình cạnh A C :------= —----- <=> X + 2ỵ -11 = 0
+) Phương trình cạnh AB:

20

X- 1 _ y - 5
-2

<=> 5x - y = 0

-TNHHGT-


X +1 _ y + 5
o 4x - 3y - 11 = 0
6
8
Bài
23:Hình bình hành ABCD có A(-2.3) và hai cạnh tần lượt có phương
trinh: 2x + 3y - 3 = 0 và X- 4y - 7 = 0
Hãy viết phương trình hai cạnh cịn lại, tính tọa độ giao đrèm t cùa 2
đường chéo.
Hưởng
dẫn
g ịả ịl
Tọa độ điểm A khơng thoa phưcmg trình các cạnh trên nên phương trình
của BC là: 2x + 3y -2 = 0 và phương trình cùa DC lả: X - 4y - 7 - 0
+) Đường AD qua A và song song với BC nên phưcmg trinh cố dạng:
2x + 3y + c = 0, qua A nên : -4 + y + c = 0 = > c = -5
Vậy phương trình cạnh AD là: 2x + 3y -5 = 0
+) Dường AB qua A và song song với DC nên phương trình có dạng:
X - 4y + c = 0. qua A nên: - 2 -1 2 + 0 = 0 = > ,c = 14
Vậy phương trinh cạnh AB là: X- 4v + 14 = 0
+) Phương trình cạnh BC:

+) Tọa độ c là nghiêm của

2x + 3y - 2 = 0

tìỊậk

X- 4y - 7 = 0

2 25
=> C( —
)do đó tọa độ trung điểm I của AC là í(
)
3 12'
•
~
'3 * 2 4
Bài
24:Trong mặt phảng, cho ổ ABC có trọng tâm G(-2, - í ) và các cạnh
AB, AC lần lượt có phương trình:
AB: 4x + y + 15 = 0, AC: 2x + 5y + 3 = 0
a) Tìm tọa độ đinh A và trung điềm M cùa BC.
b) Tìm tọa độ đinh B và viết phương trình đường BC.
ịỉmí. «‘
Hướng.dần
SỈỂL
j4x + y + 15 = 0
iigy
a) Tọa dộ A là nghiệm cua hệ
2x + 5y + 3 = 0

Giải hệ ta được: A(-4, 1)
G là trọng tâm A ABC =>
GM
Do đó X,g
„

yG =

. X A
—*•

+ 2 xb
3

XM-

3x

_ 3.Xq —XA
yA + 2y0
^ yM
3
2

-TNHHGT-


Vậy M (-l, -2)
' Ac

V
XM

b) M là trung điềm BC o

2
o
_ yB + yc
yM
2

XB

ya

Mặt khác ta có: B e AB => 4 x B + yB+15 = 0. (3)
c € AC

2xc + 5 y c +3 = 0 (4)

Giải hệ (1),(2),(3),(4) ta được ¿(-3 ,-3 ) C(1 -1)
Do đó phương trình BC là:

^ = .———
1+3
-1 + 3

o X + 2y + 3 = 0.
Bài
5:2Trong mặt phăng viết phương trình đường thẳng A qua M (l,2) và

chắn trên nừa trục dương Ox, Oy tại A và B sao cho: OA + OB nhỏ nhất.
Hướng dẫnsiài:
Phương trình A- có dang: —+ —= 1 (a.b > 0)
a b
o bx + ay = ab
2a
> 0 => a > 1
M e A o b + 2a = a b o b =

a-p

la
a 2+a
Đăt y = OA + OB = a + b = a + ----- = ------- (với a > 1)
1 a -1
/ =

a 2 - 2a~ \
(ư -1 )2

(a > l)
a = ĩfy-\ loại)
(

y' = 0 o
a = \ + yỈ2

miny <=> a = 1+ 4 Ĩ => b = 2 + 4 Ĩ
khi đó phương trình A là:
(2 +

y ã )x + (1 +

sfĩ)y-

(2 + sÍ2)(\ + yỈ2) =

Bài 26: Viết phương trình đường tháng qua A(2,l) và tạo với đường (D ):
* TC
2x + 3y + 4 = 0 với môt góc băng —.
4

yy

-TNHHGT-


Hướng dần
2
(D) có hệ số góc k
3

Goi A là đương thẳng qua A hợp với D góc — và k là hệ sơ góc cùa A ,
4
ta có:
tan(A,D) = ——— = ±1
1+ kk'
k + k'
--------= 1 => k’
1+ kk'

Phương trình cua A là: y -1 = -5(x -2) c> 5x + y
£ £ .- 1
1+ kk'

11 = 0

= * k -i
2

+) Phương trình cua A là: y -1 = —(x - 2 ) 0 X -5y + 3 - 0
Vậy có 2 đường thăng A qua A hợp với (D) góc — lần lượt có phương
trình là :
5x + y -11 = 0 hay X -5y + 3 = 0.
Bài
27:Cho hai đường thẳng:
A : 2 x -y + 5 = 0 và A ’: 3x + 6 y -1 = 0
Hãy viết phương trình đường thảng (d) qua P(2,-l) và căt A,A" tạo
thành tam giác cân có đỉnh là giao điểm cùa A và A

Hướng

dẫn

gịáv_

'
Dê thoà mãn điêu kiện của bài toán thi (d) phải là đường thăng qua P và
(d) vng góc với các phàn giác cùa góc tạo bởi A và A \
Ta có phương trình các phàn giác của góc tạo bời A và A ’ là :
2 x - y + 5 _ + 3x + 6 y -1

Ws
3 x -9 y + 16 = 0 (dị)
9x + 3y + 14 = 0

(d j)

,

ir ..V
?■
?-

các dường thẩng qua p và lần lượt vng góc với di di là:
X + y - 5 hay X - 3y 5 = 0 .

-TNHHGT-


Bài
28: Hãy viết phương trình của đường thăng A đi qua giao điếm của
đường thẳng: X - y + 4 = 0 (D’) và 2x - y + 6 = 0(D’), biết ràng cát Ox,
Ov tại A và B mà diện tích tam giác OAB = 1.
Hướng, dần
gìỂL
Phương trình đường thăng A có dạng: X - y + 4 + X(2\ - y + 6) = 0
o

(2X +l)x -

(X + l)y + 6X +4 = 0

Giao điểm của A với ò x là A( —
,0)
2X + 1
Giao điểm cùa A với Oy là B( 0, — ——)
x+l
Ta có SABC = —OA.OB = —x AýyB|
1
2

6 X -4 6X + 4
2A. + 1 ' 2X + 1

*1

3
3
<=> X = - ~ và X = - ~
5
4
*

2x + y + 2 = 0

Vậy có 2 đường thăng A là:

vx + 2 y -2 = 0

Bài 29: Cho hình vng ABCD có đỉnh A(5, -4) và phương trình cùa một
đường chéo là: X - 7v - 7 = 0. Viết phương trinh các cạnh và đường chéo

cịn lại
Hướng dẫnsiai:
Vì tọa độ A khơng thồ phương trình: X
8 = 0 nên phương trình này
là phương trình đường chéo BD, các cạnh AB và AD hợp với đường
chéo BD một góc 45°, gọi m là hệ sơ góc cùa đường thẳng AB, AD. ta
t
co:
1
7
, _
7~ = ±1 o
1+ 1

m-

_4 ,
3
m = — và m = - 3
4

Do đó phương trình các cạnh AB, AD là:
+ )y + 4 = —( x - 5 )

24

<=> 4 x - 3 y - 3 2 = 0

TNHHGT-

. 3,
+) y + 4 = ~ —( x - 5 )
4

<=> 3x+4y + l = 0

Phương trình đường chéo AC là : y + 4 = 7(x 5)
0 7x + y -31 = 0
Tọa độ tâm I cua hình vng là nghiệm cua hệ phương trình :
x -7 y -8 = 0
9 -1
) do đỏ tọa độ cùa c là : C(4,3)
7x + y -3 1 = 0 ^ I ( 2 ’ 2
Hai cạnh còniại qua c lần hạn song song với AB và AD nên phương
trinh là:
* 4x 3y + c = 0, qua c => 16 9 + C = 0

=>c = -7
và 3x + 4y + C’ = 0, qua C' => 12+12 + C’ = 0 =>C’ =-24
Vậy phương trình hai cạnh này là:
4x-3y -7 = 0; 3x + 4y -24 = 0
3
:Cho A ABC có A(2, -3), B(3, - 2 ) và diện tích A ABC = —, trọng
2
tâm G của tam giác ABC ờ trên đường ( A ): 3x - y - 8 = 0. Viết phương
trình đường cao CH và trung tuyển CD cua tam giác.
ủrớriíỉ dẫn
iià ìi
ỉà i30

(x0,y0)= *C A = (2 -x 0,- 3 - y 0)
CB = (3 —X0 2 —y 0 )
SABC = -CA.CBsin(CA,CB)

2

=

L

\|(2 - XoX-2 - y0) + (3 + y0X3 - x*0)| =

1

_
'
ÍXo - y 0 =2
o -X + y0 + 5 = ±3 <=> <

xft-y„ =8

Gợi G là trọng tâm A ABC, ta có:

vì G €( A) => 3.2(5 + x0) - 2 ( - 5 + y0) - 8 = 0
3
3
3x0- y 0 = 4
TNHHGT-

Vậy toa đô c là nghiêm của:
°
■
3x
Giải hệ ta được: c ,(l,-l)v à C ,(-2 .-1 0 )
Đường AB có hệ số góc k - 1
+) Nếu Cj(l,—ĩ) thì đường cao CH có phương trình là: X + y = 0 và trur
tuyến CD có phưomg trình là: X + y = 0
+) Nếu C2(-2,-10) thì đường cao CH có phưorng trình là: X + y + 12 =
và truna tuyến CD có phưorng trình là: 5x - 3y - 20 = 0
2. Bài tân về các vấn đề liên quan vói đưịng thăng
Bài
31:Trong mặt phẳng tọa độ xOy cho hai điểm A(m,0), B (l,l).
a) Viết phưcmg trình đường thảng vng góc với AB tại A khi m thí
đổi, các đường thẳng tạo thành họ đường thẳng(dm) . Chứng minh khơr
có 3 đường nào của ( d m) dồng qui.
b) Tìm những điểm trên mặt phẳng tọa độ sao cho có đúng 1 đường CI
(d m)đi qua.
) thẳng hàng với AB và khoải
m + V2 m + v2
cách từ c đến OB bàng khoảng cách từ c đến Ox.
d)Tìm tọa dộ điểm D sao cho (ABCD) = -1.
Hương' dãn
SỉẩỀ
a) Ta có phương trình đường thăng AB là:
m -1

-1

<=> X

+ (m - l ) y

-

m=0

( dm) -L AB tại A nên phương trình (d in) là (1 -m) (x -m ) + l(y -0) = 0
O ( l- m ) x + y -m (l-m ) = 0
Gọi M( a.p ) là điểm mà ( dm) đi qua, ta có
(1 - m)a + p - m(l - m) = 0
o

n r - ( « + l)m + p = 0 (*)

Số nghiệm cùa phương trình (*) là số dường tháng cùa (d m)đi qua M
(*) là phương trình bậc 2 nên khơng the có 3 nghiệm do đó khơng có
đường nào cùa (dm) đồng qui
b) Đê chi có 1 đường của (d m)đi qua thì phương trình (*) chi có 1 nghiệ
<=> A = 0
26

-TNHHGi