Luận văn báo cáo Phối hợp rèn luyện kỹ năng giải toán phương trình với phát triển tư duy hàm cho học sinh thpt trong dạy học đại số và giải tích

1

MỞ ĐẦU
1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
1.1. Nâng cao chất lượng dạy học nói chung, chất lượng dạy học môn
Toán nói riêng đang là một yêu cầu cấp bách đối với ngành Giáo dục nước ta
hiện nay. Một trong những khâu then chốt để thực hiện yêu cầu này là đổi
mới nội dung và phương pháp dạy học. Định hướng đổi mới phương pháp dạy
học đã được chỉ rõ trong các văn bản có tính chất pháp quy của Nhà nước và
ngành Giáo dục nước ta. Có thể dẫn ra một vài văn bản đã được ban hành
trong những năm qua như sau:
- Luật Giáo dục (1998) quy định: “…Phương pháp giáo dục phổ thông
phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo cho học sinh; phù hợp
với đặc điểm từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn
luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn…”.
- Dự thảo chương trình (1989) môn Toán nêu rõ: “...Góp phần phát
triển năng lực trí tuệ, tư duy trừu tượng và trí tưởng tượng không gian, tư duy
biện chứng, tư duy hàm…; đồng thời rèn luyện các phẩm chất của tư duy linh
hoạt, độc lập, sáng tạo…”.
Tuy nhận thức rõ được tầm quan trọng và định hướng đổi mới phương
pháp đã được nêu ra ở trên nhưng thực tế dạy học hiện nay vẫn còn chịu ảnh
hưởng nhiều của quan niệm và phương pháp dạy học xưa cũ. Nhận định về
vấn đề này đã có không ít nhà nghiên cứu đưa ra những ý kiến, đặt ra nhiều
vấn đề cho ngành Giáo dục và mỗi giáo viên suy nghĩ, tháo gỡ. Sau đây là
một số ý kiến như vậy:
- Ý kiến của GS. Hoàng Tụy: "Ta còn chuộng cách dạy nhồi nhét,
luyện trí nhớ dạy mẹo vặt để giải những bài toán oái ăm, giả tạo; chẳng giúp
gì mấy để phát triển trí tuệ mà làm cho học sinh thêm xa rời thực tế, mỏi mệt và
chán chường".

2

- Ý kiến của GS. Nguyễn Cảnh Toàn: “Kiến thức, tư duy, tính cách con
người chính là mục tiêu của giáo dục. Thế nhưng, hiện nay trong nhà trường
tư duy và tính cách bị chìm đi trong kiến thức".
1.2. Kiến thức và kỹ năng là hai mặt gắn bó hữu cơ trong mỗi nội dung
dạy học. Không thể nói đến vấn đề rèn luyện kỹ năng thực hiện một loại hoạt
động nào đó nếu không chú ý trang bị kiến thức về lĩnh vực đó một cách vững
chắc. Ngược lại, việc rèn luyện kỹ năng thực hiện các hoạt động trong mỗi
lĩnh vực có tác dụng củng cố và mở rộng kiến thức, giúp cho người học tìm
thấy những tác dụng to lớn của kiến thức học được trong việc giải quyết các
tình huống trong thực tiễn và trong khoa học.
Chủ đề phương trình và bất phương trình có vị trí quan trọng trong
chương trình môn Toán THPT. Kiến thức và kỹ năng về chủ đề này có mặt
xuyên suốt từ đầu cấp đến cuối cấp. Những kiến thức về phương trình và bất
phương trình còn là chìa khoá để giải quyết nhiều vấn đề thuộc hầu hết các
chủ đề kiến thức về Đại số, Giải tích và Hình học, đặc biệt là Hình học giải
tích. Vì vậy bên cạnh việc giảng dạy các kiến thức lý thuyết về chủ đề phương
trình, bất phương trình một cách đầy đủ theo quy định của chương trình, việc
rèn luyện kỹ năng giải phương trình và bất phương trình cho học sinh có ý
nghĩa quan trọng trong việc nâng cao chất lượng dạy học nhiều nội dung môn
Toán ở trường THPT.
Kiến thức hàm số có vai trò quan trọng trong toàn bộ chương trình môn
Toán phổ thông. Điều này được khẳng định không chỉ ở nước ta mà còn được
đề cập đến trong nhiều ý kiến của các nhà khoa học nước ngoài. Ta có thể
thấy được điều này qua các ý kiến được trích từ [16] sau đây:
- Ý kiến của Kơlanh khi khởi xướng phong trào cải cách việc dạy học
Toán ở trường phổ thông đầu thế kỷ XX đã đề nghị: Đưa cái mới vào giáo trình
toán phổ thông, lấy tư tưởng hàm số và biến hình làm tư tưởng quan trọng nhất.Kiến nghị của Hội nghị Quốc tế về giáo dục quốc dân họp tại Giơnevơ (tháng 7

3

năm 1956) gửi các vị Bộ trưởng Giáo dục các nước nêu rõ: Nên xây dựng
chương trình sao cho việc dạy Toán dựa trên các cơ sở hàm số ...
- Ý kiến của GS. Papy tại Hội nghị Quốc tế các nhà toán học họp tại
Matxcơva (tháng 8 năm 1966) đề nghị: Chương trình toán Trung học (cấp II
và II) phải bao gồm: Tập hợp, Quan hệ, Đồ thị, Nhóm, Không gian vectơ, Các
yếu tố của phép tính vi phân và tích phân.
ở Việt Nam, chương trình môn Toán trong cải cách giáo dục và các
chương trình đổi mới trong những năm gần đây đều chú trọng đến kiến thức hàm
số. Trong [24], GS. Nguyễn Bá Kim đã cho rằng "Đảm bảo vị trí trung tâm của
khái niệm hàm số" là một trong "những tư tưởng cơ bản" của chương trình môn
Toán bậc THPT. Khi phân tích tư tưởng cơ bản này tác giả đã nhấn mạnh:
- Nghiên cứu hàm số được coi là nhiệm vụ xuyên suốt chương trình bậc
Phổ thông Trung học;
- Phần lớn chương trình Đại số và Giải tích dành cho việc trực tiếp
nghiên cứu hàm số và công cụ khảo sát hàm số;
- Cấp số cộng và cấp số nhân được nghiên cứu như những hàm số đối
số tự nhiên;
- Lượng giác chủ yếu nghiên cứu những hàm số lượng giác còn phần
công thức được giảm nhẹ;
Phương trình và bất phương trình được trình bày liên hệ chặt chẽ với
hàm số.
1.3. Gắn bó chặt chẽ với tư tưởng hàm số, tư tưởng biến hình, tư tưởng
về sự tương ứng đơn trị giữa các tập hợp, các sự vật và hiện tượng là vấn đề
tư duy hàm. Những đặc trưng về tư duy hàm được các tác giả Nguyễn Bá
Kim, Đinh Nho Chương, Nguyễn Mạnh Cảng, Vũ Dương Thuỵ, Nguyễn Văn
Thường chỉ ra trong [25]. Phát triển tư duy hàm có ý nghĩa quan trọng trong
dạy học toán, nó vừa là yêu cầu của việc dạy học môn Toán, vừa là điều kiện

để nâng cao chất lượng dạy học nhiều tuyến kiến thức môn Toán. Việc dạy
học các kiến thức môn Toán được trình bày theo tư tưởng hàm số có tác dụng


4

tốt trong việc phát triển tư duy hàm cho học sinh đồng thời có thể rèn luyện
nhiều kỹ năng giải toán và ứng dụng kiến thức toán cho học sinh trong sự kết
hợp phát triển tư duy hàm.
1.4. Có một số công trình nghiên cứu các biện pháp nâng cao chất
lượng dạy học nội dung Phương trình, bất phương trình. Nhiều công trình
nghiên cứu về phát triển tư duy hàm cho học sinh thông qua dạy học các chủ
đề kiến thức cụ thể. Dựa trên những kết quả nghiên cứu đó, chúng tôi tập
trung xét vấn đề rèn luyện kỹ năng giải toán phương trình cho học sinh trong
sự phối hợp hữu cơ với vấn đề phát triển tư duy hàm.
Vì vậy, chúng tôi chọn đề tài của luận văn là: “Phối hợp rèn luyện kỹ
năng giải toán phương trình với phát triển tư duy hàm cho học sinh
THPT trong dạy học Đại số và Giải tích ".
2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Xác định mối quan hệ tương hỗ giữa việc rèn luyện kỹ năng giải
phương trình, bất phương trình với việc phát triển tư duy hàm cho học sinh
trong dạy học Đại số và Giải tích nhằm góp phần nâng cao chất lượng dạy
học môn Toán ở trường THPT.
3. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
3.1. Hệ thống hoá các vấn đề lý luận về kỹ năng và quan điểm rèn
luyện kỹ năng toán học cho học sinh.
3.2. Hệ thống hoá các kỹ năng giải toán phương trình, bất phương trình
cần rèn luyện cho học sinh THPT.
3.3. Hệ thống hoá các thành tố của tư duy hàm và quan điểm phát triển
tư duy hàm cho học sinh trong dạy học toán.

3.4. Đề xuất quan điểm rèn luyện các kỹ năng giải toán phương trình,
bất phương trình trong sự phối hợp với việc phát triển tư duy hàm cho học
sinh THPT thông qua dạy học Đại số và Giải tích.
3.5. Thực nghiệm sư phạm, kiểm tra tính khả thi và hiệu quả áp dụng.
4. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC


5

Trên cơ sở dạy học đúng chương trình quy định, áp dụng các phương
pháp dạy học và sử dụng các phương tiện hiện có, nếu trong quá trình dạy học
giáo viên quan tâm phối hợp giữa việc rèn luyện kỹ năng giải toán với việc
phát triển tư duy hàm cho học sinh thì chất lượng dạy học môn Toán (thể hiện
qua khả năng giải toán phương trình, bất phương trình của học sinh) được cải
thiện.
5. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
5.1. Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu các vấn đề về Tâm lý học, Giáo
dục học, Lý luận dạy học, Toán học, Triết học, Thống kê trong giáo dục ... có
liên quan đến đề tài.
5.2. Nghiên cứu thực tiễn: Quan sát, Điều tra ...
5.3. Thực nghiệm sư phạm.
6. ĐÓNG GÓP CỦA LUẬN VĂN
6.1. Hệ thống hoá các vấn đề lý luận liên quan đến đề tài.
6.2. Đề xuất một số quan điểm phối hợp rèn luyện kỹ năng giải toán
phương trình với phát triển tư duy hàm.
7. CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN
Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục tài liệu tham khảo, luận văn
có 3 chương:
Chương 1: Một số vấn đề lý luận liên quan đến đề tài
1.1. Một số đổi mới về nội dung và phương pháp dạy học

1.1.1. Một số đổi mới về nội dung
1.1.2. Đổi mới về phương pháp dạy học
1.2. Kỹ năng và vấn đề rèn luyện kỹ năng toán học cho học sinh
1.2.1. Khái niệm kỹ năng
1.2.2. Vấn đề rèn luyện kỹ năng toán học cho học sinh
1.3. Tư duy hàm và vấn đề phát triển tư duy hàm cho học sinh
1.3.1. Tư duy hàm
1.3.2. Vấn đề phát triển tư duy hàm thông qua dạy học phương trình


6

1.4. Kết luận chương 1
Chương 2: Phối hợp rèn luyện kỹ năng giải toán phương trình với phát
triển tư duy hàm cho học sinh THPT
2.1. Phân tích nội dung chủ đề Phương trình trong môn Toán THPT
2.1.1. Về chủ đề phương trình, bất phương trình
2.1.2. Các kỹ năng cần rèn cho học sinh khi giải toán phương trình
2.2. Rèn kỹ năng giải toán phương trình dựa vào các tư tưởng chủ đạo của tư
duy hàm
2.2.1. Rèn kỹ năng vận dụng các dạng phương trình mẫu
2.2.2. Rèn kỹ năng biến đổi phương trình
2.2.3. Rèn kỹ năng giải phương trình thông qua đánh giá giá trị các
biểu thức thành phần
2.2.4. Rèn kỹ năng chuyển đổi ngôn ngữ, cách phát biểu bài toán
2.2.5. Rèn kỹ năng giải phương trình thông qua xét sự biến thiên của
hàm số
2.3. Phát triển tư duy hàm cho học sinh thông qua giải toán phương trình
2.3.1. Tìm miền xác định của tương ứng hàm thông qua giải toán
phương trình, bất phương trình

2.3.2. Tìm giá trị vào, giá trị ra của một tương ứng thông qua giải toán
phương trình
2.3.3. Xét tính chất của tương ứng hàm thông qua giải toán phương
trình, bất phương trình
2.3.4. Định hướng sử dụng phương trình, bất phương trình trong quá
trình lợi dụng tương ứng hàm để giải quyết vấn đề.
2.4. Kết luận chương 2
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm
3.1. Mục đích thực nghiệm
3.2. Tổ chức và nội dung thực nghiệm
3.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm


7

3.4. Kết luận chung về thực nghiệm

CHƯƠNG 1

MỘT SỐ VẤN ĐỀ LÝ LUẬN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỀ TÀI
1.1. MỘT SỐ ĐỔI MỚI VỀ NỘI DUNG VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC

1.1.1. Một số đổi mới về nội dung
Chương trình sách giáo khoa (SGK) mới hiện nay đã có những thay đổi
về nội dung và cách trình bày như:
- Đưa thêm vào một số nội dung Toán học cho hoàn chỉnh chương trình
THPT, như Số phức, Thống kê, Tổ hợp, Xác suất… Sắp xếp nội dung chương
trình theo hệ thống để dễ dạy, dễ học hơn như phần toạ độ trong mặt phẳng ở
chương trình lớp 12 được đưa vào cuối lớp 10 giảm nhẹ phần các đường cônic.
Đồng thời nhấn mạnh liên hệ giữa các phần khác nhau của chương trình Toán

ở các cấp, các lớp, giữa các môn học. Chẳng hạn đưa phần Đạo hàm xuống lớp
11 để giúp kịp thời cho dạy và học môn Vật lý ở đầu lớp 12.
- Cách viết SGK như từ trước đến nay còn mang tính hàn lâm: Thông
báo kiến thức, trình bày các vấn đề quá lôgíc chặt chẽ; đưa ra nhiều các bài
toán khó nên còn thiếu tính sư phạm. SGK chưa thể hiện được phương pháp
dạy học tích cực. Theo cách viết SGK và cách giảng dạy cũ, SGK chỉ đơn
thuần là một tài liệu khoa học dùng cho giáo viên, nội dung các tiết dạy
thường được viết cô đọng, đầu tiên là nêu định nghĩa của một khái niệm mới,
sau đó là các tính chất và chứng minh, rồi các định lý và chứng minh, cuối
cùng là các ví dụ và các bài toán. Theo định hướng đổi mới, SGK phải trình
bày và hướng dẫn như thế nào đó để cho nếu không có thầy giáo, học sinh
cũng có thể tự học được, cố nhiên là khó khăn và vất vả hơn.


8

SGK mới nêu nhiều câu hỏi, đề ra nhiều hoạt động tại lớp mà giáo viên
có thể thay đổi cho thích hợp để phát huy tính tích cực học tập của học sinh,
học sinh được suy nghĩ và hoạt động nhiều hơn. Nhiều câu hỏi đặt ra nhằm
giúp học sinh nhớ lại một kiến thức nào đó hoặc để gợi ý, hoặc để định hướng
cho những suy nghĩ của họ… Các câu hỏi này nói chung là dễ, vì thế không đưa
ra câu trả lời trong SGK.
SGK theo tinh thần mới tinh giảm những nội dung phức tạp, giảm bớt
những suy luận quá hình thức, quá trừu tượng, giảm nhẹ phần lý thuyết, chủ
yếu là giảm nhẹ các chứng minh của các tính chất hoặc định lý. Một số tính
chất quá hiển nhiên không nêu ra, các định lý chứng minh quá phức tạp thì chỉ
nêu những trường hợp cụ thể để kiểm chứng mà không cần phải chứng minh.
SGK theo tinh thần mới tăng cường những nội dung thực tiễn, thiết
thực, những điều gần gũi với cuộc sống của học sinh trong trường hợp có thể.
Chẳng hạn, trong phần véctơ, có thể đưa thêm những ứng dụng trong Vật lý:

Tổng hợp lực, phân tích lực…
Ngoài ra, SGK mới còn đưa thêm các phần như: Có thể em chưa biết,
em có biết, bài đọc thêm, để nói thêm những chi tiết hay, thú vị gây hứng thú
học tập cho học sinh.
SGK mới đã chỉ ra các hoạt động tại từng thời điểm để thầy, trò
xem xét và giải quyết. Những hoạt động này rất đa dạng, có thể là ôn lại
kiến thức cũ, đặt vấn đề cho kiến thức mới, qua các ví dụ cụ thể gợi ý
phương pháp giải quyết vấn đề hay bài toán đặt ra, thực hành áp dụng trực
tiếp các công thức nêu trong lý thuyết. Cách thức thực hiện các hoạt động
này cũng rất đa dạng: Có thể thầy làm hoặc cho học sinh thực hiện, hoặc
nêu thành vấn đề để cả lớp cùng thảo luận tìm cách giải quyết.
Tóm lại so với sách giáo khoa cũ thì sách giáo khoa lần này không phải
thay đổi nhiều về nội dung mà chủ yếu thay đổi cách trình bày để học sinh
học tập một cách tích cực hơn.
Những sự thay đổi trên của sách giáo khoa hiện nay đã tạo điều kiện
để học sinh học tập một cách tích cực hơn, từ đó giáo viên có thể phối hợp


9

rèn luyện kỹ năng với việc phát triển tư duy hàm cho học sinh qua dạy học
Toán nói chung và dạy học chủ đề phương trình nói riêng.
1.1.2. Đổi mới phương pháp dạy học
Thực tế dạy học Toán lâu nay cho thấy, chúng ta chỉ coi trọng đến mục
đích truyền thụ tri thức, thường thì giáo viên đưa ra các định lý, tính chất rồi
giải thích cho học sinh thông hiểu chứng minh, vận dụng định lý, tính chất.
Phương pháp dạy học được sử dụng phổ biến trong nhà trường là phương
pháp thuyết trình tràn lan, thầy truyền đạt kiến thức áp đặt, dưới dạng có sẵn,
ít yếu tố tìm tòi phát hiện, trò tiếp thu thụ động. Đa số giáo viên chỉ nghĩ đến
việc dạy đúng, dạy đủ, dạy nội dung gì chứ chưa nghĩ đến cách dạy như thế

nào? Phần lớn khi giảng dạy họ coi mọi đối tượng học sinh là như nhau nên
giảng cùng một nội dung, cùng một phương pháp và tự cho là hoàn thành
nhiệm vụ. Ngoài ra kiểu đánh giá và thi cử đã ảnh hưởng rõ rệt tới phương
pháp giảng dạy, đánh giá và thi cử như thế nào thì sẽ có lối dạy tương ứng đối
phó như thế ấy, dạy và học theo kiểu "Thi gì - học nấy".
Về thực trạng này, nhà toán học Nguyễn Cảnh Toàn đã nhận định:
“Cách dạy phổ biến hiện nay là thầy đưa ra kiến thức (khái niệm, định lý) rồi
giải thích, chứng minh, trò cố gắng tiếp thu nội dung khái niệm, nội dung định
lý, hiểu chứng minh định lý, cố gắng tập vận dụng các công thức định lý để
tính toán, chứng minh…”.
GS. Hoàng Tụy phát biểu: “Ta còn chuộng cách dạy nhồi nhét, luyện trí
nhớ, dạy mẹo vặt để giải các bài toán oái oăm, giả tạo, chẳng giúp gì mấy đến
việc phát triển trí tuệ mà làm cho học sinh thêm xa rời thực tế, mệt mỏi và
chán nản …".
Tóm lại, với kiểu dạy học như vậy tạo thói quen "Thầy giảng - Trò ghi",
thầy truyền thụ kiến thức còn trò thụ động tiếp thu kiến thức, điều thầy nói
được coi là tuyệt đối đúng, những gì thầy giảng thường không có sự tranh
luận giữa thầy và trò, không có sự phản hồi, thông tin ngược từ phía học sinh
trong bài giảng. Kiểu giảng dạy "một chiều" như vậy làm giảm hiệu suất tiếp


10

thu kiến thức cũng như hoạt động tự giác, tích cực, sáng tạo của học sinh;
không kiểm soát được việc học. Do đó việc đổi mới phương pháp dạy học
được xác định là một trong những nội dung chủ yếu trong đổi mới giáo dục ở
nước ta hiện nay.
Quan điểm đổi mới phương pháp dạy học bao gồm sự đổi mới trên các
phương diện: cách dạy, cách học, cách tổ chức và cách kiểm tra đánh giá. Cốt
lõi của đổi mới dạy và học là hướng tới hoạt động học tập tích cực, chủ động,

chống lại thói quen học tập thụ động. Chuyển từ dạy học lấy giáo viên làm
trung tâm sang dạy học lấy học sinh làm trung tâm, làm cho học sinh suy nghĩ
nhiều hơn, hoạt động nhiều hơn trong một tiết học. Thay vì lối dạy truyền
thống truyền thụ một chiều, thuyết trình, giảng giải các kiến thức sẵn có, giáo
viên cần phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo, tự học, kỹ năng
vận dụng vào thực tiễn, phù hợp với đặc điểm từng học sinh; tác động đến
tình cảm, đem lại niềm vui, tạo được sự hứng thú học tập cho học sinh, tận
dụng được công nghệ mới nhất áp dụng trong dạy và học.
Dạy học theo quan điểm mới giáo viên không chỉ đơn giản cung cấp
kiến thức mà còn phải thiết kế, tổ chức, hướng dẫn học sinh hoạt động để học
sinh tích cực tham gia vào các hoạt động học tập do giáo viên tổ chức và chỉ
đạo. Từ đó tự lực khám phá kiến thức mình chưa biết chứ không phải tiếp thu
thụ động những kiến thức sẵn có. Giáo viên cần cài đặt những tình huống
thực tế để học sinh trực tiếp quan sát, làm thí nghiệm, thảo luận, giải quyết
theo cách riêng của bản thân, từ đó học sinh lĩnh hội được kiến thức mới.
Như vậy, chức năng và vai trò của giáo dục ngày nay đã được "chuyển
sang vai trò nhà tổ chức giáo dục", phương pháp dạy học mới đã chú trọng
đến việc phát huy tối đa tính tích cực, độc lập của học sinh, đề cao phương
pháp tự học, "chuyển quá trình giáo dục sang quá trình tự giáo dục". Xóa bỏ
cách học cũ không kích thích được học sinh suy nghĩ, tìm tòi, rèn luyện trí
thông minh, chuyển đổi chức năng từ thông báo, tái hiện sang tìm tòi. "Để
phát huy tối đa tính tích cực học tập của học sinh, tốt nhất là tổ chức tốt


11

những tình huống có vấn đề, đòi hỏi dự đoán, nêu giả thuyết, tranh luận giữa
những ý kiến trái ngược" (Tài liệu Bồi dưỡng giáo viên 2006).
Đổi mới phương pháp dạy học không chỉ đổi mới cách dạy, cách học,
cách tổ chức hoạt động mà còn đổi mới cả cách kiểm tra đánh giá. Nội dung

kiểm tra, đánh giá phải toàn diện, bao gồm cả kiến thức, kỹ năng và phương
pháp có trong chương trình học, khắc phục tình trạng "học tủ" đối phó với thi
cử, ra đề kiểm tra nặng về tính toán, mẹo vặt như trước đây.
Việc đổi mới phương pháp dạy học dựa trên những thành tựu của Tâm
lý học hiện đại, Lý luận dạy học cho rằng, nhân cách của học sinh được hình
thành và phát triển thông qua các hoạt động chủ động, có ý thức. Do đó để đạt
được mục đích dạy học thì cần phải đặt học sinh vào vị trí của chủ thể hoạt
động trong quá trình dạy học, thông qua hoạt động tích cực của bản thân mà
nắm được kiến thức mới, kỹ năng mới đồng thời nắm được phương pháp "làm
ra" những kiến thức, kỹ năng đó, không theo những khuôn mẫu có sẵn, bộc lộ
và phát huy tiềm năng sáng tạo. Qua hoạt động học sinh không những chiếm
lĩnh được kiến thức mới mà còn hình thành và phát triển năng lực.
Tuy nhiên, cần phải nói thêm rằng đổi mới phương pháp dạy học không có
nghĩa là gạt bỏ, phủ nhận hoàn toàn các phương pháp truyền thống mà cần
kế thừa, phát triển các mặt tích cực của hệ thống phương pháp dạy học
quen thuộc, đồng thời cần học hỏi, vận dụng một số phương pháp mới,
theo quan điểm đổi mới phù hợp với điều kiện dạy và học ở từng vùng,
từng miền ở nước ta.
1.2. KỸ NĂNG VÀ VẤN ĐỀ RÈN LUYỆN KỸ NĂNG TOÁN
HỌC CHO HỌC SINH
1.2.1. Khái niệm kỹ năng
Theo Tâm lý học lứa tuổi và Tâm lý học sư phạm thì: “Kỹ năng là khả
năng vận dụng kiến thức (khái niệm, cách thức, phương pháp…) để giải quyết
một nhiệm vụ mới” [19, tr.131].
Còn Tâm lý học đại cương cho rằng: “Kỹ năng là năng lực sử dụng các
dữ liệu, các tri thức hay khái niệm đã có, năng lực vận dụng chúng để phát


12

hiện những thuộc tính bản chất của sự vật và giải quyết thành công những
nhiệm vụ lý luận hay thực hành xác định”[31, tr.149].
Theo từ điển Tiếng Việt khẳng định: "Kỹ năng là khả năng vận dụng những
kiến thức thu nhận được trong một lĩnh vực nào đó vào thực tế"[44, tr. 426].
Tóm lại, kỹ năng là khả năng vận dụng kiến thức vào giải quyết nhiệm
vụ mới. Trong thực tế dạy học, học sinh thường gặp khó khăn khi vận dụng
kiến thức (khái niệm, cách thức, phương pháp...) vào giải quyết các bài tập cụ
thể. Học sinh thường khó tách ra những chi tiết thứ yếu, không bản chất ra
khỏi đối tượng nhận thức, không phát hiện những thuộc tính, mối quan hệ vốn
có giữa kiến thức và đối tượng. Sở dĩ như vậy là do kiến thức không chắc
chắn, khái niệm trở nên chết cứng, không gắn liền cơ sở của kỹ năng.
Một sự vật có thể có nhiều thuộc tính bản chất khác nhau, những thuộc
tính bản chất về các mặt phù hợp với những hoạt động, mục đích nhất định.
Do đó cần lựa chọn những thuộc tính phù hợp với mục tiêu đặt ra trước hành
động, để hành động biến đổi đối tượng đạt mục tiêu (tất nhiên mục tiêu đặt ra
thu được thông tin mới). Sự dễ dàng hay khó khăn khi vận dụng kiến thức
(hình thành kỹ năng) tùy thuộc vào khả năng nhận dạng kiểu bài toán, phát
hiện, nhìn thấy trong các dữ liệu đã cho của bài toán, có những thuộc tính và
những quan hệ là bản chất để thực hiện giải bài toán đã cho.
Theo các nhà Tâm lý học sự hình thành kỹ năng chịu ảnh hưởng của
các yếu tố sau:
Nội dung của bài toán đặt ra, được tách ra một cách rõ ràng hay che đậy
quan hệ bản chất của bài toán bởi các dữ liệu xuất phát, làm lệch hướng tư duy.
Ví dụ 1: Giải phương trình:
1
1
9
3
1
+ cos4 x − cos2 x +

+ cos 4 x − cos2 x =
16
2
16
2
2
Mới nhìn dễ gây cho học sinh tâm lý hoảng sợ vì nghĩ là phương trình
vô tỉ lượng giác nhưng chịu khó suy nghĩ, xem xét các biểu thức dưới dấu
căn, xét thấy các biểu thức dưới căn là các bình phương đúng:


13

2

1
1
1

+ cos4 x − cos2 x =  cosx − ÷
16
2
4


2

9
3
3


+ cos4 x − cos2 x =  cosx − ÷
16
2
4


Như vậy, tính chất vô tỉ trong bài toán chỉ là cái áo ngụy trang, bởi vì
2
A = A 2 , phương trình đã cho có dạng: cos x −

1
3 1
+ cos2 x + = . Việc
4
4 2

lột bỏ hình thức bề ngoài của bài toán, phát hiện ra mối quan hệ bản chất ẩn
chứa trong bài toán, giúp học sinh xác định đúng bản chất của bài toán.
Để phát hiện ra mối quan hệ bản chất chứa trong bài toán, học sinh chỉ
nhìn thấy, phân tích những yếu tố riêng biệt của bài toán mà cần thâu tóm
toàn bộ những yếu tố có mặt trong bài toán.
Ví dụ 2: Giải phương trình:

(

26 + 15 3

)

x

(

+2 7+4 3

)

x

(

−2 2−2 3

)

x

=1

Cần phải quan sát, phân tích tất cả các số hạng có mặt trong phương trình,
từ đó mới phát hiện được mối quan hệ bản chất có mặt trong bài toán đó là:

( 7 + 4 3) = ( 2 + 3)
( 26 + 15 3 ) = ( 2 + 3 )
( 2 − 3) = 1
( 2 + 3)
x

2x

x

3x

x

x

Khả năng khái quát, mở rộng ảnh hưởng không nhỏ đến việc hình
thành kỹ năng. Tâm lý và thói quen tâm lý cũng là một yếu tố ảnh hưởng đến
sự hình thành kỹ năng. Khi học sinh hăng say, hứng thú trong học tập sẽ giúp
họ dễ dàng hình thành kỹ năng, còn ngược lại sẽ cản trở việc học tập. Thói
quen tâm lý là một trở ngại thường gặp trong học tập. Nguyên nhân chủ yếu
hình thành thói quen tâm lý đó là tư duy của con người có tính phương


14

hướng. Một loại kiến thức hoặc phương pháp cũ nào đó dùng nhiều lần, ấn
tượng sâu làm cho học sinh không bứt ra khỏi sự ràng buộc của thói quen tư
duy cũ để mở ra một hướng suy nghĩ mới.
Ngoài ra, một nguyên nhân nữa hình thành thói quen tâm lý đó là nhận
thức chỉ dừng lại ở bề mặt, không quan sát phân tích đặc điểm của từng bài
toán cụ thể.
2 ( 2x − 1) − x +
2

Ví dụ 3: Giải phương trình:

1
=0
2

Nếu chỉ quan sát trên bề mặt thông thường học sinh sẽ chỉ nghĩ đến
việc khai triển rồi đơn giản đưa ra phương trình bậc hai:

(

)

4 2x 2 − 4 2 + 1 x + 2 +

1
= 0 và tìm nghiệm theo công thức quen
2

thuộc rất cồng kềnh, phức tạp:

x12 =

(

) (

4 2 +1 ±

)

2

1

4 2 + 1 − 4.4 2  2 + ÷
...
2

=
2.4 2

Tuy nhiên, nếu chú ý quan sát, phân tích đặc điểm bài toán thấy giữa
các hệ số hình thành tỉ lệ, thực hiện biến đổi đơn giản các hệ số đưa phương
trình về dạng: a ( x + b ) ( x + c ) = 0 :
2 ( 2x − 1) −
2

1
( 2x − 1) = 0
2

 2x − 1 = 0
1

⇔ ( 2x − 1)  2 ( 2x − 1) −  = 0 ⇔ 
 2 ( 2x − 1) − 1 = 0
2


2
Như vậy, thói quen tâm lý là một thứ tiêu cực, làm cho tư duy trở nên
cứng nhắc, bảo thủ và cản trở quá trình học tập của học sinh.

1.2.2. Vấn đề rèn luyện kỹ năng toán học cho học sinh
Trong các mục đích riêng của môn Toán ở trường phổ thông thì việc
truyền thụ kiến thức, rèn luyện kỹ năng là cơ sở vì các mục đích khác muốn


15

thực hiện được phải dựa trên mục đích này. Và kiến thức về một mặt nào đó
sẽ không được củng cố, mở rộng, vận dụng vào thực tiễn cũng như vào các
ngành khoa học khác, nếu không chú trọng việc rèn luyện kỹ năng thực hiện
các hoạt động tương ứng.
Việc rèn luyện kỹ năng hoạt động nói chung, kỹ năng toán học nói
riêng là một yêu cầu quan trọng, đảm bảo mối liên hệ giữa học với hành, điều
này đã được nhiều tác giả đề cập như:
“ Suy nghĩ tức là hành động” ( J. Piaget)
“ Cách tốt nhất để tìm hiểu là làm” ( Kant)
“ Học để hành, học và hành phải đi đôi” ( Hồ Chí Minh)
Dạy học sẽ không đạt kết quả nếu học sinh chỉ biết học thuộc lòng khái
niệm, định nghĩa, định lý mà không biết vận dụng hay vận dụng không thành
thạo vào việc giải bài tập.
Dạy toán là dạy kiến thức, kỹ năng tư duy và tính cách cho học sinh
( Nguyễn Cảnh Toàn). Việc hình thành và rèn luyện kỹ năng giải toán cho học
sinh là một trong những yêu cầu cơ bản và cần thiết của hoạt động dạy toán,
giúp học sinh hiểu sâu sắc kiến thức toán trong trường phổ thông, đồng thời
rèn luyện cho học sinh các thao tác tư duy, các hoạt động trí tuệ. Từ đó, bồi
dưỡng các phẩm chất trí tuệ, phát triển năng lực giải toán cho học sinh.
Sự hình thành kỹ năng đó là sự nắm vững một hệ thống phức tạp các
thao tác nhằm làm biến đổi và sáng tỏ những thông tin chứa đựng trong bài
tập, trong nhiệm vụ và đối chiếu chúng với những hành động cụ thể.
Có thể dạy cho học sinh kỹ năng bằng những con đường khác nhau

như:
Con đường thứ nhất: Sau khi cung cấp, truyền thụ cho học sinh vốn tri
thức cần thiết thì yêu cầu học sinh vận dụng tri thức đó để giải các bài toán
liên quan theo mức độ tăng dần.
Con đường thứ hai: Dạy những dấu hiệu đặc trưng, từ đó có thể định
hướng một số dạng bài toán và các thao tác cần thiết để giải dạng toán đó.


16

Con đường thứ ba: Dạy học sinh các hoạt động tâm lý cần thiết đối với
việc vận dụng tri thức.
Việc hình thành và rèn luyện cho học sinh cần được tiến hành trên các
bình diện khác nhau.
- Kỹ năng vận dụng tri thức trong nội bộ toán, thể hiện rõ dưới dạng
giải bài tập toán.
- Kỹ năng vận dụng tri thức toán học vào những môn học khác như vật lý,
hoá học.
- Kỹ năng vận dụng vào đời sống.
Có thể nói, bài tập toán chính là ''mảnh đất'' để rèn luyện kỹ năng toán.
Do đó, để rèn luyện kỹ năng toán cho học sinh, giáo viên cần tăng cường hoạt
động giải toán (đây cũng chính là hoạt động chủ yếu khi dạy toán). Cụ thể
hơn thông qua hoạt động giải toán, rèn luyện kỹ năng toán cho học sinh cần
quan tâm chú trọng những vấn đề sau:
* Cần hướng cho học sinh biết cách tìm tòi để nhận xét ra yếu tố đã
cho, yếu tố phải tìm và mối quan hệ giữa chúng. Nói cách khác, hướng cho
học sinh biết cách phân tích đặc điểm bài toán.
Ví dụ 1: Giải bất phương trình

(

) (

x +1 +

) (

2x − 3 +

)

50 − 3x ≤ 12

(1)

Nếu giải bài toán này theo phương pháp thông thường, tức dùng biến
đổi tương đương, thì sẽ tương đối phức tạp.
Ta nhận thấy, tổng các bình phương các căn thức ở vế trái là một số
không đổi:

(

x +1

) (
2

+

2x − 3

) (
2

+

50 − 3x

)

2

= 48

Và vế trái của (1) có dạng a1b1 + a2b2 + a3b3 trong bất đẳng thức
Bunhiakốpxki.


17

Từ đó, ta nghĩ đến sử dụng bất đẳng thức Bunhiakốpxki để giải quyết
bài toán: Nếu ta xem a1 = 1 + x; a 2 = 2x − 3; a 3 = 50 − 3x; b1 = b 2 = b 3 = 1
thì ta có:

( 1.

) ( 1 + 1 + 1 ) 48

1 + x + 1. 2x − 3 + 1. 50 − 3x ≤

2

2

2

⇔ 1 + x + 2x − 3 + 50 − 3x ≤ 12
Tức là (1) luôn đúng.
Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho chính là điều kiện cho các căn
3
50
thức có nghĩa: ≤ x ≤
2
3
* Hướng cho học sinh hình thành mô hình khái quát để giải quyết các
bài tập, các đối tượng cùng loại.
* Xác lập được mối liên quan giữa bài tập mô hình khái quát và các
kiến thức tương ứng.
Ngoài ra, còn tạo nhu cầu hướng thú cho học sinh, khắc phục ảnh hưởng tiêu
cực của thói quen tâm lý bằng cách rèn luyện ba mặt sau:
+ Nhìn bài toán dưới nhiều khía cạch khác nhau, từ đó so sánh
các cách giải với nhau để hiểu sâu sắc, vận dụng hợp lý kiến thức.
+ Quan sát tỉ mỉ và chú ý tìm ra đặc điểm của bài toán
Ví dụ 2: Giải bất phương trình

(

) (

x +1 +

) (

)

2x − 3 +

Nếu để ý mối liên hệ:

(

x +1

50 − 3x ≤ 12

) (
2

+

2x − 3

) (
2

+

50 − 3x

)

2

= 48 là một

hằng số; làm ta liên hệ tới tích vô hướng. Có thể xem vế trái là tích của hai
véc tơ còn vế phải là tích các độ dài của chúng. Với hướng suy nghĩ này, lời
giải bài toán khá độc đáo.

 x ≥ −1

3
3
50

⇔ ≤x≤
Điều kiện để bất phương trình có nghĩa là: x ≥
2
2
3

50

x
≤

3
Đặt:

18
r
u x + 1, 2x − 3, 50 − 3x
r
v ( 1, 1, 1)
rr
u.v = x + 1 + 2x − 3 + 50 − 3x
r
u = ( x + 1) + ( 2x − 3 ) + ( 50 − 3x ) = 48
r
v = 3
r r
u . v = 12

(

)

Từ góc độ hình học để hiểu bất phương trình thì vấn đề trở nên rõ ràng.
rr r r
u.v
≤ u . v . Đây là một bất đẳng thức đúng
Bài toán chuyển về chứng minh
với tích vô hướng của hai véc tơ. Vậy nghiệm của bất phương trình là những
giá trị của x mà bất phương trình có nghĩa tức là:

3
50
≤x≤ .
2

3

Như vậy, các cách giải hay, độc đáo đều gắn liền với đặc điểm của từng
bài. Do đó cần phải quan sát kỹ và chú ý đầy đủ mới có thể nhìn ra đặc điểm
ẩn sâu trong bài toán.
+ Tích cực suy nghĩ, tìm tòi cách giải ngắn gọn trong khi giải toán. Học
sinh không chỉ gặp những bài toán đơn giản, tuân theo phương pháp và các
bước làm rõ ràng mà còn gặp khá nhiều bài phức tạp, không có phương pháp
sẵn. Đòi hỏi phải suy nghĩ tìm cách giải ngắn gọn, chặt chẽ độc đáo.
Ví dụ 3: Giải phương trình:
(x2 – 5x + 3)(2x2 + 5x – 1) = (x2 + 5x + 3)(2x2 – 5x -1)
Khi gặp bài toán này, thông thường học sinh nhân các số hạng với
nhau, sau đó đơn giản rồi giải, như vậy sẽ rất phiền phức. Chăm suy nghĩ, chú
ý đến đặc điểm phương trình, các hệ số có mặt ở hai vế phương trình, nghĩ tới
cách học cấp phương trình,dùng phương pháp xác định hệ số để giải.
Đặt a = x2 - 5x + 3; b = 2x2 + 5x -1.
Phương trình trở thành: ab = ( a + 10x)(b – 10x)
Rút gọn được: - 100x2 + 10x(b – a) = 0


19

x = 2
2
Suy ra : x = 0; b – a = 10x ⇒ x − 4 = 0 ⇔ 
 x = −2
Hoặc cũng có thể đặt a = x2 + 3; b = 2x2 – 1.
Không dừng lại ở cách giải này, tiếp tục suy nghĩ, xem xét phân tíchđặc
điểm phương trình. Phương trình cho ở dạng tích nên có thể biến đổi thành
dạng tỉ lệ:

x 2 − 5x + 3 2x 2 − 5x − 1
=
x 2 + 5x + 3 2x 2 + 5x − 1

(2)

Vậy có thể dùng tính chất tỉ lệ thức để giải phương trình này được
không? Với hướng suy nghĩ này, ta có lời giải bài toán khá độc đáo:
Áp dụng tính chất tỉ lệ thức:
2
2
2
2
a+b c+d
b c
2x
+
6
4x
−
2
x
+
3
2x
−1
=
⇔
=
 a = d ⇒ b − a = c − d ÷ được



10x
−10x
x
x

Giải được: x = 0; x = 2; x = −2
Tóm lại, song song với việc truyền thụ tri thức toán học thì việc rèn
luyện kỹ năng đóng một vai trò hết sức quan trọng, góp phần bồi dưỡng tư
duy toán học cho học sinh.
1.3. TƯ DUY HÀM VÀ VẤN ĐỀ PHÁT TRIỂN TƯ DUY HÀM
CHO HỌC SINH
1.3.1. Tư duy hàm
Trước hết hãy bàn về thuật ngữ tư duy hàm, tư duy hàm tất nhiên
không phải là thuật ngữ toán học, tư duy là một khái niệm Tâm lý còn hàm là
một khái niệm toán học, hàm ở đây không có nghĩa là hàm số mà còn có thể
là một sự tương ứng giữa các phần tử của hai tập hợp nào đó.
Cho đến nay vẫn chưa có một định nghĩa thống nhất, chính thức về tư
duy hàm. Theo Koliagin định nghĩa tư duy hàm như sau: Tư duy hàm là một
loại hình tư duy đặc trưng bởi việc nhận thức được tiến trình những sự tương
ứng riêng và chung giữa các đối tượng toán học hay giữa các tính chất của
chúng (kể cả kỹ năng vận dụng chúng) [30].


20

Còn Trần Thúc Trình và Phạm Đức Quang cho rằng: Tư duy hàm là
các hoạt động trí tuệ liên quan đến sự tương ứng giữa các phần tử của một,
hai hay nhiều tập hợp, phản ánh mối liên hệ phụ thuộc lẫn nhau giữa các phần

tử của tập hợp đó, trong sự vận động của chúng.
Nguyễn Bá Kim thì thay vì đưa ra định nghĩa tư duy hàm, đã đưa ra các
hoạt động đặc trưng cho nó, ông quan niệm tư duy hàm đặc trưng bởi các hoạt
động phát hiện, thiết lập, nghiên cứu và lợi dụng các sự tương ứng.
Như vậy, tư duy hàm là hoạt động trí tuệ liên quan đến sự nghiên cứu
những quy luật của sự vật, trong sự biến đổi sinh động của chúng, trong sự
phụ thuộc lẫn nhau của chúng.
Với cách hiểu này, tư duy hàm không chỉ cần đối với nhà khoa học mà
nó cũng rất cần thiết đối với người lao động, nó là yếu tố quan trọng trong văn
hoá Toán học giúp người lao động tìm ra quy luật trong tự nhiên, xã hội và tư
duy. Chẳng hạn như sản phẩm của tư duy hàm thể hiện qua câu ca dao
“Chuồn chuồn bay thấp thì mưa, bay cao thì nắng, bay vừa thì râm” thể hiện
sự tương ứng giữa độ cao và thời tiết.
1.3.2. Vấn đề phát triển tư duy hàm cho học sinh thông qua dạy
học phương trình
Trong dạy học toán học ở trường việc phát triển tư duy hàm cho học
sinh không có nghĩa là thầy lên lớp một bài giảng về tư duy hàm. Nhiệm vụ tư
duy hàm không tồn tại độc lập so với nhiệm vụ truyền thụ kiến thức. Muốn
phát triển tư duy hàm thầy giáo phải thông qua kiến thức đã quy định, trong
và trên cơ sở đó tìm ra giải pháp phát triển tư duy hàm cho học sinh, phát
triển tư duy hàm là mục đích kép.
Thực tiễn giáo dục tư duy hàm cho học sinh phổ thông gặp nhiều khó
khăn như : Trình độ học sinh còn hạn chế, không đồng đều, khối lượng kiến
thức nhiều trong khi số tiết dành cho bộ môn Toán lại không nhiều. Những tri
thức về hoạt động tư duy hàm không được qui định rõ ràng trong chương
trình nên không được giảng dạy một cách tường minh. Mặt khác, hầu hết giáo
viên phổ thông nắm về tư duy hàm chưa đầy đủ và cũng chưa thấy được tầm


21

quan trọng của nó trong dạy học. Trong dạy học việc xem xét các đối tượng
toán học một cách cô lập, trong trạng thái tĩnh tại, rời rạc. Chưa thấy hết
những mối liên hệ phụ thuộc hoặc mối quan hệ nhân quả làm cho học sinh
lúng túng trong việc giải quyết các bài toán. Bên cạnh đó, các tài liệu viết về
vấn đề này nói chung còn hạn chế, khó tiếp cận, gây cho giáo viên và học sinh
không ít khó khăn.
Qua phiếu thăm dò, trao đổi với các giáo viên có kinh nghiệm, dạy một
số tiết để thăm dò rút ra những khó khăn của giáo viên, học sinh khi tiếp cận
các bài toán phương trình, bất phương trình và hệ phương trình do thiếu giáo
dục các thành tố tư duy hàm:
- Xác lập sự tương ứng;
- Nhìn nhận sự vật trong trạng thái vận động và biến đổi;
- Đặt sự vật này trong mối liên hệ sự vật kia theo các quan hệ nhân quả,
phụ thuộc.
Các khó khăn chủ yếu là:
1. Học sinh không biết cách phân chia các trường hợp riêng khi đứng
trước một bài toán cụ thể;
2. Xuất phát từ cơ sở nào để phân chia các trường hợp riêng thích hợp
cho việc giải quyết bài toán;
3. Học sinh không biết nhìn nhận các bài toán phương trình, bất
phương trình, hệ phương trình trong mối liên hệ với các bài toán hàm số...
Những khó khăn này gây nên do: Khi dạy học phương trình, bất phương trình,
hệ phương trình thầy giáo thiếu quan tâm đến các hoạt động sau:
- Lập sự tương ứng giữa các đối tượng, quan hệ... trong Toán học;
- Hoạt động ăn khớp với những tri thức phương pháp về tư duy hàm;
- Hoạt động gợi động cơ.
Một số vấn đề cần lưu ý khi dạy học giải phương trình:
Cần hình thành cho học sinh thói quen luôn ý thức về diễn biến của tập
nghiệm khi biến đổi phương trình. Sau khi biến đổi phương trình thì tập

22

nghiệm của phương trình ban đầu và tập nghiệm của phương trình thu được
có quan hệ với nhau như thế nào? Có những khả năng nào xảy ra?
Có thể phân chia không triệt để các khả năng loại trừ lẫn nhau thì có các khả
năng sau:
Khả năng 1: Hai tập nghiệm trùng nhau
Khả năng 2: Tập nghiệm của phương trình trước là tập con của tập
nghiệm của phương trình sau
Khả năng 3: Tập nghiệm của phương trình sau là tập con của tập
nghiệm của phương trình trước
Khả năng 4: Giao của hai tập nghiệm khác rỗng, nhưng không tập
nghiệm nào là bộ phận của tập nghiệm kia.
Có thể dùng biểu đồ Ven để minh họa cho điều này. Căn cứ vào đâu để
nhận biết sự thay đổi của các tập hợp nghiệm?
Thứ nhất là căn cứ vào các phép biến đổi một phương trình về một
phương trình đơn giản đã biết cách giải
Loại 1: Phép biến đổi không làm tập xác định của phương trình thay đổi
Với phép biến đổi này phương trình mới nhận được tương đương với
phương trình đã cho. Khi đó ta kết luận: Tất cả các nghiệm của phương trình
mới thu được là tất cả các nghiệm của phương trình đã cho. Mặc dù vậy, ta
vẫn hình thành cho học sinh ý thức và thói quen thử lại nghiệm khi giải
phương trình (dù trong trường hợp này không đòi hỏi về mặt lý luận mà chỉ
có tác dụng kiểm tra kết qủa), góp phần giáo dục cho học sinh tính cẩn thận,
thói quen tự kiểm tra kết quả công việc, một trong những đức tính cần thiết
của người lao động trong thời đại mới.
Ví dụ 1: Phương trình:

log 2 (x 2 + 5) = log 2 (2x 2 + 1)

⇔ x 2 + 5 = 2x 2 + 1
x = 2
⇔ x2 = 4 ⇔ 
 x = −2
Loại 2: Phép biến đổi làm mở rộng tập xác định của phương trình


23

Với phép biến đổi này phương trình mới nhận được thường là hệ quả
của phương trình đã cho. Khi đó, tất cả các nghiệm của phương trình đã cho
đều là nghiệm của phương trình mới nhận được, như vậy phép biến đổi
phương trình không làm mất nghiệm, tập nghiệm của phương trình đã cho là
tập con của tập nghiệm của phương trình thu được, nghiệm ngoại lai nếu xuất
hiện sẽ rơi vào phần mở rộng của tập xác định.
Ví dụ 2: Phương trình:

x − 5 = x −1

⇒ x − 5 = x 2 − 2x = 1
⇔ x 2 − 3x − 4 = 0
⇔ x 2 − 3x − 4 = 0
 x = −1
⇔
(x = -1 là nghiệm ngoại lai, sau phép
x = 4
thử phải loại bỏ "nghiệm này").
Khi giải phương trình sử dụng phép biến đổi làm mở rộng tập xác định

ta cần nhấn mạnh sự cần thiết của phép thử khử nghiệm ngoại lai, điều này
không chỉ có mục đích kiểm tra tính toán, rèn luyện tính cẩn thận, chu đáo khi
làm bài mà còn có tính chặt chẽ về mặt lý luận.
Loại 3: Phép biến đổi làm thu hẹp tập xác định của phương trình
Với phép biến đổi này, có thể dẫn tới hiện tượng mất nghiệm của
phương trình đầu, phương trình đầu là hệ quả của phương trình cuối cùng thu
được. Khi đó, tập nghiệm của phương trình thu được là tập con của phương
trình đầu, phép biến đổi phương trình không làm rộng tập nghiệm, nghiệm bị
mất ( nếu có ) rơi vào phần thu hẹp của tập xác định.
Trong trường hợp này, cần phải thử các giá trị bị mất do thu hẹp tập
xác định vào phương trình đã cho để khắc phục hiện tượng thiếu nghiệm. Tuy
nhiên, không có quy tắc tổng quát cho mọi trường hợp mà tuỳ từng bài toán
cụ thể mà ta có cách tìm lại nghiệm đã bị mất.
Ví dụ 3: Giải phương trình:


24

2sin x − cos x = 1
Đặt t = tg

(1)

x
(x ≠ π + kπ)
2

Khi đó (1) trở thành:

1

1
2.2t 1 − t 2
−
= 1 ⇒ t = ⇒ x = 2arctg( ) + 2kπ
2
2
2
2
1+ t 1+ t

Do thu hẹp tập xác định từ ¡ thành ¡ \ { π + kπ} ; do đó nếu không
thử: x = π + kπ vào (1), ta sẽ gặp hiện tượng mất nghiệm x = π + kπ . Thật
vậy: thay x = π + kπ vào (1) ta được 2sin( π + kπ) − cos( π + kπ) = 1 ⇒ 1 = 1
(luôn đúng).
Ví dụ 4: Giải phương trình: x 2 − 9 = 3x + 9

(2)

⇔ (x − 3)(x + 3) = 3(x + 3)
⇒ x − 3 = 3 hay x = 6
Do thu hẹp tập xác định từ R thành ¡ \ { 3} nên ta cần thử x = 3 vào (2)
để tránh mất nghiệm.
Như vậy, nếu dùng phép biến đổi đồng nhất làm cho tập xác định của
phương trình bớt đi một số hữu hạn giá trị hay một số hữu hạn họ giá trị thì
cần phải thử các giá trị đó (họ các giá trị đó) vào phương trình ban đầu tránh
làm mất nghiệm.
Lưu ý: Nếu các giá trị của ẩn số rơi vào trong phần thu hẹp không là
nghiệm của phương trình đã cho, thì tập nghiệm của phương trình ban đầu
trùng với tập nghiệm của phương trình thu được. Khi đó, ta nói hai phương
trình này tương đương với nhau.

Ví dụ 5: Giải phương trình: sin x + cos x = 1

(3)

x
2t
1 − t2
Đặt t = tg (x ≠ π + kπ) ta được:
+
= 1 ⇔ t(t − 1) = 0
2
1 + t2 1 + t2

(4)

Kiểm tra x = π + kπ không là nghiệm của (3) nên ta khẳng định (3) và
(4) là hai phương trình tương đương.
Loại 4: Hỗn hợp các phép biến đổi


25

Đối với loại biến đổi này phương trình thu được vừa có khả năng thêm
nghiệm vừa có khả năng thiếu nghiệm so với phương trình đã cho. Do vậy
cần vận dụng cả hai cách giải quyết ở loại 2 và loại 3, tức là vừa phải thử xem
các nghiệm của phương trình thu được có phải là nghiệm của phương trình đã
cho không, vừa phải tìm xem những giá trị nào không phải là nghiệm của
phương trình thu được nhưng lại là nghiệm của phương trình đã cho.
Thứ hai là căn cứ vào các định lý biến đổi phương trình, ở đây là các
phép biến đổi tương đương mà học sinh đã được học. Nắm vững các định lý

này không những giúp học sinh định hướng, biến đổi phương trình thành
phương trình tương đương đơn giản, dễ giải hơn mà còn giúp họ xác lập mối
quan hệ giữa các tập nghiệm của các phương trình trong quá trình biến đổi.
Đây là một trong những điều quan trọng làm cơ sở để tiến hành thực hiện biến
đổi phương trình.
Thứ ba là căn cứ vào một số kiến thức cơ bản, có thể là định nghĩa,
định lý, tính chất... mà học sinh đã được học dù có thể không liên quan trực
tiếp đến biến đổi phương trình. Làm cơ sở xác định quá trình biến đổi đó bảo
tồn số nghiệm, thêm nghiệm hay bớt nghiệm.
Ví dụ 6: Phép chuyển từ phương trình: f (x)k(x) = f (x)g(x) (f (x) ≠ 0)
sang phương trình: k(x) = g(x) làm mất nghiệm (nếu có) của phương trình
ban đầu.
Ví dụ 7: Phép chuyển từ phương trình:
log
f (x) = log
g(x)
k(x)
k(x)
sang phương trình:

f (x) = g(x)

(5)
(6)

và phép chuyển ngược lại từ (6) sang (5).
- Phép chuyển từ (5) sang (6) là phép mũ hoá, có thể làm mở rộng tập
nghiệm
- Phép chuyển từ (6) sang (5) là phép logarít hóa, có thể làm thu hẹp tập
nghiệm.