GIÁO TRÌNH TRẮC ĐỊA ĐẠI CƯƠNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC XÂY DỰNG HÀ NỘI

KHOA CẦU ĐƯỜNG

BỘ MÔN TRẮC ĐỊA

GIÁO TRÌNH

TRẮC ĐỊA ĐẠI CƯƠNG
(DÀNH CHO SINH VIÊN CÁC KHỐI KỸ THUẬT XÂY DỰNG CÔNG TRÌNH)

TS. TRẦN ĐÌNH TRỌNG

HÀ NỘI, 2013


Lời nói đầu

Giáo trình Trắc địa đại cương được dùng trong giảng dạy cho chương trình đào tạo
kỹ sư khối ngành kỹ thuật xây dựng, không chuyên về Trắc địa, của trường Đại học Xây
dựng Hà Nội. Do vậy, tác giả cố gắng trình bày một cách đơn giản và dễ hiểu nhất. Nội
dung giáo trình bao gồm các nội dung cơ bản về Trắc địa và Trắc địa ứng dụng trong xây
dựng.
Tác giả xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ và đóng góp về chuyên môn của các
thầy, cô trong bộ môn Trắc địa – khoa Cầu đường, đặc biệt TS. Nguyễn Thạc Dũng đã góp
ý và chỉnh sửa giáo trình này.

Tác giả


MỤC LỤC

CHƯƠNG 1 NHỮNG KHÁI NIỆM CHUNG
1.1 Mở đầu
1.2 Hình dáng, kích thước Trái đất

3
4

1.3 Ảnh hưởng của độ cong Trái đất đến các đại lượng đo
1.4 Hệ tọa độ địa lý
1.5 Phép chiếu Gauss – Kruger, UTM và hệ tọa độ vuông góc phẳng

5
6
7

CHƯƠNG 2 KHÁI NIỆM VỀ SAI SỐ TRONG ĐO ĐẠC
2.1 Đặc điểm tính toán trong Trắc địa

11

2.2 Khái niệm về sai số đo
2.3 Các tiêu chuẩn đánh giá độ chính xác
2.4 Sai số trung phương hàm các đại lượng đo
2.5 Tính và đánh giá kết quả đo

13
15
17
19

CHƯƠNG 3 ĐO GÓC
3.1 Khái niệm
3.2 Máy kinh vĩ
3.3 Kiểm nghiệm các điều kiện cơ bản của máy kinh vĩ
3.4 Đo góc bằng

22
22
24
27

3.5 Sai số trong đo góc bằng
3.6. Đo góc đứng

31
32

CHƯƠNG 4 ĐO KHOẢNG CÁCH
4.1 Khái niệm
4.2 Đo khoảng cách bằng thước thép
4.3 Đo khoảng cách bằng phương pháp quang học
4.4 Hệ thống định vị toàn cầu GPS
4.5 Đo khoảng cách điện tử

33
33
35
38
40

CHƯƠNG 5 ĐO CAO
5.1 Khái niệm
5.2 Nguyên lý đo cao hình học
5.3 Máy thủy bình
5.4 Đo cao hình học hạng IV

42
43
44
47


5.5. Cách loại trừ sai số trong đo cao hình học
5.6 Đo cao lượng giác

49
50

CHƯƠNG 6 LƯỚI KHỐNG CHẾ TRẮC ĐỊA
6.1 Định hướng đường thẳng
6.2 Hai bài toán trắc địa cơ bản
6.3 Khái niệm lưới khống chế trắc địa mặt bằng
6.4 Lưới đường chuyền
6.5 Một số phương pháp xây dựng lưới khác
6.6 Khái niệm lưới khống chế độ cao
6.7 Bình sai gần đùng lưới khống chế độ cao

51
53
54

56
60
62
63

CHƯƠNG 7. BẢN ĐỒ ĐỊA HÌNH VÀ ĐO VẼ BẢN ĐỒ
7.1 Khái niệm về bản đồ
7.2 Phân mảnh và đánh số bản đồ
7.3 Biểu diễn địa vật, địa hình trên bản đồ
7.4 Đo vẽ bản đồ
7.5 Đo vẽ mặt cắt địa hình
7.6 Sử dụng bản đồ

66
67
67
70
73
76

CHƯƠNG 8 TRẮC ĐỊA TRONG XÂY DỰNG
8.1 Bố trí các yếu tố cơ bản
8.2 Bố trí điểm mặt bằng
8.3 Bố trí đường cong tròn
8.4 Tính khối lượng đào đắp
8.5 Công tác trắc địa trong xây dựng
8.6 Quan trắc chuyển dịch biến dạng công trình

80
81

83
86
88
94

Tài liệu tham kháo

98


CHƯƠNG 1 NHỮNG KHÁI NIỆM CHUNG
1.1 MỞ ĐẦU
Trắc địa là một ngành khoa học về Trái đất, nó nghiên cứu các phép đo thực hiện
trên bề mặt đất, các dụng cụ đo, các phương pháp xử lý số liệu đo nhằm xác định hình
dáng, kích thước Trái đất, biểu diễn bề mặt đất và phục vụ các ngành khoa học khác.
Trong quá trình phát triển, phạm vi nghiên cứu và ứng dụng của môn khoa học này
đã mở rộng và chuyên sâu hơn rất nhiều. Nó không chỉ nghiên cứu các phép đo, các phép
biểu diễn hình dáng Trái đất mà còn nghiên cứu các chuyển động của Trái đất, các tính
chất vật lý của Trái đất, ngoài ra còn nghiên cứu vị trí, bề mặt, chuyển động của các vệ
tinh, hành tinh,... trong vũ trụ.
Trắc địa được chia thành 2 mảng lớn là Trắc địa cao cấp, nghiên cứu phạm vi lớn
của bề mặt Trái đất, mảng còn lại gồm các chuyên ngành khác nhau, nghiên cứu trên

Trắc địa

Phạm vi nhỏ

Phạm vi lớn

phạm vi nhỏ của bề mặt Trái đất (Hình 1).

Trắc địa cao cấp

Trắc địa phổ thông
Trắc địa công trình
Trắc địa ảnh
Trắc địa bản đồ

Hình 1 Các chuyên ngành trong ngành Trắc địa
“Trắc địa đại cương” chủ yếu nằm trong hai chuyên ngành là Trắc địa phổ thông
và Trắc địa công trình.
Nhiệm vụ của môn học: Trong xây dựng công trình, trắc địa tham gia tất cả các
giai đoạn từ khảo sát, thiết kế, thi công đến khi công trình đã đi vào sử dụng. Do đó, kiến
thức về Trắc địa là không thể thiếu đối với mỗi kỹ sư xây dựng. Môn học Trắc địa đại
cương cung cấp những kiến thức cơ bản của Trắc địa, làm cơ sở cho chuyên ngành và
thực tế sản xuất.
3


1.2 HÌNH DẠNG, KÍCH THƯỚC TRÁI ĐẤT
1.2.1 Hình dạng tự nhiên của Trái đất
Bề mặt Trái đất có diện tích khoảng 510.106km2, trong đó đại dương chiếm khoảng
71%, lục địa chiếm khoảng 29%. Bề mặt tự nhiên của Trái đất rất phức tạp, lục địa cao
trung bình khoảng 875m, đại dương sâu trung bình khoảng 3800m. Chênh lệch giữa điểm
sâu nhất (vực Marianna sâu 11032m) với điểm cao nhất (đỉnh Everest cao 8884m) khoảng
20km. Bán kính trung bình của Trái đất khoảng 3671km.
Một cách gần đúng, ta có thể coi mô hình Trái đất là quả cầu nước với bán kính
300mm thì vết gợn lớn nhất là 1mm.
1.2.2 Mặt thuỷ chuẩn
Như đã biết, bề mặt Trái đất gồ ghề phức tạp, rất khó để xác định hình dạng thực

của nó. Để đơn giản, người ta tìm một bề mặt có hình dạng gần với hình dáng thực của
Trái đất nhất đó là mặt thuỷ chuẩn (hay còn gọi mặt Geoid, mặt đẳng thế, mặt nước gốc).
Mặt thuỷ chuẩn là mặt nước biển và các đại dương yên tĩnh tưởng tượng kéo dài
xuyên qua các lục địa tạo thành một mặt khép kín sao cho bề mặt tại mọi điểm luôn vuông
góc với phương trọng lực (hay phương dây dọi).
Vật chất trong lòng Trái đất phân bố không đồng đều, do vậy mặt thuỷ chuẩn là mặt
khép kín uốn lượn, không phải là mặt có dạng chính tắc nên không có phương trình toán
học để biểu diễn.
Mặt thuỷ chuẩn được chọn làm mặt quy chiếu độ cao. Để xác định được mặt này
phải tiến hành quan trắc mực nước biển trong nhiều năm. Đối với mỗi quốc gia, để phù
hợp nhất với lãnh thổ, thường sử dụng số liệu quan trắc của riêng mình để xây dựng mặt
thuỷ chuẩn riêng gọi là mặt thuỷ chuẩn quốc gia. Ở Việt Nam lấy mặt nước biển trung bình
nhiều năm của trạm nghiệm triều Hòn Dấu – Hải Phòng làm mặt thuỷ chuẩn quốc gia.
1.2.3 Ellipsoid
Để giải các bài toán trắc địa, người ta chọn một mặt toán học đơn giản, gần với mặt
thuỷ chuẩn nhất (tức là gần với bề mặt thực của Trái đất nhất), đó là mặt Ellipsoid
(Ellipsoid được tạo thành khi quay một ellipse quanh trục nhỏ của nó).

4


MÆt ®Êt thùc
MÆt Geoid
MÆt Elipxoid

Hình 1.1 Mặt đất, Geoid và Ellipsoid
Mặt Ellipsoid được chọn thoả mãn:
1. Tâm của Ellipsoid trùng với tâm trọng lực của Trái đất, trục quay của Ellipsoid
trùng với trục quay cả Trái đất.
2. Tổng bình phương khoảng chênh giữa Ellipsoid và Geoid là nhỏ nhất.

Mặt Ellipsoid được chọn làm mặt quy chiếu toạ độ.
Kích thước của Ellipsoid được đặc trưng bởi bán trục lớn a, bán trục bé b hoặc độ
dẹt α (  

a b
).
a

Bảng 1.1 Một số Ellipsoid thông dụng trên thế giới và ở Việt Nam
Ellipsoid

Năm công bố

Bán trục lớn

Bán trục bé

Độ dẹt

a (m)

b (m)

α

Everest

1930

6377276

6356075

1 : 300.8

Kraxovski

1946

6378245

6356760

1 : 298.3

WGS 84

1984

6378137

6356752

1 : 298.3

1.3 ẢNH HƯỞNG ĐỘ CONG TRÁI ĐẤT ĐẾN CÁC YẾU TỐ ĐO
1.3.1 Ảnh hưởng độ cong Trái đất đến đo góc
Trắc địa cầu đã chứng minh: tổng các góc trong của đa giác trên mặt phẳng nhỏ
hơn tổng các góc trong của đa giác đó tương ứng trên mặt cầu là ε
ε" = ” A/R2

(1.1)

trong đó: A – diện tích đa giác trên mặt cầu, R ≈ 6370km; ” ≈ 206265.
5


Trong phạm vi bán kính 100km, nếu đo góc với độ chính xác mβ = ±1”, có thể coi
Trái đất là mặt phẳng.
1.3.1 Ảnh hưởng độ cong Trái đất đến đo khoảng cách
Khoảng cách S trên mặt đất khi chiếu
lên mặt phẳng ngang và mặt Ellipsoid (hình
1.2)

S
D
D'

Sai lệch khoảng cách khi thay thế mặt Ellipsoid
bởi mặt phẳng:
d = D – D’
Và:

MÆt ®Êt thùc

MÆt ph¼ng
MÆt Elipxoid

R

D = Rtgα
D’= Rα

Ta có: d = R(tgα - α)

(1.5)

a

Khai triển chuỗi Taylor và giữ lại hai số
hạng đầu hàm tg α:
tgα = α + α3/3 + …

Hình 1.2 Khoảng cách trên mặt chiếu
(1.6)

Công thức (1.5) trở thành:

d = Rα3/3

(1.7)

Thay α ≈ S/R vào (1.7):

d = S3/3R2

(1.8)

Nếu lấy R ≈ 6370km, khi đo khoảng cách S = 10km thì sai số này là d = 8.2mm.
Như vậy, nếu đo cạnh với độ chính xác mS = ±10-6S (tức là 10km ± 10mm) thì trong pham

vi bán kính 10km có thể coi Trái đất là mặt phẳng.
1.3.3 Ảnh hưởng độ cong Trái đất đến đo cao
Sai lệch độ cao khi thay mặt cầu bằng mặt phẳng:
q = D2/ 2R

(1.9)

Nếu đo cao với độ chính xác mh = ±1mm thì trong bán kính 100m có thể coi Trái đất
là mặt phẳng.

1.4 HỆ TOẠ ĐỘ ĐỊA LÝ
Hệ toạ độ địa lý được xây dựng dựa trên cơ sở các kinh tuyến, vĩ tuyến và coi Trái
đất là hình cầu.
Kinh tuyến là giao giữa mặt cầu với mặt phẳng chứa trục quay Trái đất.
Vĩ tuyến là giao giữa mặt cầu với mặt phẳng vuông góc với trục quay Trái đất.
6


Chọn kinh tuyến đi qua đài thiên văn Greenwich (ngoại ô London, Anh) là kinh tuyến
gốc, mặt phẳng kinh tuyến gốc chia Trái đất làm hai nửa: Đông bán cầu và Tây bán cầu. Vĩ
tuyến nằm trên mặt phẳng chứa tâm của Trái đất (xích đạo) làm vĩ tuyến gốc, mặt phẳng
xích đạo chia Trái đất làm hai nửa: Bắc bán cầu và Nam bán cầu.
Toạ độ địa lý của điểm A được xác định như sau:
- Vĩ độ địa lý (A): là góc hợp bởi đường dây dọi đi qua A (OA) và mặt phẳng xích
đạo, tính từ xích đạo về hai phía Bắc và Nam bán cầu. Nó có giá trị từ 0  900.
- Kinh độ địa lý (A): là góc nhị diện hợp bởi
mặt phẳng kinh tuyến gốc với mặt phẳng kinh tuyến
đi qua điểm đó, tính từ kinh tuyến gốc về hai phía
Đông và Tây bán cầu. Nó có giá trị từ 0  1800.

A

G
O

jA

Ví dụ: Toạ độ địa lý của một điểm A:
0

lA

A = 21 28’20” N
A = 105o 32’12” E
Hình 1.3 Hệ tọa độ địa lý
Việt Nam nằm hoàn toàn ở Bắc bán cầu và Đông bán cầu nên tất cả các điểm trên
lãnh thổ nước ta đều có vĩ độ Bắc và kinh độ Đông.

1.5 PHÉP CHIẾU GAUSS VÀ UTM - HỆ TOẠ ĐỘ VUÔNG GÓC PHẲNG
Trái đất có hình dạng rất phức tạp và hình học gần đúng với Trái đất nhất là
Ellipsoid. Để dễ dàng thể hiện, tính toán các điểm trên bề mặt Trái đất thì phải chiếu chúng
lên mặt phẳng. Cần phải tìm phép chiếu thích hợp để chuyển từ mặt cong lên mặt phẳng ít
bị biến dạng nhất.
Có nhiều phép chiếu khác nhau như: phép chiếu hình nón, phép chiếu hình trụ,
phép chiếu thẳng góc,...
1.5.1 Phép chiếu Gauss - Kruger
Là phép chiếu hình trụ ngang đẳng góc
Chia Ellipsoid thành 60 múi, mỗi múi 60 kinh, đánh số thứ tự từ 1  60 bắt đầu từ
kinh tuyến gốc ( = 00) theo chiều từ Đông sang Tây. Kinh tuyến giữa của mỗi múi được
gọi là kinh tuyến trục (kinh tuyến giữa múi) có kinh độ được tính theo công thức:

7


L0  3(2n  1)

(n là số thứ tự múi chiếu)

Lồng bên ngoài Ellipsoid một hình trụ và tiếp xúc với Ellipsoid tại một kinh tuyến trục
của múi cần chiếu, trục quay của Ellipsoid vuông góc với trục hình trụ (hình 1.4).
Kinh tuyến biên

O

Xích đạo

Kinh tuyến trục

Hình 1.4 Phép chiếu Gauss - Kruger

Hình 1.5 Múi chiếu Gauss - Kruger

Lấy tâm O của Ellipsoid làm tâm chiếu, lần lượt chiếu từng múi lên mặt trụ bằng
cách vừa xoay, vừa tịnh tiến. Sau đó, cắt hình trụ theo hai đường sinh và trải phẳng, được
hình chiếu của 60 múi (hình 1.5).
Đặc điểm của phép chiếu Gauss - Kruger:
- Không làm biến dạng về góc nhưng diện tích bị biến dạng.
- Hình chiếu của xích đạo và kinh tuyến trục vuông góc với nhau.
- Kinh tuyến giữa múi là trục đối xứng và không có biến dạng về chiều dài (tỷ lệ biến
dạng bằng 1). Càng xa kinh tuyến trục, biến dạng chiều dài càng tăng (kinh tuyến biên có
tỷ lệ biến dạng bằng 1.0014).

Để giảm tỷ lệ biến dạng, người ta chia nhỏ múi chiếu thành múi 30, thậm chí 1.50.
Phép chiếu Gauss được sử dụng
để xây dựng hệ toạ độ HN72.

X

Hệ toạ độ vuông góc phẳng Gaus
- Kruger:
Trục X là hình chiếu của kinh tuyến
trục, trục Y là hình chiếu của xích đạo và
giao điểm của hai trục là gốc toạ độ O.
Như vậy, những khu vực ở Bắc bán
cầu, giá trị X luôn dương còn giá trị Y có
thể âm hoặc dương. Để tránh toạ độ Y
âm, trục OX dời sang phía Tây 500km
(hình 1.8).

O

Y

500

Hình 1.8 Hệ tọa độ vuông góc Gauss - Kruger
8


Mỗi múi chiếu, thành lập một hệ toạ độ vuông góc cho múi đó, do đó có thể có điểm
thuộc hai múi chiếu khác nhau lại có cùng giá trị toạ độ. Để tránh trường hợp này, người ta
ghi kèm số thứ tự múi chiếu trước toạ độ Y.

Ví dụ: Toạ độ điểm A:

XA =

2 244 900.469m

YA = 18 594 655.609m
(Điểm A nằm cách xích đạo 244900.469m về phía Bắc, thuộc múi chiếu thứ 18 và
cách kinh tuyến trục 594655.609 - 500000 = 94655.609m về phía Đông)
Trên hình chiếu mỗi múi, người ta kẻ thêm những đường thẳng song song với các
trục và cách đều nhau chẵn kilômét, gọi là lưới ô vuông hoặc lưới kilômét của bản đồ.
1.5.2 Phép chiếu UTM (Universal Transverse Mercator)
Tương tự như phép chiếu Gauss, Ellipsoid cũng chia thành 60 múi và đánh số thứ
tự từ 1  60 nhưng bắt đầu từ kinh tuyến đối diện với kinh tuyến gốc ( = 1800) theo chiều
từ Tây sang Đông.
Dùng hình trụ ngang cắt Ellipsoid tại hai kinh tuyến cách đều kinh tuyến trục 180km,
lúc này kinh tuyến trục nằm phía ngoài mặt trụ còn hai kinh tuyến biên của múi nằm phía
trong mặt trụ (hình 1.6).

Kinh tuyến trục

O
Xích đạo
180km

Hình 1.6 Phép chiếu UTM

Hình 1.7 Múi chiếu UTM

Lấy tâm O của Ellipsoid làm tâm chiếu, lần lượt chiếu từng múi lên mặt trụ bằng

cách vừa xoay, vừa tịnh tiến. Sau đó, cắt hình trụ theo hai đường sinh và trải phẳng, được
hình chiếu của 60 múi (hình 1.7).
Đặc điểm của phép chiếu UTM:
- Không làm biến dạng về góc nhưng diện tích bị biến dạng.
9


- Hình chiếu của xích đạo và kinh tuyến trục vuông góc với nhau.
- Tỷ lệ biến dạng về chiều dài tại hai kinh tuyến tiếp xúc bằng 1, tại kinh tuyến trục
bằng 0.9996 (Đối với múi chiếu 30, tỷ lệ này là 0.9999).
So với phép chiếu Gauss, phép chiếu UTM giảm được tỷ lệ biến dạng ngoài biên và
biến dạng là tương đối đều trên phạm vi múi chiếu.
Phép chiếu UTM được sử dụng để xây dựng hệ toạ độ VN-2000.
Hệ toạ độ vuông góc phẳng

X

UTM:
Hệ toạ độ vuông góc phẳng
UTM tương tự như hệ toạ độ vuông
góc phẳng Gauss.

Y

O

Có thể xem những chú ý khi sử
dụng hệ tọa độ VN-2000 trong [6]

500km

Hình 1.9 Hệ tọa độ vuông góc phẳng UTM
1.5.3 Phép chiếu thẳng góc
Khu vực có phạm vi nhỏ (bán kính nhỏ hơn 10km), có thể sử dụng phép chiếu
thẳng góc.
Sử dụng mặt phẳng tiếp xúc với điểm trung tâm khu vực cần chiếu tại điểm trung
tâm, lấy tâm Trái đất làm tâm chiếu. Bán kính Trái đất lớn hơn rất nhiều khoảng cách lớn
nhất trân khu vực cần chiếu nên coi các tia chiếu là song song. (Hình 1.10).
Đặc điểm phép chiếu:
- Tại điểm tiếp xúc, tỷ lệ biến dạng chiều
dài m = 1. Càng ra xa tỷ lệ biến dạng càng
nhỏ hơn 1, nhưng không đáng kể, có thể
coi m  1.

m=1

- Góc coi như không bị biến dạng.

Hình 1.10 Phép chiếu thẳng góc

10


CHƯƠNG 2 KHÁI NIỆM VỀ SAI SỐ TRONG ĐO ĐẠC
2.1 ĐẶC ĐIỂM TÍNH TOÁN TRONG TRẮC ĐỊA
2.1.1 Đơn vị đo dùng trong trắc địa
Đơn vị đo độ dài
Đơn vị đo độ dài là mét, kí hiệu là m.
Một mét là chiều dài bằng 1 650 736.73 chiều dài của bước sóng nguyên tử Kripton
86 bức xạ trong chân không, tương đương với quỹ đạo chuyển dời của điện tử giữa hai

mức năng lượng 2p10 và 5d5.
Trong hệ SI (System International), mét được định nghĩa: “mét là khoảng cách ánh
sáng đi được trong chân không trong khoảng thời gian 1/299 792 458s”.
Bội số của mét: 1 mét = 10-1 decamet (dam) = 10-2 hectomet (hm) = 10-3 kilomet
(km).
Ước số cuả mét: 1 mét = 10 decimet (dm) = 102 centimet (cm) =103 milimet (mm).
Đơn vị đo diện tích
Đơn vị thường dùng là mét vuông, kí hiệu m2.
Bội số của mét vuông:

Are (a), 1a = 102 m2.
Hectare (ha), 1ha = 104 m2.
Kilomet vuông (km2), 1km2 = 106 m2.

Ước số của mét vuông:

Decimet vuông (dm2), 1dm2 = 10-2 m2.
Centimet vuông (cm2), 1cm2 = 10-4 m2.
Milimet vuông (mm2), 1mm2 = 10-6 m2.

Đơn vị đo góc
Trong trắc địa thường dùng ba đơn vị đo góc là độ, grade và radian.
Độ, (o), là góc ở tâm chắn cung có chiều dài bằng 1/360 chu vi đường tròn. Một góc
tròn có 3600.
Độ chỉ có ước số, các ước số là phút (’) và giây (”): 10 = 60’, 1’ = 60”.
11


Grade, còn được gọi là gon (g), là góc ở tâm chắn cung có chiều dài bằng 1/400
chu vi đường tròn. Một góc tròn có 400g.

Grade chỉ có ước số, các ước số là centigrade (C) và centi-centigrade (cc).
1g = 100c, 1c = 100cc.
Radian, (rad), là cung có chiều dài bằng bán kính đường tròn đó. Góc ở tâm chắn
cung bằng 1 radian được gọi là góc 1 radian. Một góc tròn có 2ð rad.
Quan hệ giữa các đơn vị đo góc
1 góc tròn = 3600 = 400g = 2 π rad.
Đặt các hệ số:

1800/π = 57,29578 = ρo
ρo.60

= 3438

= ρ’

ρ’.60

= 206265

= ρ”

Là các hệ số chyển đổi giữa độ và radian.
2.1.2 Đặc điểm tính toán trong trắc địa
Khối lượng tính toán trong trắc địa là rất lớn, thường sử dụng các kết quả đo đạc
ngoài thực địa và hay gặp các phép tính với các số thập phân vô hạn. Trong các phép tính,
nếu lấy sau dấu phảy quá nhiều chữ số sẽ làm việc tính toán nặng nề, tốn kém. Ngược lại,
nếu lấy sau dấu phảy quá ít chữ số thì độ chính xác không đảm bảo và vô tình phủ nhận
độ chính xác của công tác đo đạc ngoài thực địa, một công việc rất vất vả. Do vậy trong
trắc địa có những nguyên tắc tính toán riêng nhằm thoả mãn yêu cầu của từng công việc,
đặc biệt tránh ảnh hưởng của sai số tính toán.

Làm tròn số:
- Khi làm tròn, các số bỏ đi có giá trị nhỏ hơn 5 thì số trước đó giữ nguyên.
- Khi làm tròn, các số bỏ đi có giá trị lớn hơn 5 thì số trước đó cộng thêm 1.
- Khi làm tròn, các số bỏ đi có giá trị đúng bằng 5:
+ Số trước đó giữ nguyên nếu là chẵn
+ Số trước đó cộng thêm 1 nếu là lẻ.
VD:

25.126 ≈ 25.12, 12.132 ≈ 12.13
45.125 ≈ 45.12; 36.135 ≈ 36.14.
12


Lấy đủ các chữ số cần thiết:
Khi tính toán, kết quả tính cần lấy thêm sau dấu phẩy một chữ số so với kết quả đo.
VD: đo khoảng cách chính xác tới cm, kết quả tính lấy tới mm
đo góc chính xác tới giây, kết quả tính lấy tới 1/10 giây.
Giá trị các hàm lượng giác thường là các số thập phân. Đối với từng công việc, số
chữ số sau dấu phảy được lấy khác nhau. Trong trắc địa cao cấp, lấy 7 chữ số (có bảng
tra hàm lượng giác 7 chữ số).
VD: cos 30o12’23” = 0.8642187
Trong trắc địa công trình, lấy 5 chữ số (có bảng tra hàm lượng giác 5 chữ số).
VD: cos 30o12’23” = 0.86422
Riêng đối với các hàm lượng giác của các góc nhỏ, chúng ta có thể tính:
sinε = ε + ε3/3! + ε5/5! + … ≈ ε
tgε = ε + ε3/3 + ε5/5 + … ≈ ε
VD: sin 3” ≈ 3/206265 ≈ 0.0000145 rad

2.2 KHÁI NIỆM VỀ SAI SỐ ĐO
2.2.1 Khái niệm

Đo đạc một đại lượng là đem so sánh nó với một đại lượng cùng loại được chọn làm
đơn vị.
Trong Trắc địa, có ba đại lượng đo cơ bản là khoảng cách, góc và độ cao. Khi đo
đạc, do người đo, do môi trường, do dụng cụ mà các kết quả của các lần đo cùng một đại
lượng có khác nhau, điều này chứng tỏ kết quả đo chứa sai số.
Sai số thực () là độ lệch giữa giá trị đo (L) và trị thực (X) của đại lượng cần đo.
=L–X

(2.1)

Nếu đo n lần trị thực X, ta được dãy n trị đo Li của cùng một đại lượng, tương ứng có
các sai số thực i:

i = Li - X

(2.2)

13


Giá trị sai số  càng nhỏ, kết quả đo càng chính xác. Nghiên cứu các phương pháp
đo, dụng cụ đo, phương pháp xử lý kết quả đo, … nhằm đạt kết quả đo chính xác theo yêu
cầu cũng là nhiệm vụ của Trắc địa.
Theo tính chất, theo quy luật mà sai số phân thành ba loại: sai số thô (sai lầm), sai số
hệ thống, sai số ngẫu nhiên.
2.2.2 Phân loại sai số đo
Sai số thô
Sai số thô là các sai số có giá trị lớn, do thiếu cẩn thận, nhầm lẫn trong khi đo gây
ra..
Ví dụ: khi đo cạnh, người đo đọc thước được 19.245m nhưng người ghi lại ghi

thành 19.425m.
Để tránh sai số này, trong quá trình đo phải cẩn thận, có người kiểm tra và đo nhiều
lần.
Sai số hệ thống
Là sai số xuất hiện trong kết quả đo theo một quy luật nào đó do sự thiếu chính xác
của dụng cụ đo, do thói quen của người đo, do ngoại cảnh thay đổi (nhiệt độ, độ ẩm,...).
Ví dụ: sử dụng thước 20m để đo chiều dài, nhưng thực tế thước chỉ dài 19.995m,
như vậy mỗi lần đặt thước sai 5mm.
Sai số hệ thống có thể làm giảm hoặc loại trừ nếu chúng ta tìm ra quy luật của
chúng.
Sai số ngẫu nhiên
Là sai số xuất hiện một cách ngẫu nhiên, không có quy luật xuất hiện và không biết
giá trị của nó trong kết quả đo.
Ví dụ: Khi đo khoảng cách bằng thước thép, do đặt đầu thước lệch khỏi điểm cần
đo, do mắt người đo kém nên đọc thước không tốt, … là những nguyên nhân ngẫu nhiên
gây nên sai số ngẫu nhiên.
Sai số ngẫu nhiên không thể tránh được trong quá trình đo đạc. Đây là sai số chính
mà Lý thuyết sai số nghiên cứu.
Sai số ngẫu nhiên tuân theo luật phân bố chuẩn và có các tính chất::
14


+ Khi số lần đo là vô cùng, số lần xuất hiện của sai số ngẫu nhiên có giá trị dương
xấp xỉ số lần xuất hiện của sai số ngẫu nhiên có giá trị âm.
Lim    0

(2.3)

n

+ Trong cùng điều kiện đo sai số ngẫu nhiên không vượt quá một giới hạn
nào đó và sai số ngẫu nhiên có trị tuyệt đối nhỏ thì khả năng xuất hiện nhiều hơn
sai số ngẫu nhiên có trị tuyệt đối lớn.

2.3 CÁC TIÊU CHUẨN ĐÁNH GIÁ KẾT QUẢ ĐO CÙNG ĐỘ CHÍNH XÁC
2.3.1 Sai số trung bình 
n




Sai số trung bình được tính theo công thức:
Trong đó:

i

i 1

n

(2.4)

i: sai số thực lần đo thứ i, n : số lần đo

Ví dụ: Hai người cùng đo một đoạn thẳng với 9 lần đo và sai số thực của mỗi lần
đo:
Người A: 2, 3, -1, -2, -4, 1, -2, 3, 2 (mm)
Người B: 1, 1, -5, 4, 2, -3, -2, 3, -1 (mm)
Sai số trung bình của mỗi người là:

A = 2.2mm

B = 2.2mm

2.3.2 Sai số trung phương m
Công thức Gauss tính sai số trung phương:

m

 
n

(2.5)

Với ví dụ trên: mA = 2.4mm và mB = 2.8mm
Ta thấy, qua sai số trung bình thì hai người đo chính xác như nhau, nhưng qua sai
số trung phương người A đo chính xác hơn.
Sai số trung phương khuếch đại được phạm vi biến động của sai số, do đó đánh giá
độ chính xác tốt hơn sai số trung bình nên sai số trung phương thường được dùng để
đánh giá độ chính xác.
15


2.3.3 Sai số xác suất p
Nếu sắp xếp trị tuyệt đối của dãy sai số ngẫu nhiên theo thứ tự tăng dần thì sai số
xác suất là:
- Nếu số sai số là số lẻ:

p  

- Nếu số sai số là chẵn:

1
p   
2

Với ví dụ trên:

(2.6)

n 1
2

n
2



n
1
2





(2.7)

Người A: 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 4

pA = ± 2mm

Người B: 1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 5

pA = ± 2mm

2.3.4 Sai số giới hạn f
Là sai số mà các sai số ngẫu nhiên không vượt qua giá trị này, nếu vượt qua thì
phải loại bỏ.
Thông thường sai số giới hạn được chọn: f = 3m
Trong trường hợp yêu cầu độ chính xác cao, sai số giới hạn được chọn: f = 2m
2.3.5 Sai số trung phương tương đối
Khi đo khoảng cách, ngoài các tiêu chuẩn trên, còn sử dụng sai số trung phương
tương đối 1/T, là tỷ số giữa sai số trung phương với kết quả của đại lượng đo:

1 m

T L

(2.8)

Ví dụ: có hai cạnh được đo với kết quả và sai số trung phương như sau:
AB = 1000m, mAB = 10mm
CD = 800m, mCD = 10mm
Nếu sử dụng sai số trung phương, ta thấy hai cạnh đo chính xác như nhau. Sai số
trung phương tương đối của hai cạnh lần lượt là:
1
10
1
1

10
1
, 



T 1000000 10000000 T 800000 8000000
Như vậy cạnh AB đo chính xác hơn.

16


2.4 SAI SỐ TRUNG PHƯƠNG CỦA HÀM SỐ CÁC ĐẠI LƯỢNG ĐO
Trong Trắc địa, có rất nhiều đại lượng cần tìm phải tính thông qua các đại lượng đo
khác (đại lượng đo gián tiếp).
VD1: Trong tam giác ABC, chỉ đo hai góc A và B, còn góc C được tính từ hai góc
này:
C = 1800 – (A + B)

(2.9)

VD2: Trong đo cao lượng giác (hình
2.1), để xác định độ cao h, ta đo khoảng

h

cách D và góc đứng V:
h = DtgV

V

(2.10)

D
Hình 2.1 Đo cao lượng giác
Để đánh giá độ chính xác của các đại lượng đo gián tiếp, phải thông qua hàm số
lập được.
2.4.1 Sai số trung phương hàm số dạng tổng quát
Có dãy trị đo Li độc lập nhau, của dãy trị thực Xi, ứng với sai số trung phương mi
(i=1, 2, 3, …).
Hàm F được xác định thông qua trị thực Xi:
Hay:

F = f(X1, X2,..., Xn)

F + F = f(L1+1, L2+2,..., Ln+ n)

(2.11)
(2.12)

Với F, I là các sai số thực tương ứng với hàm F và trị đo Li.
Khai triển theo chuỗi Taylor và bỏ qua số hạng phi tuyến tính, nhận được:
F  F  f(L 1 , L 2 ,..., L n ) 

Hay:

F 

F
F

F
1 
 2  ... 
n
L1
L2
L n

F
F
F
1 
 2  ... 
n
L1
L2
Ln

(2.13)
(2.14)

Chuyển sang sai số trung phương:
m 2F  (

F 2 2
F 2 2
F 2 2
) m1  (
) m 2  ...  (
) mn

L1
L2
Ln

(2.15)

17


Trong đó:

F
là đạo hàm riêng phần của hàm F với biến số Li.
Li

Xét hai ví dụ trên:
A = 450 12’ 24”, B = 340 22’ 26”. Với sai số mA = mB = m = 3”

VD1: các góc đo:

Góc C tính được: C = 1800 – (A + B) = 1000 25’ 10”
Độ chính xác mC2  m A2  m B2 , mC = 4.2”.
VD2: Đo chiều dài D = 50.12m với độ chính xác mD = 0.02m. Và góc nghiêng V =
150 30’ 10” ; mV= 20”.
Độ cao h = DtgV = 13.902m,
Theo (2.15), độ chính xác:
2

2

2

2
2
 h  2  h  mV
 D  mV
2
2
m 

(
tgV
)
m

 mD  



D
2
2
2
 D 
 V   "
 cos V   "
2
h

Thay số ta được:

mh = 0.007 (m).

2.4.2 Sai số trung phương hàm số dạng đơn giản
Hàm số dạng tổng đại số
F = X1 + X2 + … + Xn
Vì

(2.16)

 

F
2
2
2
2
2
 1 , theo (2.11): m F  m1  m2  ...  mn  m
Li

(2.17)

Khi các đại lượng trong hàm (2.15) cùng độ chính xác (đo cùng điều kiện ngoại
cảnh, cùng dụng cụ, cùng phương pháp), tức là: m1 = m2 = … = mn = m.
thì: mF  m n

(2.18)

Hàm số của số trung bình cộng

Số trung bình cộng:

L

L1  L2  ...  Ln L

n
n

Sai số trung phương của số trung bình cộng: m 2L 
Nếu m1= m2 =... = mn = m thì:

mL 

(2.19)
1 2
1
1
m1  2 m 22  ...  2 m n2
2
n
n
n

m
n

Như vậy, độ chính xác của số trung bình cộng tăng lên
cộng là số đáng tin cậy nhất.

(2.20)

n lần, vì vậy số trung bình

18


Theo (2.20), độ chính xác số trung bình cộng tăng khi số lần đo tăng, nhưng nếu
tăng quá nhiều thì kinh tế, thời gian đo đạc lãng phí, thông thường người ta đo tối đa
không quá 24 lần.
2.4.3 Thiết kế độ chính xác đo đạc
Trong Trắc địa, hầu hết các công việc đều đã biết trước yêu cầu độ chính xác, ví dụ
bố trí tim công trình với độ chính xác ±1cm, bố trí cốt (độ cao) với độ chính xác ±0.5cm.
Chúng ta phải thiết kế độ chính xác đo đạc cần thiết để đảm bảo yêu cầu đó.
Để ước tính độ chính xác đo đạc, trong Trắc địa thường sử dụng nguyên tắc đồng
ảnh hưởng: khi một đại lượng được xác định qua các đại lượng đo khác nhau thì coi độ
chính xác của các đại lượng đo ảnh hưởng như nhau tới độ chính xác đại lượng cần xác
định.
Áp dụng nguyên tắc đồng ảnh hưởng công thức (2.15):

(

m
F
F
F
)m1  (
)m2  ...  (
)m n  F
L1

L2
Ln
n

Trở lại với VD1:
Để xác định góc C với độ chính xác 5” thì các góc A, B phải đo với độ chính xác là
bao nhiêu?
Ta có, độ chính xác xác định góc C: mC2  m A2  m B2
Áp dụng nguyên tắc đồng ảnh hưởng: mA = mB = m
Khi đó: mC2  2m 2 ,  m 

mC
2

 3.5"

Như vậy, cần phải đo hai góc A, B với độ chính xác 3.5” để góc C xác định với độ
chính xác 5”.

2.5 TÍNH VÀ ĐÁNH GIÁ KẾT QUẢ ĐO
2.5.1 Tính kết quả đo cùng độ chính xác – Công thức Bessel
Khi đo đạc các đại lượng đo trong cùng một điều kiện đo, cùng một phương pháp
đo và cùng một dụng cụ đo thì kết quả nhận được có cùng độ chính xác.

19


Giả sử có dãy n trị đo Li, để đánh giá độ chính xác kết quả đo này, chúng ta phải
biết được trị thực (theo công thức 2.4), nhưng trị thực của dãy trị đo trên lại chưa biết (hầu
hết các trị đo trong trắc địa là chưa biết trị thực). Do vậy, để tính và đánh giá kết quả đo

chúng ta làm như sau:
1. Tìm trị tin cậy nhất (số trung bình cộng):

L

2. Tính sai số (số hiệu chỉnh của các đại lượng đo):

L1  L2  ...  Ln L

n
n

(2.21)
(2.22)

vi  L  Li

Kiểm tra: [v] = 0.
3. Tính sai số trung phương của một lần đo theo công thức Bessel:

[vv]
n 1

mi  

(2.23)

4. Tính sai số trung phương của dãy kết quả đo (của số trung bình cộng):
mL 

m

(2.24)

n

Ví dụ: Một đoạn thẳng đươc đo 5 lần, kết quả đo trong bảng. Tính kết quả đo và
đánh giá độ chính xác (việc tính toán được thực hiện trong bảng).
Lần đo

Li (m)

vi (cm)

vv

1

45.34

0

0

2

45.33

1

1

Kết quả tính
Kết quả đo: L  45.340m
Đánh giá độ chính xác:
- Sai số trung phương một lần đo: mi = 1.6cm



3

45.35

-1

1

4

45.36

-2

4

5

45.32

2

4

0

10

- Sai số trung phương kết quả đo: mL = 0.7cm
- Sai số trung phương tương đối kết quả đo:
1 mL
1


T
6400
L

2.5.2 Tính kết quả đo không cùng độ chính xác
Kết quả đo trong điều kiện đo khác nhau, phương pháp đo khác nhau, dụng cụ đo
khác nhau sẽ có độ chính xác khác nhau.

20


Để tính toán và đánh giá độ chính xác của kết quả đo không cùng độ chính xác đó,
sử dụng khái niệm trọng số P:
Trong đó:

Pi 

c
mi2

(2.25)

mi: Sai số trung phương của lần đo i
c: Hằng số tuỳ chọn

Và trung bình cộng L của dãy trị đo không cùng độ chính xác (trung bình trọng số):

L

P1 L1  P2 L2  ...  Pn Ln [ Pl ]

P1  P2  ...  Pn
[ P]

(2.26)

Sai số trung phương của kết quả đo không cùng độ chính xác:
mL  

Pvv
(n  1)[ P ]

(2.27)

21

CHƯƠNG 3 ĐO GÓC
3.1 KHÁI NIỆM
Góc có hai loại: góc bằng  và góc đứng V.
Góc bằng  của hai hướng OA và

A

OB là góc nhị diện giữa hai mặt phẳng
thẳng đứng chứa OA và OB.
0

O
B

0

 = 0  360 .
A'

Góc đứng V (góc nghiêng) của
hướng ngắm OA là góc tạo bởi hướng OA
với mặt phẳng nằm ngang.
Góc đứng V mang giá trị dương khi
hướng OA nằm bên trên mặt phẳng
ngang, âm khi OA nằm bên dưới mặt
phẳng ngang.

O'



B'

Hình 3.1 Góc bằng

A
Z

V = 00  ±900.
Trường hợp góc tính từ thiên đỉnh
(đỉnh trời) theo phương thẳng đứng đi qua
O tới hướng OA thì góc này gọi là góc
thiên đỉnh Z. Z = 00  1800.
Z = 900 – V

V
O

Hình 3.2 Góc đứng

(3.1)

3.2 MÁY KINH VĨ
3.2.1 Khái quát về máy kinh vĩ
Máy kinh vĩ là dụng cụ trắc địa chủ yếu dùng để đo góc, ngoài ra có thể đo khoảng
cách và đo cao.
Theo độ chính xác máy kinh vĩ được chia thành 3 loại [5]:
- Máy kinh vĩ độ chính xác cao:

m =  0''5  2''

- Máy kinh vĩ độ chính xác:

m =  5''  10''

- Máy kinh vĩ kỹ thuật:

m =  15''  30''.

Theo cấu tạo bàn độ, máy kinh vĩ được chia làm 3 loại:
22


- Máy kinh vĩ kim loại: bàn độ làm bằng kim loại và đọc số bằng kính lúp
- Máy kinh vĩ quang học: bàn độ làm bằng thuỷ tinh, đọc số bằng kính hiển vi
- Máy kinh vĩ điện tử: bàn độ bằng đĩa từ, đọc số nhờ màn hình hiển thị.

3.2.2 Nguyên lý cấu tạo máy kinh vĩ
Máy kinh vĩ gồm ba phần chính:
Giá máy: bằng gỗ hoặc kim loại gồm ba chân.
Các chân có thể thay đổi độ dài.
Đế máy: là bàn đế có 3 ốc cân bằng, chúng để
cân bằng máy khi đo.
Thân máy: là phần quan trọng nhất, nó gồm rất
nhiều các bộ phận:
- Bàn độ ngang và bàn độ đứng
- Ống kính
- Ống thuỷ
- Bộ phận đọc số
- Các loại ốc khoá, ốc vi động...
Hình 3.3 Máy kinh vĩ điện tử

3.2.3 Một số bộ phận chính
Ống kính:
Các bộ phận chính của ống kính
gồm: kính vật, kính mắt, lưới chữ thập.
Đường thẳng nối quang tâm kính
vật với quang tâm kính mắt và đi qua tâm
của màng dây chữ thập là trục ngắm của
ống kính.
Hình 3.4 Hình ảnh của lưới chỉ chữ thập
Độ phóng đại của ống kính VX:
VX =

fv
fm

(3.2)
23