SKKN hình học 7 CHứng minh ba điểm thẳng hàng

Phần 1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Giáo dục và đào tạo là quốc sách hàng đầu, là sự nghiệp của Đảng, Nhà nước
và của toàn dân. Phát triển giáo dục và đào tạo là nâng cao dân trí, đào tạo nhân
lực, bồi dưỡng nhân tài. Giáo dục cần đào tạo đội ngũ có năng lực hành động,
tính năng động, sáng tạo, tính tự lực và trách nhiệm cũng như năng lực cộng tác
làm việc, năng lực giải quyết các vấn đề phức hợp. Định hướng quan trọng trong
đổi mới phương pháp dạy học là phát huy tính tích cực, tự lực và sáng tạo, phát
triển năng lực hành động, năng lực cộng tác làm việc của người học. Đó cũng là
những xu hướng quốc tế trong cải cách phương pháp dạy học ở nhà trường phổ
thông.
Môn Toán là môn học không thể thiếu được ở cấp học phổ thông; các kiến
thức và phương pháp toán học là một công cụ thiết yếu giúp HS học tập tốt các
môn học khác và hoạt động có hiệu quả trong mọi lĩnh vực. Hơn thế nữa, học
toán còn là cơ hội tốt nhất để người học phát triển các năng lực trí tuệ.
Là một giáo viên trực tiếp giảng dạy tại trường THCS Bảo Nhai, tôi thấy còn
nhiều HS với khả năng giải toán còn hạn chế, đặc biệt với phân môn hình học,
khả năng vận dụng kiến thức lý thuyết vào giải bài toán còn chưa tốt. Càng khó
hơn với HS lớp 7 khi mới làm quen với bài toán chứng minh, khả năng nhận
dạng yêu cầu bài toán còn chưa thành thạo thì dạng toán chứng minh ba điểm
thẳng hàng là một dạng toán khó, đòi hỏi HS cần có kiến thức cơ bản của phân
môn hình học kết hợp với khả năng lập luận logic.
Với mong muốn rèn kỹ năng suy luận cho HS, giúp HS nhận thức tốt hơn,
yêu thích hơn với phân môn hình học, nâng cao chất lượng bồi dưỡng học sinh
giỏi lớp 7 nói riêng, chất lượng mũi nhọn của trường THCS Bảo Nhai nói
chung, tôi đã chọn và nghiên cứu đề tài “Hướng dẫn học sinh giỏi lớp 7 một số
phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng – môn hình học lớp 7 tại
trường THCS Bảo Nhai”.
Phần 2. PHẠM VI VÀ THỜI GIAN ÁP DỤNG
1. Phạm vi áp dụng: Bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán lớp 7.
2. Thời gian áp dụng: Năm học 2014 – 2015.
1

Phần 3. ĐÁNH GIÁ THỰC TRẠNG
TRƯỚC KHI ÁP DỤNG KINH NGHIỆM DẠY HỌC
Trong chương trình môn toán cấp THCS của Bộ GD & ĐT hiện hành, học
sinh lớp 7 bắt đầu làm quen với việc giải bài toán chứng minh hình học với
nhiều dạng toán như: chứng minh hai tam giác bằng nhau, hai góc bằng nhau,
hai đường thẳng song song, vuông góc, ... với các dạng toán đi cùng là kiến thức
lý thuyết cơ bản, rất rõ ràng và chi tiết trong SGK cũng như các tài liệu tham
khảo. Tuy nhiên với dạng toán chứng minh ba điểm thẳng hàng là dạng toán
thường gặp trong các bài toán ôn luyện học sinh giỏi và không có phương pháp
giải cụ thể. Trước khi áp dụng kinh nghiệm dạy học này, tôi đã thực hiện khảo
sát lần 1 nhóm học sinh giỏi hiện tôi đang bồi dưỡng buổi 2.
Đề bài 1: Cho ∆ABC vuông ở A, M là trung điểm của AC. Kẻ tia Cx vuông
góc với CA (tia Cx và điểm B ở hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ AC). Trên tia
Cx lấy điểm D sao cho CD = AB. Chứng minh rằng ba điểm B, M, D thẳng
hàng.
Kết quả bài làm của HS như sau:
Tổng số HS
9

Giỏi

Khá

Trung bình

Yếu

Kém

SL

%

SL

%

SL

%

SL

%

SL

%

0

0

1

11,1

6

66,7

2

22,2

0

0

Sau bài kiểm tra khảo sát, tôi nhận thấy mặc dù là đối tượng HS giỏi nắm
vững kiến thức cơ bản, có kỹ năng phân tích yêu cầu bài toán song vì chưa làm
quen với dạng toán chứng minh ba điểm thẳng hàng, chưa biết phương pháp giải
và cách suy luận nên các em lập luận chưa chặt chẽ, chưa biết cách tư duy hình
học kết quả bài làm còn thấp: Tỉ lệ HS khá: 11,1%, trung bình: 66,7%, yếu:
22,2% và không có HS đạt loại giỏi.
Với quyết tâm thực hiện mục tiêu bồi dưỡng học sinh giỏi, tôi suy nghĩ và
tìm tòi các biện pháp để giúp học sinh đạt kết quả cao trong chứng minh hình
học nói chung và chứng minh ba điểm thẳng hàng trong phân môn hình học lớp
7 nói riêng.
2


Phần 4. BIỆN PHÁP THỰC HIỆN
Để thực hiện được mong muốn học sinh giỏi lớp 7 thành thạo kỹ năng chứng
minh hình học nói chung và đặc biệt là kỹ năng chứng minh ba điểm thẳng hàng,
biết lập luận chặt chẽ, tôi đã củng cố cho HS kiến thức cơ bản mà các em đã học
trong chương trình hình học lớp 6 và lớp 7 có liên quan đến dạng toán chứng
minh ba điểm thẳng hàng đó là:

A. Kiến thức cơ bản
1. Khái niệm ba điểm thẳng hàng
A
C

B

Ba điểm A, B, C cùng nằm trên một đường thẳng ta nói chúng thẳng hàng.
2. Tính chất của ba điểm thẳng hàng
Với ba điểm A, B, C thẳng hàng:
- A, B, C cùng nằm trên một đường thẳng.
- AC + CB = AB (Điểm C nằm giữa hai đểm A và B).
-

ACB  1800 .

3. Một số phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng
Yêu cầu: Chứng minh ba điểm A, C, B thẳng hàng.
A
C

B

 Phương pháp 1.
Vận dụng mối quan hệ giữa hai góc kề bù, hai góc đối đỉnh để giải bài toán
chứng minh ba điểm thẳng hàng. Với phương pháp này, bài toán chứng minh ba
điểm thẳng hàng được chia hai dạng:
 Dạng 1.
- Nếu ACD  DCB  1800 thì suy ra A, C, B thẳng hàng.
D

A
C

B

3


- Nếu C1  C2 và C, D, E thẳng hàng thì A, C, B thẳng hàng.
E

A

1

C

2

B

D

 Dạng 2. Nếu GAC  GAB và hai điểm C, B nằm cùng phía mặt phẳng bờ
AG thì A, C, B thẳng hàng.
G

A
C

B

Cách nhận dạng bài toán vận dụng phương pháp 1: giả thiết bài toán cho
nhiều dữ kiện về góc (các góc kề bù, bằng nhau hay số đo của một số góc trong
hình).
 Phương pháp 2. Vận dụng tính chất cộng đoạn thẳng
Nếu AC + CB = AB thì điểm C nằm giữa hai điểm A và B.
Cách nhận dạng bài toán vận dụng phương pháp 2: giả thiết bài toán
không hoặc ít các dữ kiện về góc mà chủ yếu là các đoạn thẳng hay biểu thức
liên hệ giữa độ dài các đoạn thẳng,
 Phương pháp 3. Chứng minh ba điểm cùng nằm trên 1 tia, 1 đường thẳng
có tính duy nhất như: đường thẳng đi qua 1 điểm và song song hoặc vuông góc
với đường thẳng cho trước, là tia phân giác của một góc hay là đường trung trực
của một đoạn thẳng.
Chẳng hạn: AC, AB cùng song song với đường thẳng xy. Theo tiên đề Ơ
Clit suy ra ba điểm A, C, B thẳng hàng.
4


x

y

A
C

B

Cách nhận dạng bài toán vận dụng phương pháp 3: giả thiết bài toán ít có

các dữ kiện về góc, cạnh như phương pháp 1 và phương pháp 2 mà chủ yếu có
mối quan hệ giữa ba điểm cần chứng minh thẳng hàng với cùng một yếu tố khác
trong hình.
 Phương pháp 4. Vận dụng tính đồng quy của các đường trung tuyến, các
đường cao, đường phân giác, trung trực trong tam giác.
Chẳng hạn: ∆ABC đã chứng minh được G là giao điểm của hai đường
phân giác BF, CD và AE là phân giác trong của A .
 A, G, E thẳng hàng. (Vì ba đường phân giác của tam giác đồng quy)
B

D

G

E

F

A

C

Cách nhận dạng bài toán vận dụng phương pháp 4: giả thiết hoặc qua các
bước chứng minh trước của bài toán cho hai trong ba điểm cần chứng minh
thẳng hàng đã nằm trên các đường có tính đồng quy trong tam giác.
 Phương pháp 5. Chứng minh phản chứng. Giả sử ba điểm không thẳng
hàng, bằng kiến thức được học lập luận logic để suy ra điều vô lý.
Bài toán vận dụng phương pháp 5 thường ít có các dữ kiện về góc, cạnh
và không áp dụng được bốn phương pháp ở trên. Để vận dụng được phương
pháp 5 HS cần thực sự thông hiểu kiến thức hình học cơ bản và có tư duy hình

học tốt.
5


B. Một số bài toán cụ thể
Điều quan trọng nhất trong quá trình giải toán là phân tích được yêu cầu bài
toán, nhận biết dạng toán và phương pháp giải. Tôi đã hướng dẫn HS một số bài
toán điển hình, thường gặp với từng phương pháp và cách gợi ý, hướng dẫn HS
giải bài tập dạng toán chứng minh ba điểm thẳng hàng.
Bài 1. (Phương pháp 1 – Dạng 1)
Cho đoạn thẳng AB và trung điểm O của đoạn thẳng đó. Trên hai nửa mặt
phẳng đối nhau bờ AB, kẻ hai tia Ax và By sao cho Ax // By. Trên tia Ax lấy hai
điểm C và E (E nằm giữa A và C), trên tia By lấy hai điểm D và F sao cho BD =
AC, BF = AE. Chứng minh rằng: Ba điểm C, O, D thẳng hàng.
Từ yêu cầu bài toán, HS không gặp khó khăn để vẽ hình chính xác. Từ hình
vẽ, HS chỉ ra được hai tam giác bằng nhau: AOC  BOD(c.g.c) suy ra

AOC  BOD . Mặt khác, AOC  BOC  1800 nên BOC  BOD  1800 hay ba
điểm C, O, D thẳng hàng. Hoặc suy luận: với dạng bài 1 này, điều kiện đã cho
A, O, B thẳng hàng. Để chứng minh C, O, D cũng thẳng hàng thì HS cần chỉ ra

AOC  BOD .
Giải
x

C

E

B

A

O

F

D

Xét ∆AOC và ∆BOD có:
OA = OB (gt)

CAO  DBO (so le trong)
AC = BD (gt)
6


 ∆AOC = ∆BOD (g.c.g)
 AOC  BOD .
Mà AOC  COB  1800 nên ta có BOC  BOD  1800
Suy ra ba điểm C, O, D thẳng hàng. (□)
=> Nhận xét: Với bài toán này, HS có thể dừng lại khi AOC  BOD , hai góc
này lại chung đỉnh, có 1 cặp cạnh là 2 tia đối nhau nên chúng ở vị trí đối đỉnh.
Suy ra OC, OD cũng là hai tia đối nhau. Nên khuyến khích HS dùng cách suy
luận khác để có được điều phải chứng minh.
Bài 2. (Phương pháp 1 – Dạng 2)
Cho tam giác ABC vuông tại A, BC = 2AB. Gọi D là điểm trên cạnh AC
sao cho ABD 

1
1

ABC , E là một điểm trên cạnh AB sao cho ACE  ACB .
3
3

BD và CE cắt nhau tại F; I và K theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ
F đến BC và AC. Vẽ các điểm G và H sao cho I là trung điểm của FG, K là
trung điểm của FH. Chứng minh rằng ba điểm H, D, G thẳng hàng.
Từ giả thiết bài toán, ta nhận thấy để giải bài toán dạng này cần sử dụng

1
đến số đo các góc được suy ra từ A  900 , BC= 2AB, ACE  ACB ,
3
1
ABD  ABC nên sử dụng phương pháp 1 – dạng 2.)
3
Giải
G
B

I

E

F

A

K

C

D

H

Theo đề bài ∆ABC vuông tại A, BC = 2AB nên ACB  300 , ABC  600 .
7


1
 ABD  ABC  200 nên DBC  400 .
3
1
ACE  ACB  100 nên BCE  200
3
Ta có ∆CIF = ∆CIG (hai tam giác vuông có hai cạnh góc vuông tương ứng
bằng nhau)
 CG = CF và ICG  ICF  200
CM tương tự ∆CKF = ∆CKH suy ra CF = CH và KCH  KCF  100
Từ đó ta có: CG = CH và GCF  FCH  2 ACB  600 , do đó CHG  600 (1)
CM tương tự ∆DKF = ∆DKH (c.g.c), suy ra DF = DH.
 ∆CDF = ∆CDH (c.c.c) => CHD  CFD .
0
CDF là góc ngoài của ABD => CDF  110 .

 CFD  1800  CDF  FCD  600  CHD . (2)
Từ (1) và (2) suy ra: CHD  CHG  600 .
Mà hai tia HD và HG cùng nằm trên một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng
HC nên hai tia HD trùng với HG, nghĩa là ba điểm H, D, G thẳng hàng. (□)

 Nhận xét: Từ giả thiết bài toán có thể tính số đo nhiều góc, HS khó có thể
xác định được các góc cần thiết để có lời giải. Vì thế GV cần hướng dẫn HS sử
dụng phương pháp suy ngược và định hướng HS xét các góc liên quan đến 3
điểm cần chứng minh thẳng hàng.
Bài 3 (Phương pháp 2)
Cho tứ giác ABCD. Gọi M, I và N theo thứ tự là trung điểm của AB, AC
và CD. Chứng minh rằng nếu MN 

AD  BC
thì M, I, N thẳng hàng.
2

Bài toán dạng bài 3, giả thiết bài toán chỉ cho mối liên quan giữa độ dài
các đoạn thẳng nên HS có thể loại trừ phương pháp 1, định hướng chứng minh
theo phương pháp 2. Bài toán yêu cầu chứng minh ba điểm thẳng hàng trong
trường hợp đặc biệt của độ dài đoạn MN nên để tổng quát hóa bài toán cần vẽ
hình không trùng với trường hợp đặc biệt.
8


Giải
A
M
B
I

C
D

Giả sử MN 

N

AD  BC
(1)
2

Vì MA = MB, IA = IC nên MI là đường trung bình của ∆ABC
 MI // BC và MI = ½ BC. (2)
Tương tự, IN là đường trung bình của ∆ACD
 IN // AD và IN = ½ AD. (3)
Từ(1), (2) và (3) suy ra: MI + IN =

AD  BC
= MN
2

Vậy: ba điểm M, I, N thẳng hàng. (□)

 Nhận xét: Với bài toán dạng tương tự bài 4, HS thường mắc sai lầm khi
vẽ hình, áp đặt trước 3 điểm M, I, N đã thẳng hàng. Điều này dẫn tới bế tắc
trong quá trình suy luận và khó có thể lựa chọn phương pháp giải phù hợp. HS
cần xác định rõ phần yêu cầu chứng minh của bài toán: “nếu…. thì ba điểm
thẳng hàng” thì không được vẽ hình trường hợp đặc biệt.
Bài 4 (Phương pháp 3 – tính duy nhất của tia phân giác một góc)
Cho góc nhọn xOy. Trên Ox, Oy tương ứng lấy hai điểm A và B khác O sao
cho OA = OB. Vẽ hai đường tròn tâm A và B có cùng bán kính sao cho chúng
cắt nhau tại M và N nằm trong góc xOy. Chứng minh rằng ba điểm O, M, N
thẳng hàng.
Từ yêu cầu bài toán, HS cần xác định được các góc bằng nhau, các cạnh bằng

nhau. Bài toán không cho cụ thể số đo góc và độ dài đoạn thẳng nào nên loại trừ
phương pháp 1 và phương pháp 2. Song từ các cạnh bằng nhau, dễ dàng chỉ ra
9


các tam giác cân với các góc kề đáy bằng nhau nên phương pháp được sử dụng
trong bài là chỉ ra M, N cùng nằm trên tia phân giác của xOy – phương pháp 3.
Giải
x

A
N
M
O

Xét ∆OMA và ∆OMB có:

B

y

Hình 1

Cạnh OM chung
MA = MB (gt)
OA = OB (gt)
 ∆OMA = ∆AMB (c.c.c)
 AOM  BOM hay OM là tia phân giác của AOB . (1)
Tương tự ta dễ dàng chứng minh được ∆ONA = ∆ONB (c.c.c)
 AON  BON hay ON là tia phân giác của AOB . (2)

Vì mỗi góc chỉ có duy nhất 1 tia phân giác nên kết hợp từ (1) và (2) suy ra O,
M, N thẳng hàng. (□)

 Nhận xét: Với bài toán có dạng tương tự bài 4, cần gợi ý HS nối các điểm
O, M, N mới có thể xác định được các tam giác cân và dự đoán được M, N cùng
nằm trên tia phân giác của xOy .
Bài 5 (Phương pháp 3 – vận dụng tiên đề Eclid về đường thẳng song song)
Cho tam giác ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, AB.
Trên tia đối của các tia MB, NC lấy các điểm D và E sao cho MD = MB, NE =
NC. Chứng minh rằng A là trung điểm của đoạn thẳng DE.
Để chứng minh điểm A là trung điểm của đoạn thẳng DE, ta cần chứng minh
đủ 2 điều kiện: A  DE hay A, D, E thẳng hàng và AD = AE. Dự đoán: ba điểm
10


A, D, E cùng nằm trên một đường thẳng song song với BC. Định hướng HS
chứng minh theo phương pháp 3.
Giải
E

B
N
A
M

C

D

Xét ∆MBC và ∆MDA có:

Hình 2
MB = MD (gt)

AMD  BMC (Hai góc đối đỉnh)
MA = MC (gt)
 ∆MBC = ∆MDA (c.g.c)
 AD = BC và MCB  MAD
 AD // BC.
CM tương tự

∆NBC = ∆NAE (c.g.c)

 AE = BC và NBC  NAE
 AE // BC.
Từ điểm A nằm ngoài đường thẳng BC có hai đường thẳng AD và AE cùng
song song với BC nên theo tiên đề Euclid về đường thẳng song song, ta có ba
điểm A, E, D thẳng hàng.
Lại có AD = AE (cùng bằng BC – chứng minh trên) nên A là trung điểm của
đoạn DE. (□)

 Nhận xét: Bài toán có dạng tương tự bài 5 - chứng minh một điểm là trung
điểm của 1 đoạn thẳng - HS thường để sót điều kiện ba điểm đó phải thẳng hàng
nên không định hướng được phương pháp cần chứng minh.
11


Với bài toán dạng chứng minh ba điểm thẳng hàng cần vận dụng phương
pháp 3 vào lập luận, yêu cầu bài toán rất đa dạng vì có nhiều tia, đường thẳng có
tính duy nhất. Nên tôi đưa ra hai bài toán cơ bản và thường gặp khi ôn luyện đội

tuyển học sinh giỏi toán 7 tại trường THCS Bảo Nhai.
Bài 6 (Phương pháp 4)
Cho tam giác ABC, AB < AC; hai đường trung tuyến BE, CF cắt nhau tại
G. Gọi D là trung điểm của BC. Chứng minh rằng ba điểm A, G, D thẳng hàng.
Bài toán dạng bài 6 đã chỉ rõ một trong ba điểm cần chứng minh thẳng
hàng là giao của hai đường trung tuyến của tam giác; một trong hai điểm còn lại
là trung điểm của một cạnh của tam giác. Nên chỉ có thể sử dụng phương pháp 4
– áp dụng tính chất các đường đồng quy trong tam giác vào giải toán.)
Giải
B

F
D
G
A
E
C

Hình 5

G là trọng tâm của ∆ABC cũng là giao điểm của ba đường trung tuyến
của ∆ABC. Lại có AD là đường trung tuyến nên AD đi qua G.
 Ba điểm A, G, D thẳng hàng. (□)
Bài toán dạng bài 6 thường là một phần trong bài toán chứng minh hình
học song HS cần có kỹ năng nhận dạng hình, kỹ năng quan sát, tư duy hình học
tốt.
Bài 7 (Phương pháp 5)
Trên mặt phẳng cho n điểm (n > 3) và bất kì đường thẳng nào đi qua hai
trong những điểm đó đều đi qua một điểm đã cho. Chứng minh rằng tất cả các
điểm đã cho cùng nằm trên một đường thẳng.

Theo giả thiết bài toán, không cho một hình vẽ hay số đo góc, cạnh cụ thể
nên định hướng HS dùng phương pháp phản chứng suy ra điều vô lý.
12


Giải
Giả sử tất cả các điểm không cùng nằm trên một đường thẳng.
Qua mỗi cặp điểm đã cho vẽ một đường thẳng và chọn khoảng cách khác
0 từ các điểm đã cho đến các đường thẳng này.
A
D

C

B

Giả sử khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC là khoảng cách nhỏ
nhất (trong đó A, B, C là các điểm đã cho). Trên đường thẳng BC còn có một
điểm D nào đó.
A

B

K

H

C

D

Từ A kẻ AH vuông góc với BC tại H. Hai trong các điểm B, C, D nằm
cùng một phía đối với H (chẳng hạn ở đây là C và D). Khi đó: CH < DH.
Hạ CK  AD, K  AD. Khi đó: CK < AH. (Mâu thuẫn với giả thuyết)

 Với n điểm trên mặt phẳng (n > 3) và bất kì đường thẳng nào đi qua hai
trong những điểm đó đều chứa một điểm đã cho thì tất cả các điểm đã cho cùng
nằm trên một đường thẳng. (□)
Lưu ý: Bài toán dạng tương tự bài tập 7 tương đối khó với HS lớp 7. Đòi hỏi
HS có tư duy hình học tốt và vận dụng thành thạo kiến thức vào lập luận giải
toán. Nên mục đích tôi đưa ra dạng toán này để HS làm quen, nhận biết với
phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng bằng phương pháp phản chứng.
Phương pháp phản chứng nên sử dụng khi xác định được không thể áp dụng 4
phương pháp đã trình bày ở trên.
Trên đây là một số bài toán ví dụ với hướng dẫn cụ thể mà tôi đã thực hiện
xen kẽ các buổi học ôn học sinh giỏi toán 7. Trong quá trình giảng dạy, tôi luôn
định hướng HS có thể tích cực trao đổi suy luận ban đầu cùng như những vướng
mắc trong lập luận với GV và giữa các HS với nhau. Sau khi đưa ra các ví dụ cụ
thể, tôi giao bài tập tự luyện để HS tự tìm lời giải trong quá trình tự học ở nhà.
13


Yêu cầu HS thực hiện đúng theo các bước giải đối với mỗi bài toán chứng
minh ba điểm thẳng hàng như sau:
Bước 1. Phân tích yêu cầu bài toán (giả thiết), xác định điều cần chứng minh
(kết luận).
Bước 2. Vẽ hình. (Cần vẽ hình chính xác và không vẽ hình vào trường hợp
đặc biệt để suy luận theo đúng hướng.)
Bước 3. Nhận xét ban đầu về bài toán chứng minh ba điểm thẳng hàng. Xác
định phương pháp cần vận dụng vào chứng minh bài toán.

Bước 4. Dùng kiến thức đã học kết hợp với lập luận logic theo định hướng
của bước 3 trình bày lời giải của bài toán.
Bước 5. Rút ra bài học kinh nghiệm cho bản thân sau mỗi bài toán.
Sau thời gian tự học, tôi tổ chức học buổi 2 để HS chia sẻ ý kiến về lựa chọn
phương pháp giải và cách trình bày lời giải phù hợp với từng bài toán giữa các
HS và chia sẻ với GV. Kết thúc buổi học, GV nhận xét kết quả hoạt động của
HS rồi đưa ra lời giải đúng.
Phần 5. KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC
Để đánh giá kết quả sau thời gian ôn tập, chú trọng hướng dẫn phương
pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng trong hình học lớp 7 với đối tượng HS
giỏi, tôi tiến hành khảo sát lần 2 với dạng toán chứng minh ba điểm thẳng hàng.
Đề bài 2: Cho góc xOy . Trên hai cạnh Ox và Oy lấy lần lượt hai điểm B
và C sao cho OB = OC. Vẽ đường tròn tâm B và tâm C có cùng bán kính sao
cho chúng cắt nhau tại hai điểm A và D nằm trong góc xOy . Chứng minh ba
điểm O, A, D thẳng hàng.
Kết quả đạt được như sau:
Tổng số HS
9

Giỏi

Khá

Trung bình

Yếu

Kém

SL

%

SL

%

SL

%

SL

%

SL

%

3

33,3

5

55,6

1

11,1

0

0

0

0

So với kết quả khảo sát lần 1 (khi chưa hướng dẫn HS cụ thể các phương
pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng) đã có nhiều tiến bộ, tỉ lệ HS khá, giỏi
14


tăng lên: Giỏi đạt 33,3%, Khá đạt 55,6%; không có HS có điểm yếu, kém. HS đã
có định hướng đúng khi lựa chọn phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng.
Tuy nhiên bài giải của HS vẫn còn một số hạn chế: lập luận bài toán chưa
chặt chẽ và có tính thuyết phục, chưa khái quát hóa được bài toán nên mất nhiều
thời gian cho việc phân tích đề bài và lựa chọn phương pháp phù hợp chứng
minh ba điểm thẳng hàng.
Tôi tiếp tục áp dụng và đẩy mạnh các biện pháp hướng dẫn HS chứng
minh hình học và chứng minh ba điểm thẳng hàng trên lớp cũng như chú trọng
công tác bồi dưỡng học sinh giỏi buổi chiều, tôi nhận thấy thái độ học tập và khả
năng nhận thức của HS với phân môn hình học nói chung, dạng toán chứng
minh ba điểm thẳng hàng nói riêng đã có những tiến bộ rõ rệt. Tôi tiến hành
khảo sát chất lượng của HS lần 3 vào tháng 12/2014 với dạng toán chứng minh
ba điểm thẳng hàng.
Đề bài 3. Cho tam giác ABC, B  1200 , hai đường phân giác BD, CE. Tia
phân giác góc ngoài tại A cắt đường thẳng BC tại F. Chứng minh rằng:
a. ADF  BDF

b. Ba điểm D, E, F thẳng hàng.
Kết quả bài làm của HS như sau:
Tổng số HS
9

Giỏi

Khá

Trung bình

Yếu

Kém

SL

%

SL

%

SL

%

SL

%

SL

%

6

66,7

3

33,3

0

0

0

0

0

0

Kết quả cho thấy tỉ lệ HS có khả năng chứng minh mình hình học tốt, đạt
điểm khá, giỏi 100%, tỉ lệ HS đạt điểm giỏi tăng lên rõ rệt đạt 66,7%, tăng
33,3% so với khảo sát lần 2. Đặc biệt không còn HS có điểm trung bình, yếu,
kém. Trong bài làm của HS đã có tiến bộ thể hiện qua các bước suy luận logic,
trình bày lời giải khoa học hơn. Bên cạnh đó, HS được làm quen với dạng toán

chứng minh ba điểm thẳng hàng và đã giảm được sự “lo ngại” thường gặp khi
giải bài toán hình học.
15


Sau khi thực hiện chuyên đề kinh nghiệm dạy học “Hướng dẫn học sinh
giỏi lớp 7 một số phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng – môn hình
học lớp 7 tại trường THCS Bảo Nhai” tôi rút ra một số bài học kinh nghiệm
như sau:
Bản thân GV cần tích cực bồi dưỡng nâng cao năng lực chuyên môn,
nghiệp vụ sư phạm; hướng dẫn HS định hướng đúng để lựa chọn phương pháp
giải phù hợp.
GV nên ứng dụng có hiệu quả công nghệ thông tin bằng việc sử dụng
phần mềm vẽ hình như Geometer’s Sketchpad (GSP) hỗ trợ trong giảng dạy để
đưa ra hình vẽ chính xác đối chiếu với hình HS tự vẽ và sử dụng lệnh Edit/
action buttons để di chuyển hình (với bài toán có điểm thay đổi vị trí) mà vẫn
thấy ba điểm (bài toán yêu cầu chứng minh) thẳng hàng. Từ đó HS dễ dàng hơn
trong tư duy hình học và khái quát hóa bài toán.
Mỗi HS đòi hỏi chủ động trong lĩnh hội kiến thức, tự luyện bài tập có
dạng tương tự và tích cực chia sẻ với HS khác cũng như GV bộ môn, kết hợp
với suy luận logic vận dụng nội dung kiến thức lý thuyết cơ bản vào các bước
giải toán. Trong giải toán hình học, ngay cả với các bài toán giải cùng một
phương pháp nhưng với yêu cầu bài toán khác nhau thì cách lập luận, tư duy
hình học lại không giống nhau. Điều này yêu cầu người học cần tích cực tự
luyện, để có thêm kinh nghiệm cho bản thân.
Tôi nhận thấy: việc thực hiện đề tài này với đối tượng HS giỏi lớp 7
không chỉ nâng cao chất lượng mũi nhọn hiện tại mà còn luyện được kỹ năng
suy luận trong hình học, tạo tiền đề tốt cho đội tuyển ôn học sinh giỏi năm tiếp
theo.
Trên đây là kinh nghiệm dạy học “Hướng dẫn học sinh giỏi lớp 7 một

số phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng – môn hình học lớp 7 tại
trường THCS Bảo Nhai” mà bản thân tôi đã tích lũy được, xin được chia sẻ,
trao đổi với các bạn đồng nghiệp. Việc đưa kinh nghiệm dạy học vào thực tiễn,
kết hợp trong quá trình bồi dưỡng HS giỏi đã có những tiến bộ rõ rệt trong nhận
thức của HS về dạng toán chứng minh ba điểm thẳng hàng nhưng với vốn kinh
16


nghiệm ít ỏi của bản thân khó có thể tránh khỏi thiếu sót. Rất mong nhận được
những ý kiến đóng góp của các thầy, cô để kinh nghiệm dạy học của tôi được
hoàn thiện hơn trong giảng dạy và bồi dưỡng HS giỏi đạt kết quả cao hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Bảo Nhai, ngày 10 tháng 01 năm 2015
Người viết

Mã Thị Thu Hằng

17


Ý KIẾN ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG THẨM ĐỊNH CẤP TRƯỜNG
…………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………….

Ý KIẾN ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG THẨM ĐỊNH CẤP HUYỆN

…………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………….

18