Đề thi học sinh giỏi môn Toán Tỉnh Ninh Bình năm học 20152016

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THPT
Năm học 2015 – 2016
MÔN: TOÁN
Ngày thi 06/10/2015

SỞ GD&ĐT NINH BÌNH
ĐỀ THI CHÍNH THỨC

(Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề)
Đề thi gồm 04 câu, trong 01 trang

Câu 1 (5,0 điểm):
Tìm giá trị tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm:
 x 3 − 12x − y3 + 6y 2 − 16 = 0
 2
2
2
4x + 2 4 − x − 5 4y − y + m = 0

Câu 2 (5,0 điểm):
u 0 = 2015
Cho dãy số (un) xác định bởi hệ thức  n
n
2 u n +1 = 2 u n − 1 ∀n ∈ ¥
n
a) Chứng minh rằng: 2 u n − 2 > 0 ∀n ∈ ¥ .

b) Xác định giới hạn của dãy số (un).
Câu 3 (6,0 điểm):
Cho tam giác nhọn ABC và điểm M bất kì nằm trong tam giác ABC. Hai đường
thẳng AM và BC cắt nhau tại N, hình chiếu của N trên AB, MB, AC, MC thứ tự là X,

Y, Z, T. Chứng minh rằng: AM ⊥ BC khi và chỉ khi bốn điểm X, Y, Z, T thẳng hàng
hoặc cùng thuộc một đường tròn.
Câu 4 (4,0 điểm):
Có 10 học sinh ngồi quanh một bàn tròn và ngân hàng đề thi có tất cả 5 loại đề
thi. Hỏi có bao nhiêu cách phát đề cho các học sinh (mỗi học sinh 1 đề) sao cho không
có 2 học sinh nào ngồi cạnh nhau nhận được cùng 1 loại đề thi?
------ HẾT -----Họ và tên thí sinh:....................................................... Số báo
danh:.................................
Họ và tên, chữ ký: Giám thị
1:...........................................................................................
Giám thị 2:..........................................................................................