Tài liệu học tập

Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH LƯƠNG GIÁC

Luyện thi Đại học

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
(Trong các kỳ thi Đại Học Toàn Quốc )
-----------–˜&™—-----------A- GIẢI PHƯƠNG TRÌNH:
1) (ĐHB-02) sin 2 3x - cos 2 4 x = sin 2 5 x - cos 2 6 x
Gợi ý: TXĐ: D = R
Dùng công thức hạ bậc:
1 - cos6x 1 + cos8x 1 - cos10x 1 + cos12x
(1) Û
=
Û cos6x + cos8x = cos10x + cos12x
2
2
2
2
écosx = 0
Û 2cos7x.cosx = 2cos11x.cosx Û 2cosx ( cos11x - cos7x ) = 0 Û ê
ëcos11x = cos7x
sin 4 x + cos 4 x 1
1
= cot2 x 2) (Dự bị 02)
5sin2 x
2
8sin2 x
ì pü
Gợi ý: TXĐ: D = R \ ík ý
î 2þ

1
Dùng kết quả sin 4 x + cos 4 x = 1 - sin 2 2 x
2
2
1 - 1 sin 2 x cos2 x
1
2
(1) Û
=
Û 8 - 4sin 2 2 x = 20cos2 x - 5
5sin2 x
2sin2 x 8sin2 x
Û 4 (1 - cos 2 2 x ) + 20cos2 x - 13 = 0 Û -4cos 2 2 x + 20cos2 x - 9 = 0
3) (Dự bị 02) tan 4 x + 1 =

(2 - sin 2 x)sin3x
(2 - sin 2 2 x)sin3x
4
hay
tan
x
+
1
=
cos 4 x
cos 4 x

ìp
ü
Gợi ý: TXĐ: D = R \ í + kp ý

î2

þ

Sử dụng công thức nhân ba: sin3 x = 3sinx - 4sin 3 x
sin 4 x
(2 - sin 2 x)sin3 x
(1) Û
+
1
=
Û sin 4 x + cos 4 x = (2 - sin 2 x)sin3 x
cos 4 x
cos 4 x
Û sin 4 x + cos 4 x = (2 - sin 2 x)(3sinx - 4sin 3 x)

Û sin 4 x + (1 - sin 2 x) 2 = (2 - sin 2 x)(3sinx - 4sin 3 x)
x
4) (Dự bị 02) tanx + cosx - cos 2 x = sinx(1 + tanxtan )
2
ìp
ü
Gợi ý: TXĐ: D = R \ í + kp ; p + k 2p ý
î2

þ

x
sinx
2

(1) Û tanx + cosx - cos2 x = sinx + sinx.
.
cosx cos x
2
sin

x
sin
x
x
x
sin
2
Û tanx + cosx - cos2 x = sinx + 2sin .cos .
.
2
2 cosx cos x
2

“Chỉ sợ những ai không chịu cố gắng! Còn các em?”


Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH LƯƠNG GIÁC
Luyện thi Đại học
x
2sin 2 .sinx
(1 - cosx)sinx
2
Û tanx + cosx - cos2 x = sinx +
Û tanx + cosx - cos2 x = sinx +

cosx
cosx
sin
cos
+
cos
sin
.
(1
)
x
x
x
x
Û tanx + cosx - cos2 x =
cosx
écosx = 0 (lo¹i)
Û tanx + cosx - cos2 x = tanx Û cosx - cos2 x = 0 Û ê
ëcosx = 1

1
= sinx
8cos 2 x
ìp
ü
Gợi ý: TXĐ: D = R \ í + kp ý

5) (Dự bị 02)

î2

þ

ìsinx ³ 0
ï
é
ìsinx ³ 0
ìsinx ³ 0
2
³
0
sin
x
ì
ï
ï
ïï êsin 2 x =
(1) Û í 1
Û
Û
Û
í
í 2
íê
1
2
2
2
2
î8sin x.cos x = 1 ïsin 2 x =

ïî 8cos2 x = sin x
ï
ê
4
î
ï êsin 2 x = - 2
2
îï ë
p
é
x = + kp
ê
2
8
Ûê
* Với sin 2 x =
2
ê x = 3p + kp
êë
8
p
3p
+ m2p
Đối chiếu điều kiện sinx ³ 0 ta nhận được các nghiệm là: x = + m2p ; x =
8
8
2
.
Tương tự, với trường hợp sin 2 x = 2
cos2 x

1
6) (ĐHA-03) cot x - 1 =
+ sin 2 x - sin2 x
1 + tanx
2
ì p p
ü
Gợi ý: TXĐ: D = R \ ík ; - + kp ý
î 2

4

þ

cos2 x.cosx
1
(1) Û cot x - 1 =
+ sin 2 x - sin2 x
sinx + cosx
2
cosx - sinx ( cosx - sinx ) ( cosx + sinx ) .cosx
1
Û
=
+ sin 2 x - sin2 x
sinx
sinx + cosx
2
cosx - sinx
1

cosx - sinx
1
Û
= ( cosx - sinx ) .cosx + sin 2 x - sin2 x Û
= 1 - sinx.cosx - sin2 x
sinx
2
sinx
2
cosx - sinx
2
Û
= 1 - sin 2 x Û cosx - sinx = (cosx - sinx ) sinx
sinx
Û (cosx - sinx )ëé(cosx - sinx )sinx - 1ûù = 0
7) (Dự bị 03) 3 - tanx(tanx + 2sinx) + 6cosx = 0
ì p p
ü
Gợi ý: TXĐ: D = R \ ík ; - + kp ý
î 2

4

þ

“Chỉ sợ những ai không chịu cố gắng! Còn các em?”


Chuyờn PHNG TRèNH LNG GIC
Luyn thi i hc

sinx (1 + 2cosx )
sinx + 2sinxcosx
(1) ( 3 + 6cosx ) - tanx.
= 0 3 (1 + 2cosx ) - tanx
=0
cosx
cosx
ộ1 + 2cosx = 0
(1 + 2cosx ) ( 3 - tan 2 x ) = 0 ờ
2
ở3 - tan x = 0
8) (D b 03) cos2 x + cosx(2tan 2 x - 1) = 2
ỡp
ỹ
Gi ý: TX: D = R \ ớ + kp ý
ợ2

ỵ

ộ ổ 1
ử ự
ổ 2
ử
(1) cos2 x + cosx ờ 2 ỗ
- 1ữ - 1ỳ = 2 cos2 x + cosx ỗ
- 3ữ = 2
2
2
ố cos x
ứ

ở ố cos x ứ ỷ
2
2cos 2 x - 1 +
- 3cosx = 2 2cos3 x - 3cos 2 x - 3cosx + 2 = 0
cosx
2
9) (H B-03) cotx - tanx + 4sin2 x =
sin2 x
ỡ pỹ
Gi ý: TX: D = R \ ớk ý
ợ 2ỵ

2
2
ổ cos x sinx ử
ỗ
ữ + 4sin 2 x =
sin 2 x
sin 2 x
ố sinx cos x ứ
cos 2 x - sin 2 x
2
2cos 2 x
2

+ 4sin 2 x =

+ 4sin 2 x =
sinx.cos x
sin 2 x

sin 2 x
sin 2 x
2
2
2cos 2 x + 4sin 2 x = 2 cos 2 x + 2 (1 - cos 2 x ) - 1 = 0

(1) ( cotx - tanx ) + 4sin 2 x =

ộcos 2 x = 1 ( loại )
-2cos 2 x + cos 2 x + 1 = 0 ờ
ờcos 2 x = - 1
2
ở
6
2
10) (D b 03) 3cos4 x - 8cos x + 2cos x + 3 = 0
Gi ý: TX: D = R
(1) 3 (1 + cos4 x ) + 2cos 2 x (1 - 4cos 4 x ) = 0 6cos 2 2 x + 2cos 2 x (1 - 2cos 2 x )(1 + 2cos 2 x ) = 0
2

6cos 2 2 x - 2cos 2 x (1 + 2cos 2 x ) cos2x = 0 2cos2x ởộ3cos2x - 2cos 2 x (1 + 2cos 2 x ) ỷự = 0
ộcos2x = 0
ộcos2x = 0
ờ

ờ
2
2
2
2

2
ởờ3cos2x - 2cos x (1 + 2cos x ) = 0
ởờ3 ( 2cos x - 1) - 2cos x (1 + 2cos x ) = 0

11) (D b 03)

( 2 - 3 ) cosx - 2sin

2

ổx pử
ỗ - ữ
ố 2 4 ứ =1

2cosx - 1
p
ỡ
ùù x ạ 3 + k 2p
Gi ý: K: 2cosx - 1 ạ 0 ớ
ù x ạ - p + k 2p
ùợ
3
ộ
p ửự
ổ
(1) (2 - 3)cosx - ờ1 - cos ỗ x - ữ ỳ = 2cosx - 1 - 3cosx + sinx = 0
2 ứỷ
ố
ở
tan x = 3 x =

p
+ kp
3
Ch s nhng ai khụng chu c gng! Cũn cỏc em?


Chuyờn PHNG TRèNH LNG GIC
i chiu iu kin ta cú nghim ca phng trỡnh l: x =

Luyn thi i hc

4p
+ k 2p
3

x
ổx pử
12) (HD-03) sin 2 ỗ - ữ tan 2 x - cos 2 = 0
2
ố2 4ứ
ỡp
ỹ
Gi ý: TX: D = R \ ớ + kp ý
ợ2

(1)

ỵ

1ộ
sin 2 x
p ửự 2 1
ổ
+
=

- (1 + cosx ) = 0
1
cos
x
tan
x
1
cos
x
0
1
sin
x
.
(
)
(
)
ỗ
ữ
2 ờở
2 ứ ỳỷ
2

cos 2 x
ố

(1 - sinx ) .

(1 - cosx ) (1 + cosx ) - 1 + cosx = 0 1 + cosx ộ (1 - cosx ) - 1ự = 0
)
(
)ờ
(
ỳ
(1 - sinx ) (1 + sinx )
ở (1 - sinx ) ỷ

ộ1 + cosx = 0
ộcosx = -1
ộcosx = -1
ờ
ờ (1 - cosx )
ờ
ờ
-1 = 0
ở1 - cosx = 1 - sinx
ở tan x = 1
ởờ (1 - sinx )
cos 2 x(cosx - 1)
= 2(1 + sinx)
sinx + cosx
ỡ p
ỹ

Gi ý: TX: D = R \ ớ- + k 2p ý

13) (D b 03)

ợ 4

(1)

ỵ

(1 - sinx ) (1 + sinx ) (cosx - 1) - 2(1 + sinx) = 0 (1 + sinx) ộ (1 - sinx ) (cosx - 1) - 2ự = 0
ờ
ở

sinx + cosx

sinx + cosx

ỳ
ỷ

ộ1 + sinx = 0
ộsinx = -1
ờ
ờ
ở(1 - sinx ) (cosx - 1) = 2 ( sinx + cosx )
ở -1 + cosx + sinx - sinxcosx = 2 ( sinx + cosx )
ộsinx = -1
ờ
ở( sinx + cosx ) - sinxcosx + 1 = 0 (Phương trình đối xứng)

14) (D b 03) cotx = tanx +

2cos4 x
sin2 x

ỡ pỹ
Gi ý: TX: D = R \ ớk ý
ợ 2ỵ

cosx sinx 2cos4 x
2cos4 x

=
sin 2 x
sinx cosx sin 2 x
cos2 x - sin 2 x 2cos4 x
cos2x
2cos4 x
2cos2x 2cos4 x

=

=

=
sinx.cosx
sin 2 x
sinx.cosx sin 2 x
sin2x
sin 2 x

2
2cos4 x = cos2x ( 2cos 2x - 1) = cos2x

(1) cotx - tanx =

ộcos2x = 1 (Thỏa đk)
2cos 2x - cos2x - 1 = 0 ờ
ờcos2x = - 1 (Thỏa đk)
2
ở
2

15) (HB-04) 5sinx - 2 = 3(1 - sinx)tan 2 x
ỡp
ỹ
Gi ý: TX: D = R \ ớ + kp ý
ợ2

ỵ

Ch s nhng ai khụng chu c gng! Cũn cỏc em?


Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH LƯƠNG GIÁC
Luyện thi Đại học
2
2
sin x
sin x
(1) Û 5sinx - 2 = 3(1 - sinx)

Û 5sinx - 2 = 3(1 - sinx)
2
cos x
(1 - sinx)(1 + sinx)

sin 2 x
Û ( 5sinx - 2 ) (1 + sinx ) = 3sin 2 x
(1 + sinx)
16) (ĐHD-04) (2cosx - 1)(2sinx + cosx) = sin2 x - sinx
Gợi ý: TXĐ: D = R
(1) Û (2cosx - 1)(2sinx + cosx) = 2sinx.cosx - sinx
Û (2cosx - 1)(2sinx + cosx) = sinx(2cosx - 1)
Û 5sinx - 2 = 3

Û (2cosx - 1) [ (2sinx + cosx) - sinx ] = 0
é 2cosx - 1 = 0
Û (2cosx - 1)(sinx + cosx) = 0 Û ê
ësinx + cosx = 0
17) (ĐHA-05) cos 2 3 xcos2 x - cos 2 x = 0
Gợi ý: TXĐ: D = R
1 + cos6x
1 + cos2 x
(1) Û
.cos2 x = 0 Û cos6x.cos2 x - 1 = 0
2
2
1
Û ( cos8x + cos4x ) - 1 = 0 Û cos8x + cos4x - 2 = 0
2

écos4x = 1
Û 2cos 4x - 1 + cos4x - 2 = 0 Û 2cos 4x + cos4x - 3 = 0 Û ê
êcos4x = - 3 (lo¹i)
2
ë
18) (ĐHB-05) 1 + sinx + cosx + sin2 x + cos2 x = 0
Gợi ý: TXĐ: D = R
(1) Û (1 + sin2 x ) + ( sinx + cosx ) + cos2 x = 0
2

2

Û ( sinx + cosx ) + ( sinx + cosx ) + ( cosx + sinx ) ( cosx - sinx ) = 0
2

Û ( sinx + cosx ) ëé( sinx + cosx ) + 1 + ( cosx - sinx ) ûù = 0
ésinx + cosx = 0
Û ( sinx + cosx ) ( 2cosx + 1) = 0 Û ê
ë 2cosx + 1 = 0
pö æ
pö 3
æ
19) (ĐHD-05) cos4 x + sin 4 x + cos ç x - ÷ sin ç 3 x - ÷ - = 0
4ø è
4ø 2
è
Gợi ý: TXĐ: D = R
pö æ
pö 3
æ 1

ö
æ
(1) Û ç1 - sin 2 2x ÷ + sin ç 3 x - ÷ cos ç x - ÷ - = 0
4ø
4ø 2
è 2
ø
è
è
ù
pö
æ 1
ö 1é æ
Û ç1 - sin 2 2x ÷ + êsin ç 4x - ÷ + sin2x ú = 0
2ø
è 2
ø 2ë è
û
1
1
1
1
æ 1
ö 1
Û ç1 - sin 2 2x ÷ - cos4x + sin2x = 0 Û 1 - sin 2 2x - (1 - 2sin 2 2x ) + sin2x = 0
2
2
2
2
è 2

ø 2
pö
æ
20) (Dự bị 05) 2 2cos3 ç x - ÷ - 3cosx - sinx = 0
4ø
è
Gợi ý: TXĐ: D = R

“Chỉ sợ những ai không chịu cố gắng! Còn các em?”


Chuyờn PHNG TRèNH LNG GIC

Luyn thi i hc

3

ộ
p ửự
ổ
(1) ờ 2cos ỗ x - ữ ỳ - 3cosx - sinx = 0
4 ứỷ
ố
ở
( sinx + cosx ) - 3cosx - sinx = 0 ( Phương trình đẳng cấp bậc 3)
3

21) (D b 05) 4sin 2

3p ử

x
ổ
- 3cos2 x = 1 + 2cos 2 ỗ x ữ
2
4 ứ
ố

Gi ý: TX: D = R

ộ
3p
ổ
(1) 2 (1 - cosx ) - 3cos2 x = 1 + ờ1 + cos ỗ 2x 2
ố
ở

ửự
ữỳ
ứỷ

- 3cos2 x = 2cosx - sin2 x sin2 x - 3cos2 x = 2cosx

pử
pử
1
3
ổ
ổ
ổp
ử

sin2 x cos2 x = cosx sin ỗ 2x - ữ = cosx sin ỗ 2x - ữ = sin ỗ - x ữ
2
2
6ứ
6ứ
ố
ố
ố2
ứ
22) (D b 04) sin4 xsin7 x = cos3xcos6 x
Gi ý: TX: D = R
1
1
(1) ( cos11x - cos3x ) = ( cos9x - cos3x )
2
2
cos11x - cos3x = cos9x - cos3x cos11x = cos9x
23) (D b 04) 1 - sinx + 1 - cosx = 1
Gi ý: TX: D = R
(1) (1 - sinx ) + 2 1 - sinx . 1 - cosx + (1 - cosx ) = 1


2 (1 - sinx ) (1 - cosx ) = ( sinx + cosx ) - 1 (*)
t t = sinx + cosx ị - 2 Ê t Ê 2

ỡ1 Ê t Ê 2
ù
t2 -1
Lỳc ú: (*)tt: 2 1 - t = t -1 ớ ổ
t2 -1 ử

2
2
4
1
t
ữ = ( t - 1)
ù ỗ
2 ứ
ợ ố
ỡ1 Ê t Ê 2
ù
ùỡ1 Ê t Ê 2
ù
ột = 1
ớ
ớ 2
2
2
ờ
ùợ4 - 4t - 2(t - 1) = t - 2t + 1 ù3t + 2t - 5 = 0
ờt = - 5 (loại)
ùợ
3
ở

pử
ổ
t = 1: sinx + cosx = 1 2sin ỗ x + ữ = 1
4ứ
ố

cos2 x - 1
ổp
ử
24) (D b 05) tan ỗ + x ữ - 3tan 2 x =
cos 2 x
ố2
ứ
ỡ pỹ
Gi ý: TX: D = R \ ớk ý
ợ 2ỵ

-2sin 2 x
- cot x - 3tan 2 x = -2tan 2 x
2
cos x
1
p
- cot x = tan 2 x = tan 2 x tan 3 x = -1 tanx = -1 x = - + kp
tanx
4
2
2
3
25) (D b 05) sinxcos2 x + cos x(tan x - 1) + 2sin x = 0
(1) - cot x - 3tan 2 x =

Ch s nhng ai khụng chu c gng! Cũn cỏc em?


Chuyờn PHNG TRèNH LNG GIC

ỡp
ỹ
Gi ý: TX: D = R \ ớ + kp ý
ợ2

Luyn thi i hc

ỵ

sin 2 x - cos 2 x
(1) sinx (1 - 2sin x ) + cos x.
+ 2sin 3 x = 0
2
cos x
2
2
sinx + sin x - cos x = 0 sinx + sin 2 x - (1 - sin 2 x ) = 0
2

2

ộsinx = -1
2sin x + sinx - 1 = 0 ờ
ờsinx = 1
2
ở
sinx
ổ 3p
ử
26) (D b 05) tan ỗ

- xữ +
=2
ố 2
ứ 1 + cosx
2

ỡ1 + cosx ạ 0
sinx ạ 0 x ạ kp
Gi ý: K: ớ
sin
x
0
ạ
ợ
sinx
cosx
sinx
(1) cot x +
=2
+
=2
1 + cosx
sinx 1 + cosx
cosx (1 + cosx ) + sin 2 x = 2sinx (1 + cosx )
1
2
27) (D b 05) sin 2 x + cos 2 x + 3sin x - cos x - 2 = 0
Gi ý: TX: D = R
(1) 2sin x.cos x + ( 2cos 2 x - 1) + 3sin x - cos x - 2 = 0
1 + cosx = 2sinx (1 + cosx ) 2sinx = 1 sinx =

2sin x.cos x + 2cos 2 x + 3sin x - cos x - 3 = 0
2cos 2 x + ( 2sin x - 1) cos x + 3sin x - 3 = 0 (*)
D = ( 2sin x - 1) - 8 ( 3sin x - 3) = 4sin 2 x - 20sin x + 25 = ( 2sin x - 5 )
2

2

ộ
1 - 2sin x + ( 2sin x - 5 )
= -1
ờcos x =
4
(*) ờ
1 - 2sin x - ( 2sin x - 5 )
ờ
= 1 - sin x
ờởcos x =
4
28) (HA-06)

Gi ý: K:

2 ( cos 6 x + sin 6 x ) - sinxcosx
2 - 2sinx

=0

p
ỡ

ùù x ạ 4 + k 2p
2 - 2sinx ạ 0 ớ
ù x ạ 3p + k 2p
4
ợù

Ch s nhng ai khụng chu c gng! Cũn cỏc em?


Chuyờn PHNG TRèNH LNG GIC
Luyn thi i hc
6
6
2
2
(1) 2(cos x + sin x) - sinxcosx = 0 2 (1 - 3sin xcos x ) - sinxcosx = 0

3
1
ổ 3
ử 1
2 ỗ1 - sin 2 2 x ữ - sin 2 x = 0 2 - sin 2 2 x - sin 2 x = 0
2
2
ố 4
ứ 2
ộsin 2 x = 1
2
3sin 2 x + sin 2 x - 4 = 0 ờ
ờsin 2 x = - 4 (loại)

3
ở
p
Ta có: sin 2 x = 1 x = + kp .
4
5p
+ k 2p
Đối chiếu với điều kiện ta có nghiệm của phương trình là: x =
4
2+3 2
29) (D b 06) cos3 xcos3 x - sin3 xsin 3 x =
8
Gi ý: Dựng cụng thc nhõn ba
3cosx + cos3x
3sinx - sin3x 2 + 3 2
(1) cos3 x
- sin3 x
=
4
4
8
2+3 2
cos3 x ( 3cosx + cos3x ) - sin3 x ( 3sinx - sin3x ) =
2
2+3 2
( cos 2 3 x + sin 2 3 x ) + 3 ( cosxcos3x - sinxsin3 x ) =
2
p
ộ
x = + kp

ờ
2+3 2
3 2
2
8
1 + 3cos2x =
3cos2x =
cos2x =
ờ
2
2
2
ờ x = - p + kp
8
ởờ
pử
ổ
30) (D b 06) 2sin ỗ 2 x - ữ + 4sinx + 1 = 0
6ứ
ố
Gi ý: TX: D = R
ổ 3
ử
1
p
pử
ổ
(1) 2 ỗ sin2 xcos - cos2 xsin ữ + 4sinx + 1 = 0 2 ỗ
sin2 x - cos2 x ữ + 4sinx + 1 = 0
6

6ứ
2
ố
ố 2
ứ
3sin2 x - cos2 x + 4sinx + 1 = 0 2 3sinxcosx + (1 - cos2 x ) + 4sinx = 0

2 3sinxcosx + 2sin 2 x + 4sinx = 0 2sinx

(

)

3cosx + sinx + 2 = 0

ộsinx = 0
ộsinx = 0
ờ
ờ
ở 3cosx + sinx + 2 = 0
ở 3cosx + sinx = -2
31) (HD-06) cos3 x + cos2 x - cosx - 1 = 0
Gi ý: TX: D = R
(1) ( cos3 x - cosx ) - (1 - cos2 x ) = 0 2sin 2 x sin x - 2sin 2 x = 0
ộsin x = 0
2sin x ( sin 2 x - sin x ) = 0 ờ
ởsin 2 x = sin x
32) (D b 06) cos3 x + sin 3 x + 2sin 2 x = 1
Gi ý: TX: D = R

Ch s nhng ai khụng chu c gng! Cũn cỏc em?


Chuyờn PHNG TRèNH LNG GIC
(1) cos3 x + sin 3 x = 1 - 2sin 2 x ( cosx + sinx ) (1 - cosxsinx ) = cos2x

Luyn thi i hc

( cosx + sinx ) (1 - cosxsinx ) = cos2 x - sin 2 x
( cosx + sinx ) (1 - cosxsinx ) = ( cosx + sinx ) ( cosx - sinx )
( cosx + sinx ) ộở(1 - cosxsinx ) - ( cosx - sinx ) ựỷ = 0
ộcosx + sinx = 0
ờ
ở1 - cosxsinx + sinx - cosx = 0 (Phương trình phản xứng)
33) (D b 06) 4sin 3 x + 4sin 2 x + 3sin2 x + 6cosx = 0
Gi ý: TX: D = R
(1) 4sin 2 x ( sinx + 1) + 6cosx ( sinx + 1) = 0 ( sinx + 1) ( 4sin 2 x + 6cosx ) = 0
ộsinx = -1
( sinx + 1) ộở 4 (1 - cos 2 x ) + 6cosx ựỷ = 0 ờ
2
ở -4cos x + 6cosx + 4 = 0
x
34) (HB-06) cotx + sinx(1 + tanx.tan ) = 4
2
ỡ
ùsinx ạ 0
ù
p
Gi ý: K: ớcos x ạ 0 sin2x ạ 0 x ạ k
2

ù
x
ùcos ạ 0
2
ợ
x
sin
cos x
sinx
2 =4
+ sinx + sinx
(1)
.
sinx
cos x cos x
2
x
sinx.2sin 2
cos x
2 = 4 cot x + sinx + sinx. (1 - cos x ) = 4

+ sinx +
sinx
cos x
cos x
sinx - sinx cos x
cot x + sinx +
= 4 cot x + sinx + tan x - sinx = 4 cot x + tan x = 4
cos x
2

1

= 4 sin2x =
sin2x
2
x
xử
ổ
xử
ổ
cos x.cos +sinx.sin ữ
sin
ỗ
ỗ
sinx
x
2
2ứ
2 ữ = sinx ố
.
Hoc: Bin i sinx(1 + tanx.tan ) = sinx ỗ1 +
ữ
x
x
2
ỗ cos x cos ữ
cos x.cos
2ứ
2
ố

xử
ổ
x
cos ỗ x - ữ
cos
sinx
2
ố
ứ = sinx
2
= sinx
=
x
x cos x
cos x.cos
cos x.cos
2
2
2
2
35) (D b 06) ( 2sin x - 1) tan 2 x + 3 ( 2cos 2 x - 1) = 0
ỡp
ỹ
Gi ý: TX: D = R \ ớ + kp ý
ợ2

ỵ

ộcos2x = 0
(1) -cos2x.tan 2 2 x + 3cos2x = 0 cos2x ( - tan 2 2 x + 3) = 0 ờ 2

ở tan 2 x = 3
Ch s nhng ai khụng chu c gng! Cũn cỏc em?


Chuyờn PHNG TRèNH LNG GIC
36) (D b 06) cos2 x + (1 + 2cosx)(sinx - cosx) = 0
Gi ý: TX: D = R
(1) ( cos 2 x - sin 2 x ) + (1 + 2cosx)(sinx - cosx) = 0

Luyn thi i hc

(cosx - sinx)(cosx + sinx) + (1 + 2cosx)(sinx - cosx) = 0
(cosx - sinx) [ (cosx + sinx) - (1 + 2cosx)] = 0 (cosx - sinx) ( sinx - cosx - 1) = 0
ộcosx = sinx
ờ
ởsinx - cosx = 1
2

x
xử
ổ
37) (HD-07) ỗ sin + cos ữ +
2
2ứ
ố
Gi ý: TX: D = R
x
x
x
(1) sin 2 + 2sin .cos + cos 2

2
2
2
1
sin x + 3cosx = 1 sin x +
2

3cosx = 2
x
+ 3cosx = 2 1 + sin x + 3cosx = 2
2
pử 1
3
1
ổ
cosx = sin ỗ x + ữ =
2
2
3ứ 2
ố

38) (HB-07) 2sin 2 2 x + sin7 x - 1 = sinx
Gi ý: TX: D = R
(1) sin7 x - sinx - 1 - 2sin 2 2 x = 0

(

)

2cos 4 xsin3x - cos 4 x = 0 cos 4 x ( 2sin3x - 1) = 0

ộcos 4 x = 0
ờ
ở 2sin3x - 1 = 0
39) (HA-07) (1 + sin 2 x)cosx + (1 + cos 2 x)sinx = 1 + sin2 x
Gi ý: TX: D = R
(1) cosx + sin 2 xcosx + sinx + cos2 xsinx - (1 + sin 2 x ) = 0
( sinx + cosx ) + sinxcosx ( sinx + cosx ) - ( sinx + cosx ) = 0
2

( sinx + cosx ) ởộ1 + sinxcosx - ( sinx + cosx ) ỷự = 0
ộsinx + cosx = 0
ờ
ở1 + sinxcosx - ( sinx + cosx ) = 0 (Phương trình đối xứng)
1
1
40) (D b 07) sin2 x + sinx = 2cot2 x .
2sinx sin2 x
ỡsinx ạ 0
p
Gi ý: K: ớ
sin2x ạ 0 x ạ k
2
ợsin2x ạ 0
(1) - cos22x - cosxcos2x = 2cos2x vỡ sin2x ạ 0

ộ cos2 x = 0

ờ

2

ởờ2 cos x + cos x + 1 = 0 ( vô nghiệm )
p
p
p
cos2x = 0 2 x = + kp x = + k
2
4
2
3x
ổ 5x p ử
ổx p ử
41) (D b 07) sin ỗ - ữ - cosỗ - ữ = 2 cos
2
ố 2 4ứ
ố2 4ứ
Gi ý: TX: D = R

Ch s nhng ai khụng chu c gng! Cũn cỏc em?


Chuyờn PHNG TRèNH LNG GIC
ộ p ổ x p ửự
3x
ổ 5x p ử
(1) sin ỗ - ữ - sin ờ - ỗ - ữ ỳ = 2 cos
2
ố 2 4ứ
ở 2 ố 2 4 ứỷ

Luyn thi i hc

3x
ổ 5x p ử
ổ 3p x ử
ổ 5x p ử
ổ x 3p
sin ỗ - ữ - sin ỗ
- ữ = 2 cos sin ỗ - ữ + sin ỗ 2
ố 2 4ứ
ố 4 2ứ
ố 2 4ứ
ố2 4
pử
pử
3x
3x
ổ 3x p ử
ổ
ổ
2sin ỗ - ữ cos ỗ x + ữ - 2 cos = 0 -2cos cos ỗ x + ữ 4ứ
2
2
4ứ
ố 2 2ứ
ố
ố

3x
ử
ữ - 2 cos = 0

2
ứ
3x
2 cos = 0
2

3x
ộ
cos = 0
ờ
2
ự
3x ộ
pử
ổ
- cos ờ 2cos ỗ x + ữ + 2 ỳ = 0 ờ
2 ở
4ứ
ố
ờ 2cos ổ x + p ử + 2 = 0
ỷ
ỗ
ữ
ờở
4ứ
ố
p ử
ổ
42) (D b 07) 2 2 sin ỗ x - ữ cos x = 1
ố 12 ứ

Gi ý: TX: D = R
p ử
p ự
ộ ổ
(1) 2 ờsin ỗ 2 x - ữ - sin ỳ = 1
12 ứ
12 ỷ
ở ố
1
p ử
p
ổ
sin ỗ 2 x - ữ - sin =
12 ứ
12
2
ố
p ử
p
p
p
p
ổ
sin ỗ 2 x - ữ = sin + sin = 2 sin cos
12 ứ
4
12
6
12
ố

p ử
p
5p
ổ
sin ỗ 2 x - ữ = cos = sin
12 ứ
12
12
ố
p 5p
p 7p
2x =
+ k 2p hay 2 x =
+ k 2p
12 12
12 12
p
p
x = + kp hay x = + kp ( k ẻ Z )
4
3

(k ẻ Z )

(

43) (D b 07) 2cos2 x + 2 3 sin x cos x + 1 = 3 sin x + 3 cos x
Gi ý: TX: D = R

(1) 2cos2 x + 2
3cos2 x + 2

(
(


3 cos x

)

(

2

(

)

(

)

)

3 cos x .sin x + sin2 x + cos2 x = 3(sin x + 3 cos x )

)

3 cos x .sin x + sin2 x = 3(sin x + 3 cos x )

+2

(

3 cos x + sin x

)

3 cos x .sin x + sin2 x = 3(sin x + 3 cos x )

)

2

= 3(sin x + 3 cos x )

(sin x + 3 cos x )(sin x + 3 cos x - 3) = 0
ộsin x + 3 cos x = 0
ờ
2
2
2
ởờsin x + 3 cos x = 3 (Vô nghiệm do: 1 + 3 = 4 < 3 )
sin 2 x cos 2 x
44) (D b 07)
+
= tanx - cot x
cos x
sin x
ỡ pỹ

Gi ý: TX: D = R \ ớk ý
ợ 2ỵ

Ch s nhng ai khụng chu c gng! Cũn cỏc em?


Chuyờn PHNG TRèNH LNG GIC
sin 2 x sin x + cos 2 x cos x cos 2 x - sin 2 x
(1)
=
cos x sin x
sin x cos x
ộ x = k 2p
cos x
cos 2 x

=
cos 2 x = cos x ờ
ờ x = k 2p
cos x sin x cos x sin x
3
ở
Đối chiếu với điều kiện ta được nghiệm của phương trình là:

Luyn thi i hc

2p
2p
+ k 2p ; x = + k 2p
3

3
45) (D b 07) (1 - tan x ) (1 + sin 2 x ) = 1 + tan x
x=

ỡp
ỹ
Gi ý: TX: D = R \ ớ + kp ý
ợ2

ỵ

cos x - sin x
cos x + sin x
2
( sin x + cos x ) =
cos x
cos x
( sin x + cos x ) ởộ( cos x - sin x ) ( sin x + cos x ) - 1ỷự = 0

(1)

ộsin x + cos x = 0 (Thỏa đk)
( sin x + cos x ) ( cos x - 1) = 0 ờ
(Thỏa đk)
ởcos x - 1 = 0
1
1
ổ 7p
ử
+

= 4sin ỗ
- xữ
46) (HA-08)
3p ử
sinx
ổ
ố 4
ứ
sin ỗ x ữ
2 ứ
ố
ỡ pỹ
Gi ý: TX: D = R \ ớk ý
ợ 2ỵ
1
1
p
ổ
ử

+
= 4sin ỗ 2p - - x ữ
sinx cosx
4
ố
ứ
pử
1
1
1

1
1
ổ

+
= -4sin ỗ x + ữ
+
= -4.
( sin x + cosx )
sinx cosx
4ứ
sinx cosx
2
ố
sin x + cosx

+ 2 2 ( sin x + cosx ) = 0 ( sin x + cosx ) 1 + 2 2 sin x.cosx = 0
sin x.cosx
ộ tan x = -1
ộsin x + cosx = 0
ờ
ờ

ờsin 2 x = - 2
ở1 + 2 2 sin x.cosx = 0
ờở
2
3
3
2

47) (HB-08) sin x - 3cos x = sinxcos x - 3sin 2 xcosx
Gi ý: TX: D = R
(1) sin 3 x + 3sin 2 xcosx - 3cos3 x + sinxcos 2 x = 0

(

(

(

)

) (

sin 2 x sinx + 3cosx - cos 2 x

(

)

)

(

)

)

3cosx + sinx = 0 sinx + 3cosx ( sin 2 x - cos 2 x ) = 0

ộsinx + 3cosx = 0
ộ tan x = - 3
ờ 2
ờ
2
ờởsin x - cos x = 0
ởcos2x = 0
48) (HD-08) 2sinx (1 + cos2 x ) + sin2 x = 1 + 2cosx
Gi ý: TX: D = R

Ch s nhng ai khụng chu c gng! Cũn cỏc em?


Chuyờn PHNG TRèNH LNG GIC
Luyn thi i hc
2
(1) 2sinx.2cos x + 2sinxcosx - (1 + 2cosx ) = 0 2sinxcosx ( 2cosx + 1) - (1 + 2cosx ) = 0

1
ộ
cosx = ộ 2cosx + 1 = 0
ờ
( 2cosx + 1) ( 2sinxcosx - 1) = 0 ờ

2
ờ
ở 2sinxcosx - 1 = 0
ởsin2 x = 1
49) (D b 08) tan x = cot x + 4cos 2 2 x
ỡ pỹ

Gi ý: TX: D = R \ ớk ý
ợ 2ỵ

sin x cos x
sin 2 x - cos 2 x
= 4cos 2 2 x
= 4cos 2 2 x
cos x sin x
cos x sin x
-2cos 2 x
ổ 1
ử

= 4cos 2 2 x 2cos 2 x ỗ
+ 2cos 2 x ữ = 0
sin 2 x
ố sin 2 x
ứ
ộcos 2 x = 0
(Thỏa đk)
ộcos 2 x = 0
ờ 1
ờ
ờ
+ 2cos 2 x = 0
ở 2sin 2 x cos 2 x = -1 (Thỏa đk)
ở sin 2 x

(1)

2
pử
pử
ổ
ổ
50) (D b 08) sin ỗ 2 x - ữ = sin ỗ x - ữ +
4ứ
4ứ 2
ố
ố
Gi ý: TX: D = R
pử
pử
ổ
ổ
(1) 2 sin ỗ 2 x - ữ = 2 sin ỗ x - ữ + 1 sin 2 x - cos 2 x = sin x - cos x + 1
4ứ
4ứ
ố
ố

( cos x - sin x ) - cos 2 x - (1 - sin 2 x ) = 0 ( cos x - sin x ) - ( cos 2 x - sin 2 x ) - ( cos x - sin x ) = 0
2

( cos x - sin x ) - ( cos x - sin x ) ( cos x + sin x ) - ( cos x - sin x ) = 0
2

( cos x - sin x ) ộở1 - ( cos x + sin x ) - ( cos x - sin x ) ựỷ = 0
ộ tan x = 1
ộcos x - sin x = 0

ờ
(cos x - sin x )(1 - 2cos x ) = 0 ờ

ờcos x = 1
ở1 - 2cos x = 0
2
ở

pử
pử 1
ổ
ổ
51) (D b 08) 2sin ỗ x + ữ - sin ỗ 2 x - ữ =
3ứ
6ứ 2
ố
ố
Gi ý: TX: D = R
pử
pử 1
pử
pử
p
ổ
ổ
ổ
ổ
(1) 2sin ỗ x + ữ = sin ỗ 2 x - ữ + 2sin ỗ x + ữ = sin ỗ 2 x - ữ + sin
3ứ
6ứ 2

3ứ
6ứ
6
ố
ố
ố
ố
ộp ổ
pử
pử
pử
p ửự
ổ
ổ
ổ
2sin ỗ x + ữ = 2sin x.cos ỗ x - ữ 2sin ỗ x + ữ = 2sin x.sin ờ - ỗ x - ữ ỳ
3ứ
6ứ
3ứ
6 ứỷ
ố
ố
ố
ở2 ố
ộ
p ửự
pử
ổ
ổ
ổ 2p

ử
= 2sin x.sin ỗ
- x ữ = 2sin x.sin ờp - ỗ x + ữ ỳ = 2sin x.sin ỗ x + ữ
3 ứỷ
3ứ
ố
ố
ố 3
ứ
ở
x
52) (D b 08) 3sin x + cos 2 x + sin 2 x = 4sin x cos 2
2
Gi ý: TX: D = R

Ch s nhng ai khụng chu c gng! Cũn cỏc em?


Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH LƯƠNG GIÁC
(1) Û 3sin x + cos 2 x + sin 2 x = 2sin x (1 + cos x )

Luyện thi Đại học

Û 3sin x + cos 2 x + sin 2 x = 2sin x + sin 2 x
Û 3sin x + cos 2 x = 2sin x Û cos 2 x + sin x = 0
ésin x = 1
Û -2sin x + sin x + 1 = 0 Û ê
êsin x = - 1
2
ë

2

53) (Dự bị 08) 4 ( sin 4 x + cos 4 x ) + cos 4 x + sin 2 x = 0
Gợi ý: TXĐ: D = R
æ 1
ö
(1) Û 4 ç1 - sin 2 2 x ÷ + (1 - 2sin 2 2 x ) + sin 2 x = 0 Û 4 - 2sin 2 2 x + (1 - 2sin 2 2 x ) + sin 2 x = 0
è 2
ø

ésin 2 x = -1
ê
Û -4sin 2 x + sin 2 x + 5 = 0 Û
êsin 2 x = 5 (Lo¹i)
4
ë
2

54) (ĐHA-2009)

(1 - 2sin x ) cos x =
(1 + 2sin x ) (1 - sin x )

3

p
ì
ï x ¹ 6 + k 2p
ï
ì1 + 2sin x ¹ 0

5p
ï
Û íx ¹
+ k 2p
Gợi ý: ĐK: í
6
î1 - sin x ¹ 0
ï
ï x ¹ kp
ï
î
(1) Û (1 - 2sin x ) cos x = 3 (1 + 2sin x ) (1 - sin x )

Û cos x - 2sin x cos x = 3 (1 - sin x + 2sin x - 2sin 2 x ) Û cos x - sin 2 x = 3 ( sin x + 1 - 2sin 2 x )

Û cos x - sin 2 x = 3 ( sin x + cos 2 x ) Û 3 sin x - cos x = - sin 2 x - 3 cos 2 x
Û

3
1
1
3
pö
pö
æ
æ
sin x - cos x = - sin 2 x cos 2 x Û sin ç x - ÷ = - sin ç 2 x + ÷
2
2
2

2
6ø
3ø
è
è

pö
pö
æ
æ
Û sin ç x - ÷ = sin ç -2 x - ÷
6ø
3ø
è
è
55) (ĐHB-2009) sin x + cos x sin 2 x + 3 cos3 x = 2 ( cos 4 x + sin 3 x )
Gợi ý: TXĐ: D = R
(1) Û sin x + cos x sin 2 x + 3 cos3 x = 2(cos 4 x + sin 3 x)

Û ( sin x - 2sin 3 x ) + cos x sin 2 x + 3 cos3 x = 2cos 4 x
Û sin x (1 - 2sin 2 x ) + cos x sin 2 x + 3 cos3 x = 2cos 4 x
Û ( sin x cos 2 x + cos x sin 2 x ) + 3 cos3 x = 2cos 4 x Û sin 3 x + 3 cos3 x = 2cos 4 x

pö
pö
1
3
æ
æp
ö

æ
Û sin 3 x +
cos3 x = cos 4 x Û sin ç 3 x + ÷ = cos 4 x Û sin ç 3 x + ÷ = sin ç - 4 x ÷
2
2
3ø
3ø
è
è2
ø
è
56) (ĐHD-2009)

3 cos5 x - 2sin 3x cos 2 x - sin x = 0
“Chỉ sợ những ai không chịu cố gắng! Còn các em?”


Chuyờn PHNG TRèNH LNG GIC
Luyn thi i hc
Gi ý: TX: D = R
(1) 3 cos5 x - ( sin 5 x + sin x ) - sin x = 0 3 cos5 x - sin 5 x = 2sin x
3
1
ổp
ử

cos5 x - sin 5 x = sin x sin ỗ - 5 x ữ = sin x
2
2
ố3

ứ
p
(1 + sinx + cos2 x ) sin ổỗ x + ửữ 1
4ứ
ố
57) (H A- 2010)
=
cosx
1 + tanx
2
ỡp
ỹ
Gi ý: TX: D = R \ ớ + kp ý
ợ2

ỵ

pử
ổ
(1) (1 + sinx + cos2 x ) 2sin ỗ x + ữ = cosx (1 + tanx )
4ứ
ố
sinx + cosx
(1 + sinx + cos2 x ) ( sinx + cosx ) = cosx
(1 + sinx + cos2 x ) ( sinx + cosx ) = sinx + cosx
cosx
( sinx + cosx ) ởộ(1 + sinx + cos2 x ) - 1ỷự = 0 ( sinx + cosx ) ( sinx + cos2 x ) = 0
ộ
ờ tan x = -1 (Thỏa)
ộ tan x = -1

ộsinx + cosx = 0
ờ
ờ
ờ
ờsinx = 1 (Loại)
2
ởsinx + cos2 x = 0
ở -2sin x + sinx + 1 = 0
ờ
1
ờsinx = - (Thỏa)
2
ở
58) (H B- 2010) ( sin2x + cos2 x ) cosx + 2cos2 x - sinx = 0
Gi ý: TX: D = R
(1) sin2xcosx + cos2 xcosx + 2cos2 x - sinx = 0
( 2sin 2 xcosx - sinx ) + ( cos2 xcosx + 2cos2 x ) = 0

sin x ( sin 2 x - 1) + cos2 x ( cosx + 2 ) = 0

- sin x ( cosx - sinx ) + ( cosx - sinx ) ( cosx + sinx ) ( cosx + 2 ) = 0
2

( cosx - sinx ) ộở sin x ( cosx - sinx ) + ( cosx + sinx ) ( cosx + 2 ) ựỷ = 0

( cosx - sinx ) ( - sin xcosx + sin 2 x + cos 2 x + 2cosx + sin xcosx + 2sin x ) = 0

ộ tan x = 1
ộcosx - sinx = 0
( cosx - sinx ) ộở1 + ( cosx + sinx ) ựỷ = 0 ờ

ờ
ờ 2 sin ỗổ x + p ữử = -1
cos
x
+
sin
x
=
1
ở
4ứ
ố
ởờ
59) ( H D-2010) sin2x - cos2 x + 3sinx - cosx - 1 = 0
Gi ý: TX: D = R
(1) 2sinxcosx - cosx + ( 2sin 2 x - 1) + 3sinx - 1 = 0
cosx ( 2sinx - 1) + sinx ( 2sinx - 1) + 4sinx - 2 = 0
ộ 2sinx - 1 = 0
( 2sinx - 1) ( cosx + sinx + 2 ) = 0 ờ
ởcosx + sinx + 2 = 0 (Vô nghiệm)
60) (D b B1 2010) cos2 x + 2cosx + sinx = cosx ( cos2 x - sin2x )

Ch s nhng ai khụng chu c gng! Cũn cỏc em?


Chuyờn PHNG TRèNH LNG GIC

Luyn thi i hc

1

ổp
ử
ổp
ử
ộ p pự
61) (D b B2 2010) cos ỗ + 2 x ữ cos ỗ - 2 x ữ + sin 2 x ( cos2 x + 1) = vi x ẻ ờ - ; ỳ
4
ở 4 4ỷ
ố4
ứ
ố4
ứ
1 + sin2x + cos2 x
= 2sinxsin2x
1 + cot 2 x
Gi ý: K: sin x ạ 0 x ạ kp
(1) (1 + sin2x + cos2 x ) sin 2 x = 2 2sin 2 xcosx

62) ( H A-2011)

1 + sin2x + cos2 x = 2 2cosx ( do sinx ạ 0 )
sin2x + (1 + cos2 x ) - 2 2cosx = 0
2sinxcosx + (1 + cos2 x ) - 2 2cosx = 0

(

)

2sinxcosx + 2cos 2 x - 2 2cosx = 0 cosx sinx + cosx - 2 = 0

p
ộ
ờcosx = 0 x = 2 + kp
ờ
ờsinx + cosx = 2 2sin ổ x + p ử = 2 sin ổ x + p ử = 1 x = p + k 2p
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ờở
4ứ
4ứ
4
ố
ố
63) ( H B-2011) sin2xcosx + sinxcosx = cos2x + sinx + cosx
Gi ý: TX: D = R
sin2xcosx + sinxcosx = cos2x + sinx + cosx
(1) sinx (1 + cos2x ) + sinxcosx = cos2x + sinx + cosx
cos2x ( sinx - 1) + cosx ( sinx - 1) = 0 ( sinx - 1) ( cos2x + cosx ) = 0

p
ộ
ờsinx = 1 x = 2 + k 2p
ờ
ờcos2x = -cosx = cos ( p - x ) x = p + k 2p
ờở
3
3
sin2x + 2cosx - sinx - 1

64) ( H D-2011)
=0
tan x + 3
p
ỡ
ùù x ạ 2 + kp
ỡùcos x ạ 0
ớ
Gi ý: TX: ớ
ợù tan x ạ - 3
ù x ạ - p + mp
ùợ

3

(1) sin2x + 2cosx - sinx - 1 = 0 2cosx ( sinx + 1) - ( sinx + 1) = 0
ộsinx = -1 ( loại do đk cosx ạ 0 )
( sinx + 1) ( 2cosx - 1) = 0 ờ
ờcosx = 1
2
ở
p
ộ
x = + k '2p
ờ
1
3
Ta xột: cosx = ờ
2
ờ x = - p + k '2p

ờở
3
p
i chiu iu kin, ta cú nghim ca phng trỡnh l: x = + k 2p
3

Ch s nhng ai khụng chu c gng! Cũn cỏc em?


Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH LƯƠNG GIÁC
B- TÌM NGHIỆM THUỘC KHOẢNG:
1) (ĐHA-02) Tìm nghiệm thuộc khoảng ( 0; 2p ) của:

Luyện thi Đại học

cos3 x + sin3 x ö
æ
5 ç sinx +
÷ = cos2 x + 3 .
1 + 2sin2 x ø
è
2) (ĐHD-02) Tìm x thuộc đoạn [ 0;14] nghiệm đúng :
cos3 x - 4cos2 x + 3cosx - 4 = 0 .

“Chỉ sợ những ai không chịu cố gắng! Còn các em?”