Toan 10_Thai Binh.Đề thi (đề xuất) kỳ thi HSG các trường THPT Chuyên khu vực DH&ĐBBB lần thứ VIII, năm 2015

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI KHU VỰC
DUYÊN HẢI VÀ ĐB BẮC BỘ NĂM 2015

HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN
KHU VỰC DH VÀ ĐB BẮC BỘ
TRƯỜNG THPT CHUYÊN THÁI BÌNH.

ĐỀ THI ĐỀ XUẤT

MÔN THI: TOÁN - LỚP: 10
(Thời gian làm bài 180 phút không kể thời gian giao đề)
Đề thi gồm 01 trang

Câu 1(4 điểm). Giải hệ phương trình

 2
8 xy
2
= 16
x + y +
x+ y

 2
2x
x3 x2 y
x
+
=
+
−
8y 3

3y 4
2


Câu 2 (4 điểm). Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương (a;b;c) sao cho a3 + b3 + c3 đồng
thời chia hết cho a2b, b2c, c2a.
Câu 3 (4 điểm). Cho tứ giác lồi ABCD có các cặp cạnh đối không song song. Gọi P, Q,
O lần lượt là giao của AB và CD, AD và BC, AC và BD ( trong đó B nằm giữa A và P,
D nằm giữa A và Q). Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên đường thẳng PQ; M, N,
R, S thứ tự là hình chiếu vuông góc của H trên các đường thẳng chứa các cạnh AB, BC,
CD, DA. Chứng minh M, N, R, S thẳng hàng hoặc cùng thuộc một đường tròn.
Câu 4 (4 điểm). Cho a, b, c là các số thực không âm.Chứng minh rằng:
a3
b3
c3
+
+
≥ 1.
3
3
a 3 + (b + c )3
b3 + ( c + a )
c3 + ( a + b )

Câu 5 (4 điểm). Hai đội tuyển A và B tham gia giải cầu lông. Mỗi đội có 7 người, thi
đấu với nhau theo một thứ tự nhất định. Đầu tiên, người thứ nhất của đội A , đấu với
người thứ nhất của đội B và người thua sẽ bị loại. Sau đó ; người chiến thắng chơi nữa
với người thứ hai của đội kia . Các bước tiếp theo người chơi tương tự Cuộc thi đấu
không kết thúc cho đến khi tất cả người chơi của 1 đội đều bị loại và đội còn lại là chiến
thắng. Hỏi số cách diễn ra cuộc thi đấu.

......................................Hết......................................
Họ và tên: Phạm Quang Thắng- ĐT 0982810098


ĐÁP ÁN + BIỂU ĐIỂM CHẤM MÔN TOÁN KHỐI 10.
Câu
1

Nội dung chính cần đạt
 2
8 xy
2
= 16
x + y +
x
+
y

 2
2x
x3 x2 y
x
+
=
+
−
8y 3
3y 4
2


Câu 1(4 điểm). Giải hệ phương trình

ĐKXĐ:

Điểm
4.0đ

x + y ≥ 0
 3
x2
x
+
3y 4 ≥ 0


Từ phương trình thứ hai của hệ ta suy ra:
 x2

+
8y

 x +
 3y


Ta có

2x y
y > 0

+ ≥0

3
2
⇔
3
.
x+ y≥0
1

≥0

4
4

1.5đ

8 xy
8 xy
x2 + y2 +
= 16 ⇔ ( x + y)2 − 16 − 2 xy +
=0
x+ y
x+ y

⇔ ( x + y − 4 ) ( x + y)2 + 4( x + y) − 2 xy  = 0


⇔ ( x + y − 4 )  x2 + y2 + 4( x + y) = 0




Do

x+ y> x+

(*)

3
y ≥ 0 ⇒ (*) ⇔ x + y = 4
4

thay vào phương trình thứ nhất

của hệ ta có
Mặt khác, do

2x y 2 
3 
+ =  x + y÷ > 0
3
2 3
4 

nên áp dụng bất đẳng thức AM1,5đ

GM ta có:
x2  2 x y 
x2  2 x y 
+

+ ÷≥ 2
+ ÷=

8y  3
2
8y  3
2

x3 x2
+
3y 4

Suy ra phương trình thứ hai của hệ

⇔

x2 2 x y
=
+
8y
3
2

Do đó hệ đã cho
x + y = 4
 x + y = 4

⇔  x2 2 x y ⇔ 
⇔
2

2
=
+
3 x − 16 xy − 12 y = 0


3
2
8y

1đ
x + y = 4


2
 x = 6 y, x = − y
3




 x =
⇔
y =


2

24
7

4
7

hoặc

 x = −8

 y = 12

là nghiệm của hệ.

Câu 2 (4 điểm). Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương (a;b;c) sao cho
a3 + b3 + c3 đồng thời chia hết cho a2b, b2c, c2a.
Do tính đẳng cấp của các biểu thức nên ta thấy: Nếu (a;b;c) là một
nghiệm thì (ka;kb;kc) (với k nguyên dương) cũng là nghiệm. Ngược
lại gọi k = (a;b;c) thì bộ (a/k;b/k;c/k) cũng là nghiệm. Do vậy ta chỉ

4.0đ

1đ

cần xét trường hợp (a,b,c) = 1.
Gọi d = (a;b). Nếu d > 1 thì tồn tại số nguyên tố p là ước của d. Từ gt
suy ra p|c nên d=1
Do đó a,b,c đôi một nguyên tố cùng nhau. Khi đó dễ thấy điều kiện đề

1đ

cho tương đương với tìm a,b,c để P = a3 + b3 + c3 chia hết cho a2b2c2.
Không mất tính tổng quát giả sử a ≥ b ≥ c Ta có:

3a 3 ≥ a 3 + b3 + c 3 ≥ a 2b 2c 2 ⇒ a ≥

b 2c 2
3

Ta có b3 + c3 M
a 2 ⇒ 2b3 ≥ b3 + c3 ≥ a 2 ≥

1đ
b 4c 4
18
⇒ b ≤ 4 , b ≥ c ⇒ c =1
4
c

Với c= 1, bằng cách chặn tương tự như trên ta được a=b=1 hoặc a=3;
b=2
1đ
KL: Nghiệm của bài toán là (a,b,c) = (k,k,k); (3k,2k,k) và các hoán vị
với k là số nguyên dương.
Câu 3 (4 điểm). Cho tứ giác lồi ABCD có các cặp cạnh đối không
song song. Gọi P, Q, O lần lượt là giao của AB và CD, AD và BC,
AC và BD ( trong đó B nằm giữa A và P, D nằm giữa A và Q). Gọi H
là hình chiếu vuông góc của O trên đường thẳng PQ; M, N, R, S thứ
tự là hình chiếu vuông góc của H trên các đường thẳng chứa các cạnh

4.0đ

AB, BC, CD, DA. Chứng minh M, N, R, S thẳng hàng hoặc cùng
thuộc một đường tròn.
Q
S
D

H
N
R

3

C

O

A

E

M

P
B

Gọi E,F thứ tự là giao của AB với QO, AC với PQ.
Ta có (ABEP) = -1 suy ra (ACOF) = -1( phép chiếu xuyên tâm Q). Hay
ta được H(ACOF) = -1
Theo tính chất của chùm điều hòa thì từ HO vuông góc với HP suy ra
HO là phân giác của góc tạo bởi HC và HA. Đpcm tương đương

⇔ ( MR, MS) = ( NR, NS) ( mod π )
⇔ ( MR, MH ) + ( MH , MS) = ( NR, NH ) + ( NH , NS)
⇔ ( PR, PH ) + ( AH , AS) = (CR, CH ) + (QH , QS)
⇔ ( PR, PH ) − (CR, CH ) = (QH , QS) − (( AH , AS)
⇔ ( HC , HP) = ( HQ, HA) ( vì PR ≡ CR, QS ≡ AS )

1đ

1đ

1,5đ

⇔ ( HC , HO) + ( HO, HP) = ( HQ, HO) + ( HO, HA)
⇔ ( HC , HO) = ( HO, HA)

Điều cuối là hiển nhiên đúng do HO là phân giác của góc tạo bởi HA
và HC
Câu 4 (4 điểm). Cho a, b, c là các số thực không âm.Chứng minh rằng:
4

a3
b3
c3
+
+
≥ 1.
3
3
a 3 + (b + c )3
b3 + ( c + a )

c3 + ( a + b )

0,5đ
4.0đ

Bài giải:
Theo AM-GM với x ≥ 0 ta có:
1 + x 3 = (1 + x)(1 − x + x 2 ) ≤ 1 +

Áp dụng:

1đ
2

x
.
2

3đ


a3
=
a 3 + (b + c )3

1
3

b+c
1+ 

÷
 a 

≥

1
2

1b+c
1+ 
÷
2 a 

1

≥
1+

b2 + c 2
a2

=

a2
a 2 + b2 + c2

(1)

Tương tự:
b3

b3 + ( c + a )

3

≥

b2
a 2 + b2 + c 2

(2)

3

≥

c2
a 2 + b2 + c 2

(3)

c3
c3 + ( a + b )

Cộng vế theo vế (1),(2) và (3) ta suy ra:
a3
b3
c3
+
+
≥ 1. (Dpcm)

3
3
a 3 + (b + c )3
b3 + ( c + a )
c3 + ( a + b )

Dấu ‘=’ xảy ra khi a = b = c.
Câu 5 (4 điểm). Hai đội tuyển A và B tham gia giải cầu lông. Mỗi đội
có 7 người, thi đấu với nhau theo một thứ tự nhất định. Đầu tiên, người
thứ nhất của đội A , đấu với người thứ nhất của đội B và người thua sẽ
5

bị loại. Sau đó ; người chiến thắng chơi nữa với người thứ hai của đội

4.0đ

kia . Các bước tiếp theo người chơi tương tự Cuộc thi đấu không kết
thúc cho đến khi tất cả người chơi của 1 đội đều bị loại và đội còn lại là
chiến thắng. Hỏi số cách diễn ra cuộc thi đấu.
Lời giải
Trước hết , ta tìm số quá trình khác nhau của cuộc chơi A thắng. Giả sử
rằng , người thứ I của A thắng xi lần (i=1;2;….;7) thế thì

1đ

x1 + x2 + ... + x7 = 7 .

Thế thì số quá trình phân biệt của cuộc chơi nếu A thắng bằng số
nghiệm của phương trình trên và bằng C77+−71−1 = C136 .
Tương tự ; số quá trình phân biệt của cuộc chơi nếu B thắng bằng C136 .

Như thế số cách diễn ra cuộc thi đấu là : 2.C136 = 3432.

2đ
1đ

Họ và tên: Phạm Quang Thắng- ĐT 0982810098