Toan 10_CVA_Ha Noi Đề thi (đề xuất) kỳ thi HSG các trường THPT Chuyên khu vực DH&ĐBBB lần thứ VIII, năm 2015

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI

TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN

ĐỀ XUẤT ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
KHU VỰC DUYÊN HẢI – ĐBBB 2015
Môn: Toán – Lớp 10

Bài 1.(4 điểm) Giải hệ phương trình
Bài 2.(4 điểm) Cho tam giác ABC nhọn có D, E lần lượt là tiếp điểm của đường
tròn nội tiếp (I) với AB, AC và H, K lần lượt là hình chiếu của B lên AC và C lên
AB. Chứng minh rằng tâm đường tròn nội tiếp của tam giác AHK là trực tâm của
tam giác ADE.
Bài 3.(4 điểm) Cho sốn guyên tố p và ba số nguyên dương x,y,z thỏa mãn
xBài 4.(4 điểm)Cho ba số thực dương a,b và c thỏa mãn
Chứng minh rằng

Bài 5.(4 điểm)Trong mặt phẳng cho 7 điểm phân biệt sao cho không có ba điểm
nào thẳng hàng. Tất cả các điểm đó được nối với nhau bởi các đoạn thẳng. Mỗi
đoạn thẳng được tô bởi hai màu xanh, đỏ hoặc không được tô màu. Gọi k là số
nguyên dương thỏa mãn với mọi cách tô màu k đoạn thẳng bất kì trong các đoạn
thẳng đó, luôn tồn tại một tam giác có ba cạnh cùng màu.
a)

Hãy chỉ ra một cách tô màu không thỏa mãn đề bài với k=19.

b)

Tìm tất cả các giá trị k thỏa mãn đề bài.

ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM
ĐỀ XUẤT ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐBBB 2015

Môn: Toán – Lớp 10
Bà

Đápán

Đi


i
1 Điềukiệnxácđịnh
(4 và
điể Dễthấyhệkhôngcónghiệmdạng (x;0).
m) Phươngtrìnhthứnhấtcủahệtươngđươngvới

ểm
1,0

hay
Mặtkhác, từphươngtrìnhthứhaicủahệ ta có

2,0

suyra
bởithếmàphươngtrìnhđầucủahệtươngđươngvới x=y.
Thayvàophươngtrìnhthứhaicủahệ ta được

2

(4
điể
m)

1,0

hay
Kếthợpvớiđiềukiệnxácđịnh ta cónghiệmcủahệphươngtrìnhlàvà.
Gọi J, J’ lầnlượtlàtâmđườngtrònnộitiếpcủa tam giác AHK vàtrựctâm
tam giác ADE.
Ta sẽchứng minh rằng J và J’ trùngnhau. Thậtvậy,
Dễthấyrằng tam giác AHK đồngdạngvới tam giác ACBtheotỉsố
HK
= cos A
BC

và

2,0

do J

làtâmđườngtrònnộitiếp tam giác AHK và I nên

AJ = AI cos A

.

Nếugọi R làbánkínhđườngtrònngoạitiếp tam giác ADE thì ta có
AJ ' = 2 R cos A

2,0

.
Hơnnữa ta thấyrằng tam giác ADE nộitiếpđườngtrònđườngkính AI nên
AJ ' = AI cos A
J, J '

3
(4

.
AJ = AJ '

Do
cùngnằmtrênphângiácgóc A vàcácđoạn
trùngnhau.
Tronglờigiảinày, tấtcảcácđồngdưthứcđềulà modulo p.
Từgiảthiết ta có , suy ra

nên J và J’
1,0


điể
(1)
m) Ta có y-x làsốnguyêndươngbéhơn p và p làsốnguyêntốnên y-x và p
lànguyêntốcùngnhau.
Do đótừ (1) ta được.
(2)

Chứng minh tươngtự ta cũngcó
(3), và
(4)
Từ (2) và (3) ta có suy ra
.
Do đóx+y+z chia hếtcho p, mà 0x+y+zbằng p hoặc 2p.
(5)
Sửdụng (2) ta có, kếthợpvới ta được, thaytrởlại (2) ta có
(6)
Từ (5) và (6) vớichú ý x+y+zvà cùng tính chẵnlẻ ta cóđiềuphảichứng
minh.
4 Xéthaitrườnghợp
(4 1/ Nếuabc=1
điể Tồntạicácsốthựcdươngx,yvà z saocho
m)
Bấtđẳngthứccầnchứng minh trởthành
. (1)
Theo bấtđẳngthứcgiữatrungbìnhcộngvàtrungbìnhnhân ta có , chứng
minh tươngtự ta được
và
Cộngtheovếbabấtđẳngthứcnày ta được (1).
2/ Nếuabc<1
Đặt ta có 0Theo trườnghợp 1/ ta có
suyra
mà ta lạicó, suy ra
Vậybấtđẳngthứcđượcchứng minh, dấuđẳngthứcxảyrakhivàchỉkhi
a=b=c=1.
5

(4
điể
m)

Trướchết, ta cókếtquảquenthuộcsau : Cho 6
điểmphânbiệtsaochokhôngcóbađiểmnàothẳnghàng. Nếu ta
tômàutấtcảcácđoạnthẳngnốicácđiểmnàybởihaimàuxanhhoặcđỏthìluônt
ồntạimộttamgiáccócáccạnhcùngmàu.
Từgiảthiếtkhôngcóbốnđiểmnàođồngphẳng, ta suy ra
rằngkhôngcóbađiểmnàothẳnghàngvàhaiđoạnthẳngbấtkìchỉcắtnhautạiđầ
umútchung (nếucó) củachúng.
Gọi 7 điểmđãcholà
đoạnthẳng.
k ≤ 21

A1 , A2 ,..., A7

. Ta thấyvới 7 điểmnày, cótấtcả

C72 = 21

Do đó :
.Nếutômàutấtcả 21 đoạnthẳngnàythìchỉcầnchọn ra 6
điểmtrongđócũngsẽthỏamãnđiềukiệntheokếtquả ở trên. Ta thửtìmgiátrị
k nhỏhơn.

1,0

1,0
1,0

1,0

1,0

2,0

2,0


Với k = 20, ta tômàu 20 đoạnvàkhôngtômàu 1 cạnh, giảsửlà
đótấtcảcácđoạnthẳngtrongbộ 6 điểm

A1 , A2 , A3 , A4 , A5 , A6

A1 A7

, khi

1,0

(hoặc

A2 , A3 , A4 , A5 , A6 , A7

) đềuđượctômàu, lạitheokếtquảtrên,
điềukiệnđượcthỏamãn, tức là k = 20 vẫnthỏamãnđềbài.
Với k = 19, ta tômàu 19 đoạnvàkhôngtômàu 2 cạnh. Ta sẽchỉ ra
mộtcáchtômàubỏđihaiđoạnthẳngvàkhôngcóhaitamgiácnàođượctôcùng
màunhưtrênhìnhvẽ.
A1 A7

A2 A6

Nếuhaicạnh
và
khôngđượctômàuthìtrongcácđoạnxuấtpháttừ A3,
tôxanhbốnđoạnvàtôđỏ 2 đoạn ; vớicácđỉnhcònlạitôxanh 3 đoạn, tôđỏ 3
đoạn (hoặc 2 đoạnđốivớihaiđiểm A6, A7).
Do đó, k = 19 khôngthỏamãnđềbài.
Vậytấtcảcácgiátrịcầntìmlà

k = 20, k = 21
A

.

3

A

A

2

4

A
A

1

A

7

A

6

5

1,0