Toan 10_Da Nang Đề thi (đề xuất) kỳ thi HSG các trường THPT Chuyên khu vực DH&ĐBBB lần thứ VIII, năm 2015

HỘI CÁC TRƯỜNG CHUYÊN

ĐỀ THI ĐỀ XUẤT MÔN TOÁN

VÙNG DUYÊN HẢI ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ

KHỐI 10-NĂM 2015

TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN

Thời gian làm bài 180 phút

TP ĐÀ NẴNG

(Đề có 01 trang, gồm 05 câu)

Câu 1. (4,0 điểm) Giải hệ phương trình
ìï ( 7 - 2 x) 3 - x +( 2 y - 11) 5 - y = 0
ïï
( x, y Î ¡ ) .
í
ïï ( y - 2) 2 + 3 y ( x 3 + 8) = 4 x
ïî
Câu 2. (4,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn ( O ) , hai đường cao
BE , CF cắt nhau tại H . Gọi M là điểm trên cung nhỏ BC của ( O ) , đường thẳng MC
cắt đường thẳng BE tại L, đường thẳng FC cắt đường thẳng BM tại K . Chứng minh
rằng đường thẳng EF đi qua trung điểm đoạn KL .
Câu 3. (4,0 điểm) Cho p ( p > 3) là số nguyên tố và m, n là các số nguyên thỏa mãn
C p0- 3
1.2

+

C1p- 3
2.3

+

C p2- 3
3.4

+ ... +

C pk- 3

( k +1)( k + 2)

+ ... +

C pp-- 33

( p - 2)( p - 1)

=

m
.
n

Chứng minh 2m - n chia hết cho p.
(Với các số nguyên x ³ y ³ 0 , kí hiệu C xy để chỉ số các tổ hợp chập y của tập hợp gồm

x phần tử).
Câu 4. (4,0 điểm) Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh bất đẳng thức
2

2

2

æa ö
æb ö
æc ö
10abc
÷
÷
÷
ç
ç
ç
+
+
+
÷
÷
÷
ç
ç
ç
÷ è
÷ è
÷ ( a + b)( b + c )( c + a ) ³ 2 .

ç
ça + c ø
ça + b ø
èb + c ø
Câu 5. (4,0 điểm) Trong lớp học có 7 học sinh nam và 13 học sinh nữ. Trong 3 tháng,
mỗi học sinh nam đều đến chơi nhà mỗi học sinh nữ đúng 1 lần. Chứng minh rằng trong
1 tháng nào đó có 2 học sinh nam cùng đến chơi nhà 2 học sinh nữ.
----HẾT----


ĐÁP ÁN +BIỂU ĐIỂM CHẤM MÔN TOÁN KHỐI 10
Câu
1

Ý

Nội dung

Điểm

Điều kiện x £ 3; y £ 5. Phương trình ban đầu biến đổi thành

( 2( 3 - x) +1)

3 - x = ( 2( 5 - y ) +1) 5 - y ( *)

Đặt f ( t ) = ( 2t +1) t với t ³ 0 thì ( *) : f ( 3 - x ) = f ( 5 - y ) (1)
Nhận xét. Với mỗi số không âm 0 £ t1 ¹ t2 thì

(

)

f ( t2 ) - f ( t1 ) 2 t2 + t2t1 + t1 +1
=
>0
t2 - t1
t 2 + t1

2,0

Vậy f ( t ) là hàm số đồng biến trên [ 0;+¥ ) . Do đó

( 1) : 3 - x = 5 - y Û y = x + 2
Thay vào phương trình còn lại được
x 2 + 3 ( x + 2) ( x 2 - 2 x + 4) = 4 x
2

Û ( x 2 - 2 x + 4 ) - 2 ( x + 2 ) + 3 ( x + 2) ( x 2 - 2 x + 4 ) = 0
2

Đặt t = 3

x +2
phương trình trên thành
x2 - 2x + 4

2,0

2t 3 - t 2 - 1 = 0 Û t =1 Þ x + 2 = x 2 - 2 x + 4 Þ x Î {1;2}

Vậy hệ có nghiệm ( 1;3) ;( 2;4) .
2

Kéo dài EF cắt LK tại X , tam giác HLK có 3 điểm thẳng hàng
E , F , X nên theo định lí Menelaus , ta có
XK EL FH
XK EH FK EH FK
.
.
=1 Û
=
.
=
.
( *)
XL EH FK
XL
EL FH FH EL

1,0

Bốn điểm A, F , H , E cùng thuộc một đường tròn đường kính AH
FH cos B
=
nên FH = AH cos B, HE = AH cos C Þ
HE cos C

1,0

( 1)

EC = BC cos C , BF = BC cos B Þ

BF cos B
=
EC cos C

·
Vì ECL
= ·ABK nên hai tam giác BFK và CEL đồng dạng nên

1,5

FK BF cos B
=
=
( 2)
EL EC cos C
Từ ( 1) ,( 2) và ( *) có được

3

C pk- 3

p- 3

Đặt Ap = å

k =0

2.k !C

k
p- 3

XK
=1 , điều phải chứng minh.
XL

( k +1)( k + 2)

. Với mọi 0 £ k £ p - 3 ta có

2( p - 3) !
=
= 2( p - k - 2)( p - k - 1) ...( p - 3)
( p - k - 3) !
k

º ( - 1) ( k + 2)( k +1) k !( mod p ) .
k

Do đó 2C pk- 3 º ( - 1) ( k + 2)( k +1)( mod p ) nên tồn tại số nguyên
ak thỏa mãn
k

2C pk- 3 = pak +( - 1) ( k +1)( k + 2)
Þ

2C pk- 3

( k +1)( k + 2)

=

0,5

pak
k
+( - 1) , k = 0,1,2,..., p - 3
( k +1)( k + 2)

1,5


Þ

æp- 3
ö
2m
ak
pA
÷
÷
= 2 Ap = p ç
+
1
=
+1

ç
å
÷
ç
÷
ç
n
k
+
1
k
+
2
B
(
)(
)
èk =0
ø

2,5

Þ ( 2m - n) B = npA º 0( mod p )
Trong đó A, B là các số nguyên và B = ( p - 1) ! º - 1( mod p ) nên
2m º n ( mod p ) .
4

Biến đổi bất đẳng thức như sau

å

Û

å

Û

å

Û

å

Û

å

Û

å

a 2 ( a + b)( a + c )
+10abc ³ 2Õ( a + b)
b +c
éa 2 ( a 2 + bc )
ù
3ú
ê
- a ú+( 2å a 3 +10abc ) ³ 2Õ( a + b)
ê b +c
ê

ú
ë
û
2
a ( a - b)( a - c )
+ 2( å a 3 + 5abc - Õ( a + b) ) ³ 0
b +c

1,5

a 2 ( a - b)( a - c)
+ 2å ( a 3 + abc - a 2 ( b + c ) ) ³ 0
b +c
2
a ( a - b)( a - c)
+ 2å a ( a - b)( a - c ) ³ 0
b +c
( a + 2b + 2c)
a ( a - b)( a - c ) ³ 0
b +c

1,5

Theo bất đẳng thức Schur thì bất đẳng thức cuối đúng nên bất đẳng
thức ban đầu được chứng minh.
5

1,0

Kí hiệu 7 học sinh nam : B1, B2,…, B7; 13 học sinh nữ G1,G2,…,G13

Xét các bộ gồm (2 nam-1 nữ) mà 2 bạn nam đó cùng đến chơi nhà
1 nữ trong cùng 1 tháng.
Cố định 1 bạn nữ. Gọi n1, n2, n3 là số bạn nam đến thăm bạn nữ đó
trong tháng thứ 1, tháng thứ 2 và tháng thứ 3, ta có n1+n2+n3=7, suy
ra số bộ thu được là

2,0


1 2
1
n1 + n22 + n32 ) - ( n1 + n2 + n3 )
(
2
2
1
1
2
³ ( n1 + n2 + n3 ) - ( n1 + n2 + n3 )
6
2
2
7
7 14
Þ T³
- =
6 2 3

T = Cn21 + Cn22 + Cn23 =

Vậy có không dưới 5 bộ ứng với bạn nữ đó.
Xét bảng
G1
B1-B2

G2

G3…

G13

X

B1-B3

X

…
B6-B7

2,0
X

Ta sẽ đánh dấu x vào các ô của bảng nếu có hai bạn nam cùng đến
chơi nhà 1 bạn nữ trong cùng 1 tháng. Vậy mỗi cột có không dưới 5
dấu x. Suy ra có không ít hơn 5.13=65 dấu x trong bảng nên có một
é65 ù
ú
hàng có không ít hơn ê
êC72 ú+1=4 dấu x. Vậy có một cặp B i-Bj đến

ë û
chơi nhà 4 bạn nữ trong 3 tháng, suy ra có một cặp B i-Bj đến chơi
nhà hai bạn nữ trong cùng 1 tháng.