Đề thi olympic toán lớp 8 có lời giải chi tiết

Đề thi olympic toán lớp 8
Năm học: 2013 - 2014
Thời gian: 120 phút

Trờng thcs thanh thùy

Câu 1: (6 điểm): Giải các phơng trình sau:
7
8
37 9 x
+ 2
= 3
x 1 x 2 x + 1 x x2 x + 1
1
1
1
14
+
+ ..... +
=
b.
( x + 2000 ) ( x + 2001) ( x + 2001) ( x + 2002 )
( x + 2013) ( x + 2014 ) 15

a.

2

c. x2 (x+4,5) = 13,5
Câu 2: (5điểm)
a. Tìm phần d khi chia đa thức f(x) cho đa thức x2 - x

Biết rằng khi chia f(x) cho x; cho x-1 thì các số d lần lợt là 1 và 2.
b. Xác định a, b để đa thức f(x) = 2x3 +ax + b chi cho x+ 1 d -6 chia cho x-2 d 21.
Câu 3: (2 điểm). Cho a, b, c>0 và a+ b + c = 3
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B =

1 1 1
+ +
a b c

Câu 4 (7 điểm):
1.Cho hình thang ABCD (AB//CD) gọi O là giao điểm của hai đờng chéo. Qua O
kẻ đờng thẳng song song với hai đáy cắt BC ở I, cắt AD ở J chứng minh rằng:
a.

1
1
1
=
+
OI AB CD

b.

2
1
1
=
+
IJ AB CD

2. Cho tam giác ABC, vẽ hình bình hành AMON sao cho M AB, O BC và N
AC. Biết SMOB = a2; SNOC =b2; Tính diện tích hình bình hành AMON.
Duyt ca t CM

Duyt BGH


Trờng thcs thanh thùy

Hớng dẫn chấm olympic toán 8
Năm học: 2013 - 2014
Thời gian: 120 phút

Câu
Nội dung
1
(6 a. ĐKXĐ: x 1
điểm)
- Quy đồng khử mẫu: 7 (x-1) + 8( x+1) = 37-9x
- Giải ra: x = 1,5
- Kết luận: x=1,5 là nghiệm của phơng trình
1
1
14

=
x + 2000 x + 2014 15
14
14

=
( x + 2000 ) ( x + 2014 ) 15

b.

( x + 2000 ) ( x + 2014 ) = 15
....... ( x + 1999 ) ( x + 2015 ) = 0
x = 1999
........
(Thỏa mãn đk của ẩn)
x = 2015

Vậy tập nghiệm của phơng trình là S = { 1999; 2015}
c. x3 + 4,5x2 = 13,5
2x3 +9x2 27 = 0
.... (x+3)2(2x-3) = 0
x = 3

x = 3

2

2 (5đ)

3 (2đ)

0,25
0,25
0,5
0,25

0,25

0,25
0,5
0,5
0,5

3
Vậy tập nghiệm của phơng trình là : S = 3;
2

a. Theo định lý Be zout ta có f(0)=1; f(1) = 2
Vì x2 x = x(x-1) có bậc là 2 nên d trong phép chia f(x) cho x2
x có bậc không quá 1
Giả sử d là r(x) = ax + b ta có
f(x)= x (x-1)q(x)+ ax + b (1)
Thay x =0 vào (1) ta đợc f(0) = b =1
Thay x = 1 vào (1) ta đợc f(1) = a+b = 2
=> a=b =1
Vậy d cần tìm là x+1
Theo định lý Bezout
f(x) chia cho x+1 d 6 f(-1) = -6
.................
-a + b = - 4
f(x) chia cho x 2 d 21 f(2) = 21
..............
2a+ b = 5
=> a= 3 ; b = -1
Vậy f(x) = 2x3 + 3x - 1
a+b+c=3 =>

Điểm
0,5
0,75
0,5
0.25
0,5

a+b+c
=1
3

0,25
0,5
0,5
0,5
0,75
0,25

0,75

0,75
0,75
0,25
0,5
0,25


B=

1 1 1 a+b+c a+b+c a+b+c
+ + =
+
+
a b c
3a
3b
3c

=......=

1 a b a c b c
3 + + ữ + + ữ+ + ữ
3 b a c a c b

1

1
3

B .9 = 3 (Dấu = đã xảy ra khi và chỉ khi

0,25

Khi a =b = c= 1)
=> Min B = 3 a =b = c = 1
4(7đ)

a. COI : CAB (g-g)

1đ

OI CI
(1)
=
AB CB
BOI : BDC (g g)
OI
BI
(2)

=
DC BC
OI OI CI + BI
Từ (1) và (2) =>
+
=
=1
AB DC
BC
1
1
1
=> =
(3)
+
OI AB CD


1đ

0,5
0,5

b. Chứng minh tơng tự câu a ta có:
1
1
1
=
+
OJ AB CD

Từ (3) và (4) =>

0,5

(4)

0,5

1
1
1
1
+
= 2
+
ữ
OI OJ
AB CD

0,5
0,5

Chứng minh đợc: OI = OJ
=>

2
1
1
=
+
IJ AB CD

0,25
0,5

2. Đặt SABC = c2

2

a 2 BO
a BO
(1)
MBO : ABC => 2 =
ữ => =
c
c BC
BC

0,5

2

b 2 CO
b CO
(2)
NOC : ABC => 2 =
ữ => =
c
c CB
CB

0,25

Từ (1) và (2) =>

0,25

a + b BO + CO BC
=
=
=1
c
BC
BC

=> (a+b)2 = c2 hay SABC = (a+b)2
Do đó diện tích hình bình hành AMON là
(a+b)2 (a2 + b2) = 2ab
Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa:

Duyt ca t CM

Duyt BGH

0,25