Đề thi học sinh giỏi toán lớp 8 có đáp án chi tiết đề (8)

UBND HUYỆN KIM SƠN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI - 7

MÔN: TOÁN 8
Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (2.0 Điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x 2 + 7 x + 6
b) a(x2 +1) – x(a2 + 1)
c) x – 1 + xn + 3- xn
Bài 2: (3,0 Điểm)
1. Cho đa thức f(x) = 2x3 – 3ax2 +2x + b
Xác định a và b để f(x) chia hết cho x – 1 và x + 2
2. So sánh A và B biết:
2
2
4
8
16
A = 5 32 − 1 và B = (5 − 4.5 + 1)(5 + 1)(5 + 1)(5 + 1)(5 + 1)
3. Cho a, b, c là các số thỏa mãn abc = 1. Tính giá trị của biểu thức:
A=

a
b
c
+
+
1 + a + ab 1 + b + bc 1 + c + ac

Bài 3: (1,5 Điểm) Thực hiện phép tính:


2 xy
x − y  2x
y
.
+
+
2
2x + 2 y  x + y y − x
x − y

a) 

2

1  5 x 2 + 15 x
 2
−
. 2
b) 
2
 x − 2 x + 3x  2 x + 5 x + 2

Bài 4: (2,5 Điểm)
Cho hình vuông ABCD. Trên tia đối của BA lấy một điểm E, trên tia đối của CB lấy
một điểm F sao cho AE = CF.
1) Chứng minh tam giác DEF vuông cân.
2) Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD của hình vuông ABCD, gọi I là

trung điểm của EF
Chứng minh O, C, I thẳng hàng.
Bài 5: (1,0 Điểm) Một đa giác đều có tổng số đo tất cả các góc ngoài và một góc trong
của đa giác bằng 5040 . Hỏi đa giác có mấy cạnh
--------------- HẾT ---------------

1


UBND HUYỆN KIM SƠN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
Câu

HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG
MÔN: TOÁN 8

Đáp án
a/=x + 6x + x +6 = (x + 6)( x + 1)
b/=ax2 + a – a2x – x
=ax(x – a) – (x – a)
= (x – a)(ax - 1)
c/ = (x – 1) + (x3 – 1)(xn)
= (x – 1) [1 + ( x 2 + x + 1) x n ]
= (x – 1)(1 + xn + xn+2 + xn+1)
1/ Để f(x) chia hết cho 2 đa thức x – 1 và x + 2 ta có
f(x) = (x – 1)(x + 2). Q(x)
+ Với x = 1 => 2 – 3a + 2 + b = 0 => b = 3a (1)
+ Với x = 2 => -1b -12a – 4 + b = 0 => b = 12a + 20 (2)
2

1

+ Kết hợp (1) và (2) ta có a =
2

− 20
− 20
;b=
9
3

2/ ta có A = (516 – 1)(516 + 1) = …
= 24(52 +1)(54 +1)(58 + 1)(516 + 1)
Do 24 > 6 => A > B
3/ Thay abc = 1 vào biểu thức A ta có
a
b
bc
+
+
abc + a + ab 1 + b + bc b + bc + abc
1
b
bc
+
+
=1
=
bc + b + 1 bc + b + 1 bc + b + 1
 2 xy

x − y  2x
y
.
a /  2
+
+
2
2x + 2 y  x + y y − x
x −y

A=

2 xy.2 + ( x − y ) 2 x
y
=
+
2
2
x+ y y−x
2x −y
2

(

)

2 x( x + y )
−y
x− y
+

=
=1
2
2( x + y ) ( x − y ) x − y x − y
2

=

3

 2
1  5 x( x + 3)
. 2
b / = 
−
 x − 2 x( x + 3)  2 x + 5 x + 2
2 x( x + 3) − ( x − 2) 5 x( x + 3)
=
.
1
x( x − 2)( x + 3)
( x + 2)( x + )
2
2
2 x + 5x + 2
5 x( x + 3)
5
=
. 2
=

x( x − 2)( x + 3) 2 x + 5 x + 2 x − 2

Điểm
0,5đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ

0,25đ
0,5đ

0,25đ
0,5đ

2


E

I

B

C

F

O
A

4

D

-Vẽ hình đảm bảo
a/ Chứng minh ∆ DEF vuông cân
∆ ADF = ∆ CDF (c.g.c) => DE = DF (1)
AE//DC => ADE = D1 ( so le trong)
Mà ADE = D2 (do ∆ ADE = ∆ CDF)
=> ADE + AED = D1 + D2
Hay EDF = 900(2).
Từ (1) và (2) suy ra ∆ DEF vuông cân.
b/ O là giao điểm của AC và BD, I là trung điểm của EF.
-

Ta có ID =

1
1

EF; IB = EF( Tính chất trung tuyến ứng
2
2

với cạnh huyền trong tam giác vuông)
=> ID = IB, Vậy 3 điểm O, C, I cùng thuộc đường trung trực
của BD nên ba điểm này thẳng hàng.
- Gọi đa giác cần tìm có n cạnh
- Tổng số đo các góc của tam giác đó là ( n – 2).1800
5

0,25đ

0,5đ
0,5đ
0,25đ

0,5đ
0,5đ

(n − 2).180 0
=> số đo một góc trong của tam giác đó là:
n

-

Do tổng số đo các góc ngoài của một tam giác là 3600 nên
(n − 2).180 0
ta có 360 +
= 5040 => n = 10

n
0

- Vậy đa giác cần tìm là thập giác đều.
--------------- HẾT ---------------

3