Bài tập đại số lớp 10

Trần Sĩ Tùng

Lượng giác
BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG VI

Bài 1. Chứng minh các đẳng thức sau:

a)

sin 2 x − cos2 x + cos4 x
2

2

4

= tan 4 x

cos x − sin x + sin x
6 + 2 cos 4 x
c) tan 2 x + cot 2 x =
1 − cos 4 x
2
sin x
cos2 x
e) 1 −
−
= sin x.cos x
1 + cot x 1 + tan x
π


2 cos x − 2 cos  + x ÷
4
 = tan x
g)
π

2sin  + x ÷− 2 sin x
4


b) (tan 2 x − tan x )(sin 2 x − tan x ) = tan 2 x
d)

1 + cos x 1 − cos x 4 cot x
−
=
1 − cos x 1 + cos x
sin x

f) cos x + cos(1200 − x ) + cos(120 0 + x ) = 0
x
3x
− cot 2
2
2
=8
h)

2 x
2 3x 

cos .cos x.  1 + cot
2
2 ÷


cot 2

 1


π
i) cos6 x − sin 6 x = cos 2 x  1 − sin2 2 x ÷ k) cos4 x − sin 4 x + sin 2 x = 2 cos  2 x − ÷
 4


4
Bài 2. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x:
a) 3(sin 4 x + cos4 x ) − 2(sin 6 x + cos6 x )
b) cos6 x + 2sin 4 x cos2 x + 3sin2 x cos4 x + sin 4 x




π
π
π
3π 
c) cos  x − ÷.cos  x + ÷+ cos  x + ÷.cos  x +
÷


3

4

6

4 
 2π

 2π

+ x ÷+ cos2 
− x÷
d) cos2 x + cos2 
 3

 3

1
Bài 3. a) Chứng minh: cot α − cot 2α =
.
sin 2α
1
1
1
1
b) Chứng minh:
+
+
+

= cot x − cot16 x .
sin 2 x sin 4 x sin 8 x sin16 x
Bài 4. a) Chứng minh: tan α = cot α − 2 cot 2α .
1
x 1
x
1
x
1
x
b) Chứng minh: tan + 2 tan 2 + ... + n tan n = n cot n − cot x .
2
2 2
2
2
2
2
2
1
4
1
=
−
Bài 5. a) Chứng minh:
.
4 cos2 x sin2 2 x 4sin2 x
1
1
1
1

1
+
+ ... +
=
−
b) Chứng minh:
x
x
x sin 2 x
x .
4 cos2
42 cos2
4n cos2
4 n sin2
2
22
2n
2n
1
Bài 6. a) Chứng minh: sin3 x = (3sin x − sin 3 x ) .
4

1 n
x
3 x
3 x
n −1
3 x
b) Chứng minh: sin + 3sin 2 + ... + 3 sin n =  3 sin n − sin x ÷.
3

4
3
3
3

1
tan 2α
.
=
cos 2α
tan α

1 
1  
1  tan 2n x
...
1
+
b) Chứng minh:  1 +
.
÷ 1 +
÷ 
÷=
tan x
 cos 2 x   cos 22 x   cos 2n x 

Bài 7. a) Chứng minh: 1 +

Trang 73

Lượng giác

Trần Sĩ Tùng

sin 2α
.
2 sin α
x
x
x
sin x
cos .cos ...cos
=
b) Chứng minh:
2
22
2n 2n sin x .
2n
Bài 9. Đơn giản các biểu thức sau:
a) A = tan 3o.tan17o.tan 23o.tan 37o.tan 43o.tan 57o.tan 63o.tan 77o.tan 83o
Bài 8. a) Chứng minh: cos α =

2π
4π
6π
8π
+ cos
+ cos
+ cos

5
5
5
5
11π
5π
c) C = sin
.cos
12
12
π
5π
7π
11π
d) D = sin .sin
.sin
.sin
24
24
24
24
HD: a) A = tan 27o . Sử dụng tan x.tan(600 − x ).tan(600 + x ) = tan 3 x .
b) B = cos

b) B = –1

c) C =

1
3

−
2 4

d) D =

1
16

Bài 10. Chứng minh:

π
2π
3π
1
− cos
+ cos
=
7
7
7
2
3
o
2
o
b) 8sin 18 + 8sin 18 = 1
π
π
π
π

c) 8 + 4 tan + 2 tan + tan
= cot
8
16
32
32
1
1
4
+
=
d)
o
o
3
cos 290
3.sin 250
a) cos

8 3
cos 20o
3
3 +1
f) cos12o + cos18o − 4 cos15o.cos 21o.cos 24o = −
2
o
o
o
o
g) tan 20 + tan 40 + 3.tan 20 .tan 40 = 3

e) tan 30o + tan 40o + tan 50o + tan 60 o =

π
3π
9π 1
+ cos
+ ... + cos
=
11
11
11 2
2π
4π
10π
1
i) cos
+ cos
+ ... + cos
=−
11
11
11
2
h) cos

Bài 11. a) Chứng minh: sin x.cos x.cos 2 x.cos 4 x =

1
sin 8 x .
8

π
3π
5π
b) Áp dụng tính: A = sin 60.sin 420.sin 66 0.sin 780 , B = cos .cos .cos
.
7
7
7
3 1
1
Bài 12. a) Chứng minh: sin 4 x = − cos 2 x + cos 4 x .
8 2
8
π
3π
5π
7π
3
b) Áp dụng tính: S = sin 4 + sin 4
.
ĐS: S =
+ sin 4
+ sin 4
16
16
16
16
2
1 − cos 2 x

Bài 13. a) Chứng minh: tan x =
.
sin 2 x
Trang 74


Trần Sĩ Tùng

Lượng giác

π
3π
5π
.
+ tan2
+ tan 2
12
12
12
Bài 14. Không dúng máy tính, hãy tính giá trị các biểu thức sau:
a) sin180 , cos180
b) A = cos2 180.sin 2 360 − cos36 0.sin180
b) Áp dụng tính: S = tan2

c) B = sin2 240 − sin 2 60
d) C = sin 2 0.sin180.sin 22 0.sin 380.sin 42 0.sin 580.sin 62 0.sin 780.sin 820
5 −1
. Chú ý: sin 540 = cos360 ⇒ sin(3.180 ) = cos(2.180 )
4
1

5 −1
b) A =
c) B =
16
4
1
5 −1
d) C =
. Sử dụng: sin x.sin(600 − x ).sin(600 + x ) = sin 3 x
4
1024
Bài 15. Chứng minh rằng:
a) Nếu cos(a + b) = 0 thì sin(a + 2b) = sin a .
b) Nếu sin(2a + b) = 3sin b thì tan(a + b) = 2 tan a .
Bài 16. Chứng minh rằng trong tam giác ABC, ta có:
a) b cos B + c cos C = a cos(B − C )
b) S = 2 R 2 sin A.sin B.sin C
HD: a) sin180 =

c) 2S = R(a cos A + b cos B + c cos C )

d) r = 4 R sin

A
B
C
sin sin
2
2
2

Bài 17. Chứng minh rằng:

sin B + sin C
thì tam giác ABC vuông tại A.
cos B + cos C
tan B sin 2 B
b) Nếu
thì tam giác ABC vuông hoặc cân.
=
tan C sin 2 C
sin B
c) Nếu
= 2 cos A thì tam giác ABC cân.
sin C
a) Nếu sin A =

Bài 18.

a)

Trang 75