Bài tập đại số lớp 10

Trần Sĩ Tùng

Lượng giác
VẤN ĐỀ 6: Công thức nhân

Công thức nhân đôi
sin 2α = 2sin α .cos α
cos 2α = cos2 α − sin 2 α = 2 cos2 α − 1 = 1 − 2sin 2 α
tan 2α =

2 tan α

1 − tan 2 α
Công thức hạ bậc

cot 2 α − 1
2 cot α
Công thức nhân ba (*)

;

cot 2α =

1 − cos2α
2
1 + cos 2α
2
cos α =
2
1 − cos 2α
2

tan α =
1 + cos 2α

sin 3α = 3sin α − 4sin3 α
cos3α = 4 cos3 α − 3cos α
3tan α − tan3 α
tan 3α =
1 − 3tan 2 α

sin2 α =

Bài 1. Tính giá trị của biểu thức lượng giác, khi biết:

a) cos 2α , sin 2α , tan 2α khi cos α = −

5
3π
, π <α <
13
2

b) cos 2α , sin 2α , tan 2α khi tan α = 2
4 π
3π
c) sin α , cos α khi sin 2α = − , < α <
5 2
2
7
d) cos 2α , sin 2α , tan 2α khi tan α =
8

Bài 2. Tính giá trị của biểu thức sau:
a) A = cos 20o.cos 40o.cos 60o.cos80o

ĐS:

b) B = sin10o.sin 50o.sin 70o

ĐS:

π
4π
5π
c) C = cos .cos
.cos
7
7
7

ĐS:

d) D = cos100.cos 500.cos 700

ĐS:

e) E = sin 6o.sin 42o.sin 66o.sin 78o

ĐS:

f) G = cos

2π
4π
8π
16π
32π
.cos
.cos .cos
.cos
31
31
31
31
31

ĐS:

h) H = sin 5o.sin15o.sin 25o.... sin 75o.sin 85o

ĐS:

i) I = cos10 0.cos 20 0.cos30 0...cos 70 0.cos80 0

ĐS:

π
π
π
π
π
.cos .cos cos cos

48
48
24
12
6
π
2π
3π
4π
5π
6π
7π
l) L = cos .cos
.cos .cos
.cos .cos
.cos
15
15
15
15
15
15
15
k) K = 96 3 sin

Trang 67

1
16
1

8
1
8
3
8
1
16
1
32
2
512
3
256

ĐS: 9
ĐS:

1
128


Lượng giác

Trần Sĩ Tùng

π
π
π
2
ĐS:

.cos .cos
16
16
8
8
Bài 3. Chứng minh rằng:
a
a
a
a
sin a
P = cos cos cos
... cos
=
a)
a
2
22
23
2n
2 n.sin
2n
π
2π
nπ
1
.cos
... cos
=
b) Q = cos

2n + 1
2n + 1
2 n + 1 2n
2π
4π
2nπ
1
.cos
... cos
=−
c) R = cos
2n + 1
2n + 1
2n + 1
2
Bài 4. Chứng minh các hệ thức sau:
3 1
5 3
a) sin 4 + cos4 x = + cos 4 x
b) sin 6 x + cos6 x = + cos 4 x
4 4
8 8
1
x
x 1
c) sin x.cos3 x − cos x.sin3 x = sin 4 x
d) sin 6 − cos6 = cos x(sin 2 x − 4)
4
2
2 4

1 − sin 2 x
x
= 1
2 π
e) 1 − sin x = 2sin  − ÷
f)
π


2 π
 4 2
2 cot  + x ÷.cos  − x ÷
4

4

π

1 + cos  + x ÷
π x 
π
 1 + sin 2 x
2
 = 1
g) tan  + ÷.
h) tan  + x ÷ =
 4 2
π

4


cos 2 x
sin  + x ÷
2

π x 
cos x
tan 2 2 x − tan 2 x
=
cot
−
i)
k) tan x.tan 3 x =

÷
1 − sin x
 4 2
1 − tan2 x.tan2 2 x
2
l) tan x = cot x − 2 cot x
m) cot x + tan x =
sin 2 x
m) M = sin

n)

1 1 1 1 1 1
x
π
+

+
+ cos x = cos , vôùi 0 < x < .
2 2 2 2 2 2
8
2

Bài 5.

a)

VẤN ĐỀ 7: Công thức biến đổi
1. Công thức biến đổi tổng thành tích
sin(a + b)
cos a.cos b
sin(a − b)
tan a − tan b =
cos a.cos b
sin(a + b)
cot a + cot b =
sin a.sin b
sin(b − a)
cot a − cot b =
sin a.sin b

a+b
a−b
.cos
2
2
a+b

a−b
cos a − cos b = − 2sin
.sin
2
2
a+b
a−b
sin a + sin b = 2sin
.cos
2
2
a+b
a−b
sin a − sin b = 2 cos
.sin
2
2
cos a + cos b = 2 cos

tan a + tan b =

Trang 68


Trần Sĩ Tùng

Lượng giác


π

π
sin α + cos α = 2.sin  α + ÷ = 2.cos  α − ÷
4
4




π
π
sin α − cos α = 2 sin  α − ÷ = − 2 cos  α + ÷

4

4

2. Công thức biến đổi tích thành tổng

Bài 1. Biến đổi thành tổng:

a) 2sin(a + b).cos(a − b)
c) 4sin 3 x.sin 2 x.cos x
e) sin( x + 30o ).cos( x − 30o )

g) 2sin x.sin 2 x.sin 3 x.


π
π
i) sin  x + ÷.sin  x − ÷.cos 2 x


6

6
Bài 2. Chứng minh:
π

π

a) 4 cos x.cos  − x ÷cos  + x ÷ = cos3 x
3

3

Áp dụng tính:

b) 2 cos(a + b).cos(a − b)
13 x
x
d) 4sin
.cos x.cos
2
2
π
2π
f) sin .sin
5
5
h) 8cos x.sin 2 x.sin 3 x
k) 4 cos(a − b).cos(b − c).cos(c − a)

π
 π

b) 4sin x.sin  − x ÷sin  + x ÷ = sin 3 x
3
 3


A = sin10o.sin 50o.sin 70o

B = cos10o.cos 50o.cos 70o

C = sin 20 0.sin 400.sin 80 0
Bài 3. Biến đổi thành tích:
a) 2sin 4 x + 2

D = cos 20 0.cos 400.cos80 0
b) 3 − 4 cos2 x
d) sin 2 x + sin 4 x + sin 6 x
f) sin 5 x + sin 6 x + sin 7 x + sin 8 x
h) sin 2 ( x + 90o ) − 3cos2 ( x − 90o )
k) cos x + sin x + 1

c) 1 − 3tan2 x
e) 3 + 4 cos 4 x + cos8 x
g) 1 + sin 2 x – cos 2 x – tan 2 x
i) cos 5 x + cos8 x + cos 9 x + cos12 x
Bài 4. Rút gọn các biểu thức sau:
cos 7 x − cos8 x − cos 9 x + cos10 x
sin 2 x + 2sin 3 x + sin 4 x

a) A =
b) B =
sin 7 x − sin 8 x − sin 9 x + sin10 x
sin 3 x + 2sin 4 x + sin 5 x
1 + cos x + cos 2 x + cos3 x
sin 4 x + sin 5 x + sin 6 x
c) C =
d)
D
=
cos 4 x + cos 5 x + cos 6 x
cos x + 2 cos2 x − 1
Bài 5. Tính giá trị của các biểu thức sau:
π
2π
π
7π
a) A = cos + cos
b) B = tan + tan
5
5
24
24
2
o
2
o
2
o
2

o
c) C = sin 70 .sin 50 .sin 10
d) D = sin 17 + sin 2 43o + sin17o.sin 43o
Trang 69


Lượng giác
e) E =
g) G =

Trần Sĩ Tùng
1
2sin10

o

− 2sin 70o

tan 80o
cot 25o + cot 75o

−

f) F =
cot10o

1
sin10

o

−

3
cos10o

tan 25o + tan 75o

h) H = tan 90 − tan 270 − tan 630 + tan 810
ĐS: A =

1
2

C=

B = 2( 6 − 3)

E=1
F=4
G=1
Bài 6. Tính giá trị của các biểu thức sau:
π
7π
13π
19π
25π
a) sin sin
sin
sin

sin
30
30
30
30
30
o
o
o
o
b) 16.sin10 .sin 30 .sin 50 .sin 70 .sin 90o

1
3
D=
64
4
H=4
1
32
ĐS: 1
ĐS:

c) cos 24o + cos 48o − cos84o − cos12o

ĐS:

2π
4π
6π

+ cos
+ cos
7
7
7
π
2π
3π
e) cos − cos
+ cos
7
7
7
π
5π
7π
f) cos + cos
+ cos
9
9
9
2π
4π
6π
8π
g) cos
+ cos
+ cos
+ cos
5

5
5
5
π
3π
5π
7π
9π
h) cos + cos
+ cos
+ cos
+ cos
11
11
11
11
11
Bài 7. Chứng minh rằng:
a) tan 9o − tan 27o − tan 63o + tan 81o = 4
d) cos

ĐS: −
ĐS:

ĐS:

8 3
.cos 20o
3

e) tan 20o + tan 40o + tan 80o + tan 60o = 8sin 40 o

(α ≠ kπ )

π
2π
3π
(n − 1)π
+ sin
+ sin
+ ... + sin
.
n
n
n
n
π
3π
5π
(2n − 1)π
c) S3 = cos + cos
+ cos
+ ... cos
.
n
n
n
n
1
1

1
π
d) S4 =
+
+ ... +
, vôùi a = .
cos a.cos 2a cos 2a.cos3a
cos 4 a.cos 5a
5


1 
1 
1  
1
e) S5 =  1 +
÷ 1 +
÷ 1 +
÷ ...  1 +
÷
n
−
1
 cos x  cos 2 x  cos3 x   cos 2 x 
b) S2 = sin

Trang 70

1
2

ĐS: –1

c) tan10o − tan 50o + tan 60o + tan 70o = 2 3

f) tan 6 20o − 33tan 4 20o + 27 tan 2 20o − 3 = 0
Bài 8. Tính các tổng sau:
a) S1 = cos α + cos3α + cos 5α + ... + cos(2n − 1)α

1
2

ĐS: 0

b) tan 20o − tan 40o + tan 80o = 3 3

d) tan 30o + tan 40o + tan 50o + tan 60o =

1
2

1
2


Trần Sĩ Tùng
ĐS: S1 =
S4 =

Lượng giác

sin 2nα
;
2sin α

S2 = cot

π
;
2n

S3 = − cos

π
;
n

tan 2 n−1 x
S5 =
x
tan
2

tan 5a − tan a
= 1− 5 ;
sin a

Bài 9.

1
(3sin x − sin 3 x ) (1)

4
a
3a
3 a
n −1
3 a
b) Thay x = n vaøo (1), tính Sn = sin + 3sin 2 + ... + 3 sin n .
3
3
3
3

1 n
a
ĐS: Sn =  3 sin n − sin a ÷.
4
3

a) Chứng minh rằng: sin3 x =

Bài 10.

a) Chứng minh rằng: cos a =

sin 2a
.
2sin a

x
x

x
b) Tính Pn = cos cos 2 ... cos n .
2
2
2

ĐS:

Pn =

sin x
n

2 sin

x

.

2n

Bài 11.

1
x
= cot − cot x .
sin x
2
1
1

1
+
+ ... +
(2n−1α ≠ kπ )
b) Tính S =
n
−
1
sin α sin 2α
sin 2 α
a) Chứng minh rằng:

ĐS: S = cot

α
− cot 2 n−1α
2

Bài 12.

a) Chứng minh rằng: tan 2 x.tan 2 x = tan 2 x − 2 tan x .
a
a
2 a
2 a
n −1
2 a
b) Tính Sn = tan .tan a + 2 tan 2 .tan + ... + 2 tan n .tan n −1
2
2

2
2
2
n
ĐS: Sn = tan a − 2 tan

Bài 13. Tính sin 2 2 x , biết:

1
2

+

1
2

tan x cot x
Bài 14. Chứng minh các đẳng thức sau:
a) cot x − tan x − 2 tan 2 x = 4 cot 4 x
c)

1
cos6 x

− tan6 x =

3tan 2 x
cos2 x

+1

+

1
2

sin x

+

1
2

cos x

=7

ĐS:

8
9

1 − 2sin2 2 x 1 + tan 2 x
=
1 − sin 4 x
1 − tan 2 x
1
sin 2 x − cos 2 x
d) tan 4 x −
=

cos 4 x
sin 2 x + cos 2 x
b)

e) tan 6 x − tan 4 x − tan 2 x = tan 2 x.tan 4 x.tan 6 x
sin 7 x
f)
= 1 + 2 cos 2 x + 2 cos 4 x + 2 cos 6 x
sin x
g) cos 5 x.cos3 x + sin 7 x.sin x = cos 2 x.cos 4 x
Bài 15.

a) Cho sin(2a + b) = 5sin b . Chứng minh:

2 tan(a + b)
=3
tan a

Trang 71

a
2n


Lượng giác

Trần Sĩ Tùng

b) Cho tan(a + b) = 3tan a . Chứng minh: sin(2a + 2b) + sin 2a = 2sin 2b
Bài 16. Cho tam giác ABC. Chứng minh:

A
B
C
a) sin A + sin B + sin C = 4 cos cos cos
2
2
2
A
B
C
b) cos A + cos B + cos C = 1 + 4sin sin sin
2
2
2
sin
2
A
+
sin
2
B
+
sin
2
C
=
4sin
A
.sin
B

.sin
C
c)
d) cos 2 A + cos 2 B + cos 2C = − 1 − 4 cos A.cos B.cos C
e) cos2 A + cos2 B + cos2 C = 1 − 2 cos A.cos B.cos C
f) sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C = 2 + 2 cos A.cos B.cos C
Bài 17. Tìm các góc của tam giác ABC, biết:
π
1
π
π
π
a) B − C =
ĐS: B = , C = , A =
vaø sin B.sin C = .
3
2
2
6
3
π
5π
π
2π
1+ 3
b) B + C =
ĐS: A = , B =
, C=
vaø sin B.cos C =
.

3
12
4
3
4
Bài 18. Chứng minh điều kiện cần và đủ đê tam giác ABC vuông:
a) cos 2 A + cos 2 B + cos 2C = −1
b) tan 2 A + tan 2 B + tan 2C = 0
b
c
a
B a+c
c)
d) cot =
+
=
cos B cos C sin B.sin C
2
b
Bài 19. Chứng minh điều kiện cần và đủ đê tam giác ABC cân:
A+B
a) a tan A + b tan B = (a + b) tan
b) 2 tan B + tan C = tan 2 B.tan C
2
sin A + sin B 1
C 2sin A.sin B
c)
d) cot =
= (tan A + tan B)
cos A + cos B 2

2
sin C
Bài 20. Chứng minh bất đẳng thức, từ đó suy ra điều kiện cần và đủ đê tam giác ABC đều:
π
3 3
a) sin A + sin B + sin C ≤
HD: Cộng sin vào VT.
3
2
3
π
b) cos A + cos B + cos C ≤
HD: Cộng cos vào VT.
2
3
c) tan A + tan B + tan C ≥ 3 3 (với A, B, C nhọn)
d) cos A.cos B.cos C ≤

1
8

HD: Biến đổi cos A.cos B.cos C −

Bài 21.

a)

Trang 72

1

về dạng hằng đẳng thức.
8