Các chuyên đề toán học lớp 9

Các chuyên đề Toán 9 

Chuyên đề 1: Số chính phương

I Khái niệm:
­ Số chính phương là số bằng bình phương của một số tự nhiên.
­ Mười số chính phương đầu tiên là: 0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,...
II Tính chất:
­ Số chính phương không tận cùng bởi các chử số: 2,3,7,8
­ Khi phân tích một số chính phương ra thừa số nguyên tố ta được các thừa số là lũy thừa của số 
nguyên tố với số mũ chẳn.
Chẳng hạn:
Từ đó:
­ Số chính phương chia cho 3 chỉ có thể dư 0 hoặc 1.
­ Nếu hai số nguyên liên tiếp có tích là một số chính phương thì một trong hai số nguyên đó là số 
0.
III Nhận biết:
a) Để chứng minh N là một số chính phương của một số tự nhiên (hoặc số nguyên).
­ Vận dụng tính chất: nếu hai số tự nhiên a và b nguyên tố cùng nhau có tích là một số chính 
phương thì mỗi số a, b cũng là một số chính phương.
b) Để chứng minh N không phải là số chính phương ta có thể:
­ Chứng minh N có chữ số tận cùng là 2,3,7,8. 
­ Chứng minh N chứa số nguyên tố với mũ lẽ. 
­ Xét số dư khi N cho 3 hoặc cho 4 hoặc cho 5 cho 8.
­ Chứng minh N nằm giửa hai số chính phương liên tiếp.
* N chia cho 3 dư 2; N chia cho 4; 5 có số dư là 2; 3.
suy ra N không phải là số chính phương 

Chuyên đề 2: Tính chất so sánh phân so sánh

1/ Quy đồng mẫu các phân số đã cho rồi so sánh các tử nhau.

2/ Viết các phân số đã cho dưới dạng các phân số cùng tử rồi so sánh các mẫu với nhau.
3/ So sánh phân số dựa vào tính chất: Nếu 
thì 
4/ So sánh tỉ số các phân số đã cho với 1 dựa vào tính chất 
Nếu 
thì x < y
5/ Viết các phân số dưới dạng số thập phân rồi so sánh các số thập phân đó.
6/ So sánh số nghịch đảo của các phân số dựa vào tính chất.
Nếu 
thì 
7/ Dựa vào tính chất bắc cầu của quan hệ thứ tự :
Nếu 

và 

thì 

.


8/ So sánh" phần bù của các phân số đối với đơn vị " dựa vào tính chất: Nếu 
1 và 
9/ Ta có tính chất :

thì 

. đều nhỏ hơn 

.

Nếu 
thì 
.
10/ Từ tính chất đã nêu ở cách 9  tính chất 
Nếu 

thì 

với n là số nguyện dương 

Chuyên đề 3: Các dấu hiệu chia hết
1/ Chia hết cho 4: 2 chữ số tận cùng lặp thành 1 số chia hết cho 4.
2/ Chia hết cho 8: 3 chữ số tận cùng lặp thành 1 số chia hết cho 8.
3/ Chia hết cho 11: hiệu giữa tổng các số ở vị trí lẽ và tổng các số ở vị trí chẵn (từ phải sang trái) 
chia hết cho 11.
4/ Các số chia hết cho 25 thì 2 chữ số tận cùng tạo thành 1 số chia hết cho 25.
5/ Các số chia hết cho 125 thì 3 chữ số tận cùng tạo thành 1 số chia hết 125.
6/ Các số có chữ số tận cùng là 0,2,4,6,8 thì chia hết cho 2.
7/ Các số có tổng các chử số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3.
Ví dụ:
644 chia hết cho 4, vì 44 chia hết cho 4.
1560 chia hết cho 8, vì 560 chia hết cho 8.
44847 chia hết cho 11, vì (4+8+7)­(4+4) chia hết cho 11.
5623475 chia hết cho 25, vì 75 chia hết cho 25.3
3145689125 chia hết cho 125, vì 125 chia hết cho 125. 

Chuyên đề 4: Quan hệ giữa parabol 
thẳng 

và đường 

Hoành độ giao điểm của parabol 
và đường thẳng 
là 
nghiệm của phương trình: 
(1)
Nếu phương trình (1) vô nghiệm thì đường thẳng không giao với parabol
Nếu phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt thì đường thẳng cắt parabol tại hai điểm phân biệt.
Nếu phương trình (1) có nghiệm kép thì đường thẳng cắt parabol tại 2 điểm trùng nhau, khi đó ta 
nói đường thẳng tiếp xúc với parabol. 

Chuyên đề 5: Giải phương trình nghiệm nguyên 
bằng phương pháp lùi vô hạn


Phương pháp chung
* Phương trình nghiệm nguyên có dạng:
(*)
Với n là số tự nhiên lớn hơn 1, các tham số nguyên 
giải bằng phương pháp lùi vô hạn như sau:
+ Sử dụng tính chất chia hết để chứng minh 
p. Từ đó suy ra: 
cùng chia hết cho p.
+ Đặt 
(suy ra 
nguyên).
Phương trình (*) trở thành: 
Hoàn toàn tương tự, ta lại chứng minh được 

và các ẩn 

được 

cùng chia hết cho một số nguyên tố 
cũng nhận các giá trị 

cùng chia hết cho p, suy ra 

cùng chia hết cho  .
+ Quá trình này tiếp tục mãi, suy ra 
cùng chia hết cho 
với m là một số nguyên 
dương lớn tùy ý. Điều này xảy ra khi và chỉ khi 
Vậy: phương trình (*) có nghiệm nguyên duy nhất 
* Một số dạng phương trình nghiệm nguyên khác cũng giải được bằng phương pháp lùi vô hạn