Sáng kiến kinh nghiệm một số kỹ thuật giải toán trên máy tính cầm tay

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO BÌNH ĐỊNH

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM- TỔNG KẾT KINH NGHIỆM

ĐỀ TÀI
MỘT SỐ KỸ THUẬT
GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY

Người thực hiện: NGUYỄN THÁI QUANG
Đơn vị: SỞ GIÁO DỤC- ĐÀO TẠO BÌNH ĐỊNH

MỞ ĐẦU
I/ LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
1/ Cơ sở thực tiễn

Tháng 5 năm 2011


MỘT SỐ KỸ THUẬT
GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY
Tác giả: Nguyễn Thái Quang, TP.TrH, Sở GD-ĐT Bình Định
MỤC LỤC
Phần 1: MỞ ĐẦU………………………………………………………

2

Phần 2: NỘI DUNG ĐỀ TÀI……………………………………………

5

A/ Thực trạng....................................................................................

5

B/ Một số kinh nghiệm trong việc sử dụng máy tính cầm tay để giải toán... 6
I/ Các kỹ thuật giúp HS tránh những lỗi thông thường khi giải toán trên MTCT.6
II/ Các bài toán sử dụng kỹ năng bấm máy…………………………………

9

III/ Các bài toán cần tận dụng ưu thế của từng loại máy tính để giải toán…… 11
IV/ Các bài toán tính toán có nhiều hướng để giải quyết……………………... 15
V/ Các bài toán vận dụng tư duy để tìm ra công thức chính xác và lập trình bấm
phím hiệu quả………………………………………………………………………… 21
Phần 3: KẾT LUẬN………………………………………………………………

36

TÀI LIỆU THAM KHẢO…………………………………………………………

37

Phần 1: MỞ ĐẦU
I/ LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
1/ Cơ sở thực tiễn
a/ Trong những năm học gần đây, trong phân phối chương trình cấp trung học cơ sở
(THCS), cấp trung học phổ thông (THPT), Bộ Giáo dục và Đào tạo (GD-ĐT) đã bố trí một
số tiết học để giáo viên (GV) dạy cho học sinh (HS) sử dụng máy tính cầm tay và cho phép
HS sử dụng máy tính cầm tay (không có thẻ nhớ) để hỗ trợ cho khi làm bài kiểm tra thường
xuyên, định kỳ, thi học kỳ các môn học ở bậc trung học, trong các kỳ thi tuyển sinh vào 10,
thi tốt nghiệp THPT, thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng, Trung cấp chuyên nghiệp (chỉ trừ

thi HS giỏi môn toán). Điều này cho thấy tầm quan trọng của máy tính cầm tay trong việc
giúp HS giải nhanh, chính xác các nội dung của bài thi, đặc biệt là các bài có yêu cầu kỹ
năng tính toán. Tuy nhiên thực tế vẫn còn nhiều bất cập, đó là:
+ Mặc dù có bố trí một số tiết dạy sử dụng máy tính cầm tay, nhưng nội dung giảng dạy,
cũng như sách vở để hướng dẫn tổ chức dạy và học không có nên mỗi GV, mỗi trường gần
như tự thực hiện các tiết dạy này.

1


+ Từ những bất cập nêu trên, một số không ít GV, đặc biệt là những GV lâu năm trong
nghề thường bảo thủ, ngại khó, ít đầu tư nghiên cứu nên không có nhiều kỹ năng sử dụng
máy (thậm chí có GV dạy toán nhưng chưa trang bị một máy tính cầm tay nào) dẫn đến một
hệ quả tất yếu là HS ở những lớp này thiếu nhiều kỹ năng cần thiết để sử dụng máy, vì vậy
kết quả làm bài của các em chắc chắn sẽ thiệt thòi hơn những HS được GV hướng dẫn
thành thạo những kỹ năng sử dụng máy. Vấn đề này ảnh hưởng không nhỏ đến kết quả
kiểm tra, thi cử của tỉnh ta; đặc biệt là trong các kỳ thi tuyển sinh đại học, cao đẳng, TCCN.
b/ Qua các kỳ thi HS giỏi máy tính cầm tay cấp tỉnh, cấp quốc gia trong 2 năm học
2009-2010; 2010-2011, bên cạnh những kết quả đạt được đáng khích lệ, đội tuyển Bình
Định còn bộc lộ những hạn chế, thiếu sót đáng quan tâm. Nguyên nhân của vấn đề này có
cả GV và HS.
+ Về phía GV, đa số chúng ta còn thiếu nhiều kinh nghiệm đối với sân chơi này. Điều
này cũng dễ hiểu vì tỉnh ta mới tham gia trong 2 năm học gần đây; trong khi nhiều tỉnh,
thành trong khu vực đã tham gia 11 năm; thêm vào đó, sách, vở chính thống viết về nội
dung này gần như không có, người dạy phải tự tìm tài liệu để nghiên cứu nên chắc chắn với
thời gian có hạn, kinh nghiệm để bồi dưỡng của GV còn nhiều hạn chế là điều tất yếu.
+ Về phía HS cũng có nhiều vấn đề cần phải rút ra các bài học kinh nghiệm như thiếu
bình tĩnh, chủ quan, thiếu kỹ năng tính toán, trình bày…nên đã không thể làm bài đúng với
khả năng thực có của các em; thậm chí có những trường hợp cho kết quả ngược lại (nhiều
HS trình độ tốt hơn lại có kết quả thấp hơn).

Vì vậy việc đầu tư, nghiên cứu để giúp cho thầy và trò tỉnh ta có thêm một số kỹ năng
sử dụng máy tính cầm tay nhằm giúp cho việc dạy và học đạt hiệu quả cao hơn , thiết nghĩ
là một điều cần thiết.
2/ Cơ sở khoa học:
Cách đây khoảng vài ba thập kỷ; người học sẽ gặp nhiều khó khăn khi giải một số bài
toán phổ thông như: giải phương trình bậc 3 một ẩn; tìm nghiệm gần đúng của phương trình
bậc cao, tìm nghiệm của hệ 3,4,5… phương trình bậc nhất 3,4,5...ẩn, tính nhanh những giá
trị logarit, lũy thừa của một số khá lớn, tính tích phân xác định của một hàm số bất kỳ tại
một giá trị x trong tập xác định của hàm số...Ngày nay, với sự ra đời của các máy tính cầm
tay đã giúp người học giải quyết các vấn đề trên hết sức nhanh chóng và chính xác. Vì vậy,
ngoại trừ yêu cầu phát triển tư duy toán học đối với một số ít người có khả năng nghiên cứu
chuyên sâu nhằm giúp cho tư duy toán học nâng lên những tầm cao mới (như thi tuyển
chọn HS giỏi toán các cấp, Bộ GD-ĐT không cho HS sử dụng máy tính cầm tay); còn lại

2


các đề thi khác đều được ra dưới dạng ứng dụng những thành quả máy tính cầm tay để trợ
giúp cho HS giải được các bài toán phổ thông mà trước đây không lâu, người học khó có
thể hoàn thành được. Vì vậy việc nghiên cứu, tìm hiểu các kỹ năng để khai thác tốt ứng
dụng của các loại máy tính cầm tay vào việc giải các bài toán là một yêu cầu không thể
thiếu đối với những người quan tâm đến lĩnh vực toán học trong giai đoạn hiện nay.
II/ NHIỆM VỤ CỦA ĐỀ TÀI
Với cơ sở thực tiễn và cơ sở khoa học như đã nêu, chúng tôi mong muốn đề tài này sẽ là
một tư liệu giúp người dạy cũng như người học có thêm một số kỹ năng sử dụng máy tính
cầm tay để:
+ Trong quá trình tổ chức dạy và học tại các trường THCS, THPT trong toàn tỉnh, GV
có điều kiện nghiên cứu sâu hơn việc sử dụng các chức năng của máy tính cầm tay nhằm
giúp cho HS ngày càng đáp ứng tốt yêu cầu kiểm tra, thi cử (đặc biệt trong các kỳ thi tuyển
sinh vì chỉ cần sự trợ giúp của máy tính trong những trường hợp cần thiết sẽ giúp cho học

sinh giải quyết bài toán nhanh hơn, chính xác hơn, điều đó chắc chắn sẽ là một trong những
điều kiện để nâng cao tỉ lệ đậu Đại học, Cao đẳng, TCCN của tỉnh ta ).
+ Giúp HS trong các đội tuyển HS giỏi các cấp có thêm nhiều kỹ năng và kinh nghiệm
cần thiết để làm tốt hơn bài thi, nhằm nâng cao thành tích của các trường, các Phòng GDĐT và đặc biệt là đội tuyển của tỉnh nhà trong các kỳ thi HSG Quốc gia trong những năm
học sắp đến.
III/ PHƯƠNG PHÁP VÀ THỜI GIAN TIẾN HÀNH
Từ những thành công và thất bại trong quá trình tham gia bồi dưỡng và tổ chức cho các
em trong đội tuyển HSG của tỉnh tham gia dự thi HSG giải toán trên máy tinh cầm tay cấp
Quốc gia trong 2 năm học 2009-2010; 2010-2011; chúng tôi đã tiếp tục tìm tòi, nghiên cứu
sách, vở, những kinh nghiệm của một số tỉnh, thành phố để rút ra những bài học kinh
nghiệm cần thiết, từ đó giúp cho những người quan tâm đến việc sử dụng máy tính cầm tay
để hỗ trợ trong việc giải toán có thêm kỹ năng nhằm đạt được hiệu quả tốt hơn trong việc
dạy và học trong giai đoạn mới.

Phần 2: NỘI DUNG ĐỀ TÀI
A/ THỰC TRẠNG
Như đã đề cập ở phần cơ sở thực tiễn, vì nhiều lý do khách quan và chủ quan nên việc
đầu tư nghiên cứu kỹ thuật sử dụng máy tính của GV toán nói riêng và GV các bộ môn
thuộc lĩnh vực khoa học tự nhiên khác nói chung của tỉnh ta còn nhiều hạn chế. Điều này đã

3


được minh chứng trong đợt bồi dưỡng kỹ năng sử dụng máy tính cầm tay của Công ty Cổ
phần Xuất nhập khẩu Bình Tây năm 2009 cho các GV cốt cán của các trường THCS, THPT
toàn tỉnh. Nhiều GV còn rất bỡ ngỡ trong việc sử dụng các chức năng của máy tính để tính
các phép tính thông dụng. Đây sẽ là một thiệt thòi lớn cho HS tỉnh ta trong kiểm tra, thi cử
ở giai đoạn hiện nay.
Qua việc chấm các bài thi HSG cấp tỉnh và tham gia bồi dưỡng các đội HSG
thi HSG Quốc gia giải toán trên máy tính cầm tay, bên cạnh những thành tích đạt được

đáng khích lệ, chúng tôi đã phát hiện nhiều sai sót rất đáng tiếc của các em, mà phần lớn là
do thiếu kỹ năng sử dụng máy. Qua tổng hợp, có thể chia ra một số hạn chế mà các em
thường mắc sai lầm khi sử dụng máy tính cầm tay để giải như sau
I/ CÁC DẠNG TOÁN CHỈ CẦN SỬ DỤNG MÁY ĐỂ TÍNH TOÁN
1/ Các bài toán chỉ đơn thuần bấm máy để tính toán: Nếu biểu thức cần tính khá dài
và nhiều phép tính, qua kiểm tra, hầu hết HS cho các kết quả khác nhau và thường là kết
quả sai!
2/ Các bài toán sử dụng kỹ thuật bấm máy để tính toán, nhưng do thiếu kỹ năng sử
dụng máy nên đã thực hiện các quy trình bấm phím không tối ưu, vì vậy vừa mất nhiều
thời gian, công sức, vừa không chính xác.
3/ Mỗi máy tính có những thế mạnh khác nhau, đặc biệt là các máy tính đời mới, vì
vậy nếu không tiếp cận được nhiều loại máy tính mà chỉ sử dụng một loại quen thuộc thì
sẽ bị nhiều thiệt thòi hơn những em biết sử dụng nhiều loại máy.
II/ CÁC DẠNG TOÁN CẦN TƯ DUY TOÁN HỌC VÀ LẬP TRÌNH BẤM MÁY
1/ Các bài toán tính toán nhưng có nhiều hướng giải quyết: Nhiều HS do định
hướng chưa tốt nên thường cho kết quả sai hoặc nếu có làm đúng cũng lại mất quá nhiều
thời gian, công sức, vì vậy đã không còn thời gian để làm các câu khác.
2/ Các bài toán vận dụng tư duy để tìm ra lập trình bấm máy: nhiều HS làm lập trình
không đúng nên cho kết quả sai, hoặc làm đúng nhưng lập trình dài dòng nên mất nhiều
thời gian và hiệu quả thấp.
Để phần nào giúp cho người dạy và học tỉnh ta hạn chế những thiếu sót vừa kể trên,
chúng tôi xin trình bày:
B/ MỘT SỐ KINH NGHIỆM CỤ THỂ TRONG VIỆC SỬ DỤNG MÁY TÍNH
CẦM TAY ĐỂ GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG CÁC KỲ THI
Để người đọc dễ dàng nghiên cứu các dạng toán cụ thể được trình bày trong bài viết
này, chúng tôi có một số quy ước như sau:

4

+ Các kỹ thuật sử dụng máy tính cầm tay xem như người đọc đã nắm vững, vì vậy
trong việc trình bày, chúng tôi chỉ trình bày ngắn gọn nhất, không giới thiệu chi tiết các yêu
cầu bấm máy.

Ví dụ:

1

shift

sto

A

Trong bài viết chỉ ghi Gán 1 cho A

Hay
Alpha

Alpha

Alpha

x

:
A

x2

Trong bài viết chỉ ghi x2
Trong bài chỉ ghi :

Trong bài chỉ ghi là A

+ Các dạng toán sử dụng máy tính cầm tay cho từng chuyên đề khá đa dạng; trong đề
tài này chúng tôi không có tham vọng giới thiệu đầy đủ các dạng toán mà chỉ giới thiệu một
số dạng toán thường gặp trong các kỳ thi giải toán trên máy tính cầm tay trong thời gian
gần đây có nhiều liên quan đến kỹ năng sử dụng các loại máy tính hoặc sử dụng nhiều
thuật toán khác nhau để giải. Từ đó người đọc có thể tự rút ra một số kinh nghiệm cho
bản thân nhằm giúp cho việc giải một số dạng toán trong đề tài này nhanh chóng, chính
xác; ngoài ra, bằng suy luận toán học, người viết hy vọng người đọc có thể phát triển
thêm để giải nhiều dạng toán khác.
Sau đây là một số chuyên đề được giới thiệu
I/ CÁC KỸ THUẬT GIÚP HS TRÁNH NHỮNG LỖI THÔNG THƯỜNG KHI
GIẢI TOÁN TRÊN MTCT
Trong thực tế khi ra đề thi HSG cấp tỉnh và kiểm tra kỹ năng của đội tuyển HSG tỉnh
bồi dưỡng để tham gia kỳ thi HSG cấp Quốc gia, chúng tôi thường ra một vài bài toán tính
giá trị của một biểu thức có khá nhiều dữ liệu, trong đó có nhiều hàm số khác nhau như
hàm mũ, lũy thừa, logarit, hàm số lượng giác…và sử dụng nhiều phép tính +, -, ,  ,…
Kết quả kiểm tra đã cho thấy, hầu hết các em đều cho kết quả khác nhau và đa số là
sai! Có nhiều nguyên nhân dẫn đến sai sót của các em như: để chế độ máy tính ban đầu
không phù hợp với yêu cầu bài toán, quy trình bấm máy thiếu chính xác, không làm đúng
yêu cầu bài toán, trình bày bài làm vừa mất thời gian, vừa không đạt yêu cầu….
Để giúp người đọc có thể tránh được những thiếu sót đáng tiếc ở các dạng toán này,
chúng ta cần thực hiện tốt một số yêu cầu sau:
+ Cài chế độ máy ban đầu phù hợp với yêu cầu của bài toán.

5

+ Nếu biếu thức quá dài, cần phải chia các biểu thức cần tính thành tổng, hiệu,
tích, thương các biểu thức nhỏ; sau đó tính giá trị từng biểu thức nhỏ và gán giá trị các
biểu thức nhỏ vào A, B, C, D,,, Khi đó giá trị biểu thức cần tính là tổng, hiệu, tích, thương
các giá trị đã gán A,B,C,D,,,
Làm điều này sẽ có giúp ta tránh nhiều sai sót vì:
Nếu bấm máy một lần để tính giá trị biểu thức thì dễ xảy ra những thiếu sót trong việc
thực hiện các quy định bấm máy (vì để có phép tính đúng cho một biểu thức dài, trong quy
trình bấm máy ta sẽ sử dụng rất nhiều dấu ngoặt, do đó nếu không cẩn thận sẽ dẫn đến kết
quả sai. Đặc biệt khi sai thì việc kiểm tra lại các phép bấm phím để sửa chữa rất khó khăn
vì quá nhiều phép tính nên khó xác định vị trí bấm sai hay thiếu sót để sửa chữa! Đó là
chưa nói đến khả năng số phép tính vượt quá khả năng mà máy có thể tính được, khi đó
máy sẽ báo lỗi). Trong khi nếu chia nhỏ biểu thức cần tính thành các biểu thức nhỏ A, B, C,
D.. khi có sai sót chúng ta dễ kiểm tra lại hơn vì chỉ kiểm tra việc sai sót trên từng biểu thức
nhỏ A,B,C,D…nên dễ phát hiện do ít phép tính, ít dấu ngoặt
+ Trong quá trình làm các phép toán trung gian, ta luôn cài chế độ máy với tất cả
số thập phân có thể hiện được trên máy. Chỉ làm tròn số theo yêu cầu của bài toán (nếu
có) ở phép toán cuối cùng.
Chính vì chủ quan, không cẩn thận nên nhiều HS của tỉnh ta tuy đã thực hiện đầy đủ,
chính xác các bước tính toán nhưng chỉ vì sơ xuất như:
+ Quên không làm tròn số theo yêu cầu của bài toán ở phép tính cuối cùng;
+ Để chế độ làm tròn 4 chữ số từ ban đầu, vì vậy máy đã thực hiện việc làm tròn số
ngay các phép tính trung gian nên kết quả cuối cùng không đúng với đáp số.
Tất cả lỗi này đều bị trừ điểm rất nặng (ít nhất trừ 50% số điểm, thậm chí có khi trừ
100% số điểm!). Đây thực sự là điều hết sức đáng tiếc đã xảy ra cho nhiều HS trong đội
tuyển Bình Định trong 2 kỳ thi Quốc gia vừa qua.
+ Sử dụng máy tính có nhiều chức năng tính toán hơn, quy trình ấn phím đơn giản,
dễ kiểm tra hơn để giúp cho việc nhập dữ liệu được chính xác và nhanh chóng (thông
thường cấu tạo các loại máy tính cầm tay fx 570ES; fx 500 plus sẽ giúp ta có quy trình
bấm đơn giản và dễ kiểm tra hơn, vì trong cấu hình của các máy này các phép chia, lũy

thừa, phép tính tích phân, đạo hàm…được hiển thị rõ ràng, giúp người thực hiện ít sai sót).
+ Trình bày tóm tắt các bước đi không nên đi chi tiết quy trình bấm máy, vừa mất
thời gian, vừa không đạt hiệu quả. Chẳng hạn:
Chỉ cần ghi: Gán 1 cho A, thay vì phải viết

1

shift

sto

A

...

6


Đây cũng là một lỗi khá phổ biến ở những học sinh tham gia dự thi cấp tỉnh. Chính vì
trình bày quá chi tiết quy trình bấm phím (điều này không cần thiết khi giải một bài toán
máy tính cầm tay) nên học sinh không còn thời gian để thực hiện các bài toán tiếp theo!
+ Cần kiểm tra kết quả trước khi làm bài khác.
Sau đây là một ví dụ cụ thể
Ví dụ 1:(Đề thi Quốc gia THCS năm 2007)
Cho x= 25030’; y = 57030’. Tính giá trị của biểu thức:
M =

(1  tan

2



x  sin 2 y )(1  cot 2 y  cos2 x)  (1  sin 3 x)(1  cos3 y ) (1  sin 2 x)(1  cos 2 y )

(phép tính được làm tròn với 4 chữ số thập phân).
Giải
Để làm tốt bài này, chúng ta cần thực hiện tốt các yêu cầu sau:
+ Để chế độ màn hình ban đầu trước khi tính toán là chế độ độ và chế độ làm tròn
đến chữ số thập phân cuối cùng có thể hiện được trong máy tính.
+ Chia biểu thức M thành các biểu thức nhỏ:

(1  tan
(1  sin

3

2



x  sin 2 y )(1  cot 2 y  cos2 x) gán cho A (Kết quả: A= 1,545969541)



x)(1  cos3 y) gán cho B (Kết quả: B= 0,777472302)

(1  sin 2 x)(1  cos2 y ) gán cho C (Kết quả: C= 1,235935569)

Khi đó giá trị M = (A+B)C  2,871624416

+ Làm tròn đến 4 chữ số thập phân ta có kết quả: M = (A+B)C = 2,8716
+ Chú ý cách trình bày cũng chỉ nêu các bước tóm tắt cách giải và kết quả như trên
(không cần nêu kỹ thuật ấn phím).
Một số bài tập giới thiệu
Bài 1 (đề thi Quốc gia THCS năm 2005)
Tính: M=

sin 2 350 cos3 200  15 tan 2 40 0 tan 3 250
3
0
3
0
3
4 sin 42 : 0, 5cot 20

Đáp số: M  -36,82283811
Bài 2 ( đề thi Quốc gia THCS năm 2008)
Tính M=

3sin150 25' 4 cos12012 '.sin 420 20' cos36015'
2cos150 25' 3cos 65013'.sin15012 ' cos31033'.sin180 20 '

Đáp số: Tử số: 4, 236888649; Mẫu số: 2,525805876
M  1,677440333
Bài 3 (đề thi Quốc gia THCS năm 2009)

7


Tính M=

(1  sin 3 170 34 ') 2 (1  tan 2 25030')3 (1  cos2 50013')3
(1  cos3 350 25')2 (1  cot 2 25030 ')3 (1  sin 2 50013')3

(Kết quả làm tròn đến 4 chữ số thập phân)
Đáp số: M  0,0157
Bài 4 (đề thi HSG THCS Bình Định 2011)
Cho a  43015' ; b  310 20' . Tính giá tri gần đúng của biểu thức:
P = (1  tan 2 a)(1  cos 2b)  (1  cot 2 a)(1  sin 2 b)  (2 cos 2 a  1) sin b cos b
Đáp số: P  0,339838638.

II. CÁC BÀI TOÁN CẦN SỬ DỤNG KỸ NĂNG BẤM MÁY
Đối với các bài toán này ngoài những yêu cầu cần phải có như phần I, chúng ta còn
phải thành thạo kỹ năng sử dụng máy tính cầm tay thì bài toán mới được giải quyết nhanh
chóng, chính xác.
1. Dạng 1: (Tính giá trị x, y ở đầu liên phân số)
Ví dụ 2: ( thi HSG tỉnh Bình Định năm 2011)
Tính các giá tri x biểu thức sau:

2011x
1

2
1
3
2
5
1
4
3

7
1
6
4
1
8
5
6

Giải
Với bài toán này, đương nhiên ta phải tính:

3

2011
2
4

1

gán vào A ;
2

5
6

1

3

7
8

gán vào B

1
4

1
5

1
6

Tuy nhiên để tính A, B như thế nào cho nhanh chóng, chính xác thì phải sử dụng kỹ
thuật bấm máy, nếu không việc tính toán sẽ trở nên phức tạp, mất thời gian.
Cách 1 :
7
8

+ Đầu tiên tính 6 + =

55
5
40
260
; tiếp theo tính: 4 + = 4 +
=
….. để tìm được A.
55

8
55
55
8

+ Tiếp tục cách tính như thế để tìm B
+ Sau đó giải phương trình Ax = B để tính x.

8


Cách làm này không sai nhưng quy trình bấm máy sẽ rất dài, mất nhiều thời gian và
dễ sai sót.
Cách 2: Nếu nắm vững kỹ thuật bấm máy, ta sẽ có cách bấm nhanh chóng, liên tục,
gọn gàng và cho ngay kết quả, cụ thể:
+ Để tính A ta chỉ việc bấm máy liên tục theo cách sau:
Bấm 8, bấm x-1, bấm  7, bấm +6, bấm =, bấm x-1, bấm  5, bấm + 4, bấm =, bấm
x-1, bấm  2, bấm +3, bấm =, bấm x-1, bấm  2011, bấm =
Ta có ngay kết quả
Tương tự ta có

52286
. Sau đó gán vào A
89

421
gán vào B, từ đó ta có:
972

52286 x 421

37469

x
89
972
50821992

Một số bài tập giới thiệu
Bài 5 (đề thi HSG THCS Bình Định 2010): Tính
x

4+
1

2

x



1
1
1
3
4

;

1

4
3

y

2009+

1
2
2

9

8

2
3

2y
3

 2010 

9

1

1

giá trị của x, y:

4

4

8

7

5

7

6
5

6

6
5

Bài 6 (đề thi HSG Quốc gia THCS năm 2011) Tìm x thỏa mãn đẳng thức sau:
x
1993 

2011
2010
1994 
2009
1995 

2008
1996 
2007
1997 
2006
1998 
2005
1999 
2004
2000 
2003
2001 
2002

4



6

63 
11 

3
2011

Gợi ý cách bấm máy:
2003
, bấm =, bấm x-1, bấm  2004, bấm + 2000, bấm shift,
2002

2005
sto, A, bấm 1999, bấm , bấm =, bấm x-1, bấm  2006 +1998, bấm shift, sto, B...
A

Bấm 2001, bấm -, bấm

2. Dạng 2 ( Tính giá trị x, y ở cuối liên phân số)
Ví dụ 3 (đề thi HSG THCS Bình Định 2011): Tính x,y của biểu thức:

9