Công phá điểm 8,9 môn toán

Khóa CHINH PHỤC ĐIỂM 10 MÔN TOÁN – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC

CÔNG PHÁ ĐIỂM 8-9 MÔN TOÁN – PHẦN 1
Thầy Đặng Việt Hùng – MOON.VN
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN

PHẦN 1 : ĐỀ BÀI
(Cố gắng vận hết công lực trước khi xem giải nhé các em)
( 2 x + 3 y + 1) x − y + 1 = 1 + 2 x 2 + 11xy + 12 y 2

Câu 1. Giải hệ phương trình 
 x + 4 y − 1 + 2 x 2 + x + 6 = x + y + 3
Câu 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD. Điểm E (2;3) thuộc đoạn thẳng BD, các điểm
H (−2;3) và K (2; 4) lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm E trên AB và AD. Xác định toạ độ các đỉnh
A, B, C, D của hình vuông ABCD.

Câu 3. Giải phương trình

1
2x + 6
trên tập số thực.
= 2
x + 2 x + 2x + 4

1
+
3x + 3

Câu 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A(1; 2) có góc ABC = 300 , đường thẳng
d : 2 x − y − 1 = 0 là tiếp tuyến tại B của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tìm tọa độ các điểm B và C.

(

)(

)

2 xy = xy + y + 2 − y 2 x + 1
y +1 +1

Câu 5. Giải hệ phương trình 
8 x + 4 y + 16 = 5 − xy + 2 2 x + y + 2 xy + 3
Câu 6. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trực tâm H(3; 0) và trung điểm của BC là I ( 6;1) .
Đường thẳng AH có phương trình x + 2 y − 3 = 0 . Gọi D, E lần lượt là chân đường cao kẻ từ B và C của tam
giác ABC. Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC, biết đường thẳng DE: x – 2 = 0 và điểm D có tung độ
dương.

Câu 7. Giải phương trình

( x − 2)

Câu 8. Giải bất phương trình

2x −1 =

( 35 − 12 x )

2 x3 − x 2 − 14 x + 4
+ 5 x − 1.
x+2

x 2 − 1 > 12 x

(

Câu 9. Giải bất phương trình 4 ( x + 1) < ( 2 x + 10 ) 1 − 2 x + 3
2

)

2

PHẦN 2: LỜI GIẢI CHI TIẾT
(Nếu có nhầm lẫn, sai sót mong các em thông cảm)
( 2 x + 3 y + 1) x − y + 1 = 1 + 2 x 2 + 11xy + 12 y 2
Câu 1. Giải hệ phương trình 
 x + 4 y − 1 + 2 x 2 + x + 6 = x + y + 3
Lời giải

Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016!


Khóa CHINH PHỤC ĐIỂM 10 MÔN TOÁN – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC
x − y +1 ≥ 0
 2
2
2 x + 11xy + 12 y ≥ 0
ĐK: 
x + 4 y −1 ≥ 0
2 x 2 + x + 6 ≥ 0


Khi đó (1) ⇔ ( 2 x + 3 y + 1)

(*)

(

)

x − y + 1 − 1 + 2 x + 3 y − 2 x 2 + 11xy + 12 y 2 = 0

(3)

Từ (*) ⇒ ( x − y + 1) + ( x + 4 y − 1) ≥ 0 ⇒ 2 x + 3 y ≥ 0
3

 x = − 5
x − y +1 = 0
Dấu " = " xảy ra ⇔ 
⇔
x + 4 y −1 = 0
y = 2

5
Thử lại ta thấy không thỏa mãn hệ nên dấu " = " không xảy ra ⇒ 2 x + 3 y > 0

⇒ H = 2 x + 3 y + 2 x 2 + 11xy + 12 y 2 > 0.
Do đó (3) thành

( 2 x + 3 y + 1)( x − y + 1 − 1) + ( 2 x + 3 y )

2

− ( 2 x 2 + 11xy + 12 y 2 )

x − y +1 +1

H

⇔

( x − y )( 2 x + 3 y + 1) + 2 x 2 + xy − 3 y 2

⇔

( x − y )( 2 x + 3 y + 1) + ( x − y )( 2 x + 3 y ) = 0

1+ x − y +1

H

1+ x − y +1

=0

=0

H

 2x + 3 y + 1 2x + 3 y 
⇔ ( x − y)

+
 = 0
 1+ x − y +1
H


2x + 3y +1 2x + 3y
Với 2 x + 3 y > 0 và H > 0 ⇒
+
> 0 nên (4) ⇔ x = y.
H
1+ x − y +1
Thế vào (2) ta được

(4)

5x − 1 + 2 x2 + x + 6 = 2 x + 3

⇔ x + 1 − 5x − 1 = 2 x2 + x + 6 − ( x + 2)
x + 1) − ( 5 x − 1) 2 x 2 + x + 6 − ( x + 2 )
(
⇔
=
2

x + 1 + 5x −1

⇔

2x2 + x + 6 + x + 2

x 2 − 3x + 2
x 2 − 3x + 2
=
x + 1 + 5x − 1 x + 2 + 2 x2 + x + 6

 x2 − 3x + 2 = 0
⇔
 x + 1 + 5 x − 1 = x + 2 + 2 x 2 + x + 6
V ới x ≥

2

(6)
(5)

1
2
⇒ 2 x 2 + x + 6 − ( 5 x − 1) = 2 ( x − 1) + 5 > 0 ⇒ 2 x 2 + x + 6 > 5 x − 1 ≥ 0
5

⇒ 2 x 2 + x + 6 > 5 x − 1 ⇒ VP ( 5) > VT ( 5 ) ⇒ ( 5 ) vô nghiệm.
x = 1⇒ y = 1
thỏa mãn (*)
Do đó (6) ⇔ x 2 − 3 x + 2 = 0 ⇔ 
x = 2 ⇒ y = 2

Đ/s: ( x; y ) = {(1;1) , ( 2; 2 )}

Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016!

Khóa CHINH PHỤC ĐIỂM 10 MÔN TOÁN – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC
Câu 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD. Điểm E (2;3) thuộc đoạn thẳng BD, các điểm
H (−2;3) và K (2; 4) lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm E trên AB và AD. Xác định toạ độ các đỉnh
A, B, C, D của hình vuông ABCD.

Lời giải:
Ta có: EHAK là hình chữ nhật do vậy dễ dàng tìm được A ( −2; 4 ) .
Khi đó : AH : x = −2; AK : y = 4 .
Giả sử BD: a ( x − 2 ) + b ( y − 3) = 0 ( a 2 + b 2 > 0 ) .

Khi đó: cos ( BD; AB ) = cos 450 =

a = b
⇔ 2a 2 = a 2 + b 2 ⇔ 
.
a +b
 a = −b
a

2

2

 B ( −2;7 )
⇒ C (1;7 )
Với a = b chọn a = b = 1 ⇒ BD : x + y − 5 = 0 ⇒ 
 D (1; 4 )
 B ( −2; −1)

Với a = −b chọn a = 1 ⇒ b = −1 ta có: BD : x − y + 1 = 0 ⇒ 
⇒ C ( 3; −1) .
D
3;
4
(
)

Vậy B ( −2;7 ) ; C (1;7 ) ; D (1; 4 ) hoặc B ( −2; −1) ; C ( 3; −1) ; D ( 3; 4 ) .

Câu 3. Giải phương trình

1
2x + 6
= 2
trên tập số thực.
x + 2 x + 2x + 4
Lời giải:

1
+
3x + 3

Điều kiện: x > −1.

Đặt t = x + 1 , phương trình đã cho trở thành
⇔

3t + t + 1
3t ( t + 1)

=

1
3 ( x + 1)

2t + 4
3t + t + 1 t + 2
⇔
= 2
⇔
2
t +3
2 3t ( t + 1) t + 3

(

+

2 ( x + 1) + 4
1
1
1
2t + 4
=
⇔
+
= 2
.
2

x + 1 + 1 ( x + 1) + 3
3t
t +1 t + 3
3t + t + 1

)

2

3t + t + 1 − 4t − 1

=

t+2
t2 + 3

( ∗)

a
t+2
= 2
⇔ at 2 + 3a = ( t + 2 ) ( a 2 − 4t − 1) .
a − 4t − 1 t + 3
⇔ ( t − a + 2 ) ( a + 4 ) t + 2t + 1 = 0 ⇔ t + 2 = a = 3t + t + 1

Đặt a = 3t + t + 1 , khi đó ( ∗) ⇔

2

.

t > 0
t = 3
x = 2
t > 0
⇔ 2
⇔
⇔
⇔
2



2
2
3
3
2
t = 4 − 1  x = 4 − 2
( t + 3) = 4 ( 3t + 3t )
t + 4t + 4 = 4t + 1 + 2 3t + 3t
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm kể trên.

Câu 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A(1; 2) có góc ABC = 300 , đường thẳng
d : 2 x − y − 1 = 0 là tiếp tuyến tại B của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tìm tọa độ các điểm B và C.

Lời giải:

Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016!

Khóa CHINH PHỤC ĐIỂM 10 MÔN TOÁN – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên d.
Ta có: ABC = 300 suy ra ABH = 600 .
Lại có: AB sin 600 = AH = d ( A; d ) =
Do vậy AB =


t =
⇔

t =


1
5

2
4
2
2
. Gọi B ( t ; 2t − 1) ta có: ( t − 1) + ( 2t − 3) =
15
15

 7 2
1 
7
1
+
B  ; −


5 5 3
5 5 5 3

⇒
 7 2
7
1
1 
−
B  ; −

5 5 3
 5 5 5 3

1 
11
2
7 2
Với B  ; −
⇒ BC : x + 2 y − +
= 0 ⇒ AC ⇒ C .

5 5 3
5 5 5 3

(

)(

)

2 xy = xy + y + 2 − y 2 x + 1
y +1 +1

Câu 5. Giải hệ phương trình 
8 x + 4 y + 16 = 5 − xy + 2 2 x + y + 2 xy + 3
Lời giải:
1
Điều kiện: x ≥ − ; y ≥ −1; 3 ≤ xy; 2 x + y + 2 xy + 3 ≥ 0 .
2
Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với:
2x y + 1 + 1
y + 1 − 1 = xy + y + 2 − y 2 x + 1
y +1 +1

(

⇔ 2x

(

)(

) (

)

)(

( x, y ∈ ℝ )

)

y + 1 − 1 = xy + y + 2 − y 2 x + 1 ⇔ 2 x y + 1 + y 2 x + 1 = xy + y + 2 x + 2 = ( x + 1)( y + 2 ) .

Áp dụng bất đẳng thức quen thuộc ( am + bn ) ≤ ( a 2 + b 2 )( m 2 + n 2 ) ta được:
2

( 2x

y + 1 + y 2x + 1

) = ( x.
2

4 y + 4 + y. 2 x + 1

) ≤ (x
2

2

+ 2 x + 1)( y 2 + 4 y + 4 ) = ( x + 1)

2

( y + 2)

2

1
Do điều kiện: x ≥ − ; y ≥ −1 ⇒ ( x + 1)( y + 2 ) > 0 nên suy ra 2 x y + 1 + y 2 x + 1 ≤ ( x + 1)( y + 2 ) .
2
2 y +1
a m
x
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi = ⇔
=
⇔ xy = 2 ( 2 x + 1)( y + 1)
b n
y
2x + 1
 xy ≥ 0
 xy ≥ 0
Nên phương trình một của hệ ⇔  2 2
⇔
2 2
 x y = 4 ( 2 x + y + 2 xy + 1)
4 ( 2 x + y ) = x y − 8 xy − 4
Thế xuống phương trình thứ hai trong hệ, chúng ta có:

4 ( 2 x + y ) + 16 = 5 − xy + 4 ( 2 x + y + 2 xy + 1) + 8 ⇔ x 2 y 2 − 8 xy + 12 = 5 − xy + x 2 y 2 + 8

Đặt t = xy ∈ [ 0;5] , khi đó

( i ) ⇔ t 2 − 8t + 12 =
⇔ ( t − 1)( t − 8 ) +

(

) (

(i )

)

5 − t + t 2 + 8 ⇔ t 2 − 9t + 8 + 2 − 5 − t + t + 2 − t 2 + 8 = 0



4 ( t − 1)
t −1
1
4
+
= 0 ⇔ ( t − 1)  t − 8 +
+
=0
2 + 5 − t t + 2 + t2 + 8
2 + 5 − t t + 2 + t2 + 8 


Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016!


Khóa CHINH PHỤC ĐIỂM 10 MÔN TOÁN – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC
1
4
1

4
+
≤ 5−8+ +
< 0; ∀t ∈ [ 0;5] nên phương trình trên tương
2 2+2 2
2 + 5 − t t + 2 + t2 + 8
 xy = 1
đương với t = 1 ⇔ xy = 1 ⇒ 
hệ phương trình này vô nghiệm.
4 ( 2 x + y ) = −11

Dễ thấy t − 8 +

Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

Câu 6. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trực tâm H(3; 0) và trung điểm của BC là I ( 6;1) .
Đường thẳng AH có phương trình x + 2 y − 3 = 0 . Gọi D, E lần lượt là chân đường cao kẻ từ B và C của tam
giác ABC. Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC, biết đường thẳng DE: x – 2 = 0 và điểm D có tung độ
dương.

Lời giải
Đường thẳng BC qua I ( 6;1) và vuông góc với đường thẳng
AH nên đường thẳng BC : 2 x − y − 11 = 0

Do C ∈ BC ⇒ C ( a; 2a − 11) ⇒ B (12 − a;13 − 2a )

D ∈ DE : x − 2 = 0 ⇒ D ( 2; b )
Ta có DH = (1; −b ) , BH = ( a − 9; 2a − 13)
Mà D, H , B thẳng hàng ⇒

a − 9 2a − 13
9b + 13
=
⇔a=
1
−b
b+2

DC = ( a − 2; 2a − b − 11) , mà HD ⊥ CD ⇒ DH .DC = 0
⇒ a − 2 − b ( 2a − b − 11) = 0 ⇔ b 2 + 11b − 2ab + a − 2 = 0 ⇔ b 2 + 11b − 2b

9b + 13 9b + 13
+
−2=0
b+2
b+2

b = −1( l )
2
⇔ b3 − 5b 2 + 3b + 9 = 0 ⇔ ( b − 3) ( b + 1) ⇔ 
⇒ B ( 4; −3) , C ( 8;5 ) , D ( 2;3)
b = 3 ⇒ a = 8

Đường thẳng AC qua D ( 2;3) và C ( 8;5 ) nên đường thẳng AC : x − 3 y + 7 = 0
Ta có A = AH ∩ AC ⇒ A ( −1; 2 )
Vậy A ( −1; 2 ) , B ( 4; −3) , C ( 8;5)

( x − 2)

Câu 7. Giải phương trình

2 x3 − x 2 − 14 x + 4
2x −1 =
+ 5 x − 1.
x+2

Lời giải
ĐK: x ≥

1
2

(*)

Khi đó (1) ⇔ ( x − 2 )

2 x3 − x 2 − 14 x + 4
2x −1 − 5x −1 =
x+2

⇔ ( x − 2)

(

) (

)

2x −1 −1 + x + 1 − 5x −1 =

2 x3 − x 2 − 14 x + 4
+3
x+2

Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016!


Khóa CHINH PHỤC ĐIỂM 10 MÔN TOÁN – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC

( x − 2 )( 2 x − 1 − 1) + ( x + 1) − ( 5 x − 1) = 2 x3 − x 2 − 11x + 10
⇔
2

2x −1 +1

⇔
⇔

2 ( x − 2 )( x − 1)
1+ 2x −1
2 ( x − 1)( x − 2 )
1+ 2x −1

x+2

x + 1 + 5x −1

( 2 x + 5)( x − 1)( x − 2 )
x 2 − 3x + 2
+

=
x+2
x + 1 + 5x − 1
+

( x − 1)( x − 2 ) − ( 2 x + 5 )( x − 1)( x − 2 ) = 0
x+2

x + 1 + 5x −1

2
1
2x + 5 

⇔ ( x − 1)( x − 2 ) 
+
−
(2)
=0
 1 + 2x −1 x + 1 + 5x −1 x + 2 
1
5
Với x ≥ ⇒ 5 x − 1 ≥ − 1 > 1 ⇒ x + 1 + 5 x − 1 > x + 2 > 0
2
2
2
1
2x + 5
2
1

2x + 5
⇒H =
+
−
<
+
−
1 + 2x −1 x + 1 + 5x −1 x + 2 1 + 0 x + 2 x + 2
⇒H<

x =1
2x + 5 − 2x − 5
= 0 nên (2) ⇔ 
thỏa mãn (*)
x+2
x = 2

( 35 − 12 x )

Câu 8. Giải bất phương trình

x 2 − 1 > 12 x
Lời giải:

Bất phương trình ⇔ 35 x 2 − 1 > 12 x(1 + x 2 − 1)

Với x ∈ ( −∞; −1] là nghiệm của bất phương trình.
Với x = 1 không là nghiệm.

x

Với x ∈ (1; +∞ ) chia hai vế cho 12 x 2 − 1 ta được :

x2 − 1

+x<

35
12

2

2
 x
  35 2
x4
2 x2
 35 
⇔
+ x <   ⇔ 2
+
−  < 0
2
x −1
x 2 − 1  12 
 x −1
  12 
x2
25
25

25
5
5
⇔
<
⇔ 144 x 4 − 625 x 2 + 625 < 0 ⇔
< x2 <
⇔ < x<
2
16
9
4
3
x − 1 12
5
5
5 5
Với x > 1 nên < x < Vậy bất pt có nghiệm : x ∈ ( −∞; −1] ∪  ; 
4
3
 4 3

(

Câu 9. Giải bất phương trình 4 ( x + 1) < ( 2 x + 10 ) 1 − 2 x + 3
2

)

2

Lời giải:

( 2 x + 10 )(1 − 2 x − 3)
3
2
ĐK: x ≥ − (*). Khi đó (1) ⇔ 4 ( x + 1) <
2
2
1+ 2x + 3

(

⇔ 4 ( x + 1) <
2

8 ( x + 5 )( x + 1)

(1 +

x +1 ≠ 0

⇔
 1 + 2 x + 3

(

)

2

2x + 3

)

2

2

(

⇔ ( x + 1) 1 + 2 x + 3
2

2

)

)

2

< 2 ( x + 1) ( x + 5 )
2

 x ≠ −1
⇔
< 2 ( x + 5)
2 x + 4 + 2 2 x + 3 < 2 x + 10

Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016!


Khóa CHINH PHỤC ĐIỂM 10 MÔN TOÁN – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC
 x ≠ −1
 x ≠ −1
 x ≠ −1

⇔
⇔
⇔ 3
 2 x + 3 < 3 0 ≤ 2 x + 3 < 9
− 2 ≤ x < 3
Kết hợp với (*) ta được x ≠ −1 và −

3
≤ x < 3 thỏa mãn.
2

 3 
Vậy (1) có nghiệm là T =  − ;3  \ {−1} .
 2 

HỘI ĐỒNG BIÊN SOẠN:
Thầy Đặng Việt Hùng
Lê Văn Tuấn (tuanvlaa)
Nguyễn Thế Duy (ntd1995)
Vũ Văn Bắc (vuvanbacpsb)
Các khóa Vệ tinh chuyên sâu các mảng Toán khó tại Moon.vn
- Khóa CHINH PHỤC HÌNH PHẲNG OXY

- Khóa CHINH PHỤC PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
- Khóa KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT
- Khóa KĨ THUẬT SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO
- Khóa CHINH PHỤC ĐIỂM 10 MÔN TOÁN

Thầy Đặng Việt Hùng

Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016!