ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LỚP 12 LẦN 1 NĂM 2014

www.VNMATH.com
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH 
TRƯỜNG THPT CHUYÊN 

ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LỚP 12, LẦN 1 ­ NĂM 2014 
Môn:  TOÁN;  Khối: A và A1;  Thời gian làm bài: 180 phút 

I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) 
2 x - 3 
Câu 1 (2,0 điểm).  Cho hàm số  y  =
. 
x - 1 
a)  Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số đã cho. 
b)  Tìm  m  để  đường  thẳng  d : x + 3 y + m = 0  cắt  (H)  tại  hai  điểm  M,  N  sao  cho  tam  giác  AMN  vuông  tại 
điểm A (1; 0). 
Câu 2 (1,0 điểm).  Giải phương trình  sin 3x + 2cos2 x = 3 + 4sin x + cos x(1 + sin x). 
Câu 3 (1,0 điểm).  Giải bất phương trình  4 x + 1 + 2 2 x + 3 £ ( x - 1)( x 2  - 2). 
1 

3 x + 2ln(3 x + 1) 
Câu 4 (1,0 điểm).  Tính tích phân  I = ò 
dx . 
2 
(
x
+
1) 
0 
Câu 5 (1,0 điểm).  Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, mặt bên SAD là tam giác vuông tại S, 
hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc cạnh AD sao cho  HA = 3HD.  Gọi M là trung 
điểm của AB. Biết rằng  SA = 2 3 a và đường thẳng SC tạo với đáy một góc  300 .  Tính theo a thể tích khối chóp 

S.ABCD và khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SBC). 
Câu 6 (1,0 điểm).  Giả sử x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn  5( x 2 + y 2 + z 2 ) = 6( xy + yz + zx ).  Tìm giá 
trị lớn nhất của biểu thức  P = 2( x + y + z ) - ( y 2 + z 2 ). 
II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm)  Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần a hoặc phần b) 
a. Theo chương trình Chuẩn 
Câu 7.a (1,0 điểm).  Trong mặt phẳng với hệ tọa độ  Oxy ,  cho tam giác ABC có  M (2; 1)  là trung điểm cạnh AC, 
điểm  H (0; - 3)  là chân đường cao kẻ từ A, điểm  E (23; - 2)  thuộc đường thẳng chứa trung tuyến kẻ từ C. Tìm tọa 
độ điểm B biết điểm A thuộc đường thẳng  d : 2 x + 3 y - 5 = 0  và điểm C có hoành độ dương. 
x + 2 y - 1 z - 2 
Câu 8.a (1,0 điểm). Trong  không  gian  với  hệ tọa độ  Oxyz ,  cho đường thẳng  d : 
và  hai 
=
=
1
- 1
2 
mặt phẳng  ( P ) : x + 2 y + 2 z + 3 = 0, (Q ) : x - 2 y - 2 z + 7 = 0.  Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng 
thời tiếp xúc với hai mặt phẳng (P) và (Q). 
Câu 9.a (1,0 điểm).  Cho tập hợp E = {1, 2, 3, 4, 5} .  Gọi M là tập hợp tất cả các số tự nhiên có ít nhất 3 chữ số, 
các chữ số đôi một khác nhau thuộc E. Lấy ngẫu nhiên một số thuộc M. Tính xác suất để tổng các chữ số của 
số đó bằng 10. 
b. Theo chương trình Nâng cao 
Câu  7.b  (1,0  điểm).  Trong  mặt  phẳng  với  hệ  tọa  độ  Oxy ,  cho  hai  điểm  A(1; 2), B (4; 1)  và  đường  thẳng 
D : 3 x - 4 y + 5 = 0.  Viết phương trình đường tròn đi qua A, B và cắt D  tại C, D sao cho  CD = 6. 
Câu  8.b  (1,0  điểm).  Trong  không  gian  với  hệ  tọa  độ  Oxyz ,  cho  điểm  M (1; 1; 0)  và  hai  đường  thẳng 
x -1 y - 3 z -1
x - 1 y + 3 z - 2 
d1 :
=
=

, d 2  :
=
=
.  Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với  d 1  và  d 2 
1
-1
1
-1
2
- 3 
đồng thời cách M một khoảng bằng  6. 
Câu 9.b (1,0 điểm).  Tìm số nguyên dương n thỏa mãn 
1 0 1 1 1 2 1 3 
( -1) n  n 
1 
Cn - Cn + C n - Cn + . . . +
C n  =
. 
2
3
4
5
n + 2
156 
­­­­­­­­­­­­­­­­­­ Hết ­­­­­­­­­­­­­­­­­­ 


www.VNMATH.com
TRNGIHCVINH
TRNGTHPTCHUYấN

PNKHOSTCHTLNGLP12,LN1 ưNM2014
Mụn:TON KhiA,A1 Thigianlmbi:180phỳt

Cõu

ỏpỏn

im

a)(1,0im)
Cõu1. 10.Tpxỏcnh: R\{1}.
(2,0 20.Sbinthiờn:
im) *Giihntivụcc:Tacú lim y =2 v lim y =2.
xđ-Ơ

xđ+Ơ

Giihnvụcc: lim+ y = -Ơ v lim- y = +Ơ.
xđ1

xđ1

Suyrath(H)cútimcnnganglngthng y =2, timcnnglngthng x =1.
1
*Chiubinthiờn:Tacú y ' =
> 0, "xạ 1.
( x -1)2
Suyrahmsngbintrờnmikhong ( -Ơ 1) v (1 + Ơ).

0,5

*Bngbinthiờn:

x

1

-Ơ

y'

+

+Ơ

y

+
+Ơ

y

2

2

-Ơ

3

I

2

0,5

30.th:
x
O 1 3
ổ 3 ử
thctOx ti ỗ 0 ữ , ct Oy ti (03).
2
ố 2 ứ
Nhngiaoim I(1 2) cahaitimcn
lmtõmixng.
b) (1,0im)
1 m
Ta cú d : y = - x - . Honh giao im ca d v (H) l nghim ca phng trỡnh
3
3
2x - 3
1 m
(1)
= - x- , hay x 2 + ( m + 5) x - m - 9 = 0, x ạ1.
x -1
3
3
Tacú D = (m + 7)2 + 12 >0, vimim.Suyraphngtrỡnh(1)cú2nghimphõnbit.Hnna
c2nghim x1 , x2 ukhỏc1.Doú d luụn ct(H)ti2imphõnbit M ( x1 y1 ), N ( x2 y2).
uuuur

uuur
Tacú AM = ( x1 - 1 y1 ), AN = ( x2 - 1 y2).
uuuur uuur
Tamgiỏc AMNvuụngti A AM . AN = 0. Hay ( x1 - 1)( x2 - 1) + y1 y2 =0
1
( x1 - 1)( x2 - 1) + ( x1 + m )( x2 + m ) =0
9
(2)
10 x1 x 2 + ( m - 9)( x1 + x2) + m 2 + 9 =0.
pdngnhlýViet,tacú x1 + x2 = -m - 5, x1 x2 = -m -9. Thayvo(2)tac

10( -m - 9) + (m - 9)( -m - 5) + m 2 + 9 =0 -6m - 36 = 0 m = -6.
Vygiỏtrcam l m = -6.
Phngtrỡnh óchotngngvi
Cõu2.
sin 3x - sin x + 2cos 2 x = 3(sin x + 1) + cos x(sin x +1)
(1,0
2cos 2 x sin x + 2cos 2 x = (sin x + 1)(cos x+ 3)
im)
(sin x + 1)(2cos 2 x - cos x- 3) = 0
(sin x + 1)(4cos 2 x - cos x- 5) = 0
(sin x + 1)(cos x + 1)(4cos x - 5) =0.

0,5

0,5

0,5

www.VNMATH.com
p

+ k 2p ,  k Î Z . 
2 
*)  cos x = -1 Û x = p + k 2p ,  k Î Z . 
*)  4cos x - 5 = 0  vô nghiệm. 
p
Vậy phương trình có nghiệm  x = - + k 2p , x = p + k 2p , k Î Z . 
2 
Điều kiện:  x ³ - 1. 
Câu 3.  Nhận thấy  x = - 1  là một nghiệm của bất phương trình. 
(1,0  Xét  x > - 1.  Khi đó bất phương trình đã cho tương đương với
điểm) 
4 x + 1 - 2 + 2 2 x + 3 - 3 £ x3 - x 2  - 2 x - 12 
*)  sin x = -1 Û x = -

(

Û

) (

4( x - 3)
x +1 + 2

+

) 

0,5 

4( x - 3) 
2 x + 3 + 3 

£ ( x - 3)( x 2  + 2 x + 4) 

æ
4
4 
ö
Û ( x - 3 ) ç
+
- ( x + 1) 2  - 3 ÷ £ 0.
(1) 
2 x + 3 + 3 
è x +1 + 2
ø 
4
4 
Vì  x > - 1  nên  x + 1 > 0  và  2 x + 3 > 1.  Suy ra 
+
< 3,  vì vậy 
x +1 + 2
2 x + 3 + 3 
4
4 
+
- ( x + 1) 2  - 3 < 0. 
x +1 + 2

2 x + 3 + 3 
Do đó bất phương trình  (1) Û x - 3 ³ 0 Û x ³ 3. 
Vậy nghiệm của bất phương trình là  x = - 1  và  x ³ 3. 
1

0,5 

0,5 

1 

3x
ln(3 x + 1) 
dx + 2 ò 
dx . 
Câu 4.  Ta có  I = ò
2
(
x
+
1)
( x + 1) 2 
0
0 
(1,0 
điểm)  Đặt  u = ln(3 x + 1) Þ du  = 3d x  ;  dv = dx  Þ v = - 1  . 
x + 1 
3 x + 1 
( x + 1) 2 
Áp dụng công thức tích phân từng phần ta có 

1

3x
2ln(3 x + 1)
dx 2 
x +1
( x + 1) 
0

I=ò

1 

0 

1

1 

d x 
(3 x + 1)( x + 1) 
0 

+ 6 ò
1 

æ 3
3 ö
1  ö
æ 3

= òç
dx - ln 4 + 3ò ç
÷ d x 
2  ÷
x + 1 ( x + 1)  ø
3 x + 1 x + 1 ø
0è
0 è
=

0,5 

3 1
- ln 4 + 3ln 3x + 1
x +1 0

0,5 

1 

3 
= - + 4ln 2. 
2 
0 

· = (· 
SC , ( ABCD) ) = 300 . 
Vì  SH ^ ( ABCD )  nên  SCH

Câu 5. 

(1,0 
điểm) 

S 

Trong tam giác vuông  SAD  ta có  SA2  =  AH . AD
3 
Û 12a 2 = AD 2  Þ AD = 4a; HA = 3a; HD = a
4 
0 
C  Þ SH = HA.HD = a 3 Þ HC = SH .cot 30 = 3 a
Þ CD = HC 2 - HD 2  = 2 2a. 
K 
Suy ra  S ABCD  = AD.CD = 8 2 a 2 . 
a

H ' 
D 
H 

A 

M 

B 

0,5 

1
8 6 a 3 

Suy ra  VS . ABCD = SH .S ABCD  = 
. 
3
3 

Vì M là trung điểm AB và AH // (SBC) nên
1
1 
d ( M , ( SBC ) ) = d ( A,( SBC ) ) =  d ( H , ( SBC ) ) . 
(1) 
2
2 
Kẻ  HK ^ BC tại K,  HH ' ^ SK tại  H '. Vì  BC ^ ( SHK )  nên  BC ^ HH ' Þ HH ' ^ ( SBC ).  (2) 
1
1
1
11
2 6a  2 66 
=
+
=
Þ HH ' =
= 
a .  (3) 
2
2
2
2 
11 
HH '

HK
HS
24 a
11 
66 
Từ (1), (2) và (3) suy ra d ( M , ( SBC ) ) = 
a. 
11 
5 
1 
2
2
2
2
2 
2 
Câu 6.  Ta có  5 x + 2 ( y + z ) £ 5 x + 5( y + z ) = 6( xy + yz + zx)  £ 6 x ( y + z ) + 6. 4 ( y + z ) . 

0,5 

Trong tam giác vuông SHK ta có 

0,5 


www.VNMATH.com
(1,0
y + z
2
2

im) Doú 5 x - 6 x ( y + z ) + ( y + z ) Ê0, hay 5 Ê x Ê y +z.
Suyra x + y + z Ê 2( y +z ).
1
1
1
Khiú P Ê 2( x + y + z ) - ( y +z )2 Ê 4( y + z ) - ( y + z ) 2 = 2 y + z - ( y +z ) 2.
2
2
2
4
t
t y + z =t , khiú t 0 v P Ê 2t - .
(1)
2
1
t
0
1
Xộthms f (t ) = 2t - t 4 vi t 0.
+Ơ
2

f '(t)
+
0
Tacú f '(t ) = 2 - 2t 3 f '(t ) = 0 t =1.
3
Suyrabngbinthiờn:
2

f (t)

3
vimi t 0.
(2)
2
ỡ x = y + z ỡ x= 1
3
ù
ù
T(1)v(2)tacú P Ê , dungthcxyrakhi ớ y = z ớ
1
2
ù y + z = 1 ùợ y = z = 2
ợ
3
1
VygiỏtrlnnhtcaP l , tckhi x = 1, y = z = .
2
2
ỡ x = 1 - 3t
A ẻ d : 2x + 3 y - 5 = 0 ớ
ị A(-3a + 1, 2a+ 1).
Cõu
d
y = 1 + 2t
ợ
A
7.a
Vỡ M(2 1) ltrungim AC nờn suyra C (3 + 3a 1 -2a )

(1,0
uuur
im)
ỡù HA = ( -3a + 1 2 a+ 4)
M
N
ị ớ uuur
ùợ HC = (3 + 3a 4 - 2a ).

Davobngbinthiờntacú f (t ) Ê f (1)=

E
B

H

C

ộ a= 1
uuur uuur
Vỡ ã
AHC =90 nờn HA.HC = 0ị ờ
ờ a = - 19.
ờở
13

0,5

0,5

0

*)Vi a = 1 ị A(-2 3), C (6 -1) thamón.
*)Vi a = -

19
ổ 18 51ử
ị C ỗ - ữ khụngthamón.
13
ố 13 13ứ

Vi A(-2 3), C (6 -1) tacúphngtrỡnh CE : x + 17 y + 11 =0, phngtrỡnh BC : x - 3 y - 9 =0
ổ 3b + 7 b+ 3ử
Suyra B (3b + 9 b)ẻ BC ị trungim AB l N ỗ

.
2 ữứ
ố 2
MN ẻ CE ị b = -4 ị B (-3 -4).

Tõmmtcu (S)l I (t - 2 - t + 1 2t + 2) ẻd .
Cõu Vỡ(S)tipxỳc(P),(Q)nờn d I , ( P ) = d I , (Q) = R
(
) (
)
8.a
1
1
(1,0
ộ

ộ
ờt = -2, R = 3
ờ I (-4 3 - 2), R= 3
-t- 1
im)
3t + 7

=
= R ờ
ịờ
3
3
ờt = -3, R = 2
ờ I (-5 4 - 4), R = 2
ờở
ờở
3
3
1
4
Suyrapt(S)l ( x + 4)2 + ( y - 3)2 + ( z + 2)2 = hoc ( x + 5) 2 + ( y - 4) 2 + ( z + 4) 2 = .
9
9
Cõu
9.a
(1,0

0,5

0,5

0,5

Scỏcsthuc Mcú3chsl A53 =60.
Scỏcsthuc Mcú4chsl A54 =120.

0,5


www.VNMATH.com
im) Scỏcsthuc Mcú5chsl A55 =120.
SuyrasphntcaM l 60 + 120 + 120 =300.
Cỏctpconca E cútngcỏcphntbng10gm
E1 = {1,2,3, 4}, E2 = {2,3,5}, E3 ={1, 4,5}.
Gi A ltpconcaMmmisthuc A cútngcỏcchsbng10.
T E1 lpcscỏcsthuc A l 4!
Tmitp E2 v E3 lpcscỏcsthuc A l 3!
Suyrasphntca Al 4!+ 2.3! =36.
36
Doúxỏcsutcntớnhl P =
=0,12.
300
Gis(C)cútõm I (a b), bỏnkớnh R >0.
B
Cõu
Vỡ(C)iqua A,B nờn IA = IB =R
A
7.b
(a - 1)2 + (b - 2) 2 = (a - 4)2 + (b - 1)2 = R
I

(1,0
im)
ùỡb = 3a - 6
ùỡ I (a 3a- 6)
D
H
ịớ
ịớ
2
2
D
C
ù R = 10a - 50a + 65
ợù R = 10a - 50a + 65 ợ
-9a+ 29
K IH ^CD ti H.Khiú CH = 3, IH = d ( I , D )=
5
(9a- 29)2
ị R = IC = CH 2 + IH 2 = 9+
25
(9 a- 29)2
169a 2 - 728a + 559 =0
T(1)v(2)suyra 10a 2 - 50 a + 65 = 9 +
25
I
(1
3),
R
=
5

ộ
ộ a= 1
ờ
ờ
ị ờ ổ 43 51 ử
5 61
ờ a = 43
I

, R =
ờ ốỗ 13 13 ứữ
ờở 13 ở
13
2

0,5

0,5
(1)

(2)

2

43 ử ổ
51 ử 1525
ổ
.
Suyra (C ) : ( x - 1) + ( y + 3) =25 hoc (C ) : ỗ x - ữ + ỗ y - ữ =
13 ứ ố

13 ứ 169
ố
uur
uur
uur uur
ỡùu1 = (1 - 1 1)
ị nP = ộởu1 , u2ựỷ = (1 2 1)
Cõu Vỡ ( P) // d1 ,d2 nờn(P)cúcpvtcp ớ uur
ùợu2 = (-1 2 - 3)
8.b
(1,0 Suyrapt(P)cúdng x + 2 y + z + D = 0.
im)
3+ D
(1)
ộ D= 3
ộ( P ) : x + 2 y + z+ 3 = 0
d ( M , ( P) )= 6
= 6 ờ
ịờ
(2)
6
ởD = -9 ở( P ) : x + 2 y + z - 9 = 0
Ly K (1 3 1)ẻd1 v N (1 - 3 2)ẻd 2 th vo cỏc phng trỡnh (1) v (2) ta cú
N ẻ ( P ) : x + 2 y + z + 3 =0 nờn d 2 è ( P ) : x + 2 y + z + 3 =0. Suy ra phng trỡnh mt phng (P)
thamónbitoỏnl ( P ) : x + 2 y + z - 9 =0.
Vimi x ẻ R vmisnguyờndng n,theonhthcNiutntacú
Cõu
Cn0 x - Cn1 x 2 + . . . + ( -1) n Cnn x n +1 = Cn0 - Cn1x + . . . + ( -1) n Cnn x n x = (1 -x ) nx.
9.b
1

1
(1,0 Suyra C 0 x - C1 x 2 + . . . + ( -1) n C n x n +1 dx = (1 - x) nxdx.
n
ũ0 n n
ũ0
im)
2

0,5

2

(

(

)

0,5

0,5

0,5

)

1

1

1
1
(-1)n n
Hay Cn0 - Cn1 + . . . +
Cn = ũ (1 - x) n dx - ũ(1 - x)n+1dx
2
3
n + 2
0
0
1
1
1
=
=
,vimi n ẻ N*.
n + 1 n + 2 ( n + 1)( n +2)
1
1
=
n 2 + 3n - 154 = 0 n= 11 (vỡ n ẻ N*).
Tútacú
( n + 1)( n +2) 156

0,5