ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LỚP 12 LẦN 1 NĂM 2014

WWW.VNMATH.COM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH 
TRƯỜNG THPT CHUYÊN 

ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LỚP 12, LẦN 1 ­ NĂM 2014 
Môn:  TOÁN;  Khối: B và D;  Thời gian làm bài: 180 phút 

I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) 
2 x - 3 
Câu 1 (2,0 điểm).  Cho hàm số  y  =
. 
x - 1 
a)  Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số đã cho. 
b)  Tìm  m  để  đường  thẳng  d : x + 3 y + m = 0  cắt  (H)  tại  hai  điểm  M,  N  sao  cho  tam  giác  AMN  vuông  tại 
điểm A (1; 0). 
Câu 2 (1,0 điểm).  Giải phương trình  sin 3x + 2cos2 x = 3 + 4sin x + cos x(1 + sin x). 
2 

( x +1- 2 x +1 )  .8 2 x +1 = 4 x + 2 . 
Câu 3 (1,0 điểm).  Giải phương trình 16
1 
3 x + 2ln(3 x + 1) 
Câu 4 (1,0 điểm).  Tính tích phân  I = ò 
dx . 
( x + 1) 2 
0 
Câu 5 (1,0 điểm).  Cho hình lăng trụ tam giác đều  ABC. A1 B1C 1  có  AA1  = a 2,  đường thẳng  B1 C  tạo với mặt 
phẳng  ( ABB1 A 1 )  một  góc  450 .  Tính  theo  a  thể  tích  khối  lăng  trụ  đã  cho  và  khoảng  cách  giữa  hai  đường 
thẳng  AB 1  và BC. 
Câu  6 (1,0 điểm).  Giả sử  x, y,  z là  các số thực  không  âm  và thỏa mãn  0 < ( x + y ) 2 + ( y + z )2 + ( z + x )2  £ 18. 
( x + y + z ) 4 

. 
3( x 2 + y 2 + z 2 ) 
II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm)  Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần a hoặc phần b) 
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P = x 2 + y 2 + z 2  -

a. Theo chương trình Chuẩn 
Câu 7.a (1,0 điểm).  Trong mặt phẳng với hệ tọa độ  Oxy ,  cho tam giác ABC có  M (2; 1)  là trung điểm cạnh AC, 
điểm  H (0; - 3)  là chân đường cao kẻ từ A, điểm  E (23; - 2)  thuộc đường thẳng chứa trung tuyến kẻ từ C. Tìm tọa 
độ điểm B biết điểm A thuộc đường thẳng  d : 2 x + 3 y - 5 = 0  và điểm C có hoành độ dương. 
x + 2 y - 1 z - 2 
Câu 8.a (1,0 điểm). Trong  không  gian  với  hệ tọa độ  Oxyz ,  cho đường thẳng  d : 
=
=
và  hai 
1
- 1
2 
mặt phẳng  ( P ) : x + 2 y + 2 z + 3 = 0, (Q ) : x - 2 y - 2 z + 7 = 0.  Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng 
thời tiếp xúc với hai mặt phẳng (P) và (Q). 
Câu 9.a (1,0 điểm).  Cho tập hợp E = {1, 2, 3, 4, 5} .  Gọi M là tập hợp tất cả các số tự nhiên có ít nhất 3 chữ số, 
các chữ số đôi một khác nhau thuộc E. Lấy ngẫu nhiên một số thuộc M. Tính xác suất để tổng các chữ số của 
số đó bằng 10. 
b. Theo chương trình Nâng cao 
Câu  7.b  (1,0  điểm).  Trong  mặt  phẳng  với  hệ  tọa  độ  Oxy ,  cho  hai  điểm  A(1; 2), B (4; 1)  và  đường  thẳng 
D : 3 x - 4 y + 5 = 0.  Viết phương trình đường tròn đi qua A, B và cắt D  tại C, D sao cho  CD = 6. 
Câu  8.b  (1,0  điểm).  Trong  không  gian  với  hệ  tọa  độ  Oxyz ,  cho  điểm  M (1; 1; 0)  và  hai  đường  thẳng 
x -1 y - 3 z -1
x - 1 y + 3 z - 2 
d1 :
=

=
, d 2  :
=
=
.  Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với  d 1  và  d 2 
1
-1
1
-1
2
- 3 
đồng thời cách M một khoảng bằng  6. 
Câu 9.b (1,0 điểm).  Tìm số nguyên dương n thỏa mãn 
1 0 1 1 1 2 1 3 
( -1) n  n 
1 
Cn - Cn + C n - Cn + . . . +
C n  =
. 
2
3
4
5
n + 2
156 
­­­­­­­­­­­­­­­­­­ Hết ­­­­­­­­­­­­­­­­­­ 


WWW.VNMATH.COM
TRNGIHCVINH

TRNGTHPTCHUYấN

PNKHOSTCHTLNGLP12,LN1 ưNM2014
Mụn:TON Khi B,D Thigianlmbi:180phỳt

Cõu

ỏpỏn

im

a)(1,0im)
Cõu1. 10.Tpxỏcnh: R\{1}.
(2,0 20.Sbinthiờn:
im) *Giihntivụcc:Tacú lim y =2 v lim y =2.
xđ-Ơ

xđ+Ơ

Giihnvụcc: lim+ y = -Ơ v lim- y = +Ơ.
xđ1

xđ1

Suyrath(H)cútimcnnganglngthng y =2, timcn nglngthng x =1.
1
*Chiubinthiờn:Tacú y ' =
> 0, "xạ 1.
( x -1)2
Suyrahmsngbintrờnmikhong ( -Ơ 1) v (1 + Ơ).

0,5

*Bngbinthiờn:

x

1

-Ơ

y'

+

+Ơ

y

+
+Ơ

y

2

2

-Ơ

3
I

2

0,5

30.th:

x
O 1 3
ổ 3 ử
2
thctOx ti ỗ 0 ữ , ct Oy ti (03).
ố 2 ứ
Nhngiaoim I(1 2) cahaitimcn
lmtõmixng.
b) (1,0im)
1 m
Ta cú d : y = - x - . Honh giao im ca d v (H) l nghim ca phng trỡnh
3
3
2x - 3
1 m
(1)
= - x- , hay x 2 + ( m + 5) x - m - 9 = 0, x ạ1.
x -1
3
3
Tacú D = (m + 7)2 + 12 >0, vimim.Suyraphngtrỡnh(1)cú2nghimphõnbit.Hnna

c2nghim x1 , x2 ukhỏc1.Doú d luụn ct(H)ti2imphõnbit M ( x1 y1 ), N ( x2 y2).
uuuur
uuur
Tacú AM = ( x1 - 1 y1 ), AN = ( x2 - 1 y2).
uuuur uuur
Tamgiỏc AMNvuụngti A AM . AN = 0. Hay ( x1 - 1)( x2 - 1) + y1 y2 =0
1
( x1 - 1)( x2 - 1) + ( x1 + m )( x2 + m ) =0
9
(2)
10 x1 x 2 + ( m - 9)( x1 + x2) + m 2 + 9 =0.
pdngnhlýViet,tacú x1 + x2 = -m - 5, x1 x2 = -m -9. Thayvo(2)tac

10( -m - 9) + (m - 9)( -m - 5) + m 2 + 9 =0 -6m - 36 = 0 m = -6.
Vygiỏtrcam l m = -6.
Phngtrỡnh ócho tngngvi
Cõu2.
sin 3x - sin x + 2cos 2 x = 3(sin x + 1) + cos x(sin x +1)
(1,0
2cos 2 x sin x + 2cos 2 x = (sin x + 1)(cos x+ 3)
im)
(sin x + 1)(2cos 2 x - cos x- 3) = 0
(sin x + 1)(4cos 2 x - cos x- 5) = 0
(sin x + 1)(cos x + 1)(4cos x - 5) =0.

0,5

0,5

0,5

WWW.VNMATH.COM
p

+ k 2p ,  k Î Z . 
2 
*)  cos x = -1 Û x = p + k 2p ,  k Î Z . 
*)  4cos x - 5 = 0  vô nghiệm. 
p
Vậy phương trình có nghiệm  x = - + k 2p , x = p + k 2p , k Î Z . 
2 
1 
Câu 3.  Điều kiện:  x ³ - 2  . 
(1,0  Phương trình đã cho tương đương với
điểm) 
2 
4( x +1- 2 x +1 ) 
2
.23 2 x +1 = 2 2 x + 4 
*)  sin x = -1 Û x = -

(

0,5 

0,5 

2 

)  + 3 2 x + 1 = 2 x + 4 
2 x + 1 )  + 3 2 x + 1 = 2 x + 4. 

Û 4 x +1- 2x +1

2 

(

Û 2x + 2 - 2

Đặt  2 x + 1 = t ³ 0,  phương trình trở thành

(t

2

+ 1 - 2t

2 

)  + 3t = t

2 

+ 3 

Û  t 4 - 4t 3 + 5t 2  - t - 2 = 0 

(

0,5 

) 

Û (t - 2) t (t - 1) 2  + 1 = 0 
Û  t = 2, vì  t (t - 1) 2  + 1 > 0  với mọi  t ³ 0. 
3 
Từ đó giải được nghiệm của phương trình ban đầu là  x =  . 
2 
1

1 

3x
ln(3 x + 1) 
Câu 4.  Ta có  I = ò ( x + 1)2 dx + 2 ò  ( x + 1) 2  dx . 
0
0 
(1,0 
dx 
1 
3d x 
điểm) 
Þ v = Đặt  u = ln(3 x + 1) Þ du =
. 
,  dv =
2 
x + 1 
( x + 1) 

3 x + 1 
Áp dụng công thức tích phân từng phần ta có 
1

3x
2ln(3 x + 1)
dx 2 
x +1
( x + 1) 
0

I =ò

1 

1 

0 

0,5 

d x 
(3 x + 1)( x + 1) 
0 

+ 6 ò

1

1 

æ 3
3 ö
1  ö
æ 3
= òç
dx - ln 4 + 3ò ç
÷ d x 
2  ÷
x + 1 ( x + 1)  ø
3 x + 1 x + 1 ø
0è
0 è
=

3 1
- ln 4 + 3ln 3x + 1
x +1 0
C 

Câu 5. 
(1,0 
điểm) 

A 

K 

H 

1 

3 
= - + 4ln 2. 
2 
0 

Từ giả thiết suy ra  D ABC đều và  BB1  ^ ( ABC ). 
Kẻ  CH ^  AB,  H là trung điểm AB. Khi đó 
·
CH ^ ( ABB A ) Þ CB
H = (· 
B C , ( ABB A ) ) = 45 0 
1 1

1

1

1 1 

Þ D CHB1  vuông cân tại H. 

B 

a 2 

0,5 

Giả sử  BC = x > 0 Þ CH = 

E 
C 1 

K 1 

A 1 
B 1 

x  3 
và 
2 

0,5 

2 

B1 H = B1 B 2 + BH 2 = 2a 2  + 

x 
.
4 

Từ  CH = B1 H Þ x = 2 a Þ S ABC  =

x 2  3 
= a 2  3 
4 

Suy ra thể tích lăng trụ  V = AA1 .S ABC  = a 3  6. 

Gọi  K ,  K 1  là trung điểm  BC , B1C 1 .  Kẻ  KE ^  AK1 . 

0,5 


WWW.VNMATH.COM
Vỡ B1C1 ^( AKK1) nờn B1C1 ^ KE ị KE ^( AB1C1).
Vỡ BC / /( AB1C1) nờn d ( BC , AB1 ) = d ( K , ( AB1C1) )= KE.
Tamgiỏc AKK1 vuụngti Knờn

(1)

1
1
1
5
a 6 a 30
=
+
= 2 ị KE =
=
.
2
2
2
KE
K1K
AK
6a
5

5

(2)

a 30
.
5
Tgithittacú 0 Ê x, y, z Ê3 v x + y + z >0.

T(1)v(2)suyra d ( AB1, BC ) =

Cõu6. Suyra x 2 Ê 3 x , y 2 Ê 3 y , z 2 Ê3 z.
(1,0
2
2
2
im) Doú x + y + z Ê 3( x + y +z ).
( x + y + z) 4
1
Khiú P Ê 3( x + y + z ) = 3( x + y + z ) - ( x + y + z) 3.
9( x + y +z )
9
t t = x + y + z , t >0.
1
9

Xộthms f (t ) = 3t - t 3 vi t >0.

t

1
3

f '(t)

Tacú f '(t ) = 3 - t 2 f '(t ) 0 0 < t Ê3.

0

0,5

(1)

3
+

0

+Ơ



6

Suyrabngbinthiờn:

f (t)

0,5

Davobngbinthiờntasuyra f (t ) Ê f (3) =6 vimi t >0.
(2)
T(1)v(2)tacú P Ê6. Dungthcxyrakhi x = 3, y = z =0 hoccỏchoỏnv.
VygiỏtrlnnhtcaP l6,tckhi x = 3, y = z =0 hoccỏchoỏnv.
Cõu
7.a
(1,0
im)

A

N

ỡ x = 1 - 3t
A ẻ d : 2x + 3 y - 5 = 0 ớ
ị A(-3a + 1, 2a+ 1).
ợy = 1 + 2t
Vỡ M(2 1) ltrungim AC nờnsuyra C (3 + 3a 1 -2a )
uuur
ùỡ HA = ( -3a + 1 2 a+ 4)
ị ớ uuur
ùợ HC = (3 + 3a 4 - 2a ).

d

M

E

ộ a= 1

uuur uuur
ã
B
H
Vỡ AHC =90 nờn HA.HC = 0ị ờ
ờ a = - 19.
ờở
13
*)Vi a = 1 ị A(-2 3), C (6 -1) thamón.
C

0,5

0

19
ổ 18 51ử
ị C ỗ - ữ khụngthamón.
13
ố 13 13ứ
Vi A(-2 3), C (6 -1) tacúphngtrỡnh CE : x + 17 y + 11 =0, phngtrỡnh BC : x - 3 y - 9 =0

*)Vi a = -

Cõu
8.a
(1,0
im)

Cõu

ổ 3b + 7 b+ 3ử

Suyra B (3b + 9 b)ẻ BC ị trungim AB l N ỗ
ữ .
2 ứ
ố 2
MN ẻ CE ị b = -4 ị B (-3 -4).
Tõmmtcu (S)l I (t - 2 - t + 1 2t + 2) ẻd .
Vỡ(S)tipxỳc(P),(Q)nờn d ( I , ( P ) ) = d ( I , (Q))= R
1
1
ộ
ộ
t = -2, R =
I (-4 3 - 2), R=
ờ
ờ
-t- 1
3t + 7
3
3

=
= R ờ
ịờ
3
3
ờt = -3, R = 2
ờ I (-5 4 - 4), R = 2

ờở
ờở
3
3
1
4
Suyrapt(S)l ( x + 4)2 + ( y - 3)2 + ( z + 2)2 = hoc ( x + 5) 2 + ( y - 4) 2 + ( z + 4) 2 = .
9
9
3
Scỏcsthuc Mcú3chsl A5 =60.

0,5

0,5

0,5

0,5


WWW.VNMATH.COM
9.a
Scỏc sthuc Mcú4chsl A54 =120.
(1,0
5
im) Scỏcsthuc Mcú5chsl A5 =120.
SuyrasphntcaM l 60 + 120 + 120 =300.
Cỏctpconca E cútngcỏcphntbng10gm
E1 = {1,2,3, 4}, E2 = {2,3,5}, E3 ={1, 4,5}.

Gi A ltpconcaMmmisthuc A cútngcỏcchsbng10.
T E1 lpcscỏcsthuc A l 4!
Tmitp E2 v E3 lpcscỏcsthuc A l 3!
Suyrasphntca Al 4!+ 2.3! =36.
36
Doúxỏcsutcntớnhl P =
=0,12.
300
Gis(C)cútõm I (a b), bỏnkớnh R >0.
B
Cõu
Vỡ(C)iqua A,B nờn IA = IB =R
A
7.b
(a - 1)2 + (b - 2) 2 = (a - 4)2 + (b - 1)2 = R
I
(1,0
im)
ỡùb = 3a - 6
ỡù I (a 3a- 6)
D
H
ịớ
ịớ
2
2
D
C
ù R = 10a - 50a + 65
ợù R = 10a - 50a + 65 ợ

-9a+ 29
K IH ^CD ti H.Khiú CH = 3, IH = d ( I , D )=
5
(9a- 29)2
ị R = IC = CH 2 + IH 2 = 9+
25
(9 a- 29)2
T(1)v(2)suyra 10a 2 - 50 a + 65 = 9 +
169a 2 - 728a + 559 =0
25
ộ I (1 - 3), R= 5
ộ a= 1
ờ
ờ
ị ờ ổ 43 51 ử

5 61
ờ a = 43

, R =
I
ờ ốỗ 13 13 ứữ
ờở 13 ở
13
2

0,5

0,5
(1)

(2)

2

43 ử ổ
51 ử 1525
ổ
.
Suyra (C ) : ( x - 1) 2 + ( y + 3)2 =25 hoc (C ) : ỗ x - ữ + ỗ y - ữ =
13 ứ ố
13 ứ 169
ố
uur
uur
uur uur
ùỡu1 = (1 - 1 1)
ị nP = ộởu1 , u2ựỷ = (1 2 1)
Cõu Vỡ ( P) // d1 ,d2 nờn(P)cúcpvtcp ớ uur
ùợu2 = (-1 2 - 3)
8.b
(1,0 Suyrapt(P)cúdng x + 2 y + z + D = 0.
im)
3+ D
(1)
ộ D= 3
ộ( P ) : x + 2 y + z+ 3 = 0
d ( M , ( P) )= 6
= 6 ờ
ịờ

(2)
6
ởD = -9 ở( P ) : x + 2 y + z - 9 = 0
Ly K (1 3 1)ẻd1 v N (1 - 3 2)ẻd 2 th vo cỏc phng trỡnh (1) v (2) ta cú
N ẻ ( P ) : x + 2 y + z + 3 =0 nờn d 2 è ( P ) : x + 2 y + z + 3 =0. Suy ra phng trỡnh mt phng (P)
thamónbitoỏnl ( P ) : x + 2 y + z - 9 =0.
Vimi x ẻ R vmisnguyờndng n,theonhthcNiutntacú
Cõu
Cn0 x - Cn1 x 2 + . . . + ( -1) n Cnn x n +1 = Cn0 - Cn1x + . . . + ( -1) n Cnn x n x = (1 -x ) nx.
9.b
1
1
(1,0 Suyra C 0 x - C1 x 2 + . . . + ( -1) n C n x n +1 dx = (1 - x) nxdx.
n
n
n
ũ0
ũ0
im)

(

(

0,5

)

0,5

0,5

0,5

)

1

1

1
1
(-1)n n
Cn = ũ (1 - x) n dx - ũ(1 - x)n+1dx
Hay Cn0 - Cn1 + . . . +
2
3
n + 2
0
0
1
1
1
=
=
,vimi n ẻ N*.
n + 1 n + 2 ( n + 1)( n +2)
1
1
=

n 2 + 3n - 154 = 0 n= 11 (vỡ n ẻ N*).
Tútacú
( n + 1)( n +2) 156

0,5