Tổng hợp hệ club yêu vật lý

Tæng Hîp HÖ Ph-¬ng Tr×nh
§· Up Trªn Page
Part one
(Có lời giải chi tiết)

Page: Câu Lạc Bộ Yêu Vật Lý

Admin soạn thảo:

 Văn Hữu Quốc
 Hinta Vũ Ngọc Anh

Nguồn bài: Sưu Tầm


3
2
4

 x y  3 x y  8 y  4  0 1
C©u 1: 
2
2

2 xy  y  y  2  0
1  2  2   x 3 y  3x 2 y  8 y 4  4 xy  2 y  2 y 2  0  y  0 

 x 3  3 x 2  4 x  2  8 y 3  2 y   x  1   x  1   2 y   2 y * 
3

3

XÐt h¯m f  t   t 3  t, f '  t   3t 2  1  0t  f  t  ®ång biÕn

*  f  x  1  f  2 y   x  1  2 y
y  1  x  1
 2   2 y  2 y  1  y  y  2  0  3y  y  2  0  
2
7
y x
3
3

 7 2
VËy nghiÖm cña hÖ l¯  x; y   1;1 ,   ;  
 3 3
2

2

1  2 x  y  1  4  2 x  y 2  6 x  3 y 1

C©u 2: 
§ K: 2 x  y  0
 x  1 2 x 2  x  4  8 x 2  4 xy  4
2

1  4  2 x  y 

2

 1  6 x  3y  2 x  y  1  0



1
1
  4 x  2 y  1  4 x  2 y  1 
  0  y   2 x

2
6 x  3y  2 x  y  1 


 2    x  1





2 x 2  x  4  2 x  4   x  1 2 x 2  x  4   4  2 x 
2

2

1
1

x y

2

2
 2 x  3 x  23 x  12  0   2 x  1 x  3 x  x  4  0 

 x  3  KTM 
VËy nghiÖm cña hÖ l¯  x; y   1 / 2; 1 / 2 
4



3



2

y   3 3
 xy  2  x  3y  y  3  2 x  5y  2
1




C©u 3: 
§K:  x  3 y  0
3
3
3
 y  17 y y  3  x  6 x 3 x  y  50  2 
3x  y  0










1  2 x  5y  2  xy  2  x  3y  y  3  x  4 y  3
  x  y  xy  1  0   x  1 y  1  0


 y  1  x  1:  y


 17 y 

 y  1  x  1: y3  17 y
3


3 x


 6x 

y3  3  x 3  6 x

3 x  y  50,  2   x  y  1

y3

3 x  y  50  v« nghiÖm

3

VËy nghiÖm cña hÖ l¯  x; y   1;1
Câu 4:





 x 2  y3  y 2  2 3 x 4  3 x 2  2 y y  1 x  3 x 1

DK : y  1

3
 x 4  x 3  x 2  1  x  y  1  1
2
 

1   x  3 x  y

y 1



2

 0  x  3 x  y y 1

 x  3 x   y  1 y  1  y  1  3 x  y  1  0

2  x4 



x  0  y  1
1
x 3  x 2  1  x 3  1  x 2  x  1  x 
0

x3  x2  1  1 
x  1  y  2



Câu 5:

 4 7 x  1 2  y2  y2  1  x  6
 y2  1
1







§K

1
2
 y 2  3x  y 2  2 y 3x  1  9 x  2  2 
x  
3









C¸ch 1:  2   y 2  3x





2

 





 2 y 2  3x  1  y 2  2 y 3x  1  3x  1  0

2

 y 2  3x  1  y  3x  1



2

 y  3x  1  0  y  0
0
 2
2
 y  3x  1  0
 y  3x  1

C¸ch 2: §Æt z  3 x  1

 2    y2  z 2  1

2



 y 2  2 yz  3z 2  1  y 2  z 2



2





 2 y 2  z 2  1  y 2  2 yz  3z 2  1

2
2
2
2
  y  z   y  z   y 2  z 2  2 yz  0   y  z   y  z   1


y  0
 y  z  y  3x  1   2
 y  3x  1

1  4 7  x  1


2

 3 x  1  3 x  x  6  x  0   4 7 x 2  11x  6  3 x  x  6

7 x 2  11x  6  3 x
4

7 x 2  11x  6  3 x



  x  6  1 


Câu 6:



 x 6 



2 x 2  11x  6
4

7 x 2  11x  6  3 x

2x 1
4



7 x 2  11x  6  3 x



7 x 2  11x  6  3 x



 x 6



  x  6  y  19
7 x 2  11x  6  3 x 




 y
x
y4


1

2  
2
x  1
 x y y x 2
xy
§K: 

y  1

 y  x  1  32  x  2 y  1 2 y  2  2 



 



1
t2
1


1 
2
t  1 1  t 
1  t2





2

t  1  t2



1  t 



2

 t 6  t 5  t 4  2t 3  t  0  t  t  1 t 3  t 2
2

2 





y  y 2  1  32 y 2  2 y  1





 y  1  y  1  64 y 2  2 y  1



1





 1  t   t  1  t 2 1  t 2
2

1  t 

 2t  1  0  t  1 v× t  0   y 
2

2

2y  2  y 1 2



2

x  x  y2

 y  1 y  1  y  1  64  y2  2 y  1



y  1  y  1  3 y  1  64 y 2  128 y  60



y 1



1
 8 y  10 8 y  6  y  1  8 y  10   8 y  6  y  1 
0

y 1  3 y 1

y  1  3 y  1 

5
25
 y   v× y  1  x 
4
16
Câu 7:
2
 2
6 x5 y
x

1

3


(3 y  x)  0 & ( x  3 y )  0

x2  2


DK  4 x  3x 2 y  9 xy 2

2
2
0
3 y  x  4 x  3x y  9 xy


x  3y


x  3y


8 y  10

y 1


8 6y

1 6 
4
2
2
5
6
5


x
 x  2 x  4  x  2   6 x y
 x  8  6 x y (*)
 x
Xet x  0  


(**)



3
3
3
2
2
2
y
4
27
y

x

4
x





27
 3 y  x   x  3 y   4 x  3x y  9 xy
  1  2

x
 x
2
3y

Đặt a  2 và b 
. Nên hệ đã cho trở thành:
x
x

3

2 3y
2
1  a  2b
ab 2 
 xy 

3
x
x
3

1  b  2a

x   2
 x2  2

Thay vào (*) ta có: x  4 x  8  0   x  2  x  2 x  4   0   2
 x   1  5
 x  1  5
6

Câu 8:

4



 2 x2  1 1  x y  1  y 1


4

 x  x  2    y  1  2 xy  y  2 

2



4

(1)

Điều kiện

(2)

Ta xét phương trình (1) có VT

, nên VP

. Mặt khác:

 Xét

thay vào hệ đã cho ta có được
 Xét
.
Chia 2 vế phương trình (1) cho x ta được:

2

2





y  1  y  1  0 , Suy ra

. Vậy phương trình có nghiệm

1 1
1
1
  y  1  y  1  2  2  2  ( y  1)  2  y  1
2
x
x
x
x

Xét hàm số f  t   2  t  t . Với

f ' t  

1
1
1

 0 . Hàm số liên tục và nghịch biến. Nên ta có  y  1 (*). (y>1)
x
2 2t 2 t
x  x  2    y  1  2 xy  y  2    y  1  2 x  y  1  x 2  0
4

Phương trình (2):

4

2

2

2
2
  y  1  x   0  x   y  1 (**)



2

 y  1 
Từ (*) và (**) ta có 
y 1







1
 y 1 5  1
0

y 1

 y  2  x 1

y

1


Vậy phương trình có nghiệm
Câu 9:
2
 2
2
 20
(1)
2
3x  6 y 
 x  y



3x  3 y  1  10
(2)

x y

Điều kiện

Ý tưởng: Quan sát thấy (1) có phần tử bậc 2, (2) có phần tử bậc 1 và có bề ngoài giống nhau. Ta nghĩ đến cộng
trừ hợp lý để tạo thành bình phương. Làm ra nháp thấy nhân pt(2) với số 2 thất bại. Ta nhân pt(2) với hẳn số 4
và tìm được lời giải đẹp.
2
2
 2
 2
2
2
 20
 20
2
2
3x  6 y 
3x  6 y 
x  y
 x  y






3x  3 y  1  10
12 x  12 y  4  40


x y
x y
Đến đây ta trừ 2 vế hai phương trình cho nhau, thu được
2
4
3x 2  12 x  12  6 y 2  12 y  6 

20
2
 x  y x  y


2

 1

 3  x  2   6  y  1  2 
 1  0
 x y 

x  2

 y 1
(t / m)
 1


1
 x  y
Vậy nghiệm hệ phương trình đã cho là (x;y)=(2;1)
Câu 10:
2

2

3
2

 x  y  2   xy  x  1  2  x  x  1  y  0
 3 2
3
2

 x  x  3x  y  y  3

(1)
(2)

Nhận thấy pt(2) không thể đưa về dạng hàm số. Ta đi khai thác pt(1)

x3  y  2   xy  x  1  2  x 2  x  1  y  0

 x3 y  2 x 3  x 2 y  xy  2 x 2  2 x  2  y  0
  x3 y  xy    2 x 3  2 x    x 2 y  y    2 x 2  2   0
 xy  x 2  1  2 x  x 2  1  y  x 2  1  2  x 2  1  0
  x 2  1  xy  2 x  y  2   0
 xy  2 x  y  2  0(3)

Đến đây ta khai thác pt(2):

x3  y 3   x 2  xy  y 2   3x  xy  3  0

 ( x  y )  x 2  xy  y 2    x 2  xy  y 2   3x  xy  3  0
  x  y  1  x 2  xy  y 2   3x  xy  3  0(4)
Ta lấy

thu được:

 x  y  1  x  xy  y 2   3x  xy  3   xy  2 x  y  2   0
  x  y  1  x 2  xy  y 2   x  y  1  0
  x  y  1  x 2  xy  y 2  1  0
2

 x  y  1  0(5)
x  y  1
 x  1& y  0

Vậy từ (3) và (5) ta thu được hệ: 
 xy  2 x  y  2  0
 x  3& y  4
Vậy nghiệm của phương trình là
Câu 11:

2 x3  3 y 3  3 x 2  7 y 2  5 y


x 2  y  2 y  1   x 2  1  y  1



Áp dụng bunhia cho pt(2) ta có:
x 2  y  2 y 1 

x

 x 2  y  2 y 1 

2

Điều kiện:

 1  2  y  2 y  1

x

2

 1  y  1

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: x 

2 y
2 y 1

(*) . Suy ra

1
 y2
2

Biến đổi phương trình (1):

2 x3  3 y 3  3x 2  7 y 2  5 y
  2 x3  3x 2  1   3 y 3  7 y 2  5 y  1  0
  x  1  2 x  1   y  1  3 y  1  0
2

2

1
 y2
2
Cho nên vế trái của phương trình trên luôn
. Vậy để dấu bằng xảy ra thì

Ta có các điều kiện của nghiệm:

 x 1

và

  y  1  0  x  y  1

2

2

Thay vào (*) thấy thỏa mãn.

Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là
Câu 12:
4
 2
2 y  9 y  x  2(1)
Điều kiện

4 x  1  xy y 2  4  0(2)


 x  1

x  0

hoặc y = 0 không là nghiệm của phương trình suy ra pt(2) tương đương

Ta thấy

x
4
x  1  1 y 2  ( y 2  4)
1



 x 1 

2
2
x 1 y y  4

x 1
x 1
y y 4

y
y2  4



y2  4
y

1
1
Xét hàm f (t )  t  . Ta có f '(t )  1  2  0 . Vậy f (t ) là hàm đồng biến.
t
t

Từ đó ta có

x 1 

y
y2  4

 x 1 

y2
4


 y2  4
2
y 4
x

4

y  1  x   (t / m)

5
Thay vào (1) ta thu được: 3 y 2  9 y  6  0  
 y  2  x   1 (t / m)

2
Câu 13:

 4 xy
 x  y  1 x  y  5

 x  y  x2  y  2


1

Điều kiện xác định: x  y  0 .

.



Ta có 1  x  y  5  0 



 2  x2   x  y   x 

x  0
4 xy
 0  xy  0  
.
x y
y  0



x y 0 x x y

 x 



x  y 1  0  x  x  y

2

x  y  5  x  5
vì x  x  y  1  0 . x  x  y  
thế vào (1) ta có:
2


y  x  x


1 

4x  x2  x 
x2

 1

5

x  4

x2  5   x  2  x  2  y  2

2
 x 
3


x2  5  4 x  5 

Vậy (x;y)=(2;2)
Câu 14:

x  3

Điều kiện:  y  3
14 x  2 y  48  0



3
2
3
2

 x  3x  2  y  3 y


 14 x  2 y  48  5  x  x  3

Từ pt(2) ta có:

14 x  2 y  48  x  3  x  3  2  14 x  2 y  48 





x  3 1

 x  3 1  0  x  4
Kết hợp với điều kiện: 14 x  2 y  48  0  2 y  14 x  48  y  4
Do đó ta có pt(1) trở thành:  x  1  3  x  1   y  3 y  3  3 y  3
3

 x  1  a
Đặt: 
 y  3  b

 a  3

ta có: a3  3a  b3  3b

b  7 

Xét hàm f  t   t 3  3t  t  2  . Có f '  t   3t 2  3  0
Nên f(t) là hàm đồng biến. Vậy a  b  x  1  y  3  y  x 2  2x  2
Thay vào pt (2) ta có:

2 x 2  18 x  44 





x  3 1

x 3  2



x  3  t với t  1  x  t 2  3 , ta được

Đặt

2  t 4  3t 2  4   t 2  t  2  t 4  2t 3  3t 2  4t  4  0  t  2  do t  1
Vật phương trình đã cho có nghiệm  x; y    7;33
Câu 15:





4 x 2  x 2  1  1  x 2  y 3  3 y  2 


2
 x 2  y 2   1  x 2  2 y


Từ phương trình (2) ta có:

x

2

 y 2   1  x 2  2 y   x 2  y 2    x 2  y 2     y 2  2 y  1
2

2

  x 2  y 2  x 2  y 2  1    y  1  0
2

 x 2  1 1  x  1
 0  x  y 1  2

(*)

 y  1 1  y  1
+) Xét
+) Xét x 0 ta có:
Ta khai thác phương trình (1)
2

(1)  4 x 2 
4



2





x2  1  1  x2  y3  3 y  2



x2  1  1  x2  y3  3 y  2

  x 2  1  4 x 2  1  3  y 3  3 y  2






x2  1  1



x 2  1  3   y  2  y  1

2

x3  2




Với điều kiện (*) ta có:
2

 x 1 1  0
 1  x  1  
 VT  0
2
x

1

3

0


Từ đây suy ra

y

2

0


 1  y  1
 VP  0
2

 y  1  0

 x 2  1  1  0  x  0

nên 
(Loại)
y 1
 y  1  0

Vậy phương trình đã cho có nghiệm (x,y) là (0,1)
Câu 16:
4
2
2

 x   y  1 x  y  0
 3

x  3y y 1  x

Điều kiện y  1
Phương trình (1) khá đẹp mắt, ta đi khai thác nó:

(1)  x 4   y  1 x 2  y 2  0   x 2  y   x 2  y  1
2

 x 2  y  x y  1

2
 x  y   x y  1
Đặt t  y  1 . Kết hợp với phương trình (2) ta có:
TH1:

 x 4   y  1 x 2  y 2  0
 3
 x  3 y y  1  x

(1)  x 4   y  1 x 2  y 2  0   x 2  y   x 2  y  1
2

 x 2  y  x y  1

2
 x  y   x y  1
Dat t 

y  1 (t  0)

 x 2  y  x y  1
 x 2  t 2  xt  1

 3
 3
3
 x  3t  3t  x
 x  3 y y  1  x

  x 2  t 2  xt   3t  x   x 3  3t 3
 2 xt  x  t   0

Đến đây dễ rồi, các bạn tự giải nhé!
Vậy nghiệm phương trình
Câu 17:
 x 2  2 y 2  2 x  4 y  3(1)
 2
2
2
3x  2 x  5  2 x x  1  2( y  1) y  2 y  2

 x2  2 y 2  4 y  3  2 x  6

 2
2
2
2
2
 x  2 x x  1  x  1  x   2 x  6   2( y  1) ( y  1)  1(*)









 (*)  x 2  2 x x 2  1  x 2  1  x 2  x 2  2 y 2  4 y  3  2( y  1) ( y  1) 2  1



 x  x2  1

 
2

 y  1  ( y  1) 2  1

 x 

 x  x 2  1  y  1  ( y  1) 2  1(**)

2

x2  x2  1  x2  1  x  0




t

Xét hàm f  t   t  t  1  f '(t )  1 

t2 1  t


 0(cmt )
t2 1
t2 1
 f  t  là hàm đb.  (**)  f  x   f ( y  1)  x  y  1
2

y  2/3 x  5/3
 (1)  3 y 2  4 y  4  0  
 y  2  x  1
Câu 18:

2 x3 y  x 2  x 4  x 2  2 x3 y 4 y 2  1(*)
(1  x  1) ______ NXet : x  0(t / m)

2
2
2
4 1  2 x y  1  3 x  2 1  2 x y  1  x (**)
Xet : x  0. __ Taco(*)  2 x 3 y (1  4 y 2  1)  x 4  x 2  x 2  2 y (1  (2 y ) 2  1) 
 2y 

1
1 1
1 2 
x
x

x

1
 2 xy  1  (**)  4 1  x  1  3 x  2 1  x  1  x 2 (***)
x

Dat : 1  x  a; 1  x  b  a 2  b 2  2 & a 2  b 2  2 x(a; b  0) & (a; b  1)
8a  2  3a 2  3b 2  4b  2ab
8a  a 2  b 2  3a 2  3b 2  4b  2ab
 (***)   2
 2
2
2
a

b

2

a  b  2
2a 2  a (b  4)  b 2  2b  0
(2a  b)(a  b  2)  0
3
 2

x
(t / m)
 2
2
2

5
a

b

2
a  b  2

Câu 19:

 x  1 x  1  2 y  y  x  1

 2 2
2
2
 y x  3x  4  4 xy  3x  4  x  17  0
x  1
1   x  1 x  1  y  0  
y  x 1



1
x  1
§ K:  2
 xy  3x  4  0
2



x  1:  2   4 y 2  7  16  0  y 2  7  4  y 2  9  y  3
y  x  1 :  2    x  1 x 2  3 x  4  4 x 2  4 x  4  x 2  17  0   x  1 x 2  3x  4   x 2  4 x  9



 

  x  1 x 2  3 x  4   x 2  x  9
2



2

x  5
5  2 19
2  2 19

x
 thö l¹i   y 
 x  5  2 19
3
3

3
 5  2 19 2  2 19 

VËy nghiÖm cña hÖ l¯  x; y   1;3 , 1; 3 , 
;



3
3



Câu 20:





 3 x 3  5 x 2  67 x  85  0   x  5 3 x 2  10 x  17  0


 x  y  x  y  2   x  3y   2
1
x  y  2
§K: 

x  y  2  0
 x  y  x  y  2   x  y  1 x  y  2  2 

1   x  y  



x  y2 2  x  y2  0




xy
  x  y  2 
 1  0  x  y  2
 xy2 2 



 2   4   2 y  3

2 y  16  2 y  2 y  3

2

 8 y3  24 y 2  18 y  16  0





  4 y  2  2 y2  7 y  8  0  y 

1
5
x
2
2

Câu 21:

1
1



 2
2
x

6
x
y

6
y


x
y



2
 x 2  18
y  18


2 

1

1

18
x2



1
1

18
y2

2
7

§ K:x, y  6

2 xy
xy  18
2



1

18
xy





1
1
1
1 
2


 2

18
18
18
 1  18 1  18 
1 2
1 2
1
2
2 

x
y 

x
y
xy

 18 18 1 
.

 

x
y
2 


2  x  y
1  x 2  6 x  7  x  y  7
Câu 22:

 x 3  3 x 2  6 x  4  y 3  3y 1

 3
3
2
 x  3y  7   1  1  x
2






1   x  1  3  x  1  y3  3y
XÐt g  t   t 3  3t, g '  t   3t 2  3  0t  h¯m ®ång biÕn
1  g  x  1  g  y   x  1  y
3

 2   x 3  3x  4   1 

XÐt f  t   3x  4 x 
4

3



1  x2





1 x

 1

2

3

3

00 x 

4
3










x

4
2
 3x 4 x 2  4 x  x 2  1  3x  2 x  1  x 2  1  1  0, 0  x 


3
x 1
 4
 H¯m f  t  ®ång biÕn trªn 0;  nªn ph­¬ng tr×nh f  t   0 cã nghiÖm duy nhÊt x  0  y  1
 3
f '  t   12 x 3  12 x 2  3 1  x 2

2

VËy nghiÖm cña hÖ l¯  x; y    0;1

Câu 23:







 x 2  1 y 2  1  2 xy  0


 x y 2  1  y x 2  1  1  xy
(1)  (2)
 x y2  1  y x 2  1 





x

(1)
(2)

2







 1 y 2  1  xy  1

 x  x 2  1 y  y2  1  1

 x  x 2  1  y2  1  y
 x  y
Thay v¯o (2) ta ®­îc:
 x  1  y  1
 x x2 1  x x2 1  1 x2  
 x  1  y  1
VËy nghiÖm (x;y) l¯: (1,-1) v¯ (-1;1)
Câu 24:

Câu 25: Giải hệ của: Admin( Nguyễn Minh Thành)
(√

(√

)
(√

{
Điều kiện:

√

)
)


Phương trình (1) tương đương:
(√

)

Theo bất đẳng th c uniacowski ta có:

(√

√

)

(√

√

)

√

√

hi đó (2) tương đương:

Cộng vế theo vế (3) và (4) ta được:
√
Vậy

{(

√ )}

Chắc chắn còn nhiều thiếu xót,

mong các bạn thông cảm!