Bài giảng trực tâm

CHỦ ĐỀ 2 : KHAI THÁC YẾU TỐ VUÔNG GÓC
QUA ĐIỂM TRỰC TÂM
THẦY MẪN NGỌC QUANG

KHÓA HỌC HÌNH OXY
4 Bài toán áp dụng TRỰC TÂM


Dẫn nhập
A
N
M

Nếu BM vuông góc AC , CN vuông góc AB , E
là giao điểm của BM và CN
E lúc đó là trưc tâm  AE sẽ vuông góc BC

E
C

H

B


CHỦ ĐỀ 2 : KHAI THÁC YẾU TỐ VUÔNG GÓC QUA ĐIỂM TRỰC TÂM

Bài 1 : Cho tam giác ABC có trực tâm H , qua H kẻ đường thẳng cắt AB, AC lần lượt tại P,Q
sao cho HP = HQ . M là trung điểm của BC . Gọi D là chân đường cao hạ từ đỉnh A xuống
BC .Chứng minh HM vuông góc PQ .
Ở đây ta khai thác yếu tố : P là trực tâm của tam giác FHB

Kéo dài CH , lấy F sao cho FH = CH => PFQC
là hình bình hành
FP // AC , Có BH vuông góc AC nên FP
vuông góc BH
Lại có BP vuông góc EH => P là trực tâm
tam giác FHB
P là trực tâm tam giác BHF => PQ vuông
góc BF
HM // BF => MH vuông góc PQ

Câu hỏi đặt ra là tại sao ta lại vẽ thêm được điểm F , các em biết đấy khi có H là trung điểm
Của PQ , Chúng ta thường hướng tư duy đến đường trung bình hoặc hình bình hành .
Nếu làm tương tự em lấy đối xứng với B qua H thì cũng có Q sẽ là trực tâm của tam giác mới , các em nên
Thử để hiểu sâu bản chất và hướng tư duy hợp lý nhé .


CHỦ ĐỀ 2 : KHAI THÁC YẾU TỐ VUÔNG GÓC QUA ĐIỂM TRỰC TÂM

Bài toán áp dụng 1 : Cho tam giác ABC có trực tâm H , qua M kẻ đường thẳng cắt AB, AC
lần lượt tại P,Q sao cho HP = HQ . Gọi E là chân đường cao hạ từ đỉnh A xuống BC . Tìm tọa
độ trung điểm M của BC biết tọa độ P(2,1),Q(4,3),D(24/5,28/5) .
Biết điểm P,Q => H
MH vuông góc PQ => Đường thẳng MH
=> tham số
Hóa điểm M
HD vuông góc DM => HD.DM = 0
Giải ra ta tìm được M => Phương trình
BC qua 2 điểm M , D .

H(3,2) , PQ(2,2)//(1,1) là véc tơ pháp tuyến của MH => Phương trình MH : (x-3)+(y-2) = 0

Tham số hóa M(a,b) => a + b – 5 = 0
DH.DM = (9/5,18/5).(a-24/5,b-28/5) = 0
=> 9/5(a-24/5)+18/5(b-28/5) = 0


CHỦ ĐỀ 2 : KHAI THÁC YẾU TỐ VUÔNG GÓC QUA ĐIỂM TRỰC TÂM

Bài 2 : Cho đường tròn tâm K , Điểm A ở ngoài đường tròn , vẽ 2 tiếp tuyến AB , AC
Điểm H nằm ở cung nhỏ BC , vẽ tiếp tuyến của đường tròn tại H cắt AB , AC tại M , N .
Đường BC cắt KM , KN tại P , Q . Đường MQ giao NP tại I . Chứng minh rằng KI vuông góc MN
Bài toán chứng minh vuông góc sử dụng 2 vấn đề : Tứ giác nội tiếp đã có 1 góc vuông , và vấn đề
Chủ đề của chúng ta đó là yếu tố trực tâm
Sử dụng tính chất 2 tiếp tuyến giao nhau

Tính chất góc tạo bởi tiếp
(Tuyến và dây cung SGK lớp 9)

Khi đó tam giác MKN có I là trực tâm => KI vuông góc MN hay K,I,H thẳng hàng


CHỦ ĐỀ 2 : KHAI THÁC YẾU TỐ VUÔNG GÓC QUA ĐIỂM TRỰC TÂM

Bài 2 : Cho đường tròn tâm K , Điểm A ở ngoài đường tròn , vẽ 2 tiếp tuyến AB , AC . Biết B(2,4),
C(3,3) . Điểm H nằm ở cung nhỏ BC , vẽ tiếp tuyến của đường tròn tại H cắt AB , AC tại M , N .
Đường BC cắt KM , KN tại P , Q . Đường MQ giao NP tại I , biết MN song song với đường thẳng
(d) : x + 2y – 5 = 0 . Viết phương trình đường tròn (K) và tìm tọa độ điểm A , Biết điểm I(1,1/3)
ĐS : A(1,2) , Đường tròn : (x – 8/3)2 + (y – 11/3)2 = 5/9


BÀI TOÁN ÁP DỤNG 2

CHỦ ĐỀ 2 : KHAI THÁC YẾU TỐ VUÔNG GÓC QUA ĐIỂM TRỰC TÂM


CHỦ ĐỀ 2 : KHAI THÁC YẾU TỐ VUÔNG GÓC QUA ĐIỂM TRỰC TÂM
Bài 3 : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD tâm E , một đường thẳng qua A cắt BC và CD lần
lượt tại M và N . Gọi G là giao điểm giữa EM và BN . Chứng minh CG vuông góc BN
Chúng ta xét yếu tố trực tâm , ở đây là điểm M , Khi đã có, BC vuông góc DN , Nên nếu ta Vẽ đường BH
vuông góc MN , Khi đó M sẽ là trực tâm của tam giác BHN , Hiển nhiên ta suy ra HM vuông góc BN

Vì góc BEC = 90o nên nếu ta chứng minh tứ giác BGCE nội tiếp thì hiển nhiên CGB = 90O
Ta sẽ chứng minh góc E1 = B2 (Chìa khóa bài toán )
Tam giác ABM = BCH
(do AB = BC , góc vuông B = góc vuông C , A1 = B1)
=> BM = CH
=>Tam giác BEM = CEH (do BE = EC , EBM= ECH = 45O,BM =
CH )

Do đó ta có góc : HEC = BEM => HEM = 90o

C

N

Tứ giác EMCH nội tiếp => E1 = H1
M là trực tâm tam giác MHN , nên HK vuông góc BN ,
Tứ giác HCKB nội tiếp => B2 = H1
E1 = B2 => EBGC nt CH vuông góc BN

CHỦ ĐỀ 2 : KHAI THÁC YẾU TỐ VUÔNG GÓC QUA ĐIỂM TRỰC TÂM

Bài toán áp dụng 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy
cho hình vuông
ABCD tâm F , một đường
1 19
4 43
thẳng qua A cắt BC và CD lần lượt tại M và N ( 2 , 2 ) Gọi G( 5 , 5 ) là giao điểm giữa EM và BN .
Xác định tọa độ của hình vuông .Biết C thuộc đường thẳng 3x – y + 5 = 0 .

Tham số hóa điểm C(a,b)
C thuộc đường thẳng : 3x – y + 5 = 0 => 3a – b + 5 = 0
CG.NG = 0  Một phương trình nữa
Giải hệ 2 phương trình ta tìm được a = 1 , b = 8 =>C(1,8)

Viết được phương trình CN , GN
Từ đó viết được phương trình BC
Điểm B là giao điểm của GN và BC  B

Từ B , C ta tìm E thuộc đường trung trực của BC ,
Hơn nữa EB vuông góc EC nên ta ta có EB.EC = 0 . Giải 2 phương trình trên  2 điểm E
Loại 1 điểm E không thỏa mãn E và G khác phía với bờ BC .
Từ E ta tìm ra A , D

ĐS : A(1,2) , B(-2,5) , C(1,8) , D(4,5)


CHỦ ĐỀ 2 : KHAI THÁC YẾU TỐ VUÔNG GÓC QUA ĐIỂM TRỰC TÂM

Bài 4 : Cho đường tròn tâm (I) đường kính AB , Trên đường tròn (I) lấy điểm C sao cho AC < BC

Tiếp tuyến tai A của đường tròn (I) cắt BC tại D . Vẽ IH vuông góc với AC , DH cắt AB tại K ,
Đường DI Cắt AC tại N . Biết NK giao IH tại E . Chứng minh AE vuông góc DI .
Bài toán này sử dụng tỉ lệ đoạn thẳng của tam giác vuông đồng dạng , áp dụng tính chất
AC = 2AH (Đường thẳng vuông góc dây cung chia dây cung làm 2 phần bằng nhau) , AB = 2BI .

Điểm E sẽ là trực tâm tam giác AMI

E
E là trực tâm tam giác ANI => AE vuông góc DI

Ta suy luận ngược lại , nếu AE vuông góc DI , mà đã có IE vuông góc AN rồi , khí đó hiển nhiên . E sẽ là trực tâm
của tam giác ANI , đồng nghĩa việc ta chứng minh NK vuông góc AB .
Nếu vậy thì tứ giác HNIK nội tiếp ( đẫn đến việc chúng ta cần chứng minh I1 + KHN = 180O


CHỦ ĐỀ 2 : KHAI THÁC YẾU TỐ VUÔNG GÓC QUA ĐIỂM TRỰC TÂM
Bài toán áp dụng 4 : Cho đường tròn tâm (I) : x2 + y2 + 2x – 2y – 24 = 0 , đường kính AB , Trên đường
tròn (I) lấy điểm C sao cho AC < BC . Tiếp tuyến tai A của đường tròn (I) cắt BC tại D . Vẽ IH vuông góc
với AC , DH cắt AB tại K , Đường DI Cắt AC tại N . Biết NK giao IH tại E . Tìm A,B,C biết M(1,-2) , xA
nguyên dương . (ĐS : A(4,0) , B(-6,2)

E


Bài giảng chi tiết dễ hiểu
Bám sát nội dung thi THPT QG

Không học khó , không học đánh đố

Phân loại chi tiết theo từng chủ đề

Chỉ học những thứ cần thiết cho thi THPTQG