Ôn thi vào lớp 10 THCS trần đại nghĩa

May 4,
2016

TÀI LIỆU LUYỆN THI VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN

TRƯỜNG THCS TRẦN ĐẠI NGHĨA

2016 – 2017
Bài soạn này dành cho học sinh :

----------------------------------Tài liệu nội bộ luyện thi vào lớp 10
Dànhchohọcsinhtrường

Trang 1


TÀI LIỆU LUYỆN THI VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN

May 4,
2016

PHẦN I
CÁC ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TP.HCM
ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
Năm ho ̣c: 2015 – 2016
MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 120 phút

Bà i 1: (2 điểm)
Giải các phương trình và hệ phương trình sau:
2
a) x  8 x  15  0
2 x  5 y  3
d) 
2
b) 2 x  2 x  2  0
 3x  y  4
4
2
c) x  5 x  6  0
Bà i 2: (1,5 điểm)
a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số y  x 2 và đường thẳng (D): y  x  2 trên cùng một hệ
trục toạ độ.
b) Tìm toạ độ các giao điểm của (P) và (D) ở câu trên bằng phép tính.
Bà i 3: (1,5 điểm)
Thu gọn các biểu thức sau:
x
x 1
x  10
A


( x  0, x  4)
x4
x 2
x2
B  (13  4 3)(7  4 3)  8 20  2 43  24 3

Bà i 4: (1,5 điểm)
Cho phương trình x 2  mx  m  2  0 (1) (x là ẩn số)
a) Chứng minh phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị m
x 2  2 x22  2
b) Định m để hai nghiệm x1 , x2 của (1) thỏa mãn 1
.
4
x1  1 x2  1
Bà i 5: (3,5 điểm)
Cho tam giác ABC (ABBC cắt các cạnh AC, AB lần lượt tại E, F. Gọi H là giao điểm của BE và CF. D là
giao điểm của AH và BC.
a) Chứng minh : AD  BC và AH.AD=AE.AC
b) Chứng minh EFDO là tứ giác nội tiếp
c) Trên tia đối của tia DE lấy điểm L sao cho DL = DF. Tính số đo góc BLC.
d) Gọi R, S lần lượt là hình chiếu của B,C lên EF. Chứng minh DE + DF = RS.
HẾT
Dànhchohọcsinhtrường

Trang 1


TÀI LIỆU LUYỆN THI VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN

May 4,
2016

PHÂN TÍCH ĐỀ THI
Bà i 1: (2 điểm) Giải các phương trình và hệ phương trình sau:
a) x 2  8 x  15  0 Tự làm x1 = 5 ; x2 = 3

 2
b) 2 x 2  2 x  2  0 Tự làm x1  2 ; x1 
2
4
2
c) x  5 x  6  0
Đặt u = x2  0 pt thành :
u 2  5u  6  0  u  1 (loại) hay u = 6
Do đó pt  x 2  6  x   6
2 x  5 y  3
 x 1
d) 
Tự làm 
 3x  y  4
 y  1
Bà i 2: a) Đồ thị: Tự vẽ
b) PT hoành độ giao điểm của (P) và (D) là
x 2  x  2  x 2  x  2  0  x  1 hay x  2 (ab+c=0)
Từ đó tìm được toạ độ giao điểm của (P) và (D) là  1;1 ,  2;4 
Bà i 3:Thu gọn các biểu thức sau
x
x 1
x  10
A


( x  0, x  4)
x4
x 2
x2

A

x .( x  2)  ( x  1)( x  2)  x  10 2 x  8

2
x4
x4

B  (13  4 3)(7  4 3)  8 20  2 43  24 3

Cách 1:







Nhóm 13  4 3 7  4 3 chỉ có 3 nên nhân phân phối thu gọn dễ dàng.
Cách 2 : Nhận ra các hằng đẳng thức (a ± b)2 có trong biểu thức.
B  (2 3  1) 2 (2  3) 2  8 20  2 (4  3 3) 2

 (3 3  4)2  8 20  2(4  3 3)  (3 3  4)2  8 (3 3  1)2  43  24 3  8(3 3  1) = 35

Bà i 4: Cho phương trình x 2  mx  m  2  0 (1) (x là ẩn số)
a) Chứng minh phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị m
  m2  4( m  2)  m 2  4m  8  ( m  2) 2  4  4  0, m
Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt với mọi m
x 2  2 x22  2
b) Định m để hai nghiệm x1 , x2 của (1) thỏa mãn 1

.
4
x1  1 x2  1
Dànhchohọcsinhtrường

Trang 1


May 4,
2016

TÀI LIỆU LUYỆN THI VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN

Vì a + b + c = 1  m  m  2  1  0, m nên phương trình (1) có 2 nghiệm x1 , x2  1, m
Cách 1: Kĩ thuật chuyển bậc hai thành bậc nhất để rút gọn.
Từ (1) suy ra : x 2  2  mx  m
m 2 ( x1  1)( x2  1)
x12  2 x22  2
mx  m mx2  m
 4  m 2  4  m  2
.
4 1
.
4 
x1  1 x2  1
x1  1
x2  1
( x1  1)( x2  1)
Cách 2: Kĩ thuật đổi biến để rút gọn.
Vì phương trình không có nghiệm bằng 1 (lí do như trên) nên

x2  2
x12  mx1  m  2  0  x12  2  m  x1  1  m  1
x1  1

x22  mx2  m  2  0  x22  2  m  x2  1  m 

x22  2
x2  1

x12  2 x22  2
.
 4  m 2  4  m  2
Do đó
x1  1 x2  1
Cách 3: Biểu thức có dạng đối xứng nên biến đổi về S, P để giải.
x12  2 x22  2
.
 4  x12 x22  2  x12  x22   4  4 x1 x2  4  x1  x2   4
A
x1  1 x2  1
2

2

 P  2S  4S  0
2
  m  2   2m 2  4m  0
tìm được m2 = 4 hay m = ≠ 2.
Bà i 5 :
a)Do FC  AB , BE  AC  H trực tâm  AH  BC

Ta có tứ giác HDCE nội tiếp
Xét 2 tam giác đồng dạng EAH và DAC
(2 tam giác vuông có góc A chung)


S

E
F
H

R
B

D

C

O

L

AH AE

 AH . AD  AE. AC (đpcm)
AC AD
 nên FDE
  2 FBE
  2 FCE
  FOE


b) Do AD là phân giác của FDE
)
Vậy tứ giác EFDO nội tiếp (cùng chắn cung EF
  DB là phân giác FDL

c) Vì AD là phân giác FDE
 F, L đối xứng qua BC  L  đường tròn tâm O
 là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm O  BLC
  900
Vậy BLC

d) Gọi Q là giao điểm của CS với đường tròn O.
Vì 3 cung BF, BL và EQ bằng nhau (do kết quả trên)
 Tứ giác BEQL là hình thang cân nên hai đường chéo BQ và LE bằng nhau.
Mà BQ = RS, LE = DL + DE = DF + DE suy ra điều phải chứng minh.
Dànhchohọcsinhtrường

Trang 2


TÀI LIỆU LUYỆN THI VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TP.HCM
ĐỀ CHÍNH THỨC

May 4,
2016

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
Năm ho ̣c: 2014 – 2015
MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 120 phút

Bà i 1: (2 điểm)
Giải các phương trình và hệ phương trình sau:
a) x 2  7 x  12  0
c) x 4  9 x   20  0
3 x  2 y  4
4x  3y  5

b) x 2   2  1 x  2  0

d) 

Bà i 2: (1,5 điểm)
a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số y x2và đường thẳng (D): y 2x 3 trên cùng một
hệ trục toạ độ.
b) Tìm toạ độ các giao điểm của (P) và (D) ở câu trên bằng phép tính.
Bà i 3: (1,5 điểm)
Thu gọn các biểu thức sau:
A

5 5



5



3 5

52
5 1 3  5

x
1  
2
6 
B


 : 1 

x  3 
x x3 x 
 x3 x

 x  0

Bà i 4: (1,5 điểm)
Cho phương trình x2mx 10 (1) (x là ẩn số).
a) Chứng minh phương trình (1) luôn có 2 nghiệm trái dấu.
b) Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình (1):
Tính giá trị của biểu thức: P 

x12  x1  1 x22  x2  1


x1
x2

Bà i 5: (3,5 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn tâm O (AB < AC). Các
đường cao AD và CF của tam giác ABC cắt nhau tại H.
a) Chứng minh tứ giác BFHD nội tiếp. Suy ra 
AHC  180O  
ABC
b) Gọi M là điểm bất kì trên cung nhỏ BC của đường tròn (O) (M khác B vàC) và
N là điểm đối xứng của M qua AC. Chứng minh tứ giác AHCN nộitiếp.
c) Gọi I là giao điểm của AM và HC; J là giao điểm của AC và HN.
Chứng minh 
AJI  
ANC .
d) Chứng minh rằng OA vuông góc với IJ.
HẾT
Dànhchohọcsinhtrường

Trang 3


May 4,
2016

TÀI LIỆU LUYỆN THI VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN

PHÂN TÍCH ĐỀ THI
Bà i 1: (2 điểm) Giải các phương trình và hệ phương trình sau:
Câu a: x 2  7 x  12  0

Câu căn bản. ĐS: x1 = 3; x2 = 4
Câu b: x 2   2  1 x  2  0
Nhận xét a + b + c = 0 để thấy ngay x1 = 1 ; x2 = 2
Câu c: x 4  9 x   20  0
Câu căn bản về phương trình trùng phương. ĐS: x 1,2 =± 2; x3,4 = 5
3 x  2 y  4
4x  3 y  5

Câu d: 

Câu căn bản. Nhớ dùng máy tính để kiểm tra nghiệm.
Bà i 2: (1,5 điểm) Học sinh phải làm thật tốt loại toán này.
Bà i 3: (1,5 điểm)
Thu gọn các biểu thức sau:
A

5 5
52







= 5



5



3 5

5 1 3  5


5  2 
5 1

 5 1
1
3 



5 1 3  5 
 52

= 5

   5  1  3 3  5  
5  2   5  1 5  1  3  5  3  5  


5 2

3 5
5 1 9  3 5 



=
4
4 
 1
 12  4 5
5 1 9  3 5 
5


  5.
4
4
4



= 5
=

Nhận xét: nếu hữu tỉ hóa căn thức bằng cách đặt t = 5 thì dễ làm hơn.
t2  t
t
3t
t 1
1
3 



= t 



t  2 t 1 3  t
 t  2 t 1 3  t 
  t  1 t  2 
33  t  
 t  1
= t 



  t  2  t  2   t  1 t  1  3  t  3  t  

A

3  t t  1 9  3t 
= t 




4
4 
 1
12  4t t  1 9  3t 
= t 



  t  5.
4
4 
 4
Dànhchohọcsinhtrường

Trang 4


May 4,
2016

TÀI LIỆU LUYỆN THI VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN


x
1  
2
6 
B


 : 1 

x  3 
x x3 x 
 x3 x
Theo cách trên đặt t = x thì

 t2

1   2
6 
B 2

 : 1   2

 t  3t t  3   t t  3t 

 x  0

t  0

t  1  t  2  t  3  6 t  1 t 2  t
1  t 2
6 
 t
:
:
B


=
 =
:
t  t  3
t  3 t  t  3
t  t  3   t  3
 t  3 t  3   t
B

t  1 t  t  3

1
t  3 t  t  1

Bà i 4: (1,5 điểm)
Cho phương trình x2mx 10 (1) (x là ẩn số).
a) Chứng minh phương trình (1) luôn có 2 nghiệm trái dấu.
a = 1; c = 1
a và c khác dấu nên phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt.
b) S = m; P = 
x1, x 2 khác 0 vì P ≠ 0 nên:
x12  x1  x1 x2 x22  x2  x1 x2
P

 x1  1  x2   x2  1  x1 
x1
x2
P  x1  1  x2  x2  1  x1  0 với mọi m.

Cách 2:
1 
1 
1 1
  x2  1    x1  x2  
x1 
x2 
x1 x2
x x
  x1  x2   1 2   x1  x2    x1  x2   0 (do x1x2 = 1)

x1 x2
P  x1  1 

Cách 3:
P

x12  x1  1 x22  x2  1

   x12 x2  x1 x2  x2    x22 x1  x1 x2  x1 
1
1
x2
x1

P   x12 x2  x2  x22 x1  x1  x1 x2  x2  x1   x2  x1
P   x2  x1  x1 x2  1   x2  x1  1  1  0

Dànhchohọcsinhtrường

Trang 5


May 4,
2016

TÀI LIỆU LUYỆN THI VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN

Cách 4:
P

x12  x1  1
x1

x22  x2  1

x2

Ta có x12  mx1  1 và x 22  mx 2  1
Do đó P 

mx1  1  x 1  1 mx 2  1  x 2  1 (m  1)x1 (m  1)x 2



 0 (Vì x1.x 2  0 )
x1
x2
x1
x2

Câu 5
a) Ta có tứ giác BFHD nội tiếp do có 2 góc đối


AHC  1800  ABC
F và D vuông  FHD
  AMC
 cùng chắn cung AC
b) ABC
  AMC

 do M, N đối xứng
mà ANC
y
 và ANC
 bù nhau
Vậy ta có AHC
 tứ giác AHCN nội tiếp
B

x
A

N
J
F

H

I
D

O

C

c) Ta sẽ chứng minh tứ giác AHIJ nội tiếp
M
  MAC
 do MN đối xứng qua AC mà NAC
  CHN

 (do AHCN nội tiếp)
Ta có NAC
  IHJ
  tứ giác HIJA nội tiếp.
 IAJ
 bù với AHI
 bù với AHI
 mà ANC
 (do AHCN nội tiếp)
 AJI
  ANC

 AJI

Cách 2 :
Ta sẽ chứng minh IJCM nội tiếp
 = ANJ
 do AN và AM đối xứng qua AC.
Ta có AMJ
 = ANH
 (AHCN nội tiếp) vậy ICJ
 = IMJ

Mà ACH
  AMC
  ANC

 IJCM nội tiếp  AJI
d)
 = AMC


Kẻ thêm tiếp tuyến Ax với vòng tròn (O) ta có xAC
 = AJI
 do chứng minh trên vậy ta có xAC
 = AJQ
  JQ song song Ax
mà AMC
vậy IJ  AO (do Ax vuông góc với AO).

Dànhchohọcsinhtrường

Trang 6


TÀI LIỆU LUYỆN THI VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TP.HCM
ĐỀ CHÍNH THỨC

May 4,
2016

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
Năm ho ̣c: 2013 – 2014
MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 120 phút

Bà i 1: (2 điểm)
Giải các phương trình và hệ phương trình sau:

a) x 2  5 x  6  0
c) x 4  3 x   4  0
 2x  y  3
 x  2 y  1

b) x 2  2 x  1  0

d) 

Bà i 2: (1,5 điểm)
a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số y  x 2 và đường thẳng (D): y   x  2 trên cùng
một hệ trục toạ độ.
b) Tìm toạ độ các giao điểm của (P) và (D) ở câu trên bằng phép tính.
Bà i 3: (1,5 điểm)
Thu gọn các biểu thức sau:

x
3  x 3
A  

với x  0 ; x  9
 .
x

9
x

3
x


3


B  21



2

2 3  3 5

 
6

2

2  3  3 5

  15 15

Bà i 4: (1,5 điểm)
Cho phương trình 8 x 2  8 x  m2  1  0 (*) (x là ẩn số)
1
2
b) Định m để phương trình (*) có hai nghiệm x1 , x2 thỏa điều kiện:

a) Định m để phương trình (*) có nghiệm x 

x14  x24  x13  x23

Bà i 5: (3,5 điểm)
Cho tam giác ABC không có góc tù (AB < AC), nội tiếp đường tròn (O; R). (B, C
cố định, A di động trên cung lớn BC). Các tiếp tuyến tại B và C cắt nhau tại M. Từ
M kẻ đường thẳng song song với AB, đường thẳng này cắt (O) tại D và E (D thuộc
cung nhỏ BC), cắt BC tại F, cắt AC tại I.
  BAC
 . Từ đó suy ra MBIC là tứ giác nội tiếp.
a) Chứng minh rằng MBC
b) Chứng minh rằng: FI.FM = FD.FE.
c) Đường thẳng OI cắt (O) tại P và Q (P thuộc cung nhỏ AB). Đường thẳng QF cắt
(O) tại T (T khác Q). Chứng minh ba điểm P, T, M thẳng hàng.
d) Tìm vị trí điểm A trên cung lớn BC sao cho tam giác IBC có diện tích lớn nhất.
HẾT

Dànhchohọcsinhtrường

Trang 7


TÀI LIỆU LUYỆN THI VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN

May 4,
2016

PHÂN TÍCH ĐỀ THI
Bà i 1: (2 điểm) Giải các phương trình và hệ phương trình sau:
Câu a: x 2  5x  6  0
Câu căn bản. ĐS: x  2 hay x  3
Câu b: x 2  2 x  1  0
Câu căn bản. ĐS: x  1  2 hay x  1  2

Câu c: x 4  3 x   4  0
Đặt t = x 2  0 phương trình trở thành:
t 2  3t  4  0  t  1 hay t  4 (loại) (do a + b + c =0)
Do đó phương trìnhcó hai nghiệm x = ± 1.
 2 x  y  3 (1)

Câu d: 
 x  2 y  1 (2)
x  1

Câu căn bản dùng phương pháp cộng đại số, ĐS: 
 y  1
Bà i 2:bài căn bản tự làm.
Bà i 3:Thu gọn các biểu thức sau

x
3  x 3
A

 .
 x 3
x

3

 x9

Chỉ có một cách duy nhất là quy đồng xong rút gọn được ngay.
Với x  0 và x  9 ta có :



x  3 x  3 x  9 x  3

* A

.
 x 3 . x 3  x 9











1
x 3

2

 

* B  21 2  3  3  5  6

2

2 3  3 5

 15 15

Đưa biểu thức trong căn về dạng (a ± b)2 bằng cách nhân chia từng căn trong ngoặc
với 2
21
( 4  2 3  6  2 5 ) 2  3( 4  2 3  6  2 5 ) 2  15 15
2
21
 ( 3  1  5  1) 2  3( 3  1  5  1) 2  15 15
2
15
 ( 3  5)2  15 15  60
2
B

Dànhchohọcsinhtrường

Trang 8


May 4,
2016

TÀI LIỆU LUYỆN THI VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN

Câu 4:Cho phương trình 8 x 2  8 x  m2  1  0 (*) (x là ẩn số)
1
2
b) Định m để phương trình (*) có hai nghiệm x1 , x2 thỏa điều kiện:

a) Định m để phương trình (*) có nghiệm x 

x14  x24  x13  x23

a/ Phương trình (*) có nghiệm x =

1
 2  4  m 2  1  0  m2  1  m  1
2

b/ ∆’ = 16  8m2  8  8(1  m2 ) .
Điều kiện cần để phương trình sau có 2 nghiệm là m  1 hay  1  m  1 .
m2  1
8
4
4
3
x1  x2  x1  x23   x1  x2  x1  x2   x12  x22    x1  x2   x12  x22  x1 .x2 

S = 1; P =

  x1  x2   x1  x2   x12  x22    x12  x22  x1 .x2   0
  x1  x2   S  S 2  2 P    S 2  P   0

Thay giá trị S và P vào ta tính được:
m  1 (thỏa) khi x1 = x2
Cách khác
Khi   0 ta có
m2  1

x1  x2  1 và x1 x2 
8
4
4
3
3
3
x1  x2  x1  x2  x1 .( x1  1)  x23 ( x2  1)  0
  x13 x2  x1 x23  0 (thế x1  1   x2 và x2  1   x1 )
 x1 x2 ( x12  x22 )  0
 ( x1  x2 )( x1  x2 )  0 (vì x 1x 2  0)
 x1  x2 (vì x1+x2 =1  0)

 m  1

Dànhchohọcsinhtrường

Trang 9


May 4,
2016

TÀI LIỆU LUYỆN THI VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN

Câu 5
  MBC
 do cùng chắn cung BC

a) Ta có BAC

  MIC
 do AB// MI
Và BAC
  MIC
 , nên bốn điểm I,C,M,B cùng nằm
Vậy BAC
Trên đường tròn đường kính OM
(vì 2 điểm B, C cùng nhìn OM dưới 1 góc vuông)

A
E

P

O
I
Q

b) Do ∆FBD∽∆FEC
nên FB. FC =FE. FD.
và ∆FBM ∽ ∆FIC
nên FB. FC =FI. FM.
So sánh ta có FI.FM =FD.FE
c) Ta có góc PTQ=90 0 do PQ là đường kính.
∆FIQ ∽∆FTM (có 2 góc đối đỉnh F bằng nhau và

B

F
T

FI
FT

)
FQ FM

C

D

M

(do FI.FM = FD.FE = FT.FQ)
  FTM
 mà FIQ
  OIM
  900 (I nhìn OM dưới góc 900)
Suy ra FIQ
  1800 .
Nên P, T, M thẳng hàng vì PTM
d) Gọi K là giao điểm của OM và BC OM là đường kính của đường tròn qua 5
điểm B,O,I, C và M.
OM > MI, OK < MF
Mà OK = OM – MK, FI = MI – MF
do đó OK > KI.
Mà KI ≥ h (chiều cao của ∆IBC vẽ qua I)
Nên h ≤ OK.
Ta có BC không đổi.
Vậy max S IBC =

BC
BC
h 
 OK . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi I  O .
2
2

Vậy diện tích tam giác ICB lớn nhất khi và chỉ khi AC là đường kính của đường
tròn (O;R).

Dànhchohọcsinhtrường

Trang 10


May 4,
2016

TÀI LIỆU LUYỆN THI VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT TP.HCM
Năm ho ̣c: 2012 – 2013
Thời gian làm bài: 120 phút
Bài 1: (2 điểm) Giải các phương trình và hệ phương trình sau:
a) 2x2 – x – 3 = 0
2x  3y  7
3x  2y  4

b) 

c) x4 + x2 – 12 = 0
d) x 2  2 2x  7  0
Bài 2: (1,5 điểm)
1
2

1
4

a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số y  x 2 và đường thẳng (D): y   x  2 trên cùng
một mặt phẳng tọa độ.
b) Tìm tọa độ các giao điểm của (P) và (D) ở câu trên bằng phép tính.
Bài 3: (1,5 điểm) Thu gọn các biểu thức sau :
a) A 

1
2 x
1
với x > 0 và x  1.


x  x x 1 x  x



b) B  2  3





26  15 3  2  3



26  15 3

Bài 4: (1,5 điểm)
Cho phương trình x2 – 2mx + m – 2 = 0 (x là ẩn số)
a) Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
b) Gọi x 1 và x 2 là các nghiệm của phương trình . Tìm m để biểu thức
M

24
đạt giá trị nhỏ nhất.
x  x 22  6x1x 2
2
1

Bài 5: (3,5 điểm) Cho đường tròn (O) có tâm O và điểm M nằm ngoài đường tròn
(O). Đường thẳng MO cắt (O) tại E và F (ME < MF). Vẽ cát tuyến MAB và tiếp
tuyến MC của (O) (C là tiếp điểm, A nằm giữa M và B, A và C nằm khác phía đối
với đường thẳng MO).
a) Chứng minh MA.MB = ME.MF.
b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của C lên đường thẳng MO. Chứng minh
AHOB nội tiếp.
c) Trên nửa mặt phẳng bờ OM có chứa điểm A, vẽ nửa đường tròn đường kính
MF, nửa đường tròn này cắt tiếp tuyến tại E của (O) ở K. Gọi S là giao điểm
của hai đường thẳng CO và KF. Chứng minh rằng MS vuông góc với KC.

d) Gọi P và Q lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác EFS và ABS và
T là trung điểm của KS. Chứng minh ba điểm P, Q và T thẳng hàng.
HẾT
Dànhchohọcsinhtrường

Trang 11


May 4,
2016

TÀI LIỆU LUYỆN THI VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT TP.HCM
Năm ho ̣c: 2011 – 2012
Thời gian làm bài: 120 phút
Bài 1: (2 đ) Giải các phương trình và hệ phương trình sau :
a) 3x2 – 2x – 1 = 0
5 x  7 y  3
5 x  4 y  8

b) 

c) x4 + 5x2 – 36 =0
d) 3 x 2  3 x  3  3  0
Bài 2: (1,5 đ)
a)Vẽ đồ thị (P) : y =  x 2 và đường thẳng (D) : y = – 2x – 3 trên cùng một hệ trục
tọa độ.
b) Tìm tọa độ giao điểm câu trên bằng phép tính.
Bài 3: (1,5 đ) Thu gọn các biểu thức sau :

a) A =
b) B =

3 34
34

2 3 1
5 2 3

ĐS:  2

x x  2 x  28
x 4
x 8


với x ≥ 0, x ≠ 16.
x3 x 4
x 1 4  x

ĐS:

x 1

Bài 4: (1,5 đ) Cho phương trình x2 – 2mx – 4m – 5 = 0 (x là ẩn số).
a) Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có nghiệm với mọi m.
b) Gọi x 1, x2 là hai nghiệm của phương trình, tìm m để biểu thức
A = x12  x22  x1 x2 đạt giá trị nhỏ nhất.

ĐS: min = 6 khi m = 

3
2

Bài 5: (3,5 điểm) Cho đường tròn (O) đường kính BC. Lấy một điểm A trên đường
tròn sao cho AB > AC. Từ A vẽ AH vuông góc với BC tại H. Từ H vẽ HE và
HF lần lượt vuông góc với AB và AC.
a) Chứng minh AEHF là hình chữ nhật và OA vuông góc với EF.
b) Đường thẳng EF cắt (O) tại P và Q (E nằm giữa P và F) Chứng minh AP2 =
AE.AB và suy ra APH là tam giác cân.
c) Gọi D là giao điểm của PQ và BC. K là giao điểm của AD và đường tròn (O)
(K  A). Chứng minh AEFK là tứ giác nội tiếp.
d) Gọi I là giao điểm của KF và BC. Chứng minh IH2 = IC.ID.
HẾT
Dànhchohọcsinhtrường

Trang 12


May 4,
2016

TÀI LIỆU LUYỆN THI VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT TP.HCM
Năm ho ̣c: 2010 – 2011
Thời gian làm bài: 120 phút
Bài 1: (2 đ) Giải các phương trình và hệ phương trình sau :
a) 2x2 3x – 2 = 0
4 x  y  1

6 x  2 y  9

b) 

c) 4x4 – 13x2 + 3 =0
d) 2 x 2  2 2.x  1  0
Bài 2: (1,5 đ)
x2
1
a)Vẽ đồ thị (P): y   và đường thẳng (D): y  x  1 trên cùng một hệ trục tọa
2
2

độ.
b) Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (D) bằng phép tính.
Bài 3: (1,5 đ) Thu gọn các biểu thức sau :
a) A = 12  6 3  21  12 3
2


5 
3
b) B = 5  2  3  3  5 
  2 3  3 5 

2 
2


2

Bài 4: (1,5 đ) Cho phương trình x2 – (3m+1)x + 2m2 + m – 1 = 0 (x là ẩn số).
a) Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
b) Gọi x 1, x2 là hai nghiệm của phương trình. Tìm m để biểu thức A =
x12  x22  3x1 x2 đạt giá trị lớn nhất.
Bài 5: (3,5 điểm) Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R. Lấy M là điểm bất kì
trên đường tròn khác A và B. Các tiếp tuyến của (O) tại A và M cắt nhau tại E.
Vẽ MP vuông góc với AB (P thuộc AB), vẽ MQ vuông góc với AE (Q thuộc
AE).
a) Chứng minh AEMO là tứ giác nội tiếp và APMQ là hình chữ nhật .
b) Gọi I là trung điểm của PQ. Chứng minh I, O và E thẳng hàng.
c) Gọi K là giao điểm của EB và MP. Chứng minh hai tam giác EAO và MPB
đồng dạng. Suy ra K là trung điểm của MP.
d) Đặt AP = x. Tính MP theo R và x. Tìm vị trí của M trên (O) để hình chữ nhật
APMQ có diện tích lớn nhất.
HẾT
Dànhchohọcsinhtrường

Trang 13


TÀI LIỆU LUYỆN THI VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN

May 4,
2016

PHẦN II
CÁC DẠNG TOÁN ĐẠI SỐ
A. CĂN BẬC HAI LOẠI SỐ
Bài 1: Tính:

A = 2 3  75  2 12  147
B =

7 



C=

5  15
 14  6 5
3 1

40 13  4 10

15  12

D=

5 2





1
2 3

15  10 2  13  4 10  11  2 10

E =

2 3  2 2  9  4 2  12  8 2



F=



14  6



21  5





5  21





G = 3  2 2 17  12 2 . 3  2 2. 7  5 2

H= 1 

K=

L=



3
 2 2 3. 2 2 3
2

3 5 1

2 5 3

5 1
5 2

20  8 3  20  8 3
52 3  52 3

Dànhchohọcsinhtrường



4 3  4 3
4 3  4 3

Trang 14

TÀI LIỆU LUYỆN THI VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN

May 4,
2016

B. CĂN THỨC BẬC HAI
Bài 2: Rút gọn:
A =
B =

x y  2y
xy

x 


x y



2

 4 xy

x y

x x 1 x x 1

x x
x x





2

x 1  4 x

x x 1
x 1
x  x 1
2
2
x  x
x  x
D =
–
(với x  0)
x  x 1 x  x 1
 2 a
a  2  a a  a  a 1
E = 

.
a
 a  2 a 1 a 1 

C =



(với a > 0, a  1)

x  2 2 x  4  x  2 2 x  4 (với 2  x  4)


G =  4 x  8x  : x  1  2
(với x > 0, x ≠ 1)
x
2 x 4x x2 x

F =

H = 7 x  1  6 x  1  1  55 x

(với x  0, x ≠ 49)

x 7
x 1 x  6 x  7
2
2


K =  x  x  x  8 x  :  1  1  (với x > 0 và x  1)
x2 x  
x
 x x
L = x x  7x  13  x  5  x  4 (với x  0 và x  4)
x  3 x  10 2  x

x 5

C. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT CÓ HAI ẨN SỐ
Bài 3:
6 x  5 y  21
1. 
 4 x  3 y  5
3x  2 y  2  0
2. 
2 x  y  1  0

Dànhchohọcsinhtrường

2 x  3 y  6
3x  4 y  8

3. 

6x  5y  0
4x  3y  38

4. 

Trang 15


May 4,
2016

TÀI LIỆU LUYỆN THI VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN

D. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI CÓ MỘT ẨN SỐ
Bài 4:
1. 3x 2 – 7x = 6
6. x(3x – 4) – 4 = 0
2
2. 3x 2 – 2 3 x – 3 = 0
7. x  2 5 x  4  0
3. 3x 2 – 2 3 x – 3 = 0
4. x 2  2  3 x  2 3  0



5. x 2 







52 x2 5 0

8. x2 – (1+ 2 )x + 2 = 0
9. x2 – (1+ 2 )x + 2 = 0
10. 4x2 – 2( 3 – 1) x – 3 = 0

E. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG PHƯƠNG
Bài 5:
1. 8x 4 – 2x2 = 0

4. x 4 – 25x 2 + 144 = 0
2. x4 – 8x2 – 9 = 0
3. x 4 – 10x 2 + 25 = 0
F. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CĂN THỨC

A B;

2

5.  x 2  x    x 2  x   2=0
6. x6 – 7x3 – 8 = 0

A B ; A  B; A B

1.

x  2  2x  5

5.

x 1  1  x

2.
3.

2 x 2  12  x 2  4 x  5

6.
7.

x3  x 3

x2 3

x2  6 x  9  x2  2x  1

4. x  2  x
8. 4 x 2  4 x  1  2 x  3
G. VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI
1) Vẽ đường thẳng (D) dạng y = ax + b:
Bài 6: Vẽ các đồ thị sau đây:
1. y = x

3.

2. y = 2x – 2

4.

1
y   x3
2
1
y 4 x
2

2) Vẽ Parabol (P) dạng y = ax2.
Hãy vẽ các Parabol dưới đây trên cùng mặt phẳng tọa độ có đồ thị dường thẳng
tương ứng ở bài 6 (1-1; 2-2,3-3 và 4-4)

Dànhchohọcsinhtrường

Trang 16


TÀI LIỆU LUYỆN THI VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN

May 4,
2016

Bài 7:
1
4

3. y = x2

1. y   x2
1
2

4. y = 2x2

2. y  x 2

Cách lập bảng giá trị bằng máy tính Casio hoặc Vinacal 570ES
Vào MODE chọn 7(TABLE) xuất hiện f(x) = ? (nhập hàm số, f(x)= nghĩa là y =
 . Máy hỏi Start? (ta nhập giá trị nhỏ nhất của x)  Máy hỏi End? (ta nhập
giá trị lớn nhất)  Máy hỏi Step? (ta nhập khoảng cách giữa hai giá trị liên tiếp)
 Máy xuất hiện bảng TABLE.
Ví dụ

x
0
2
4
4
2
1
y   x2
4
1
4

Vào MODE chọn 7(TABLE) xuất hiện f(x) = ? (nhập  x 2 ) . Máy hỏi Start?
nhập – 4 Máy hỏi End? nhập 4 Máy hỏi Step?nhập 2
TABLE.
3) Tìm tọa độ giao điểm của (P) và D) bằng phép tính.

Máy xuất hiện bảng

Phương pháp: Giải phương trình hoành độ giao điểm tìm x. Sau đó tìm y.
Bài 8: Vẽ (P) và (D) sau đây và tìm tọa độ giao điểm của chúng bằng phép tính:
1
2

1. (P): y   x 2 và (D): y = x.
1
4
3. (P): y   x 2 và (D): y = 2x – 3

2. (P): y  x 2 và (D): y = 2x – 4

1
2

4. (P): y   x 2 và (D): y = x – 4
5. (P) : y = 

x2
và (D) : y = x – 3
4

6. (P) : y =  x2 và (D) : y = x – 2

Bài 9: Cho (P): y = x2 và đường thẳng (D): y = mx + m – 3.
a) Tìm m để (D) và (P) chỉ có một điểm chung.
b) Tìm m để (D) và (P) có hai điểm chung.

Dànhchohọcsinhtrường

Trang 17


TÀI LIỆU LUYỆN THI VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN

May 4,
2016

4) Viết phương trình đường thẳng (D) cho trước hai điều kiện.
Bài 10: Viết phương trình đường thẳng (d):
1. Có dạng y = ax + b qua hai điểm A(1; 3) và B(2; 4).

2. Có dạng y = ax + b qua điểm A(1; 2) và cắt trục hoành tại điểm B có
hoành độ bằng 2.
3. Song song với đường thẳng (d’): y = 3x + 2 và đi qua điểm C(3; 2).
4. Cắt (P): y  2 x 2 tại hai điểm A và B có xA = 1 và xB = 2.
1
2

5. Song song với (d’): y = 2x + 3 và cắt (P): y  x 2 tại điểm M có xM =2.
1
4

6. Song song với đường thẳng (d’): y = 2x  5 và tiếp xúc với (P): y   x 2 .
1
2

7. Có dạng y = mx + k biết (d) tiếp xúc với (P): y   x 2 tại điểm A có xA = 2.
H. HỆ THỨC VI-ÉT (có chứa tham số):
Phải rèn các kĩ năng sau đây:
a) Chứng tỏ phương trình bậc hai có nghiệm với mọi giá trị của tham số.
b) Tìm điều kiện của tham số để phương trình bậc hai:
i) có nghiệm.
ii) có 2 nghiệm phân biệt.
iii) có nghiệm kép.
c) Định giá trị của tham số để phương trình bậc hai đã cho thỏa điều kiện
cho trước về nghiệm.
i) Điều kiện có tính đối xứng (vai trò x1, x2 như nhau).
Cách cơ bản nhất là chuyển điều kiện về dạng tính theo S, P để tìm giá trị của
tham số.
Có hai hướng :
Xuất phát từ điều kiện mà biến đổi.

Thay x1, x2 vào phương trình đã cho rồi tìm cách biến đổi về S, P.
Ngoài ra tùy theo điều kiện cho trước (chẳng hạn biểu thức điều kiện có bậc
hai theo x1, x2ta có thể biến đổi để hạ bậc (xem phân tích đề thi TP HCM
2015-2016).
ii) Điều kiện không có tính đối xứng (vai trò x1, x2 khác nhau).
Cách 1: chuyển điều kiện về dạng tính một nghiệm từ điều kiện, sau đó tính
nghiệm kia theo S (hoặc theo P). Thay x1, x 2 vào hệ thức P ( hoặc S) để tìm giá
trị của tham số.
Cách 2: Dùng phương pháp thế
Cách 3: Biến đổi điều kiện để thay biểu thức bậc hai qua bậc nhất để rút gọn.
Dànhchohọcsinhtrường

Trang 18


TÀI LIỆU LUYỆN THI VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN

May 4,
2016

d) Dấu nghiệm số của phương trình bậc hai.
- Hai nghiệm trái dấu  a và c trái dấu.
- Hai nghiệm cùng dương  ∆≥ 0, P >0 và S > 0.
- Hai nghiệm cùng âm  ∆≥ 0, P > 0 và S < 0.
e) Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức về nghiệm của phương trình
bậc hai.
- GTNN: Thường đưa về dạng cơ bản A = M2 + k ≥ k ( hằng số).
Amin = k khi M = 0.
- GTLN: Thường đưa về dạng cơ bản B = M2 + n ≤ n (hằng số).
Bmax = n khi M = 0.

Bất đẳng thức sau đây rất thông dụng
2

2

a b 

a  b
2

2

 2ab với mọi a,b.

X 2  A 2  X  A hay X   A
X 2  A 2  X  A hay X   A
CÁC VÍ DỤ:
Ví dụ 1: Cho phương trình x2 – 2mx + 4 = 0 (m là tham số) (1).
a) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm.
b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa
2
2
 x1  1   x 2  1  2
m  2
 m  2

HD: a)  '  m 2  4  0  m2  4  

b) Điều kiện có tính đối xứng nên chuyển qua S, P.
2

2

 x1  1   x2  1  2  x12  x22  2  x1  x2   2  2
 x12  x 22  2  x1  x 2   0  S2  2P  2S  0  4m2  4m  8  0  m 2  m  2  0
m1 = 1(loại) ; m2 = 2 (nhận)
Ví dụ 2: Cho phương trình x2 6x + m = 0 (1).
a) Với giá trị nào của m thì phương trình có 2 nghiệm trái dấu.
b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn điều kiện x1 x2 = 4.
a) Phương trình có 2 nghiệm trái dấu P < 0  m < 0.
b) Cách 1:
∆’ = 9 – m ≥ 0  m ≤ 9 ; S = 6 ; P = m
x 1 x 2 = 4
 x1  x 2  6

 x1  x2  4

Ta có : 

 x1  5
Thay vào P ta có x1 x2  m  m  5

 x2  1

Dànhchohọcsinhtrường

Trang 19


TÀI LIỆU LUYỆN THI VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN

May 4,
2016

Ví dụ 3: Cho phương trình x2 – (m + 2)x + m – m2 = 0 (1)
a) Chứng tỏ phương trình (1) luôn luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2.
b) Tìm m sao cho x12  x12  3 x1 x2  x1  4 .
HD:
a) Tính ∆. Chứng tỏ ∆ >0 bằng cách đưa biến vào trong bình phương cộng thêm
một số dương.
b) Điều kiện cho trước không có tính đối xứng nên ta tính x1 , x2 theo m.
Nghiên cứu hai cách giải sau đây:
- Tính x1 theo m rồi tính x2 bằng cách lấy tổng trừ x1. Thay x1, x2 vào P
để giải phương trình bậc hai ẩn số m. Tính được m.
- Tính x1 theo m rồi tính x2 bằng cách lấy tích chia cho x1. Thay x1, x2
vào S để giải phương trình bậc nhất ẩn số m. Tính được m. Sẽ mất
nghiệm nếu hiểu sai phương pháp!
S = m + 2; P = m – m 2
x12  x12  3 x1 x2  x1  4
S 2  P  x1  4

(m + 2)2 + m – m 2 + x1 = 4
x1 = 5m
Cách 1:
Thay vào S ta tính được x2 = 6m + 2
Thay vào P ta có phương trình: 5m.(6m + 2) = m – m2
 29m2 +11m = 0  m(29m + 11) = 0
m=0;m= 

11

29

m  m 2 m 1
Cách 2:Thay vào P tính được x2 

với m ≠ 0(HS hay quên điều này)
5 m
5
m 1
Thay vào S ta có phương trình: 5m 
 m2
5
11
Ta có phương trình bậc nhất theo m. Tìm được m = 
29

Với m = 0 thì phương trình đã cho trở thành x 2 – 2x = 0  x = 0 ; x = 2 thỏa điều
kiện đã cho.
Vậy m = 0 hoặc m = 

11
29

Nhận xét: Nếu giỏi giải phương trình bậc hai ta chọn cách 1. Nếu không ta chọn
cách 2 và chú ý trường hợp x1 có thể bằng 0.
Dànhchohọcsinhtrường

Trang 20

TÀI LIỆU LUYỆN THI VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN

May 4,
2016

Bài 2: Cho phương trình x 2 – 5x + m = 0 (m là tham số) (1).
a) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm.
b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa x1  x 2  3
Bài 3: Cho phương trình x 2 – 2(m –3)x – 2(m – 1) = 0 (m là tham số).
a) Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi
m  R.
b) Gọi x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình. Hãy tìm các giá trị của m để:
1 1
  x1  x2
x1 x2

Bài 4: Cho phương trình x 2 (m – 2)x – 2m = 0 có m là tham số.
a) Chứng minh rằng phương trình trên luôn luôn có nghiệm với mọi m.
b) Tìm tổng và tích hai nghiệm theo m.
c) Gọi x1 , x2 là hai nghiệm phân biệt của phương trình đó. Tìm m thỏa
x12  x22  x1 x2  4 .
Bài 5: Cho phương trình ẩn x: x2 – mx – 1 + m = 0 (1).
a) Chứng tỏ phương trình (1) luôn luôn có nghiệm với mọi m.
b) Tìm các giá trị của m để (1) có hai nghiệm x 1, x2 thỏa mãn
x 1x 2.(x1x2 – 2) = 3( x1 + x2).
HD: b) có hai cách giải:
* Thay trực tiếp hai nghiệm vào điều kiện rồi giải phương trình ẩn số m.
* Tính S, P rồi thay vào điều kiện để giải phương trình ẩn số m.
Bài 6: Cho phương trình x 2 mx + m – 1 =0 (m là tham số) (1) .
a) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn luôn có nghiệm với mọi giá trị

của m.
b) Tính tổng và tích các nghiệm theo m.
c) Tìm m sao cho hai nghiệm phân biệt x1, x 2 thỏa x12 x2  x1 x22  2 .
Bài 7: Cho phương trình: x 2 2mx  6m = 0 (1). Tìm m để phương trình (1) có 1
nghiệm gấp 2 lần nghiệm kia.
HD: x1 = 2x2 hoặc x2 = 2x1 (x1  2x2 )(x2 2x 1) = 0.
Bài 8: Cho phương trình bậc hai x2 – 2(m – 1)x + m2 – 3m = 0 (1)(m là tham số)
a) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm.
b) Tìm m để phương trình có hiệu của hai nghiệm bằng 2.
Bài 9: Cho phương trình bậc hai x2 – 2(m – 1)x – 4m = 0 (1) (m là tham số)
a) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn luôn có nghiệm với mọi giá trị
của m.
b) Định m để (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa
x1  x13  12 x12  28 x1  12 x2   8  8  x2  x23  12 x22  28 x2  12 x1 
Dànhchohọcsinhtrường

Trang 21


TÀI LIỆU LUYỆN THI VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN

May 4,
2016

Bài 10: Cho phương trình x2 – 2x + m – 3 = 0, với m là tham số.
a) Giải phương trình khi m = 3.
b) Tìm giá trị của mđể phương trình trên có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa
điều kiện x12  2 x2  x1 x2  12 .
m2  3
Bài 11: Cho phương trình bậc hai 2x – 2x +

=0
2
2

(1) (m là tham số)

a) Tìm m để (1) có hai nghiệm x1, x 2.
b) Định m để (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa x12  x2  1  0
Bài 12: Cho phương trình bậc hai x2 – 2(m – 1)x + m2 – m = 0 (1) (m là tham số)
a) Tìm m để (1) có hai nghiệm x1, x 2.
b) Định m để (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa x12  2 x1  x2  m   2 x2  6  0
Bài 13: Tìm m đểphương trình bậc hai 2x2+(m – 1)x + m – 5 = 0 (1) (m là
tham số) có hai nghiệm x1, x2 phânbiệt thỏa x1> x2 và x12  9 x22  20 .
Bài 14: Cho phương trình x2 – 2(m – 1) x – 2m = 0 (1) (m là tham số)
a) Chứng minh rằng phương trình trên luôn luôn có hai nghiệm phân biệt
x 1, x2 với mọi m.
b) Tìm tất cả giá trị của m để sao cho x12  x1  x2  5  2 m .
d) Tìm giá trị nhỏ nhất; giá trị lớn nhất của một biểu thức.:
Bài 15: Cho phương trình bậc hai ẩn x: x2 – 2mx + 2m – 1 = 0 (tham số m).
a) Chứng tỏ phương trình có nghiệm với mọi m.
b) Tính nghiệm kép của phương trình và giá trị của m tương ứng.
c) Tìm m để A = x12 + x22 – 3x1x2 đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 16: Cho phương trình : x2 + (m –2) x – 8 = 0 (m là tham số).
a) Chứng tỏ phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
b) Gọi x1 , x 2 là hai nghiệm của phương trình.
Tìm giá trị của m để  x12  1 x22  1 có giá trị lớn nhất.
Bài 17: Cho phương trình x2 (2m – 3)x + m2 – 2m + 2 = 0 (1).
a) Tìm điều kiện của m để phương trình (1) có nghiệm.
b) Tìm m sao cho hai nghiệm x1, x2 thỏa x12  x22 nhỏ nhất.
Bài 18: Cho phương trình x2 (2m – 1)x + m2 = 0 (1).

a) Tìm điều kiện của m để phương trình (1) có nghiệm.
b) Tìm m sao cho hai nghiệm x1, x2 thỏa A = x12  x22 nhỏ nhất.
Bài 19: * Cho phương trình bậc hai ẩn x, tham số m: x2 – 2 mx – m2 + m = 0 (1).
a) Tìm điều kiện của m để (1) có hai nghiệm x1, x2.
b) Tìm m để (1) có hai nghiệm x1, x2 sao cho x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất.

Dànhchohọcsinhtrường

Trang 22


TÀI LIỆU LUYỆN THI VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN

May 4,
2016

Bài 20: Cho phương trình bậc hai x2 + 2mx + 1 = 0 (1) (m là tham số)
a) Tìm m để (1) có hai nghiệm x1, x 2.
2
b) Tìm m để (1) để A =  x12  3 x22   3 x22  9 x2 đạt GTNN.
Bài 21: Cho phương trình bậc hai x2 – 3mx – m = 0 (1) (m là tham số)
a) Tìm m để (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2.
b) Tìm m để (1) có hai nghiệm x1, x2 để A =

x12  3mx2  3m
m2

x22  3mx1  3m
m2

đạt GTNN.
c) Tìm một hệ thức giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số.
Bài 22: Cho phương trình bậc hai: x2 2(m + 1) x + m  4 = 0 (1)
a) Chứng minh rằng pt (1 ) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m?
b) Gọi x1, x 2 là hai nghiệm của pt (1) đã cho. Chứng tỏ rằng biểu thức:
K = x1(1 x2 )+ x2(1x1) không phụ thuộc vào giá trị của m.
Bài 23: Cho phương trình mx2 –2(m – 1)x + m – 2 = 0 (1)
a) Chứng tỏ rằng phương trình (1) luôn luôn có hai nghiệm phân biệt x 1, x2
với mọi m.
b) Tìm một hệ thức giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m.
Bài 24: Cho phương trình bậc hai: (m  1)x 2 2mx + m + 1 = 0 với m ≠ 1.
a) Xác định giá trị của m để phương trình có tích hai nghiệm bằng 5. Từ đó
tính tổng hai nghiệm của phương trình.
b) Trong trường hợp phương trình bậc hai trên có nghiệm, hãy tìm một hệ
thức giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số m.
HD:
a) Đề bài đã cho phương trình bậc hai nên m  1.
Vẫn phải tìm điều kiện có nghiệm dù câu hỏi đã cho phương trình có 2 nghiệm.
Từ điều kiện x 1x 2 = 5 ta có

m 1
 5 . Từ đó tìm m, so điều kiện. Từ đó tính đươc
m 1

tổng hai nghiệm.
b) S 

2m
m 1
; P

.
m 1
m 1

Cách tìm hệ thức độc lập với tham số là ta tìm cách tách phần nguyên rồi tìm cách
khử đi phần giống nhau.
S

2  m  1  2
2
 m  1  2  1  2
 2
; P
m 1
m 1
m 1
m 1

Dễ thấy S – P = 1 không phụ thuộc tham số.
b) Tìm hiểu về dấu hai nghiệm của phương trình bậc hai.

Dànhchohọcsinhtrường

Trang 23