DABTTL cac van de ve khoang cach phan 01 02 03

Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph

CÁC V N

ng)

Hình h c không gian

V KHO NG CÁCH (PH N 03)

ÁP ÁN BÀI T P T LUY N
Giáo viên: LÊ BÁ TR N PH
NG
Các bài t p trong tài li u này đ c biên so n kèm theo bài gi ng Các v n đ v kho ng cách (Ph n 03) thu c khóa
h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph ng) t i website Hocmai.vn.
s d ng hi u qu ,
B n c n h c tr

c Bài gi ng sau đó làm đ y đ các bài t p trong tài li u này.

(Tài li u dùng chung bài 07+ 08+ 09)

Các bài đ

c tô màu đ là các bài t p m c đ nâng cao

Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông c nh a, (SAB)  ( ABCD) , SA = SB, góc gi a
SC và (ABCD) b ng 450. Tính kho ng cách t B đ n m t ph ng (SCD).
Gi i:
G i I là trung đi m c a AB, vì tam giác SAB cân t i S  SI  AB
S

( SAB)  ( ABCD) 
  SI  ( ABCD)
SI  (SAB), SI  AB
 SCI  450
Vì BA/ /(SCD)  d ( B,(SCD))  d ( I ,(SCD))

H

G i J là trung đi m c a CD, ta có:
CD  IE 
  CD  (SIE )
CD  SI 
mà CD  (SCD)  (SIE )  ( SCD) theo giao tuy n SE.
Do đó trong m t ph ng (SIE)
k IH  SE ( H  SE )  IH  (SCD)

A

D

I
E
45

B

C

 IH  d ( I ,(SCD))

B

I

A

1
1
1
Ta có:
 2 2
2
IH
IS IE
2

a 5
a
Mà IE = a, SI  IC  BI  BC     a 2 
2
2
2

2

SCD

(  SIC vuông cân nên SI = IC)
1
1

1
4
1
9


 2  2 2  2
2
2
IH
a
5a
5a
a 5 a


 2 
5a 2
a 5
 IH 
 IH 
9
3
2

V y d ( B,( SCD )) 

a 5
.
3

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph

ng)

Hình h c không gian

Bài 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đ u c nh a, I là trung đi m c a BC, D là đi m đ i
a
x ng v i A qua I, SD  ( ABC ) , K là hình chi u vuông góc c a I trên SA, IK  . Tính kho ng cách t D
2
đ n m t ph ng (SBC).
Gi i:
(SAD)  (SBC ) theo giao tuy n SI, nên k DH  SI ( H  DI )  DH  (SBC )
 DH  d ( D,(SCB))

Ta có:

1
1
1


 2
2
2
DH
DS
DI
S

a 3
2
Ta có  vuông SDA đ ng d ng v i  vuông IKA
(góc A chung)

Mà DI  AI 

K
H

SD DA
SD
a 3
a 6



 SD 
a
IK KA
2

AI 2  IK 2
2
a
1
1
1
2


 2  DH 
Do đó:
2
2
2
DH
a
2
a 6 a 3

 

 2   2 


A
C

l
D

a
B
.
2
Bài 3. Cho chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông c nh a, tam giác SAB đ u, tam giác SCD vuông cân
t i S. H là hình chi u vuông góc c a S lên m t ph ng (ABCD). Tính kho ng cách t H đ n m t ph ng
(SCD).
S
Gi i:
G i M, N l n l t là trung đi m c a AB, CD.
Khi đó (SMN )  ( ABCD) theo giao tuy n MN.

V y d ( D;( SBC )) 

Do đó, k SH  MN ( H  MN)  SH  ( ABCD)
(SHN)  (SCD) theo giao tuy n SN.
K

Do đó k HK  SN ( K  SN )

A

D

 HK  (SCD)  HK  d ( H ,( SCD))

Ta có:

1
1

1


2
2
HK
HS
HN 2

M
H

N

B

M t khác: MN  a , SM 



a 3
a
, SN   MN 2  SM 2  SN 2   SMN vuông t i S.
2
2

C

1
1

1
1
1
4
4
16
3a 2
2









SH
16
SH 2 SM 2 SN 2  a 3 2  a 2 3a 2 a 2 3a 2




2
 2   

 SH 

a 3

4

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph

HN  SN 2  SH 2 

Do đó ta có:

a
4

ng)

Hình h c không gian

1


 SN  CD 
2




a 3
1
1
1
16 16 64
 2  2  2  2  2  HK 
2
a
3a
HK
a
3a
3a
8
16 16

a 3
.
8
Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thang vuông t i A và D, SA  ( ABCD) ,

V y d ( H , SCD )) 

SA  a 2 , AB  2a ; AD  DC  a . G i M là trung đi m c a SD. Tính kho ng cách t M đ n m t ph ng

(SBC).
Gi i:
G i E là trung đi m AB, N là trung đi m SE, O là tâm hình vuông ADCE, I  SO  MN

Ta có: MN / / DE / / BC  MN / /( SBC )
S
 d (M ,(SBC ))  d (MN,( SBC ))  d ( I ,( SBC ))

Xét tam giác ACB có CE  a 

1
AB  BC  AC
2

BC  AC 
  BC  (SAC )
BC  SA 
mà BC  (SBC )  (SAC )  ( SBC) theo giao tuy n SC.
Do đó k IH  SC ( H  SC )  IH  (SBC )

N
I
H
M

E

A

B

 IH  d ( I ,(SBC ))

P

Tính IH: K OK  SC ( K  SC ), AP  SC ( P  SC )
1
1
Ta có: IH  OK  AP
2
4
1
1
1
1



Mà
2
2
2
AS
AP
AC
a 2



 IH 

O

K

D



1

 a 2 
2

2



1
 AP  a
a2

C

1
a
AP 
4
4

V y d (M ,( SBC )) 

a
.

4

Bài 5. Cho chóp đ u SABC, đáy ABC có c nh a, m t bên t o v i đáy 1 góc  (00    900 ) . Tính
kho ng cách t A đ n m t ph ng (SBC).
Gi i
G i O là tr ng tâm c a tam giác ABC.
Vì S.ABC là hình chóp đ u nên SO vuông góc v i (ABC).
G i M là trung đi m c a BC khi đó:

BC  AM
 BC  (ASM)

BC  SM
 cos ((SBC),(ABC))  SMA  
H AH vuông góc v i SM :  d(A,(SBC))  AH
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 3 -


Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph

 AH  a

ng)

Hình h c không gian

3
sin .
2

Bài 6. Cho hình vuông ABCD và tam giác đ u SAB c nh a trong hai m t ph ng vuông góc v i nhau.
G i I; J; K l n l t là trung đi m c a các c nh AB; CD; BC. Tìm kho ng cách t I đ n m t ph ng (SDK)
Gi i:

SI  AB

Ta có: 
 SI  ( ABCD)
(SAB)  ( ABCD)

S

K IO  DK ( O  DK )
T đó suy ra (SIO)  (SDK ) mà 2 m t ph ng này có giao tuy n là SO
a

K IH  SO  d I ,( SDK )  IH 

A

SI .IO
SI 2  IO 2

D

H

I
J

Trong tam giác đ u ABC có: SI 

a 3
2

O
B

K

C

Di n tích tam giác IDK là:
SIDK  SABCD  SAID  SBIK  SDKC  a 2 

 IO 

2SIDK

DK

a 2 a 2 a 2 3a 2
 


4 8
4
8

a 3 3a
3a 2
.
2SIDK
3a
3a 2
2 2 5
4


 d I ,( SDK )  IH 

8
KC 2  CD 2 a 5 2 5
3a 2 9a 2

2
4
20

Bài 7: Trong m t ph ng (P) cho đ

ng tròn tâm O, đ

ng kính AB=2R.Trên đ

v i m t ph ng (P) t i A l y đi m S và SA  R 3 . M là m t đi m trên đ

ng th ng d vuông góc

ng tròn tâm O sao cho góc gi a

SM và m t ph ng (P) b ng 60 . G i D, E l n l t là hình chi u vuông góc c a A trên SB; SM. Tìm
kho ng cách t A đ n m t ph ng (SBM) và t S đ n m t ph ng (ADE).
o

Gi i:

 BM  SA
+) Ta có: SA  (ABM) , 
 BM  (SAM )  ( SBM )  (SAM )
 BM  AM
Mà AE  SM nên : d A,( SBM )  AE 

SA. AM
SA2  AM 2

 60o
M t khác góc gi a SM v i (P) là SMA

Trong SAM có : AM  SA.cot60o  R  AE 
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

R 3.R

3R2  R2



R 3
2

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 4 -


Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph

V y d A,( SBM ) 

ng)

R 3
2

tính d S ,( ADE ) ta tính VS . AED r i áp d ng công th c: d S ,( ADE ) 

+)

Hình h c không gian

Ta có : MB  AB2  AM 2  R 3

3VS. ADE

SADE
S

Di n tích tam giác AMB là :
R2 3
1
1
SAMB  . AM .MB  R.R 3 
2
2
2

D
R 3

R2 3 R3
1
1
 VS. AMB  SAS

. SMB  .R 3.
3
3
2
2

A

E

R

B

O
4

Ta có t s :

VS. AED SE SD
SA

.

VS. AMB SM SB (SM .SB)2

600

M

SA
SM 
 2 R , SB  SA2  AB2  R 7
o
sin 60
 VS. AED 

9
9 R3 9 R3
VS. AMB  .


28
28 2
56

M t khác AE  (SBM) nên AE  DE nên ADE vuông t i E

SA. AB

AD 

SA2  AB2

 SADE



R 3.2 R
3R2  4 R2



27
2R 3
 ED  AD 2  AE 2  R
28
7

1
1 R 3

27 9 R2
.R
 AE.ED  .

2
2 2
28 8 7

 d S ,( ADE )

9 3
R
3VS. ADE 56


R 7
9 R2
SADE
8 7

Bài 8: Cho hình chóp SABC có SA=3a và SA vuông góc v i m t ph ng (ABC). Tam giác ABC có
ABC  120o . Tìm kho ng cách t A đ n m t ph ng (SBC).
AB=BC=2a; 
Gi i:
Ta có: SA  (ABC)
K AH  BC ( H  BC ) thì (SAH)  (SCH) do:

 SA  BC
 BC  (SAH )  (SCH )  (SAH )


 AH  BC
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 5 -


Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph

ng)

Hình h c không gian

K AK  SH thì AK  (SHC) do đó AK chính là kho ng cách t A t i (SHC) ( hay (SBC))

AK 

S

SA. AH
SA2  AH 2

Trong HAB vuông t i H:
3a

AH  AB sin 
ABH  2a .sin 60o  a 3

K
A

3a .a 3

3a
 AK 

2
2
2
9a  3a

C
1200

2a

B
H

M TS

BÀI T P T

Bài 9: d 

a 5
3

Bài 10: /s d 

GI I (CÓ ÁP S )

3a
13

G i M là trung đi m BC=> AM, SM đ u vuông góc v i BC
SMA  60 0
=> 

Có AM=SM => tam giác SAM là tam giác đ u
 SA  SM  AM 

a 3
2

G i N là trung đi m c a SA
khi đó CN và BN đ u vuông góc v i SA=> SA   SAC 
T B k BH vuông góc v i CN t i H. Nh v y BH  CN , BH  SA
=> BH là kho ng cách t B t i (SAC)
Ta tính BH d a vào tam giác BNC
2

2
a 3
a
 SA 
13

Có BN  CN  AB  NA  a     a 2  
 
4
 2 
 4 
2

2

Ta có : *NM  NB2  BM 2 

Hocmai.vn – Ngôi tr

2

13a 2 a 2 3a


16
4
4

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 6 -


Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph

ng)

Hình h c không gian

1
1
BH .CN  NM .BC
2
2
3a
.a
3a
NM .BC
 BH 
 4

CN
13
a 13
4
SACN 

Bài 11: d 

a 6
6

Bài 12: d 

a 5
3

Giáo viên: Lê Bá Tr n Ph
Ngu n

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

:

ng

Hocmai.vn

- Trang | 7 -