Bai 1 DABTTL ly thuyet chung

Khóa h c Luy n thi KIT-1: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph

ng)

Chuyên đ . Tích phân

LÝ THUY T CHUNG TÍNH TÍCH PHÂN
ÁP ÁN BÀI T P T LUY N
Giáo viên: LÊ BÁ TR N PH
Các bài t p trong tài li u này đ

NG

c biên so n kèm theo bài gi ng Lý thuy t chung tính tích phân thu c khóa h c Luy n

thi KIT-1: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph ng) t i website Hocmai.vn giúp các B n ki m tra, c ng c l i các ki n th c
đ c giáo viên truy n đ t trong bài gi ng Lý thuy t chung tính tích phân.
s d ng hi u qu , B n c n h c tr c Bài
gi ng sau đó làm đ y đ các bài t p trong tài li u này.

Tính các tích phân sau

x4  10 x3  35 x2  50 x  24
( x  1)( x  2)( x  3)( x  4)
I1  
dx  
dx
3
x x
2
x

5
3
1
1
3
7
5
1
1

 


2
70 3
   x 2  10 x 2  35 x 2  50 x 2  24 x 2  dx  x 2  4 x 2  x 2  100 x 2  48 x 2  C
7
3



I2  

7
7x  3
41 
7
41
dx    
 dx  x  ln 2 x  5  C

2x  5
2
4
 2 2(2 x  5) 

I3  

3x2  7 x  5
3 
3 2

dx    3x  1 
 dx  x  x  3ln x  2  C
2
x 2
x 2 


I4  

2 x3  5 x2  7 x  10
6 
2 3 3 2

dx    2 x2  3x  4 
 dx  x  x  4 x  6ln x  1  C
3
2
x 1
x 1 



I5  


7
13 
7
13
4 x2  9 x  10
2
dx    2 x  
 dx  x  x  ln 2 x  1  C
2 2(2 x  1) 
2
4
2x 1


x

I6  

x  x 1
2





dx   x x  x2  1 dx   x2 dx   x x2  1 dx

3
1
1
  x2 dx   ( x2  1)d x2  1  x 3   x2  1 2  C
3
3
dx
1  1
1 
1 x 2
 

C
I7  
 dx  ln
( x  2)( x  5) 7  x  2 x  5 
7 x5

ln 2

I8 


0

1

I9  

1  e 

0

e

I10  
1

1  ex
dx 
1  ex
x 2

dx

1  e2 x

ln 2


0

ln 2
d 1  e

2e x 



dx
1

x 

1  ex
 1 e 
0

x

  ln 2  2ln 1  e ln 2  ln 8
 0
9
x

1
1
1


2e x 
de x
  1 
dx

dx

2
 1  2acr tan e x  1  2acr tan e 

2x 
2x


0
1 e 
1 e
2
0
0
0
1

e
1
3
e 2
1  ln x
2
dx   (1  ln x) 2 d (1  ln x)  (1  ln x) 2  2 2  1
1 3
x
3
1

Hocmai.vn – Ngôi tr



ng chung c a h c trò Vi t



T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Khóa h c Luy n thi KIT-1: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph

ng)

Chuyên đ . Tích phân

HDG bài t p tham kh o khoá KIT-1 th y Nguy n Cam
Bài 1: Tính:
a.

3 2
 x x  1dx

b)

ln 2 x
 x dx

c) 

2x  3

 x  1

10

dx

d)  ( x2  3)15 xdx.

Gi i
a)

x

3

x2  1dx

t t  x2  1  dt  2 xdx .

Ta có: I   3 t .

4
3
dt 1 t 4/3 3 4/3
 .
 t  C  3  x2  1  C
2 2 4/3 8
8

2

ln 2 x
ln 3 x
ln
.
ln
dx

x
d
x

 x
     3 C
1
1
dy
c)
t
 y  x  1   dx  2 .V y:
x 1
y
y

b)

2x  3

  x  1

10

 
1 
dy
dx    2  1    3 y10 . 2
y 
y
 


2
5 9 1 8
y  y C
    5   y8dy    5 y8dy   2 y7dy 
9
4
y

5
1


C
9
8
9  x  1 4  x  1
d)

t t  x2  1  dt  2 xdx  xdx 

dt
2

 x2  3  C
dt t16
C 
Khi đó ta có:  ( x  3) xdx   t . 
2 32
32
1
1
Bài 2: Tìm h nguyên hàm c a các hàm s y 
;y
sin x
cos x
Gi i
16

2

15

15

x

x
d  tan 
dx
x

1
2

2 
Ta có: 

 ln tan  C
dx  

x
x
x
x
sin x
2
2sin cos
2 tan
tan
2
2
2
2
1
cos x
d(sin x)
d(sin x)
1 1  sin x

 ln
C

dx 
dx 
Ta l i có: 
2
2
cos x
cos x
1  sin x 1  sin x1  sin x 2 1  sin x
dx / cos2

Bài 3*: Tìm h nguyên hàm c a hàm s





f  x  tan  x   .cot  x  
6
3


Gi i

  




sin  x   cos  x   sin  2 x    sin
  

6
3
6
6





Ta có : tan  x   cot  x   
  


6 
3



cos  x   sin  x   sin  2 x    sin
6 
3
2
2


Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Khóa h c Luy n thi KIT-1: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph

ng)

Chuyên đ . Tích phân

1
1
1 / cos2 x
1 / cos2 x
1 / cos2 x
2  1

 1
 1

1
1
1
1
3 1
cos 2 x 
2 cos2 x 
2
2  1  tan 2 x
 tan 2 x

2
2
2
2 cos x
2
2 2
Do đó
cos 2 x 

1 / cos2 x




tan
.cot
1
x
x
dx




  6   3   3 1 2 dx x  2
 tan x
2 2
1
1
1



ln
 x 

 dx  x 
3  tan x 
3
 3  tan x



d  tan x 

3  tan x



3  tan x



3  tan x
C
3  tan x

Bài 4: Ch ng minh r ng F(x) là m t nguyên hàm c a f(x) v i:
1
.
F ( x)  ln x  4  x2 và f ( x) 

2
x 4
Gi i
Ta có: F '  x 

x  4  x2

x

1

1
4  x2 
4  x2 
4  x2
x  4  x2
x  4  x2

V y F ( x)  ln x  4  x 2 là m t nguyên hàm c a hàm f ( x) 

1
x2  4

.

Bài 5: Cho f ( x)   xe x . Tìm a và b đ F ( x)  (ax  b)e x là m t nguyên hàm c a f(x).
Gi i
F ( x)  (ax  b)e là m t nguyên hàm c a f ( x)   xe x thì F '( x)  f  x .
x

Ta có:

F '( x)  (ax  b)e x  a .e x   ax  a  b  e x   x.e x
 a  1; b  1
áp s bài t p tham kh o khoá KIT-1 th y Phan Huy Kh i
1

Bài 1. Tính tích phân: I =

4sin 3 xdx
0 1  cos x
1

Bài 2. Tính tích phân: I =

xdx

áp s : 2

3

áp s :

1
8

x2  1 dx

áp s :

2 2 1
3

s inx  cos x
dx
1  sin 2 x

áp s :

1
ln 2
2

áp s :

1
ln 4
3

 ( x  1)
0

1

Bài 3. Tính tích phân: I =

x
0



2

Bài 4. Tính tích phân: I =



4


2

Bài 5. Tính tích phân: I =

s inxdx

 1  3cos x
0

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 3 -


Khóa h c Luy n thi KIT-1: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph

ng)

Chuyên đ . Tích phân


2

Bài 6. Tính tích phân: I =

 (e

sinx

áp s : e  1 

 cos x) cos xdx

0

b

Bài 7*. Tính tích phân: I =  ln  x  a 


x a

 x  b

a

x b

dx

 ( x  a )( x  b)


4

b
áp s : ln .ln(b  a )
a

Giáo viên : Lê Bá Tr n Ph
Ngu n

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

:

ng

Hocmai.vn

- Trang | 4 -