Bai 3 HDGBTTL cac kien thuc co ban ve duong thang phan 1 hocmai vn

Khóa học LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương

Hình học giải tích phẳng

KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ ðƯỜNG THẲNG (Phần 1)
HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG

Bài 1: Cho ∆ ABC có ñỉnh A(1;2), ñường trung tuyến BM: 2 x + y + 1 = 0 và phân giác trong CD:
x + y − 1 = 0 . Viết phương trình ñường thẳng BC.

Giải:
ðiểm C ∈ CD : x + y − 1 = 0 ⇒ C ( t ;1 − t ) .

 t +1 3 − t 
Suy ra trung ñiểm M của AC là M 
;
.
2 
 2
 t +1 3 − t
M ∈ BM : 2 x + y + 1 = 0 ⇒ 2 
+ 1 = 0 ⇔ t = −7 ⇒ C ( −7;8 )
+
2
 2 
Từ A(1;2), kẻ AK ⊥ CD : x + y − 1 = 0 tại I (ñiểm K ∈ BC ).
Suy ra AK : ( x − 1) − ( y − 2 ) = 0 ⇔ x − y + 1 = 0 .

x + y −1 = 0
Tọa ñộ ñiểm I thỏa hệ: 

⇒ I ( 0;1) .
x − y +1 = 0
Tam giác ACK cân tại C nên I là trung ñiểm của AK ⇒ tọa ñộ của K ( −1;0 )

ðường thẳng BC ñi qua C, K nên có phương trình:

x +1 y
= ⇔ 4x + 3y + 4 = 0
−7 + 1 8

Bài 2:
Trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 12, tâm I thuộc ñường thẳng

(d ) : x − y − 3 = 0

và có hoành ñộ xI =

9
, trung ñiểm của một cạnh là giao ñiểm của (d) và trục Ox. Tìm
2

tọa ñộ các ñỉnh của hình chữ nhật.

Giải:
I có hoành ñộ xI =

9
9 3
và I ∈ ( d ) : x − y − 3 = 0 ⇒ I  ; 
2

2 2

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Khóa học LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương

Hình học giải tích phẳng

Vai trò A, B, C, D là như nhau nên trung ñiểm M của cạnh AD là giao ñiểm của (d) và Ox, suy ra M(3;0)

AB = 2 IM = 2

( xI − xM ) + ( y I − y M )
2

S ABCD = AB. AD = 12 ⇔ AD =

2

=2

9 9
+ =3 2
4 4

S ABCD
12
=
= 2 2.
AB
3 2

 AD ⊥ ( d )
, suy ra phương trình AD: 1. ( x − 3) + 1. ( y − 0 ) = 0 ⇔ x + y − 3 = 0 .

 M ∈ AD

Lại có MA = MD =

2.

Vậy tọa ñộ A, D là nghiệm của hệ phương trình:

 x + y − 3 = 0
 y = − x + 3
 y = − x + 3
⇔
⇔



2
2
2
2

2
2
( x − 3) + y = 2
( x − 3) + ( 3 − x ) = 2
 ( x − 3) + y = 2
y = 3− x
x = 2
x = 4
hoặc 
.Vậy A(2;1), D(4;-1)
⇔
⇔
 x − 3 = ±1  y = 1
 y = −1
x A + xC

 xI = 2
 xC = 2 xI − x A = 9 − 2 = 7
9 3
⇔
I  ;  là trung ñiểm của AC, suy ra: 
2 2
 yC = 2 yI − y A = 3 − 1 = 2
 y = y A + yC
I

2

Tương tự I cũng là trung ñiểm BD nên ta có: B(5;4).
Vậy tọa ñộ các ñỉnh của hình chữ nhật là (2;1), (5;4), (7;2), (4;-1)

Bài 3:
Trong mặt phẳng với hệ tọa ñộ Oxy, cho tam giác ABC biết phương trình các ñường thẳng chứa các cạnh
AB, BC lần lượt là 4x + 3y – 4 = 0; x – y – 1 = 0. Phân giác trong của góc A nằm trên ñường thẳng
x + 2y – 6 = 0. Tìm tọa ñộ các ñỉnh của tam giác ABC.

Giải:
4 x + 3 y − 4 = 0
 x = −2
Tọa ñộ của A nghiệm ñúng hệ phương trình: 
⇔
⇒ A ( −2; 4 )
x + 2 y − 6 = 0
y = 4
4 x + 3 y − 4 = 0
x = 1
⇔
⇒ B (1;0 )
Tọa ñộ của B nghiệm ñúng hệ phương trình 
 x − y −1 = 0
y = 0

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Khóa học LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương

Hình học giải tích phẳng

ðường thẳng AC ñi qua ñiểm A(-2;4) nên phương trình có dạng:

a ( x + 2 ) + b ( y − 4 ) = 0 ⇔ ax + by + 2a − 4b = 0
Gọi ∆1 : 4 x + 3 y − 4 = 0; ∆ 2 : x + 2 y − 6 = 0; ∆ 3 : ax + by + 2a − 4b = 0
Từ giả thiết suy ra ( ∆ 2 ; ∆ 3 ) = ( ∆1 ; ∆ 2 ) . Do ñó :
cos ( ∆ 2 ; ∆3 ) = cos ( ∆1 ; ∆ 2 ) ⇔

|1.a + 2.b |
5. a + b
2

2

=

| 4.1 + 2.3 |
25. 5

a = 0
⇔| a + 2b |= 2 a 2 + b 2 ⇔ a ( 3a − 4b ) = 0 ⇔ 
3a − 4b = 0
+ a = 0 ⇒ b ≠ 0 . Do ñó ∆ 3 : y − 4 = 0
+ 3a – 4b = 0: Có thể cho a = 4 thì b = 3. Suy ra ∆ 3 : 4 x + 3 y − 4 = 0 (trùng với ∆1 ).
Do vậy, phương trình của ñường thẳng AC là y - 4 = 0.

y − 4 = 0
x = 5

Tọa ñộ của C nghiệm ñúng hệ phương trình: 
⇔
⇒ C ( 5; 4 )
 x − y −1 = 0
y = 4

Bài 4:
Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có trọng tâm G(−2, 0) biết phương trình các cạnh AB, AC theo
thứ tự là 4x + y + 14 = 0; 2 x + 5 y − 2 = 0 . Tìm tọa ñộ các ñỉnh A, B, C.

Giải:
4 x + y + 14 = 0
 x = −4
⇒ A(–4, 2)
Tọa ñộ A là nghiệm của hệ 
⇔
2 x + 5 y − 2 = 0
y = 2
Vì G(–2, 0) là trọng tâm của ∆ABC nên

3 xG = x A + xB + xC
 xB + xC = −2
(1)
⇔

3 yG = y A + yB + yC
 yB + yC = −2

Vì B(xB, yB) ∈ AB ⇔ yB = –4xB – 14
C(xC, yC) ∈ AC ⇔ yC = −

(2)

2 xC 2
+ ( 3)
5
5

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 3 -


Khóa học LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương

Hình học giải tích phẳng

Thế (2) và (3) vào (1) ta có

 xB + xC = −2
 xB = −3 ⇒ yB = −2

⇒

2 xC 2
−4 xB − 14 − 5 + 5 = −2  xC = 1 ⇒ yC = 0
Vậy A(–4, 2),

B(–3, –2),

C(1, 0)

Giáo viên: Lê Bá Trần Phương
Nguồn:

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12

Hocmai.vn

- Trang | 4 -