Bai 13 HDGBTTL cac van de ve khoang cach phan 1 hocmai vn unlocked 1

Khóa học Luyện thi PEN-C: Môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương

Hình học giải tích trong không gian

CÁC VẤN ĐỀ VỀ KHOẢNG CÁCH (Phần 1)
HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG

Bài 1.
Cho A( 1;1;0), B(0;0; 2), C (1;1;1). Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và B, đồng thời khoảng cách
từ C tới mặt phẳng (P) bằng

3.

Hướng dẫn giải:
Giả sử mặt phẳng (P) có dạng:

Ax By Cz D
A ( P)
( P)

0 ( A2

B2 C 2

C

d ( I .( P ))

TH1:

A
B

TH2:

A
B

( A; B; C ).

A B D 0 (1)
2C D 0 (2)

1
( A B), D A B
2
1
( P) : Ax By
( A B) z A B
2

(1), (2)


nP

0)

3

2

0

A
B
A
B

7
5

C 1, D

2

( P) : x y z 2 0

2 AB 7 B

1 , chọn A 1, B
7
5

0

1

2

1

( P) : 7 x 5 y z 2 0 .

Bài 2.
Cho A(1;2;1), B( 2;1;3), C92; 1;1), D(0;3;1). Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, B sao cho khoảng
cách từ C đến (P) bằng khoảng cách từ D đến (P).
Hướng dẫn giải:
Giả sử mặt phẳng (P) có dạng:

Ax By Cz D
A ( P)
( P)

0 ( A2

B2 C 2

0)


nP

( A; B; C ).

2 B C D 0 (1)
2C B 3C D 0 (2)

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Khóa học Luyện thi PEN-C: Môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương

3
1
A
B, D
2
2
3
1
( P ) : Ax By
A
Bz
2
2

(1), (2)

C

d (C , ( P ))

5
( A B)
2

5
( A B) 0
2
A 2B
B 0

d ( D, ( P))

TH1: A 2B , chọn A 4, B
TH2: B

0, A 1

C

Hình học giải tích trong không gian

2

3
D
2

C

5
2

7, D

15

( P) : 4 x 2 y 7 z 15 0

( P) : 2 x 3 z 5 0 .

Bài 3.

x

2 t

x 2z
Cho 2 đường thẳng d : y 1 t ; d ' :
y 3
z 2t

2

. Viết phương trình mặt phẳng (P) song song và cách đều

2 đường thẳng trên.
Hướng dẫn giải:
Gọi I là trung điểm của MN, trong đó: M (2;1;0) d , N (0;3;1) d '


Ta có: ud

1
I (1; 2; ) .

2


( 2;0;1); ud ' ( 1; 5; 2) .

Mặt phẳng (P) thỏa mãn đề bài sẽ đi qua I và có véc tơ pháp tuyến là:
  
nP [ud , ud ' ] ( 1; 5; 2) ( P) : x 5 y 2z 12 0
Bài 4.
Viết phương trình mặt phẳng (P) cách đều 2 đường thẳng

x
d: y
z

2 t
2 t ;d ':
3 t

x 1
2

y 2
1

z 1
5

Hướng dẫn giải:

x 1 2t
Đường thẳng d’ có phương trình tham số: d ' : y 2 t .
z 1 5t
Mặt phẳng thõa mãn đề bài sẽ có véc tơ pháp tuyến là:
  
nP [ud , ud ' ] (6; 7; 1) (P) : 6x 7 y z D 0 .

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Khóa học Luyện thi PEN-C: Môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương

Hình học giải tích trong không gian

Đường thẳng d và d’ lần lượt đi qua

M 2;2;3 , N(1;2;1)

d(M,(P)) d(N,(P))

D 7

(P) : 3x y 4z 7 0.

Bài 5.
Viết phương trình mặt phẳng (R) cách đều 2 mặt phẳng

( P) : 3x y 4 z 2 0; (Q) : 3x y 4 z 8 0

Hướng dẫn giải:
Chọn:

M (0; 2;0) ( P), N (0;8;0) (Q).
 
nP nQ (3; 1; 4) ( R) : 3 x y 4 z D
d ( M , ( R))

d ( N , ( R))

D

4

0.

( R) : 3 x y 4 z 4 0

Bài 6.
Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) : x y z 2 0 và cách nó 1 khoảng
h

3

Hướng dẫn giải:
Mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng:

(Q) : x

y z 2 0

M (2;0;0) (Q)

( P) : x

y z D

d (( P), (Q))

0

d ( M , ( P))

| D 2|
3

D 1

3

D

( P) : x
5

y z 1 0

( P) : x

y z 5 0

Bài 7.
Viết phương trình mặt phẳng (P) qua gốc O vuông góc với mặt phẳng (Q) : x y z
M (1; 2; 1) một khoảng bằng

0 và cách điểm

2.

Hướng dẫn giải:
Phương trình mặt phẳng (P) qua O có dạng: Ax By Cz
Vì ( P)

(Q)

d ( M ;( P))

0.

1. A 1.B 1.C 0 C
A B ( P) : Ax By ( A B) z
B 0 C
A ( P) : x z 0
2
8A
B
C 3 ( P) : 5 x 8 y 3z 0
5

0

Bài 8. Ta có:


nR

 
nP , nQ

d (O, ( R ))

( 1;0; 1)
2

|D|
2

( R) : x z D
2

D

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

2

0.

( R) : x z 2 0.

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 3 -


Khóa học Luyện thi PEN-C: Môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương

Hình học giải tích trong không gian

BÀI TẬP BỔ SUNG
Bài 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(10; 2; –1) và đường thẳng d có phương trình:
x 1 y z 1
. Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, song song với d và khoảng cách từ d tới
 
2
1
3

(P) là lớn nhất.
Lời giải
Gọi H là hình chiếu của A trên d  d(d, (P)) = d(H, (P)). Giả sử điểm I là hình chiếu của H lên (P), ta có
AH  HI => HI lớn nhất khi A  I .

Vậy (P) cần tìm là mặt phẳng đi qua A và nhận AH làm VTPT
 (P): 7x  y  5z  77  0 .
Bài 2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (): 3x + 2y – z + 4 = 0 và hai điểm
A(4;0;0) , B(0;4;0) .Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB. Xác định tọa độ điểm K sao cho KI
vuông góc với mặt phẳng (), đồng thời K cách đều gốc tọa độ O và ().

Lời giải
I(2;2;0). Phương trình đường thẳng KI:

x2 y2 z
.


3
2
1

Gọi H là hình chiếu của I trên (P): H(–1;0;1).

Giả sử K(xo;yo;zo).
Ta có: KH = KO 

x0  2 y0  2 z0




3
2
1

 ( x  1) 2  y 2  ( z  1) 2  x 2  y 2  z 2
0
0
0
0

0
0


1 1 3
4 2 4

 K(– ; ; )

Bài 3. Trong không gian với hệ toạ Oxyz, tìm trên Ox điểm A cách đều đường thẳng
(d) :

x 1 y z  2
và mặt phẳng (P) : 2x – y – 2z = 0
 
1
2
2

Lời giải
Gọi A(a; 0; 0)  Ox  d ( A; ( P)) 

d(A; (P)) = d(A; d) 

2a
3



2a

22  12  22



2a
8a 2  24a  36
; d ( A; d ) 
3
3

8a 2  24a  36
 4a 2  8a 2  24a  36  4a 2  24a  36  0
3

 4(a  3) 2  0  a  3. Vậy có một điểm A(3; 0; 0).

Bài 4. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho đường thẳng (d):

x2 y z4
và hai điểm


3
2
2

A(1;2; –1), B(7; –2;3). Tìm trên (d) những điểm M sao cho khoảng cách từ đó đến A và B là nhỏ
nhất.
Lời giải


Ta có AB  (6; 4;4)  AB//(d). Gọi H là hình chiếu của A trên (d)
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | -


Khóa học Luyện thi PEN-C: Môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương

Hình học giải tích trong không gian

Gọi (P) là mặt phẳng qua A và (P)  (d)  (P): 3x – 2y + 2z + 3 = 0
H = (d) (P)  H(–1;2;2). Gọi A là điểm đối xứng của A qua (d)  H là trung điểm của AA 
A(–3;2;5). Ta có A, A, B, (d) cùng nằm trong một mặt phẳng.
Gọi M = AB(d) . Lập phương trình đường thẳng AB  M(2;0;4)

 P  : x  2 y  z  5  0 và đường thẳng

Bài 5.Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho
(d ) :

x3
 y  1  z  3 , điểm A( –2; 3; 4). Gọi  là đường thẳng nằm trên (P) đi qua giao điểm của (d) và
2

(P) đồng thời vuông góc với d. Tìm trên  điểm M sao cho khoảng cách AM ngắn nhất.
Lời giải
 x  2t  3


Chuyển phương trình d về dạng tham số ta được:  y  t  1
z  t  3


Gọi I là giao điểm của (d) và (P)  I  1;0;4 


* (d) có vectơ chỉ phương là a(2;1;1) , mp( P) có vectơ pháp tuyến là n 1;2; 1





 

  a, n    3;3;3 . Gọi u là vectơ chỉ phương của   u  1;1;1

x  1  u


. Vì M    M  1  u; u;4  u  ,  AM 1  u; u  3; u 
  :y  u
z  4  u


 
AM ngắn nhất  AM    AM .u  0  1(1  u )  1(u  3)  1.u  0
u

4

 7 4 16 
. Vậy M  ; ; 
3
 3 3 3

Bài 6. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : x – 2y + 2z – 1 = 0 và hai đường thẳng
x 1 y z  9
x 1 y  3 z 1
1 :
; 2 :
. Xác định tọa độ điểm M thuộc đường thẳng 1
 


1
1
6
2
1
2
sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng 2 và khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) bằng nhau.
Lời giải
M (–1 + t; t; –9 + 6t) 1;


2 qua A (1; 3; –1) có véctơ chỉ phương a = (2; 1; –2)

 

AM = (t – 2; t – 3; 6t – 8)   AM;a  = (14 – 8t; 14t – 20; 4 – t)

Ta có : d (M, 2) = d (M, (P)) 

261t 2  792t  612  11t  20

 35t2 – 88t + 53 = 0  t = 1 hay t =

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

53
35
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | -


Khóa học Luyện thi PEN-C: Môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương

Hình học giải tích trong không gian

 18 53 3 
Vậy M (0; 1; –3) hay M  ; ; 
 35 35 35 

Giáo viên: Lê Bá Trần Phương
Nguồn:

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

Hocmai.vn

- Trang | -