Hình học giải tích không gian

Chun đề LTĐH

Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG
KHÔNG GIAN

Chuyên đề 13:

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
TỌA ĐỘ ĐIỂM - TỌA ĐỘ VÉC TƠ
z

I. Hệ trục toạ độ ĐỀ-CÁC trong không gian

x'

x'Ox : trục hoành
y'Oy : trục tung
z'Oz : trục cao
O
  : gốc toạ độ
i, j, k : véc tơ đơn vò
 
(hay i; j; k : véc tơ đơn vò )









k

y'

x


i

O


j

z'
Quy ước : Không gian mà trong đó có chọn hệ trục toạ độ Đề-Các vuông góc Oxyz được gọi là
không gian Oxyz và ký hiệu là : kg(Oxyz)
II. Toạ độ của một điểm và của một véc tơ:

1. Đònh nghóa 1: Cho M  kg(Oxyz) . Khi đó véc tơ OM được biểu diển một cách duy nhất theo
 

  
z
i, j, k bởi hệ thức có dạng : OM  xi  y j + y k với x,y,z   .

Bộ số (x;y;z) trong hệ thức trên được gọi là toạ độ của điểm M.

y
Ký hiệu:
M(x;y;z)
( x: hoành độ của điểm M; y: tung độ của điểm M, z: cao độ của điểm M )

M
O

x
đ/n


  
OM  xi  y j  zk

M ( x; y; z)



x  OP

; y= OQ ; z = OR

Ý nghóa hình học:



z

M2

R
z

M3
O

M
y
Q

x
x

p

y

M1

107

y


Chun đề LTĐH

Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn




2. Đònh nghóa 2: Cho a  kg(Oxyz) . Khi đó véc tơ a được biểu diển một cách duy nhất theo
 




i, j, k bởi hệ thức có dạng : a  a1 i  a2 j + a3 k với a1 ,a2 ,a3   .

Bộ số (a1;a2;a3) trong hệ thức trên được gọi là toạ độ của véc tơ a .

Ký hiệu:
a  (a1; a2 ; a3 )

a=(a1;a2 ;a3 )

đ/n







a  a1 i  a2 j  a3 k

II. Các công thức và đònh lý về toạ độ điểm và toạ độ véc tơ :
Đònh lý 1:

Nếu A( x A ; y A ; zA ) và B(x B ; yB ; zB ) thì


AB  ( xB  x A ; yB  y A ; zB  zA )
Đònh lý 2:



Nếu a  (a1; a2 ; a3 ) và b  (b1; b2 ; b3 ) thì
a1  b1
 

* a  b  a2  b2
a  b
3
 3
 
* a  b  (a1  b1; a2  b2 ; a3  b3 )
 
* a  b  (a1  b1; a2  b2 ; a3  b3 )

(k  )
* k .a  (ka1; ka2 ; ka3 )
108


Chun đề LTĐH
Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
III. Sự cùng phương của hai véc tơ:
Nhắc lại
 Hai véc tơ cùng phương là hai véc tơ nằm trên cùng một đường thẳng hoặc nằm trên hai đường thẳng

song song .
 Đònh lý về sự cùng phương của hai véc tơ:


 
Đònh lý 3 :
Cho hai véc tơ a và b với b  0


a cùng phương b



 !k   sao cho a  k .b

 
Nếu a  0 thì số k trong trường hợp này được xác đònh như sau:


k > 0 khi a cùng hướng b


k < 0 khi a ngược hướng b

a
k  
b

Đònh lý 4 :



A, B, C thẳng hàng  AB cùng phương AC



Đònh lý 5: Cho hai véc tơ a  (a1; a2 ; a3 ) và b  (b1; b2 ; b3 ) ta có :


a cùng phương b

a1  kb1

  a2  kb2  a 1 : a2 : a3  b1 : b2 : b3
a  kb
3
 3

IV. Tích vô hướng của hai véc tơ:
Nhắc lại:
  
 
a.b  a . b .cos(a, b)
2  2
a  a
 

a  b  a.b  0




Đònh lý 6: Cho hai véc tơ a  (a1; a2 ; a2 ) và b  (b1; b2 ; b3 ) ta có :

a.b  a1b1  a2 b2  a3 b3

109


Chun đề LTĐH

Đònh lý 7: Cho hai véc tơ a  (a1; a2 ; a3 ) ta có :

Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn


a  a12  a2 2  a32
Đònh lý 8: Nếu A( x A ; y A ; zA ) và B(x B ; yB ; zB ) thì
AB  ( xB  x A )2  ( yB  y A )2  ( zB  zA )2


Đònh lý 9: Cho hai véc tơ a  (a1; a2 ; a3 ) và b  (b1; b2 ; b3 ) ta có :

 
ab

 a1b1  a2 b2  a3b3  0



Đònh lý 10: Cho hai véc tơ a  (a1; a2 ; a3 ) và b  (b1; b2 ; b3 ) ta có :


 
a1b1  a2 b2  a3 b3
a.b
cos(a, b)    
a.b
a12  a2 2  a32 . b12  b2 2  b32
V. Điểm chia đoạn thẳng theo tỷ số k:
Đònh nghóa : Điểm M được gọi là chia đoạn AB theo tỷ số k ( k  1 ) nếu như :


MA  k.MB

A


M


B



Đònh lý 11 : Nếu A( x A ; y A ; zA ) , B(x B ; yB ; zB ) và MA  k.MB ( k  1 ) thì
x A  k. xB

 xM  1  k

y A  k . yB


 yM 
1 k

zA  k .zB

 zM  1  k


Đặc biệt :

x A  xB

 xM 
2

y  yB

M là trung điểm của AB   yM  A
2

zA  zB

 zM  2

110


Chun đề LTĐH
Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
Định lý 12: Cho tam giác ABC biết A( x A ; y A ; zA ) , B(x B ; yB ; zB ), C(x C ; yC ; zC )

x A  x B  xC

 xG 
3

y  yB  yC

G là trọng tâm tam giác ABC   yG  A
3

zA  zB  zC

 zG 
3

Ví dụ 1: Trong Kg(Oxyz) cho ba điểm A(3;1;0), B(-1;2;-1), C(2;-1;3)
Tìm điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành
Ví dụ 2: Trong Kg(Oxyz) cho ba điểm A(2;-1;6), B(-3;-1;-4), C(5;-1;0)
a. Chứng minh rằng tam giác ABC vuông .
b. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC
c. Tính độ dài đường trung tuyến kẻ từ A
VI. Tích có hướng của hai véc tơ:


1. Đònh nghóa: Tích có hướng của hai véc tơ a  (a1; a2 ; a3 ) và b  (b1; b2 ; b3 ) là một véc tơ được
 
ký hiệu :  a; b  có tọa độ là :
1 2 3
 
a

 a; b    2
 
 b2

a3 a3
;
b3 b3

a1 a1
;
b1 b1


a  (a1; a2 ; a3 )
Cách nhớ: 
b  (b1; b2 ; b3 )

a2 

b2 

2. Tính chất:














 

 

 a; b   a và  a; b   b
 
 
1  
SABC  .  AB; AC 
2

 
S ABCD   AB; AD 

A
B

C

D
B

  
VABCD . A' B'C' D'   AB; AD  . AA'

VABCD



a cùng phương b

 

  a; b   0

C'

A'

A

1   
 .  AB; AC  . AD
6

D'

C

B'
D
C

A

D

B
C

A
B

  
  
a, b, c đồng phẳng   a, b  .c  0
  
  
A, B, C, D đồng phẳng  AB, AC, AD đồng phẳng   AB, AC  .AD  0
111


Chun đề LTĐH
Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
BÀI TẬP ỨNG DỤNG:
Bài 1: Cho bốn điểm A(-1;-2;4), B(-4;-2;0), C(3;-2;1), D(1;1;1)
a. Chứng minh rằng bốn điểm A,B,C,D không đồng phẳng
b. Tính diện tích tam giác ABC
c. Tính thể tích tứ diện ABCD
Bài 2: Tính thể tích tứ diện ABCD biết A(-1;-2;0), B(2;-6;3), C(3;-3;-1), D(-1;-5;3)
Bài 3:

Bài 4:

Bài 5:

Bài 6:

Bài 7: Cho tứ diện ABCD với A(2; 1;6), B(3; 1; 4), C(5; 1; 0), D(1; 2;1) . Chứng minh tam giác ABC vng.
Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và thể tích tứ diện ABCD.

112


Chun đề LTĐH

Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn

ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN
MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN
I. Các đònh nghóa:
1. Véc tơ chỉ phương (VTCP) của đường thẳng:


đn  a  0


a là VTCP của đường thẳng (  )   
a có giá song song hoặc trùng với ()

a

a
()
Chú ý:

 Một đường thẳng có vô số VTCP, các véc tơ này cùng phương với nhau.
 Một đường thẳng (  ) hoàn toàn được xác đònh khi biết một điểm thuộc nó và một VTCP của nó.
2. Cặp VTCP của mặt phẳng:

a

b
a



b


Cho mặt phẳng  xác đònh bởi hai đường thẳng cắt nhau a và b . Gọi a là VTCP của đường

thẳng a và b là VTVP của đường thẳng b. Khi đó :

Cặp (a,b) được gọi là cặp VTCP của mặt phẳng 
Chú ý :
 Một mặt phẳng  hoàn toàn được xác đònh khi biết một điểm thuộc nó và một cặp VTCP của nó.

3. Véc tơ pháp tuyến ( VTPT) của mặt phẳng :
n




đn  n  0



n là VTPT của mặt phẳng    
n có giá vuông góc với mp
Chú y ù:
 Một mặt phẳng có vô số VTPT, các véc tơ này cùng phương với nhau.
 Một mặt phẳng hoàn toàn được xác đònh khi biết một điểm thuộc nó và một cặp VTPT của nó.

113


Chun đề LTĐH
Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
4. Cách tìm tọa độ một VTPT của mặt phẳng khi biết cặp VTCP của nó:

a  (a1; a2 ; a3 )
Đònh lý: Giả sử mặt phẳng  có cặp VTCP là :  
thì mp  có một VTPT là :
b  (b1; b2 ; b3 )

   a2
n   a; b   
 b2

a3 a3
;
b3 b3

a1 a1
;
b1 b1

a2 

b2 


 
n  [a , b ]

a


b


Ví dụ: Tìm một VTPT của mặt phẳng  biết  đi qua ba điểm A(-2;0;1), B(0;10;3), C(2;0;-1)
II. Phương trình của mặt phẳng :
Đònh lý 1: Trong Kg(Oxyz) . Phương trình mặt phẳng  đi qua điểm M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và có một

VTPT n  ( A; B; C ) là:


n  ( A; B ; C )

M  x; y;z  
M 0 ( x0 ; y 0 ; z 0 )

A( x  x0 )  B( y  y0 )  C ( z  z0 )  0



z


n  ( A; B ; C )



Đònh lý 2: Trong Kg(Oxyz) . Phương trình dạng :
M0
2

2

y

2

Ax  By  Cz  D  0 với A  B  C  0

là phương trình tổng quát của một mặt phẳng .

x

Chú ý :

 Nếu ( ) : Ax  By  Cz  D  0 thì ( ) có một VTPT là n  ( A; B; C )
 M 0 ( x0 ; y0 ; z0 )  ( ) : Ax  By  Cz  D  0  Ax 0  By0  Cz0  D  0
Các trường hợp đặc biệt:
1. Phương trình các mặt phẳng tọa độ:

 (Oxy):z = 0
 (Oyz):x = 0
 (Oxz):y = 0
2. Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn:


(Oyz )

z

y
O

(Oxz )

x

 A(a; 0; 0)

Phương trình mặt phẳng cắt các trục Ox, Oy, Oz tại  B(0; b; 0)
C (0; 0; c)


114

(Oxy )

(a,b,c  0)

Chun đề LTĐH

Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
C

là:

x y z
  1
a b c

c
O
a

b
B

A
Ví dụ 1: Trong Kg(Oxyz) cho ba điểm A(3;1;0), B(-1;2;-1), C(2;-1;3)
Viết phương trình mặt phẳng (ABC)
Ví dụ 2: Trong Kg(Oxyz) cho A 1;2;3  , B  2; 3;1 . Viết phương trình mặt phẳng  P  đi qua A và vng góc

với đường thẳng AB.
Ví dụ 3: Trong Kg(Oxyz) cho hai mặt phẳng  P  : x  2 y  3z  4  0 và  R  : 3 x  2 y  z  1  0 . Viết phương
trình mặt phẳng  R  đi qua A 1;1;1 đồng thời vng góc với cả  P  và  Q  .
Ví dụ 4: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M(9;1;1) , cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao
cho thể tích tứ diện OABC có giá trị nhỏ nhất.
III. Vò trí tương đối của hai mặt phẳng :
1. Một số quy ước và ký hiệu:

a1  tb1
a  tb
2
 2
(a1 , a2 ,..., an )
Hai bộ n số : 
được gọi là tỷ lệ với nhau nếu có số t  0 sao cho .
(b1 , b2 ,..., bn )
.

an  tbn
a
a1 a2

 ...  n
Ký hiệu:
a1 : a2 : ... : an  b1 : b2 : ... : bn
hoặc
b1 b2
bn
2. Vò trí tương đối của hai mặt phẳng:
Đònh lý: Trong Kg(Oxyz) cho hai mặt phẳng  ,  xác đònh bởi phương trình :

( ) : A1 x  B1 y  C1z  D1  0 có VTPT n1  ( A1; B1; C1 )

(  ) : A2 x  B2 y  C2 z  D2  0 có VTPT n2  ( A2 ; B2 ; C2 )

n
1


n2


n1

n1

n2






115


n2



Chun đề LTĐH

Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
A
B
B
C
C
A

( ) cắt ( )  A1 : B1 : C1  A2 : B2 : C2 (hay: 1  1 hoặc 1  1 hoặc 1  1 )
A 2 B2
B2 C2
C2 A2


A1 B1 C1 D1



A 2 B2 C2 D2

( )  ( ) 

A1 B1 C1 D1



A 2 B2 C2 D2

( ) // ( )

Đặc biệt:

    A1 A2  B1B2  C1C2  0

ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
I. Phương trình của đường thẳng:
1.Phương trình tham số của đường thẳng:
Đònh lý: Trong Kg(Oxyz) . Phương trình tham số của đường thẳng () đi qua điểm M 0 ( x0 ; y0 ; z0 )


và nhận a  (a1; a2 ; a3 ) làm VTCP là :
z


a

 x  x0  ta1

() :  y  y0  ta2
 z  z  ta
0
3


()
M0

M ( x, y , z ) y

(t  )

O

x

2. Phương trình chính tắc của đường thẳng:
Đònh lý: Trong Kg(Oxyz) . Phương trình chính tắc của đường thẳng () đi qua điểm M 0 ( x0 ; y0 ; z0 )

và nhận a  (a1; a2 ; a3 ) làm VTCP là :

() :

x  x0 y  y0 z  z0


a1
a2
a3

Ví du 1ï:

Ví du 2ï:

Ví du 3:

116


Chun đề LTĐH

Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn

x  1  2t

Cho điểm M(-2;1;1) và đường thẳng (d) : y  1  t . Lập phương trình mặt phẳng (P) qua điểm
z  3  t

M và vuông góc với đường thẳng (d).
Ví dụ 4: Cho điểm M(1;2;3) và đường thẳng (d) :

x z z

 . Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa điểm
1 1 1

M và đường thẳng (d)
II. Vò trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng :
1.Vò trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng :

( )


a




a

M

n

( )


n


n

M

M






a ( )

Đònh lý: Trong Kg(Oxyz) cho :

x  x0 y  y0 z  z0


đường thẳng () :
có VTCP a  (a1; a2 ; a3 ) và qua M 0 ( x0 ; y0 ; z0 )
a1
a2
a3

và mặt phẳng ( ) : Ax  By  Cz  D  0
có VTPT n  ( A; B; C )
Khi đó :
() cắt ( )
 Aa1  Ba2  Ca3  0
() // ( )
(  )  ( )

Aa1  Ba2  Ca3  0
 
 Ax0  By0  Cz0  D  0
Aa1  Ba2  Ca3  0
 
 Ax0  By0  Cz0  D  0


a
Đặc biệt:

( )  ( ) 

a1 : a2 : a3  A : B : C


n



 pt ()
Chú ý: Muốn tìm giao điểm M của (  ) và (  ) ta giải hệ phương trình : 
tìm x,y,z
 pt ( )
Suy ra: M(x,y,z)
Ví dụ 1: Cho hai điểm A(0;0;-3) , B(2;0;-1) và mặt phẳng (P): 3x - 8y + 7z -1 = 0
Tìm toạ độ giao điểm I của đường thẳng AB và mặt phẳng (P).
Ví dụ 2: Cho điểm M(1;1;1) và mặt phẳng (P) có phương trình: x  2y  3z  14  0 . Tìm tọa độ hình
chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng (P).

117


Chun đề LTĐH

Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn

x 1 y  2 z  2


và mặt phẳng (P) : x  3y  4m 2 z  m  0 . Tìm m
1
5
4
để đường thẳng (d) nằm trong mặt phẳng (P).

Ví dụ 3: Cho đường thhẳng (d) :

2. Vò trí tương đối của hai đường thẳng :
M

'
0


u

1



a


b


u

M0

u'

2

1
2

'
1 M 0 M 0


u

M0


u'

2
M

M 0'

M0

'
0

1


u'

2

Đònh lý: Trong Kg(Oxyz) cho hai đường thẳng :

x  x0 y  y0 z  z0
(1 ) :


có VTCP u  (a; b; c) và qua M 0 ( x0 ; y0 ; z0 )
a
b
c

x  x0 y  y0 z  z0
( 2 ) :



có VTCP u'  (a' ; b' ; c' ) và qua M '0 ( x0' ; y0' ; z0' )
'
'
'
a
b
c
  
 (1 ) và ( 2 ) đồng phẳng  u, u'  .M0 M0'  0




  u , u'  .M M '  0

 0 0
 (1 ) cắt ( 2 )
  
a : b : c  a' : b' : c'
 (1 ) // ( 2 )

 a : b : c  a' : b' : c'  ( x0'  x0 ) : ( y0'  y0 ) : ( z0'  z0 )

 (1 )  ( 2 )

 a : b : c  a' : b' : c'  ( x0'  x0 ) : ( y0'  y0 ) : ( z0'  z0 )
  
 u, u'  .M 0 M 0'  0



 (1 ) và ( 2 ) chéo nhau

 pt (1 )
Chú ý: Muốn tìm giao điểm M của (1 ) và ( 2 ) ta giải hệ phương trình : 
tìm x,y,z
 pt ( 2 )
Suy ra: M(x,y,z)
III. Góc trong không gian:
1. Góc giữa hai mặt phẳng:
Đònh lý: Trong Kg(Oxyz) cho hai mặt phẳng  ,  xác đònh bởi phương trình :

n1  ( A1 ; B1 ; C1 )
( ) : A1 x  B1 y  C1z  D1  0

(  ) : A2 x  B2 y  C2 z  D2  0
n 2  ( A2 ; B 2 ; C 2 )
Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng ( ) & (  ) ta có công thức:

cos  

A1 A2  B1 B2  C1C2



0 0    90 0

A12  B12  C12 . A22  B22  C22


Ví dụ: Cho hai mặt phẳng (P) : x  y  2  0 & (Q) :  x  z  3  0 . Xác đònh góc giữa hai mặt phẳng
(P) và (Q).
118


Chun đề LTĐH
2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:

Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn

Đònh lý: Trong Kg(Oxyz) cho đường thẳng () :

x  x0 y  y0 z  z0


a
b
c

và mặt phẳng ( ) : Ax  By  Cz  D  0
Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng () & ( ) ta có công thức:

( )

a  ( a ; b; c )

n  ( A; B ; C )

sin  

Aa  Bb  Cc
A2  B 2  C 2 . a 2  b 2  c 2



0 0    90 0

3.Góc giữa hai đường thẳng :
Đònh lý:
Trong Kg(Oxyz) cho hai đường thẳng :
x  x0 y  y0 z  z0
(1 ) :


a
b
c
x  x0 y  y0 z  z0
( 2 ) :


a'
b'
c'


a1  ( a; b; c )

Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng (1 ) & ( 2 ) ta có công thức:

cos  

1

aa '  bb '  cc '
a 2  b 2  c 2 . a '2  b '2  c '2

2


a 2  ( a ' ; b' ; c ' )

0 0    90 0
IV. Khoảng cách:
1. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng:
Đònh lý: Trong Kg(Oxyz) cho mặt phẳng ( ) : Ax  By  Cz  D  0 và điểm M 0 ( x0 ; y0 ; z0 )
Khoảng cách từ điểm M0 đến mặt phẳng ( ) được tính bởi công thức:

M 0 ( x0 ; y 0 ; z 0 )
d ( M0 ; ) 


H

Ax0  By0  Cz0  D
A2  B 2  C 2

Ví dụ: Cho hình tứ diện ABCD biết tọa độ các đỉnh A(2,3,1) ; B(4,1,-2) ; C(6,3,7) ; D(-5,-4,8)
Tính độ dài đường cao hình tứ diện xuất phát từ D.

119


Chun đề LTĐH
2. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:

Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn

Đònh lý: Trong Kg(Oxyz) cho đường thẳng (  ) đi qua điểm M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và có VTCP

u  (a; b; c) . Khi đó khoảng cách từ điểm M1 đến () được tính bởi công thức:

M1


u

 
 M0 M1; u 


d ( M1 , ) 

u

( )

M 0 ( x0 ; y0 ; z 0 ) H

x y 1 z  3



và điểm A(1;2;1)
3
4
1
Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng (d).
3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:

Ví dụ: Cho đường thẳng : (d ) :

Đònh lý: Trong Kg(Oxyz) cho hai đường thẳng chéo nhau :

(1 ) có VTCP u  (a; b; c) và qua M 0 ( x0 ; y0 ; z0 )

( 2 ) có VTCP u'  (a' ; b' ; c' ) và qua M '0 ( x0' ; y0' ; z0' )
Khi đó khoảng cách giữa (1 ) và ( 2 ) được tính bởi công thức

1
u
M0

M

'
0


u'

  
u, u ' .M 0 M 0'


d (1 ,  2 ) 
 
u; u ' 



2

Ví dụ: Cho hai đường thẳng :
 x  9  6t
x  5 y  5 z 1

(d1 ) :


và (d 2 ) :  y  2t
3
2
2
z  2  t

Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng (d1) và (d2).

120

Chuyên đề LTĐH

Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn

BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1: (A-2012)

Bài 2: (B-2012)

Bài 3: (D-2012)

Bài 4:

Bài 5:

Bài 6:

Bài 7:

Bài 8:

Bài 9:

Bài 10:

121


Chuyên đề LTĐH

Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn

Bài 11:

Bài 12:

Bài 13:

Bài 14:

Bài 15:

Bài 16:

Bài 17:

122


Chun đề LTĐH

Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn

MẶT CẦU TRONG KHÔNG GIAN
I. Phương trình mặt cầu:
1. Phương trình chính tắc:
Đònh lý : Trong Kg(Oxyz). Phương trình của mặt cầu (S) tâm I(a;b;c), bán kính R là :

z
(S) : ( x  a)2  ( y  b)2  ( z  c)2  R2

(S )
I

R

Phương trình (1) được gọi là phương trình
chính tắc của mặt cầu

M ( x; y; z )

y

O

(1)

Khi I  O thì (C ) : x 2  y 2  z2  R2

Đặc biệt:

x
2. Phương trình tổng quát:
Đònh lý : Trong Kg(Oxyz). Phương trình :
x 2  y2  z2  2 ax  2 by  2cz  d  0
với a2  b2  c2  d  0 là phương trình của mặt cầu (S) có
tâm I(a;b;c), bán kính R  a2  b2  c2  d .
Ví dụ: Cho 4 điểm A(-1;-2;0), B(2;-6;3), C(3;-3;-1), D(-1;-5;3)
Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, D. Xác đònh tâm và bán kính của mặt cầu
II. Giao của mặt cầu và mặt phẳng:

Đònh lý: Trong Kg(Oxyz) cho mặt phẳng ( ) và mặt cầu (S) có phương trình :
( ) : Ax  By  Cz  D  0
(S ) : ( x  a)2  ( y  b)2  ( z  c)2  R2
Gọi d(I;  ) là khoảng cách từ tâm mặt cầu (S) đến mặt phẳng 
Ta có :
1. ( ) cắt mặt cầu (S)
 d(I; ) < R
2. ( ) tiếp xúc mặt cầu (S)

 d(I; ) =R

3. ( ) không cắt mặt cầu (S)

 d(I; ) > R

(S )
(S )
I

(S )

I
R

R
R



H



(C )

I

M

M H

M



123

r

H


Chun đề LTĐH
Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
Chú ý:
Khi  cắt mặt cầu (S) thì sẽ cắt theo một đường tròn (C). Đường tròn (C) này có:





 Ax  By  Cz  D  0

2
2
2
2
 x  a    y  b    z  c   R
Tâm là hình chiếu vng góc của tâm mặt cầu trên mặt phẳng 
Bán kính r  R2  d 2 ( I , )
Phương trình là:

Ví dụ: Cho mặt cầu (S) : x 2  y 2  z 2  4x  2y  2z  3  0 . Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu tại
điểm M(0;1;-2).

BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1: (A-2012)

Bài 2: (B-2012)

Bài 3: (D-2012)

Bài 4:

Bài 5:

Bài 6:

Bài 7:

Bài 8:
124


Chuyên đề LTĐH

Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn

Bài 9:

125