bài tập giải tích có đáp án, lời giải

1
x(x + 2)(2x + y) = 9

1.
x2 + 4x + y = 6

x + y = 1− 2xy
(NN) 2  2
2.
x +2yA=y +1 5Cy = 90

3. (BK) 5Ayx − 2Cyx= 80

 x
x
(ANND)



x 2 + 3+ | y |= a

x2 + 5
y2 + 5+ | x |=
+ 3−a
4. (CT) Tìm a để hệ có đúng 1 nghiệm


log 

(x +1) − log 3 (x −1) > log 4
3

5. (CT) Tìm m để hệ có 2 nghiệm log (x 2 − 2x + 5) − m log
2=5
 2
1
2x = y +

y
6. (HVCTQG)
 2
1
2 y = x +
x




2

( x 2 −2 x+5)



3



(a −1)x5 + y5 = 1
7. (DHN) Tìm a để hệ có nghiệm với mọi b 
+ (a +1)by = a
x − xy − y = 1

8. (DN)  2
xlog
y −(6x
xy2 += 46 y) = 2

x
9. (DN)
 log (6 y + 4x) = 2
y
x+y<2


 y −1) + a
10. (GTVT) Tìm a để hệ có nghiệm 2x(

 2
x+y+
=2
x + xy + y2 = 19(x − y)2

11. (HH)
 x2 − xy + y2 = 7(x − y)
 3 3

x +y =8
12. (HVHCQG)
 x + y + 2xy = 2

 x2 + y2 −1 − k ( x + y −1) = Giải khi k=0. Tìm k để hệ có nghiệm duy nhất.
13. (HD) 


1

14. (H)

= xy
+1 (x − y) = 1
+ log
logx(x++y y)
  2
a
x2 − y2 = a


, 0 < a ≠ 1 . Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất.

Giải hệ trong trường hợp đó.

(x +1)2 = y + a
15. (L) Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất 
( y +1)2 = x + a
 4

4
(x + y)3 y − x = 1

16. (M-DC)
4
 8(x 4 + y) − 6 x − y = 0



5x2 + 2xy − y2 ≥ 0

17. (HVNH) Tìm m để hệ có nghiệm 2x2 + 2xy + y2 ≤ m

m −1

 2
2
x − 2xy + 3y = 9
18. (HVNH)
2x2 −13xy +15 y2 = 0
x2 + y2 = 1
19. (NNHN)
 3 3
 3 x + y 3= 1
x − 3x = y − 3y
20. (NT)
 x6 + y6 = 1


bx

e

4


21. (NNIHN)


(x − y)2 y = 2
 x3 − y3 = 19
 x − y = 6

y
22. (NLTPHCM)


x3 − y3 = 126
 x+
=2
23. (PCCC) 
 x+
y+3=4

3+ x+y=4

24. (HVQHQT)  2 2 3 3
(x + y )(x + y ) = 280

 x+y−
=2
25. (HVQY) 
x
−
y
 2 2
 x −y

2
2
=4
 x +2y +2
128 x (4x −1)(8x2 −1)2 +1− 2x = 0

26. (HVQY)
− 1 < x < 0
 2
 2
5x + 2xy − y2 ≥ 3
27. (QGHN) Tìm m để hệ có nghiệm 
m
2x2 + 2xy + y2 ≤ 2
m −1


x+ =3
28. (SPHN) Tìm a để hệ có nghiệm thỏa mãn x ≥ 4,
y
y+3
 3 3

x +y =8
29. (SPHN)
x+5+
≤a


m

x + y + 2xy = 2

Giải khi m=9. Tìm m để hệ có nghiệm.
 x +1
y−2=
30. (SPTPHCM) 
x−2
+

 y +1
=

+

m



31. (TCKT)
32. (TN)

33. (TN)

x +y =1
4

4

 6 6
 3 x + y = 1

x +1 = 2 y

 y3 +1 = 2x
x + y = a

Giải khi a=2. Tìm GTNN

x2 + y2 = 6 − a2
của hệ.
1+ x3 y3 = 19x3

34. (TM)

 y+
xy2 =
−6x2

F = xy + 2(x + y)


với (x,y) là nghiệm


2x + y =

x
3
35. (TL)
2


3

2y+x=

y2

 x +1
=4
36. (VHHN) 
7
−
y
+

 y +1
7−x=4
+
sin x − 7 cos y = 0
37. (DLVL) 

5sin y − cos x − 6 = 0


38. (V) x5 + y5 = 1
2 x−3
 x9 + y9 = x4 + y4
log (
)




0 ,5
(x − 2x +
2
x+1
39. (YTB) Tìm a để hệ có nghiệm
1
>

3)
 2
x − (a +1)x + a ≤ 0


| xy −10 |= 20 −
x2
40. (CDSPHN)
xy = 5 + y2

5
x + y + xy =

4
41. (CDSPTW1)
 2
1

x y + xy2 =
4
 2 2

x +y ≥4
42. (CDGTVT) Tìm nghiệm nguyên dương
 x2 + y2 ≤ 2x + 2 y

y
x
 x +y
=6

43. (CDSPHY) 
x 2 y + y 2 x = 20
 
1
cos x cos y =

2
44. (KTCN)

1 
sin
x
sin
y
=
−

2
 3 3
x − y = m(x − y)
45. (CDSPV)

Tìm m để hệ có 3 nghiệm phân biệt, với x , x , x lập thành
1
2
3
x + y =
1
CSC, trong đó
2 số có trị tuyệt đối lớn hơn 1.
 có
x2 + xy + y2 = 4
46. (CDYTND)



2x
y
2y
x







x + xy + y = 2

+

=3

x − y + xy = 3

47. (DHM-HN)



 2
5
x + y + x3 y + x.y2 + x.y = −

4
48. (A.08) 
5
x4 + y2 + xy(1+ 2x) = −

4
 4
x + 2x3 y + x2 y2 = 2x + 9
49. (B.08)
 x2 + 2xy = 6x + 6

xy + x + y = x 2 − 2 y 2

2y
x −1
50. (D.08)
 x
−y
x =− 2x

my−=21y


51. (CD.08) Tìm m để hệ 
có nghiệm (x,y) thỏa mãn xy<0.
mx + y = 3
52. (D.07) Tìm m để hệ sau đây có nghiệm:
 1
1
x + + y + = 5
x
y


1
1
3
3
x +
+y +
= 15m −10
3
3
y
 x
xy

=
3 53. (A.06) x + y −
 x +1 + y +1 = 4

 ∀a > 0 hệ sau có nghiệm duy nhất
54. (D.06) CMR
y−x=a

 x y
e − e = ln(1+ x) − ln(1+ y)


=1
55. (B.05)  x −1 +
2

(9x ) − log y3 = 3
2−y
3log
 2 2
x + y = 25
56. (A.04)
log1 ( y − x) − log4 1 = 1
y
 4
57. (D.04) Tìm m để hệ sau có nghiệm
y

x
y



x+

=1

9




x +y

= 1− 3m


 1
1
x− =y−

58. (A.03)
x
y


3
2 y = x +1

2
3y = y + 2

2
59. (B.03) 

x

3x = 2
x +2


2
y
 3
x−y

=
x+y+2
60. (B.02)
 x+y=

x−y
 3x
2 = 5 y2 − 4 y
 x
x+1
61. (D.02)

4
 x
=y
2 +2

x+
62. (A1.07) 

y+



63. (A2.07)





= 3y −1 +1
x2 − 2x + 2
y2 − 2 y + 2

= 3x−1 +1
 4 3
x − x y + x2 y2 = 1

 x3 y − x2 + xy = 1

64. (B1.07) Chứng
minh hệ phương trình sau có đúng hai nghiệm thỏa mãn x>0,y>0:
y2 −1
 x
e = 2007 −


x2 −1
 y
e = 2007 −




y
.



x

3

x2 − 2x + 9

2xy

= x2 + y


x+
2x
3


65. (B2.07) 
y 2− 2 y + 9
y+
= y2 + x
y


 m để hệ sau đây có nghiệm duy nhất.
66. (D2.07) Tìm



2x − y − m = 0


xy




x+

=1


67. (A1.06)
68. (A2.06)
69. (B2.06)
70. (D1.06)

 2
(x +1) + y( y + x) = 4 y
 (x2 +1)( y + x − 2) = y
 3
x − 8x = y3 + 2 y
 x2 − 3 = 3( y2 +1)


(x − y)(x2 + y2 ) = 13
 (x + y)(x2 − y2 ) = 25
x2 − xy + y2 = 3(x − y)
 x2 + xy + y2 = 7(x − y)3
 2 2
x +y +x+y=4

71. (A1.05)

x+y

x(x + y +1) + y( y +1) = 2


=1
72. (A2.05)  2x + y +1 −
 3x + 2 y =
2 x+
7

4

73. (D1.05) Tìm m để hệ có nghiệm
 2
x + y = y2 + x

x+1

2+

−7

x+1

+ 2005x ≤ 2005

 x 2 − (m + 2)x + 2m + 3 ≥ 0


74. (D1.04)

xy

2x+ y − 2x−1 = x − y
 log
= log x y
75. (A1.03)  y

2x + 2 y = 3
x − 4 | y | +3 = 0


log2 y
76. (B1.02)

log 4 x −
=0 

 | x −1|3 −3x − k < 0
77. (B2.02) Tìm k để hệ có nghiệm

1
1
3
log2 x2 + log (x −1) ≤ 1

3

2
log (x 3 + 2x 2 − 3x − 5 y) = 3


78. (D2.02)
x
3
2
log
 ( y + 2 y − 3y − 5x) = 3
y

2


IV/ ĐÁP SỐ
x = 1 x = −3


1.
,
y=  =
xy = 19

1x = 0 

2.
y= ,
1x = 5  y =
0

3.
3

16.

 y = 12

m≤0

17. 
m>1

y=2


=

18. 

4. a =
25
5. −

x4 =
1
6.

y=1
7. a = −1
x =
3


−3 − 17
8.

x =
3

2+ 17 

−3 + 17


y=
x = 10 2
y=


9.


y=

10
10. a
1
x = 02 x = 3 x = −2




2

2

≥





5
x
 5
y

=



−6

− 17

 x = ± 4 15


x=−

2
2




2
1 
y=−
1


2 
x = −3


y = −2

x=0 x=1


19.

,
 y = y = 0
1

1
1


x 6
2

6
=
2,
20. 
x=−
 y
, 

=
6 
2

 6 12 
1
y=−


3
18

7

x=3
x=


21. 
,
y=2
1




y=

,

x=3

y = 2


,



,

3

18

11.

,
,
0 y = 2 y = −3
y =



x=0 x=2


12.
,
 y =  y = 0 x = 1
,
.
2
x = −1 
=
x 1 ,

13. 
 y=
y=
y=


−1
1
1
Không có k.
14. 0 < a ≠ 1, ≠
2
3
7
15. a = , a =

4

4

1
22. 

23.

x=

x=5
,


y=

−5
x=1





y = −1

 y=1
x = 1 x = 3
24. 
,


y=3 y=1


5
25.
6


x=




2
y=

6π

8π



4π
6π

26. {cos 7 , cos 7 , cos 9 ,9cos
27. m>1

}


28. a ≥
5
x=0 x=2


29.
,
 y = y =
2
0
x=3

,m≥
30.
 y= 3
3
x=0

x = ±1


31.
,
 y = ±1  y =


0
−1− 5

x= 
x=
1
2

,
32.

−1+ 5

y=1

y =


2
x=
1
33.

5

y=

, min−2≤a≤2
F = F (−1) =
−4

1


1 
1
 x = − , x =
34.
2
3


y=
y=

3
−2
x=1

35.
 y=
1
x=3


36.
 y=
3
x=π+k
2π

37.

π


43. 



x=4

,
y=1
π 1

y=4





1

π

 x = ± arccos + (2m + k)
π

4 π2 1
4 21
44. y = − ± arccos + (2m − k)


4

2

4



2

x=0 x=2
45. 1


, y=0
y=2
x=2




3

x=
 =−
x
1

47.

y=
y = 2 , y =
3

−2
1

46.

3

x = −3






y = −3
2



,

,

4

x=


48. 




25

y=−3
16
x = −4

49.
y = 17

4
x=5

50.



y= +k
2π

 2
x=0 x=

1
38.

,


x=1




51.

y=2

m <− 1

3

x=1

, 
y = − 3




2




y=
y=


1
0
3
39. a >
2

x=

2
5

40.



y=

 1
x=

2
41. 
1y=

52.  7
4


x=

−2
5
5
5

,



53.



≤m≤2

m ≥ 22



 y=

−


x = 12 x = 2 x = 2



42.
,
,
 y = y = y =
2
1
2

m>3



x=3


 y=3


54. CM
x=1 x=2
55. 
, 

56.




y=1 y=2
x=3

 y=4





57. 0 ≤ m ≤
± 5

1

69. 


4
58. x = y = 1, x = y =
59. x=y=1

60. x=y=1,

−1
2



x=



3

2




1
y=

2
x=0 x=2


61.
,
 y = y =
1

4
62. x = y =
1
x = ±1

63.

y=

±1
64. CM
65. x = y = 1, x = y =
0
x = −2

66. m>2
x= ,
1

67.


2

y=



y=5
6

13
 x =, 4

x = 3 x = −3



68.
6
 y= ,
y=
13
1
−1


y=

−

6

x=3

, 

y=2
x=0

x = −2



y = −3
x = 2 x = −1
70. 
, 
,



y = 0 y = 1 y = −2


x=1

x=
x=
71. 
−
2

,
,
2

2
2
,
 y

y = −2
y=



−x = −2 =


y=1

x=2
72. 
y = −1
73. m ≥ −2
x = −1 x = 1
74. 
,


y = −1 y = 0
3

x = log 2











2

75. 
 y = log 3
2

2
76. x = 1 x = 9


, y=1 y=3



77. k > −5
x=4
78. 
y=4 ,






6
13

x = −4
13





y=




V/ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1. Các hệ phương trình cơ bản:
Hệ phương trình bậc nhất.
Hệ có một phương trình bậc nhất.
Hệ đối xứng loại I.
Hệ đối xứng loại II.
Hệ đẳng cấp.
2. Dùng ẩn phụ.
3. Đưa một phương trình về dạng tích .
4. Dùng hàm số. hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến.
5. Phương pháp đánh giá


HỆ PHƯƠNG TRÌNH TRONG CÁC ĐỀ THI
1/ Giải phương trình:

2 x + 3 + x + 1 = 3x + 2 2 x 2 + 5x + 3 − 16 .

Giải: Đặt t = 2 x + 3 + x + 1 > 0. (2) ⇔ x = 3
21− x − 2 x + 1
2x −1

2/ Giải bất phương trình:
Giải: 0 < x ≤ 1

1
log
2

3/ Giải phương trình:

2

≥0

1
( x + 3) + log4 ( x − 1)8 = 3log8 (4 x )
4
.

Giải: (1) ⇔ ( x + 3) x − 1 = 4 x ⇔ x = 3; x = −3 + 2 3
4/ Tìm m để phương trình sau có nghiệm x
m

(

)

∈  0; 1 + 3 

:

x 2 − 2 x + 2 + 1 + x(2 − x ) ≤ 0

2
Giải: Đặt t = x − 2x + 2 . (2) ⇔

m≤

(2)

t2 − 2
(1 ≤ t ≤ 2),do x ∈ [0;1 + 3]
t +1

t 2 + 2t + 2
t2 − 2
=
>0
g(t) =
2
(t
+
1)
t
+
1

Khảo sát
với 1 ≤ t ≤ 2. g'(t)
. Vậy g tăng trên [1,2]
Do đó, ycbt ⇔ bpt

m≤

5/ Giải hệ phương trình :

2
t2 − 2
m ≤ max g(t ) = g(2) =
3
t∈[ 1;2]
t + 1 có nghiệm t ∈ [1,2] ⇔
 x 4 − 4 x 2 + y 2 − 6 y + 9 = 0
 2
2
 x y + x + 2 y − 22 = 0

(2)

2
2
2
 x2 − 2 = u
( x − 2) + ( y − 3) = 4
 2

( x − 2 + 4)( y − 3 + 3) + x 2 − 2 − 20 = 0



Giải: (2) ⇔
. Đặt  y − 3 = v
u 2 + v 2 = 4
u = 2
u = 0



Khi đó (2) ⇔ u.v + 4(u + v) = 8 ⇔ v = 0 hoặc v = 2

6/

 x = 2  x = −2  x = 2  x = − 2




y = 5  y = 5
⇒  y = 3 ;  y = 3 ; 
;

1) Giải phương trình:

(1)

5.32 x −1 −7.3 x −1 + 1 −6.3 x +9 x +1 = 0

2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hệ phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt:

log ( x + 1) − log ( x − 1) > log3 4
(a )
3
3

2
log2 ( x − 2 x + 5) − m log( x 2 −2 x + 5) 2 = 5 (b)

Giải: 1) Đặt

t = 3x > 0

. (1) ⇔

5t 2 − 7t + 3 3t − 1 = 0

log 3 ( x + 1) − log 3 ( x − 1) > log 3 4 ( a)

2
log 2 ( x − 2 x + 5) − m log ( x2 − 2 x + 5) 2 = 5

⇒

3
x = log 3 ; x = − log 3 5
5

(b)

2)
• Giải (a) ⇔ 1 < x < 3.

2
• Xét (b): Đặt t = log 2 ( x − 2 x + 5) . Từ x ∈ (1; 3) ⇒ t ∈ (2; 3).

(b) ⇔

t 2 − 5t = m .

Xét hàm

f (t ) = t 2 − 5t

3

8 x y + 27 = 18 y
 2
2

4 x y + 6 x = y
3

7/ Giải hệ phương trình:

, từ BBT ⇒

 25


m ∈  − ; −6 ÷
 4


3

3

(2 x )3 +  3 ÷ = 18

y


2 x. 3 2 x + 3  = 3
3
a + b = 3
÷

 y
y


Giải: (2) ⇔ 
. Đặt a = 2x; b = y . (2) ⇔ ab = 1
3− 5
6   3+ 5
6 
;
;


÷, 
÷
 4
÷ 4
÷
3
+
5
3
−
5


Hệ đã cho có nghiệm: 

8/ Giải bất phương trình sau trên tập số thực:

1
1
≤
x + 2 − 3− x
5 − 2x

(1)

1
−2 ≤ x <
2 : x + 2 − 3 − x < 0, 5 − 2 x > 0 , nên (1) luôn đúng
Giải: • Với
1

5
5
2≤ x<
2 : (1) ⇔ x + 2 − 3 − x ≥ 5 − 2 x ⇔
2
• Với 2
 1  5
S =  −2; ÷∪  2; ÷
2  2

Tập nghiệm của (1) là
 x 2 + 1 + y ( y + x) = 4 y
 2
9/ Giải hệ phương trình: ( x + 1)( y + x − 2) = y (x, y ∈

Giải: (2) ⇔

)

 x2 + 1
+ y+ x−2 = 2
 x2 + 1

=1
 y

⇔
y
 2

 x =1
 x = −2
 x + 1 ( y + x − 2) = 1

y + x − 2 =1


 y
⇔  y = 2 hoặc  y = 5

10/ Giải bất phương trình:
Giải: BPT ⇔

log 22 x − log 2 x 2 − 3 > 5 (log 4 x 2 − 3)

log 22 x − log 2 x2 − 3 > 5(log 2 x − 3) (1)

2
Đặt t = log2x. (1) ⇔ t − 2t − 3 > 5(t − 3) ⇔ (t − 3)(t + 1) > 5(t − 3)


t ≤ −1
log x ≤ −1
t ≤ −1

⇔  t > 3
⇔
⇔ 2
3 < t < 4
3 < log 2 x < 4

 (t + 1)(t − 3) > 5(t − 3) 2


⇔

1

0< x≤

⇔
2

8 < x < 16

11/Giải phương trình: log ( x + 1) + ( x − 5)log( x + 1) − 5 x = 0
2

2

2

2

2

2
2
2
2
2

Giải: Đặt log( x + 1) = y . PT ⇔ y + ( x − 5) y − 5 x = 0 ⇔ y = 5 ∨ y = − x ;

Nghiệm:

x = ± 99999 ; x = 0

12/ Giải phương trình:

8x + 1 = 2

3

2 x +1 − 1

3 x +1
x
Giải: Đặt 2 = u > 0; 2 − 1 = v .

PT ⇔

u 3 + 1 = 2v
u 3 + 1 = 2v
u = v > 0
⇔
⇔ 3
 3
2
2
v + 1 = 2u
(u − v )(u + uv + v + 2) = 0

u − 2u + 1 = 0

⇔

x = 0

 x = log −1 + 5
2

2

 x y − x + y = 2

m ( x2 + y ) − x2 y = 4
13/ Tìm m để hệ phương trình: 
có ba nghiệm phân biệt
2

Giải: Hệ PT ⇔

2

(m − 1) x 4 + 2(m − 3) x 2 + 2m − 4 = 0 (1)


x2 + 2
y = 2
x +1

.

• Khi m = 1: Hệ PT ⇔

2 x 2 + 1 = 0


x2 + 2
y = 2
x +1


(VN )

2
• Khi m ≠ 1. Đặt t = x2 , t ≥ 0 . Xét f (t ) = (m − 1)t + 2(m − 3)t + 2m − 4 = 0 (2)

Hệ PT có 3 nghiệm phân biệt ⇔ (1) có ba nghiệm x phân biệt

⇔ (2) có một nghiệm t = 0 và 1 nghiệm t > 0 ⇔

 f (0) = 0

⇔ ... ⇔ m = 2
2 ( m − 3)

>0
S =
1− m

.

 x + y = 1

14/ Tìm m để hệ phương trình có nghiệm:  x x + y y = 1 − 3m .
u + v = 1
u + v = 1
⇔
 3 3
uv = m
Giải: Đặt u = x , v = y (u ≥ 0, v ≥ 0) . Hệ PT ⇔ u + v = 1 − 3m 
.
0≤m≤

1
4.

15/ Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

Giải: Đặt

ĐS:

t = ( x − 1)

x( x − 1) + 4( x − 1)

x
=m
x −1

x
x − 1 . PT có nghiệm khi t 2 + 4t − m = 0 có nghiệm, suy ra m ≥ −4 .

16/ Giải phương trình:

3x.2x = 3x + 2x + 1

Giải: Nhận xét; x = ± 1 là các nghiệm của PT. PT

⇔ 3x =

2x + 1
2x −1 .


Dựa vào tính đơn điệu ⇒ PT chỉ có các nghiệm x = ± 1.
17/ Giải hệ phương trình:

 x 2 + y 2 − xy = 3
 2
2
 x + 1 + y + 1 = 4

(a )
(b)

2
2
2
2

2
Giải (b) ⇔ x + y + 2 ( x + 1).( y + 1) = 14 ⇔ xy + 2 ( xy ) + xy + 4 = 11 (c)

p =3
 p ≤ 11
(c) ⇔ 2 p 2 + p + 4 = 11 − p ⇔  2
⇔
 p = −35
3 p + 26 p − 105 = 0

3
Đặt xy = p.
x + y)
(a) ⇔ (

2

= 3 xy + 3

• p = xy =

−

35
3 (loại)

 xy = 3
⇒ x= y= 3

x+ y=2 3



1/ Với
2/ Với
(
)
(
Vậy hệ có hai nghiệm là: 3; 3 , − 3; − 3 )

• p = xy = 3 ⇒ x + y = ±2 3

 xy = 3
⇒x= y=− 3

 x + y = −2 3

1

log 2 (4 x 2 − 4 x + 1) − 2 x > 2 − ( x + 2)log 1  − x ÷
2

2 
18/ Giải bất phương trình:
1
1
1

x< ÷


2 ⇔ 4
2 hoặc x < 0
Giải: BPT ⇔ x[ log2 (1 − 2x) + 1] < 0 

19/ Giải hệ phương trình:

2
 x + 1 + y ( x + y ) = 4 y
 2
( x + 1)( x + y − 2) = y

(x, y ∈ R )

 x2 + 1
+ x+ y−2=2

 y
 2
 x + 1 ( x + y − 2) = 1

Giải: y = 0 không phải là nghiệm. Hệ PT ⇔  y
u=

u + v = 2
x2 + 1
,v = x + y − 2
⇔ u = v =1

y
. Ta có hệ uv = 1

⇔

 x2 + 1
=1

 y
x + y − 2 = 1


Đặt
Nghiệm của hpt đã cho là (1; 2), (–2; 5).
20/ Tìm m sao cho phương trình sau có nghiệm duy nhất: ln(mx) = 2ln( x + 1)
Giải: 1) ĐKXĐ: x > −1, mx > 0 . Như vậy trước hết phải có m ≠ 0 .

Khi đó, PT ⇔ mx = ( x + 1) ⇔ x + (2 − m) x + 1 = 0
(1)
2
Phương trình này có: ∆ = m − 4m .
• Với m ∈ (0;4) ⇒ ∆ < 0 ⇒ (1) vô nghiệm.
• Với m = 0 , (1) có nghiệm duy nhất x = −1 < 0 ⇒ loại.
• Với m = 4 , (1) có nghiệm duy nhất x = 1 thoả ĐKXĐ nên PT đã cho có nghiệm duy
nhất.
• Với m < 0 , ĐKXĐ trở thành −1 < x < 0 . Khi đó ∆ > 0 nên (1) có hai nghiệm phân
2

2

biệt x1 , x2 ( x1 < x2 ) . Mặt khác, f (−1) = m < 0, f (0) = 1 > 0 nên x1 < −1 < x2 < 0 , tức là chỉ
có x2 là nghiệm của phương trình đã cho. Như vậy, các giá trị m < 0 thoả điều kiện
bài toán.

• Với m > 4 . Khi đó, điều kiện xác định trở thành x > 0 và (1) cũng có hai nghiệm

phân biệt x1 , x2 ( x1 < x2 ) . Áp dụng định lý Viet, ta thấy cả hai nghiệm này đều dương
nên các giá trị m > 4 cũng bị loại.


Tóm lại, phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi: m ∈ ( −∞;0) ∪ { 4} .
 x 2 + 91 = y − 2 + y 2 (1)
 2
 y + 91 = x − 2 + x 2 (2)

21/ Giải hệ phương trình:
Giải: Điều kiện: x ≥ 2 và y ≥ 2 : Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta được:
x 2 + 91 − y 2 + 91 = y − 2 − x − 2 + y 2 − x 2
⇔

x2 − y2
x + 91 + y + 91
2

2

=

y−x
+ ( y − x)( y + x)
y−2 + x−2


x+ y

⇔ ( x − y) 
+
 x 2 + 91 + y 2 + 91


1
+ x+
x−2+ y−2


y ÷= 0
÷


⇔ x = y (trong ngoặc luôn dương và x và y đều lớn hơn 2)
Vậy từ hệ trên ta có:
x 2 + 91 = x − 2 + x 2 ⇔ x 2 + 91 − 10 = x − 2 − 1 + x 2 − 9

⇔

x2 − 9
x + 91 + 10
2

=

x−3
+ ( x − 3)( x + 3)
x − 2 +1





1
1
⇔ ( x − 3)  ( x + 3) 
− 1÷−
÷= 0

2
x − 2 + 1÷
 x + 91 + 10 



⇔x=3

Vậy nghiệm của hệ x = y = 3
22/ Giải bất phương trình: log 2 ( 3x + 1 + 6) − 1 ≥ log 2 (7 − 10 − x )
Giải: Điều kiện:
1
− ≤ x ≤ 10
3

BPT ⇔

log 2

⇒

3x + 1 + 6
≥ log 2 (7 − 10 − x )
2

3 x + 1 + 6 ≥ 2(7 − 10 − x )

⇒1≤x≤

369
49

⇒

⇒

3x + 1 + 6
≥ 7 − 10 − x
2

3x + 1 + 2 10 − x ≥ 8

⇒ 49x2 – 418x + 369 ≤ 0

(thoả)

23/ Giải phương trình:
Giải:
Đặt:

2 x + 1 + x x 2 + 2 + ( x + 1) x 2 + 2 x + 3 = 0

 v2 − u 2 = 2x + 1
u = x 2 + 2, u > 0
u 2 = x 2 + 2

⇒ 2
⇒  2 v2 − u 2 − 1

2
2
v = x + 2 x + 3, v > 0
v = x + 2 x + 3  x =

2


PT ⇔

 v +u  1
(v − u )  (v − u )  1 +
=0⇔
÷+
2  2 



v − u = 0

 (v + u )  1 + v + u  + 1 = 0


÷

2  2


Vì u > 0, v > 0, nên (c) vô nghiệm.
Do đó: PT ⇔
v−u = 0 ⇔ v =u ⇔

24/ Giải bất phương trình:
Giải: Tập xác định: D =

x2 + 2x + 3 = x2 + 2 ⇔ x = −

≥

•x

1
≤
2

x − 2 ≥ x − 1 + 2x − 1

: BPT ⇔

2 − x + 1 − x ≥ 1 − 2x

⇒ BPT có tập nghiệm S=

25/ Giải phương trình:
Giải:
Điều kiện:
.
x≥−

PT ⇔

(c )

1
2

x 2 − 3x + 2 − 2 x 2 − 3x + 1 ≥ x − 1

• x = 1 là nghiệm

1

 −∞;  ∪ { 1} ∪ [ 2; +∞ )

2

• x 2: BPT ⇔

(b)

vô nghiệm
có nghiệm x

≤

1
2

1

 −∞;  ∪ { 1}

2

x 2 − 2( x + 1) 3 x + 1 = 2 2 x 2 + 5 x + 2 − 8 x − 5 .

1
3

( x + 1) 2 − 2( x + 1) 3 x + 1 + ( 3 x + 1 ) 2  + ( x + 2 ) 2 − 2 2 x 2 + 5 x + 2 + ( 2 x + 1 ) 2  = 0


 

26/ Giải hệ phương trình:
Giải:

 x 3 − 6 x 2 y + 9 xy 2 − 4 y 3 = 0

 x − y + x + y = 2

. Ta có: (1) ⇔
⇔

2
 x 3 − 6 x 2 y + 9 xy 2 − 4 y 3 = 0 (1)
x = y
( x − y) ( x − 4 y) = 0
 x = 4 y

(2)
 x − y + x + y = 2
• Với x = y:
(2) ⇒ x = y = 2
• Với x = 4y:
(2) ⇒
x = 32 − 8 15; y = 8 − 2 15

27/ Giải phương trình:
Giải:
PT ⇔

x 2 − 3x + 1 = −
Chú ý:

4

2

x 2 − 3 x + 1 = − tan

π
x2 + x2 + 1
6

(1)

3 4
x + x2 + 1
3
2

2

x + x + 1 = ( x + x + 1)( x − x + 1)

,

x 2 − 3 x + 1 = 2( x 2 − x + 1) − ( x 2 + x + 1)


Do đó: (1) ⇔

.

3
( x 2 + x + 1)( x 2 − x + 1)
3
và đặt

2( x 2 − x + 1) − ( x 2 + x + 1) = −
Chia 2 vế cho

x2 + x + 1 =

Ta được: (1) ⇔

2t 2 +

(

x2 + x + 1

3
t −1 = 0
3

⇔

)

2

t=


−3
<0
t =
2
3

t = 1

3



x2 − x + 1
x2 + x + 1
⇔

,t>0

2

x − x +1
x2 + x + 1

⇔

=

1

x =1

.

3

 x 2 + 5 x + y = 9
 3
2
2
3 x + x y + 2 xy + 6 x = 18

28/ Giải hệ phương trình:
Giải: Hệ PT ⇔
⇔
 y = 9 − x 2 − 5 x
 4
3
2
 x + 4 x − 5 x − 18x+18 = 0
⇔

 x = 1; y = 3
 x = −3; y = 15

 x = −1 − 7; y = 6 + 3 7
 x = −1 + 7; y = 6 − 3 7

 y = 9 − x 2 − 5x

 x = 1

  x = −3
  x = −1 ± 7

x − 3 ≤ x + 12 − 2 x + 1

29/ Giải bất phương trình:
Giải: BPT ⇔
.
3≤ x ≤ 4

 x − 2 y − xy = 0

 x − 1 + 4 y − 1 = 2

30/ Giải hệ phương trình:
.
Giải : Hệ PT ⇔
⇔
⇔
 x = 4y
 x + y
 x − 2 y = 0
x −2 y = 0



 4y − 1 = 1
x
−
1
+
4
y
−
1
=
2

x

−
1
+
4
y
−
1
=
2


⇔
x = 2

1

 y = 2
3 3
3
(1)
8 x y + 27 = 7 y
 2
2
(2)
31/ Giải hệ phương trình:  4 x y + 6 x = y
Giải:
8 x 3 y3 + 27 = 7 y3
t = xy
 2 2
 3

3
8t + 27 = 4t 2 + 6t
4
x
y
+
6
xy
=
y


Từ (1) ⇒ y ≠ 0. Khi đó Hệ PT ⇔
⇒
t = xy

3
1
9

t
=
−
;
t
=
;
t
=


2
2
2
⇔

(

)(

)