Phân dạng Bài tập trắc nghiệm môn toán Hình học lớp 12, luyện thi THPT quốc gia

PHÂN DẠNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM HÌNH HỌC 12-LUYỆN THI THPT QUỐC
GIA
1) Dạng 1: Khối lăng trụ đứng có chiều cao hay cạnh đáy
Ví dụ 1: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác ABC vuông cân tại A có cạnh
BC = a 2 và biết A'B = 3a. Tính thể tích khối lăng trụ.
A. a3 2

B. a3

2
3

C. a3

2
6

D. a2 2

Ví dụ 2: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D' có cạnh bên bằng 4a và đường chéo 5a. Tính
thể tích khối lăng trụ này.
A. 9a3

B. 3a3

C. 6a3

D. 9a2

Ví dụ 3: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác đều cạnh a = 4 và biết diện
tích tam giác A’BC bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ.

A. 8 3

B. 8 3a 3

C.

8 3

D.

3

8 3
3

a3

Ví dụ 4: Một tấm bìa hình vuông có cạnh 44 cm, người ta cắt bỏ đi ở mỗi góc tấm bìa một
hình vuông cạnh 12 cm rồi gấp lại thành một cái hộp chữ nhật không có nắp. Tính thể tích cái
hộp này.
A. 4800cm3

C. 1600cm3

B. 1600

D. 4800

Ví dụ 5: Cho hình hộp đứng có đáy là hình thoi cạnh a và có góc nhọn bằng
600 Đường chéo lớn của đáy bằng đường chéo nhỏ của lăng trụ. Tính thể tích hình hộp .

A.

a3 6
2

B.

a3 6
12

C.

a3 3
2

D.

a3 6
2

2)Dạng 2Lăng trụ đứng có góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
Ví dụ 1: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B
với BA = BC = a ,biết A'B hợp với đáy ABC một góc 600 . Tính thể tích lăng trụ.

A.

a3 3
2

B.

a3 6
2

C.

a3 3
3

D.

a3 6
2

Ví dụ 2: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác
¼ = 60 o biết BC' hợp với (AA'C'C) một góc 300.
vuông tại A với AC = a , ACB
tích lăng trụ.

Tính AC' và thể

1


A. a3 6

B.

a3 6
3

a3 3
2

C.

D.

a3 6
2

Ví dụ 3: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và đường chéo
BD' của lăng trụ hợp với đáy ABCD một góc 300.
Tính thể tích và tổng diên tích của các mặt bên của lăng trụ .

A.

4a 3 6
3

B.

a3 6
6

C.

a3 4 3
3

D. 4 6a 3

o
Ví dụ 4: Cho hình hộp đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và ¼
BAD = 60
biết AB' hợp với đáy (ABCD) một góc 30o .

Tính thể tích của hình hộp.

A.

3a 3
2

B.

a3
2

2a 3
3

C.

D. 3a 3

3) Dạng 3: Lăng trụ đứng có góc giữa 2 mặt phẳng
Ví dụ 1: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác
vuông cân tại B với BA = BC = a ,biết (A'BC) hợp với đáy (ABC) một góc 600 .Tính thể tích
lăng trụ.

A.

a3 3
2

B.

a3
2

2 3a 3
3

C.

D.

3a 3

Ví dụ 2: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác đều . Mặt
(A’BC) tạo với đáy một góc 300 và diện tích tam giác A’BC bằng 8.
Tính thể tích khối lăng trụ.
A.

8 3

B.

8 3a 3
3

C.

2 3a 3
3

D. 8 3a 3

Ví dụ 3: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD A'B'C'D' có cạnh đáy a và mặt phẳng (BDC') hợp với
đáy (ABCD) một góc 60o.Tính thể tích khối hộp chữ nhật.

A.

a3 6
2

B.

6a 3

12

C. 6 3a 3

D. 8 3a 3

Ví dụ 4: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có AA' = 2a ; mặt phẳng

2

(A'BC) hợp với đáy (ABCD) một góc 60o và A'C hợp với đáy (ABCD) một góc 30o .Tính thể
tích khối hộp chữ nhật.

16a 3 2
3

A.

4) Dạng 4:

B.

16 6a 3

C. 6 3a 3

9

D.

16 2 3
a
3

Khối lăng trụ xiên

Ví dụ 1: Cho lăng trụ xiên tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , biết cạnh bên
là a 3 và hợp với đáy ABC một góc 60o .
Tính thể tích lăng trụ.

3a 3 3
8

A.

B.

3a 3

8

C.

16 3 3
a
3

D.

16 2 3
a
3

Ví dụ 2: Cho lăng trụ xiên tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác
đều cạnh a . Hình chiếu của A' xuống (ABC) là tâm O đường tròn ngoại tiếp .Tính thể tích lăng
trụ .

A.

a3 3
4
LOẠI 2:

B.

3a 3

12

C.

8 3 3
a
3

D.

16 2 3
a
3

THỂ TÍCH KHỐI CHÓP

Ví dụ 1: Cho hình chóp SABC có SB = SC = BC = CA = a . Hai mặt (ABC)
và (ASC) cùng vuông góc với (SBC). Tính thể tích hình chóp
A.

a3 3
4

B.

3a 3

12

C.

8 3 3
a
3

D.

16 2 3
a
3

Ví dụ 2: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với AC = a biết SA
vuông góc với đáy ABC và SB hợp với đáy một góc 60o.Tính thể tích hình chóp .
A.

a3 6
12

B.

6a 3

24

C.

8 3 3
a
3

D.

16 2 3
a
3

Ví dụ 3: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a biết SA
vuông góc với đáy ABC và (SBC) hợp với đáy (ABC) một góc 60o.

3


Tính thể tích hình chóp .
A.

a3 6
12

B.

3a 3

C.

8

8 3 3
a
3

D.

16 2 3
a
3

Ví dụ 4: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh a và SA
vuông góc đáy ABCD và mặt bên (SCD) hợp với đáy một góc 60o.
1) Tính thể tích hình chóp SABCD.

A.

a3 6
12

B.

3a 3

C.

3

8 3 3
a
3

D.

16 2 3
a
3

2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD).
A.

a 3
2

B.

3a 3

2

3 2
a
3

C.

D.

16 2 3
a
3

2) Dạng 2 :
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh a
Mặt bên SAB là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáyABCD,Tính thể tích khối
chóp SABCD.

A.

a3 6
12

B.

3a 3

C.

6

8 3 3
a
3

D.

16 2 3

a
3

Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều ,BCD là tam giác vuông cân tại D , (ABC)
⊥ (BCD) và AD hợp với (BCD) một góc 60o .
Tính thể tích tứ diện ABCD.
A.

a3 6
12

B.

3a 3

C.

9

8 3 3
a
3

D.

16 2 3
a
3

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, cóBC = a. Mặt bên

SAC vuông góc với đáy, các mặt bên còn lại đều tạo với mặt đáy một góc 450.Tính thể tích khối
chóp SABC.

A.

a3 6
12

B.

a3
12

C.

2 3
a
9

D.

16 2 3
a
3

3) Dạng 3 :

Ví dụ 1: Cho chóp tam giác đều SABC cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a. Tính thể tích chóp
đều SABC .

4


A.

a3 6
12

B.

a 3 11
12

C.

2 3
a
9

D.

16 2 3
a
3

Ví dụ 2:Cho khối chóp tứ giác SABCD có tất cả các cạnh có độ dài bằng a . Tính thể tích khối
chóp SABCD.

A.

a3 6
12

B.

a3 2
6

C.

2 3
a
9

D.

16 2 3
a
3

Ví dụ 3: Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh bằng a, M là trung điểm DC.
a) Tính thể tích khối tứ diện đều ABCD.
A.

a3 6
12

B.

a3 2

6

C.

2 3
a
9

D.

16 2 3
a
3

b)Tính khoảng cách từ M đến mp(ABC).Suy ra thể tích hình chóp MABC.
A.

a3 6
12

B.

a3 2
24

C.

2 3
a
9

D.

16 2 3
a
3

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ

Với hình lập phương hoặc hình hộp chữ nhật ABCD. A' B' C ' D'
z
A’

Với hình lập phương .
Chọn hệ trục tọa độ sao cho :

B’

D’
C’

A(0;0;0) ; B( a;0;0) ; C ( a; a;0) ; D(0;a;0)

D

A

A '(0;0; a) ; B '( a;0; a) ; C '( a; a; a) ; D'(0;a;a)

y

Với hình hộp chữ nhật.
Chọn hệ trục tọa độ sao cho :

x

B

C

A(0;0;0) ; B( a;0;0) ; C ( a; b;0) ; D(0;b;0)

5


A '(0;0; c) ; B '( a;0; c) ; C '( a; b; c) ; D'(0;b;c)

Với hình hộp đáy là hình thoi ABCD. A' B' C ' D'

z
Chọn hệ trục tọa độ sao cho :
A’
- Gốc tọa độ trùng với giao điểm O của hai
đường chéo của hình thoi ABCD

D’

O’

B’

y

C

A

D

- Trục Oz đi qua 2 tâm của 2 đáy

O
B

C

x

Với hình chóp tứ giác đều S.ABCD
z

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ

S

Giả sử cạnh hình vuông bằng a và đường
cao SO = h
A

Chọn O(0;0;0) là tâm của hình vuông

 a 2
 a 2

;0;0 ; C 
;0;0 
Khi đó : A −
2

  2


a 2   a 2 
B  0; −
;0 ÷
÷; D  0; 2 ;0 ÷
÷; S (0;0; h)
2

 


D

y

O
B

C

x

6


Với hình chóp tam giác đều S.ABC
z

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ

S

Giả sử cạnh tam giác đều bằng a và đường
cao bằng h . Gọi I là trung điểm của BC
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho
I(0;0;0)

y

 a
 a

Khi đó : A  − ;0;0 ÷; B  ;0;0 ÷
 2
 2


C

A

I

H

B

 a 3   a 3 
C  0;
;0 ÷
÷; S  0; 6 ; h ÷
÷
2

 


x

Với hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật và SA ⊥ (ABCD)
z
ABCD là hình chữ nhật AB = a; AD = b

S

chiều cao bằng h
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho
A(0;0;0)

D

A

y

O
B
x

C

7


Khi đó : B ( a;0;0 ) ; C ( a; b;0 )
D ( 0; b;0 ) ; S (0;0; h)

Với hình chóp S.ABC có ABCD là hình thoi và SA ⊥ (ABCD)
z

S

ABCD là hình thoi cạnh a
chiều cao bằng h
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho
O(0;0;0)

y

D

A
O
B

C

x

Với hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC) và ∆ ABC vuông tại A
z

S
Tam giác ABC vuông tại A có
AB = a; AC = b đường cao bằng h .
y

C

A
B

x

8


Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho
A(0;0;0)
Khi đó : B ( a;0;0 ) ; C ( 0; b;0 )
S ( 0;0; h )

Với hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC) và ∆ ABC vuông tại B

z
S
Tam giác ABC vuông tại B có
BA = a; BC = b đường cao bằng h .
y

x
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho
B(0;0;0)

C

A
B

Khi đó : A ( a;0;0 ) ; C ( 0; b;0 )
S ( a;0; h )

Với hình chóp S.ABC có (SAB) ⊥ (ABC), ∆ SAB cân tại S
và ∆ ABC vuông tại C

9


z

S

∆ ABC vuông tại C CA = a; CB = b
chiều cao bằng h

y

x

H là trung điểm của AB

B

H

A

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho
C(0;0;0)

C
Khi đó : A ( a;0;0 ) ; B ( 0; b;0 )
a b
S ( ; ; h)
2 2

Với hình chóp S.ABC có (SAB) ⊥ (ABC), ∆ SAB cân tại S
và ∆ ABC vuông tại A
z
∆ ABC vuông tại A AB = a; AC = b

S

chiều cao bằng h
H là trung điểm của AB
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho
A(0;0;0)
Khi đó : B ( a;0;0 ) ; C ( 0; b;0 )

C

A

y

H
B

x

a
S (0; ; h)
2

10


Với hình chóp S.ABC có (SAB) ⊥ (ABC), ∆ SAB cân tại S
và ∆ ABC vuông cân tại C

z

Tam giác ABC vuông cân tại C có
CA = CB = a đường cao bằng h .

S

H là trung điểm của AB
y
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho
H(0;0;0)

A

H

B
C

x

 a

 a

;0;0 ÷; A  0;
;0 ÷
Khi đó : C 
2 
 2



a


B  0; −
;0 ÷; S ( 0;0; h )
2 


II. Bài tập áp dụng
Bài toán 1. Cho tứ diện OABC có các tam giác OAB,OBC,OCA đều là tam giác vuông tại đỉnh O.
Gọi α , β , γ lần lượt là góc hợp bởi các mặt phẳng (OBC),(OCA),(OAB) với mặt phẳng (ABC).Chứng
minh rằng : cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1
( SGK Hình 11, trang 96, Văn Như Cương chủ biên, NXBGD 2000, SGK Hình 12, trang 106, Văn
Như Cương chủ biên, NXBGD 2000 )

11


Hướng dẫn

Bài giải
z

Dựng hình :

C

Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz
như sau : O(0;0;0) ; A(a;0;0) ; B(0; b;0)
C (0;0; c) ;

O

AB = (− a ; b ; 0)
AC = (−a ; 0 ; c)

Tìm vectơ pháp tuyến của :

γ

y

A

x

C’

[

]

B

n = AB, AC = (bc ; ac ; ab)

•

Mặt phẳng (ABC)

vì : Ox ⊥ (OBC )

•

i = ( 1, 0, 0)

Mặt phẳng (OBC)

vì : Oy ⊥ (OCA)

•

j = ( 0, 1, 0)

Mặt phẳng (OCA)

vì : Oz ⊥ (OAB )

•

k = ( 0, 0, 1)

Mặt phẳng (OAB)

Sử dụng công thức tính góc giữa hai mặt
phẳng:

cos α =
cos β =

cos α = cos( (OBC ), ( ABC ) )
cos β = cos( (OBC ), ( ABC ) )
cos γ = cos( (OBC ), ( ABC ) )

Kết luận

cos γ =

b.c
b c + c 2 a 2 + a 2b 2
2 2

c.a
b 2 c 2 + c 2 a 2 + a 2b 2
a.b
b 2c 2 + c 2 a 2 + a 2b 2

b 2 c 2 + c 2 a 2 + a 2b 2
cos α + cos β + cos γ = 2 2
=1
b c + c 2 a 2 + a 2b 2
2

2

2

Bài toán 2. Bằng phương pháp toạ độ hãy giải bài toán sau :
Cho hình lập phương ABCD. A' B' C ' D' có cạnh bằng a.
a.Chứng minh rằng đường chéo A' C vuông góc với mặt phẳng ( AB' D ' )

12


b.Chứng minh rằng giao điểm của đường chéo A' C và mặt phẳng ( AB' D ' ) là trọng tâm của
tam giác AB' D' .
c.Tìm khoảng cách giữa hai mặt phẳng ( AB' D ' ) và (C ' BD)
d.Tìm cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng ( DA' C ) và ( ABB' A' )
( SGK Hình 12, trang 112, Văn Như Cương chủ biên, NXBGD 2000 )

Hướng dẫn

Bài giải

Dựng hình :

z
A’

Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông
góc Oxyz như sau : O ≡ A(0;0;0) ;
A' (0;0; a )

B’

B(a;0;0) ; B ' (a;0; a )

a. Chứng minh : A' C ⊥ ( AB' D' )
 A' C ⊥ AB'
⇒ A' C ⊥ ( AB' D' )

Nếu 
 A' C ⊥ AD'

C’
D

A

C (a; a;0) ; C ' ( a; a; a)
D(0; a;0) ; D' (0; a; a )

G

D’

B
x

C

 A' C = (a; a;−a )


Ta có :  AB' = (a;0; a)

 AD' = (0; a; a)
 A' C. AB' = a 2 + 0 − a 2 = 0
⇔
Vì 
 A' C. AD' = 0 + a 2 − a 2 = 0

Nên A' C ⊥ mp( AB' D' )

b. Chứng minh : G là trọng tâm của
tam giác AB ' D' Phương trình tham
số của đường thẳng A' C

y

 A' C ⊥ AB'

 A' C ⊥ AD'

Gọi G = A' C ∩ ( AB' D' ) Toạ độ giao điểm G
của đường thẳng A' C và mặt phẳng ( AB' D' ) là

13


x = t

A' C :  y = t (t ∈ R)
z = a − t

Phương trình tổng quát của mặt phẳng
( AB' D ' ) ( AB' D' ) : x + y − z = 0
Trong đó vectơ pháp tuyến của mặt
phẳng ( AB' D' )

[

]

n1 = AB', AD' = (−a 2 ;− a 2 ; a 2 )

x = t
y = t

⇔
nghiệm của hệ : 
z = a − t
 x + y − z = 0

a

x = 3

a

y =
3

2a

z = 3


 a a 2a 
G ; ;  (1)
3 3 3 
x A + xB ' + xD ' a


=
 xG =
3
3

y A + yB ' + yD ' a

=
Mặt khác :  yG =
(2)
3
3

z A + z B ' + z D ' 2a

=
 zG =
3
3


So sánh (1) và (2), kết luận
Vậy giao điểm G của đường chéo A' C và mặt
phẳng ( AB' D ' ) là trọng tâm của tam giác
AB' D'
c. Tính d ( ( AB' D' ), (C ' BD) )
Phương trình tổng quát của mặt phẳng
(C ' BD) (C ' BD) : x + y − z − a = 0 Trong
đó vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (C ' BD)

[

]

Ta có :

( AB' D' ) : x + y − z = 0
(C ' BD) : x + y − z − a = 0

⇒ ( AB' D' ) // (C ' BD)

⇒
a
3

n2 = C ' B, C ' D = (a 2 ; a 2 ;−a 2 )

d ( ( AB' D' ), (C ' BD) ) = d ( B, ( AB' D' ) ) =

d. Tính cos( ( DA' C ), ( ABB' A' ) )

Vec tơ pháp tuyến của ( ABB' A' ) là j = (0 ; 1 ; 0)

Oy ⊥ ( ABB' A' ) ⇒ Vec tơ pháp tuyến của
( ABB' A' ) là j = (0 ; 1 ; 0)
Vectơ pháp tuyến của ( DA' C ) :

[

]

n3 = DA', DC = (0; a 2 ;−a 2 ) = a 2 (0;1;−1)

Vectơ pháp tuyến của ( DA' C ) : n3 = (0;1;−1)
1
cos( ( DA' C ), ( ABB' A' ) ) =
2 ⇒
o
( ( DA' C ), ( ABB' A' ) ) = 45

14


Bài toán 3. Cho hình lập phương ABCD. A' B' C ' D' có cạnh bằng a.
Chứng minh hai đường chéo B' D' và A' B của hai mặt bên là hai đường thẳng chéo nhau. Tìm
khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau B' D' và A' B

Hướng dẫn

Bài giải
z

Dựng hình :
Chọn hệ trục toạ độ Đêcac
vuông góc Oxyz như sau :

A’

D’

B’
O ≡ A(0;0;0) ; A' (0;0; a ) ;
B (0; a;0) ; B ' (0; a; a)

Chứng minh B' D' và A' B chéo
nhau, ta chứng minh ba vectơ
B ' D'; A' B, BB ' không đồng
phẳng.
Cần chứng minh

y

A

C (a; a;0) ; C ' ( a; a; a)
D(a;0;0) ; D ' (a;0; a )

C’

x

D

B

C

Ta có : B ' D' = (a;− a;0)
A' B = (0; a;−a) ;

BB' = (0;0; a)

[B' D', A' B] = (a ; a ; a )
[B' D', A' B].BB' = a ≠ 0
2

2

2

3

tích hỗn hợp của ba vectơ
B ' D'; A' B, BB ' khác 0

⇒ ba vectơ B ' D'; A' B, BB ' không đồng phẳng.
hay B' D' và A' B chéo nhau.

Tính d ( B ' D' , A' B )
d ( B ' D' , A' B ) =

[ B ' D', A' B ].BB '

d ( B ' D' , A' B ) =

a3
a +a +a
4

4

4

=

a3
a

2

3

=

a 3
3

[ B' D', A' B ]

15


Bài toán 4. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình
thoi. AC cắt BD tại gốc toạ độ O. Biết A(2;0;0) ; B(0;1;0) ; S (0;0;2 2 ) . Gọi M là trung điểm của
SC .
1. Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BM
2. Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt đường thẳng SD tại N.
Tính thể tích khối chóp S.ABMN.
( trích đề thi tuyển sinh ĐH&CĐ khối A năm 2004 )

Hướng dẫn

Bài giải

Dựng hình :

z
S

Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc
Oxyz như sau : O(0;0;0) ; A(2;0;0) ;
B(0;1;0) ; S (0;0;2 2 )
Ta có :
C (−2;0;0) ; D(0;−1;0) ; M (−1;0; 2 )

(

)

(

SA = 2;0;−2 2 ; BM = − 1;−1; 2

)

1a.Tính góc giữa SA và BM
Gọi α là góc giữa SA và BM Sử dụng
công thức tính góc giữa hai đường thẳng.
1b. Tính khoảng cách giữa SA và BM

Chứng minh SA và BM chéo nhau Sử dụng
công thức tính khoảng cách giữa hai đường
thẳng chéo nhau

M

N

x

D
A

C
O

B

y

Ta có :

(

)

cos α = cos SA, BM =

SA.BM
SA BM

=

3
2

⇒ α = 30o
[ SA, BM ] = (−2 2 ;0;−2) ; AB = (−2;1;0)
[ SA, BM ]. AB = 4 2 ≠ 0

16


d ( SA, BM ) =

2. Tính thể tích khối chóp S.ABMN.
Dễ dàng nhận thấy :
MN = ( ABM ) ∩ ( SCD )
VS . ABMN = VS . ABM + VS . AMN
Trong đó :

[ SA, BM ]. AB
[ SA, AB]

=

4 2
2 6
=
3

8+4

MN // AB // CD ⇒ N là trung điểm của SD
1


Toạ độ trung điểm N  0;− ; 2 
2


SA = (2;0;−2 2 ) ;
SM (−1;0;− 2 )
SB = (0;1;−2 2 ) ;

SM (−1;0;− 2 )

⇒ [ SA, SM ] = (0;4 2 ;0)

1
[ SA, SM ].SB
6
1
= [ SA, SM ].SN
6

1
4 2 2 2
[ SA, SM ].SB =
=
6

6
3
1
2 2
2
= [ SA, SM ].SN =
=
6
6
3

VS . ABM =

VS . ABM =

VS . AMN

VS . AMN

Kết luận

Vậy VS . ABMN = VS . ABM + VS . AMN = 2 (đvtt)

Bài toán 5 . Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABC. A1 B1C1 với
A(0;−3;0) ; B(4;0;0) ; C (0;3;0) ; B1 (4;0;4) .
Tìm toạ độ các đỉnh A1 ; C1 . Viết phương trình mặt cầu có tâm là A và tiếp xúc với mặt phẳng
( BCC1 B1 ) . Gọi M là trung điểm của A1B1 . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A, M
và song song với BC1 . ( trích đề thi tuyển sinh ĐH&CĐ khối B năm 2005 )

Hướng dẫn

Bài giải

Dựng hình :

A1

Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc
Oxyz như sau : O(0;0;0) ;

B1

z

M



Với :

C1

A(0;−3;0) ; B(4;0;0) ; C (0;3;0) ; B1 (4;0;4)
A
x

B

O

C

y

17


 A (0;−3;4)
⇒ 1
C1 (0;3;4)

B1

M


C1

Toạ độ trung điểm M của A1B1
3 

M  2;− ;4) 
2 


A
B

Toạ độ hai đỉnh A1 ; C1 .

O

C

Ta có : A1 (0;−3;4) ∈ mp(Oyz )
C1 (0;3;4) ∈ mp(Oyz )

Phương trình mặt cầu có tâm là A và
tiếp xúc với mặt phẳng ( BCC1B1 )
Viết phương trình mp ( BCC1 B1 )
Tìm bán kính của mặt cầu (S)
R = d ( A, ( BCC1B1 ) )

Vectơ pháp tuyến của mp ( BCC1 B1 )
n = [ BC , BB1 ] = (12; 16; 0)
Phương trình tổng quát của mp ( BCC1 B1 ) :
( BCC1B1 ) : 3 x + 4 y − 12 = 0
Bán kính của mặt cầu (S) : R =

Phương trình mặt cầu (S) :
Phương trình mặt phẳng (P) :

2
2
2
(S) : x + ( y + 3) + z =

24
5

576
25

Vectơ pháp tuyến của (P) :
nP = [ AM , BC1 ] = ( −6;−24;12)

Tìm vectơ pháp tuyến của (P)
 AM ⊂ ( P )
⇒ nP = [ AM , BC1 ]

 BC1 // ( P )

Phương trình mặt phẳng (P) :

 3 
AM =  2; ;4  ; BC1 = (−4;3;4)
 2 

( P ) : x + 4 y − 2 z + 12 = 0

Bài toán 6 . Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng(ABC);
AC = AD = 4cm ; AB = 3cm ; BC = 5cm . Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD) (
trích đề thi tuyển sinh ĐH&CĐ khối D năm 2002 )
Hướng dẫn

Bài giải

18

z

Dựng hình :

D
∆ABC có : AB 2 + AC 2 = BC 2 = 25 nên
vuông tại A Chọn hệ trục toạ độ Đêcac
vuông góc Oxyz như sau O ≡ A(0;0;0) ;
B (3;0;0) ; C (0;4;0) D(0;0;4) ;

A

Tính : AH = d ( A, ( BCD) )
x

Viết phương trình tổng quát của
mặt phẳng (BCD)
Sử dụng công thức tính khoảng
cách từ một điểm đến một mặt
phẳng

H

C

y

I

B

Phương trình tổng quát của mặt phẳng (BCD)
x y z
( BCD) : + + = 1 ⇔ 4 x + 3 y + 3z − 12 = 0
3 4 4

d ( A, ( BCD) ) =

− 12
16 + 9 + 9

=

12
6 34
=
17
34

Bài toán 7 . Cho hai nửa đường thẳng Ax và By vuông góc với nhau và nhận AB = a ( a > 0) là
đoạn vuông góc chung. Lấy điểm M trên Ax và điểm N trên By sao cho AM = BN = 2a . Xác định
tâm I và tính theo a bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABMN. Tính khoảng cách giữa hai
đường thẳng AM và BI

Hướng dẫn

Dựng hình :

Dựng Ay ' // By ⇒ Ax ⊥ Ay '

Bài giải

z

B

Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông

19


góc Axy' z như sau : A(0;0;0) ;
B (0;0; a ) ; M (2a;0;0) N (0;2a; a)

N
A

Toạ độ trung điểm I của MN
a

Ia ; a ; 
2


M

y
I
y'

x

1a. Xác định tâm I của mặt cầu
ngoại tiếp tứ diện ABMN
Chú ý :

 Ax ⊥ By

 Ax ⊥ Ay '

1b.Tính bán kính R của mặt cầu
ngoại tiếp tứ diện ABMN

Hai tam giác AMN và BMN là hai tam giác
vuông nhận MN là cạnh huyền nên trung
a

điểm I  a ; a ;  của MN là tâm của mặt
2

cầu ngoại tiếp tứ diện ABMN
Ta có : MN = a (−2 ; 2 ; 1)
Bán kính mặt cầu : R =

MN 3a
=
2
2

2. Tính d ( AM , BI )

Ta có : AM = (2a;0;0) ;
a

BI =  a; a;−  ; AB = (0;0; a )
2


Chứng minh AM và BI chéo nhau

[ AM , BI ] = (0; a 2 ;2a 2 )

Sử dụng công thức tính khoảng cách
giữa hai đường thẳng chéo nhau

d ( AM , BI ) =

[ AM , BI ]. AB
[ AM , BI ]

=

2a 5
5

Bài toán 8 . Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a . Gọi E là điểm đối
xứng của D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC. Chứng minh
MN vuông góc với BD và tính (theo a ) khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC. ( trích đề
thi tuyển sinh ĐH&CĐ khối B năm 2007 )

20


Hướng dẫn

Bài giải
z
S

E

Dựng hình :
Gọi O là tâm của hình vuông ABCD
⇒ SO ⊥ ( ABCD)

P

M

y

Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông
góc Oxyz như sau :

A

O(0;0;0) ; S ( 0;0; h ) ;
 a 2

a 2


;0;0 ÷
;0;0
A  −
;
C

÷
÷
 2
÷D
2




 a 2 

a 2 
 0;
 ; B  0;−
;
0
;0 



2
2






Toạ độ trung điểm P của SA P
 a 2
 a 2 a 2 
h
; 0; ÷
;−
;h÷
; E  −
 −
÷
÷
4
2
2
2



 a 2 a 2 h
a 2 a 2 
;−
; ÷
M  −
N
÷  4 ; − 4 ;0 ÷
÷

2
4
2





Tính (theo a) khoảng cách giữa hai đường
thẳng MN và AC.
Chứng minh MN và AC chéo nhau
Sử dụng công thức tính khoảng cách giữa
hai đường thẳng chéo nhau

D
O

B

N

C

x

uuuur  3a 2
h  uuur
MN = 
;0; − ÷
; BD = (0; −a 2;0)

2÷
 4

Vì : MN .BD = 0 ⇒ MN ⊥ BD

uuuur uuur 
ah 2 
;0 ÷
Ta có :  MN , AC  =  0; −
÷
2


uuuur 
a 2 h
AM =  0; −
; ÷
4 2÷


uuuur uuur uuuur a 2 h
Vì :  MN , AC  . AM =
≠0
4
⇒ MN và AC chéo nhau

21


d ( MN , AC ) =

[ MN , AC ]. AM
[ MN , AC ]

a 2h
4 =a 2
4
a 2h 2
2

=

Bài toán 9 . Cho tứ diện ABCD, có AD vuông góc với mặt phẳng (ABC) và tam giác ABC vuông
tại A; AD = a, AC = b, AB = c .
a. Tính diện tích S của tam giác BCD theo a, b, c
b. Chứng minh rằng : 2S ≥ abc ( a + b + c )

Hướng dẫn

Bài giải
z

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho
A(0;0;0)

D

Khi đó : B ( c;0;0 ) ; C ( 0; b;0 )

A

D ( 0;0; a )
uuur
Ta có : BC = ( −c; b;0 )
uuur
BD = ( −c;0; a )
uuur uuur
 BC , BD  = ( ac; ac; bc )


Áp dụng bất đẳng thức Côsi :

y

C
x
B

a. Tính diện tích S của tam giác BCD
1 uuur uuur
1 2 2
S =  BC , BD  =
a b + a 2c 2 + b 2c 2 b.
2
2
Chứng minh : 2S ≥ abc ( a + b + c )
Ta có :

22

a 2b 2 + b 2 c 2 ≥ 2ab 2 c
b 2 c 2 + c 2 a 2 ≥ 2abc 2
c a + a b ≥ 2a bc
2

2

2 2

2

abc ( a + b + c ) = a 2bc + b 2 ac + c 2 ab ≤
 b2 + c2  2  a2 + c2  2  a 2 + b2 
≤ a2 
÷+ b 
÷+ c 
÷
 2 
 2 
 2 
= a 2b 2 + a 2 c 2 + b 2 c 2 = 2S ∆BCD

Bài toán 10 . Cho hình chóp tam giác đều S.ABC đỉnh S độ dài các cạnh đáy bằng a . Gọi M, N lần
lượt là trung điểm của các cạnh SB, SC. Tính theo a diện tích tam giác AMN. Biết rằng mặt phẳng
(AMN) vuông góc với mặt phẳng (SBC).

Hướng dẫn

Bài giải

z

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ

S

Gọi I là trung điểm của BC
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho
I(0;0;0)
 a 3   a

;0 ÷
; B  − ;0;0 ÷
Khi đó : A  0;
÷
2


  2
a
  a 3   a 3 
C  ;0;0 ÷; S  0;
;h÷
÷; H  0; 6 ;0 ÷
÷
6
2
 
 


M
N

B
I

y
A

H

C

x

 a a 3 h a a 3 h
M  − ;
; ÷
; ÷
÷; N  ;
÷
 4 12 2   4 12 2 
uuuur  a 5a 3 h 
AM =  − ; −
; ÷
12 2 ÷
 4

uuur  a 5a 3 h 

AN =  ; −
; ÷
12 2 ÷
4


+ Pháp vectơ của mp (AMN) :
ur uuuur uuur  ah 5a 2 3 
n1 =  AM , AN  =  0; ;
÷
24 ÷
 4


23


+ Pháp vectơ của mp (SBC) :
uur uur uuur 
a2 3 


n2 =  SB, SC  =  0; − ah;
÷
6 ÷



uur  a a 3


SB =  − ; −
; −h ÷
÷
6
 4

uuur  a a 3

SC =  ; −
; −h ÷
÷
6
2

ur uur ur uur
( AMN ) ⊥ ( SBC ) ⇔ n1 ⊥ n2 ⇔ n1.n2 = 0
⇔−

Diện tích tam giác AMN :
S ∆AMN =

a 2 h 15a 4
a 2 h 15a 4
+
=0⇔
=
4
24.6
16
242

=

1  uuuur uuur 1 a 2 h 2 75a 4
AM , AN  =
+
2
2 16
242

1 15a 4 75a 4
1
a 2 10
4
đvdt
+
=
90
a
=
2 242
242
48
16

Bài toán 11 . Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a ; SA = a ; SB = a 3 và
mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,
BC . Tính theo a thể tích khối chóp S.BMDN và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SM, DN
( trích đề thi tuyển sinh ĐH &CĐ khối B năm 2008 )

Hướng dẫn

Bài giải
z
S

Dựng hình :
Gọi H là hình chiếu vuông góc của
S trên AB ⇒ SH ⊥ (ABCD)

A

Ta có : SA2 + SB 2 = a 2 + 3a 2 = AB 2
⇒ ∆SAB vuông tại S ⇒ SM = a
Do đó : ∆SAM đều ⇒ SH =

a 3
2

D y
K

H
x

B

M

N

C

Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc
Oxyz như sau : H (0;0;0) ; S

24



a 3
 a

−
;0;0
;
A
 0;0;
÷

÷; B
÷
2
2




 3a

 a


D  − ; 2a;0 ÷ ; M
 ;0;0 ÷ ;
 2

 2

a

 3a

N  ; a;0 ÷
 ;0;0 ÷ ;
2

 2

uuur  a
a 3
SM =  ;0; −
÷
2 ÷
2

uuur  3a
a 3
SN =  ; a; −
÷
2 ÷
 2


uur  3a
a 3
SB =  ;0; −
÷
2 ÷
 2

uuur  a
a 3
SD =  − ; 2a; −
÷
2 ÷
 2

uuur
DN = ( 2a; − a;0 )

+ Công thức tính góc giữa SM, DN
uuur uuur
SM .DN
cos ( SM , DN ) = uuur uuur
SM . DN

+ Thể tích khối chóp S.BMDN
VS . BMDN = VSMNB + VSMND
2
2
uuur uuur  2
 SM , SN  =  a 3 ; − a 3 ; a


  2
2
2



÷
÷


3
3
uuur uuur uur
uuur uuur uuur
 SM , SN  SB = a 3 ;  SM , SN  SD = 3a 3




2
2

VSMNB =

1  uuur uuur uur a 3 3
SM , SN  SB =
6
12

VSMND =

1  uuur uuur uuur a 3 3
SM , SN  SD =
6
4

VS . BMDN = VSMNB + VSMND =

a3 3 a3 3 a3 3
+
=
12
4
3

+ Tính cosin của góc giữa SM, DN
cos ( SM , DN ) =

a2
a 2 3a 2
+
4a 2 + a 2
4
4

=

1
5

Bài toán 12 . Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a , cạnh
bên AA ' = a 2 . Gọi M là trung điểm của BC. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’
và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, B’C ( trích đề thi tuyển sinh ĐH &CĐ khối D năm
2008 )

Hướng dẫn

Bài giải
z

25