HỌC PHẦN: RÈN LUYỆN NGHIỆP VỤ SƯ PHẠM THƯỜNG XUYÊN 3

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾ
KHOA TOÁN
----------

TRẦN THỊ HOÀNG ANH

NGUYỄN NHẬT MINH

LÊ THỊ PHƯƠNG OANH

BÙI MINH TRANG

ĐỌC VÀ GIỚI THIỆU SÁCH BẰNG TIẾNG ANH
CHƯƠNG 6 SÁCH PRECALCULUS

BÀI TẬP LỚN
HỌC PHẦN: RÈN LUYỆN NGHIỆP VỤ SƯ PHẠM THƯỜNG XUYÊN 3

HUẾ, 09/2014


ii
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾ
KHOA TOÁN
----------

TRẦN THỊ HOÀNG ANH

NGUYỄN NHẬT MINH

LÊ THỊ PHƯƠNG OANH

BÙI MINH TRANG

ĐỌC VÀ GIỚI THIỆU SÁCH BẰNG TIẾNG ANH
CHƯƠNG 6 SÁCH PRECALCULUS

BÀI TẬP LỚN
HỌC PHẦN: RÈN LUYỆN NGHIỆP VỤ SƯ PHẠM THƯỜNG XUYÊN 3

NGƯỜI HƯỚNG DẪN: TS. NGUYỄN ĐĂNG MINH PHÚC

HUẾ, 09/2014


iii

Để đáp ứng nhu cầu học tập của học sinh, tài liệu tham khảo cho giáo viên liên quan
đến tính toán, chúng tôi đã dịch chương 6 trong sách “Precalculus”. Mỗi phần của
chương bao gồm:
- Khái niệm.
- Ví dụ.
- Bài tập.
- Ứng dụng.
Trong mỗi ví dụ đều có phương pháp giải cụ thể và hình ảnh minh họa. Phần bài tập
tạo điều kiện cho các em học sinh tự kiểm tra, đánh giá mức độ nắm vững kiến thức
của bản thân. Phần ứng dụng giúp các em vận dụng lý thuyết vào thực tế giải quyết
những bài toán trong cuộc sống. Bên cạnh đó, chúng tôi chú ý chỉnh sửa cách diễn đạt
ở một số chỗ cho thích hợp và dễ hiểu hơn.
Chúng tôi hi vọng rằng với việc dịch chương 6 trong cuốn sách “Precalculus” góp
phần tích cực hơn nữa trong việc cung cấp các tài liệu bổ ích cho các thầy cô giáo để

làm tư liệu, giúp các em học sinh tự học, rèn luyện kĩ năng giải toán, nâng cao khả
năng vận dụng kiến thức và góp phần rèn luyện tư duy toán học.
Mặc dù đã cố gắng hết sức song phần dịch này khó tránh khỏi những thiếu sót.Chúng
tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các độc giả để chúng tôi có thể
hoàn thiện hơn. Xin chân thành cảm ơn.

Huế, tháng 09 năm 2014

Các tác giả


iv
* ĐÔI LỜI VỀ TÁC GIẢ:
- JAMES STEWART nhận được MS của mình từ Đại học Stanford và tiến sĩ từ Đại học Toronto.
Ông đã nghiên cứu tại Đại học London và bị ảnh hưởng bởi các nhà toán học nổi tiếng George Polya
tại Đại học Stanford. Stewart là giáo sư danh dự tại Đại học McMaster và hiện là giáo sư Toán học tại
Đại học Toronto. Lĩnh vực nghiên cứu của ông là phân tích sự hài hòa và các kết nối giữa toán học và
âm nhạc. James Stewart là tác giả của một loạt sách giáo khoa bán chạy nhất được xuất bản bởi
Brooks/Cole, Cengage Learning; trong đó có Precalculus và một loạt các sách giáo khoa toán học ở
trường trung học.
- LOTHAR REDLIN lớn lên trên đảo Vancouver, nhận bằng Cử nhân Khoa học từ Đại học Victoria,
và đã nhận được bằng tiến sĩ từ Đại học McMaster ở năm 1978. Sau đó, ông đã nghiên cứu và giảng
dạy tại trường Đại học Washington, Đại học Waterloo, và Đại học bang California, Long Beach. Ông
hiện là Giáo sư Toán học tại Đại học bang Pennsylvania, Abington Campus. Lĩnh vực nghiên cứu của
ông là hình học tôpô.
- SALEEM WATSON nhận được bằng cử nhân khoa học từ Đại học Andrews ở Michigan. Ông đã
làm nghiên cứu sau đại học tại Đại học Dalhousie và Đại học McMaster, nơi ông nhận bằng tiến sĩ vào
năm 1978. Sau đó, ông đã nghiên cứu tại Viện Toán học của Đại học Warsaw, ở Poland. Ông cũng
giảng dạy tại Đại học bang Pennsylvania. Ông hiện là Giáo sư Toán học tại Đại học bang California,
Long Beach. Lĩnh vực nghiên cứu của ộng là giải tích hàm.

1
MỤC LỤC
CÁC HÀM LƯỢNG GIÁC: PHƯƠNG PHÁP TIẾP CẬN TAM GIÁC VUÔNG…………... 3
6.1 SỐ ĐO GÓC..................................................................................................... 4
Số đo góc ..............................................................................................................4
Góc ở vị trí chuẩn .................................................................................................6
Độ dài của một cung tròn ......................................................................................8
Diện tích của một hình quạt tròn ...........................................................................9
Chuyển động tròn ............................................................................................... 10
6 .1 BÀI TẬP.................................................................................................... 12
6.2 LƯỢNG GIÁC TRONG TAM GIÁC VUÔNG ............................................. 20
Tỷ số lượng giác………………………………………………………………….20
Tam giác đặc biệt................................................................................................ 21
Ứng dụng lượng giác của tam giác vuông ........................................................... 23
6 .2 BÀI TẬP.................................................................................................... 26
6.3 CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC .................................................... 36
Các hàm số lượng giác của góc ........................................................................... 36
Ước lượng hàm số lượng giác của góc bất kỳ ..................................................... 37
Mối quan hệ của hàm lượng giác với số thực ...................................................... 38
Đẳng thức lượng giác.......................................................................................... 42
Diện tích của tam giác ........................................................................................ 45
6 .3 BÀI TẬP.................................................................................................... 46
6.4 HÀM NGƯỢC CỦA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ TAM GIÁC VUÔNG
.............................................................................................................................. 55
Hàm ngược của hàm Sin, hàm ngược của hàm Cosin, hàm ngược của hàm Tan . 55


2

Giải góc trong tam giác vuông ............................................................................ 57
Biểu thị các biểu thức liên quan đến hàm ngược của hàm lượng giác .................. 59
6 .4 BÀI TẬP.................................................................................................... 61
6.5 ĐỊNH LUẬT SIN ........................................................................................... 66
Định luật sin ....................................................................................................... 67
Trường hợp không xác định ................................................................................ 68
6 .5 BÀI TẬP.................................................................................................... 72
6.6 ĐỊNH LUẬT COSIN ...................................................................................... 80
Định luật cosin.................................................................................................... 80
Sự chuyển hướng: hướng chuyển động và góc phương vị ................................... 83
Diện tích tam giác ............................................................................................... 84
6 .6 BÀI TẬP.................................................................................................... 86
CHƯƠNG 6 | ÔN TẬP .......................................................................................... 94
KIỂM TRA LÝ THUYẾT .................................................................................. 94
BÀI TẬP ............................................................................................................ 95
CHƯƠNG 6 | KIỂM TRA ....................................................................................104
MÔ HÌNH TẬP TRUNG ......................................................................................107
Khảo sát ...............................................................................................................107
TÀI LIỆU THAM KHẢO ....................................................................................114


3

CÁC HÀM LƯỢNG GIÁC: PHƯƠNG PHÁP
TIẾP CẬN TAM GIÁC VUÔNG
Giả sử ta muốn tìm khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt
Trời. Việc sử dụng băng đo rõ ràng là không thực tế, vì
6.2 Lượng giác trong tam vậy ta cần một thứ khác hơn những phép đo lường đơn
giác vuông
giản để giải quyết vấn đề này. Góc dễ dàng đo được

hơn khoảng cách. Ví dụ, ta có thể tìm góc tạo bởi mặt
6.3. Các hàm lượng giác
trời, trái đất, và mặt trăng bằng cách đơn giản là chỉ
của góc
một tay vào mặt trời và một tay khác vào mặt trăng và
6.4. Các hàm lượng giác ước lượng góc giữa chúng. Ý tưởng chính là tìm mối
liên hệ giữa góc và khoảng cách. Vì vậy nếu ta có cách
ngược và tam giác
xác định khoảng cách từ góc, ta có thể tìm khoảng cách
6.5. Định luật hàm sin
đến mặt trời mà không cần đến đó. Các hàm lượng giác
cung cấp cho ta các công cụ cần thiết.
6.6. Định luật hàm cos
6.1 Số đo góc

MÔ HÌNH TẬP
TRUNG
Khảo sát

Nếu θ là một góc trong tam giác vuông, thì tỉ số lượng
giác
θ được định nghĩa là độ dài của cạnh đối diện
với θ chia cho độ dài của cạnh huyền. Tỷ số này là
giống nhau cho bất kì tam giác nào, bao gồm các tam
giác lớn tạo bởi mặt trời, trái đất, và mặt trăng! (Xem
Phần 6.2, Bài tập 61.).
Các hàm lượng giác có thể được định nghĩa bằng hai
cách khác nhau nhưng tương đương: như những hàm số
thực (Chương 5) hoặc những hàm số góc (Chương 6).
Hai phương pháp tiếp cận là độc lập với nhau, vì vậy

Chương 5 hoặc Chương 6 có thể được nghiên cứu
trước. Ta nghiên cứu cả hai phương pháp vì các
phương pháp khác nhau có các ứng dụng khác nhau.


4

6.1 SỐ ĐO GÓC
Số đo góc  Góc ở vị trí chuẩn  Độ dài của cung tròn  Diện tính của hình
quạt tròn  Chuyển động tròn
Góc AOB bao gồm hai tia R1và R2 với gốc O chung (xem hình 1). Ta thường thể
hiện góc bằng việc quay từ tia R1 lên R2. Trong trường hợp này, R1 được gọi là tia
đầu, và R2 được gọi là tia cuối của góc. Nếu quay ngược chiều kim đồng hồ, góc
được xem là dương, và nếu quay theo chiều kim đồng hồ, thì góc được xem là âm.

HÌNH 1
 Số đo góc
Số đo của một góc là tổng số vòng quay quanh gốc yêu cầu di chuyển từ R1 lên R2.
Dễ thấy, sẽ có nhiều góc "mở ra". Một đơn vị của phép đo góc là độ. Một góc có số
đo là 1 độ được hình thành bằng cách quay cạnh đầu

của một vòng quay đầy đủ.

Trong tính toán và trong các phần của toán học, một cách tự nhiên hơn của việc đo
góc là sử dụng số đo radian. Số lượng một góc mở là đo dọc theo vòng cung của
một đường tròn bán kính 1 với tâm của nó ở đỉnh của góc.
ĐỊNH NGHĨA SỐ ĐO RADIAN
Nếu đường tròn có bán kính là 1 được vẽ với đỉnh của góc ở tâm thì số đo của
góc đó trong radian (viết tắt rad) là độ dài của cung đối diện góc đó (xem Hình 2).

Số đo radian
của

HÌNH 2


5
Chu vi của đường tròn bán kính 1 là 2 và quay đúng một vòng là 2 , một góc bẹt
có số đo rad, và một góc vuông có số đo là rad. Một góc mà đối diện với cung
có độ dài 2 theo đường tròn đơn vị có số đo radian là 2( xem hình 3).

HÌNH 3: Số đo radian
Khi quay đúng 1 vòng số đo độ là 360o và số đo radian là 2 rad, ta có hệ thức liên
hệ đơn giản giữa hai đại lượng đo góc như sau.
MỐI LIÊN HỆ GIỮA ĐỘ VÀ RADIAN

Để đổi độ sang radian, làm phép nhân với

.

Để đổi radian sang độ, làm phép nhân với

.

Để có một số hình dung về kích thước của một
radian, chú ý rằng
57,296o và 1o

1 rad
Số đo góc

Số đo của góc
Số đo của góc

0,001745 rad

là 1 rad được biểu diễn trong hình 4.

= 1 rad
57,296o

HÌNH 4

VÍ DỤ 1 | Chuyển đổi giữa radian và độ
(a) Biểu diễn 60o theo radian.
(b) Biểu diễn

radian theo độ.

LỜI GIẢI Ta có sự liên hệ giữa độ và góc
(a)

(b)

 BÂY GIỜ HÃY THỬ LÀM BÀI TẬP 3 VÀ 15.

o


6
Lưu ý về thuật ngữ: Ta thường dùng cụm từ như “góc 30o" có nghĩa là góc có số đo

là 300. Hơn nữa, đối với góc , ta viết
hay
có nghĩa là số đo của là
300 hay

. Nếu không cho trước đơn vị, các góc được giả định là được đo bằng

radian.

 Góc ở vị trí chuẩn
Góc ở vị trí chuẩn nếu nó được biểu diễn trong mặt phẳng xy với đỉnh của nó tại
gốc toạ độ và tia đầu trên chiều dương của trục hoành. Hình 5 cho ta vài ví dụ về góc
ở vị trí chuẩn.

HÌNH 5: Góc ở vị trí chuẩn
Hai góc tại vị trí chuẩn là khác nhau 360o nếu các tia của chúng trùng nhau. Trong
hình 5 góc ở hình (a) và (c) là khác nhau 360o.

VÍ DỤ 2 | Các góc khác nhau 360 o
(a) Tìm góc khác nhau 360o với góc
(b) Tìm góc khác nhau 360o với góc

trong vị trí chuẩn.
trong vị trí chuẩn.

LỜI GIẢI
(a) Để tìm góc dương khác nhau 360 o với , ta cộng thêm một bội số nào đó của
3600. Do đó
và
o

là khác nhau 360 với
. Để tìm góc âm khác nhau 360o với , ta trừ đi một
bội số nào đó của
. Do đó
và
o

là khác nhau 360 với

. (Xem hình 6).


7

HÌNH 6
(b) Để tìm góc dương khác nhau 360o với , ta cộng thêm một bội số nào đó của

.

Do đó
và
là khác nhau 360o với
bội số nào đó của . Do đó

. Để tìm góc âm khác nhau 360o với , ta trừ đi một

và
là khác nhau 360o với . (Xem hình 7).

HÌNH 7
BÂY GIỜ HÃY THỬ LÀM BÀI TẬP 27 VÀ 29.

VÍ DỤ 3 | Các góc khác nhau 360 o
Tìm một góc với số đo nằm trong khoảng từ 0o đến 360o là góc khác nhau 360o với
góc có số đo 1290o trong vị trí chuẩn.
LỜI GIẢI Ta có thể trừ 1290o cho 360o một số lần mà ta muốn, và được kết quả của
góc khác nhau 360o với 1290o. Do đó 1290o - 360o = 930o là khác nhau 360o với
1290o, và vì thế góc 1290o - 2(360o) = 570o cũng vậy.


8
Để tìm góc nằm trong khoảng 0o đến 360o , ta trừ 1290o cho 360o một số lần cần
thiết. Một cách hữu hiệu để làm điều này là xác định 1290o trừ bội số là bao nhiêu
của 360o, đó là chia 1290 cho 360, và số dư sẽ là góc ta cần tìm. Ta thấy rằng 1290
trừ đi 3 lần 360 được 210. Do đó, 210o là góc cần tìm (xem hình 8).

HÌNH 8
 BÂY GIỜ HÃY THỬ LÀM BÀI TẬP 39

 Độ dài của một cung tròn
Một góc mà số đo rad của nó là được đối diện với
một cung bằng
chu vi của đường tròn. Do đó,
trong một đường tròn bán kính r, độ dài s của một cung
đối diện với góc (xem Hình 9) là
HÌNH 9: s =
ĐỘ DÀI CỦA MỘT CUNG TRÒN
Trong một đường tròn bán kính r, độ dài s của một cung đối diện với góc ở tâm
rad là

Giải góc , ta có công thức quan trọng

Đây là công thức cho phép ta định nghĩa số đo radian trong một đường tròn bán kính
r. Số đo rad của một góc là s/r, s là độ dài của cung tròn đối diện với góc trong
một đường tròn bán kính r (xem hình 10).


9

HÌNH 10

VÍ DỤ 4 | Độ dài cung tròn và số đo góc
(a) Tìm độ dài cung tròn đối diện với góc ở tâm là 30o của đường tròn bán kính 10m.
(b) Một góc ở tâm trong đường tròn bán kính 4m đối diện với cung có độ dài 6m.
Tìm số đo của theo radian.
LỜI GIẢI:
Từ ví dụ 1b ta thấy rằng 30o =
dài của cung tròn là
Công thức s = r
đo theo radian.

chỉ đúng khi

rad. Vì thế độ

có số

Từ công thức

s/r, ta có

 BÂY GIỜ HÃY THỬ LÀM BÀI TẬP 55 VÀ 57

 Diện tích của một hình quạt tròn
Diện tích của một đường tròn bán kính r là A= r2. Diện tích hình quạt của đường
tròn này với góc ở tâm bằng
diện tích toàn bộ đường tròn (xem hình 11).
Vì thế diện tích của hình quạt này là

HÌNH 11


10
DIỆN TÍCH CỦA MỘT HÌNH QUẠT TRÒN
Trong một đời tròn bán kính r, diện tích A của hình quạt với góc ở tâm

rad là

VÍ DỤ 5 | Diện tích của một hình quạt
Tìm diện tích một hình quạt của đường tròn với góc ở tâm là 600 nếu bán kính
đường tròn là 3m.
LỜI GIẢI Để sử dụng công thức diện tích hình
quạt tròn, ta phải tìm góc ở tâm của hình quạt
Công thức A = r2 chỉ đúng khi số
theo radian: 60o = 60(
rad = /3 rad. Do
đo góc theo radian.
đó, diện tích của hình quạt là

 BÂY GIỜ HÃY THỬ LÀM BÀI TẬP 61

 Chuyển động tròn

HÌNH 12
Kí tự là chữ cái Hy Lạp
“omega”

Giả sử một điểm di chuyển dọc theo một đường tròn
như trong hình 12. Có hai cách để mô tả chuyển động
của điểm: tốc độ dài và tốc độ góc. Tốc độ dài là tốc
độ mà quãng đường di chuyển đang thay đổi, vì thế tốc
độ dài bằng quãng đường di chuyển chia cho thời gian
trôi qua. Tốc độ góc là tốc độ mà góc ở tâm đang
thay đổi, vì vậy tốc độ góc là số rad góc thay đổi này
chia cho thời gian trôi qua.

TỐC ĐỘ DÀI VÀ TỐC ĐỘ GÓC
Giả sử một điểm di chuyển dọc theo một đường tròn bán kính r và tia từ tâm
đường tròn đến những điểm đi qua
rad trong thời gian t. Cho
là
khoảng cách điểm di chuyển trong thời gian t. Thì tốc độ của đối tượng được
cho bởi


11
VÍ DỤ 6 | Tìm tốc độ góc và tốc độ dài.
Một cậu bé quay một hòn đá được treo vào dây có độ dài 3 ft với tốc độ 15 vòng
trong 10 giây. Tìm vận tốc dài và vận tốc góc của hòn đá.

LỜI GIẢI Trong 10s, góc
tốc độ góc của hòn đá là

thay đổi 30 rad. Vì vậy

Khoảng cách mà hòn đá di chuyển được trong 10s là
Vì thế tốc độ dài của hòn đá là

 BÂY GIỜ HÃY THỬ LÀM BÀI TẬP 79
Chú ý rằng tốc độ góc không phụ thuộc vào bán kính của đường tròn, mà chỉ phụ
thuộc vào góc . Tuy nhiên, nếu ta biết tốc độ góc và bán kính r, ta có thể tìm tốc
độ dài như sau:
.
MỐI QUAN HỆ GIỮA TỐC ĐỘ DÀI VÀ TỐC ĐỘ GÓC
Nếu một điểm di chuyển dọc theo một đường tròn bán kính r với tốc độ góc
thì tốc độ dài của nó được cho bởi

,

VÍ DỤ 7 | Tìm tốc độ dài từ tốc độ góc
Một người phụ nữ đang đi một chiếc xe đạp với bánh xe có đường kính 26 inches.
Nếu bánh xe quay 125 vòng mỗi phút (vòng/phút), tìm tốc độ mà cô ấy di chuyển
theo dặm/giờ.
LỜI GIẢI Tốc độ góc của bánh xe là 2 .125 = 250 rad/phút. Khi bánh xe có bán
kính 13 in. (nửa đường kính), tốc độ dài là
v = r = 13. 250
10210,2 in./phút
Khi tốc độ dài là 12in./phút, 5280 ft/dặm, và 60 phút/giờ, tốc độ của cô ấy theo
dặm/giờ là

 BÂY GIỜ HÃY THỬ LÀM BÀI TẬP 81


12

6 .1 BÀI TẬP
KHÁI NIỆM
1. (a) Số đo radian của một góc là độ dài của _______ mà đối diện với góc trong
một đường tròn bán kính _______.
.
(b) Để đổi độ sang radian, ta làm phép nhân với _______.
(c) Để đổi radian sang độ, ta làm phép nhân với _______.
2. Góc ở tâm

được biểu diễn trong đường tròn bán kính r.

(a) Độ dài của cung đối diện với

là s = _______.

(b) Diện tích của hình quạt với góc ở tâm

là A = _______.

THỰC HÀNH
3–14 ■ Tìm số đo radian của góc với số đo độ đã cho.
3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15–26 ■ Tìm số đo độ của góc với số đo radian đã cho.
15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27–32 ■ Cho số đo một góc trong vị trí chuẩn. Tìm góc dương và góc âm mà khác
nhau 360o với góc đã cho.
27.

28.

29.

30.

31.

32.

33–38 ■ Cho số đo 2 góc trong vị trí chuẩn. Xác định các góc khác nhau 360o.

13
33.

34.

35.

36.

37.

38.

39–44 ■ Tìm một góc nằm trong khoảng từ 0o đến 360o mà khác nhau 360o với góc
đã cho.
39.

40.

41.

42.

43.

44.

45–50 ■ Tìm một góc nằm trong khoảng từ 0 đến 2 mà khác nhau 360o với góc đã

cho.
45.

46.

47.

48.

49.

50.

51. Tìm độ dài của cung s trong hình.

52. Tìm góc

trong hình.

53. Tìm bán kính r của đường tròn trong hình.

54. Tìm độ dài của cung đối diện với góc ở tâm 45o trong đường tròn bán kính 10m.


14
55. Tìm độ dài của cung đối diện với góc ở tâm 2 rad trong đường tròn bán kính 2
dặm.
56. Góc ở tâm trong đường tròn bán kính 5m là góc chắn cung có độ dài 6m. Tìm
số đo góc theo độ và radian.
57. Một cung có độ dài 100m đối diện góc ở tâm

50m. Tìm số đo góc theo độ và radian.

trong đường tròn bán kính

58. Cung tròn độ dài 3 ft đối diện với góc ở tâm 25o . Tìm bán kính của đường tròn.
59. Tìm bán kính của đường tròn nếu một cung có độ dài 6m đối diện với góc ở tâm
rad.
60. Tìm bán kính của đường tròn nếu một cung có độ dài 4 ft đối diện với góc ở tâm
135o.
61. Tìm diện tích của hình quạt biểu diễn trong mỗi hình.

62. Tìm bán kính của mỗi đường tròn nếu diện tích hình quạt là 12.

63. Tìm diện tích một hình quạt mà góc ở tâm là 1 rad trong đường tròn bán kính
10m.
64. Một hình quạt trong một đường tròn có góc ở tâm là 60o. Tìm diện tích hình quạt
nếu bán kính đường tròn là 3m.
65. Diện tích một hình quạt của một đường tròn với góc ở tâm 2 rad lad 16m2. Tìm
bán kính của đường tròn.
66. Một hình quạt của đường tròn bán kính 24 dặm có diện tích 288 m2. Tìm góc ở
tâm của hình quạt.
67. Diện tích của một hình tròn là 72 cm2. Tìm diện tích hình quạt của đường tròn
này mà góc ở tâm là
rad.


15
68. Ba đường tròn bán kính 1, 2 và 3 ft tiếp xúc ngoài với nhau, được biểu diễn
trong hình. Tìm diện tích hình quạt của đường tròn bán kính 1 mà cắt bởi 2 đoạn nối
tâm với tâm của 2 đường tròn khác.

ỨNG DỤNG
69. Khoảng cách di chuyển Bánh xe của một chiếc xe có đường kính là 28 in..
Chiếc xe sẽ di chuyển bao xa (theo dặm) nếu bánh xe quay 10000 lần mà không bị
trượt?
70. Sự quay của bánh xe Bánh xe đường kính 30 in. sẽ quay bao nhiêu vòng nếu
như chiếc xe di chuyển một khoảng cách là 1 dặm?
71. Vĩ độ Pittsburgh, Pennsylvania, và Miami, Florida, gần như trên cùng kinh
tuyến. Pittsburgh có vĩ độ 40,5oN, và Miami có vĩ độ 25,5oN. Tìm khoảng cách giữa
hai thành phố này. (Bán kính của Trái Đất là 3960 dặm).

72. Vĩ độ Memphis, Tennessee, và New Orleans, Louisiana, gần như trên cùng
kinh tuyến. Memphis có vĩ độ 35oN, và New Orleans có vĩ độ 30o N. Tìm khoảng
cách giữa hai thành phố này. (Bán kính của Trái Đất là 3960 dặm).
73. Quỹ đạo của Trái Đất Tìm khoảng cách mà Trái Đất di chuyển trong một
ngày trên đường đi của nó quanh Mặt Trời. Giả sử rằng một năm có 365 ngày và
đường đi của Trái Đất quanh Mặt Trời là một đường tròn bán kính 93 triệu dặm. [
Đường đi của Trái Đất quanh Mặt Trời thực ra là một elip với Mặt Trời là một tiêu
điểm (xem phần 10.2). Đây là elip, tuy nhiên tâm sai rất nhỏ, vì vậy nó gần như là
đường tròn.]


16

74. Chu vi của Trái Đất Nhà toán học Hy Lạp Eratosthenes (khoảng 276-195
trước Công nguyên) đã đo chu vi của Trái Đất từ các quan sát sau. Ông nhận thấy
rằng vào một ngày nào đó mặt trời chiếu trực tiếp xuống một giếng sâu ở Syene
(Aswan hiện đại). Cùng thời gian đó ở Alexandria, 500 dặm về phía bắc (trên cùng
một kinh tuyến), các tia sáng mặt trời đến thiên đỉnh một góc tới 7,2o. Sử dụng thông
tin này và hình để tìm bán kính và chu vi của Trái Đất.

75. Dặm hải lí Tìm khoảng cách dọc theo cung trên mặt ngoài của Trái Đất mà đối
diện với góc ở tâm 1' ( 1' =

độ). Khoảng cách này được gọi là 1 hải lí. (Bán kính

của Trái Đất là 3960 dặm).
76. Thủy lợi Một hệ thống thủy lợi sử dụng một ống dẫn thẳng dài 300 ft mà xoay
quanh một điểm trung tâm như hình vẽ. Do một trở ngại đường ống được phép xoay
quanh trụ chỉ 280o. Tìm diện tích được tưới bởi hệ thống này.


17
77. Thanh gạt nước kính chắn gió Đỉnh và đáy của thanh gạt nước kính chắn gió
cách điểm chốt lần lượt là 34 in. và 14 in. Khi đi vào hoạt động, thanh gạt nước quét
qua 135o. Tìm diện tích quét được cảu lưỡi gạt.

78. Dây buộc con bò Một con bò bị cột bởi một dây 100 ft ở góc bên trong của
một tòa nhà hình chữ L, như trong hình. tìm diện tích mà con bò có thể lướt qua.

79. Quạt Một cái quạt trần với cánh quạt 16 in. quay 45 vòng/phút.
(a) Tìm tốc độ góc của quạt theo rad/phút.
(b) Tìm tốc độ dài của đỉnh cánh quạt theo in./phút.
80. Cưa tròn Một cưa tròn có lưỡi bán kính 6 in.. Giả sử rằng lưỡi cưa quay 1000
vòng/phút.
(a) Tìm tốc độ góc của lưỡi cưa theo rad/phút.
(b) Tìm tốc độ dài của răng cưa theo ft/s.
81. Tay quay Một tay quay bán kính 2 ft đã đưa đống đồ
nặng lên. Nếu tay quay quay 8 vòng trong 15 s, tìm tốc độ mà
vật nặng đang đi lên.

18
82. Tốc độ của một chiếc xe hơi Bánh xe có bán kính 11 in. và quay 600
vòng/phút. Tìm tốc độ của chiếc xe theo dặm/giờ.
83. Tốc độ ở đường xích đạo Trái Đất quay quanh trục của nó mỗi lần 23 giờ 56
phút 4 giây, và bán kính của Trái Đất là 3960 dặm. Tìm tốc độ dài của điểm trên
đường xích đạo theo dặm/giờ.
84. Bánh xe tải Bánh xe của một xe tải có đường kính 48 in. di chuyển 50 dặm/giờ.
(a) Tìm tốc độ góc của bánh xe theo rad/phút.
(b) Bánh xe quay bao nhiêu vòng mỗi phút?
85. Tốc độ của dòng nước Để đo tốc độ của dòng nước, các nhà khoa học đặt một
bánh xe chèo thuyền trong dòng nước và quan sát tốc độ mà nó quay. Nếu bánh xe
chèo thuyền có bán kính 0,20 m và quay 100vòng/phút, tìm tốc độ của dòng theo
m/s.

86. Bánh xe đạp Các bánh răng và dây xích của một xe đạp được biểu diễn trong
hình. Đĩa có bán kính 4 in., líp có bán kính 2 in., và bánh xe bán kính 13 in.. Người
đi xe đạp đạp 40 vòng/phút.
(a) Tìm tốc độ góc của líp.
(b) Tìm tốc độ của xe đạp. (Giả sử rằng bánh xe quay với tốc độ tương tự như líp).

87. Cốc hình nón Một cốc hình nón được làm từ một mảnh giấy hình tròn với bán
kính 6 cm bằng việc cắt ra một hình quạt và liên kết các cạnh được thể hiện trên
trang tiếp theo. Giả sử = 5 /3.


19
(a) Tìm chu vi C của cốc đang mở.
(b) Tìm bán kính r của cốc đang mở. [Gợi ý: Sử dụng C = 2

.]

(c) Tìm chiều cao h của cốc. [Gợi ý: Sử dụng định lí Pytago.]
(d) Tìm thể tích của cốc.

88. Cốc hình nón Trong bài tập này ta tìm thể tích của cốc hình nón trong bài tập
87 cho bất kì góc .
(a) Thực hiện theo các bước trong bài tập 87 để chỉ ra rằng thể tích của cốc như một
hàm theo là
(b) Vẽ đồ thị của hàm V.
(c) Với góc

nào thì thể tích cốc lớn nhất?

KHÁM PHÁ  THẢO LUẬN  VIẾT
89. Những cách khác nhau của đo góc Các tùy chỉnh của việc đo góc sử dụng độ,
với 360o trong một đường tròn, trở lại những ngày của người Babylon cổ đại, là
những người đã sử dụng một hệ thống số dựa trên nhóm 60. Hệ thống khác của đo
góc chia đường tròn thành 400 đơn vị, được gọi là grads. Trong hệ thống này một
tam giác vuông là 100 grad, vì vậy điều này phù hợp với hệ thống cơ số 10 của
chúng ta.
Viết một bài luận ngăn so sánh lợi thế và bất lợi của hai hệ thống này và hệ thống
radian của việc đo góc. Bạn thích hệ thống nào? Tại sao?
90. Đồng hồ và góc Trong một giờ kim
phút trên một đồng hồ di chuyển qua một
vòng tròn hoàn chỉnh, và kim giờ di chuyển
qua của một vòng tròn. Kim phút và kim
giờ di chuyển giữa 1:00 P.M. và 6:45 P.M
qua bao nhiêu radian (trong cùng một

ngày)?


20

6.2 LƯỢNG GIÁC TRONG TAM GIÁC VUÔNG
Tỉ số lượng giác  Tam giác đặc biệt  Ứng dụng lượng giác của tam giác
vuông
Trong phần này ta nghiên cứu tỉ số nhất định của các cạnh trong tam giác vuông,
được gọi là tỉ số lượng giác, và đưa ra nhiều ứng dụng.

 Tỉ số lượng giác
Xét một tam giác vuông với góc nhọn. Tỉ số
lượng giác được định nghĩa dưới đây (xem
Hình 1).
HÌNH 1
CÁC TỶ SỐ LƯỢNG GIÁC

HIPPARCHUS
(khoảng 140 trước
Công nguyên) được
coi là người sáng lập
lượng giác. Ông ấy đã
xây dựng bảng cho
một hàm chặt chẽ có
liên quan đến hàm sin
và đã đánh giá cho góc
trong khoảng nửa độ.
Đây được coi là bảng
lượng giác đầu tiên.

Ông ấy đã sử dụng cái
bảng mình chủ yếu là
để tính toán quãng
đường đi của hành tinh
thông qua các tầng
trời.

Các biểu tượng ta sử dụng cho các chỉ số này là chữ viết tắt cho
tên đầy đủ của chúng: sine, cosine, tangent, cosecant, secant,
cotangent. Kể từ khi bất kì hai tam giác vuông với góc bằng
nhau, các tỉ số này là giống nhau, không kể đến kích thước của
tam giác; tỉ số lượng giác chỉ phụ thuộc vào góc (xem hình
2).


21
VÍ DỤ 1 | Tìm tỉ số lượng giác
Tìm 6 tỉ số lượng giác của góc

trong hình 3.
LỜI GIẢI:

HÌNH 3

 BÂY GIỜ HÃY THỬ LÀM BÀI TẬP 19

VÍ DỤ 2 | Tìm tỉ số lượng giác
Nếu cos

= , phác họa một tam giác vuông với góc nhọn , và tìm 5 công thức

lượng giác của .
LỜI GIẢI

HÌNH 4

Khi cos được định nghĩa là tỉ số của cạnh kề trên
cạnh huyền, ta phác họa một tam giác với cạnh
huyền độ dài 4 và cạnh độ dài 3 kề với góc . Nếu
cạnh đối là x, theo định lí Pytago, 32 + x2 = 42 hoặc
x2 = 7, vậy x =
. Ta sử dụng hình tam giác trong
hình 4 để tìm ra tỷ lệ.
sin
csc

=
=

cos

=

tan

=

sec

=

cot

=

BÂY GIỜ HÃY THỬ LÀM BÀI TẬP 19

 Tam giác đặc biệt
Tam giác vuông đã biết có tỉ số có thể được tính toán dễ dàng từ định lí Pytago. Kể
từ khi chúng được sử dụng thường xuyên, ta đề cập đến chúng ở đây.
Tam giác đầu tiên thu được bằng cách vẽ một đường chéo trong một hình vuông
cạnh 1 (xem hình 5). Theo đinh lí Pytago đường chéo này có độ dài
. Kết quả tam
o
o
o
giác có các góc 45 , 45 , và 90 (hay
,
và
). Để có được hình tam giác
thứ hai, chúng ta bắt đầu với một tam giác đều ABC cạnh 2 và vẽ đường trung trực