ToanCasio fx 570VN PLUS

TẠ DUY PHƯỢNG

MỘT SỐ TÍNH NĂNG VƯỢT TRỘI CỦA
MÁY TÍNH ĐIỆN TỬ CASIO fx-570VN PLUS

Hà Nội–2013


MỤC LỤC
Trang
Lời nói đầu........................................................................................... 4-5
Phần 1 Các tính năng vượt trội của CASIO fx-570VN PLUS trong
giải toán số học…........………………...................….............................6
Chương 1 Tìm thương và số dư….....…................................................6
§1 Tìm thương và số dư khi chia một số tự nhiên a có không quá 10
chữ số cho một số tự nhiên b ………………..............….........................6
§2 Tìm thương và số dư khi chia một số tự nhiên a cho một số tự nhiên

b khi a vượt quá 10 chữ số ……...………..................……................11
Chương 2 Tìm ước số chung lớn nhất của hai hay ba số trên CASIO
fx-570VN PLUS ...................................................................................16
§1 Tìm ước số chung lớn nhất của hai số ..………….........…………....16
§2 Tìm ước số chung lớn nhất của hai hay ba số không vượt quá 10 chữ
số trên CASIO fx-570VN PLUS ...…………………................…….…17
Chương 3 Tìm bội số chung nhỏ nhất của hai hay ba số trên CASIO
fx-570VN PLUS ...................................................................................19
§1 Tìm bội số chung nhỏ nhất của hai hay ba số…..…..............……....19
§2 Tìm bội số chung nhỏ nhất của hai hay ba số không vượt quá 10 chữ
số trên CASIO fx-570VN PLUS ………......….........................…….…19
Chương 4 Phân tích một số ra thừa số nguyên tố trên CASIO fx570VN PLUS ........................................................................................22
§1 Phân tích một số ra thừa số nguyên tố…..….....….........…...............22

§2 Phân tích một số ra thừa số nguyên tố trên máy tính CASIO fx-570VN
PLUS ...............…...…………......………….......….....................….…23

2


Phần 2 Các tính năng vượt trội của CASIO fx-570VN PLUS trong
giải toán đại số và giải tích…........……...............................................27
Chương 1 Dãy truy hồi.........................................................................27
§1 Các bài toán cơ bản …..…..............................................…...............27
§2 Các bài toán nâng cao ..….....................................…........................38
Chương 2 Tính toán với ma trận.........................................................39
§1 Các khái niệm cơ bản của đại số ma trận…..….....…........................42
§2 Tính toán với ma trận trên CASIO fx-570VN PLUS ............…….…47
Chương 3 Giải phương trình và hệ phương trình…….....................53
§1 Hệ phương trình bậc nhất ……...…..…................….........................53
§2 Giải phương trình và hệ phương trình trên CASIO fx-570VN
PLUS...................................................................................................…55
Chương 3 Tính giới hạn…........................................................…........57
Phần 4 Một số tính năng vượt trội khác của CASIO fx-570VN PLUS
…............................................…..………………...................................62
§1 Toán thống kê…..…...................................…....................................62
§2 Một số vấn đề khác........................................................................…65
Kết luận….....….....................................................................................67
Tài liệu tham khảo…................................................................…........70

3


LỜI NÓI ĐẦU

CASIO fx-570VN PLUS là máy tính điện tử khoa học mới, có những tính
năng giải toán tương đối hoàn hảo, kết hợp được những tính năng vượt
trội của CASIO fx-500MS, CASIO fx-570MS, CASIO fx-500ES, CASIO
fx-570ES, CASIO fx-570ES PLUS và CASIO fx-500 VN PLUS trong
cùng một máy.
CASIO fx-570VN PLUS rất thuận tiện trong giải các bài toán số học:
các bài toán chia có dư, tìm ước số chung lớn nhất và bội số chung nhỏ
nhất của hai hay ba số, phân tích một số ra thừa số nguyên tố.
Nếu các máy khác chỉ có phím Ans lưu kết quả của phép toán vừa
tính xong (cũng đã rất thuận lợi trong sử dụng, thí dụ, trong giải gần
đúng phương trình), thì CASIO fx-570VN PLUS còn được cài đặt phím

Pr eAns (tiền nghiệm-kết quả của phép tính được tính trước và được
khai báo nhờ bấm phím ALPHA Ans ) rất thuận tiện trong tính các
giá trị của dãy truy hồi cấp hai. Khác với một số máy khác, nghiệm phức
của phương trình bậc hai, bậc ba trên CASIO fx-570VN PLUS được viết
dưới dạng số phức a  bi thông thường. Sau khi giải phương trình bậc
hai, CASIO fx-570VN PLUS còn tính tọa độ đỉnh của Parabol. Ngoài ra,
CASIO fx-570VN PLUS còn có những tính năng vượt trội khác mà các
máy khác không có: Giải bất phương trình, lập bảng tính giá trị của một
hay hai hàm số,...Vì vậy, CASIO fx-570VN PLUS có thể được sử dụng
rất hiệu quả trong dạy và học trong các trường phổ thông và đại học.
Mục đích của Tài liệu này là giới thiệu các tính năng vượt trội của
CASIO fx-570VN PLUS không chỉ trong thực hành giải toán phổ thông,
mà còn cả trong giải các bài toán nâng cao (thi học sinh giỏi). Vì vậy, hy
vọng nó cũng có ích cho cả các sinh viên đại học và cao đẳng, nhất là
các sinh viên sư phạm Toán.

4

Nhằm giúp bạn đọc chưa bao giờ sử dụng máy tính, khi trình bày các qui
trình bấm phím, chúng tôi hướng dẫn tỉ mỉ thực hành các thao tác.
Theo quan điểm của tác giả, phổ biến một số loại máy với chức năng
tương đương hoặc vượt trội là có lợi cho người sử dụng. Với những ưu
điểm và tính năng khác nhau, các loại máy khác nhau có thể hỗ trợ và
liên kết nhau, giúp người sử dụng song song giải quyết những vấn đề mà
một máy không có khả năng hoặc đòi hỏi thao tác phức tạp. Giới thiệu tỉ
mỉ những ưu điểm và hạn chế của từng loại máy có lẽ cũng phần nào gợi
ý các nhà thiết kế cải tiến các loại máy hiện có để cho ra đời những máy
tính phù hợp hơn với người sử dụng, đặc biệt là với học sinh, sinh viên
và giáo viên phổ thông.
Tác giả cũng quan niệm rằng, việc sử dụng loại máy cụ thể nào trong
giảng dạy không quá quan trọng, vấn đề là các nội dung toán học mà
máy tính chuyển tải như một công cụ dạy học trợ giúp truyền thụ kiến
thức. Vì vậy, phần chính của cuốn sách là hướng dẫn sử dụng hiệu quả
máy tính trong học tập. Các thí dụ và bài tập được lựa chọn nhằm minh
họa khả năng làm giàu các kiến thức toán học nhờ máy tính, chứ không
chỉ dừng lại ở mức độ thực hành tính toán. Hy vọng các bạn đã sử dụng
máy tính VINACAL, SHARP hoặc các loại máy CASIO khác cũng có
thể tìm thấy những điều thú vị trong tài liệu này.
Tài liệu được biên soạn phù hợp với chương trình Toán Trung học cơ sở
và Trung học phổ thông. Hy vọng rằng, Tài liệu có thể được các giáo
viên, học sinh và sinh viên tham khảo, sử dụng trong dạy và học toán.
Do hạn chế về khuôn khổ của Tài liệu, nhiều tính năng của CASIO fx570VN PLUS còn chưa được khai thác hết. Hy vọng bạn đọc sẽ khám
phá thêm nhiều điều thú vị khi sử dụng CASIO fx-570VN PLUS.
Rất mong nhận được và chân thành cảm ơn những ý kiến đóng góp của
bạn đọc. Thư từ trao đổi xin được gửi về địa chỉ sau: PGS TS Tạ Duy
Phượng, Viện Toán học, 18 Hoàng Quốc Việt, Hà Nội.

Điện thoại:

0983605756; e-mail:
5


Hà Nội, 26 tháng 8 năm 2013
Tác giả

6


PHẦN 1
CÁC TÍNH NĂNG VƯỢT TRỘI CỦA CASIO fx-570VN
PLUS TRONG GIẢI TOÁN SỐ HỌC
Một trong những tính năng vượt trội của CASIO fx-570VN PLUS so với
các máy khác là máy đã được cài đặt chương trình để có khả năng giải
một số bài toán số học (tìm thương và số dư, tìm ước số chung lớn nhất
và bội số chung nhỏ nhất, phân tích một số tự nhiên ra thừa số nguyên
tố) chỉ bằng một lệnh (một thao tác).
CHƯƠNG 1 TÌM THƯƠNG VÀ SỐ DƯ
§1 Tìm thương và số dư khi chia một số tự nhiên a có không quá 10
chữ số cho một số tự nhiên b
Trước tiên ta nhớ lại
Định lí Với hai số tự nhiên a và b bất kì ( a  b ), bao giờ cũng tìm
được duy nhất các số q và r sao cho a  qb  r , trong đó 0  r  b.
Khi r  0 ta nói a chia hết cho b hay b chia hết a. Ta cũng nói a là
bội số của b hay b là ước số của a.
Thuật toán chia
Để chia một số tự nhiên a cho một số tự nhiên b ( a  b ), ta thực hiện

theo thí dụ sau.
Thí dụ Chia a  2572012 cho 209.
Giải Phân tích số a  2572012 theo cơ số 10 ta được

a  2572012  2570000  2000  000  10  2.
Lấy số 257 (2570000) chia cho 209 được 1, dư 48 (480000). Hạ 2
(2000) được 482. Chia 482 (482000) cho 209 được 2 dư 64 (64000). Hạ
0 (000) được 640. Chia 640 cho 209 được 3 dư 13 (1300). Hạ 1 (10)

7


được 131 không chia được cho 209. Hạ nốt 2 được 1312 chia 209 được 6
dư 58. Vậy a  2572012  209 12306  58.
Thuật toán chia được thực hiện trong Bảng 1 dưới đây. Thuật toán này
đã được lập trình để máy tính tự động thực hiện tính toán.
2 5 7 2 0 1 2 2 0 9
4 8 2

1 2 3 0 6

6 4 0
1 3 1 2
0 5 8
Bảng 1
Tìm thương và số dư khi chia một số tự nhiên a cho một số tự nhiên

b trên CASIO fx-570VN PLUS
Do đã được lập trình sẵn, CASIO fx-570VN PLUS có thể giải bài toán
tìm thương và số dư khi chia một số tự nhiên a cho một số tự nhiên b

chỉ bằng một lệnh (một thao tác) như sau.
Trước tiên bấm phím ON để mở máy.


Khai báo số bị chia a.



Bấm phím ALPHA  R (lệnh tìm thương và số dư).



Khai báo tiếp số chia, bấm phím = để được kết quả trên màn
hình: Q (Số thương Q), R= (Số dư R=).

Thí dụ 1.1 (Đề thi học sinh giỏi Giải toán trên máy tính cấp khu vực, Bộ
Giáo dục và Đào tạo, lớp 6, 7, 2001)
a) Tìm thương và số số dư khi chia 18901969 cho 2382001;
b) Tìm thương và số dư khi chia 3523127 cho 2047.
Cách giải 1 (trên CASIO fx-570VN PLUS)
a) Bấm phím

8


18901969 ALPHA  R 2382001 = (7, R=2227962)
Chú ý Từ nay về sau ta qui ước: Để tránh cồng kềnh, các số được viết
trực tiếp mà không viết trong các ô thể hiện phím bấm. Thí dụ, 2382001
không viết 2 3 8 2 0 0 1 . Đáp số là biểu thức được viết trong
ngoặc sau phím = . Thí dụ: = (7, R=2227962) nghĩa là thương bằng 7

và số dư bằng 2227962.
b) Bấm phím
3523127 ALPHA  R 2047 = (1721, R=240)
Vậy 3523127 chia cho 2047 được thương là 1721 và số dư là 240.
Lời bình 1.1 Sau khi khai báo số bị chia, chỉ bằng một thao tác

ALPHA  R và sau đó khai báo số chia, ta có ngay kết quả. Với các
máy tính khác (không có chức năng ALPHA  R ) để tìm thương và
số dư, ta phải sáng tạo vòng vo (thủ công, không cần thiết) như sau.
Cách giải 2 Lần lượt trừ số bị chia cho số chia cho tới khi được số nhỏ
hơn số chia, chính là số dư (trước khi trừ đưa số chia vào ô A để sử
dụng nhiều lần):
2382001 SHIFT STO A 18901969  ALPHA A  (165199
68)  ALPHA A  (14137967)  ALPHA A  (11755966
)  ALPHA A  (9373965)  ALPHA A  (6991964) 

ALPHA A  (4609963)  ALPHA A  (2227962)
Cách giải 3 Chia số bị chia cho số chia để tìm thương, rồi tìm số dư
bằng cách trừ số bị chia cho tích của phần nguyên của thương và số chia
(Phần nguyên của 7.93532101 bằng 7):
2382001 SHIFT STO A 18901969  ALPHA A  (7.93532
101)  ALPHA A  7  ALPHA A  (2227962)

9


Lời bình 1.2 Cách giải 2 sử dụng kĩ thuật trừ liên tiếp: lấy số bị chia liên
tiếp trừ cho số chia, cho tới khi được số nhỏ hơn số chia, đó chính là số
dư. Số lần trừ liên tiếp chính là thương. Cách này chỉ áp dụng được khi
thương tương đối nhỏ (thí dụ, thương là 7 trong câu a) và phải nhớ đã

trừ bao nhiêu lần.
Cách giải 3 sử dụng công thức a  b  c = b   c   r , trong đó  c  là
phần nguyên của c. Trước tiên ta đưa b vào ô nhớ B để sử dụng
nhiều lần, sau đó chia a cho b để được c (và nhìn màn hình để được
phần nguyên  c  ), rồi nhân lại với b (bằng cách gọi số b từ ô nhớ B

nhờ ALPHA B ) để được lại a , sau đó trừ đi b   c  (bấm phím

c 

ALPHA B ) để được số dư r.

b) 2047 SHIFT STO B 3523127  ALPHA B 
(1721.117245)  ALPHA B  1721  ALPHA B  (240.).
Lời bình 1.3 Trong thực tế, không thể áp dụng cách 2 (đã thực hiện tốt
để giải câu a)) vào câu b) vì số lần bấm phím quá lớn (1721 lần bấm dãy
phím  ALPHA B  ).
Lời bình 1.4 CASIO fx-570VN PLUS thật là đơn giản: Chỉ cần một
thao tác ALPHA  R là có thể tìm được thương và phần dư trong
phép chia với các số lớn. Không cần sáng tạo vòng vo!
Lời bình 1.5 CASIO fx-570VN PLUS thật là hữu ích: Có thể sử dụng
CASIO fx-570VN PLUS trợ giúp giải các bài toán chia hết (bài tập khó
của Toán Trung học cơ sở) như ví dụ dưới đây.
Thí dụ 1.2 Tìm a, b, c biết số 11a8b1987c chia hết cho 504.
Cách giải 1 (Toán kết hợp với máy tính) Vì 504  7  8  9 nên để

11a8b1987c chia hết cho 8 thì ba số tận cùng 87c phải chia hết cho 8.
Vì 87c  800  7c nên để 87c chia hết cho 8 thì c chỉ có thể bằng 2.
Số cần tìm có dạng 11a8b19872.
10

Để số đã cho chia hết cho 9 thì 37  a  b  36  1  a  b phải chia
hết cho 9, tức là a  b  1  9 hoặc a  b  1  18. Suy ra a  b  8
hoặc a  b  17.
Thử tất cả các trường hợp trên máy tính, ta có kết quả sau:

a

b

Số đã cho

504 = Thương

Dư

0

8

1108819872

2200039

216

1

7

1118719872

2219682

144

2

6

1128619872

2239325

72

3

5

1138519872

2258968

0

4

4

1148419872

2278610

432

5

3

1158319872

2298253

360

6

2

1168219872

2317896

288

7

1

1178119872

2337539

216

8

0

1188019872

2357182

144

8

9

1188919872

2358968

0

9

8

1198819872

2378610

432

Kết luận

Đáp số

Đáp số

Cách giải 2 (Suy luận toán học) Ta có

11a8b19872  1108018972  a0000000  b00000
 1108019872  a  10000000  b  100000
 158288553  7  1  a  1428571  7  3  b  14285  7  5 
 158288553  1428571a  14285b   7  3a  5b  1
 158288553  1428571a  14286b   7  3a  2b  1.
Như vậy, để số đã cho chia hết cho 7 thì 3a  2b  1 phải chia hết cho
7. Vì 3a  2b  1  3a  1  28 nên 3a  2b  1 chỉ có thể bằng một
trong các số: 0, 7, 14, 21, 28.

11


Vì số đã cho đồng thời phải chia hết cho 9 nên a và b đồng thời phải
thỏa mãn hai điều kiện: a  b  8 hoặc a  b  17 và 3a  2b  1
bằng một trong các số: 0, 7, 14, 21, 28.

Trường hợp 1 3a  2b  1  0. Từ điều kiện a  b  8 ta được

a  3, b  5.

Trường hợp 2 Hệ 3a  2b  1  7 và a  b  8 không có nghiệm
nguyên.
Trường hợp 3 Hệ 3a  2b  1  14 và a  b  8 không có nghiệm
nguyên.
Trường hợp 4 Hệ 3a  2b  1  21 và a  b  8 không có nghiệm
nguyên.
Trường hợp 5 Hệ 3a  2b  1  28 và a  b  8 không có nghiệm
nguyên.
Trường hợp 6 Hệ 3a  2b  1  0 và a  b  17 không có nghiệm
nguyên.
Trường hợp 7

a  8, b  9.

Hệ 3a  2b  1  7 và a  b  17 có nghiệm

Trường hợp 8 Hệ 3a  2b  1  14 và a  b  17 không có nghiệm
nguyên.
Trường hợp 9 Hệ 3a  2b  1  21 và a  b  17 không có nghiệm
nguyên.
Trường hợp 10 Hệ 3a  2b  1  28 và a  b  17 không có nghiệm
nguyên.
Đáp số: Số cần tìm là 1138519872 và 1188919872 .
Lời bình 1.6 Sử dụng máy tính hay hơn. Ta đã không phải suy nghĩ gì về
điều kiện chia hết cho 7, mà dùng máy tính để kiểm tra nó! Trong Cách
giải 2 (giải toán), ta cũng vẫn phải sử dụng máy tính trợ giúp các phép

toán trung gian (tìm phần dư của 1108019872 khi chia cho 7).
Bài tập

12


Lưu ý Với CASIO fx-570VN PLUS , nhiều bài tập trước đây phải thao
tác dài hơn (theo cách giải 2 hoặc cách giải 3), nay có thể rút ngắn nhờ
chỉ một lệnh ALPHA  R .
Bài 1.1 (Sở Giáo dục và Đào tạo Thái Nguyên, 2002-2003)
Tìm thương và số dư khi thực hiện phép chia:
(Lớp 12 Trung học phổ thông) số 123456789 cho 23456.
(Lớp 12 Trung học Bổ túc) số 3456789 cho 23456.
Bài 1.2 (Sở Giáo dục và Đào tạo Cần Thơ, 2001-2002)
(Lớp 6) Chia 6032002 cho 1905 có số dư là r1 . Chia r1 cho 209 có số
dư là r2 . Tìm r2 .
(Lớp 8) Chia 19082002 cho 2707 có số dư là r1 . Chia r1 cho 209 có số
dư là r2 . Tìm r2 .
(Lớp 8) Viết qui trình bấm phím tìm phần dư của phép chia 19052002
cho 20969.
(Lớp 9) Viết qui trình bấm phím tìm phần dư của phép chia 26031931
cho 280202.
Bài 1.3 (Sở Giáo dục và Đào tạo Cần Thơ, lớp 9, 2002-2003) Viết qui
trình bấm phím tìm phần dư của phép chia 21021961 cho 1781989.
Bài 1.4 (Sở Giáo dục và Đào tạo Hòa Bình, Trung học Cơ sở, 20072008) Tìm các số a và b biết 686430a8b chia hết cho 2008.
Bài 1.5 (Chọn đội tuyển. Sở Giáo dục và Đào tạo Thp Hồ Chí Minh)
Tìm số nhỏ nhất có 10 chữ số biết rằng số đó khi chia cho 5 dư 3 và khi
chia cho 619 dư 237.
§2 Tìm thương và số dư khi chia một số tự nhiên a cho một số tự
nhiên b khi a vượt quá 10 chữ số (vượt quá khả năng hiển thị của

máy tính khoa học)
Thí dụ 2.1 (Thi học sinh giỏi cấp khu vực, Bộ Giáo dục và Đào tạo,
Trung học Cơ sở, 2006) Tìm số dư trong mỗi phép chia sau:
a) 103103103: 2006;
13


b) 30419753041975: 151975;
c) 103200610320061032006: 2010.
Cách giải 1 (trên CASIO fx-570VN PLUS):
a) Bấm phím
103103103 ALPHA  R 2006 = (51397, R=721)
Như vậy, 103103103 chia cho 2006 được thương là 51397 và số dư là
721.
b) Vì số bị chia vượt quá 10 chữ số (vượt quá khả năng hiển thị trên màn
hình và có thể, vượt quá số lưu trong ô nhớ) nên nếu làm như câu a):
30419753041975 ALPHA  R 151975 = (200162875.7)
thì máy sẽ báo (200162875.7), tức là máy không sử dụng chương trình
tính thương và phần dư ALPHA  R mà thực hiện phép chia thông
thường:
30419753041975  151975 = (200162875.7)
Để tìm thương, ta có thể tiếp tục yêu cầu máy lấy phần nguyên (integerviết tắt Int) nhờ phím Int như sau:
30419753041975  151975 = (200162875.7) ALPHA Int =
(200162875)
Để tìm phần dư ta làm như sau:
30419753041975  151975  200162875 = (113850).
Vậy Q=200162875; R=113850.
Tuy nhiên, đáp số chưa thật làm ta yên tâm!
Nhận xét 2.1 Với các bài toán mà số bị chia vượt quá 10 chữ số, trên
thực tế lệnh ALPHA  R không làm việc. Tuy nhiên, ta vẫn có thể

sử dụng lệnh này như sau.

14


Cách 2 Biểu diễn số bị chia dưới dạng tổng một số có 10 chữ số (nhân
với lũy thừa của 10) và một số khác (có dưới 10 chữ số như trong câu b
và trên 10 chữ số như trong câu c):
30419753041975=30419753040000+1975= 3041975304  10000+1975.
Kết hợp tính trên máy và ghi kết quả ra giấy ta được:
3041975304 ALPHA  R 151975 = (20016, R=43704)
Tức là:
30419753041975=30419753040000+1975
=(20016  151975+43704)  10000+1975
=200160000  151975+437041975.
Chia tiếp 437041975 cho 151975:
437041975 ALPHA  R 151975 = (2875, R=113850)
Vậy cuối cùng ta có:
30419753041975=30419753040000+1975
=(20016  151975+43704)  10000+1975
=200160000  151975+437041975.
=200160000  151975+(2875  151975+113850)
=200162875  151975+113850.
Đáp số: Thương và số dư khi chia 30419753041975 cho 151975 tương
ứng là 200162875 và 113850.
c) Số bị chia là số có 21 chữ số. Trước tiên ta viết số bị chia thành tổng
11

một số có 10 chữ số (nhân với 10 ) và một số có 11 chữ số:
103200610320061032006=

(103200610300000000000+20061032006)
=1032006103  100000000000 + 20061032006.
Chia 1032006103 cho 1753:

15


1032006103 ALPHA  R 2010 = (513435, R=1753)
Vậy
103200610320061032006=
(103200610300000000000+20061032006)
=1032006103  100000000000 + 20061032006.
=(513435  2010 + 1753)  100000000000 + 20061032006
=51343500000000000  2010 + 175320061032006.
Vì 175320061032006 có 15 chữ số nên ta lại tách nó thành hai số:
175320061032006=175320061000000 + 32006
=1753200610  100000 + 32006
Tìm thương và số dư khi chia 1753200610 cho 2010:
1753200610 ALPHA  R 2010 = (872239, R=220)
Vậy
103200610320061032006=
(103200610300000000000+20061032006)
=1032006103  100000000000 + 20061032006.
=(513435  2010 + 1753)  100000000000 + 20061032006
=51343500000000000  2010 + 175320061032006.
=51343500000000000  2010+ (87223900000  2010 + 22000000)
+ 32006=51343587223900000  2010 + 22032006
Tìm thương và số dư khi chia 22032006 cho 2010:
22032006 ALPHA  R 2010 = ( 10961, R=396)
Vậy

103200610320061032006=
=51343587223900000  2010 + 22032006
=51343587223900000  2010 + 10961  2010 + 396
=51343587223910961  2010 + 396.

16


Đáp số: Thương và số dư khi chia 103200610320061032006 cho 2010
tương ứng là 51343587223910961 và 396.
Lời bình 2.1 Ta phải “sáng tạo vòng vo” như trên vì các máy tính khoa
học (máy tính bỏ túi, máy tính cầm tay) nói chung chỉ hiển thị được 10
chữ số trên màn hình. Sử dụng Caculator (cài đặt trên máy tính cá nhân
Personal Computer), ta không cần sáng tạo vòng vo này, do Caculator
có thể làm việc chính xác đến 32 chữ số:
Nháy chuột vào Caculator (trên máy tính cá nhân) và thực hiện phép
chia nhờ phím chia / theo Cách giải 3 trong Bài 1.1:
30419753041975 / 151975 = (200162875.7491363711136700115150
5)  151975  151975  200162875 = (113850)
Tương tự, 51343587223910961.197014925373134
103200610320061032006 / 2010 = (51343587223910961.197014925
373134)  2010  51343587223910961  2010 = (396)
Bài tập
Bài 2.1 (Đề thi Giải toán trên máy tính, Trung học Cơ sở, Bộ Giáo dục
và Đào tạo, 2009-2010)
Tìm số dư (trình bày cách giải) trong các phép chia sau:
1) 20092010: 2011 ;
2) 22009201020112012: 2020 ;
3) 1234567890987654321: 2010.
Bài 2.2 (Bộ Giáo dục và Đào tạo, Trung học phổ thông, 2003)

Tìm số dư khi chia số 20012010 cho số 2003.

17


CHƯƠNG 2 TÌM ƯỚC SỐ CHUNG LỚN NHẤT CỦA HAI
HAY BA SỐ TRÊN CASIO fx-570VN PLUS

§1 Ước số chung lớn nhất của hai số
Trước tiên ta nhớ lại
Định nghĩa 1 Ước số chung lớn nhất của hai số tự nhiên a và b là số
tự nhiên lớn nhất chia hết a và b.
Giả sử d là ước số chung lớn nhất (UCLN) của a và b. Khi ấy ta có

a da1
a
a

, trong đó 1 phải là phân số tối giản. Thật vậy, nếu 1 chưa
b db1
b1
b1
a1 ka2
phải là phân số tối giản, tức là

 k  1. Khi ấy
b1 kb2
a da1 dka2
và dk  d cũng là ước của của a và b. Mâu thuẫn



b db1 dkb2
với d là ước số chung lớn nhất của a và b.
Như vậy, để tìm UCLN của hai số a và b, trước tiên ta tối giản phân số

a
a
, được phân số 1 (tự động thực hiện trên máy sau khi khai báo phân
b
b1
số và bấm phím = ). Sau đó lấy a chia cho a1 (hoặc lấy b chia cho

b1 ), được thương bằng d , chính là UCLN của hai số a và b.
Thí dụ 1.1 (Sở Giáo dục và Đào tạo Thái Nguyên. Đề chọn đội tuyển thi
học sinh giỏi cấp khu vực, 2004)
Khai báo phân số

a
nhờ phím
b

và bấm phím = để được phân số tối

giản:
1754298000

75125232 = (

2125
).

91

Chia a  1754298000 cho 2125 (hoặc chia b  75125232 cho 91)
để được UCLN của a và b :
18


1754298000  2125 = (825552) hay 75125232  91 = (825552).
Đáp số: UCLN của a và b bằng 825552.
§ 2 Tìm ước số chung lớn nhất của hai hay ba số trên CASIO fx570VN PLUS
Qui tắc tìm ước số chung lớn nhất (Greate Common Division, viết tắt là
GCD) của hai số trình bày ở trên đã được lập trình và tính trên CASIO
fx-570VN PLUS như sau.
Mở máy: bấm phím ON


Khai báo lệnh GCD: ALPHA GCD (chức năng 3 của phím
dấu nhân  )



Khai báo các số, đánh dấu phẩy phân cách các số bằng cách bấm
phím SHIFT ,



Bấm phím = để được kết quả.

Thí dụ 2.1 (Sở Giáo dục và Đào tạo Thái Nguyên. Đề thi chọn đội tuyển
thi học sinh giỏi cấp khu vực, 2004)

Cho a =75125232, b =1754298000. Tìm UCLN của a và b.
Giải Toàn bộ qui trình bấm phím được viết như sau:

ALPHA GCD 1754298000 SHIFT , 75125232 = (825552)
Đáp số: USCLN của 1754298000 và 75125232 là 825552.
Để tìm ước số chung lớn nhất của ba số A, B, C trên CASIO fx-570VN
PLUS ta làm như sau.


Khai báo lệnh GCD: ALPHA GCD ALPHA GCD



Khai báo hai số A, B, đánh dấu phẩy phân cách các số bằng
cách bấm phím SHIFT ,
19




Đóng ngoặc bằng phím ) và khai báo số C



Bấm phím = để được kết quả.

CHƯƠNG 3 TÌM BỘI SỐ CHUNG NHỎ NHẤT CỦA HAI HAY
BA SỐ TRÊN CASIO fx-570VN PLUS
§1 Tìm bội số chung nhỏ nhất của hai hay nhiều số
Trước tiên ta nhớ lại

Định nghĩa 1.1 Bội số chung nhỏ nhất của hai số tự nhiên a và b là số
tự nhiên nhỏ nhất chia hết cho a và b.
Quan hệ giữa bội số chung nhỏ nhất (BCNN) và ước số chung lớn nhất
(UCLN) của hai số tự nhiên a và b được mô tả theo công thức sau:

BCNN  a, b  

ab
.
UCLN  a, b 

(1.1)

Như vậy, trước tiên ta tìm UCLN của a và b. Sau đó tìm BCNN của a
và b theo công thức trên.
Qui tắc trên có thể áp dụng để tìm BCNN của ba hay nhiều số.
§2 Tìm bội số chung nhỏ nhất của hai số hay nhiều số trên CASIO
fx-570VN PLUS
Qui tắc tìm bội số chung nhỏ nhất (Lower Common Multiple, viết tắt là
LCM) của hai hay ba số trình bày ở trên đã được lập trình tính trên
CASIO fx-570VN PLUS như sau.
Tìm BCNN của hai số:


Bấm phím ALPHA LCM . Trên màn hình hiện: LCM(.



Khai báo các số, đánh dấu phẩy phân cách các số bằng cách bấm
phím SHIFT ,


20

Bấm phím = để được kết quả.


Tìm BCNN của ba số A ; B ; C :


Bấm phím

ALPHA LCM ALPHA LCM . Trên màn

hình hiện: LCM(LCM(.


Khai báo số A , đánh dấu phẩy phân cách các số bằng cách bấm
phím SHIFT , , khai báo số B.



Đóng ngoặc bằng phím ) và khai báo số C .



Bấm phím = để được kết quả.

Thí dụ 2.1 Tìm BCNN của ba số A = 195; B = 1890; C = 1975.
Cách 1 Tối giản phân số

A
: 195
B

1890 = (

13
).
126

Vậy UCLN của A và B (kí hiệu là D ) là:
195  13 = (15) hay 1890  126 = (15).
Vậy D  15.
Tối giản phân số

D
: 15
C

1975 = (

3
).
395

Vậy UCLN( C , D ) bằng: 15  3 = (5) hay 1975  395 = (5).
Vậy UCLN( A, B, C ) = UCLN( C , D ) = 5.
Gọi E là bội chung nhỏ nhất của A và B . Khi đó

E  BCNN( A, B)  A  B : UCLN( A, B )= 24570.
Vì UCLN( A, B, C ) = 5 nên UCLN( E , C ) = 5.
Vậy bội chung nhỏ nhất của A, B, C bằng:

BCNN( A, B, C )  BCNN( E, C )  E  C : UCLN( E , C )
= (24570 1975) : 5  9705150.
Cách 2 Tìm BCNN của ba số A = 195; B = 1890; C = 1975 trên
CASIO fx-570VN PLUS:

21


ALPHA LCM ALPHA LCM 195 SHIFT , 1890 )
SHIFT , 1975 = (9705150)
Đáp số: BCNN của ba số A = 195; B = 1890; C = 1975 là 9705150.
Bài tập
Bài 2.1 (Sở Giáo dục và Đào tạo Hòa Bình, Trung học Cơ sở, 20052006) Tìm UCLN và BCNN của hai số

a =457410, b =831615.
Bài 2.2 (Sở Giáo dục và Đào tạo Sóc Trăng, Trung học Cơ sở, 20042005) Tìm UCLN và BCNN của hai số
1) a =9148, b =16632;

2) a =75125232, b =175429800.

Bài 2.3 (Thi giải toán trên máy tính, Tạp chí Toán Tuổi thơ 2, số 25 và
27, tháng 3 và tháng 5, 2005)
Tìm UCLN và BCNN của hai số a =3022005, b =7503021930.
Bài 2.4 (Thi giải toán trên máy tính, Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ, tháng
11, 2004 và tháng 1, 2005) Tìm UCLN và BCNN của hai số

a =1234566, b =9876546.
Bài 2.5 (Sở GD và ĐT Thái Nguyên, chọn đội tuyển, lớp 12, 2004)
Tìm USCLN của hai số a  1754298000 và b  75125232.
Bài 2.6 (Bộ Giáo dục Đào tạo, lớp 12, 2002) Tìm ước số chung lớn nhất
của hai số: a = 24614205, b = 10719433.
Bài 2.7 (Sở Giáo dục Đào tạo Đồng Nai, Phổ thông Trung học, 20022003) Tìm ước chung lớn nhất của hai số

A  1358024701; B  1851851865 .
Bài 2.8 (Sở Giáo dục Đào tạo Thừa Thiên-Huế, lớp 8, 9, 11, 2005)
Cho ba số A =1193984; B =157993; C =38743.
Tìm UCLN của ba số A, B, C ;
Tìm BCNN của ba số A, B, C với kết quả đúng.
22


Bài 2.9 (Bộ Giáo dục Đào tạo, Trung học Cơ sở, 2009-2010)
Cho a = 11994; b = 153923; c = 129935.
Tìm ƯCLN(a,b,c) và BCNN(a,b,c).
CHƯƠNG 4 PHÂN TÍCH MỘT SỐ RA THỪA SỐ NGUYÊN TỐ
TRÊN CASIO fx-570VN PLUS
§1 Phân tích một số ra thừa số nguyên tố
Trước tiên ta nhớ lại
Định nghĩa 1 Số nguyên tố là số chỉ chia hết cho 1 và chính nó.
Phân tích một số ra thừa số nguyên tố
Định lí 1.1 Mọi số tự nhiên đều có duy nhất một phân tích thành tích của
các thừa số nguyên tố, tức là mọi số tự nhiên a đều có thể viết được duy
nhât dưới dạng

a  p1 p2 ... pn , .
1

2

trong đó p1 ,..., pn là các số nguyên tố,

n

 i là các lũy thừa của pi .

Thuật toán đơn giản nhất phân tích một số a ra thừa số nguyên tố là
lần lượt kiểm tra số đó có là bội của các số nguyên tố pi ( pi lần lượt
bằng 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,...) không. Nếu có, ta được a  bpi i .


Tiếp tục kiểm tra số xem b có là bội của pi 1 hay không, trong đó pi 1
là số nguyên tố ngay sau pi trong bảng số nguyên tố.
Định lí 1.2 Nếu N là hợp số thì nó có thừa số nguyên tố p 
Dựa vào Định lí này ta chỉ cần tìm thừa số nguyên tố p 

N.

N.

Thí dụ 1.1 Phân tích số 29601 ra thừa số nguyên tố
Giải Rõ ràng 29601 không chia hết cho 2, cho 5, nhưng chia hết cho 3:

29601  9867  3.
Ta lại có 9867  3289  3. Vậy 29601  9867  3  3289  3 .
2

23


Vì 3289 không chia hết cho 3 nên ta kiểm tra xem 3289 có chia hết cho
7 không. Bấm máy ta được: 3289:7=469.8571429. Vậy 3289 không chia
hết cho 7.
Tiếp tục xem 3289 có chia hết cho 11 không: 3289  299 11.
Vì 299 không chia hết cho 11 nên ta kiểm tra tiếp xem 299 có chia hết
cho 13, 17, 19, 23 không.
Cuối cùng ta được 29601  3 1113  23.
2

Nhận xét 1.1

Số 29601 không quá lớn và phân tích ra thừa số tương

đối dễ (vì 29601 có các ước số nhỏ, chỉ là 3, 11, 13, và 23). Tuy nhiên
thuật toán phân tích ra thừa số nguyên tố được thực hiện bằng tay cho số
29601 cũng đã khá vất vả. Vì vậy hiện nay bài toán phân tích một số ra
thừa số nguyên tố thường được thực hiện trên máy tính với những phần
mềm dựa trên các thuật toán phân tích nhanh một số ra thừa số nguyên
tố. Bạn đọc có thể tìm hiểu thêm về những điều thú vị này trong:
Hà Huy Khoái, Phạm Huy Điển, Số học Thuật toán (Bộ sách Toán cao
cấp-Viện Toán học), Nhà xuất bản Đại học Quốc gia, Hà Nội, 2003.
§2 Phân tích một số ra thừa số nguyên tố trên CASIO fx-570VN
PLUS
Một trong những ưu điểm nổi trội nhất của CASIO fx-570VN PLUS so
với các máy tính khoa học (máy tính bỏ túi, máy tính cầm tay) khác là
chương trình phân tích một số ra thừa số nguyên tố đã được cài đặt sẵn
trong máy.

Để phân tích một số ra thừa số nguyên tố, ta lần lượt thực hiện các thao
tác sau.


Khai báo số tự nhiên cần phân tích ra thừa số nguyên tố và bấm
phím = . Trên màn hình hiện số đã cho.



Lệnh cho máy phân tích ra thừa số nhờ SHIFT FACT (Fact
-factor-phân tích ra thừa số).

24


Thí dụ 2.2 Phân tích số 8824575375 ra thừa số nguyên tố.
Giải Thực hiện qui trình bấm phím
8824575375 = SHIFT FACT ( 3  5  7  11 )
5

3

4

2

Thí dụ 2.3 Phân tích số 7396812423 ra thừa số nguyên tố.
Giải Thực hiện qui trình bấm phím
7396812423 = SHIFT FACT ( 3  7 1119  59  547 )
2

Lời bình 2.1 Với khả năng tính toán nhanh của các vi mạch điện tử, chỉ
trong chớp mắt, sau khi bấm phím = , CASIO fx-570VN PLUS có thể
phân tích một số khá lớn dưới 10 chữ số ra các thừa số nguyên tố có ba
chữ số. CASIO fx-570VN PLUS thật tuyệt vời!
Lời bình 2.2 Tuy nhiên, CASIO fx-570VN PLUS cũng còn có hạn chế:
CASIO fx-570VN PLUS chưa thể phân tích các số có chứa các số
nguyên tố lớn hơn bốn chữ số ra thừa số nguyên tố.
Thí dụ 2.4 (Sở Giáo dục và đào tạo Thừa Thiên-Huế, Trung học cơ sở,
2006-2007)
Phân tích số 9405342019 thành thừa số nguyên tố.
Giải Thực hiện qui trình bấm phím
9405342019 = SHIFT FACT (19  1371241 )
3

Thoạt nhìn, ta sẽ tưởng 1371241 là số nguyên tố. Nhưng nếu sử dụng
Maple, ta thấy
> ifactor(1371241);

11712
Như vậy, 1371241 được phân tích ra thừa số nguyên tố là

1371241  11712.
Cố gắng thử phân tích 1371241 ra số nguyên tố trên CASIO fx-570VN
PLUS:
25