Giải toán trên máy tính cầm tay

Chủ đề 1. SỐ HỌC
−−−

1. Tính tích
* Ví dụ 1: Tính 222 223 333×222 225 555

Giải
4

Ta có: 222223333 = 22222×10 + 3333
222225555 = 22222×104 + 5555
⇒ 222223333×222225555 = (22222×104 + 3333)( 22222×104 + 5555)
= 222222×108 + 22222×104(3333+5555) + 3333×5555
= 493817284×108 + 197509136×104 + 18514815
= 49381728400000000 + 1975091360000 + 18514815
= 49383703509874815
* Ví dụ 2: Tính 535 7912 + 421 9242.
Giải
2
11
Ta có: 535 791 = 2.870719957×10 (nhấn trực tiếp trên máy) ⇒ có 12 chữ số.
Có: 791×791 = 625681 ⇒ Ba chữ số cuối của 535 7912 là 681.
Vậy:
535 7912 = 287 071 995 681 (có 12 chữ số).
Tương tự: 421 9242 = 170 019 861 776
⇒ 535 7912 + 421 9242 = 457 091 857 457
BÀI TẬP
Bài 1. Tính chính xác các tích sau:
M = 2 222 255 555 x 2 222 266 666.
P = 3 333 355 555 x 3 333 377 777.
Q = 26031931 × 26032011

R = 20032003 x 20042004
Bài 2. Tính chính xác các tổng sau:
X = 130 3262 + 133 2072.
Y = 887 7522 + 89 6852.
Z = 1 234 5672 + 98 7612.
23

32

2
3
Bài 3. Cho các số sau: A = [(23)2]3; B = [(32)3]2; C = 2 ; D = 3 . Hãy so sánh A với B, C với D.
Bài 4. Một cái sân hình chữ nhật được lát gạch kín bởi các viên gạch hình vuông 5cm, xen kẽ một

viên màu đen với một viên màu trắng và không có hai viên nào cùng màu được ghép cạnh nhau
(Cho rằng diện tích phần tiếp giáp nhau giữa các viên gạch là không đáng kể). Nếu ở hàng thứ
nhất theo chiều rộng của sân này có 2011 viên màu đen và có tất cả
22 210 983 viên gạch đã được lát thì sân này có chiều dài và chiều rộng là bao nhiêu mét?
2. Tìm số dư trong phép chia a ÷ b
* Ví dụ 1: Tìm số dư khi chia 1 234 567 cho 23 456.
Giải
Bấm trực tiếp 1 234 567 ÷ 23 456 = .
Trên máy sẽ hiện kết quả của phép chia là 52.63331344. Ta ghi phần nguyên của kết quả
lại (52).
Tiếp tục bấm 1 234 567 − 23 456 × 52 = .
Máy hiện 14 855 chính là số dư cần tìm.
Anpha ÷R

− Đối với máy Casio fx 570VN-Plus, ta bấm 1234567
23456 = .

* Ví dụ 2: Tìm số dư khi chia 908 008 091 983 843 cho 2010.
Giải
* Nhận xét: Nếu đem 908 008 091 983 843 chia trực tiếp cho 2010 sẽ được thương là một
số có phần nguyên rất lớn và khi đem phần nguyên đó nhân lại với 2010 (giống ví dụ 1) thì chắc
chắn có sai số dẫn đến kết quả không chính xác.
Giải toán trên máy tính cầm tay®

21


Giải
Ta có: 908 008 091 983 843 = 9 080 080 919 . 100 000 + 83 843.
Lấy 9 080 080 919 đem chia tìm số dư cho 2010 được thương là 4 517 453 và dư là 389.
Tức là:
908 008 091 983 843 = (4 517 453 . 2010 + 389) . 100 000 + 83 843
= 4 517 453 . 2010 . 100 000 + 38 900 000 + 83 843
= 4 517 453 . 2010 . 100 000 + 38 983 843
Chia tiếp 38 983 843 cho 2010 được thương là 19394 và dư là 1903.
Tức là:
908 008 091 983 843 = 4 517 453 . 2010 . 100 000 + 19394 . 2010 + 1903
= (4 517 453 . 100 000 + 19394) . 2010 + 1903
Vậy số dư của phép chia là 1903.
Toàn bộ cách làm trên có thể mô tả như sau:
Ta lấy 10 chữ số dầu của 908 008 091 983 843 (là 9 080 080 919) đem chia tìm số dư cho
2010 như ví dụ 1 được kết quả là 389.
Viết liền sau 389 các chữ số còn lại của 908 008 091 983 843, ta được số 38983 843, lấy
38983843 đem chia tìm số dư cho 2010 như ví dụ 1 được kết quả 1903.
Kết quả 1903 là số dư cần tìm.
BÀI TẬP
Bài 5. Tìm số dư (trình bày cách giải) trong phép chia sau đây:

a) 2009201020112012 : 2011.
b) 1234567890987654321 : 2020.
c) 30 419 753 041 975 : 151 975.
d) 705159430041975 : 2091945.
Bài 6. Tìm dư trong phép chia sau:
a) 24 728 303 034 986 194 : 2 003.
b) 103 200 610 320 061 032 006 : 2 010.
c) 9876543210123456789 : 2009.
d) 262011198420112009 : 2015
3. Tìm ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ nhất của hai số a và b
* Ví dụ: Tìm UCLN của các cặp số sau:
a) 209 865 và 283 935.
b) 87 135 và 19 277 835.
Giải
a) 209 865 và 283 935.
Ta nhập vào máy: 209 865 a
283 935 = , trên máy hiển thị kết quả 17
Lúc này, UCLN = 209 865 ÷ 17 (hoặc 283 935 ÷ 23) = 12345.
b/c

23.

Anpha GCD

− Đối với máy Casio fx 570VN-Plus, ta bấm
(209 865, 283 935) = .
b) 87 135 và 19 277 835.
* Nhận xét: Ta thực hiện tương tự như câu a, trên màn hình sẽ hiện 4.519957765x10−3 mà
không thể chuyển về dạng phân số được!
B1: Tìm số dư của 19 277 835 khi chia cho 87 135 (như đã biết, vì 19 277 835 > 87 135)

Ta được kết quả là 21 000.
B2: Thay 19 277 835 bằng 21 000 rồi thực hiện tìm ước chung của 21 000 và 87 135 như
câu a. Ta được kết quả là 15.
* Chú ý:
− Nếu ở bước 2 mà kết quả vẫn chưa đưa lại thành phân số được thì làm lại như bước 1
với hai số ở bước 2, lặp lại đến khi tìm ra UCLN thì thôi.
− Tìm bội chung nhỏ nhất, ta lấy một trong hai số chia cho UCLN rồi nhân với số còn lại.
BÀI TẬP
Bài 7. Tìm UCLN, BCNN của các cặp số sau:

20

Giải toán trên máy tính cầm tay®


a) 9 474 372 và 40 096 920.
b) 58 288 288 và 14 777 888
c) 40 096 920 và 51 135 438.
d) 8 106 848 và 9 207 948
Bài 8. Tìm UCLN, BCNN của các cặp số sau:
a) 3 022 005 và 7 503 021 930.
b) 2 419 580 247 và 3 802 197 531.
c) 168 599 421 và 2 654 176.
d) 24 614 205 và 10 719 433.
Bài 9. Tìm ước chung lớn nhất của các cặp số sau:
a) 1234567890987654321 và 123456.
b) 147852369096325 và 2015.
c) 103200610320061032006 và 2010
Bài 10. Cho a = 22121, b = 34187, c = 46253. Tìm ƯCLN(a, b, c) và BCNN(a, b, c).
a

4. Viết phân số b duới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn. Tìm chu kì các chữ số sau dấu

phẩy trong phép chia
* Ví dụ 1: Tìm chu kì lặp lại của các chữ số sau dấu phẩy trong phép chia:
a) 2 306 : 15 873.
b) 21 : 17.
Giải
a) Bấm trên máy: 2 306 ÷ 15 873 = , kết quả hiển thị: 0.145278145.
Ta thấy dãy chữ số bắt đầu lặp lại từ 145 ở phía sau dãy số 145278. Vậy chu kì lặp lại của
các chữ số sau dấu phẩy trong phép chia trên là 145278. Ta có: 2 306 ÷ 15 873 = 0,(145278).
b) Nhận xét: Nếu đem chia 21 cho 17 trực tiếp, ta sẽ được kết quả: 1.235294118, trong dãy
số này, ta không tìm được sự lặp lại nào của các chữ số phía trước, điều này chứng tỏ chu kì của
phép chia này hơn 6 chữ số. Trường hợp này, ta xử lý như sau:
B1: Bấm chuyển sang MODE 4.
B2: Bấm 21O1000000P17Qy 21O1000000p17OM
Vậy 21 ÷ 17 = 1.(2352941176470588).
− Đối với máy Casio fx 570VN-Plus, kết quả tự hiển thị dạng thập phân vô hạn tuần hoàn,
dùng phím S ⇔ D để chuyển qua lại các dạng kết quả.
* Ví dụ 2: Tìm chữ số thứ 5010 phía sau dấu phẩy trong phép chia 21 : 17.
Giải
B1: Tìm chu kì lặp lại của các chữ số sau dấu phẩy trong phép chia 21 cho 17, ta được kết
quả: 21 ÷ 17 = 1.(235 294 117 647 058 8). Như vậy chu kì có 16 chữ số.
B2: Tìm số dư của 5010 khi chia cho 16 được kết quả là 2.
Vậy chữ số thứ 2 trong chu kì lặp lại là chữ số cần tìm. Kết quả: 3.
* Ví dụ 3: Tìm chữ số thứ 2011 phía sau dấu phẩy trong phép chia 4373 cho 33300.
Giải
B1: Tìm chu kì lặp lại của các chữ số sau dấu phẩy trong phép chia 4373 cho 33300, ta
được kết quả: 4373 ÷ 33300 = 0.13(132). Chu kì lặp lại là 132 có 3 chữ số. Nhưng trong số thập
phân vô hạn tuần hoàn trên có thêm chu kì tạp là 13 có 2 chữ số.
B2: Lấy 2011 − 2 = 2009 (2 là số chữ số trong chu kì tạp). Tìm số dư của 2009 khi chia cho

3, được kết quả: 2. Vậy chữ số thứ 2 trong chu kì lặp lại là chữ số cần tìm.
Kết quả: 3.
BÀI TẬP
17 23 10 469
;
;
;
Bài 11. Viết các phân số sau thành số thập phân vô hạn tuần hoàn: 23 31 23 775 .
Bài 12.
a) Tìm chữ số thập phân thứ 2012 trong phép chia số 5 cho 13.

b) Tìm chữ số thập phân thứ 1 000 000 trong phép chia 304 cho 1975.
Giải toán trên máy tính cầm tay®

21


Bài 13. Một mảnh sân hình chữ nhật có chiều rộng và chiều dài tương ứng là 7,6m và 11,2m được

lát kín bởi các viên gạch hình vuông có cạnh 20cm (Cho rằng diện tích phần tiếp giáp nhau giữa
các viên gạch là không đáng kể). Người ta đánh số các viên gạch được lát từ 1 cho đến hết. Giả
sử trên viên gạch thứ nhất người ta đặt lên đó 1 hạt đậu, trên viên gạch thứ hai người ta đặt lên đó
7 hạt đậu, trên viên gạch thứ ba người ta đặt lên đó 49 hạt đậu, trên viên gạch thứ tư người ta đặt
lên đó 343 hạt đậu,... và cứ đặt các hạt đậu theo cách đó cho đến viên gách cuối cùng ở trên sân
này. Gọi S là tổng số hạt đậu đã đặt lên các viên gạch của sân đó. Tìm 3 chữ số tận cùng bên phải
của số 6S + 5.
5. Quét các trường hợp
* Ví dụ 1: Tìm tất cả các số tự nhiên n (1010 ≤ n ≤ 2010) sao cho a n = 20203 + 21n cũng
là số tự nhiên.
Giải

Dùng máy, thay n = 1010 ta được an = 203.5018427; thay n = 2010 ta được
an = 249.8259394.
⇒ 203 < an ≤ 249.
Mặt khác,

n=

a 2n − 20203
21
.

A 2 − 20203
21
Bấm biểu thức sau:
(xem cách bấm phía dưới).
2
( Anpha
) ÷
x −

A

20203

21.

A 2 − 20203
21
Bấm CALC và thay A lần lượt bằng 203 đến 249, nếu biểu thức
nhận được

giá trị nguyên thì đó là các số n cần tìm.
Ta được:
n
1118
1158
1301
an
209
211
218

1406
223

1557
230

1601
232

1758
239

1873
244

− Đối với các dòng máy có hổ trợ lập bảng dữ liệu có thể dùng chức năng này để tính
toán đơn giản hơn.
* Ví dụ 2: Tìm các số chính phương:

a. A = 1415ab1641 biết a + b = 13.
b. B = 99cd13209 biết c2 − d2 = 21.
c. C = 993mn1729 biết C M9
Giải
a) Theo điều kiện a + b = 13 và 0 ≤ a, b ≤ 9 ta suy ra a, b có thể là các cặp sau:
(4; 9), (5; 8), (6; 7), (7; 6), (8; 5), (9; 4).
Dùng máy tính lần lượt kiểm tra

A với a, b là các cặp số trên, nếu cặp (a, b) nào làm cho

A có giá trị nguyên thì đó là cặp (a, b) cần tìm.

Kết quả: a = 9, b = 4. Số cần tìm 1415941641.
b) Ta phân tích c2 − d2 = (c + d)(c − d) = 21 = 3.7.
Vì 0 ≤ c, d ≤ 9 nên ⇒ c + d = 7, c − d = 3 ⇒ c = 5, d = 2. Thay vào thấy thỏa. Vậy số cần
tìm là 995213209.
c) Vì 993mn1729 chia hết cho 9 nên tổng các chữ số của nó chia hết cho 9.
Ta có: m + n + 4 chia hết cho 9.
20

Giải toán trên máy tính cầm tay®


Vì m, n ≤ 9 nên m + n + 4 ≤ 22 ⇒ m + n + 4 = 18 hoặc m + n + 4 = 9.
* Trường hợp 1: m + n + 4 = 18 ⇒ m + n = 14
Suy ra m, n có thể là một trong các cặp sau: (5; 9), (6; 8), (7; 7), (8; 6), (9; 5).
Dùng máy tính lần lượt kiểm tra
cho

B với m, n là các cặp số trên, nếu cặp (m, n) nào làm

B có giá trị nguyên thì đó là cặp (m, n) cần tìm.

Kết quả: m = 9, n = 5. Số cần tìm: 993951729.
* Trường hợp 2: m + n + 4 = 9 ⇒ m + n = 5.
Suy ra m, n có thể là một trong các cặp sau: (0; 5), (1; 4), (2; 3), (3; 2), (4; 1), (5; 0).
Dùng máy tính lần lượt kiểm tra
cho

B với m, n là các cặp số trên, nếu cặp (m, n) nào làm

B có giá trị nguyên thì đó là cặp (m, n) cần tìm.

Kết quả: Không số nào thỏa.
BÀI TẬP
a = 57121 + 35n
Bài 14. Tìm số tự nhiên n (1000 ≤ n ≤ 2000) sao cho n
là số tự nhiên.
Bài 15. Tìm các chữ số a, b, c, d để ta có: a5 × bcd = 7850.
Bài 16. Tìm các số chính phương có dạng:
a) P = 17712ab81, biết rằng a + b = 13.

b) Q = 15cd26849 , biết rằng c2 + d2 = 58.
c) M = 1mn399025 , biết M M9 .
Bài 17.
a) Tìm tất cả các số tự nhiên có 10 chữ số và tận cùng bằng 4 là lũy thừa bậc 5 của một số
tự nhiên.
b) Tìm tất cả các số tự nhiên có 10 chữ số và có chữ số đầu tiên bằng 9 là lũy thừa bậc 5
của một số tự nhiên.
Bài 18. Một số tự nhiên có bốn chữ số, biết rằng nếu viết thêm chữ số 1 vào bên trái và viết thêm

chữ số 8 vào bên phải của số đó thì được một số mới có sáu chữ số, đồng thời số này bằng 34 lần
số ban đầu. Hãy tìm số đó.
Bài 19. Tìm số 11a8b1987c , biết nó chia hết cho 504.
Bài 20. Tìm số 686430a8b , biết nó chia hết cho 2008.

6. Liên phân số
a. Định nghĩa
Cho a, b (a > b) là các số tự nhiên. Dùng thuật toán Euclide chia a cho b, giả sử được
b
a
1
= a0 + 0 = a0 +
b
b
b
a
b0 .
thương là a0 và dư là b0, phân số b có thể viết dưới dạng
b
Vì b0 là dư của phép chia a cho b nên b > b 0, lại tiếp tục biểu diễn phân số b 0 dưới dạng
b
b
1
= a1 + 1 = a 1 +
b0
b0
b0
b1 (a , b là thương và dư trong phép chia b : b ). Tiếp tục như vậy, quá trình sẽ
1

1

0

kết thúc sau n bước, và cuối cùng ta được:

Giải toán trên máy tính cầm tay®

21


a
= a0 +
b
a1 +

1
1
...a n −1 +

1
an

Cách biểu diễn như trên gọi là biểu diễn số hữu tỉ dưới dạng liên phân số. Người ta đã chứng
minh rằng mỗi số hữu tỉ chỉ có duy nhất một biểu diễn dưới dạng liên phân số. Liên phân số còn
được viết gọn dưới dạng [a0, a1, …, an].
b. Phương pháp tính
a
Để chuyển một phân số b thành một liên phân số, ta phải tìm dãy a 0, a1, a2, …, an. Ta thực

hiện như sau:
a
+ Thực hiện chia a ÷ b, ta được thương b , trong đó phần nguyên chính là a0.
a 
a
 
+ Trừ thương b cho  b  , rồi nhấn phím x−1 =. Khi đó phần nguyên của số vừa tìm được

chính là a1.
+ Trừ kết quả trên cho phần nguyên của nó rồi nhấn phím x−1 =. Khi đó phần nguyên của
số vừa tìm được chính là a2.
+ Lặp lại cho đến khi nhận được số cuối cùng là số nguyên.
Khi đó ta được dãy a0, a1, a2, …, an và viết lại dưới dạng liên phân số.
* Chú ý:
− Trong một vài trường hợp, số cuối cùng có thể nhận được không là số nguyên nhưng nó
có dạng x,9999… thì ta làm tròn thành x + 1.
− Cách này chỉ hiệu quả với các liên phân có số các a i tương đối ít, còn nếu nhiều thì cách
này gây ra sai số dẫn đến kết quả không đúng. Lúc này ta áp dụng định nghĩa là tốt nhất.
− Sử dụng phép chia lấy dư trên máy Casio 570VN Plus:
+ Lấy tử chia tìm dư với mẫu (gọi là số chia thứ 1), được thương là a 0 và dư r1.
+ Lấy số chia thứ nhất chia tìm dư với r1 (gọi là số chia thứ 2), được thương là a1 và dư r2.
+ Tiếp tục lấy số chia thứ hai chia tìm dư với r 2 (gọi là số chia thứ 3), được thương là a 2 và
dư r3.
+ Cứ lặp lại như thế cho đến khi dư cuối cùng là 0, ta được dãy [a 0; a1, a2, a3,…,an].
Để chuyển một liên phân số thành một phân số, ta làm như sau:
−1
−1
+ Bấm: an −1
an−1
an−2

an−3 … −1
a0
x = +
= x = +
= x = +
=
x = +
=.
Khi đó, ta được dạng phân số của liên phân số [a0, a1, a2, …, an].
BÀI TẬP
15
1
=
17 1 + 1
Bài 21. Biết:

a+

1
b , a, b là các số dương, hãy tìm a, b.

Bài 22. Tính và viết kết quả dưới dạng phân số:

20

Giải toán trên máy tính cầm tay®


A=

2+

20
1
3+

B=
1

1
4+
5

1)
Bài 23. Tính và viết kết quả dưới dạng phân số:
A = 3+

2
5+

1
6+

2)

1
1
8

7+

5
2+

4
2+

B=7+

5
2+

1)

4
2+

5
3

1
3+

1
3+

2)
329
=
1051 3 +

1
3+

1
4

1
1
5+

Bài 24. Tìm các số tự nhiên a, b biết rằng:
Bài 25.

1
a+

1
b .

a) Tìm giá trị của x biết:
x
2007 +

=

1
2008 +

1

2009 +

3
1+

1
2010 +

2+

1
2011 +

14044
= 1+
12343
7+

b. Tìm x,y biết :

2

1
2
1

2
3+

2

4+

2
5+

2
5

1
3+

1
1+

1
9+

1
x+

1
y

Bài 26. Tìm x thỏa mãn đẳng thức sau đây :
x
2011
1993 −
2010
1994 +
2009

1995 −
2008
1996 +
2007
1997 −
2006
1998 +
2005
1999 −
2004
2000 +
2003
2001 −
2002

Giải toán trên máy tính cầm tay®

=

4
63 +

6
11 −

3
2011

21

Ch 2. TNH GI TR CA BIU THC
BI TP
Bi 27. Tớnh giỏ tr ca biu thc (Kt qu ly 6 ch s thp phõn):
2
x 2 2xy x + 2y
x=
, y = 0, 29.
3
2
3
3x 3x + 2x 2 ti
a)


x 1
2 x
B = 1 +
:

ữ

ữ
ữ
ữ
x + 1 x 1 x x + x x 1 , ti x = 143,08.
b)
A=

x 1

1
8 x 3 x 2
C =

+
ữ: 1
ữ
3 x 1 3 x + 1 9x 1 ữ
3 x +1 ữ



, ti x = 2.
c)

Vi giỏ tr no ca x thỡ C = 1?

x
x +2
x +3
x +2
P = 1
:
+
+
ữ

ữ

x +1 ữ

x 2 3 x ữ

x 5 x +6
, ti x = 4 2 3.
d)
98
97
96
x + x + x + ... + x + 1
A = 32
x + x 31 + x 30 + ... + x + 1 khi x = 2.
e)

Bi 28. Tớnh giỏ tr biu thc:

a+ b
a b a + b + 2ab
P =
+
ữ: 1 +
ữ
1 ab
1 + ab ữ
1 ab


Ti

a=

2
, b = 2009
2+ 3
(Kt qu ly 6 ch s thp phõn).

Bi 29. Cho x1000 + y1000 = 6,912; x2000 + y2000 = 33,76244. Tớnh x3000 + y3000.
Bi 30. Tớnh giỏ tr ca cỏc biu thc sau:
A=

1
1
1
1
+
+
+ ... +
1+ 2
2+ 3
3+ 4
2010 + 2011 .

B = 1981945 + 291945 + 831910 + 2631931 + 322011
C=

1
1
4
1
+
+

+ ... +
1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6
2011.2012.2013.2014

D = 1+

1 1
1 1
1
1
+ 2 + 1 + 2 + 2 + ... + 1 +
+
.
2
2
1 2
2 3
2009 20102

E = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + ....
1 4 4 4 4 4 4 4 2 4 4 4 4 4 4 43
voõ haùn daỏu caờn

Bi 31. Tớnh giỏ tr biu thc:
3x 5 y3 4x 3 y2 + 5x 2 y 6x
P(x, y) =
x 3 y 3 + 2x 2 y 2 + 3xy + 4 vi x = 2,34567; y = 6,54321.
Bi 32. Vit giỏ tr ca biu thc sau di dng s thp phõn:

20

Gii toỏn trờn mỏy tớnh cm tayđ


A=

sin 2 35o 25'− 3sin 54o35'sin 35o 25'+ 5sin 2 54o35'
3sin 2 35o 25'− sin 2 54o35'+ 1

Bài 33. Tính giá trị các biểu thức:

 1 3   3 1   3 4  
 + ÷:  − ÷.  + ÷
 2 4   7 3   7 5  
A=
 7 3   2 3   5 3  
 + ÷.  + ÷.  − ÷
 8 5   9 5   6 4  
sin 2 35o.cos3 20o − 15 tan 2 40o.tan 3 25o
B=
3 3 o
sin 42
4

Bài 34. Tính giá trị của mỗi biểu thức sau:
A=

9,87 2 × 6,543 ÷ 3, 214
5
6

1  3 5   7 9  
+
−
−

÷ 
÷
11  13 17   19 23  

3

7

5

B= 2 + 3 4 + 5 6 + 7 7 8 + 9 9 10 + 1111 12
Bài 35. Biết rằng x là một số thực khác 0, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
Q=

2010, 2011x 2 − 2x + 2012, 2013
2014, 2015x 2

 2 2 2 22 22
1 1 1 
2 − + 2 + 3 1+ + 2 + 3 ÷

1
7 7 7 :
3 3 3 ÷: 201120112011
M = 3 ×

2 2 2 201220122012
2  1− 1 + 1 + 1
2+ + 2 + 3 ÷

2
3
7 7 7
3 3 3 ÷


Bài 36. Tính
2a + 3b = 2, 211
3a 3 + 4a b + 5b a + b 3
G=

2a 5 + 3a 2 b 3 + b 2 a 3 biết 5a − 7b = 1,946
Bài 37. Tính giá trị biểu thức sau:

x − x +1   x +1
2 x 
H =  x +
:
−
÷

 x x −1 x + x +1 ÷
÷
x −1 ÷




 với x = 169,78.
Bài 38. Tính giá trị biểu thức:
Bài 39. Rút gọn các biểu thức sau:

( 3+ x ) −( 2 − x )
a) A =
2

b) B =

2

(

1+ 2 x

x −2
x−4

)+

2

(x > 0)

x
(x ≥ 0, x ≠ 4)
x +2

x2 + x
2x + x
−
+ 1 (x > 0)
x − x +1
x

x +2
x +1
3 x −1
d) D = 
−
+
 x +1
x −3
x +1 x − 3

c) C =

(

)(

Giải toán trên máy tính cầm tay®

)


÷: 1 − 1 
÷

÷ 
x −1 


21


Chủ đề 3. LÝ THUYẾT ĐỒNG DƯ
−−−−
1. Định nghĩa
Cho a, b là các số nguyên, m là số tự nhiên khác 0.
* Định nghĩa: Nếu a và b có cùng số dư khi chia cho m, ta nói a đồng dư với b theo môđun m. Kí hiệu: a ≡ b (mod m).
* Ví dụ: Ta có: 1987 chia cho 53 dư 26; 4 637 chia cho 53 dư 26. Ta nói
1987 ≡ 4637(mod 53) hay 4637 ≡ 1987 (mod 53).
2. Tính chất
2.1) Nếu a ≡ b (mod m) thì:
i) (a − b)  m.
ii) a = m.k + b với k ∈ Z.
*Chứng minh:
i) Vì a, b có cùng số dư khi chia cho m nên sẽ tồn tại các số nguyên r, q 1, q2 sao cho:
a = m.q1 + r; b = m.q2 + r
⇒ a − b = m.q1 + r − (m.q2 + r) ⇔ a − b = m.(q1 − q2)  hay (a − b)  m 
ii) Từ  ⇒ a = b + m.(q1 − q2).
Đặt k = q1 − q2 (k ∈ Z), ta được: a = mk + b 
Ngoài ra, nếu có (a − b)  m ta cũng chứng minh được a ≡ b (mod m).
Thật vậy, vì (a − b)  m nên a − b = m.k (với k ∈ Z) ⇒ a = b + mk (*).
Giả sử a chia m được thương là q, dư là r tức là a = m.q + r, thay vào đẳng thức (*), ta được:
mq + r = b + mk ⇔ b = m(q − k) + r
đẳng thức chứng tỏ b chia m cũng có số dư là r suy ra a ≡ b (mod m) 

2.2) Nếu a ≡ b (mod m) và b ≡ c (mod m) thì:
i) b ≡ a (mod m).
ii) a ≡ c (mod m).
* Chứng minh:
i) b ≡ a (mod m) là hiển nhiên theo định nghĩa.
ii) Theo giả thiết và từ 2.1i) ta có: (a − b)  m ; (b − c)  m 
Từ ,  ⇒ [(a − b) + (b − c)]  m ⇔ (a − c)  m ⇒ a ≡ c (mod m) 

2.3) Nếu a ≡ b (mod m) và c ≡ d (mod m) thì:
i) (a ± c) ≡ (b ± d) (mod m).
ii) a.c ≡ b.d (mod m).
* Chứng minh:
i) Từ 2.1) ⇒ a − b = mk1 ; c − d = mk2 
Cộng vế theo vế hai đẳng thức, ta được:
(a + c) − (b + d) = m(k1 + k2)
⇒ (a + c) − (b + d)  m
⇒ (a + c) ≡ (b + d) (mod m)

Chứng minh tương tự cũng được: (a − c) ≡ (b − d) (mod m)

ii) Từ  ⇒ c(a − b) = mk1c ⇔ ac − bc = mk1c 
Từ  ⇒ b(c − d) = mk2b ⇔ bc − bd = mk2b 
Cộng vế theo vế  và  ta được:
ac − bc + bc − bd = mk1c + mk2b ⇔ ac − bd = m(k1c + k2b)
⇒ (ac − bd)  m ⇒ ac ≡ bd (mod m) 

* Hệ quả: Nếu a ≡ b (mod m), k là số nguyên bất kì thì:
20

Giải toán trên máy tính cầm tay®

i) (a ± k) ≡ (b ± k) (mod m).
ii) a.k ≡ b.k (mod m).
iii) a + k.m ≡ b (mod m).
iv) ak ≡ bk (mod m).
*Chứng minh:
i), ii) Áp dụng 2.3i) cho cặp đồng dư thức a ≡ b (mod m) và k ≡ k (mod m)
⇒ (a ± k) ≡ (b ± k) (mod m) và ak ≡ bk (mod m).
iii) Vì km  m nên km ≡ 0 (mod m). Áp dụng 2.3i) cho cặp đồng dư thức a ≡ b (mod m) và
km ≡ 0 (mod m) ⇒ a + k.m ≡ b (mod m) 
iv) Áp dụng 2.3ii) liên tục k lần cho đồng dư thức a ≡ b (mod m) với chính nó ta được:
ak ≡ bk (mod m) 

* Nhận xét: Để tìm số dư của a n khi chia cho m, ta chỉ việc tìm số đồng dư với a khi chia
cho m (giả sử tìm được là b) rồi tìm dư của b n khi chia cho m. Do đó ta nên chọn b sao cho nhỏ
nhất hoặc dễ tính toán nhất.
* Ví dụ: Tìm số dư của 497 20710 khi chia cho 173.
Giải
10
Ta có: 497 207 ≡ 5 (mod 173) ⇒ 497 207 ≡ 510 (mod 173).
Mà 510 = 9 765 625 ≡ 121 (mod 173). Vậy số dư của 497 20710 khi chia cho 173 là 121.
2.4) Cho a ≡ b (mod m)
i) Nếu  là một ước chung của a và b nhưng nguyên tố cùng nhau với m thì:
a b
≡ (mod m)
δ δ

ii)

Nếu c là một số nguyên dương thì:
a.c ≡ b.c (mod m.c)
iii) Nếu  là một ước chung của a, b và m thì:
a b
m
≡ (mod )
δ δ
δ

iv)

Nếu  là một ước của m thì:

* Chứng minh:

a ≡ b (mod )

a b
δ  − ÷ Mm
i) Vì a ≡ b (mod m) ⇒ (a − b)  m ⇔  δ δ 
. Tuy nhiên (δ, m) = 1 nên
a b
≡ (mod m)
⇒ δ δ


a b
 − ÷ Mm
δ δ

ii) Vì a ≡ b (mod m) ⇒ (a − b) = mk ⇔ c(a − b) = mkc ⇔ ac − bc = mkc
⇒ (ac − bc)  m.c ⇒ ac ≡ bc (mod m.c) 

m
a b
a b m
δ  − ÷ = δ. .k ⇔  − ÷ = .k
δ
δ δ δ
iii) Vì a ≡ b (mod m) ⇒ (a − b) = mk ⇔  δ δ 
(vì δ là ước chung của

a, b và m).

a b m
a b
m
≡ (mod )
 − ÷M
δ 
⇒ δ δ δ ⇒ δ δ

iv) Vì a ≡ b (mod m) ⇒ (a − b)  m ⇒ (a − b)  δ (vì δ là ước của m) hay a ≡ b (mod δ) 

2.5) Nếu a ≡ b (mod m) thì ta có thể thay thừa số a bởi thừa số b (hoặc ngược lại) trong
các biểu thức tính chia tìm số dư khi chia cho m.
* Ví dụ: Tìm số dư của (12471. 2541 + 365421. 5841) : 2013.
Ta có: 12471≡ 393 (mod 2013); 2541 ≡ 528 (mod 2013); 365421 ≡ 1068 (mod 2013);
5841 ≡ 1815 (mod 2013)
Giải toán trên máy tính cầm tay®

21


⇒ (12471. 2541 + 365421. 5841) ≡ (393. 528 + 1068. 1815) (mod 2013)
Hay (12471. 2541 + 365421. 5841) ≡ 2145924 (mod 2013) ≡ 66 (mod 2013)
Vậy số dư cần tìm là 66.
3. Định lý Euler (Ơ-le)
3.1) Hàm Euler:
Cho số tự nhiên m. Số các số nhỏ hơn m và nguyên tố cùng nhau với m được gọi là giá trị
hàm Euler của m. Kí hiệu ϕ(m).
* Ví dụ:
− Ta thấy các số nhỏ hơn 13 và nguyên tố cùng nhau với 13 là: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,
11, 12. Có 12 số. Vậy ϕ(13) = 12.
− Ta thấy các số nhỏ hơn 25 và nguyên tố cùng nhau với 25 là: 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 12,
13, 14, 16, 17, 18, 19, 21, 22, 23, 24. Có 20 số. Vậy ϕ(25) = 20.
* Nhận xét:
− Nếu p là một số nguyên tố thì ϕ(p) = p − 1.
− Trường hợp tổng quát, nếu m là một số tự nhiên bất kì, có dạng phân tích tiêu chuẩn là:
m = p1α1 .pα2 2 ...p αk k

(Với p1, p2, … là các thừa số nguyên tố, α1, α2, … là các số mũ).
Thì giá trị hàm Euler của m được xác định bởi công thức:

1
1  
1 
ϕ(m) = m. 1 − ÷. 1 − ÷... 1 − ÷
 p1   p 2   p k 

* Ví dụ:
 1
4
1− ÷

Ta có: 25 = 52 ⇒ ϕ(25) = 25.  5  = 25. 5 = 20.
 1  1
1 2
1 − ÷. 1 − ÷
.

Ta có: 12 = 22.3 ⇒ ϕ(12) = 12.  2   3  = 12. 2 3 = 4.

3.2) Định lí Euler: Cho hai số nguyên a, m, a nguyên tố cùng nhau với m, m > 0 khi đó ta
có:
a ϕ(m) ≡ 1 (mod m)

* Ví dụ 1: Tìm số dư của 3n khi chia cho 10.
Giải
Ta thấy 3 và 10 nguyên tố cùng nhau.
Gọi a (0 ≤ a < 4) là số dư của n khi chia cho 4 ⇒ n = 4.k + a.
Mặt khác, ta có ϕ(10) = 4.
⇒ 34 ≡ 1 (mod 10)
⇒ 34.k ≡ 1 (mod 10)
⇒ 34k.3a ≡ 3a (mod 10)
⇒ 34k + a ≡ 3a (mod 10) hay 3n ≡ 3a (mod 10).
Ta lại có:
30 = 1 ≡ 1 (mod 10); 31 = 3 ≡ 3 (mod 10); 32 = 9 ≡ 9 (mod 10); 33 = 27 ≡ 7 (mod 10).
Vậy số dư của 3n khi chia cho 10 là:
1 nếu n chia hết cho 4.

3 nếu n chia cho 4 dư 1.
9 nếu n chia cho 4 dư 2.
7 nếu n chia cho 4 dư 3.
* Ví dụ 2: Tìm số dư của 497 2072590 khi chia cho 173.
Giải
20

Giải toán trên máy tính cầm tay®


tố).

Ta có: 497 207 = 173. 2874 + 5 ⇒ 497 207 và 173 nguyên tố cùng nhau (vì 173 là số nguyên
Ta có: ϕ(173) = 172.
⇒ 497 207172 ≡ 1 (mod 173).
⇒ (497 207172)15 ≡ 1 (mod 7) hay 497 2072580 ≡ 1 (mod 7).
⇒ 497 2072580. 497 20710 ≡ 497 20710 (mod 7).
Ta có: 497 207 ≡ 5 (mod 173) ⇒ 497 20710 ≡ 510 (mod 173).
Mà 510 = 9 765 625 ≡ 121 (mod 173).
⇒ số dư của 497 20710 khi chia cho 173 là 121.
Vậy số dư của 497 2072590 khi chia cho 173 là 121.
* Nhận xét: Cho a, m là hai số nguyên tố cùng nhau, m > 0.
Nếu n ≡ r (mod ϕ(m)) và a ≡ b (mod m) thì an ≡ br (mod m).

* Để tìm số dư khi chia an cho m (giả thiết a, m nguyên tố cùng nhau ), ta làm
như sau:
 Tìm ϕ(m).
 Tìm số dư trong phép chia n : ϕ(m), giả sử được là r (Làm nhỏ số mũ).
 Tìm số dư trong phép chia a : m, giả sử được là b (Làm nhỏ cơ số).
 Tìm số dư trong phép chia br : m. Đây cũng là số dư của phép chia an : m.

* Trường hợp không thể áp dụng phương pháp trên, ta buộc phải phân tích a thành nhiều
thừa số rồi áp dụng tính chất 2.3 để tìm dư.
BÀI TẬP
Bài 40. Tìm chữ số tận cùng của:
a) 19921993.
b) 20092008.
c) 252011.
d) 1642003.
e) 132009.
f) 2007141.
Bài 41. Tìm 3 chữ số tận cùng của 172010.
Bài 42. Tìm số dư của phép chia sau:
a) 176 59427 : 293.
b) 736 : 2003.
c) 20092010 : 2011
d)176 59439 : 293.
e) 122008 : 5.
f) 20082009 : 11.
Bài 43. Tìm số dư trong phép chia 192008 + 72008 cho 27.
Bài 44.
a) Tìm chữ số thập phân thứ 122008 trong phép chia 64 cho 31.
b) Tìm chữ số thập phân thứ 122005 trong phép chia 10 000 cho 17.
c) Tìm chữ số thập phân thứ 25102008 sau dấu phẩy của phép chia 1 cho 23.
Bài 45. Tìm số dư trong phép chia 2014380 cho 2015.
Bài 46. Tìm số dư trong phép chia 12403396 cho 29.
Bài 47. Tìm số dư của phép chia 2015109 + 201667 + 6789456 cho 59.
Bài 48. Tìm số dư khi chia A = 5 + 52 + 53 + 54 + … + 52015 cho 23.
Bài 49. Cho đa thức P(x) = 1 + x + x2 + x3 + … + x2016.
a) Tìm số dư khi chia P(11) cho 51.
b) Tìm số dư khi chia P(2) cho 2015.

Bài 50. Tìm số dư khi chia A = 23 + 34 + 45 + … + 1011 cho 17.

−−−−

Giải toán trên máy tính cầm tay®

21


Chủ đề 4. ĐA THỨC
−−−
1. Tính giá trị của đa thức
* Ví dụ: Tính giá trị của đa thức x4 + 5x3 − 3x2 + x − 1 khi x = 1,35627.
Giải
Nhập vào máy (570MS) như sau:
Anpha

2
Anpha
Anpha
Anpha
A ^ 4+5
A ^ 3−3
A x +
A − 1.

Nhấn CALC , máy hiện A ? nhập vào 1.35627, nhấn = .
Kết quả: 10.69558718.
BÀI TẬP
Bài 51. Tính P(x) = 17x − 5x + 8x +13x − 11x − 357 khi x = 2,18567.

Bài 52. Cho đa thức f(x) = 3x5 + 5x3 + 7x + 2010.
5

 1
f  − ÷; f
Tính f(2);  2 

4

3

2

( 2) ; f ( 5) ; f (
3

7+4 3 + 7−4 3
3

16 − 255 +

Bài 53. Tính giá trị biểu thức x3 − 3x + 1997 với x =

).

1
3

16 − 255 .

2. Tìm số dư trong phép chia đa thức

Chia đa thức P(x) cho đa thức ax + b ta được P(x) = (ax + b)Q(x) + r, thay

x =−

b
a , ta được

 b
r = P− ÷
 a  . Như vậy để tìm số dư khi chia đa thức P(x) cho ax + b, ta tính giá trị của đa thức
 −b 
P ÷
P(x) tại giá trị nghiệm của ax + b. Tức là r =  a  .
14
* Ví dụ: Tìm số dư trong phép chia f(x) = x7 + 11x4 − 6,5x3 + 2x2 − x + 25 cho đa thức 2x

+ 3.

Giải
 −3 
f ÷
Số dư của phép chia là r =  2  = … = 67.0990625.

BÀI TẬP
Bài 54. Tìm dư trong phép chia (Kết quả lấy 6 chữ số sau dấy phẩy):
x14 − x 9 − x 5 + x 4 + x 2 + x − 723
a)
x − 1, 624

b)

x 5 − 6, 723x 3 + 1,857x 2 − 6, 458x + 4,319
x + 2,318

Bài 55. Cho P(x) = x4 + 5x3 − 4x2 + 3x − 50. Gọi r1 là phần dư của phép chia P(x) cho x − 2 và r2 là
phần dư của phép chia P(x) cho x − 3. Tìm BCNN của r1 và r2.
Bài 56. Tìm số dư trong phép chia (Kết quả lấy 6 chữ số sau dấu phẩy).

a) x3 − 3,256x + 7,321 cho x − 1,617.

20

b) x6 + 12x4 − 5x3 + 2x2 − x + 1 cho x + 3.

Giải toán trên máy tính cầm tay®


3. Xác định m để đa thức p(x) + m chia hết cho đa thức ax + b
 −b 
P ÷
Gọi r là số dư khi chia P(x) cho ax + b, tức là r =  a  . Mặt khác số dư của P(x) + m khi
 b
m = − r = −P  − ÷
 a
chia cho ax + b là m + r. Để P(x) + m chia hết cho ax + b thì r + m = 0 hay

* Ví dụ: Tìm a để x4 + 7x3 +2x2 + 13x + a chia hết cho x + 6.
Giải
4

3
2
Đặt P(x) = x + 7x + 2x + 13x.
⇒ a = −P(−6) = … = 222.
BÀI TẬP
3
Bài 57. Cho P(x) = 3x + 17x − 625.

(

)

P 2 2 .

a. Tính
b. Tính a để P(x) + a2 chia hết cho x + 3.
Bài 58. Cho đa thức P(x) = 6x3 − 7x2 − 16x + m.
a) Tìm m để P(x) chia hết cho 2x + 3
b) Với m tìm được ở câu a, hãy tính số dư r khi chia P(x) cho 3x − 2.
c) Tìm m và n để Q(x) = 2x3 − 5x2 − 13x + n và P(x) cùng chia hết cho (x − 2).
Bài 59. Cho đa thức P(x) = x4 + 5x3 − 4x2 + 3x + m và Q(x) = x 4 + 4x3 − 3x2 + 2x + n. Tìm m, n để
P(x) và Q(x) chia hết cho x − 2.
Bài 60. Cho P(x) = x5 + 2x4 − 3x3 + 4x2 − 5x + m.
a. Tìm số dư khi chia P(x) cho x − 2,5 khi m = 2008.
b. Tìm giá trị của m để P(x) chia hết cho x − 2,5.
c. P(x) có nghiệm là 2. Tìm m ?
4. Tìm hệ số của đa thức
* Ví dụ 1: Cho P(x) = x5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f. Biết P(1) = 3, P(2) = 6,
P(3) = 11, P(4) = 18, P(5) = 27. Tính P(6), P(7), P(8), P(9).
Giải

Ta thấy các số 3; 6; 11; 18; 27 là giá trị của đa thức Q(x) = x2 + 2 khi x = 1; 2; 3; 4; 5.
Gọi P’(x) = P(x) − (x2 + 2). Khi đó P’(x) sẽ có các nghiệm là 1; 2; 3; 4; 5.
⇒ P’(x) = (x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4)(x − 5).
⇒ P(x) = (x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4)(x − 5) + (x2 + 2).
Vậy P(6) = 158; P(7) = 771; P(8) = 2586; P(9) = 6803.
Q(1) = 3

Q(2) = 6
Q(3) = 11


− Để tìm Q(x), có thể Giải hệ
rồi sau đó thử tiếp Q(4), Q(5) xem có phù hợp
2
không (với Q(x) = ax + bx + c).
* Ví dụ 2: Cho P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d. Biết P(0) = −11, P(1) = −4, P(2) = 13,
P(4) = 173. Xác định các hệ số a, b, c, d của P(x).
Giải
Ta có P(0) = −11 ⇒ d = −11.
P(1) = −4 ⇒ 1 + a + b + c − 11 = −4 ⇔ a + b + c = 6
(1)
P(2) = 13 ⇒ 16 + 8a + 4b + 2c − 11 = 13 ⇔ 4a + 2b + c = 4
(2)
P(4) = 173 ⇒ 256 + 64a + 16b + 4c − 11 = 173 ⇔ 16a + 4b + c = −18
(3)
Từ (1), (2), (3), ta có:

Giải toán trên máy tính cầm tay®

21

a + b + c = 6

 4a + 2b + c = 4
16a + 4b + c = −18


Giải hệ ta được: a = −3; b = 7; c = 2.
Vậy P(x) = x4 − 3x3 + 7x2 + 2x − 11.
BÀI TẬP
Bài 61.
a) Cho Q(x) = x3 + nx2 + px + q. Biết Q(1) = 5, Q(2) = 7, Q(3) = 9. Tìm Q(x) và tính các
giá trị Q(10), Q(11), Q(12), Q(13).
b) Cho P(x) = x5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f. Biết P(1) = −1, P(2) = 21, P(3) = 79,
P(4) = 191, P(5) = 375. Tính P(6), P(7), P(8), P(9).
Bài 62. Cho P(x) = x5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f. Biết P(1) = 3, P(2) = 9, P(3) = 19, P(4) = 33, P(5)
= 51. Tính P(6), P(7), P(8), P(9), P(10), P(11).
Bài 63. Cho P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d. Biết P(0) = 12, P(1) = 12, P(2) = 0, P(4) = 60.
a) Xác định các hệ số a, b, c của P(x).
b) Tính P(2009).
c) Tìm số dư trong phép chia P(x) cho 5x − 6.
Bài 64. Cho đa thức f(x) = x3 + ax2 + bx + c.
a) Tìm các hệ số a, b, c biết f(1) = 1996, f(2) = 1999, f(3) = 1990.
b) Tìm số dư r khi chia f(x) cho x − 7.
c) Tìm x, biết f(x) = 1930.
Bài 65. Cho F(x) là một đa thức bậc 3. Biết F(x) chia cho x − 1, x − 2, x − 3 đều có số dư là 6 và
F(−1) = −18. Tìm F(x).
Bài 66. Cho đa thức P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + 6.
a) Xác định a, b, c, d biết P(−1) = 3, P(1) = 21, P(2) = 120, P(3) = 543.

b) Tính giá trị của đa thức tại x = −3,579; x = 5,321.
c) Tìm số dư trong phép chia đa thức P(x) cho x + 3 và 2x − 5.
Bài 67. Cho đa thức P(x) = x4 + mx3 − 55x2 + nx − 165 chia hết cho (x − 2) và (x − 3). Hãy tìm m, n
và các nghiệm của đa thức.
6. Tìm đa thức thương và dư trong phép chia P(x) cho x – c
Ta sử dụng sơ đồ Horner để chia đa thức.
+ Giả sử f(x) = a0xn + a1xn−1 + … + an−1x + an là đa thức bậc n, chia cho đa thức x − c được
thương là q(x) = b0xn−1 + b1xn−2 + … + bn−2x + bn−1 và số dư r. Tức là:
a0xn + a1xn−1 + … + an−1x + an = (x − c)( b0xn−1 + b1xn−2 + … + bn−2x + bn−1) + r
Khi đó, các bi được tính theo bảng sau:

Hệ số f(x)

a0

c

b0 = a0

a1

a2

×
+

a3 …

an-1

an

b1 = b0.c + a1 b2 = b1.c + a2 b3 = b2.c + a3 bn−1 = bn−2.c + an−1 r= bn−1.c + an

− Cách bấm: bấm a0, bấm =, bấm c ANS +X, bấm CALC, nhập giá trị cho X (giá trị a 1),
bấm =, bấm Calc, nhập giá trị cho X (giá trị a2), bấm =, …

20

Giải toán trên máy tính cầm tay®


* Nhận xét: Chia đa thức bằng sơ đồ Horner, ta cũng tìm được số dư của đa thức f(x) khi
chia cho x − c.
+ Trường hợp chia f(x) cho đa thức ax + b, ta làm như sau (đọc thêm):
Hệ số f(x)
a0
Chia hệ số
a
của f(x) a ′0 = 0
a
cho a
−

b
a

a1
a1′ =

a2 …
a1
a

a ′2 =

a2
a

an-1
a ′n −1 =

a n −1
a

an
a ′n =

an
a

 b ′
 b
 b
 b
′
+ a1 b 2 = b1.  − ÷+ a ′2 b n −1 = b n −2 .  − ÷+ a ′n −1 r′ = b n −1.  − ÷+ a ′n
b0 = a 0 b1 = b 0 .  − a ÷

 a

 a
 a

Để tìm số dư r khi chia f(x) cho ax + b, ta nhân r' cho a tức là r = a.r'.
BÀI TẬP
Bài 68. Tìm đa thức thương và số dư trong các phép chia sau:

a) f(x) = x5 − 2x4 + x3 − 2x2 + x − 1 cho x − 4.
b) f(x) = x4 + 2x3 − 3x2 − 4x + 1 cho x + 1.
c) f(x) = x5 cho x − 1.
d) f(x) = x4 − 8x3 + 24x2 − 50x + 11 cho 3x − 2.
e) f(x) = x7 − 2x5 − 3x4 + x − 1 cho 2x + 5.
−−−−

Giải toán trên máy tính cầm tay®

21


Chủ đề 5. DÃY SỐ
−−−−

1. Dãy truy hồi phi tuyến tính

2a n − a n + 1

a n +1 =

an
* Ví dụ: Cho dãy số: a0 = 0,5;

, với n = 0, 1, 2, 3, …
a) Lập quy trình phím bấm tính an+1.
b) Tính a1, a5, a10 (Kết quả lấy 6 chữ số thập phân).
Giải
a) Quy trình phím bấm:

0.5 =
(

(

Ans )

)

2 Ans −
+ 1 ÷ Ans
Bấm dấu “=” lần thứ nhất, ta được a1, bấm đến lần n ta được an.
b) a1 = 3.082 392, a5 = 1.693 152, a10 = 1.520 478.
BÀI TẬP
Bài 69. Cho dãy số: a0 = 1,

a n +1 =

a 2n + a n + 1 − 1
an
, với n = 0, 1, 2, …

a) Lập quy trình bấm phím tính an+1 trên máy tính cầm tay.
b) Tính a1, a2, a3, a4, a5, a10 và a15 (Kết quả lấy 4 chữ số thập phân).

Bài 70. Cho dãy số a0 = 1,

a n +1 =

5 + an
1 + a n , với n = 1, 2, 3, …

a) Lập quy trình bấm phím tính an+1 trên máy tính cầm tay.
b) Tính a5, a6, a7, a18, a19, a20 và a2011 (Kết quả lấy 4 chữ số thập phân).
17x 2n + 5
x 2n + 7 , x = 0,13. Tính x , …, x , x , …, x .
Bài 71. Cho dãy:
1
2
5
19
22
2
3 + 13x n
x n +1 =
1 + x 2n với x1 = 0, 09 , n = 1,2,3,…, k,…
Bài 72. Cho dãy số xác định bởi công thức :
x n +1 =

a) Viết quy trình bấm phím liên tục tính x n +1 theo x n .
b) Tính x 2 , x 3 , x 4 , x 5 , x 6 (với đủ 10 chữ số trên màn hình).
c) Tính x100 , x 200 (với đủ 10 chữ số trên màn hình).

2. Dãy truy hồi tuyến tính thuần nhất bậc II
Dạng tổng quát: u1 = a, u2 = b, un+1 = p.un + q.un−1.

* Ví dụ 1: Cho dãy số u1 = 8, u2 = 13, un+1 = un − 2un−1 (n = 2, 3, …)
a) Hãy lập quy trình bấm phím liên tục để tính giá trị của un+1 với mọi n ≥ 2.
b) Sử dụng quy trình đó tính giá trị của u13 và u17.
Giải
a) Quy trình phím bấm:

20

2 Shift Sto A

(Biến đếm)

8 Shift Sto B

(tương ứng un−1)
Giải toán trên máy tính cầm tay®


13 Shift Sto C

(tương ứng un)

0 Shift Sto D (tương ứng un+1)
A = A + 1 : D = C − 2 × B : B = C : C = D.
Lặp lại dấu “=”, mỗi giá trị của A cho ta tương ứng một giá trị của D chính là số hạng thứ
A của dãy. Các biến A, B, C, D, =, : được lấy bằng cách nhấn Anpha kết hợp phím tương ứng
màu đỏ.
− Đối với máy Casio fx 570VN-Plus, ta bấm quy trình như sau:
8 = 13 =
Ans − 2 Anpha Pre Ans

Bấm dấu = lần thứ nhất ta được u3, bấm = tiếp theo ta được các u khác.
b) u13 = 217, u17 = 2633.

( 10 + 3 ) − ( 10 − 3 )
=
n

un

n

2. 3
* Ví dụ 2: Cho dãy số:
.
a) Tính 7 số hạng đầu tiên của dãy.
b) Lập và chứng minh công thức truy hồi để tính un+1 theo un và un−1.
c) Lập một quy trình tính un.
Giải
a) u1 = 1, u2 = 20, u3 = 303, u4 = 4120, u5 = 53009, u6 = 660540, u7 = 8068927.
b) Giả sử: un+1 = x.un + y.un−1 + z, ta có:
u3 = x.u2 + y.u1 + z
u4 = x.u3 + y.u2 + z
u5 = x.u4 + y.u3 + z
303 = x.20 + y.1 + z

4120 = x.303 + y.20 + z
53009 = x.4120 + y.303 + z
Thay số vào ta có hệ: 
hay

20x + y + z = 303

303x + 20y + z = 4120
4120x + 303y + z = 53009


Giải hệ ta được: x = 20, y = −97, z = 0.
Vậy công thức truy hồi un+1 theo un và un−1 là: un+1 = 20un − 97un−1.
Chứng minh:
Ta có:

( 10 + 3 ) − ( 10 − 3 )
20.
n

20un − 97un−1 =

(

20. 10 + 3

=

)

n

2. 3

(

− 20. 10 − 3

)

n

n

( 10 + 3 )
− 97.

(

− 97. 10 + 3

n −1

2. 3

(

+ 97. 10 − 3

)

n −1

n −1

2 3

( 10 + 3 ) ( 100 + 20

) (

3 + 3 − 10 − 3

) ( 100 − 20
n −1

3+3

)

2 3

( 10 + 3 ) ( 10 + 3 ) − ( 10 − 3 ) ( 10 − 3 )
n −1

=

)

( 10 + 3 ) ( 20.( 10 + 3 ) − 97 ) − ( 10 − 3 ) ( 20.( 10 − 3 ) − 97 )
n −1

=

(

− 10 − 3

2 3
n −1

=

)

n −1

n −1

2

n −1

2

2 3

Giải toán trên máy tính cầm tay®

21


( 10 + 3 )
=

n +1

(

− 10 − 3

)

n +1

2 3

= un+1
c) Quy trình phím bấm:



2 Shift Sto A

(Biến đếm)

1 Shift Sto B

(tương ứng un−1)

20 Shift Sto C

(tương ứng un)

0 Shift Sto D (tương ứng un+1)
A = A + 1 : D = 20 × C − 97 × B : B = C : C = D.
Lặp lại dấu “=”, mỗi giá trị của A cho ta tương ứng một giá trị của D chính là số hạng thứ
A của dãy. Các biến A, B, C, D, =, : được lấy bằng cách nhấn Anpha kết hợp phím tương ứng
màu đỏ.
− Đối với máy Casio fx 570VN-Plus, ta bấm quy trình như sau:
1 = 20 =
20 Ans − 97 Anpha Pre Ans

Bấm dấu = lần thứ nhất ta được u3, bấm = tiếp theo ta được các u khác.
BÀI TẬP
Bài 73. Cho dãy số u1 = 144, u2 = 233, un+1 = un + un−1.
a) Hãy lập quy trình bấm phím liên tục để tính giá trị của un+1 theo un và un−1..
b) Tính u12, u37, u38, u39.
u 2 u3 u 4 u6
;
;
;
u
u
u
c) Tính chính xác các tỉ số với 5 chữ số thập phân các tỉ số sau: 1 2 3 u 5 .

Bài 74. Cho dãy u1 = 2, u2 = 20, un+1 = 2un + un−1.

a) Viết quy trình bấm phím liên tục để tính un+1 theo un và un−1.
b) Tính u3, u4, u5, u6, u7, u22, u23, u24, u25.
n

un

( 2 + 3) − ( 2 − 3)
=

n

un

( 3+ 3) − ( 3− 3)
=

n

Bài 75. Cho dãy số:

2. 3

.
a) Tính 8 số hạng đầu tiên của dãy.
b) Lập và chứng minh công thức truy hồi để tính un+1 theo un và un−1.
c) Lập một quy trình tính un+1 theo un và un−1.
n

Bài 76. Cho dãy số:

2. 3

.

a) Tính 5 số hạng đầu tiên của dãy.

b) Lập và chứng minh công thức truy hồi để tính un+1 theo un và un−1.
c) Lập một quy trình tính un+1 theo un và un−1.

( 2+ 2) −( 2− 2)
=
n

Bài 77. Cho dãy số:

un

2. 2

n

.

a) Tính 8 số hạng đầu tiên của dãy.
b) Lập và chứng minh công thức truy hồi để tính un+1 theo un và un−1.
c) Lập một quy trình tính un+1 theo un và un−1.

20

Giải toán trên máy tính cầm tay®


( 5 + 3) − ( 5 − 3)
=
n

Bài 78. Cho dãy số

un

n

2 3

, với n là số tự nhiên.

a) Tính u1, u2, u3, u4, u5.
b) Lập và chứng minh công thức truy hồi để tính un+1 theo un và un−1.
c) Lập một quy trình tính un+1 theo un và un−1.

( − 1 + 3 ) − ( −1 − 3 )
=
n

un

Bài 79. Cho dãy số:

n

2. 3

.

a) Tính 5 số hạng đầu tiên của dãy.
b) Lập và chứng minh công thức truy hồi để tính un+1 theo un và un−1.

c) Lập một quy trình tính un+1 theo un và un−1.

( 1+ 2 ) − ( 1− 2 )
=
n

Bài 80. Cho dãy số

Un

n

2 2

với n = 1, 2, 3, …,k, …
1. Tính U1, U2, U3, U4, U5, U6, U7, U8.
2. Lập công thức truy hồi tính Un+1 theo Un và Un−1.
3. Lập quy trình ấn phím liên tục tính Un+1 theo Un và Un−1.

( 9 − 11) − ( 9 +
=
n

Bài 81. Cho dãy số :

Un

2 11

11

)

n

với n = 0; 1; 2; 3; …

.

a. Tính 5 số hạng U0; U1; U2; U3 ; U4
b. Trình bày cách tìm công thức truy hồi Un+2 theo Un+1 và Un.
c. Viết quy trình ấn phím liên tục tính Un+2 theo Un+1 và Un. Từ đó tính U5 và U10
−−−−

Giải toán trên máy tính cầm tay®

21


Chủ đề 6. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
−−−−
1. Nghiệm nguyên, nghiệm gần đúng của phương trình một ẩn
* Ví dụ 1: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: x4 − 2x3 − 8x2 + 13x − 24 = 0 (1)
Giải
4
3
2
Đặt f(x) = x − 2x − 8x + 13x − 24.
Nghiệm nguyên của phương trình là ước của hạng tử tự do.
Ta có: Ư(24) = {−24, −12, −6, −4, −3, −2, −1, 1, 2, 3, 4, 6, 12, 24}.

Thử các ước của 24, ta thấy f(−3) = 0. Vậy phương trình (1) có nghiệm nguyên là x = −3.
− Đối với các dòng máy hỗ trợ tạo bảng (Table), ta có thể dùng chức năng này để kiểm
tra nhanh hơn.
* Ví dụ 2: Tìm một nghiệm gần đúng của phương trình x7 − 2x5 − 3x4 + x − 1 = 0
Giải
C1. Ta nhập vào máy (570MS) như sau:
Anpha

(2)

Anpha
Anpha
Anpha
Anpha =
X ^ 7−2
X ^ 5−3
X ^ 4+
X−1
0.

Nhấn tiếp Shift Solve , máy hiện X?, nhập tùy ý một giá trị, nhấn “=”, máy hiện X?, nhấn
Shift Solve một lần nữa. Chờ một tí, máy sẽ giải ra một nghiệm gần đúng của phương trình.

Kết quả: 1.885241416
C2. Ta biến đổi phương trình:
(2) ⇔ x7 = 2x5 + 3x4 − x + 1
⇔ x = 2x + 3x − x + 1 .
Nhập vào máy tính như sau:
7

5

4

0 = (Gán 0 vào biến Ans).
Shift

x

( 2 Ans ^ 5 + 3 Ans ^ 4 − Ans + 1 )

7
Lặp lại dấu bằng đến khi nào số trên màn hình không thay đổi nữa. Đó chính là nghiệm
gần đúng của phương trình (2).
Kết quả: 1.885241416
Bài 82.

BÀI TẬP

Tìm các nghiệm nguyên của các phương trình sau:
a) x −14x2 + 19x − 14 = 0
b) x4 − 2x3 + 2x2 + 2x − 3 = 0
c) x8 − 24x5 − 46x2 − 18x + 3 = 0
Bài 83. Tìm các nghiệm nguyên dương của các phương trình sau:
a) x6 − 15x − 25 = 0
b) x9 + x − 10 = 0
c) x10 − 9x7 + 49x + 30 = 0
d) 8x6 + 5x3 − 32x +14 = 0
Bài 84. Tìm một nghiệm gần đúng của phương trình sau:
a) x3 + x − 5 = 0

b) 3x2 − 7x − 16 = 0
5

c) x4 − 18x2 + 32 = 0

3
d) 16x − 12x − 10 + 2 5 = 0

3

e) 8x − 6x − 1 = 0
Bài 85. Tìm một nghiệm gần đúng của phương trình sau:
a) x7 + x − 5 = 0
b) x16 + x − 8 = 0
20

Giải toán trên máy tính cầm tay®


c)

x 2 + 1 + 3x + 1 = 3

2
d) 2 − x = 2x + x − 2

2. Phương trình đối xứng bậc 4
+ Cách nhận biết: Phương trình có hệ số đối xứng bậc 4 có dạng như sau:
ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0 (a ≠ 0) (1)
+ Cách Giải Vì x = 0 không phải là nghiệm của phương trình (học sinh tự kiểm tra) nên ta chia

hai vế phương trình cho x2, ta có:
b a
+
=0
x x2
(1) ⇔
1 
1


a  x 2 + 2 ÷+ b  x + ÷+ c = 0
x 
x

⇔ 
(2)
1
1
t = x+
x2 + 2 = t2 − 2
x ⇒
x
Đặt
(học sinh tự kiểm tra).
ax 2 + bx + c +

Lúc này ta có (2) ⇔ a(t2 − 2) + bt + c = 0
⇔ at2 + bt + c − 2a = 0 là phương trình bậc hai đối với t, giải phương trình này tìm t rồi thế lên
chỗ đặt t ta sẽ tìm được x.
Bài 86. Giải các phương trình sau:

a) x4 + x3 + 10x2 + x + 1 = 0
b) 2x4 − 5x3 + x2 − 5x + 2 = 0
c) −x4 + 3x3 + 2x2 + 3x − 1 = 0
Bài 87. Giải các phương trình sau:
x2 −1
2x
2
a)
+ 2
= 3− 3
x
x +1
x +x
2
5x
x −1
1
b) 2
+
+ 3
= −3
x +1
2x
x +x

3. Phương trình phản đối xứng bậc 4
+ Cách nhận biết: Phương trình có hệ số phản đối xứng bậc 4 có dạng như sau:
ax4 + bx3 + cx2 − bx + a = 0 (a ≠ 0) (1)
+ Cách giải Vì x = 0 không phải là nghiệm của phương trình (học sinh tự kiểm tra) nên ta chia hai
vế phương trình cho x2, ta có:

b a
+
=0
x x2
(1) ⇔
1 
1


a  x 2 + 2 ÷+ b  x − ÷+ c = 0
x 
x

⇔ 
(2)
1
1
t = x−
x2 + 2 = t2 + 2
x ⇒
x
Đặt
(học sinh tự kiểm tra).
ax 2 + bx + c −

Lúc này ta có (2) ⇔ a(t2 + 2) + bt + c = 0
⇔ at2 + bt + c + 2a = 0 là phương trình bậc hai đối với t, giải phương trình này tìm t rồi thế lên
chỗ đặt t ta sẽ tìm được x.
Bài 88. Giải các phương trình sau:
a) 2x4 + x3 − 10x2 − x + 2 = 0

b) 6x4 + 25x3 + 12x2 − 25x + 6 = 0
c) x4 − 3x3 − 6x2 + 3x + 1 = 0

4. Phương trình hồi qui bậc 4

Giải toán trên máy tính cầm tay®

21


+ Cách nhận biết: Phương trình hồi qui bậc 4 là những phương trình bậc 4 có dạng:
ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 (a ≠ 0) (1)
2

e d
=  ÷ = k2
trong đó: a  b 

Nếu ta thay e = ak2, d = ± bk vào phương trình (1) thì phương trình (1) có hai dạng sau:
Dạng 1: ax4 + bx3 + cx2 + bkx + ak2 = 0
Dạng 2: ax4 + bx3 + cx2 − bkx + ak2 = 0
+ Cách giải Ở cả hai dạng ta đều chia hai vế cho x2, ta sẽ có:
bk ak 2
+ 2 =0
x
x
2

k 
k


⇔ a  x 2 + 2 ÷ + b  x ± ÷+ c = 0
x 
x



ax 2 + bx + c ±

t =x±

k
k2
⇒ x 2 + 2 = t 2 ± 2k
x
x
(học sinh tự kiểm tra)

Đặt
Thay vào phương trình trên ta được a(t2 ± 2k) + bt + c = 0
Hay at2 + bt ±2ak + c = 0, đây là phương trình bậc 2 theo t, giải tìm t rồi thế lên chỗ đặt t, ta sẽ
tìm được x.
Bài 89. Giải các phương trình sau:
a) 2x4 − 21x3 + 74x2 − 105x + 50 = 0
b) x4 + 6x3 + 47x2 − 12x + 4 = 0

5. Phương trình vô định hai ẩn
* Ví dụ 1: Tìm một cặp số nguyên dương (x, y) sao cho:
x2 = 37y2 + 1
Giải

2
Từ x2 = 37y2 + 1 ⇒ x = 37y + 1 .
Ta lập dãy lặp:

0 Shift Sto Y
Anpha

Y

Anpha = Anpha

Y+1

Anpha :

(

(

37

Anpha

Anpha
2

2
)
Y x +1

)

Lặp lại dấu “=” đến khi nào biểu thức
37
Y x +1
nhận giá trị nguyên
thì giá trị đó chính là x, giá trị của Y là giá trị của y.
Kết quả: x = 73, y = 12.
− Đối với các máy có hỗ trợ lập bảng giá trị của hàm số thì ta có thể sử dụng chức năng
này, tuy nhiên cần xác định điều kiện xác định của biểu thức, cũng như miền giá trị của biến
chạy.
* Ví dụ 2: Tìm các cặp số (x, y) nguyên dương là nghiệm đúng của phương trình:
3x5 − 19(72x − y)2 = 240677 (1)
Giải
5
2
3x − 19(72x − y) = 240677
3x 5 − 240677
19
⇔ (72x − y)2 =

20

Giải toán trên máy tính cầm tay®


⇒ 72x − y =

3x 5 − 240677
19

⇒ y = 72x −

3x 5 − 240677
19
.
3x 5 − 240677
19
xác định thì x > 9.

Ta thấy để
Ta lập dãy lặp:

9 Shift Sto X
Anpha

)

÷ 19

X

Anpha = Anpha

X+1

Anpha :

( (

72X −

3

Anpha

Y ^ 5 − 240677

)

Lặp lại dấu “=” đến khi nào biểu thức 72X −

( (

3

Anpha

)
Y ^ 5 − 240677
÷ 19

)

nhận giá trị nguyên thì giá trị đó chính là y, giá trị của X là giá trị của x.
Kết quả: x = 32, y = 5.
− Để tìm cặp thứ 2, ta thay x = 32 vào phương trình (1), ta được phương trình bậc 2 theo y:
3.325 − 19(72.32 − y)2 = 240677
⇔ 100 663 296 − 19(2304 − y)2 = 240677
⇔ 100 663 296 − 19(5 308 416 − 4608y + y2) = 240677

⇔ 100 663 296 − 100 859 904 + 87 552y − 19y2 = 240677
⇔ 19y2 − 87 552y + 437 285 = 0
 y1 = 5

y = 4603
⇒ 2

Các cặp số cần tìm: (32; 5) và (32; 4603).
* Ví dụ 3: Tìm các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn phương trình sau:
5x − 3y = 2xy − 11
Giải

5x − 3y = 2xy − 11
⇔ 5x − 3y − 2xy + 11 = 0
⇔ x(5 − 2y) − 3y + 11 = 0

3
3
3
⇔ x(5 − 2y) − .2y + .5 + 11 − .5 = 0
2
2
2
3
7
⇔ x(5 − 2y) + (5 − 2y) + = 0
2
2
⇔ 2x(5 − 2y) + 3(5 − 2y) + 7 = 0
⇔ (5 − 2y)(2x + 3) = −7

Vì −7 = 7.(−1) = −7.1 nên ta có các trường hợp sau:
5 − 2y = 7

2x + 3 = −1

;

5 − 2y = −7
;

2x + 3 = 1

5 − 2y = 1
;

2x + 3 = −7

5 − 2y = −1

2x + 3 = 7

Giải các hệ trên ta được các nghiệm sau: (−2; −1); (−1; 6); (−5; 2); (2; 3).
BÀI TẬP
Bài 90. Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình sau:
4x3 + 17(2x − y)2 = 159425
Giải toán trên máy tính cầm tay®

21