giao trinh toan roi rac 2
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (29.73 MB, 218 trang )
Chương
6
ÔTÔMAT HỮU HẠN ĐOÁN NHẬN BIỂU THỨC CHỈNH QUY
|1. ÔTÔMAT HỮU HẠN (FINITE AUTOMATA - FA)
Ô t ô m a t hữu h ạ n có t h ể xem n h ư " m á y t r ừ u tượng" để
đ o á n n h ậ n ngôn ngữ. C h ú n g ta sẽ t h ấ y r ằ n g láp n g ô n ngữ điíỢc
đ o á n n h ậ n bởi ô t ô m a t h ữ u h ạ n là k h á đơn g i ộ n . đó c h í n h là lốp
n g ô n ngữ c h í n h quỵ do các v ă n p h ạ m c h í n h quy sinh ra.
1.1. D i n h n g h ĩ a ô t ô m a t h ữ u h ạ n
Đinh
nghĩa
ĩ:
Ô t ô m a t hữu h ạ n là bộ M = < I . Q. 5. q„. F>.
trong dó:
ì - là t ậ p hợp hữu h ạ n k h á c rỗng các ký h i ệ u v à o .
Q- là t ậ p hợp hữu h ạ n k h á c rỗng các t r ạ n g t h á i .
q,j e Q được gọi là t r ạ n g t h á i ban đ ầ u .
F c Q được gọi là t ậ p các t r ạ n g t h á i két t h ú c .
5- được gọi là h à m chuyên có dạng;
1.
N ê n h à m chuyển là á n h xạ 5 : Q X ì —> Q. k h i đó M được
gọi
là
ôtômat
đơn định
v i ế t t ắ t là DFA).
240
(Deterministic Finite Automata,
Nếu h à m chuyển là ánh xạ ô: Q X ì -» 2 , khi đó M được
2.
Q
gọi là ôtôtnat
không
đơn định
(Nondeterministic Finite
Automata, viết t ắ t NDFA).
Ta có thể mô tả các bưốc làm việc của ôtômat hữu hạn
M = < I . Q, ô. q,„ F> khi cho xâu vào co = X! x x ... x 6 E* như
2
sau:
Xâu vào 0)
X,
x
...
2
x _!
x
n
3
n
n
t
Qo->
Khi bắt đầu làm việc máy ở trạng thái đầu q và đầu đọc
0
đang nhìn vào ô có ký hiệu X,. Tiếp theo máy chuyển từ trạng
thái q đuối tác động của ký hiệu vào X i về trạng thái mới
0
ô(q .x,) = q, e Q và đầu đọc chuyển sang phải Ì ô, tức nhìn vào
0
ô có ký hiệu x . Sau đó ôtômat M l ạ i tiếp tậc chuyển từ trạng
2
thái q, nhờ hàm chuyển ô về trạng thái mói
q = 5(q,, Xa) = 5(5(q . X,), x ) = 5(q . x , x ) e Q.
2
0
2
0
2
Quá trình đó sẽ tiếp tậc cho tới khi đầu đọc nhìn vào ký
hiệu x„ với trạng thái của máy là q , = ô(q,„ X1X2... x„.i).
n
Hàm chuyển l ạ i đưa máy từ trạng thái q _| đuối tác động
n
của x„ về trạng thái q,,= 5(q„.ị, x„) = ô(q , X j X ... x„) € Q. Khi đó
0
2
ôtômat dừng l ạ i . Nếu q„ 6 F thì ta nói rằng ôtômat đã đoán
nhận xâu co. Trong trường hợp ngược lại thì nói rằng ôtômat
không đoản nhận xâu co.
Tập L(M) ={co/ co e ì* mà 5(q , co) e F} được gọi là ngôn ngữ
0
được đoán nhận bởi ôtômat M. Tập trạng thái Q trong quá
trình tính toán được coi như là bộ nhớ của một ôtômat. Vì Q là
hữu hạn nên M được gọi là ôtômat hữu hạn.
241
1.2. Phương pháp biêu d i ê n ô t ô m a t hữu hạn
Cho ôtômat thực chất là cho hàm chuyển của nó. Hàm
chuyển có thể cho đuối dạng bảng chuyển, hoặc cho đuối dạng
đồ thị.
a) Phương pháp
Trạng
thái
cho bảng
chuyên:
Ký hiệu vào
qi
x„
Xi
x
ô(q,, X,)
ô(q,. x )
ô(q .
5(q . x )
2
... ô(q . x )
2
• •• 5(q . x )
2
q
2
q
3
S(q . X,)
S(q , x
Qk
5(q , X,)
ỗ(q . x )
-ỉ
2
Xi)
2
3
3
k
k
... S(q,, x„)
•
2
2
3
n
n
... 5(q . x„)
k
2
Nếu M = < I . Q. 5. q . F> là ôtômat đơn định thì ô(q,. Xj) là
một trạng thái trong Q, còn nếu nó là ôtômat không đơn định
thì ô(q Xj) là một tập các trạng thái trong Q.
0
r
Ví dụ 1: Cho ôtômat đơn định M = <z. Q. ô, q„. F> vối
ì ={0. 1}, Q={q,,. q,. q . q.j}. F = {q,,}. trạng thái ban đầu là q,„ còn
hàm chuyển cho đuối dạng bảng:
2
Ký hiệu vào
Trạng
thái
0
1
q.j
Q2
Qi
Qo
q.ì
q.
242
q
2
q
3
Cho xâu vào (0= 110101.
Quá trình hoạt động của ôtômat M diễn ra theo quá trình
sau:
ô(q,;„ 1) = qi.
ô(q,. 1) = q,j,
ô(q,„ 0) = q ,
2
ỗ(q . 1) = q .
5(q,. 0) = q,.
5(q„ 1) = q„ e F.
Diều đó chứng tỏ ôtômat M đoán nhận xâu 0) = 110101.
Dãy trạng thái của M khi cho xâu vào co = 110101 được biểu
diễn như sau:
2
3
co = Ì
0
Ì
0
Ì
q - » q, -> q,, ->
0
q-2
Ì
-> q -> q. ->
3
q,.i
Hay quá trình trên tường đương với diễn đạt sau:
S(q , 110101)
= Ỗ(ô(q ,. 1), 10101) = S(q„ 10101) =
0
L
5(5(q,. 1). 0101) = 5(q„. 0101) = 5(5(q„. 0).101) = 5(q. .101)
= 5(ỗ(q . 1). OI) = ô(q . OI) = S(ô(q . 0). 1)
= 5(q,. 1) = q„ £ F.
2
2
3
3
Ví dụ 2: Cho ôtômat đơn định M = <s, Q. 5, q,j. F> vối
ì = {0.1'. Q - {q,„ q,. q . q.í). q,, là trạng thái ban đầu. còn
F = { q j là tập trạng thái kết thúc. Hàm chuyển trạng thái được
cho b
i bảng sau:
2
Trạng thái
Ký hiệu vào
0
1
q..
Qi
q*
Q|
q
q..
q-2
qo
q.3
q
q
q;i
3
3
3
243
Giả sử xét các xâu co, = 10110. co = no, C0 = 10011. Hỏi
2
3
rằng ôtômat M có đoán nhận các xâu đó hav không ?
a. Dãy trạng thái của ôtômat M khi cho CO] vào là:
0
co, = Ì
Ì
0
Ì
q -» q -> q„ -> q -> q -> q e F.
0
2
2
3
3
Do đó ôtômat M đoán nhận xâu CO) = 10110.
b. Với xâu vào K>2 = no. k h i đó dãy trạng thái M đối vối
xâu vào co sẽ là:
2
©2=1
t
Ì
0
t
t
t
q , -» q -> q -> q e F
:
2
3
và ôtômat cĩing đoán nhận xâu C 0
3
2
=
no.
c. Vối xâu vào Cù 3 = 10011. Ta lập dãy trạng thái của
ôtômat M đối vói co như sau:
3
C0
3
= 1
0
0
1
1
q,,-> q -> q,, -> q, -> q -> q « F
nên máy M không đoán nhận xâu vào 0 ) 3 = 10011.
2
0
2
Từ các ví dụ trên ta thấy quá trình đoán nhận một xâu
nào đó đối vối ôtômat M đơn định là quá trình biên đoi trạng
thái cuối cùng của ôtômat có phải là trạng thái kết thúc hay
không.
Ta có thể mô tả quá trình đoán nhận xâu vào của ôtômat
đơn định M như sau:
Thuật toán mô phỏng ôtômat hữu hạn đoán nhận xâu vào:
Đầu vào:
- Một xâu co. kết thúc b
i ký hiệu hết File là eof.
244
- M ộ t ô t ô m a t h ữ u h ạ n M với t r ạ n g t h á i ban đ ầ u q,i và t ậ p
t r ạ n g t h á i k é t t h ú c là F.
" Đ ú n g " n ế u M đ o á n n h ậ n x â u co.
Đ ầ u ra:
"Sai" n ế u M k h ô n g đ o á n n h ậ n x â u co.
Thuật toán:
Begin
S:= q ;
0
C:=ký hiệu tiếp theo ;
While c <> eof do
begin
S:= 5(S. C);
C:= ký hiệu tiếp theo;
end;
if s in F return (True)
else return (False);
End.
Ví dụ 3: Cho ô t ô m a t k h ô n g đơn định M = < I . Q. 5. q„. F>
v ố i ì ={0.1 J. Q-{q,,. q,. q . q.í). q.-i là t r ạ n g t h á i ban đ ầ u ,
F - ÍQ2- q-)} là t ậ p hợp t r ạ n g t h á i k é t t h ú c .
2
Q
H à m c h u y ê n ô : Q X £ —>• 2 được cho ỏ bảng sau:
Trạng thái
Ký h i ệ u vào
0
1
q„
{q,. q,!
q.
0
q
q
2
q*
q
3
q
0
Q4
q.3
íq... Q1 ỉ
2
2
245
Sau đ â y là q u á t r ì n h đ o á n n h ậ n một x â u v à o của m á y M .
Vì đ ố i với ô t ô m a t k h ô n g đơn định t h ì h à m chuyển 5 k h i
m á y ở t r ạ n g t h á i q và t í n h i ệ u a là ô(q,a) c Q n ê n sẽ x u ấ t h i ệ n
t ì n h t r ạ n g rẽ n h á n h . Đ ể cho t i ệ n ta có t h ể l ậ p d ã y t r ạ n g t h á i
của m á y ứng v ố i x â u v à o d ư ớ i d ạ n g cây m à gốc của nó là t r ạ n g
t h á i ban đ ầ u q„. Trong c â y n à y n ế u có m ộ t đường đi t ừ gốc q
đ ế n m ộ t lá chứa t r ạ n g t h á i k ế t t h ú c t h ì ta nói r ữ n g m á y M đoán
n h ậ n x â u vào đ a n g xét. Ngược l ạ i , n ê u k h ô n g có m ộ t lá n à o
trong cây chứa t r ạ n g t h á i k ế t t h ú c t h ì ta nói M k h ô n g đ o á n
n h ậ n x â u vào đó.
ụ
C h ẳ n g h ạ n k h i cho x â u v à o (0, = 01001 đ ố i v ố i m á y M t h ì
ta có cây đ o á n n h ậ n x â u co ị n h ư sau:
Trong cây t r ê n có m ộ t đường đi t ừ q„ đ ế n q
CO^OIOOI là x â u đ o á n n h ậ n được bởi m á y M .
b) Phương pháp
cho ôtômat
bằng đồ thi
4
e F nên xâu
chuyển
Cho ô t ô m a t h ữ u h ạ n M = < £ , Q, 5, q , F>. H à m chuyển ô
có t h ể cho b ữ n g đồ t h ị chuyển có hướng theo n g u y ê n tắc sau:
M ỗ i t r ạ n g t h á i q 6 Q là m ộ t đ ỉ n h của đồ t h ị . N ê u a 6 ì và t ừ
0
246
trạng thái qi chuyển sang trạng thái qj do đẳng thức Ô(q;,a) = qj
(đối vối DFA) thì sẽ có một cung có hướng từ đỉnh qi sang đỉnh
qj và trên cung đó được gán n h ã n a.
Nêu ô(qj,a) = {qj , qj
thì từ q; sang qj . qj
qj } đối vối ôtômat không đơn định
qj có k cung gán cùng một nhãn a.
2
Đỉnh vào của đồ thị chuyển là đỉnh ứng vói trạng thái ban
đầu q,,. Các đỉnh có các trạng thái k ế t thúc được khoanh vòng
tròn hai lần. Các đỉnh còn l ạ i khoanh bởi một vòng tròn.
Ví dụ 4: Cho ôtômat đơn định M = < I , Q, 5, q , F>,
ì = {0.1}, Q = {q . q,. q . q }. F = {q }. h à m chuyển 5: Q X ì -> Q
được cho dưới dạng đồ thì chuyển n h ư sau:
0
0
2
3
0
Ì
Ví dụ 5: Cho ôtômat không đơn định M = <s. Q. 5, q . F>.
ì ={0,1}, Q = {q,„ q,, q . q }. F ={q , q ỉ còn h à m chuyển
5: Q X E -> 2 cho dưối dạng đồ thị
0
2
3
2
4
Q
247
Đôi v ố i ô t ô m a t M ta đ ư a vào k h á i n i ệ m "chuyên
dịch A"
được định nghĩa n h ư sau:
H à m A - Closure(T) cho t ậ p t r ạ n g t h á i đ ạ t được t ừ các
t r ạ n g t h á i s 6 T qua p h é p chuyển dịch A duv n h ấ t . Lớp T có t h ể
chỉ gồm m ộ t p h ầ n tử. Nó dược tính n h ư sau:
Đẩy tất cả trạng thái trong T vào stack,
Đặt A -Closure(T) là T
While stack không rỗng do
begin
lấy t là phần tử trên cùng của stack ra;
for mỗi trạng thải mà có đường đi từ t đến u có nhãn
do
if u không thuộc A -Closure(T) do
begin
Thêm u vào A -Closure(T);
Đặt u vào Stack;
end;
end;
T h u ậ t t o á n m ô phỏng ô t ô m a t k h ô n g đơn đ ị n h đ o á n n h ậ n
x â u vào:
Đ ầ u vào:
M ộ t x â u v à o to, k ế t t h ú c b
i ký h i ệ u file eof. M ộ t
ô t ô m a t k h ô n g đơn định N v ố i t r ạ n g t h á i ban đ ầ u q,,
và t ậ p t r ạ n g t h á i k ế t t h ú c F c Q .
Đ ầ u ra:
T r ả l ồ i "True" n ế u N đoán n h ậ n x â u co, "False" trong
trường hợp ngược l ạ i :
248
Thuật toán :
Begin
S:= A -Closure(q );
0
C:=ký tự tiếp;
While c <> eof do
begin
S:= - Closure(Move(S,C));
C:=ký tự tiếp;
end;
if s ó F * 0 then return True else return False
End;
Chú ý rằng h à m Move(T.a) là tập trạng thái mà N có thể
đạt được khi thực hiện dịch chuyển với ký hiệu vào a từ một trạng
thái thuộc T.
1.3. Sự tương đương giữa ôtômat đơn định và không đơn
định
Theo định nghĩa của ôtômat đơn định M và ôtômat không
đơn định N thì M cũng là N nên lốp các ngôn ngữ đoán nhận
được bởi M cũng là lớp ngôn ngữ đoán nhận bởi N. Ký hiệu các
lớp ngôn ngữ được đoán nhận bởi M và N tương ứng là L(M)
và UN).
Định lý 1: Lốp ngôn ngữ đoán nhận được bởi ôtômat đơn
định trùng với lớp ngôn ngữ đoán nhận được bởi ôtômat không
đơn định.
249
Chứng minh:
Theo định nghĩa ôtômat đơn định và ôtômat không đớn
định thì lớp ngôn ngữ đoán nhận được bởi ôtômat đơn định nằm
trong lớp ngôn ngữ đoán nhận được bởi ôtômat không đơn định.
Ta chứng minh bao hàm thức ngược l ạ i : Lớp ngôn ngữ
đoán nhận được hỏi ôtômat không đơn định nằm trong lóp ngôn
ngữ do ôtômat đơn định đoán nhận. Thật vậy, giả sử p e ì"
đoán nhận được bởi ôtômat không đơn định N = < I , Q. ỗ, q . F>
hay p 6 L(N).
0
Ta xây dựng ôtômat đơn định M = <E\ Q\ ố', So, F'> đoán
nhận p như sau: r = I ; Q' = 2 ; s ={q }; F'={U c Q / U n F * 0 Ị
còn ố: Q'xl -> Q' được xác định như sau:
Q
0
0
V u e Q'. V X € ì thì ố(U.x) = ỊJ S(q,x)
qeU
Với M định nghĩa như trên thì ta có: p e L(M) hay
UN) C L(M).
Ví du 6: Cho ôtómat không đơn định N = <z. Q. ỗ. q„. F>
vối I={a,b}. Q={s,j. s,}. F={s,}. còn h à m chuy
n ô: Q X ì ~> 2
được cho bằníỊ bảng chuy
n sau:
Q
Ký hiệu vào
Trạng thái
a
So
{Sụ.
Si
0
b
s,}
Si
{s,,s,}
Klii đó ôtômat đơn định tương ứng với ôtômat không đơn
định N được xâv dựng như sau:
M = <x\ Q', ố, q . F> vối r = z = {a.b}. Q'= {q,. q , q , q }
2
ở đây q,= 0, q =
2
250
{So},
2
q = {s,}, q =
3
4
teo.
3
s,} còn F' = {q , q }.
3
4
4
H à m chuyển ố cho dưới dạng bảng chuyển như sau:
Trạng thái
q
3
q
4
Ký hiệu vào
a
b
0
0
q<
0
q
3
q
4
Q4
Ta có L(N) = L(M) hay N tương ứng vối M.
Ví d ụ 7: Cho ôtômat không đơn định N = <z, Q, s, q , F>
với E = {a,b}, Q = {q , q„
q,0}, F' = {q }.
0
0
10
A
Trong đồ thị chuyển trên thì A là xâu rỗng. Ta xây dựng
ôtômat đơn định M như sau:
M = <L. Q, 5. q , F>,
0
ở đây: ì = {a,b} là bảng ký hiệu vào,
Q = {A. B, c, D, E} là tập các trạng thái,
A là trạng thái ban đầu,
F = {E} tập trạng t h á i kết thúc,
A = {q , qi, q2, <Ì4, q?} (chứa trạng thái ban đầu q của N)
0
B
0
= {q„ q , q , q . Qs, Qe, q?. Qs}
2
3
4
251
c - tai. q , q , Qõ. qe- q?}
D = {qi, q . q . Qs, Qo- q . qg}
2
4
2
4
7
E = { q i , q2, Q4, qs, q«- q7, Qio} (có chứa trạng thái k ế t thúc
q ,0 của N) vối hàm chuyển cho đuối dạng bảng:
Trạng thái
Ký hiệu vào
a
b
A
B
c
B
B
D
c
B
c
D
B
E
E
B
c
hay ôtômat được biểu diễn dưới dạng đồ t h ị chuyển như sau:
Ta chỉ ra rằng L(N) = L(M) ={(a/b)" abb}.
Thật vậy. giả sử xét xâu vào là co = ababb
Ta chỉ ra rằng hai ôtômat N và M cùng đoán nhận xâu
co = ababb.
Thật vậy, đối vối ôtômat M ta xây d
n g chuỗi trạng thái
ứng với xâu vào co là:
co = a
b
a
b
b
A - > B -> D -> B ^ D - > E e F
252
Vậy M đoán nhận xâu co.
Đối vối N ta xây dựng cây đoán nhận xâu co = ababb như sau:
q,0 £ F. nên N đoán nhận co = ababb.
253
J2. NGÔN NGỮ CHÍNH QUY VÀ Biểu THỨC CHÍNH QUY
2.1. N g ô n ngữ c h í n h quy
G i ả sử X là b ả n g chữ h ữ u h ạ n k h ô n g rỗng. L* là t ậ p t ấ t cả
các x â u (kể cả x â u rỗng) được xây d ự n g t r ê n ì .
N h ư đ ã định nghĩa trưốc đ â y t h ì z = ì ' \ { } .
+
A
T ậ p con E c E ' được gọi là m ộ t n g ô n n g ữ t r ê n b ả n g ì .
T r ê n t ậ p t ấ t cả các n g ô n ngữ ta có t h ể đ ị n h nghĩa các
p h é p t o á n hợp, giao, p h ủ n b ù , n h â n v à l ặ p các n g ô n ngữ.
Trong các p h é p t o á n t r ê n , ta đặc b i ệ t c h ú ý ba p h é p t o á n
sau đây:
a) Phép hợp: Cho hai n g ô n ngữ Eị, E t r ê u t ậ p ì , ta định
2
nghĩa p h é p hợp E j
b) Phép nhăn:
Cho hai n g ô n ngữ El, E t r ê n ì , p h é p n h â n
2
E, vói E là E,.E = {áp l a
2
2
2
6
E,"p € E }.
2
c) Phép lặp: V ố i n g ô n ngữ E t r ê n ì ta đ ị n h nghĩa p h é p l ặ p
của E là
00
E
E = E \J E u E ^ ... = Ị J " • ở đ â y " =
+
2
3
E
E
E
-
E
(
n
l ủ n
>-
n=l
G i ả sử ì = {a!,a ,
2
a j , n g ô n ngữ 0 v à n g ô n n g ữ {ã,}
(i = l,2,...,n) được gọi là n g ô n ngữ sơ cấp t r ê n L.
Định
nghĩa
2 :
a) Các n g ô n ngữ sơ cấp t r ê n E được gọi là n g ô n n g ữ c h í n h
quy t r ê n E.
b) N ế u E v à F là hai n g ô n ngữ c h í n h quy t r ê n E t h ì E KJ F.
EF v à E cũng là n g ô n ngữ c h í n h quy t r ê n ì .
+
254
c) Không có ngôn ngữ chính quy nào khác trên ì ngoài các
ngôn ngữ chính quy được định nghĩa trong các bưốc a) và b) ở
trên.
Thông thường để diễn đạt các ngôn ngữ chính quy người
ta đưa vào biểu thức chính quy.
2.2. B i ể u thức c h í n h quy
Trên bảng X ta định nghĩa biểu thức chính quy theo các
bước đệ quy sau đây:
a. 0 là biểu thức chính quy, nó biểu diễn ngôn ngữ rỗng.
b. Nếu a 6 X thì a là biểu thức chính quy, nó biểu diễn ngôn
ngữ {a}.
c. Nếu r. s là hai biểu thức chính quy trên ì biểu diễn hai
ngôn ngữ R và s tương ứng. Khi đó:
(r) VJ (s) là biểu thức chính quy biểu diễn ngôn ngữ R VJ s.
(r) . (s) là biểu thức chính quy biểu diễn ngôn ngữ R . s.
+
(r)' là biểu thức chính quy biểu diễn ngôn ngữ R .
Từ định nghĩa vê ngôn ngữ chính quy và biểu thức chính
quy trên ì ta có:
Định lý 2: M ọ i ngôn ngữ chính quy trên bảng ì đều nhộn
được từ các ngôn ngữ hữu hạn bằng cách áp dụng một số hữu
hạn lần các phép toán hợp, phép nhân, phép lặp.
Định lý 3 : Một ngôn ngữ trên ì là chính quy khi và chỉ
khi nó biểu diễn được bởi một biển thức chính quy.
Chú ý: a) Một ngôn ngữ chính quy là vô hạn khi và chỉ khi
biểu thức chính quy biểu diễn nó có dấu + (phép lặp).
b) Lóp t ấ t cả các ngôn ngữ chính quy trên E là lốp bé nhất
chứa các tộp hữu hạn và đóng đôi vói các phép toán hợp, nhân
và lặp.
255
2.3. Thuật toán Thompson
Bài
toán:
Cho m ộ t b i ể u thức c h í n h quy. H ã y xây dựng
ô t ô m a t k h ô n g đơn định N đ o á n n h ậ n n g ô n n g ữ c h í n h quy t ừ
b i ể u thức c h í n h quy đã cho.
Thuật
toán:
Vào: M ộ t b i ể u thức chính quy r t r ê n bộ ì .
Ra: M ộ t ô t ô m a t N đ o á n n h ậ n n g ô n ngữ L ( r ) .
Sau đ â y là mô t ả t h u ậ t t o á n của Thompson :
Trưốc h ế t t á c h b i ể u thức chính quy r t h à n h các b i ể u thức
c h í n h quy t h à n h p h ầ n r,, r ,
r . Sau đó á p d ụ n g l u ậ t Ì, l u ậ t 2
2
k
đ ể x â y dựng các ô t ô m a t k h ô n g đơn đ ị n h Ni, N-2
ứng đ o á n n h ậ n các n g ô n ngữ LỘT]), L ( r )
2
N
k
tương
L ( r ) . Cuối c ù n g
k
d ù n g l u ậ t 3 để xây dựng ô t ô m a t k h ô n g đơn đ ị n h N đ o á n n h ậ n
n g ô n n g ữ L(r).
- Luật
1: Đ ố i v ố i ký h i ệ u A , xây d ự n g ô t ô m a t k h ô n g đơn
A
định N đ o á n n h ậ n n g ô n ngữ { } n h ư sau:
Start
A
KĐ—*®
v ố i i là t r ạ n g t h á i ban đ ầ u còn f là t r ạ n g t h á i k ế t t h ú c .
- Luật
2: V ố i a € ì , x â y dựng ô t ô m a t k h ô n g đơn định
đ o á n n h ậ n {a} n h ư sau:
Start
a
—CD——•©
vói i là t r ạ n g t h á i ban đ ầ u , f là t r ạ n g t h á i k ế t t h ú c .
- Luật 3: G i ả s
N(s), N(r) là các ô t ô m a t t h à n h p h ầ n ứng
v ố i các b i ể u thức c h í n h quy s v à r :
256
a) Đ ố i v ố i b i ể u thức c h í n h quy (s) u (r) ta x â y dựng
ô t ô m a t k h ô n g đơn định N đ o á n n h ậ n n g ô n ngữ s U I R n h ư sau:
ỏ đ â y i là t r ạ n g t h á i b a n đ ầ u , f là t r ạ n g t h á i k ế t t h ú c của N v à
N n h ậ n được b ằ n g c á c h t ổ hợp h a i ô t ô m a t t h à n h p h ầ n N(s) v à
N(r) theo sơ đồ b ả n g c h u y ể n t r ê n .
b) Đôi v ễ i b i ể u thức c h í n h quy (s).(r) t h ì ô t ô m a t k h ô n g đơn
định N đ o á n n h ậ n n g ô n n g ữ c h í n h quy S.R được cho dưễi dạng
b ả n g chuyển sau đ â y :
Start
•0
N(s)<3
-N(r)—@
vói i là t r ạ n g t h á i ban đ ầ u . f là t r ạ n g t h á i k ế t t h ú c , N n h ậ n
được t ừ N(s) v à N(r) b ằ n g cách l ấ y t r ạ n g t h á i ban đ ầ u của N(s)
l à m t r ạ n g t h á i ban đ ầ u của N . t r ạ n g t h á i k ế t t h ú c của N(r) l à m
t r ạ n g t h á i k ế t t h ú c của N v à đồng n h ấ t t r ạ n g t h á i k ế t t h ú c của
N(s) vói t r ạ n g t h á i b a n đ ầ u của N(r).
+
c) Đ ố i v ố i b i ể n thức c h í n h quy ( r ) b i ể u d i ễ n n g ô n n g ữ
f
chính qtiy R ta x â y dựng ô t ô m a t k h ô n g đơn định N đ o á n n h ậ n
R* theo b ả n g c h u y ể n đ u ố i đ â y :
257
A
-o
Start
-ỏ-ue^ò-
A
A
ở đ â y i là t r ạ n g t h á i ban đ ầ u , f là t r ạ n g t h á i k ế t t h ú c của N .
2.4. T í n h c h ấ t c ủ a n g ô n n g ữ c h í n h quy
Định
lý 4 : Lớp t ấ t cả các ngôn ngữ c h í n h quy t r ê n ì là
đ ó n g đ ố i v ố i các p h é p t o á n : hợp. n h â n , h i ệ u . l ấ y p h ầ n bù. n h â n
ghép và lặp.
Ì
Chứng
minh:
T í n h đóng đôi v ố i các p h é p t o á n hợp. n h â n
g h é p và l ặ p chứng m i n h theo định nghĩa b i ể u thức c h í n h quy.
Ta chứng m i n h t í n h đóng đối vói các p h é p t o á n còn l ạ i sau
đây:
a) P h é p h i ệ u giữa R| và ĩỉ-2 là 2 n g ô n ngữ c h í n h quv t r ê n
ì . G i ả sử R = R , \ R . ở đây R, = L ( M , ) . R
2
2
= L ( M ) và Mi là
2
ô t ô m a t đ o á n n h
n Ri (i = 1 , 2), với M i = < £ . Qị. ỗ|. q,, F|>.
M = < I . Q , ô , q . F >.
2
2
2
2
2
Ta x â y dựng ô t ô m a t M đ o á n n h
n R n h ư sau:
M = <E, Q. 5, q . F> v ố i Q = Q, X Q . q = (q,.q )e Q.
0
2
0
2
F = F, X ( Q A F , ) ,
còn ỗ: Q X ì -> Q được xác đ ị n h n h ư sau:
ô((q,q').x) = <ô,(q,x). Ô (q'.x)> v ớ i q € Q,. q- e Q . X 6 ì .
2
2
Kiểm tra l ạ i L ( M ) = R. hay R là ngôn ngữ c h í n h quy t r ê n ì .
b) P h é p l ấ y p h ầ n bù: N ê u R là n g ô n ngữ c h í n h quy t r ê n ì
t h ì ta có R cũng n g ô n ngữ c h í n h quy t r ê n ì .
258
T h ậ t v ậ y , g i ả sử M = <E, Q, ô, q , F> là ô t ô m a t đ o á n n h ậ n
0
R. K h i đó ô t ô m a t M ' =_<z. Q,_ỗ, q,„ F'> với F' = Q \ F là ô t ô m a t
đ o á n n h ậ n ngôn ngữ R, hay R là n g ô n ngữ c h í n h quy t r ê n X.
c) P h é p t o á n giao giữa hai n g ô n ngữ c h í n h quy R[ v à R .
2
Vì Ri n R = R]
2
<
n ê n t í n h đóng đ ố i v ố i p h é p giao
được suy ra t ừ t í n h đóng đ ố i với p h é p t o á n hợp và p h é p l ấ y
p h ầ n bù.
Định lý được chứng minh.
2.5. Quan hệ giữa ôtômat hữu hạn và n g ô n ngữ c h í n h
quy
Định
nghĩa
3: V ă n p h ạ m G = < £ , A, ì, R> được gọi là v ă n
p h ạ m c h í n h quy suy rộng n ế u m ọ i quy tệc trong R đ ề u có dạng
A
A -» aB, A -> a hoặc A -> , ở đ â y A, B e A, a e I ,
A
là ký h i ệ u
x â u rỗng.
D ễ d à n g n h ậ n t h ấ y rằng:
Định
lý 5 : Đôi vối v ă n p h ạ m c h í n h quy suy rộng G
bao giò cũng xâv dựng được v ă n p h ạ m c h í n h quy G' sao
ri.
L(G') = L(G) \
Định
cho
nghĩa
4: V ă n p h ạ m c h í n h quy suy rộng là v ă n
p h ạ m c h í n h quy m ẫ u n ê u nó k h ô n g có quy tệc A —> a.
Định
lý 6 : Đôi v ố i v ă n p h ạ m c h í n h quy suy rộng có t h ể
xây dựng được v ă n p h ạ m c h í n h quy m ẫ u t ư ơ n g đương v ố i nó.
Chứng
minh:
G i ả sử G = <z. A. ì. R> là v ă n p h ạ m c h í n h
quy suy rộng. T h ê m ký h i ệ u K v à o A v à đ ặ t A' = A <^{K).
Đ ố i v ố i m ỗ i quy tệc A -> a e R thay bởi cặp quy
A -> aK, K ->
A
tệc
ta được R'. Rõ r à n g v ă n p h ạ m G' = < £ , A , ĩ, R'>
là v ă n p h ạ m c h í n h quy m ẫ u v à L(G) = L(G').
259
Định
nghĩa
5: C h o v ă n p h ạ m c h í n h q u y m ẫ u
G = < I . A. ì . R > .
K h i đ ó G có t h ể b i ể u d i ễ n q u a đ ồ h ì n h đ ư ợ c đ ị n h n g h ĩ a
n h ư sau:
C á c đ ỉ n h của đ ồ h ì n h l à c á c k ý h i ệ u h ỗ t r ợ t r o n g A. Đ ố i v ố i
c ặ p đ ỉ n h A . B e A. s ô c u n g đ i t ừ A s a n g B s ẽ b ằ n g s ô q u y t ắ c có
d ạ n g A - > a B c ủ a G. M ỗ i m ả t c u n g đ ư ợ c đ á n h d ấ u b ở i k ý h i ệ u
cơ b ả n a e ì t r o n g q u y t ắ c t ư ơ n g ứ n g . Đ ỉ n h ứ n g v ố i k ý h i ệ u b a n
đ ầ u ì g ọ i là đ ỉ n h b a n đ ầ u . c ò n đ ỉ n h A ứ n g v ố i q u y t ắ c A ->
A
gọi
là đ ỉ n h k ế t t h ú c .
Đ a đồ t h ị vừa được đ ị n h nghĩa n h í t t r ê n gọi là đồ h ì n h của
văn phạm.
Ví dụ: Cho v ă n p h ạ m c h í n h q u y m ẫ u :
G = < I . A. ì, R > , v ố i
ĩ, = {a. b . c. ả. e, í } . A = { I . A , B .
R = { I -> aA. I -> b A . A -> dA. A ->
c
-> eD.
c
A
be. c
A
c,
D}
-> cB. B -> bA.
-> f D . B -> e l . I -> . B -> . D ->
A
I
Đ ồ h ì n h c ủ a G có d ạ n g n h ư h ì n h d ư ớ i đ â y :
e
Đ ỉ n h đ ầ u là ì . c á c đ ỉ n h k ế t t h ú c là I . B . D . N ế u A , . A ,
A„
là đ ư ò n g t r o n g đ a đ ồ t h ị c ủ a v ă n p h ạ m c h í n h q u y m ẫ u đ ã cho
sao cho v ó i m ỗ i i = Ì , 2
260
l i có c u n g đ i t ừ A i Ì s a n g A i đ ư ợ c
đ á n h d ấ u bởi ký h i ệ u a, thì c h ú n g ta nói r ằ n g đường đã cho sinh
ra xâu aia ...a„ .
2
Đ ư ờ n g b ấ t kỳ có độ d à i 0 theo định nghĩa nó sinh ra
A
x â u . Rõ r à n g x â u X sinh ra bởi m ộ t đường b ắ t đ ầ u t ừ đỉnh A
•và k ế t t h ú c ở đ ỉ n h B k h i và chỉ k h i A I = x B (ký h i ệ u I = nghĩa
là hoặc d ẫ n được t ừ A hoặc t r ù n g vói A).
C h ú n g ta gọi đường Ao, À,
A n là chu t r ì n h n ê u Ao = A n
v à là đường đ ầ v đ ạ n ế u Ao = ì còn A„ là đ ỉ n h k ế t t h ú c (tức
A„ —>
A
là m ộ t quy tắc trong R cạa G).
T ừ các k h á i n i ệ m t r ê n ta suy ra: t ậ p d ẫ n x u ấ t đ ầ y đ ạ
trong v ă n p h ạ m G v à t ậ p các đ ư ờ n g đ ầ y đ ạ trong đa đồ t h ị cạa
G có t ư ơ n g ứ n g 1-1. đồng t h ờ i x â u X e L(G) k h i và chỉ k h i X
được sinh ra bởi đường đầy đ ạ t r o n g đ a đồ t h ị cạa G.
Chú ý: Đ ố i với v ă n p h ạ m c h í n h quv suv rộng k h ô n g p h ả i
là m ẫ u t h ì cũng lý l u ậ n n h ư t r ê n ta x â y d ự n g được đồ h ì n h cạa
nó.
Ví dụ: Cho G = <z. A. ì, R> là v ă n p h ạ m chính quy suy
rộng với R = {ì -> a i . I -> aB. B -> bB. B - » b}. Đồ h ì n h cạa G
được xây dựng n h ư san: đ ư a G v ề v ă n p h ạ m m ẫ u G' bằng cách
A
thay quy tắc B —» b bởi 2 quy tắc B -> b K v à K -> . Đồ h ì n h
cạa v ă n p h ạ m m ẫ u G' cũng là đồ h ì n h cạa G có dạng dưới đây:
a
ỏ đây ì là đ ỉ n h ban đ ầ u . K là đ ỉ n h k é t t h ú c .
Định
nghĩa
6: T ư ơ n g t ự n h ư đồ h ì n h cạa v ă n p h ạ m
c h í n h quy suy rộng. ta có t h ể đ ị n h nghĩa đồ h ì n h cạa ô t ô m a t
hữu h ạ n theo n g u y ê n tắc sau đ â y :
Các đ ỉ n h cạa đồ h ì n h là các t r ạ n g t h á i cạa ô t ô m a t .
261
N ế u trong ôtômat M = < I . Q, s. q . F> mà ỗ(q,a) = q' . vối
0
q 6 Q. a 6 E t h ì trong đồ h ì n h từ đỉnh q đ ế n đ ỉ n h q' có một cung
v à t r ê n cung đó được g á n m ã a. q„ là đỉnh ban đ ầ u .
Đỉnh q cũng được gọi là đỉnh ban đ ầ u n ê u ứng v ố i nó ta có
ô(q„. #) = q. Các đỉnh đ á n h dấu bằng các t r ạ n g t h á i k ế t thúc gọi
là các đỉnh k ế t t h ú c (# là ký hiệu biên b ê n t r á i ) .
K h á i n i ệ m một x â u sinh ra bởi một đường, k h á i n i ệ m chu
t r ì n h , k h á i n i ệ m đường đ ầ y đậ V . V . . cũng được đ ị n h nghĩa n h ư
trong đồ t h ị cậa v ă n p h ạ m ô t ô m a t suy rộng.
Chú ý: T ừ định nghĩa đồ h ì n h cậa ô t ô m a t h ữ u h ạ n ta suy
ra: một x â u sinh ra bởi đường đ ầ y đ ậ trong đồ h ì n h cậa ô t ô m a t
k h i v à chỉ k h i x â u đó được đ o á n n h ậ n bởi ô t ô m a t đó. Ngoài ra
ô t ô m a t đ o á n n h ậ n x â u rỗng k h i và chỉ k h i giao giữa tập các
đỉnh ban đ ầ u và t ậ p các đỉnh k é t t h ú c trong đồ h ì n h là k h á c
rỗng.
T ừ k h á i n i ệ m đồ h ì n h cậa v ă n p h ạ m và đồ h ì n h cậa
ô t ô m a t h ữ u h ạ n ta suy ra định lý sau đây:
Định
lý 7 :
a) Đòi với v ă n p h ạ m chính quy suy rộng b ấ t kỳ có t h ể xây
dựng được ô t ô m a t h ữ u h ạ n tương đương với nó.
b) Đ ố i vói ô tô mat h ữ u h ạ n b ấ t kỳ có t h ể x â y dựng được
v ă n p h ạ m c h í n h quy suy rộng tương đương v ố i nó.
T ừ các k ế t q u ả t r ê n ta có định lý quan t r ọ n g sau đây:
Định
lý s :
a) Lốp các ngôn ngữ c h í n h quy t r ù n g với lớp n g ô n ngữ do
v ă n p h ạ m c h í n h quy sinh ra.
b) Ngôn ngữ t r ê n b ả n g ì là đ o á n n h ậ n được bởi ô t ô m a t
h ữ u h ạ n k h i và chỉ k h i ngôn ngữ đó là ngôn ngữ c h í n h quy.
262
BÀI T Ậ P
1. Ô t ô m a t M được cho dưới d ạ n g b ả n g chuyển sau
Trạng thái
Ký h i ệ u vào
0
1
qo
q2
q<
Q]
Q3
q
Q2
Qũ
Q3
qi
q<
q
3
q
4
0
Với t r ạ n g t h á i ban đ ầ u và t r ạ n g t h á i k ế t t h ú c là q .
0
a) V i ế t đ ầ y đ ủ theo định nghĩa của M .
b) M là ô t ô m a t đơn định hay k h ô n g đơn định ? Vì sao ?
c)
Đ ư a ô t ô m a t M vê dạng đồ t h ị chuyển.
d) K i ể m tra l ạ i sự (toán n h ậ n của M đối v ố i các x â u sau:
co, = 001110111000;
© 2 = 110111101111.
Theo định nghĩa L ( M ) = {co / ra e X* và ơ(q , 0) 6 F}.
0
2.
Ô t ô m a t M được cho dưới b ả n g chuyển n h ư sau:
Trạng thái
Ký h i ệ u vào
a
b
{q.,q }
0
3
0
{qo.q.}
q-2
Q4
q
0
q-t
q.5
0
Qõ
q
0
5
2
263
V ố i t r ạ n g t h á i b a n đ ầ u l à q„ c ò n t r ạ n g t h á i k ế t t h ú c l à
q và q .
2
3
a)
V i ế t đ ầ y đ ủ M dưới dạng định nghĩa.
b)
M l à ô t ô m a t đ ơ n đ ị n h h a y k h ô n g đ ơ n đ ị n h ? V ì sao ?
c)
V i ế t M dưới d ạ n g đồ t h ị chuyển.
d)
M ô t ả s ự đ o á n n h ậ n c ủ a M đ ố i v ố i x â u co t h e o c á c h x â v
dựng cây đoán nhận với :
co = a"ba"
( v ố i n > 1).
n
m
(n>l,m>2),
n
m
( n > Ì , m > 3).
0) = a b
co = b a
Cho c á c ô t ô m a t h ữ u h ạ n đ u ố i d ạ n g đ ồ t h ị c h u y ê n n h ư s a u :
a)
V i ế t đ ầ y đ ủ t h e o đ ị n h n g h ĩ a M i v à M-2 d ư ớ i d ạ n g b ả n g
chuyển.
b)
Mô t ả ngôn ngữ đoán n h ậ n của M , v à M .
2
Cho c á c ô t ô m a t h ữ u h ạ n đ ư ờ i d ạ n g đ ồ t h ị c h u y ê n
