Luận văn bất đẳng thức dạng hermite hadamard cho hàm tựa lồi

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2

DƯƠNG BÍCH HỒNG

BẤT ĐẲNG THỨC DẠNG HERMITE-HADAMARD
CHO HÀM TựA LỒI

LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2016


DƯƠNG BÍCH HỒNG

BẤT ĐẲNG THỨC DẠNG HERMITE-HADAMARD
■

CHO HÀM TỰA LỒI

LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số:
60 46 01 02

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS. TẠ DUY PHƯỢNG


LỜI CẢM ƠN

Sau một thòi gian đọc tài liệu và tập dượt nghiên cứu khoa học, luận văn của tôi
đã được hoàn thành.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo PGS. TS. Tạ Duy Phượng đã tận tình
chỉ bảo, hướng dẫn, tạo điều kiện cho tôi trong thòi gian làm luận văn.
Tôi xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ quý báu của các thầy cô giáo trong bộ môn
Toán Giải tích nói riêng và khoa Toán, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 nói chung.
Tôi xin cảm ơn sự động viên, giúp đỡ của gia đình và bạn bè đã dành cho tôi trong
quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn.

Hầ Nội, ngày 05 tháng 07 năm 2016
Tác giả luận văn

Dương Bích Hồng


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận văn này là kết quả nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng
dẫn của PGS. TS. Tạ Duy Phượng.
Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa
học với sự trân trọng và biết ơn. Các kết quả trích dẫn trong luận văn này đã được chỉ
rõ nguồn gốc.
Hầ Nội, ngầỵ 05 tháng 07 năm 2016
Tác giả luận văn

Dương Bích Hồng


5

Mục lục

Tài liêu tham khảo

64


6

Lời Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Giải tích lồi đã và đang đóng một vị trí quan trọng trong toán học. Giải tích lồi liên
quan đến rất nhiều ngành của toán học như giải tích, giải tích hàm, giải tích số, hình
học, toán kinh tế, tối ưu phi tuyến,... Một kết quả kinh điển cho hàm lồi là Bất đẳng
thức Hermite-Hadamard (H-H Inequality), được phát biểu trong Định lí dưới đây.
Định lí 1 (Hermite, 1883, [14]; Hadamard, 1893, [13])
Nếu f: R —> R là hàm lồi trên đoạn [a; b] thì ta có

a

Bất đẳng thức trên có thể viết dưới dạng

- a )f (^y^) ^ / /(*)<** ^ (ồ -

2

a

Ý nghĩa hình học của bất đẳng thức này là: Nếu f : R — > R l à hàm lồi trên đoạn [a;
ồ] thì diện tích hình thang cong chắn bởi trục hoành và đồ thị hàm số y = f ( x )
(cùng với hai đường thẳng

nhật có cạnh là b — a và f

X

= a và

X

= b) luôn lớn hơn diện tích hình chữ
và luôn nhỏ hơn hình

thang vuông chiều cao là b — a, hai đáy là /(a) và f ( b ) .


7

Tức là diện tích hình thang cong không lớn hơn diện tích hình thang vuông ABCD và
không nhỏ hơn diện tích hình chữ nhật ABMN. Từ đây ta cũng suy ra diện tích hình
tam giác cong NDP bao gid cũng nhỏ hơn diện tích tam giác cong MCP.

Hình 1: Ý nghĩa hình học của bất đẳng thức Hermite-Hadamard

Trong [15], Fejer đã mở rộng bất đẳng thức (1) thành bất đẳng thức
(2) , mà sau này được gọi là bất đẳng thức Fejer.
Định lí 2 Nếu f : E —> M ỉà ỉồi trên [a, b] và g : [a, 6] —> R ỉà một hàm không
ăm,khả tích và đối xứng qua điểm = thì

ỉ (^) J*

9(t)dt<

f(t )g(t )dt <

/(a)

yM J

f
b

(2)

Khi g ( x ) = 1 thì Bất đẳng thức Fejer trỏ thành Bất đẳng thức Hermite- Hadamard.
Sau đó, nhiều tác giả đã mỏ rộng các bất đẳng thức Hermite-Hadamrd và sử dụng
chúng đề đặc trưng và nghiên cứu các tính chất của hàm lồi. Xem thí dụ cuốn sách
chuyên khảo [6], [7] và các Tài liệu tham khảo khác. Nhiều bài toán thực tế mô tả bỏi
các hàm không nhất thiết là lồi. Vì vậy,
Cần phải mở rộng khái niệm hàm lồi và nghiên cứu các tính chất của hàm lồi suy rộng,
nhằm áp dụng vào các bài toán tối ưu nảy sinh trong thực tế.
Một bài toán hiển nhiên được đặt ra là phát biểu và chứng minh các bất đẳng thức dạng


8

Hermite-Hadamard cho các lớp hàm lồi suy rộng, vấn đề này đã được nhiều nhà toán
học nghiên cứu và phát triển. Thí dụ, bất đẳng thức Hermite-Hadamard đã được mở
rộng cho các lớp hàm tựa lồi, lớp hàm log-lồi, lớp hàm r - lồi,...
Một trong những cách xây dựng và nghiên cứu lớp hàm lồi suy rộng, là giữ lại một
(một số) tính chất đặc trưng của hàm lồi. Thí dụ, ta đã biết, hàm lồi có tập mức dưới là
tập lồi và hàm lồi liên tục trên tập compact đạt giá trị lớn nhất tại biên. Hai tính chất

này vẫn còn đúng cho lớp hàm tựa lồi. Do ý nghĩa toán học và ý nghĩa thực tế, có thể
nói, trong số các lớp hàm lồi suy rộng, lớp hàm tựa lồi được nghiên cứu đầy đủ hơn cả.
Mục đích chính của Luận văn này là trình bày tỏng quan về Bất đẳng thức H ermiteHadamard cho các lớp hàm tựa lồi.

2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu bất đẳng thức dạng Hermite-Hadamard cho các lớp hàm tựa lồi.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Tìm hiểu chứng minh các bất đẳng thức dạng Hermite-Hadamard cho các lớp hàm
tựa lồi và một số vấn đề liên quan.

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
• Đối tượng nghiên cứu: Các bất đẳng thức dạng Hermite-Hadamard cho các lớp
hàm tựa lồi.
• Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, các sách báo liên quan đến bất đẳng thức
Hermite-Hadamard cho các lớp hàm tựa lồi.

5. Phương pháp nghiên cứu
Thu thập tài liệu, các sách báo về các bất đẳng thức dạng Hermite- Hadamard cho


9

các lớp hàm tựa lồi.
Tổng hợp, phân tích, hệ thống các kiến thức về bất đẳng thức Hermite- Hadamard cho
các lớp hàm tựa lồi

6. Dự kiến đóng góp của luận văn:
Cố gắng xây dựng luận văn thành một bản tỏng quan tốt về Bất đẳng thức HermiteHadamard cho hàm tựa lồi.
Hà Nội, tháng 7 năm 2016

Tác giả

Chương 1

Dương Bích Hồng

Bất đẳng thức Hermite-Hadamard cho lớp
hàm tựa lồi
Trong chương này, chúng tôi trình bày một số đặc trưng cơ bản của hàm lồi, chứng
minh các bất đẳng thức dạng Hermite-Hadamard cho hàm lồi một biến và một số mở
rộng của Bất đẳng thức Hermite-Hadamard, Bất đẳng thức Hermite-Hadamar cho hàm
tựa lồi. Nội dung Chương 1 chủ yếu theo Tài liệu [11], [6], [7] và tham khảo thêm một
số tài liệu khác.

1.1 Hàm lồi và một số đặc trưng cơ bản của hàm lồi khả vi


1
0

Định nghĩa 1.1. Tập X c Rn được gọi là lồi nếu với mọi X E [0; 1] và X\ E X, x 2 £ X
ta có
X\ := Xx\ + (1 — X)x 2 £ X.
Nghĩa là, tập lồi X chứa mọi đoạn thẳng nối hai điểm bất kỳ của nó.
Định nghĩa 1.2. Hàm f : X c Rn —> R được gọi là hàm lồi nếu X là tập lồi và với
mọi X E [0; 1], Xị E X, X 2 c X ta có
ỉ (ZA) < X f { x l ) + (1 - X ) f ( x 2 ) .


1

1

Định lý 1.1. (Theorem 2.1, [11], p. 42-43) Hàm thực f(t) xác định trên tập mở (a,b)
là lồi nếu và chỉ nếu nó liên tục trên (a,b) và có cấc đạo hàm trái có giá trị
hữu hạn
r _ ( t ) :=lg» / ( t

+ ft

>- / ( t ) )

với mọi a < t\ < ¿2 < b.
Chứng minh, (i) Cho /(í) là hàm lồi. Nếu 0 < s < / i v à t + / i < b thì điểm (t + s, f(t +
s)) là nằm dưới đoạn thẳng nối (í, /(í)) và (t + h, f(t + h ) ) , bởi vậy
f{t + s) - f{t) < f{t + h)~
f{t)
[f(t +h) -

Điều này chỉ ra rằng hàm số h I— >

f { t )]
h
h ị 0. Suy ra nó có một giới hạn f' + (t) (hữu hạn hoặc tồn tại

(1.2)

là không giảm khi =
—oo). Tương tự,
= t + s,h = s + r,

(hữu hạn hoặc = +oo). Hơn nữa, đặt y ta cũng có
f{t + s) - f{t ) < f{y + r) - f ( y )
s

^

r

Điều đó chỉ ra rằng f' + (t) < f' + (y) với t < y và do đó f' + (t) là không giảm. Cuối cùng,
ta viết lại (1.3) như sau
f{y - s) - f { y )
- f(y)
— s

<

f{y + r)

r


1
2

Lấy — s î 0, r ị 0 ta thu được f'_(y) < f' + {y), điều này chứng minh cho bất đẳng thức
thứ nhất của (1.1) và tính hữu hạn của các đạo hàm này. Vì f'_(t ) tồn tại hữu hạn nên
suy ra
lim
fcîo

ỉ{t + h)

-

m

h

= 0.

=> lim/(í + h) = f { t ) .
Tương tự, do f' + {t) tồn tại hữu hạn nên
lim
hị 0

ỉ{t + h)

-

m

= 0.

h

=> lim/(í + h) = /(í).
hị 0
Do đó, /(í) liên tục tại mọi t G (a, b).
Hơn thế nữa, đặt X = Xi, y + r = X 2 trong (1.3) ta được
f{x1 + s) - /(XỊ) < f(x 2) - f(x 2 - r) s

-

r

hay
f { x 1 + s ) - /(æi) < f { x 2 - r ) - f { x 2 )
s

(1.4)

—r

Lấy s ị 0, — r t 0 trong (1.4) ta được bất đẳng thức thứ hai trong (1.1)
(ii) Giả sử rằng hàm / có tất cả các tính chất được đề cập trong Định lý 1.1 và chọn c, d
sao cho c , d G (a, b ) . Xét hàm số:
9 { t ) = f { t ) - /(c) - { t -

c

):

f{d) - f(c)
d — c

Với mọi t = (1 — A)c + Ad , ta có
9 { t ) = f { t ) - /(c) - x ư { d ) - /(c)] = f ( t ) — [(1 — A)/(c) +
Xf(d)].

1
3

Để chứng minh cho tính lồi của f ( t ) thì ta cần phải chỉ ra rằng g ( t ) < 0 với mọi t G
[c , d ] . Giả sử điều ngược lại rằng, giá trị lớn nhất của g ( t ) trên đoạn [c , d ] là
dương (giá trị lớn nhất của g ( t ) tồn tại vì g ( t ) là hàm số liên tục trên đoạn compact
[c,d]).
Lấy e G [c , d ] là điểm mà tại đó hàm số đạt được giá trị lớn nhất.
Nếu A = 0 thì t = c, ta suy ra
g { c ) = f ( c ) - f ( c ) = 0;
Nếu A = 1 thì t = d , ta suy ra
g { d ) = ỉ { d ) - ỉ { d ) = 0.
Suy ra g ( c ) = g ( d ) = 0. Vì g ( t ) chỉ sai khác /(í) một đại lượng hằng số nên g ( t )
có cùng tính chất với hàm /(í) trong giả thiết, cụ thể là: g'_(t), g' + (t) tồn tại với mọi t
G ( c , d ) , g ' _ ( t ) < g' + (t), g' + (t) là hàm số không giảm và g'+{ti) < g'-{t 2) với tị <
t2.
Vì g ( e ) > g ị t ) Ví G [c , d ] nên ta có
g'-{e) > 0 > g' + (e),
và do đó
ỡ-(e) = g' + {e ) = 0.
Mặt khác, g' + (t ) là hàm không giảm nên hiển nhiên g' + (t ) > g' + (e ) > 0 Ví G [ e , d ] .
Ta sẽ chỉ ra rằng, g'_(y ) > 0 Vy G [ e , d ] . Thật vậy, giả sử phản chứng, g'_(y) < 0
với y G (e , d ] nào đó thì g' + (t) < g'_ (y) < 0. Mà g' + (t ) > 0 Ví G [ e , d ] nên g ' ( t )
= 0 với mọi t G [e , y ). Vì g ( t ) là hàm hằng trên [ e , d ] . Do đó g ( y ) = g ( e ) > 0.


1
4

Do g ( d ) = 0 nên tồn tại y G (e , d ) sao cho g'_(y ) > 0. Lấy tị G [y, d) làđiểm mà tại

đó hàm g(t ) đạt được giá trị lớn nhất trên đoạn [y, d].
Suy ra, g' + (t\ ) < 0, mâu thuẫn với g' + (y ) > g'_{y ) > 0. Do đó g(t ) < 0 với mọi t G
[c,đ\. Định lí được chứng minh.

□

Hệ quả 1.1. (Corollary 2.1, [11], p.44) Hàm khả vi Ị(t) trên tập mở (a,b) là hàm lồi
nếu và chỉ nếu đạo hàm của nó là một hàm không giảm trên (a,b). Hàm f(t) khả
vi hai lần trên tập mở (a,b) là hàm lồi nếu và chỉ nếu đạo hàm cấp hai của nó
không âm trên toàn khoảng (a,b).
Hệ quả này gợi ý mở rộng tiêu chuẩn hàm lồi cho hàm nhiều biến. Ta có

cç

Định lý 1.2. (Proposition, [11], p.44) Hàm f(x) hai lần khả vi trên tập lồi mở

Q x •Ì Q i j { ^ ) ) ì

ì«(z) ::

92/
dxidx.

M" là hàm lồi nếu và chỉ nếu ma trận Hessian
của nó là nứa xác định dương, tức là < u, Q x u >>0 với mọi ì i G R n .
Chứng minh. Hàm số / là lồi trên

c nếu và chỉ nếu với mỗi a G c và U G Rn thì hàm

số ự>au{t) = f(a + tu) là lồi trên khoảng số thực mở {t I a + tu G C}. Với X = a +

tu G c, theo công thức tính đạo hàm của hàm hợp ta có tp' ữỊU {t) = (u, §£} và
(u,

=

= (u, Q x u ) . Mà

hàm số g>a,u{t) = f(a T tu) là lôi trên khoảng sô thực mở -ịt I ữ T tu G ữ} nên theo
Hệ quả 1.1 thì ự>" u {t) > 0.
/

9

1.2 Bât đăng thức Hermite-Hadamard

□


1
5

Định lý 1.3. (The Hermite-Hadamard Integral Inequality, [6], p. 55-56) Nếu f : K —>
K là hàm lồi trên đoạn [ a , b] thì ta có

Chứng minh. Do tính lồi của / trên [ữ, b] với mọi t G [0,1] ta có f ( t a + (1 - t ) b )
< t f ( a ) + (1 - t ) f ( b ) .
Tích phân theo t trên đoạn [0,1] ta được
í f ( t a + (1 — t)b)dt < f ( a ) í t d t + f ( b ) í (1 — t)dt.
J0

*'0

J ũ

Từ
/ tdt = / (1 — t)dt = do do
và đỏi biến X = ta + (1 — t)b, suy ra

1

2

[ f ( t a + (1 — t)b)dt = 7-------- [ f ( x ) d x .

J0

^

Ta được bất đẳng thức thứ hai
của (1.5), / f { x ) d x <
tức là
J a

&

J

a

/(«) + /(&)

1
ồ—a
Do tính lồi của / ta cũng có:
ị [ f { t a + (1 - t ) b ) + /((1 - t ) a + t b )]
>/

t a + (1 — t ) b + (1 — t ) a
+ tb

= /1^6).

Tích phân bất đẳng thức này theo t trên đoạn [0, 1] ta được
/(-y-) < 2 \ _ J f { t a + ( l - t ) b ) d t + J /((1 - t)a + tb)dt í f ( x ) d x .
J a

b —
a


1
6

Như vậy ta đã chứng minh được bất đẳng thức thứ nhất của (1.5)
bhl n*v*>f(ĩ±±).
1

□
Hệ quả 1.2. ([6], p. 56-57) Nếu g : [a, b] —> K là hàm khả vi hai lần trên [a, b]
và m < g ” ( t ) < M v ớ i m ọ i t G [ a , b ] t h ì

m

24

9{ t ) d t- g ( ° ^ ) < ^ { b - a ) 2 .

(1.6)

Chứng minh. Nếu /(í) = g ( t ) 1 2 , thì f " ( t ) = g"(t) — m > 0. Điều này

2

(1.5) cho / ta được

{ a + b\

m ( a +
b
Tv 2 ,
m 2 9 dt
—í
2J
b
1 f—t 2mdt2 /
—
Ja 2
a m Ồ3 - ữ3

2 3(ồ — ữ)
2

m ữ + ab +
b
2
3
chứng tỏ / là lồi trên (a,b ). Áp dụng bất đẳng thức Hermite-Hadamard
Điều này nghĩa là:


1
7

Vế thứ nhất của bất đẳng thức (1.6) được chứng minh.
M
Chứng minh tương tự với hàm lồi h(t ) = —t 2 — g ( t ) , t G [ a , b ] ta được vế

2

Chứng minh. Bất đẳng thức trên được chứng minh bằng cách áp dụng Bất đẳng
g ( a ) + g ( b ) m (ạ2 + b 2 )

=

/(ạ) + f ( b ) 2 2 2
—

thức Hermite-Hadamard (1.5) cho hàm /(í) = g(t )----------------------------------1 2 như
£d

sau:

0
1

-

ũ J a
/‘b I" . . ra 2

=

1

/‘b . . ra
=

ữ2 + ồ 2 ữ2 + a b + b 2

ra

T

2

3

<

g(a) + g(b)
<t4>—(Ồ - a ) <
I2

y

}

r^y. [9(t)“?‘
0 —ã 7a 9(t)íỉt-?

g(a) +g(b)
_ 2

dt
a2 + ab +
b2

-Ị

b- ũ J

g{t)dt

a

b

1f
— / ỡ(í)^ữJ a

2

Điều này tương đương với:
vế thứ nhất của (1.7) đã được chứng minh.
Vế thứ hai được chứng minh tương tự.
Kết quả sau đây là tổng quát hóa bất đẳng thức thứ nhất của Bất đẳng thức
Hermite-Hadamard (1.5).

□


1
8

Định lý 1.4. ([6], p. 57) Giả sử a , b G / ç R với a < b , f : R —> R là hàm lồi
trên I. Khi đó với mọi t G [ a , b ] và A G [ f ' _ ( t ) , f ' + (t)] ta có bất đẳng
thức:
M+A(4^“*)

- r b / /(*)*■

Chứng minh. Giả sử í G [ a , b ] , với mọi A G [ f ' _ ( t ) , f ' + ( t ) ] ta có bất đẳng
thức:

f{x) - f{t) > \{x - t)
với mọi X G [ a , b ] .
Lấy tích phân hai vế của bất đẳng thức trên trên [ a , b ] theo X , ta được

J f{x)dx- {b- a)f{t)>

A(ò-

bhl
Ta có điều phải chứng minh.
a+b
,

□

,

,

Với t = --------- ta có vê thứ nhât của Bât đăng thức Hermite-Hadamard
trong Bất đẳng thức (1.5).
Ngoài ra ta có các trường hợp cụ thể sau đây.
Nhận xét 1.1. ([6], p. 58) Giả sử hàm f được cho như trên và 0 < a < b.
(i) Nếu f' + (y/ab) > 0, thì
r^— / f { x ) d x > f ( V a b ) \
b — a Ja
thĩ

(ii) N ế u

ồ—
a
1

5


(iii)

1
9

Nếu f là khả vi tại a và b, thì

J f { x ) d x > max Ị/(a) + /'(a)^A f { b ) + /'( & )^Ỹ^Ị
và
0 < M ± M _ J_ r

2 b- aJa

f{x)dx

JK J

< m±m {b _ a);
2 v

(iv)iVếrí hàm f khả vi tại điểm Xi G [a, 6], Pi > 0 sao cho
Pn-=^2pi> O
Í=1
va
i=l

i=l

thì ta có bất đẳng thức

ĩ ~ _ / /(æ)rfæ > - ß - Y ^ P i f M 0 O' Ja

*n

i= 1

vế thứ hai của Bất đẳng thức Hermite-Hadamard được mở rộng như sau.
Định lý 1.5. ([6], p. 59) Giả sử a , b G / ç R với a < b ,

Ị :R—> R tò

hàm lồi trên I. Khi đó với mọi t G [a, ồ] ta có bất đẳng thức

— ỉ ' / (»)d» <
b — a Ja

2

+1. */(*) - a^a> - * ( / ( * ) - / ( « »
2

ồ— a

Chứng minh. Không làm mất tính tổng quát, giả sử / khả

vi trên (ữ, ồ).

Ta có bất đẳng thức

f{t) - f(x) > f{x){t - x)
với mọi y, X G (ữ, ồ).

Lấy tích phân hai vế theo X bất đẳng thức trên trong [ữ, ồ], ta được:
(ồ - a ) f ( t ) -

Ị f(x)dx > t(f(b) -

J a

/(a)) - Í x f ( x ) d x .
J a

(1,8)


2
0

Đơn giản biểu thức trên ta được:

Í xf'(x)dx = bf(b) - af(a) - Í f(x)dx.
J a

J a

Khi đó Bất đẳng thức (1.8) trở thành:
(6 - a)/(t) - t(/(ò) - f ( a ) )

+ bf(b) - af(a) > 2 j

f(x)dx

«. M +1.
22

- ĩM - ỉm. - /(“» > J_ /* f { x ) d x .
b —ữ

b — a Ja

□

Ta có điều phải chứng minh.

1.3 Bất đẳng thức Hermite-Hadamard cho hàm tựa lồi
1.3.1

Hàm tựa lồi

Ta bắt đầu từ các định nghĩa sau.
Định nghĩa 1.3. Hàm f : I —ì R được gọi là tựa lồi (quasi convex) trên I,kí hiệu Ị
G Q C Ự ) , n ế u v ớ i m ọ i X \ , X 2 & I v à v ớ i m ọ i X G [0,1], t a c ó
f ( X x 1 + (1 - A)Z2) < max{/(ii), f ( x 2)}.
Định nghĩa 1.4. Hàm f : I —> R được gọi là tựa đơn điệu (quasi mono- tone)
trên I, kí hiệu f G Q M ự ) , nếu nó hoặc là đơn điệu trên I = [a, b], hoặc là đơn
điệu không tăng trên mỗi khoảng con

[a, d\ c I và đơn điệu không giảm trên

đoạn [ c ' , b ] .
Ta có bổ đề sau.
Bổ đề 1.1. ([8], Lemma 4.1) Giả sứ ánh xạ f : u —> M., Ư C Rn. Khi đó f là hàm

tựa lồi trên u khi và chỉ khi với mọi X, y G u, ánh xạ i p : [0,1] —> với í p ( t ) =
/((1 — t ) x + t y ) là tựa lồi trên [0,1].


2
1

Chứng minh. "■<=". Giả sử tp : [0,1] —> R, với í p ( t ) = /((1 — t ) x + t y ) là
tựa lồi trên [0,1] với mọi X , y G ư , X , y không đỏi.
Lấy A G [0,1] tùy ý nhưng không đỏi. A = (1 — A) • 0 + A • 1, như vậy ta có /((1 A)x) + Ay ) = < max{<^(0), Suy ra / là tựa lồi trên u.

Giả sử / là tựa lồi trên u. i p : [0,1] — > M

xác định với í p ( t ) = /((1 — t ) x + t y ) ] X , y G ư không đỏi. cần chứng minh t p
là tựa lồi trên [0,1].
Giả sử ¿1, ¿2 € [0,1] và A G [0,1]. Khi đó
¥>((1 - A)ti + A Í 2 ) = /([l — (1 — A)íi - A t 2 ] x + [(1 - A)íi - A t 2 ] y ] )
= /((1 - A)((l - t ị ) x + t i y ) + A((l - t 2 ) x + t 2 y ) )
< max{/((l - t ị ) x +

- t 2 ) x + t 2 y )}

= max{(,ỡ(íi), y>(t 2 )}.
Vậy y) là tựa lồi trên [0,1].
Ta có điều phải chứng minh.

□

Lớp hàm đơn điệu Q M ự ) đặc trưng cho lớp hàm tựa lồi Q C Ự ) qua định lý sau.
Định lý 1.6. ([6], p. 80) Giả sử I CR. Các khẳng định sau đây là tương đương cho
hàm f : I —> R:
(a) / e Q M ự ) ;
(b) Với mọi khoảng con của I, hàm f đạt supremum tại điểm cuối.
(c) / G Q C Ự ) .
Chứng minh, (a) => (ồ): Suy ra trực tiếp từ định nghĩa hàm tựa đơn điệu, (ồ) =>
(ữ) : Giả sử với mọi khoảng con của I, hàm / đạt Supremum tại điểm
cuối, nhưng / Ệ Q M ự ) . Khi đó tồn tại điểm x , y , z G I với X < y < z và f { y ) >
max{/(æ),

điều này mâu thuẫn (ò) với mọi khoảng con


2
2

[x,z].
(ò)

(c): Suy ra từ định nghĩa hàm tựa lồi.

□

Định nghĩa 1.5. Hàm / : / — > ■ R được gọi là hàm Wright-lồi (ngắn gọn, là hàm
w-lồi) trên I nếu với mọi y >

X, X

£ I và ỗ > 0 với y + ổ G I ta có

f{x + ô)- f { x ) < f ( y + ô ) - f { y ) .
Định lý dưới đây đặc trưng cho lớp hàm IV-lồi.
Định lý 1.7. ([6], p. 78-79) Giả sử I ç R. Các khẳng định sau đây là tương đương
cho hàm f : I —> R:
(i) / là w-lồi;
(ii) Với mọi a,b G I và t G [0,1] ta có

Khi đó X + ổ = (1 — t ) a

+

tb, y

+

ỏ

=

b . Từ (1.10) ta CÓ:

/((1 - t ) a + t b ) - f { a ) < f { b ) - f { t a + (1 - t ) b ) .
Ta được (1.9).
Chứng minh tương tự cho trường hợp a > b .
Từ ”(n) =>• (î)”.
Giả sử y > X và ỏ > 0 với y + ổ G /, X G /. Trong (1.10) chọn X = a , b > a , và í G
[0,1] với ta + (1 — t ) b = y và b — ( t a + (1 — t ) b ) = ổ. Ta có y + ỗ = b &
I , x & I , v h x + ỗ = ( 1 — t)a + t b . Từ (1.9) suy ra

f(x) + f(y + õ)> f(y) + f(x + ô).
Suy ra / là Ỉ4MỒĨ trên I.

□

Đ ị n h n g h ĩ a 1 . 6 . Hàm / : / — > • M được gọi là Wright-tựa lồi (Wright-


2
3

quasiconvex) trên I, kí hiệu f G W Q C ( I ) , nếu với mọi x , y G / và t G [0,1], ta
có bất đẳng thức

ị [ f ( t x + (1 - t ) y ) + /((1 - t ) x + t y ) } < max{/(x), f ( y ) } ,
hay tương đương:

2 Ư(y) +f(ô)ì
với mọi x,y + ổ G I với

- max{/(x), f ( y + ổ)}
X

< y và ổ > 0.

Đ ị n h n g h ĩ a 1 . 7 . Hàm f : I —> R được gọi là hàm Jensen-lồi (ngắn gọn, là
hàm J-lồi) trên I nếu vối mọi x,y G I ta có

f(x
JK

2

+

y\

)-

< /(æ) + f ( y )
2

Trong một số tài liệu hàm J-lồi còn được gọi là hàm lồi tại điểm giữa.
Đ ị n h n g h ĩ a 1 . 8 . Hàm f : I —> R được gọi hàm là Jensen-tựa lồi (ngắn gọn,
là hàm J-tựa lồi) trên I nếu với mọi x,y G I ta có
/(^y^) < max { f ( x ) , f ( y ) } .
Nhận xét 1.2. Lớp hàm J - tựa lồi trên / (kí hiệu là J Q C { I )) chứa lớp hàm J-lồi (kí
hiệu J(/)) trên I .
Ta có định lý sau liên quan đến các lớp hàm lồi suy rộng.
Định lý 1.8. ([6], p. 80-81)
QCự)

c WQCự) c JQCự).

Dấu bao hàm thức chặt xảy ra thực sự.
Chứng minh. Giả sử / G Q C Ự ) . Khi đó, với mọi x , y G I và t G [0,1] ta có:

f { t x + (1 - t ) y ) < max { f { x ) , f ( y ) , /((1 - t ) x + t y ) } <

2
4

max { f { x ) , f ( y ) } ị [ f { t x + (1 - t ) y ) + /((1 - t ) x + t y ) } <
max{/(x), f { y ) }
&

2[ f { y )

(1.11)

+ /(ổ)] < max{/(x), f { y + ổ)}

với mọi X , y , y + ổ G ĩ,x < y , ỗ > 0 và t G [0,1].
Điều này nghĩa là / G W Q C Ự ) .
Nếu chọn t = — thay vào (1.11) ta được dấu bao hàm thức thứ hai: 2
WQCự)

c JQCự).

Giả sử H là cơ sở Hamel trên tập số hữu tỉ
(Định nghĩa cơ sở Hamel: Giả sử V là một không gian vecto trên trường K . B được
gọi là cơ sở Hamel trong V nếu B độc lập tuyến tính và với mọi ~ ứ G V được xem
như là một tổ hợp tuyến tính của các vecto từ B . Nghĩa
là với mọi X G V . B được biểu diễn duy nhất theo công thức B = Y }
i= 1

n
TịXị.

Trong đó r, G K ,

Xi

G B,

n

phụ thuộc vào B . )

Khi đó mỗi số thực u được biểu diễn duy nhất dưới dạng
r

u,h ■ h,

h€H
với duy nhất hữu hạn của các hệ số r u h là khác không. Xác định
ánh xạ / : / —> R cho bởi công thức
f { ù ) = ^2 r u,h vóiu e I
h€H
với U G I.
Khi đó
ị[f{y) + f{x +
ỏ)} =

r

y,h

+

+

+ r s,h)

h

Tx, r
h
s,h)
h

Ĩ2( r y< h

+

< max ^ 2 r X ! h , ^ 2 { r y ! h + r 5¡h )
h

h

= max{/(x),/(ÿ + (5)}.
Vậy / e W Q C ( I ) .
Bây giờ để chứng minh W Q C Ự ) Ợ L Q C Ự ) ta chọn H sao cho / Ệ Q C Ự ) .
Chọn ố > 0 và

X

Ỷ

0

là hữu tỉ và y + ố là vô tỉ. Ta có thể chọn H sao cho y + ỗ ,

— \ x \ G H . Khi đó f ( ỗ ) < 0, f ( x ) = —sgn(æ) và f ( y + ố) = 1. Ánh xạ / là cộng
tính. Vì thế

f { y ) = f { y + ó) - f { ỗ ) > f { y + ỗ ) = 1 = ma x { f ( x ) ,
f ( y + ổ)},
và vì thế / Ệ Q C Ự ) .