Chuyên đề giới hạn dãy số và hàm số

CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN
I.MỞ ĐẦU:
A.ĐẶT VẤN ĐỀ:
Trong chương trình toán THPT các bài toán về giới hạn có ở chương trình lớp 11
và 12. Việc tính giới hạn đòi hỏi phải có kiến thức tổng hợp, khả năng suy xét,
phán đoán và một số kỹ năng cần thiết như: kỹ năng sử dụng hằng đẳng thức; phân
tích thành nhân tử; thêm bớt; đổi biến; liên hợp...
Bài toán về giới hạn có thể có trong các đề thi tuyển sinh; thi chọn học sinh giỏi.
Việc giải tốt các bài tập về giới hạn là cơ sở để giải quyết các vấn đề khác của toán
học như: xét tính liên tục của hàm số; chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương
trình; tính đạo hàm; khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số...là cơ sở, nền
tảng để học sinh học tốt môn toán giải tích ở chương trình cao đẳng và đại học sau
này.
B.PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:
Xuất phát từ quá trình tự học, tự nghiên cứu và những kinh nghiệm có được trong
quá trình dạy học tôi trình bày vấn đề nêu trên thành một chuyên đề để phục vụ
cho việc giảng dạy nhằm truyền đạt cho học sinh một số kinh nghiệm giải các bài
toán về giới hạn phục vụ cho việc học tập và thi cử của mình.
II.NỘI DUNG:
Chuyên đề giới hạn có hai phần chính đó là giới hạn của dãy số và giới hạn của
hàm số.Trong mỗi phần đều có sơ lược kiến thức sử dụng; các ví dụ có sự lựa chọn
điển hình về phương pháp giải từ cơ bản đến nâng cao theo tư duy logic . Nhiều ví
dụ giải bằng nhiều phương pháp khác nhau và được tổng quát hóa để từ đó có thể
giải hoặc sáng tạo ra các bài tập tương tự.
PHẦN I:GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ:
A.Lý thuyết:
+)Các định nghĩa về dãy số có giới hạn 0,giới hạn hữu hạn L,giới hạn vô cực.
+)Định lý về sự tồn tại giới hạn.
+)Định lý về tính duy nhất của giới hạn.
+)Định lý về Nguyên lý kẹp giữa.
+)Định lý về Các phép toán trên giới hạn

B.Các ví dụ và bài tập:
∞
-Dạng :
∞
Phương pháp giải:Chia cả tử số và mẫu số cho n k với k là số mũ cao nhất của n.
Ví dụ 1: Tính a) lim
Đáp số : a)

1
2

n3 − n + 7
2n 3 + n 2

b)

2n 2 + 1 − n 2 + 1
n +1

b) 2 − 1

1


c)Tính: lim

a0 n m + a1n m−1 + ..... + am−1n + am
b0 n p + b1n p −1 + ..... + bp −1 + b p

HD:Xét 3 khả năng :

m>p Kết quả:+ ∞ nếu ao.bo f 0
- ∞ nếu ao.bo p 0
a0
m=p Kết quả:
bo
m p p Kết quả 0
- Dạng ∞ − ∞ :
Phương pháp giải: Nhân và chia biểu thức đã cho với biểu thức liên hợp cúa nó
∞
đưa về dạng :
∞
Ví dụ 2: Tính a) lim ( n 2 + n − n 2 + 1 )
b) lim( 3 n3 − 2n 2 − n − n)
Đáp số : a)

1
2

b)

−2
3

Ngoài các dạng cơ bản trên ta còn hay gặp giới hạn tổng các số hạng của
một dãy số theo qui luật:Cần thực hiện các phếp biến đổi rút gọn trước rồi
mới tính giới hạn.
2.12 + 3.22 + ... + (n + 1).n 2
Ví dụ3: Tính L=lim
n4
Phương pháp giải: Biến đổi làm xuất hiện các tổng quen thuộc:

(1 + 1)12 + (2 + 1).22 + ... + ( n + 1).n 2
L= lim
n4
(13 + 23 + 33 + ... + n3 ) + (12 + 22 + ... + n 2 )
L = lim
n4
n 2 (n + 1)2 n( n + 1)(2n + 1) 2
+
4
6
L = lim
4
n

n 2 ( n + 1)2
n(n + 1)(2n + 1)
+ lim
=lim
4
4n
6n 4

1
1
= +0=
4
4
Ví dụ 4: Tính

1 1 1

1
)
L=lim ( + + + ... 2
2 6 12
n −n
2


Phương pháp giải: Biến đổi làm triệt tiêu từng cặp :
1
1
1
1
1 1 1
1
1
+
+
+ ...
) =lim (1 − + − + ... +
− )
L=lim (
1.2 2.3 3.4
n(n + 1)
2 2 3
n −1 n
1
lim (1 − ) = 1
n
Chú ý một số đẳng thức quen thuộc sau:

1
1
1
= −
1. n(n + 1) n n + 1
1
1 1
1
= (
−
)
2. (2n − 1)(2n + 1) 2 2n − 1 2n + 1
1
1
1
1
= [
−
3. n(n + 1)(n + 2) 2 n(n + 1) (n + 1)(n + 2)

]

1
1
1
1
= [
−
4. n(n + 1)(n + 2)( n + 3) 3 n(n + 1)( n + 2) (n + 1)( n + 2)(n + 3)
1

1
1
1
=
(
−
)
1.2.3...n n − 1 1.2.3...(n − 1) 2.3...n
1
1
1
1
= [
−
6. (2n − 1)(2n + 1)(2n + 3) 4 (2n − 1)(2n + 1) (2n + 1)(2n + 3)

]

5.

7.

]

2n + 1
1
1
= 2−
2
n ( n + 1)

n ( n + 1) 2
2

1
(n + 1) 2
=
8. 1 + 2
n + 2n n(n + 2)
9. 1 +

2
(n + 1)(n + 2)
=
n 2 + 3n
n( n + 3)
n

10.1+3+5+….(2n-1)=n

2

hay

( ∑ (2i − 1) = i ) - Cấp số cộng.
2

i =1

3

11. 2+10+24+….n(3n-1)= 3(12 + 22 + ... + n 2 ) − (1 + 2 + 3 + ... + n) hay
n

n

n

(∑ i (3i − 1) = 3∑ i − ∑ i) )
i =1

2

i =1

i =1

n

n

n

n

i =1

i =1

i =1

i =1

2
2
12. ∑ (3i − 1) = 9∑ i + 6∑ i + ∑1

….
Từ các đẳng thức trên ta có thể sáng tạo ra được nhiều bài tập .Chẳng hạn:
 23 + 53 + 83 + ..... + ( 3n − 1) 3 

+) Tính L=lim 
n4


Lời giải:
:
Ta có : 23=27.13-27.12+9.1-1
53=27.23-27.22+9.2-1
83=27.33-27.32+9.3-1
…….
3
(3n-1) =27.n3-27.n2+9.n-1
Suy ra 23 + 53 + 83 + ..... + ( 3n − 1) =
3

=27 (13 + 23 + 33 + ..... + n3 ) -27 (12 + 22 + 32 + ..... + n2 ) +9(1+2+3+…+n)-n
n 2 ( n + 1) 2
n(n + 1)(2n + 1)
n(n + 1)

= 27
− 27
+9
−n.
4
6
2
 n 2 (n + 1) 2
n(n + 1)(2n + 1)
n(n + 1) n  27
−
27
+
9
− 4=
L=lim  27
4n 4
6n 4
2n 4
n  4

1

1
1
1
+
.... +
+) Tính L=lim  +
(2n − 1)(2n + 1)(2n + 3) ÷

 15 105 315

Bài giải :
1 11 1 
Ta có : =  − ÷
15 4  3 15 
1
1 1 1 
=  − ÷
105 4  15 35 
1
1 1
1 
=  − ÷
315 4  35 63 
….
1

1
1
1
−
= 
(2n − 1)(2n + 1)(2n + 3) 4  (2n − 1)(2n + 1) (2n + 1)(2 n + 3) ÷

4


Từ đó suy ra L= lim

1
4

1
 1
1
−
 3 (2n + 1)(2n + 3) ÷=

 12

2
2
2
2


)
Ví dụ 5 Tính L=lim  (1 + )(1 + )(1 + )...(1 + 2
4
10
18
n + 3n 

2
(n + 1)(n + 2)
1+ 2
=
Giải :Viết
Ta có:

n + 3n
n(n + 3)
 2.3 3.4 4.5
n.(n + 1) ( n + 1)( n + 2) 
3(n + 1)
.
)  =lim
=3
L= lim  . . ...
n+3
 1.4 2.5 3.6 (n − 1)(n + 2) n( n + 3) 
Một số bài ta phải sử dụng định lý kẹp giữa :
1
1
1
+
+ ... +
Ví dụ 6: Tính L=lim ( 2
)
n +1
n2 + 2
n2 + n
Phương pháp giải: Dùng định lý kẹp giữa
Ta có : n 2 + 1 < n 2 + 2 < ... < n 2 + n
1
1
1
n
n
+

+ ... +
p
u
p
u
Đặt
=
thì
n
n
n2 + 1
n2 + 2
n2 + n
n2 + n
n2 + 1
n
n
= lim
= 1 ⇒ lim un = 1
Mặt khác : lim
n2 + 1
n2 + 1
n
−1) .cos n
(
Ví dụ 7: Tính lim
n2
n
1 ( −1) cos n 1
HD: − 2 ≤

≤ 2 . Kết quả: 0
n
n2
n
Bài tập đề nghị:
 1

1
1
1
1
lim
+
+
+
...
1. Tính
ĐS:


n(n + 1) ( n + 2 ) 
2
1.2.3 2.3.4 3.4.5
3 5
2n + 1 
+ ... + 2
2. Tính L = lim  +
n (n + 1) 2 
 4 36
Hướng dẫn: L =

1 1 1 1

1
1 
1 
lim  2 − 2 + 2 − 2 + ... + 2 −
=
lim
1
−
=1


2
n ( n + 1) 2 
1 2 2 3
 ( n + 1) 
 2 
2 
2 
2 
3. Tính L = lim 1 + ÷1 + ÷1 + ÷...1 + 2
÷
 4  10  18   n + 3n  

5


Hướng dẫn: Viết 1 +

2
( n + 1) ( n + 2 )
=
n 2 + 3n
n ( n + 3)

Kết quả: L = 3

1.2 + 2.5 + 3.8 + ... + n ( 3n − 1)
n3
Hướng dẫn: Viết
3 ( 12 + 22 + ... + n 2 ) − ( 1 + 2 + ... + n )
2
n ( 3n − 1) = 3n − n ⇒ L = lim
= ... = 1 5. Tính
n3
2
1 + 9 + 25 + ... + ( 2n − 1)
L = lim
n3
4. Tính L = lim

n

Hướng dẫn:

∑ ( 2i − 1)
i =1



6. Tính L = lim 1 −

2

n

n

n

i =1

i =1

= 4 ∑ i − 4 ∑ i + ∑1
i =1

2

1  1 
1 
1 
÷1 − ÷1 − ÷...1 − 2 ÷
4  9  16   n  


 1

1

1
1
+
+
+ ... +
7. Tính L = lim 

1.2.3.4
2.3.4.5
3.4.5.6
n
(
n
+
1)
n
+
2
n
+
3
(
)
(
)


-Tìm giới hạn nhờ giải phương trình:
Phương pháp
- Bước 1: Chứng minh dãy số có giới hạn.

- Bước 2: Đặt x = lim un dẫn đến giải phương trình ẩn x .
u1 = 2
Ví dụ 8:Cho dãy số 
. Tìm lim un .
u
=
2
+
u
 n+1
n
Giải: - Ta chứng minh dãy un tăng :
Ta có :

2 + 2 > 2 ⇒ u2 > u1 .

Giả sử un < un +1 ⇒ un + 2 < un+1 + 2 ⇒ un + 2 < un+1 + 2 hay un+1 < un+ 2 .
Vậy dãy đã cho là dãy tăng ( 1) .
- Chứng minh dãy bị chặn trên bởi 2 :
Ta có : u1 = 2 < 2. Giả sử un < 2 ⇒ 2 + un < 4 ⇒ 2 + un < 2 ⇒ un+1 < 2
Vậy un < 2 với mọi n ∈ ¥ ∗ ( 2 ) .
Từ ( 1) và ( 2 ) suy ra dãy đã cho có giới hạn.
- Đặt x = lim un . Ta có
x > 0
⇔ x = 2.
x = lim un+1 ⇔ x = lim 2 + un ⇔ x = 2 + x ⇔  2
x
=
x
+

2


6


u1 = 2

Ví dụ 9: Cho dãy ( un ) xác định bởi 
un−1 + 1 . Tìm lim un
u
=
 n
2
Hướng dẫn : Ta chứng minh dãy giảm và bị chặn dưới bởi 2 bằng qui nạp.
u +1
x +1
⇔x=
⇔ x =1
- Gọi x = lim un ⇒ x = lim n−1
2
2
Cách 2 : Tính vài số hạng đầu, dự đoán công thức của số hạng tổng quát theo
n rồi chứng minh lại bằng qui nạp :
Ta có u1 = 2 = 1 + 1
3
1
u2 = = 1 +
2
2

5
1
u3 = = 1 +
4
4
9
1
u4 = = 1 +
4
8
…
1
un = 1 + n−1 ( ∗)
2
Ta chứng minh ( ∗) bằng qui nạp.
n = 1 ⇒ ( ∗) đúng.
1
Giả sử ( ∗) đúng với n = k . Khi đó uk = 1 + k −1 .
2
1
Ta chứng minh ( ∗) đúng với n = k + 1 nghĩa là chứng minh : uk +1 = 1 + k .
2
1
1 + k −1 + 1
1
Thật vậy : u = uk + 1 =
2
=1+ k .
k +1
2

2
2
Từ đó suy ra lim un = 1
u0 = u1
u
{
}
Bài tập đề nghị: Cho dãy n thỏa mãn điều kiện : 
un+1 = un + un−1 ; n = 1,2,....
Chứng minh dãy đã cho có giới hạn và tìm giới hạn đó.

7


PHẦN II.GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ.
A.Lý thuyết:
+)Các định nghĩa về giới hạn của hàm số.
+)Định lý về Các phép toán trên giới hạn.
+)Các dạng vô định và phương pháp khử.
+)Các phương pháp tính giới hạn của hàm số.
B.Các ví dụ và bài tập:
∞
I.GIỚI HẠN HÀM SỐ DẠNG VÔ ĐỊNH
∞
∞
Cách giải. Để khử dạng vô định
ta thường chia tử và mẫu thức cho lũy thừa bậc
∞
k
cao nhất của biến (có mặt ở tử và mẫu), và áp dụng lim x→±∞ n = 0 , trong đó k là

x
hằng số khác 0, n là số thực dương.
Ví dụ 1 :
1
1+
x+ x
x
= lim x→+∞
= 1. (chia cả tử và mẫu cho x )
Tính lim x→+∞
x +1
1
1+
x
Ví dụ 2 :
x + 2x + 1
= lim x →+∞
x x +1
2

Tính

lim x→+∞

2 1
+
x x 2 = +∞.
(chia cả tử và mẫu cho x 2 )
1
1

+ 2
x x

1+

Ví dụ 1 :Tìm các giới hạn :
x + x2 + 1
Tính lim x→−∞
x
∞
HD: Khử Dạng :Bằng cách chia cả tử và mẫu cho x k với k là số mũ cao
∞
nhất của x .
ĐS:0
.Chú ý việc đưa xk vào căn để thực hiện phép chia cần lưu ý đến dấu
củaxk.Trong ví dụ trên nếu x → +∞ thì kết quả bằng 2.
Bài tập tự luyện
Tìm các giới hạn :
x +1
x+3x+4x
lim
Tính a) x→+∞
b) lim x→+∞
x x+ x
2x + 1
II.GIỚI HẠN HÀM SỐ DẠNG VÔ ĐỊNH ∞ − ∞
8


Ví dụ 2 :Tìm các giới hạn :

lim ( x + x + x − x )

x →+∞

HD: Khử Dạng ∞ − ∞ :Bằng chia nhân và chia cho biểu thức liên hợp đưa về
∞
1
dạng .ĐS:
∞
2
III.GIỚI HẠN HÀM SỐ DẠNG VÔ ĐỊNH
Dạng1. Dạng

0
0

0
của hàm phân thức đại số
0

f ( x)

Tìm lim x → x g ( x) tro ng đó f ( x), g ( x) là các hàm đa thức nhận x0 là nghiệm.
f ( x)
( x − x0 ) f ( x)
f ( x)
f ( x) f k ( x0 )
= lim
= lim 1
= ... = lim k

=
Cách giải.Ta có lim
x →1 g ( x )
x→1 ( x − x ) g ( x )
x →1 g ( x )
x →1 g ( x )
g k ( x0 )
0
1
k
Trong đó f k 2 ( x) + g k 2 ( x) ≠ 0
Ví dụ 1 :Tìm giới hạn :
x − 1) ( x 2 + 2 x + 2)
x3 + x 2 − 2
(
x2 + 2 x + 2 5
= lim
= lim 3
=
Tính a) lim
x →1 x 4 − x 3 + x 2 + x − 2
x →1 ( x − 1) ( x 3 + x + 2)
x →1 x + x + 2
4
Ví dụ 2 :Tìm các giới hạn :
x2 − x
x4 − 1
lim
Tính a) lim 2
b)

x →1
x →1 x + 2 x − 3
x −1
0
HD :Khử dạng Bằng cách Giản ước cả tử và mẫu cho cùng một nhân tử.(sử
0
dụng HĐT để phân tích thành nhân tử)
Đ S: a) 1
b)3
Bài tập tự luyện
Tìm các giới hạn :
8x3 − 1
2 x 4 − 5 x3 + 3x 2 + x − 1
lim
lim
Tính a)
b)
x →1 6 x 2 − 5 x + 1
x →1
3x 4 − 8 x3 + 6 x 2 − 1
2 x3 − (4 2 + 1) x 2 + (4 + 2 2) x − 2
b) lim 3
x → 2 x − (2 2 + 1) x 2 + (2 + 2 2) x − 2
0
Dạng2. Dạng của hàm phân thức chứa căn thức bậc hai
0
0

Tìm lim x → x

0

f ( x) − a
tro ng đó
g ( x)

f ( x) = a và g ( x0 ) = 0 .

9


Cách giải.Thực hiện phép nhân biểu thức liên hợp f ( x) + a ta có
f ( x) − a
f ( x) − a 2
( x − x0 ) f1 ( x)
f1 ( x)
lim
= lim
= lim
= lim
x → x0
x →1 (
g ( x)
f ( x) + a) g ( x ) x→x0 ( f ( x) + a)( x − x0 ) g1 ( x) x→1 ( f ( x) + a) g1 ( x)
Chú ý. Việc tìm các giới hạn vô định
và xlim
→x

0

f1 ( x) −

f 2 ( x)

g1 ( x) − g 2 ( x)

0
của xlim
→ x0
0

f ( x) − a
; lim
g ( x) − b x→ x0

f1 ( x) − f 2 ( x)
g ( x)

hoàn toàn tương tự.

x +8 −3
=
x →2 x 2 + 2 x − 3
x −1
1
1
lim
= lim
=
x →2 ( x + 8 + 3)( x − 1)( x + 3)

x →2 ( x + 8 + 3)( x + 3)
24

ví dụ 1 : lim

x + x −1 −1

lim

x2 − 1

x →1

ví dụ 2 :
= lim(
x →1

= lim
x →1

x −1
x 2 − 1.( x + 1)

+

x −1+ x −1
x2 − 1

= lim(
x →1

x −1
x2 − 1

+

1
x −1
) = lim(
+
x →1
x +1
x + 1.( x + 1)

x −1
x2 − 1

)

1
1
)=
.
x +1
2

Bài tập tự luyện
Tìm các giới hạn :
x −1
x + 2 − 2x

Tính a) lim
b) lim
x →1
x →2
x 2 + 3 + x3 − 3x
x −1 − 3 − x
x − 1 + x 4 − 3x3 + 3
c) lim
x →2
2x − 2
3
x −1
x2 + 5 − 3
Tính a) lim
b) lim
x →1
x →2
x −1
x−2
0
HD :Khử dạng :Bằng cách nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp
0
2
2
Đ S: a)
b)
3
3

NX: Câu b) còn có thể áp dụng cách giải ở ví dụ 1 bằng phương pháp đổi biến):

Đặt 6 x = t
0
Dạng3. Dạng của hàm phân thức chứa căn thức bậc ba
0
Tìm lim x → x

0

3

f ( x) − a
trong đó
g ( x)

3

f ( x) = a và g ( x0 ) = 0 .

10


Cách giải.Thực hiện phép nhân biểu thức liên hợp 3 f 2 ( x) + a 3 f ( x) + a 2 ta được
lim

3

x → x0

= lim

x → x0

= lim
x →1

f ( x) − a
f ( x) − a 3
= lim
x →1 3
g ( x)
( f 2 ( x) + a. 3 f ( x) + a 2 ) g ( x)
( x − x0 ) f1 ( x)
( 3 f 2 ( x) + a. 3 f ( x) + a 2 )( x − x0 ) g1 ( x)
f1 ( x)
( 3 f 2 ( x) + a. 3 f ( x) + a 2 ) g1 ( x)

=

f1 ( x0 )
3a 2 g1 ( x0 )

f12 ( x0 ) + g12 ( x0 ) ≠ 0

0
Chú ý. Việc tìm các giới hạn vô định của lim
x → x0
0
lim

3

x → x0

3

f ( x) + a
lim
x → x0
g ( x)

3
3

f ( x) ± a
;
g ( x) ± b

3 f ( x) − 3 f ( x)
3 f ( x) ± 3 f ( x)
f1 ( x) ± 3 f 2 ( x)
1
2
2
lim 1
; xlim
;
và
→ x0
x → x0 3 g ( x ) − 3 g ( x )
g1 ( x) − g 2 ( x)

g ( x)
1
2

hoàn toàn tương tự.
ví dụ 1
3
4x − 2
4x − 8
4
1
lim
= lim
= lim 3
=
x →2
x →2
x −1
( 4 x ) 2 + 2. 3 4 x + 4 3
( x − 2 ) ( 3 (4 x)2 + 3 4 x + 4
ví dụ 2
3
x + x2 + x + 1
lim
x →−1
x +1
Hướng dẫn. Phân tích

3

x + x2 + x + 1 3 x + 1 x2 + x
=
+
.
x +1
x +1
x +1

Bài tập tự luyện
Tìm các giới hạn :
3
2x − 1 − 3 x
2 x − 1 + x 2 − 3x + 1
Tính a) lim
b) lim 3
x →2
x →1
x −1
x − 2 + x2 − x + 1
0
Dạng4. Dạng của hàm phân thức chứa căn thức bậc cao
0
Dạng thường gặp.Tìm lim x →0

n

1 + ax − 1
x

Cách giải.Thực hiện phép nhân và chia cho biểu thức liên hợp

Đặt
n

lim x →0

n

t n −1
, và khi x → 0 thì t → 1.
a
a (t − 1)
a
a
= .
= lim x →0 n −1 n −2
n
t −1
t + t + ... + 1 n

1 + ax = t ⇒ t n = 1 + ax ⇒ x=

1 + ax − 1
= lim x →0
x

11


Ví dụ: Tìm lim x →0

5

1 + 5x − 1
x

t5 −1
, và khi x → 0 thì t → 1.
5
5
5(t − 1)
5
1 + 5x − 1
= 5.
= lim x →0 5
= lim x →0 4 3 2
t −1
t + t + t + t+1
x

Lời giải. Đặt 5 1 + 5 x = t ⇒ t 5 = 1 + 5x ⇒ x=
Vì vậy lim x →0

Bài tập tự luyện
Tìm các giới hạn :
4
4
2x + 1 − 1
4x − 3 −1
Tính a) lim
b) lim

x →0
x →1
x
x −1
7
2 − x −1
c) lim
x →1
x −1
0
Dạng4. Dạng của hàm phân thức chứa căn không cùng bậc
0
Cách giải.Thêm và bớt một số hạng thích hợp, tách thành hai giới hạn của dạng vô
định

0
.
0

2 1− x − 3 8 − x
x →0
x

Ví dụ 5 :Tính a) L= lim

2( 1 − x − 1) − ( 3 8 − x − 2)
x →0
x
11
KQ: −

12

HD: Sử dụng phương pháp thêm bớt :Viết L= lim
1− x −1 3 8 − x − 2
= 2.lim(
−
)
x →0
x
x

Đặt vấn đề :Ta có thể gặp căn bậc cao hơn
1 + 5x − 5 1 + 6x
Ví dụ 6 :Tính L= lim
x →0
x
4
1
1 + 5x − 1 5 1 + 6 x − 1
HD: Viết L = lim(
KQ:
−
)
x →0
20
x
x
Chú ý:
- Để liên hợp bậc cao cần nắm được hằng đẳng thức:
a n − b n = (a − b)(a n−1 + a n−2b + ... + ab n−2 + b n−1 )

4

-Để tránh việc liên hợp cồng kềnh ta có thể đặt 4 1 + 5 x = u; 5 1 + 6 x = v rồi mới
tính giới hạn.
-Tổng quát hơn ta chứng minh bổ đề :

12


lim
x →0

n

1 + ax − 1 a
= (*)
x
n

(Bài toán cơ bản)

rồi áp dụng bổ đề ta được L =

5 6 1
− =
4 5 20

-Đề xuất bài toán tổng quát : Tính

L= lim

x →0

n

1 + ax − m 1 + bx
có kết quả:
x

a b
−
n m
( x 2 + 1998) 7 1 − 2 x − 1998
x →0
x
2
( x + 1998) 7 1 − 2 x − 1
2
L= lim [
+ x ] (Thêm bớt x + 1998)
x →0
x

Ví dụ 7:Tính
HD:Viết

L= lim

Kết quả: L= −1998.

2

7

(1 + x)(1 + 2 x)(1 + 3 x)(1 + 4 x) − 1
x →0
x
HD:Sử dụng phương pháp thêm bớt đẩy kéo:
Ví dụ 8:Tính

Viết L= lim
x→0

L= lim

(1 + x)(1 + 2 x)(1 + 3x) − (1 + x)(1 + 2 x) + (1 + x)(1 + 2 x) − (1 + x) + (1 + x) − 1
x

(1 + x)(1 + 2 x)(1 + 3 x − 1) − (1 + x)(1 + 2 x − 1) + (1 + x − 1)
x →0
x

= lim

= lim [ (1 + x)(1 + 2 x).3 + (1 + x).2 + 1] = 3 + 2 + 1 = 6
x →0

Tổng quát:
lim
x →0

( 1 + x ) ( 1 + 2 x ) ( 1 + 3x ) ...( 1 + nx ) − 1 = n ( n + 1)

Ví dụ 9: Tính L = lim
x →0

x

1 + 3x . 3 1 − 4 x − 1
x

HD: Sử dụng phương pháp thêm bớt đẩy kéo

2

3 −4 1
=
KQ:L= +
2 3 6

1 + ax .m 1 + bx − 1 a b
Tổng quát: lim
= +
x →0
x
n m
n

13


1+ x 3 1+

Ví dụ 10:Tính

x4
x
1+ − 4 1− x
2
3

lim
L= x→0 3
4 + x − 3 8 − x − 4 1+ x
2

HD:Tử số =
1+ x 3 1+

x4
x
x
x
x
x
x
x
1+ − 3 1+ 4 1+ + 3 1+ 4 1+ − 4 1+ + 4 1+ −1− 4 1− x +1
2
3
2
3
2

3
3
3

=
x4
x
x
x
x
1 + ( 1 + x − 1) + 4 1 + ( 3 1 + − 1) + ( 4 1 + − 1) − ( 4 1 − x − 1)
2
3
3
2
3
TS 1 1 1
−1
→ lim
= + + − ( ) =1
x →0 x
2 6 12
4
3
x
x
x
x
Mẫu số = .2 1 + − 2. 3 1 − − 4 1 + x = 3( 1 + − 1) − 2( 3 1 − − 1) − ( 4 1 + x − 1)
2

4
8
4
8
MS
1
−1 1 5
→ lim
= 3. − 2.( ) − =
x →0 x
8
24 4 25
TS
lim
24
x →0 x
→ A=
=
MS
5
lim
x →0 x
3

1+

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ: Tính các giới hạn sau:
5 − x − 3 x2 + 7
1) lim
HD:Thêm bớt 2

x →1
x2 − 1
3
x3 − 3x − 2
2) lim
ĐS:
x →1
2
x −1
3 2
3 2
x + 2 − 3 x + 20
x
+
1
−
x
+
7
x + 1 − 4 1 − 2x
3) lim
4)
5)
lim
lim
4
x →7
x →2
x →0
x+9 −2

x 2 − 3x + 2
x2 + x
4
1 + 4x − 3 1 + 6x
2x − 1 − 5 x − 2
6) lim
7) lim
x →0
x →0
x2
x −1
2
7
( x + 2004) 1 − 2 x − 2004
( x 2 + 2001) 9 1 − 5 x − 2001
5) lim
5) lim
x →0
x →0
x
x

( 3 ( x + 1)( x − 2)( x + 4) − x) HD:Đặt x =
4) xlim
→+∞

1
rồi dùng pp thêm bớt,đẩy kéo.
y
14

Tổng quát:1)

lim ( n ( x + a1 )( x + a2 ).....( x + an ) − x) =

x →+∞

a1 + a2 + ... + an
n

2)
lim  n ( x + a1 )( x + a2 )...( x + an ) − m ( x + b1 )( x + b2 )...( x + bm ) 
x →+∞ 
a + a + ... + an b1 + b2 + ... + bm
= 1 2
−
n
m
(Thêm bớt x đưa về dạng TQ 1))
( 3 x3 + 3x 2 − x 2 − 2 x ) .
5) xlim
→+∞
HD :Đặt x =

1
rồi sử dụng phương pháp thêm bớt.
y

8 x3 + x 2 + 6 x + 9 − 3 9 x 2 + 27 x + 27

x →0
x3
8 x3 + ( x + 3)2 − 3 x 3 − ( x + 3)3
HD:Viết A= lim
x →0
x3

6)A= lim

(x+3))

 8 x3 + ( x + 3) 2 − ( x + 3) ( x + 3) − 3 x3 − ( x + 3)3 
+

 (Thêm bớt
= lim
3
3
x →0
x
x


4
5

1 37
=
27 27
m f ( x ) − n g ( x)

0
Tổng quát :A= lim
có dạng vô định ta viết A=
x →a
0
( x − a)
 m f ( x ) + h m ( x ) − h( x ) n f ( x ) + h n ( x ) − h( x ) 
 (thêm bớt h(x))
lim  1
− 1
x →a
( x − a)
( x − a)



Kết quả:A= +

Gặp giới hạn của các hàm số lượng giác ta thường biến đổi và giản ước cả tử
sin X
= 1 để
số và mẫu số cho cùng một nhân tử hoặc nắn về dạng có chứa lim
X →0
X
khử dạng vô định.
1 − cosx
sin( x − 1)
Ví dụ 10:Tính a) L= lim
b) L= lim 2
x →0

x →1 x − 4 x + 3
sinx
1 − cosax
1 − cos x
c) L= lim
d) L= lim
x →0
x →0 1 − cos x
x2

15


2sin 2
HD:a)Viết L= lim
x →0

x
2

= lim tan

x
=0
2

x
x x →0
2sin cos
2

2
−1
1
 sin( x − 1) 1 
.
( )=−
b) Viết L= lim
=1.


x →1
2
2
 x −1 x − 3
c) Viết L=

lim x→0

1 − cos x
= llim
x →0
1 − cos x

x

 sin 2 
= lim 
x →0
x 



 2 

2

sin 2

x
2

1 − cos x
= lim
x →0
x
x
2sin 2
(1 + cos x )
2sin 2
(1 + cos x )
2
2
2


2 


x
. 2  .
= 12.12.0 = 0

 sin x  1 + x

2 

d)Kết quả lim
x →0
Ví dụ 11:Tính

1 − cosax a 2
=
x2
2

(Bài toán cơ bản)

1 − 2 x + 1 + sinx
x →0
3x + 4 -2-x

L= lim

HD:Viết L=
−2 x
sinx
−2
sinx
1 − 2 x + 1 sinx
+
+
+

x
x
x
x = lim 1 + 2 x + 1x
lim x→0
= lim 1 + 2 x + 1
2
x
→
0
x
→
0
3x + 4 − (2 + x)
−(1 + x)
3x + 4 -(2+x)
 3x + 4 +(2+x) x 
x
x  3x + 4 +(2+x) x 


−1 + 1
=0
= 1
−
4
cos x − 3 cos x
Ví dụ 12:Tính L= lim
x →0
sin 2 x

HD:Cách 1(Thêm,bớt ;liên hợp để khử căn):
cos x − 1 + 1 − 3 cos x
cos x − 1 1 − 3 cos x
Viết L= lim
= lim(
+
)
x →0
x →0 1 − cos 2 x
sin 2 x
1 − cos 2 x

16


cos x − 1
1 − 3 cos x
Tính lim(
) và lim(
) bằng cách liên hợp ta được kết quả L=
x →0 1 − cos 2 x
x →0 1 − cos 2 x
−1
12
Cách 2:Phươ ng pháp đặt ẩn phụ
Đặt y= y = 6 cos x → cos x = y 3và 3 cos x = y 2 ; x → 0 thì y → 1 suy ra
y3 − y 2
y 2 ( y − 1)
−1
=

lim
=
....
=
L= lim
y →1 1 − y12
y →1 1 − y12
12
1 + ax − 1 a
= (*) bằng cách viết :
x →0
x
n
2
2
2
6
4
4
cos x − cos x
1 − sin x − 1 6 1 − sin 2 x − 1 −1 + 1 = −1
lim
L= x→0
= lim(
−
)=
x →0
4 6 12
sin 2 x
sin 2 x

sin 2 x
Cách 3 : Áp dụng bổ đề lim

n

NX :Ta có thể chứng minh được bài toán tổng quát :
cos ax − n cos bx
1 b2 a2
L= lim
= 2 ( + ) ;với m,n ∈ N ; m, n ≥ 2 và c ≠ 0
2
x →0
sin cx
2c n m
m

1 − cosxcos2 x cos3 x
x →0
x2
HD: Cách 1:Biến đổi tích thành tổng:
1
1
1
1 − (cos4x+cos2 x)cos 2 x
1 − cos4xcos2 x − cos 2 2 x
2
2
2
L = lim
= lim

2
2
x →0
x
→
0
x
x
1
1
1 1
1 − cos6x- cos2 x − + sin 2 2 x
1 − cos6 x 1 − cos 4 x sin 2 2 x
4
4
2
2
= lim
= lim(
+
+
)
x →0
x →0
x2
4 x2
4 x2
2x2
Áp dụng kết quả ví dụ 1d) ta được kết quả L=7
Ví dụ 13:Tính a) L= lim

Cách 2:Dùng phương pháp thêm bớt đẩy kéo:
(1 − cos x) + cos x(1 − cos2 x) + cos x cos 2 x(1 − cos3 x)
L = lim
x →0
x2
1 − cos x
1 − cos 2 x
1 − cos3 x 12 2 2 32
= lim
+ lim
+ lim
= + + =7
x →0
x →0
x →0
x2
x2
x2
2 2 2
Tổng quát : L=
1 − cosxcos2 x cos3 x...cos nx 12 + 22 + 32 + ...n 2 n( n + 1)(2n + 1)
lim x→0
=
=
x2
2
12

17

BÀI TẬP:
1)Tính

1 − cosxcos2 x cos3 x
x →0
1 − cos x

L= lim

HD:
-Chia cả tử và mẫu cho x 2 rồi áp dụng cách 1 hoặc 2.
-Ngoài ra ta còn có thể áp dụng phương pháp đổi biến bằng cách:
Đặt cosx=t ,khi x → 0 thì t → 1
1 − t (2t 2 − 1)(4t 3 − 3t )
1 − 8t 6 + 10t 4 − 3t 2
L = lim
= lim
t →1
t →1
1− t
1− t
(t − 1)( −8t 5 − 8t 4 + 2t 3 + 2t 2 − t − 1)
= lim
= 14
t →1
1− t
2) Tính

3) Tính

1 − 2x2 + 1
HD:Chia cả tử và mẫu cho x 2 .ĐS:-2
x →0
1 − cos x
cos 4 x − sin 4 x − 1
L= lim
ĐS:-4
x →0
x2
L= lim

Giới hạn dạng e :
Gặp giới hạn có dạng f ( x )

g ( x)

ta thường nắn về dạng có chứa lim (1 +
X →∞

1 X
) = e hoặc
X

1
X

lim(1 + X ) = e (gọi là giới hạn dạng e) để tính.
X →0

Ví dụ 14:
Tính: L = lim(
x →∞

x + 2 2 x +1
)
x +1

2 x +1

2 x +1
x +1
lim x →∞
x +1
HD:Viết L = lim (1 + 1 ) x +1 
=e
= e2

x →∞ 
x +1 


Ví dụ 15:

( x + a ) x + a ( x + b) x +b
Tính: L = lim
x →∞ ( x + a + b ) 2 x + a + b
x + b x+b 
 x + a x+a

L = lim (
) .(
) 
x →∞
HD:Viết :
x+a+b
 x+a+b


18


x+a

 x+a 
lim 
÷
x →∞ x + a + b



=

Xét L1=

1
x+a

 x+a+b
lim 

÷
x →∞
 x+a 

x +b

 x+b 
Tương tự L2= lim 
÷
x →∞ x + a + b



=

1
ea

1

=

x+a


b






1 ÷ 

lim 1 +
x →∞ 
x+a ÷ 
÷ 

b
 


1
Do đó L=L1.L2= a +b
e

Ở lớp 12 ta còn gặp hai giới hạn đặc biệt :

b

=

1
eb

ln(1 + X )
eX −1
=1
= 1 và lim
X →0

X →0
X
X

lim

0
e ax − ebx
Ví dụ 16: Tính A= lim
với a,b ≠ 0
( Dạng )
x →0
0
x
ax
bx
 e −1
e −1 
.a −
.b ÷ = 1.a − 1.b = a − b
Bài giải: Ta có: A= lim 
x →0
bx
 ax

Ví dụ 17 : Tính B= lim x→π (sin x)

tan x

2

( Dạng 1∞ )

Bài giải :

π
nên sinx f 0 .Ta có :
2
ln B = ln lim π (sin x) tan x = lim

Do x →

x→

Đặt x=

2

π
x→
2

ln(sin x) tan x = lim

x→

π
2

tan x.ln(sin x)

π
− y thì
2

π
  π

ln B = lim tan  − y ÷.ln sin  − y ÷ = lim [ cot any.ln(cos y ) ] .
y →0
2
  2
  y →0
= lim cos y.
y →0

1 ln [ 1 + (cos y − 1) ]
.
.(cos y − 1)
sin y
cos y − 1

y ln [ 1 + (cos y − 1) ] (cos y − 1)
(cos y − 1)
.
.
= 1.1.1.lim
y →0
y →0
sin y

cos y − 1
y
y
y
sin
2 (sin y ) = −1.0 = 0
= − lim
y →0
y
2
2
Vậy lnB=0 suy ra B=e0=1
= lim cos y.

19


BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ:
2
3x − cos x
1)Tính C= lim
x →0
x2
1

2) Tính D= lim(cos x) x2
x →0

HD:
2

2

3x − 1 + 1 − cos x
3x − 1
1 − cos x
1) C= lim x→0
= lim x→0
+ lim x→0
2
2
x
x
x2
2
3x − 1
x2
x2
Xét C1= lim x→0
.Đặt
3
−
1
=
y
⇒
3
= y + 1 ⇒ x 2 = log 3 ( y + 1)
2
x

y
y
= lim y→0
.ln 3 = 1.ln 3
C1= lim y →0
log 3 ( y + 1)
ln( y + 1)
TQ: Để tính giới hạn dạng lim X →0
1 − cos x 1
=
x →0
x2
2

aX −1
Ta đặt aX-1=y
X

C2= lim

Suy ra C=C1+C2=ln3+
2) Ta có:
Suy ra D= e

1
2

ln cos x
ln(1 + cos x − 1) cos x − 1
1

1
= lim
.
= 1.( − ) = −
2
2
x →0
x →0
x
cos x − 1
x
2
2

lnD=lim lim
−

1
2

=

1
.
e
2

e −2 x − 3 1 + x 2
3) Tính E= lim
x →0

ln(1 + x 2 )
2

e −2 x − 1 3 1 + x 2 − 1
−
2
x
x2
HD:Viết E= lim
x →0
(1 + x 2 )
ln
x2
trên.

KQ : E=

rồi áp dụng các dạng giới hạn quen thuộc ở

−7
3

III. KẾT LUẬN:
Chuyên đề giới hạn đã được triển khai dạy cho học sinh khối 11 và 12 hầu hết
em nắm được một cách có hệ thống các dạng bài tập về giới hạn của dãy số và
hàm số cùng các phương pháp giải. Nhiều em đã giải tốt các bài tập về giới hạn
trong các đề thi tuyển sinh và thi chọn học sinh giỏi trong một số năm gần đây.
Nội dung của chuyên đề có thể áp dụng giảng dạy cho nhiều đối tượng học sinh
vì hệ thống các ví dụ và bài tập đi từ cơ bản đến nâng cao; có thể dùng làm tài liệu
2

0


tham khảo để giáo viên ra đề kiểm tra, đề thi tùy theo yêu cầu đối với các đối
tượng học sinh khác nhau.
Người viết chuyên đề rất mong được sự quan tâm đóng góp ý kiến của các thày
cô giáo trong cùng bộ môn và của các em học sinh để cho nội dung của chuyên đề
được hoàn thiện hơn. Hi vọng nội dung của chuyên đề sẽ có ích đối với các bạn
đồng nghiệp và các em học sinh.
Nguyễn Trung Ngạn, ngày 7 tháng 4 năm 2014
Người viết:
Vũ Sỹ Dũng

2
1