ÔN TẬP VỀ TỔ HỢP

ÔN TẬP VỀ TỔ HỢP – XÁC SUẤT - NHỊ THỨC NEWTON
I. Tổ hợp – xác suất
1.Tổ hợp – xác suất cơ bản
Bài 1. Có 40 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 40. Chọn ngẫu nhiên ra 10 tấm thẻ. Tính xác suất để trong 10
tấm thẻ được chọn ra có 5 tấm thẻ mang số lẻ, 5 tấm thẻ mang số chẵn trong đó chỉ có đúng một tấm thẻ
mang số chia hết cho 10.
Bài 2. Một hôp đựng chứa 4 viên bi trắng, 5 viên bi đỏ và 6 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 4 viên
bi. Tính xác suất để 4 viên bi được chọn có đủ 3 màu và số bi đỏ nhiều nhất.
Bài 3. Một trường tiểu học có 50 học sinh đạt danh hiệu cháu ngoan Bác Hồ, trong đó có 4 cặp anh em
sinh đơi. Có bao nhiêu cách chọn một nhóm gồm 3 học sinh trong số 50 học sinh nói trên đi dự Đại hội
cháu ngoan Bác Hồ sao cho trong nhóm khơng có cặp anh em sinh đôi nào?
Bài 4. Cho tập E = { 1, 2,3, 4,5} . Viết ngẫu nhiên lên bảng hai số tự nhiên, mỗi số gồm 3 chữ số đôi một
khác nhau thuộc tập E. Tính xác suất để trong hai số đó có đúng một số có chữ số 5.
Bài 5. Một đội xây dựng gồm 3 kĩ sư, 7 công nhân lập một tổ công tác gồm 5 người. Hỏi có bao nhiêu
cách lập được tổ cơng tác gồm 1 kĩ sư làm tổ trưởng, 1 công nhân làm tổ phó và 3 cơng nhân tổ viên.
Bài 6. Một hộp đựng 4 viên bi đỏ, 5 viên bi xanh và 6 viên bi vàng (các viên bi có kích thước giống nhau,
chỉ khác nhau về màu). Chọn ngẫu nhiên 4 viên bi từ hộp đó. Tính xác suất để 4 viên bi chọn ra khơng có
đủ cả ba màu.
Bài 7. Cho tập A = {1, 2, 3, … , 11}. Chọn ngẫu nhiên 3 số từ tập A. Tính xác suất để tổng ba số được
chọn bằng 12.
Bài 8. Có bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số khác nhau từng đơi một, trong đó chữ số 2 đứng liền giữa hai
chữ số 1 và 3.
b) Một chiếc hộp có chín thẻ đánh số liên tiếp từ 1 đến 9. Rút ngẫu nhiên hai thẻ (không kể thú tự) rồi
nhân hai số ghi trên hai thẻ với nhau. Tính xác suất để kết quả nhận được là một số chẵn.
Bài 9. Giải bóng chuyền VTV Cup gồm 12 đội bóng tham dự, trong đó có 9 đội nước ngoài và 3 đội của
Việt Nam. Ban tổ chức cho bốc thăm ngẫu nhiên để chia thành 3 bảng A, B, C mỗi bảng 4 đội. Tính xác
suất để 3 đội bóng của Việt Nam ở ba bảng khác nhau.
Một nhóm gồm 6 học sinh có tên khác nhau, trong đó có hai học sinh tên là An và Bình. Xếp ngẫu nhiên
nhóm học sinh đó thành một hàng dọc. Tính xác suất sao cho hai học sinh An và Bình đứng cạnh nhau.
Bài 10. Cho hai đường thẳng song song d1 và d2. Trên đường thẳng d1 có 10 điểm phân biệt, trên đường
thẳng d2 có n điểm phân biệt ( n ≥ 2 , n ∈ N ). Biết rằng có 2800 tam giác có đỉnh là các điểm đã cho. Tìm

n.
Bài 11. Cho m bơng hồng trắng và n bơng hồng nhung khác nhau. Tính xác suất để lấy được 5 bơng hồng
trong đó có ít nhất 3 bông hồng nhung? Biết m, n thỏa mãn các điều kiện sau:
9 19 1
Cmm− 2 + Cn2+3 + < Am
và Pn −1 = 720 .
2 2
Bài 12. Có 20 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 20, chọn ngẫu nhiên ra 6 tấm thẻ. Tính xác suất để có 3 tấm thẻ
mang số lẻ ,3 tấm thẻ mang số chẵn trong đó chỉ có 1 tấm thẻ mang số chia hết cho 4.
Bài 13. Có 7 cuốn sách giáo khoa toán giống nhau, 8 cuốn sách giáo khoa vật lý giống nhau và 9 cuốn
sách giáo khoa Hóa Học giống nhau. Đem làm giải thưởng cho 12 học sinh, mỗi học sinh hai cuốn sách
khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách nhận phần thưởng của các học sinh nói trên.
ĐA: 27720
Bài 14. Có bao nhiêu cách chia 60 đồ vật giống nhau cho 4 người sao cho mỗi người được ít nhất 5 đồ vật.
ĐA: 12341.
2. Sử dụng các quy tắc tính xác suất
Bài 15. Có 2 bình, mỗi bình chứa 3 viên bi chỉ khác nhau về màu.Một bi xanh, một bi vàng, một bi đỏ .
Lấy ngẫu nhiên mỗi bình một viên bi .Tính xác suất để được hai viên bi khác màu.


Bài 16. Trong một hộp có 20 quả cầu giống nhau gồm 12 quả trắng và 8 quả màu đen .
1/ Tính xác suất để khi lấy bất kì 3 quả cầu có đúng 1 quả màu đen .
2/ Tính xác suất để khi lấy bất kì 3 quả có ít nhất 1 quả màu đen . ( ĐHNNHN/96)
Bài 17. Một bình đựng 5 viên bi xanh , 3 viên bi vàng , 4 viên bi trắng chỉ khác nhau về màu .Lấy ngẫu
nhiên 3 viên bi .Tính xác suất các biến cố sau :
1/ A : Lấy được 3 bi xanh .
2/ B : Lấy được ít nhất 1 bi vàng .
3/ C : Lấy được 3 viên bi cùng màu . (ĐHNN1HN/96)
Bài 18. Một hộp có 20 viên bi , trong đó có 12 viên bi màu đỏ và 8 viên bi màu xanh .Lấy ngẫu nhiên 3
viên bi .Tìm xác suất để :

a/ Cả 3 viên bi đều màu đỏ ;
b/ Cả 3 viên bi đều màu xanh ;
c/ Có ít nhất một viên bi màu đỏ . ( ĐHCS KC/97)
Bài 19. Trong một hộp có 12 bóng đèn giống nhau , trong đó có 4 bóng hỏng .Lấy ngẫu nhiên 3 bóng
.Tính xác suất để :
a/ Được 3 bóng tốt .
b/ Được 3 bóng hỏng .
c/ Được đúng 1 bóng tốt . (ĐHAN tpHCM99)
d/ Được ít nhất 1 bóng tốt .
Bài 20. Một đợt xổ số phát hành 20 .000 vé trong đó có 1 giải nhất , 100 giải nhì , 200 giải ba , 1000 giải
tư và 5000 giải khuyến khích . Tìm xác suất để một người mua 3 vé , trúng 1 giải nhì và hai giải khuyến
khích . (ĐHGTVT/ 97)
Bài 21. Một hộp đựng 6 viên bi xanh , 4 viên bi đỏ có kích thước và trọng lượng như nhau .Lấy ngẫu
nhiên 5 viên bi . Tìm xác suất để lấy được ít nhất 3 viên bi đỏ . ( ĐHDL KTCN99)
Bài 22. Hai máy bay nem bom một mục tiêu, mỗi máy bay ném 1 quả với xác suất trúng mục tiêu lần lượt
là 0,7 và 0,8. Tìm xác suất để mục tiêu bị trúng bom. (0,94)
Bài 23. Một nhà xuất bản phát hành ba tên sách A, B, C. Có 50% học sinh mua sách A; 70% học sinh mua
sách B; 60% học sinh mua sách C; 30% học sinh mua sách A và B; 40% học sinh mua sách B và C; 20%
mua sách A và C; 10% học sinh mua cả ba tên sách A, B, C. Chọn ngẫu nhiên một học sinh.
a. Tính
xác suất để học sinh đó mua sách A hoặc sách B.
a. Tính xác suất để em đó mua mua ít nhất một trong ba tên sách trên.
b. Tính xác suất để em đó mua đúng hai trong ba tên sách nói trên.
ĐS: 0,9 – 1 – 0,6
Bài 24. Trong 100 xe máy ở cửa hàng có 20 xe máy khơng bị trầy xước. Lấy ngẫu nhiên 3 xe máy liên
tiếp. Tính xác suất để cả 3 xe không bị trầy xước.
Bài 25.
a. Gieo một con súc sắc liên tiếp 6 lần. Tính xác suất để ít nhất có một lần ra mặt lục.
b. Gieo một cặp hai con súc sắc 24 lần. Tính xác suất để ít nhất có một lần cả hai con đều ra mặt
lục. ( 1- (5/6)6 – 1-(35/36)24 ).

Bài 26. Gieo đồng thời 3 con súc sắc. Anh là người thắng cuộc nếu có xuất hiện ít nhất “ hai mặt lục”.
Tính xác suất để trong 5 ván chơi anh thắng ít nhất là 5 ván. (52032/275 )
Bài 27. Một sọt cam rất lớn dược phân loại theo cách sau. Chọn ngẫu nhiên 20 quả cam làm đâị diện. Nếu
mẫu khơng có quả cam nào hỏng nào thì sọt cam được xếp loại 1. Nếu có 1 hoặc 2 quả hỏng thì sọt cam
xếp loại 2. Nếu có 3 quả hỏng trở lên thì sọt cam xếp loại 3. Giả sử tỉ lệ cam hỏng là 3%. Hãy tính xác
suất để :
1. Sọt cam được xếp loại 1.
2. sọt cam được xếp loại 2.
3. Sọt cam được xép loại 3.
Bài 28. một máy bay có 5 động cơ, trong đó có 3 động cơ ở cách phải, hai động cơ ở cánh trái. Mỗi động
cơ ở cánh phải có xác suất bị hỏng là 0,1, cịn mỗi động cơ ở cánh trái có xác suất bị hỏng 0,05. Các động
cơ hoạt động độc lập. Tính xác suất để máy bay thực hiện chuyến bay an toàn trong các trường hợp sau
đây:
a. Máy bay chỉ bay được nếu có ít nhất hai động cơ làm việc. (0,99984)


b. Máy bay chỉ bay được khi trên mỗi cánh của nó có ít nhất một động cơ làm việc. (0,9965)
Bài 29. Một máy bay có ba bộ phận A, B, C cố tầm quan trọng khác nhau. Máy bay sẽ rơi khi có hoặc 1
viên đạn trúng vào A, hoặc hai viên đạn trúng vào B, hoặc 3 viên đạn trúng vào C. Giả sử các bộ phận A,
B, C lần lượt chiếm 15%, 30%, 55% diện tích máy bay. Tính xác suất để máy rơi, nếu
a. Máy bay bị trúng hai viên đạn. (0,3675)
b. Máy bay trúng ba viên đạn. (
Bài 30. Một người bắn 3 viên đạn. Xác suất để trúng cả 3 viên vòng 10 là 0,008, xác suất để 1 viên trúng
vòng 8 là 0,15 và xác suất để 1 viên trúng vòng dưới 8 là 0,4. Tính xác suất để xạ thủ đạt it nhất 28 điểm. (
Các vòng bắn dĩ nhiên độc lập với nhau). (0,0935)
Bài 31. Trong một thành phố, tỉ lệ người thích xem bóng đá là 65%. Chọn ngẫu nhiên 12 người. Tính xác
suất để trong đó có đúng 5 người thích xem bóng đá. (0,0591)
Bài 32. Chọn ngẫu nhiên một vé số có 5 chữ số. Tính xác suất để số của vé ấy khơng có chữ số 1, hoặc
khơng có chữ số 5.
Bài 33. Hai hộp bi mỗi hộp chứa 8 bi trắng, 2 bi đỏ. Cho hai người mỗi người một hộp. Từ hộp của mình,

mỗi người lấy ngẫu nhiên 3 viên. Tính xác suất để hai người lấy được số bi đỏ như nhau. (33/75)
Bài 34. Một bài thi trắc nghiệm gồm 12 câu hỏi, mỗi câu hỏi có 5 câu trả lời, trong đó chỉ có một câu trả
lời đúng. Giả sử mỗi câu trả lời đúng được 4 điểm và mỗi câu trả lời sai bị trừ đi 1 điểm. Một học sinh
kém làm bài bằng cách chọn hú họa một câu trả lời. Tính xác suất để
a. Anh ta được 13 điểm. (0,0532)
b. Anh ta bị điểm âm. (0,5583)
Bài 35. Trong một trò chơi điện tử, xác suất để game thủ thắng trong một trần là 0,4 (khơng có hịa). Hỏi
phải chơi tối thiểu bao nhiêu trận để xác suất thắng ít nhất một trận trong loạt chơi đó lớn hơn 0,95?
Bài 36. Phải gieo ít nhất bao nhiêu con súc sắc để xác suất có ít nhất một mặt 6 chấm xuất hiện là p >0,9.
II. Nhị thức Newton
n

2

Bài 37. Tìm hệ số của x trong khai triển nhị thức Niu-tơn của  x 2 − ÷ , biết rằng n là số nguyên dương
x

7

thỏa mãn 4Cn3+1 + 2Cn2 = An3 .
Bài 38. Cho x là số thực dương. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newtơn của
, biết rằng : An2 = Cnn −2 + Cnn −1 + 4n + 6 (n

k
k
N * và An , Cn theo thứ tự lần lượt là số chỉnh

hợp , số tổ hợp chập k của n phần tử ).
n

 2 3 
Bài 39. Tìm số hạng chứa x trong khai triển Niu–tơn của 
− x ÷ , với x > 0 và n là số nguyên
 x

3
2
2
k
k
dương thỏa Cn + An = 5Cn (trong đó Cn , An lần lượt là tổ hợp chập k và chỉnh hợp chập k của n).
2

Bài 40. Với n là số nguyên dương , chứng minh: Cn0 + 2Cn1 + 3Cn2 + ... + (n + 1)Cnn = (n + 2)2n −1
Bài 41. Tính tổng S= Cn0 − 2Cn1 + 3Cn2 − 4Cn3 + ... + (−1) n (n + 1)Cnn
1
2
3
2010
2011
+ 22 C2011
+ 32 C2011
+ ... + 20102 C2011
+ 20112 C2011
Bài 42. Tính tổng: S = 12 C2011

Bài 43. Tìm số hạng chứa x3 trong khai triển biểu thức:
1
3
32

3n n 341
P = ( + 3x 2 ) n +2 . Biết n nguyên dương thoả mãn: Cn0 + Cn1 + Cn2 + ... +
Cn =
x
2
3
n +1
n +1
Bài 44. Tìm số nguyên dương n thỏa


( n + 1)  Cn0 +


0
Bài 45. Tính tổng: S = C2013
+

1 1 1 2 1 3
1

C n + C n + Cn + L +
Cnn ÷ = 1023
2
3
4
n +1 

22 − 1
23 − 1 2 2

22014 − 1 2013 2013
1
.2.C2013 +
.2 .C2013 + ... +
.2 .C2013 .
2
3
2014
n

1 

Bài 46. Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển nhị thức niwtơn của  x + 4 ÷ ,biết rằng n là
2 x

2

số nguyên dương thảo mản: 2Cn0 +

2 2 1 23 2
2n +1 n 6560
Cn + Cn + ... +
Cn =
2
3
n +1
n +1

(

)

Bài 47. Tìm hệ số của x 4 trong khai triển của đa thức f ( x ) = x 2 + x + 1
mãn: 3.Cn0 +

n

biết rằng n là số tự nhiên thỏa

32 1 33 2
3n +1 n 411 − 1
Cn + Cn + .... +
Cn =
2
3
n +1
n +1

Bài 48. Chứng minh rằng:

9
0 1
10C10  ÷

2

10
1 1
− 11C10  ÷

2

18
9 1
+ ... − 19C10  ÷

2

19
10  1 
+ 20C10  ÷

2

=0

n+3


2 x3 
÷ , x > 0. Trong đó n là số tự nhiên thỏa
Bài 49. Tìm hệ số chứa số hạng x9 trong khai triển  4 x − 6

÷
x


1 0 1 1 1 2 1 3
1
1

Cnn = .
mãn Cn − Cn + Cn − Cn + ... +
2
4
6
8
2n + 2
16
Bài 50. Tìm số n nguyên dương thỏa mãn:
C21n+1.22 n − 2C22n+1.3.22 n −1 + 3C23n+1.32.22 n−2 − L − 2nC22nn+1 32 n−1.2 + (2n + 1)C22nn++11.32 n = 2013

(

Bài 51. Tìm hệ số của x 7 trong khai triển 1 + x 2 + x3

)

n

thành đa thức, biết n là số nguyên dương thỏa

mãn biểu thức: Cn0 + C1n + Cn2 + Cn3 = 64 .
Bài 52. Cho n là số nguyên dương thỏa mãn 6Cnn+−11 = An2 + 160 . Tìm hệ số của x 7 trong khai triển

( 1− 2x ) ( 2 + x )
3

n

.

0
1
2
3
2010
20 C2010
21C2010
22 C2010
23 C2010
22010 C2010
−
+
−
+ ... +
1.2
2.3
3.4
4.5
2011.2012
20
2
20
Bài 54. Khai triển đa thức: (1 − 3 x) = a0 + a1 x + a2 x + ... + a20 x . Tính tổng:

Bài 53. Tính:

A=

S = a0 + 2 a1 + 3 a2 + ... + 21 a20 .

0
2
4
6
98
100
− C100
+ C100
− C100
+ ... − C100
+ C100
= −250.
Bài 55. Chứng minh rằng C100
1
5
2013
+ C2013
+ ........ + C2013
Bài 56. Tính tổng S = C2013
0
4
8
2004
2008
+ C2009
+ C2009
+ ... + C2009
+ C2009
Bài 57. Tính tổng: S = C2009
1

3
5
2011
− 3C2001
+ 5C2011
− ..... − 2011C2011
Bài 58. Tính tổng S = C2011
.