Caractérisation de cas atypiques de la maladie de parkinson

INSTITUT DE LA FRANCOPHONIE
POUR L’INFORMATIQUE

LABORATOIRE LORRAIN DE RECHERCHE
EN INFORMATIQUE ET SES APPLICATIONS
— UMR 7503 —

Caractérisation de cas atypiques de la
maladie de Parkinson
Mémoire de fin d’études Master d’Informatique

Etudiant :

NGUYEN Huu Giao

Encadrants :

M. Bertrand Kerautret
Maître de conférences
Université Henri Poincaré, IUT St Dié

Mme. Isabelle Debled-Rennesson
Habilitation à Diriger des Recherches
Université Henri Poincaré

Août 2008
54506 Vandoeuvre-lès-Nancy Cedex - France


Table des matières
1 Introduction

1.1 Problématique . . . . . . . . . .
1.2 Motivation . . . . . . . . . . . . .
1.3 Objectifs initiaux du sujet . . . .
1.4 Contexte médical et contribution.
1.5 Environnement de stage . . . . .

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1
1
2
3
3
4

2 Estimateurs de courbure
2.1 Couverture tangentielle et espace de tangente
2.2 Couverture tangentielle et segments flous . . .
2.3 Calcul de la courbure par optimisation . . . .
2.4 Analyse et Comparaison . . . . . . . . . . . .

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10
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3 Extraction du contour à partir de la forme de référence
3.1 Construction de la liste des candidats potentiels . . . . . . .
3.1.1 Extraction du chemin passant entre deux points . . .
3.1.2 Méthode de la construction des candidats potentiels
3.2 Sélection du meilleur contour . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Contrainte du minimum local d’énergie. . . . . . . .
3.2.2 Contraintes sur la longueur du contour. . . . . . . .

3.2.3 Contraintes sur la courbure. . . . . . . . . . . . . . .

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4 Expérimentation & Application

19

5 Conclusion

25

A Publication à la conférence international

28

i


Table des figures
1.1
1.2

L’image exemple du cerveau humain. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Illustration du résultat de la segmentation de la zone associée au tronc cérébral.

2
3

2.1
2.2
2.3
2.4
2.5

Illustration de couverture tangentielle(a) et des pentes (b). . . . . . . . . . .
Illustration du vecteur des points d’appui de l’enveloppe convexe. . . . . . . .
Illustration des différentes configurations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Illustration de la tangente estimée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Les résultats et comparaison de l’estimateur GMC avec l’estimateur de courbure
discrète basé sur le cercle circonscrit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
La comparaison des estimateurs GMC et NDC. . . . . . . . . . . . . . . . . .

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9
9

Illustration de l’algorithme de recherche de frontières. . . . . . . . . . . . . . .
Illustration des images gradients. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Un cas exemple du besoin de la construction de la liste de candidats. . . . . .
Illustration de la liste des candidats potentialités. . . . . . . . . . . . . . . . .
π
Illustration d’une courbe de l’énergie de tous les candidats de ζ 4 (a) et des
contours des candidats (b). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Illustration des plusieurs contours avec la même courbure . . . . . . . . . . .
Illustration des contours différences de la liste de candidats avec les deux premiers contraintes sur une image noise de cercle (R = 61). . . . . . . . . . . .

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12
15
15

La construction du cercle R = 61 dans une image bruite . . . . . . . . . . . .
Le résultat a obtenu sur une autre image bruitée qui contient deux cercles
bruitées avec un rayon R1 = 88 et R2 = 65. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Un exemple de re positionnement automatique des points références.(R=88) .
L’image de cas référence pour le but de obtenir la courbure référence Cref . . .
L’extraction de la zone associée au tronc cérébral du patient1. . . . . . . . .
L’extraction de la zone associée au tronc cérébral du patient2. . . . . . . . . .
Un exemple complete des extractions du tronc cérébral du patient2. . . . . . .

. 19

2.6
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
4.1
4.2
4.3
4.4

4.5
4.6
4.7

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. 18

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20
21
22
23
23
24


Liste des tableaux
4.1
4.2
4.3
4.4

4.5
4.6

Les résultats d’expérimentation d’un cercle R = 61 dans la Fig. 4.1(b) . . . . .
Les résultats d’expérimentation d’un cercle R = 61 avec la mauvais initialisation
des points références dans la Fig. 4.1(c) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Les résultats d’expérimentation du plus grand cercle R = 88 dans la Fig. 4.2(b)
Les résultats d’expérimentation du petit cercle R = 65 dans la Fig. 4.2(c) . . .
Les résultats d’expérimentation avec MRI du patient1 et du patient2 . . . . . .
Les résultats d’un exemple complete des extractions avec MRI du patient2 . . .

iii

20
20
21
21
23
24


Remerciements
Je voudrais tout d’abord exprimer ma profonde reconnaissance à M.Bertrand Kerautret
et Mme.Isabelle Debled-Rennesson, mes responsables de stage, qui ont dirigé mon travail. Ses
conseils et ses commentaires précieux m’ont permis de surmonter mes difficultés et de progresser dans mes études.
Je tiens à remercier tous les membres de l’équipe ADAGIo, LORIA à Nancy pour leur
accueil, leur sympathie ainsi que leurs idées constructives.
Je remercie aussi à tous les professeurs pour les connaissances qu’ils m’ont transmises dans
2 années de l’IFI.
Je remercie mes parents, ma famille, mes amis pour leur soutien constant lors de mes

études.
Enfin, merci ma petite amie, Uyen.Luong pour ta patience.

iv


Résumé
Un estimateur robuste de la courbure discrète a été proposé récemment par Kerautret et al.
[1]. Dans ce document, nous exploitons la précision et la stabilité de cet estimateur afin de
définir une méthode d’extraction des contours pour analyser les caractéristiques géométriques.
Nous proposons d’utiliser une fonction courbure de référence pour l’extraction de la frontière
d’une forme dans une image en niveaux de gris. La frontière d’extraction se fait en utilisant des
informations géométriques représentées par la courbure de référence et en utilisant aussi des
informations gradients de l’image source. L’application de ce travail est accomplie dans une
application médicale, qui concerne la contribution à la caractérisation des formes atypiques
de la maladie de Parkinson. Nous proposons une technique de mesure sur l’atrophie du tronc
cérébral en mesurant la courbure dans le domaine discret.
La première partie de ce travail a été consacrée à analyser le problème principal et la motivation du sujet de stage. La deuxième partie concerne les notions principales de "Estimateur
robuste de courbures par optimisation globale" (GMC) dans un travail précédent travail. Dans
la troisième partie de ce document, nous proposons une stratégie pour définir une liste des
contours pour l’analyse les caractéristiques géométriques et pour extraire ces contours. Les
résultats de cette approche est une application de comparer les courbes des cas pathologiques
et des cas normales de la maladie de Parkinson sur les IRMs du cerveau de patients de la
région Guadeloupe et quelques expériences sur les autres types d’images sont présentées dans
la dernière partie.

v


Abstract

A robust discrete curvature estimator was recently proposed by Kerautret and al. [1]. In
this master thesis, we exploit the precision and stability of this estimator in order to define
a contour extraction method for analysing geometric features. We propose to use a reference
curvature function for extracting the frontier of a shape in a gray level image. The frontier
extraction is done by using both geometric information represented by the curvature of reference and by using gradient information contained in the source image. The application of this
work is done in a medical application, which concerns the contribution to the characterization
of atypical forms of Parkinson’s disease. We introduce a technical measure on the atrophy of
the brain stem measuring in the domain of discreet curvature.
The first part of this work has been devoted to analyse the problem pricipal and the
motivation of the sujet de stage.The second part concerns to some main notions of the robust
estimator of curvature along digital contours with global optimization algorithm (GMC) of
previous work. In the third part of this document, we propose a strategy to define a list
of contours for analysing geometric feature and to extract these contours. The results is a
application to compare the curves of pathological cases and normals cases of the Parkinson’s
disease on the MRIs(Magnetic resonance imaging) brains of patients in the region Guadeloupe
and some experiments on several others types of images are presented in the last part.

vi


Chapitre 1

Introduction
1.1

Problématique

L’extraction des caractéristiques géométriques des objets discrets est une étape importante
dans le domaine de l’analyse d’image. L’application de ce domaine est vaste comme dans
l’imagerie médicale ou l’archéologie. Les estimateurs de l’aire, le périmètre ou la courbure sont

utilisés pour caractériser les objets discrets d’intérêt. Le résultat de la mesure des informations
géométriques précis n’est pas toujours une tâche facile, parce que la mesure des informations
géométriques dépend de l’estimateur géométrique utilisé mais aussi dépend de la technique
fournissant les contours discrets. L’idée principale de ce travail est de proposer une méthode
pour retrouver la forme du contour directement par l’extraction de la frontière à partir de
contraintes géométriques. Les contraintes géométriques seront définies par la courbure fonction
permettant d’obtenir une solution initialisée par l’utilisateur.
Il existe des différentes approches robustes qu’ont été proposées dans le domaine de la
segmentation d’image. En général, les composantes de l’image comme le contour ou la région
sont extraites à partir d’informations a priori. Cette information peut être définie, par exemple,
comme un modèle géométrique de référence, les contraints ou l’interaction avec l’utilisateur.
Un exemple bien connu est l’approche de minimisation d’énergie telles que les "snake" ou
contours actifs [2, 3, 4] .
Une autre approche appelée Active Shape Model (ASM) [5, 6, 7] a utilisé un modèle paramétrique pour l’extraction des formes. Ils ont utilisé les informations statistiques pour définir
des paramètres. Une autre technique bien connue pour la segmentation discrète interactive
est l’algorithme intelligent scissors [8]. Cette technique permet à l’utilisateur de définir les
contours par l’image gradient et de calculer le coût minimal entre 2 points définis par l’utilisateur. Il a été utilisé souvent dans les applications médicales pour mesurer les formes [9, 10].
D’autres techniques exploitent cette idée (lazy snaping [11],enhanced lane [12] or grabcut [13]).
L’exploitation directe de la courbure quantitative évolution n’a pas été encore appliquée
pour donner des contraintes a priori sur le contour à extraire. Même si Schoenemann et
Cremers ont présenté un estimateur de courbure pour déterminer une solution optimale [14],
mais leur approche n’utilise pas la courbure comme un modèle de référence. Un autre travail de
Fšarber et al.[9] proposent une technique utilisant l’algorithme du livewire et qui se basent sur
l’association des structures de chaque images. Dans ce cas, la courbure est seulement utilisée
comme un paramètre pour le contour d’association.
Notre principal objectif dans ce mémoire est l’utilisation des descriptions quantitatives de

1

la forme de la courbure afin d’extraire précisément les informations géométriques des contours
de façon semi-automatiques. Notre approche est basée sur le Global Min-Curvature(GMC)
estimateur introduit dans [1] et sur l’algorithme du plus court chemin défini sur la méthode
Live-Wire. L’avantage principal de l’estimateur GMC est la robustesse au bruit et la stabilité
qui permet d’extraire directement l’information géométrique.

1.2

Motivation

La motivation de ce sujet est le développement d’une application médicale qui utilise les
techniques efficaces de la segmentation des objets discrets pour le but de la caractérisation de
formes atypiques de la maladie de Parkinson.
La Maladie de Parkinson [15, 16, 17]
L’aperçu : La maladie de Parkinson est une maladie du système nerveux qui entraîne une
perte du contrôle des muscles. Elle affecte environ 0,4% des personnes âgées de plus de 40 ans
et 1% de celles qui ont plus de 65 ans. Bien que l’âge moyen d’apparition de la maladie de
Parkinson soit 57 ans, il arrive que la maladie débute pendant l’enfance.
Les causes : Bien que les cellules du cerveau qui règlent les mouvements (neurones moteurs)
soient situées dans la partie supérieure du cerveau, elles ont besoin d’une substance chimique
appelée dopamine, qui est produite dans le tronc cérébral (noyaux gris centraux). Une des
causes de la maladie de Parkinson est la déformation du tronc cérébral.

Fig. 1.1 – L’image exemple du cerveau humain.

Le tronc cérébral est la partie du système nerveux central située à l’intérieur du crâne
(encéphale), entre le cerveau proprement dit et la moelle épinière au-dessous. Il sert de passage
aux nerfs qui vont vers le cerveau et à ceux qui en partent : ce sont les voies de la sensibilité
et de la motricité (faisceau pyramidal et extra-pyramidal).
L’anatomie : Le tronc cérébral est situé entre la moelle épinière et le cerveau. Il comprend

de bas en haut :
– Le bulbe rachidien (jonction avec la moelle épinière cervicale).
– La protubérance annulaire.
– Les pédoncules cérébraux (connectés aux hémisphères cérébraux).
Le tronc cérébral Fig. 1.1 est accolé en arrière au cervelet par les pédoncules cérébelleux. Il
est divisé en trois parties et contient des fragments de substance grise (les noyaux), consti2


tuant l’origine des nerfs crâniens. Une cavité remplie de liquide céphalorachidien, le quatrième
ventricule cérébral, est contenue dans le tronc cérébral et dans le cervelet qui délimite les
cavités.

1.3

Objectifs initiaux du sujet

L’idée de ce sujet est de proposer une technique de mesure sur l’atrophie du tronc cérébral
en mesurant dans le domaine discret la courbure de celui-ci sur une vue sagittale et sur sa
surface supérieure. Cette technique est composé des trois étapes principales suivantes :
– Segmenter la zone associée au tronc cérébral
Cette étude pourra s’appuyer sur des techniques de segmentation en régions associées au
tronc cérébral par le mode d’interaction avec l’utilisateur et pourra proposer une stratégie
pour sélectionner la meilleure solution parmi l’ensemble des résultats de segmentations.

Fig. 1.2 – Illustration du résultat de la segmentation de la zone associée au tronc cérébral.
– Extraire la courbure du tronc cérébral
Cette étude pourra s’appuyer sur des estimateurs connus comme l’estimateur discret introduit
dans [18]. Il sera aussi important de mesurer l’influence du traitement des images sources par
rapport à la technique de la mesure de la courbure utilisée. En particulier, la prise en compte du
bruit dans les techniques d’estimation de la courbure [19], [20] pourrait permettre d’améliorer

certains résultats.
– Détecter les cas pathologiques
Cette étude pourra proposer une stratégie pour la comparaison les courbures des cas pathologiques et des cas normaux.

1.4

Contexte médical et contribution.

Ce sujet contribue à la caractérisation de formes atypiques de la maladie de Parkinson
spécifiques à la Guadeloupe qui induisent en quelques années un handicap moteur sévère et
pour lesquelles aucun traitement réellement efficace n’est connu. Ces formes de la maladie
pourraient toucher approximativement 1% de la population de plus de soixante-cinq ans, soit
1000 personnes pour la région Guadeloupe.
En Guadeloupe, selon une étude clinique prospective au sein des parkinsoniens atypiques,
4 formes ont été identifiées, parmi lesquelles deux formes sont majoritaires : le Complexe
3


Parkinson-Démence (CPD) et la paralysie Supra-Nucléaire-Progressive (PSP). L’étude de la
motricité oculaire, anormale dans la forme PSP et normale chez les CPD permet de différencier les deux formes cliniques.
Par ailleurs, l’observation du cerveau des patients atypiques par IRM semble montrer que
les types PSP présentent une atrophie du tronc cérébral. Les patients de type CPD présentent
rarement cet aspect, mais on observe un ou plusieurs signes parmi les suivants :
– une atrophie du cortex dans les lobes frontaux et/ou pariétaux.
– une atrophie et/ou hypersignaux (points lumineux) du stratum.
– des hyposignaux de la substance noire.
A l’heure actuelle, ces observations sont faites au cas par cas à l’issue d’une discussion
entre neurologues et radiologues. Ces discussions prennent énormément de temps à du personnel très qualifié, ce qui représente un montant financier important pour le CHU. De plus, elles
ne sont pas quantifiées et ne peuvent donc servir de base à l’élaboration d’une classification
claire.

1.5

Environnement de stage

Ce travail s’inscrit à la fois dans la thématique « géométrie discrète » de l’équipe ADAGIo et à travers une collaboration avec M.Pascal Desbarats de l’Université de Bordeaux 1 et 2.
ADAGIo est une équipe du LORIA créée depuis janvier 2006 suite à la restructuration
des anciennes équipes Adage et Modbio. La thématique directrice de cette équipe porte sur
l’algorithmique discrète. Construire un modèle discret d’un problème ou d’un phénomène du
monde réel fait appel, sur le plan mathématique, aux structures discrètes, telles que graphes,
mots, arbres, ensembles de points dans un espace, etc. L’étude des diverses propriétés de ces
structures est l’objectif principal de cette équipe.
Le LORIA, Laboratoire Lorrain de Recherche en Informatique et ses Applications, est une
Unité Mixte de Recherche - UMR 7503. La création de cette unité a été officialisée le 19 décembre 1997. Le LORIA est un Laboratoire de plus de 450 personnes. Les missions principales
sont :
– Recherche fondamentale et appliquée au niveau international dans le domaine des Sciences
et Technologies de l’Information et de la Communication.
– Formation par la recherche en partenariat avec les Universités lorraines.
– Transfert technologique par le biais de partenariats industriels et par l’aide à la création
d’entreprises.

4


Chapitre 2

Estimateurs de courbure
L’estimateur robuste de courbures par optimisation globale (GMC) est un précédent travail
de Bertrand Kerautret et Jacques-Olivier Lachaud [1]. L’objectif initial de cet estimateur est
d’obtenir des résultats précis à faible résolution d’être adapté aux données pas parfaitement

discrétisées/bruités. Dans ce chapitre, on va revoir les notions principales de cet estimateur et
analyser ses avantages pour être appliqué à notre travail.

2.1

Couverture tangentielle et espace de tangente

upper leaning pts
lower leaning pts

minimum slope
slope a/b
maximum slope

(a)

(b)

Fig. 2.1 – Illustration de couverture tangentielle(a) et des pentes (b).
La donnée d’entrée de cet estimateur est le contour discret associé à l’objet contenu dans
l’objet. Ce contour est défini par une séquence 4-connexe des points C. Prédicat S(i, j) est un
segment discret droit est une séquence de 4-connexion points de Ci à Cj qui est formulé par :
∃(a, b, µ) ∈ Z 3 , ∀k, i ≤ k ≤ j, µ ≤ axCk − byCk < µ + |a| + |b|.
La pente de segment est a/b. Segments maximaux inextensibles du bord discret est une
séquence S(i, j) :
S(i, j) ∧ ¬S(i, j + 1) ∧ ¬S(i − 1, j)
5


La couverture tangentielle est un ensemble des segments maximaux le long du contour

discret. Elle est utilisée pour estimer les tangentes d’un contour [21, 22]. La Fig. 2.1(a) est un
exemple de couverture tangentielle de contour de la forme discrète. Dans cette figure chaque
segment maximal est représenté par une boite.
Estimation de la tangente : Chaque segment maximal nous donne des informations géométriques locales. Dans cette approche, l’auteur a proposé une estimation de la pente de la
tangente avec une incertitude définie selon les points d’appuis supérieurs et inférieurs. On
note M et M ′ les points d’appuis supérieurs et inférieurs. Une pente minimale (rés. pente
maximale) est choisie par une pente de segment de M + (0, 1) à M ′ (rés. de M à M ′ + (0, 1)).
La Fig. 2.1(b) illustre les pentes minimales et maximales.
Pour un segment maximal de caractéristiques (a, b) on a :

2.2

pmin =

a 1
− .
b
b

pmax =

a 1
+ .
b
b

Couverture tangentielle et segments flous

Il est possible de définir la couverture tangentielle à partir des segments flous pour gérer les
contours bruités. On a appliqué l’algorithme de reconnaissance des segments flous inextensibles

du bord discret a été proposé par Debled et al. [23]. On peut aussi noter qu’il existe une autre
approche équivalente proposé par une autre approche de Buzer [24]. On a utilisé l’algorithme
de Debled en utilisant une version permettant l’ajout des points n’ayant pas obligatoirement
des coordonnées (x ou y) croissantes.
Les intervalles des directions de la tangente R = [θmin , θmax ] sont définis à partir de la
fonction de l’épaisseur ν du segment flou. Si V (vx , vy ) est un vecteur des points d’appui de
l’enveloppe convexe( un exemple dans la Fig. 2.2), alors l’intervalle des directions de la tangente
R sont définis par
vy − ν
vy + ν
), tan−1 (
)].
R = [tan−1 (
vx
vx
UL
UF

V

Smax

ν

Smin

Fig. 2.2 – Illustration du vecteur des points d’appui de l’enveloppe convexe.
Pour le but du calcul la courbure optimale, la pente minimale et maximale de chaque point
k , θk
sont évalués. On note Ik = [θmin

max ] est l’intervalles des directions de la tangente k. On a
6


utilisé 6 conditions suivantes pour la gestion par fusions successives d’intervalles définies selon
différentes configurations(dans la Fig. 2.3).
1
θmax

1
θmax

+

+

2
θmax

2
θmax

1
θmin
2
θmin
2
θmin
1
θmin

(a)

(b)

1
θmin

1
θmax

+

d2

2
θmax

+

2
θmin

1
θmax

2
θmax

d1

2
θmin
1
θmin

(c)

(d)

Fig. 2.3 – Illustration des différentes configurations.
2 , θ2
1
1
2
1
2
2
2
1
– (1) I2 ∈ I1 : θmin
max ∈ [θmin , θmax ] et θmin ∈ [θmin , θmax ] et θmax ∈ [θmin , θmax ]. (i.e :
Fig. 2.3(a))
1
2
1
1
2
1
2

2
1 , θ1
– (2) I1 ∈ I2 : θmin
max ∈ [θmin , θmax ] et θmin ∈ [θmin , θmax ] et θmax ∈ [θmin , θmax ].
1 , θ2
2
1
1
2
1 , θ1
/ [θmin
– (3) I = [θmin
max ].
max ] : θmin ∈ [θmin , θmax ] et θmax ∈
2
1 , θ1
1
1
2
2 , θ1
/ [θmin
– (4) I = [θmin
max ]. (i.e : Fig. 2.3(b))
max ] : θmax ∈ [θmin , θmax ] et θmin ∈
1 , θ2
[θmin
max ] ssi d1 < d2
2
1
θmin , θmax

] ssi d2 < d1
I1 ∪ I2 = ⊘. (i.e : Fig. 2.3(c))

– (5) I =

1
2
2
1
| et
| et d1 = |θmin
− θmax
: d1 = |θmin
− θmax

– (6) I = [0, 2π] : pour les autres conditions. (i.e : Fig. 2.3(d))

2.3

Calcul de la courbure par optimisation

On note la tangente θC = ∠(0x, C ′ ) qui est la reconstruction linéaire par morceaux (xi , yi ).
Chaque segment (xi , yi ) − (xi+1 , yi+1 ) est un arc de cercle s dans le plan euclidien de courbure
égale à sa pente. La distance entre les xi et xi+1 est estimée à partir de λ - MST. On reconstruit
une courbe C 1 , C ∞ par morceaux. La minimisation de la courbure est définie par :
L

L

κ2 (s)ds =

κ2 =

J[C] =
C

0

0

7

dθC
ds

2

ds.

(2.1)


Fig. 2.4 – Illustration de la tangente estimée.
Dans la Fig. 2.4, la contrainte direction impose par ∀i, ci ≤ yi ≤ di . Où yi est la tangente
estimée en xi qui est l’ascisse curviligne par morceaux (xi , yi ). La minimisation J[(yi )] avec
∀i, ci ≤ yi ≤ di :
L

κ2 (s)ds = Σi (

J[(yi )] =
0

2.4

yi+1 − yi 2
(yi+1 − yi )2
) (xi+1 − xi ) = Σi
.
xi+1 − xi
xi+1 − xi

(2.2)

Analyse et Comparaison

Le résultat de la courbure obtenue par cet estimateur est précis et stable. La Fig. 2.5(b)
représente un exemple de la comparaison avec l’estimation de la courbure discrète basée sur le
cercle circonscrit (CC) [25]. Cette expérimentation se fait sur un cercle avec un rayon R = 20
et taille de grille ν = 0.1. Dans la Fig. 2.5(a) et (b), le résultat de l’application de l’estimateur
1
). Ce sont
GMC montre par des points clairs(bleu) qui ont des valeurs proches 0.05(= R1 = 20
des valeurs plus stable et plus précis que le résultat de l’application de l’estimateur CC qui
est présenté en vert dans la Fig. 2.5(b).
La colonne (c) illustre l’extraction des minima / maxima sur une génération vectorielle
à 300 dpi. Des points foncés(gris) sont les points locaux maximaux. Des points clairs (bleu)
sont les points locaux minimaux. L’extraction des minima / maxima avec l’estimateur GMC
est présentée en haut de la Fig. 2.5(c). Et des points de l’extraction des minima / maxima
sont présentés en bas de la Fig. 2.5(c). Nous pouvons voir que l’estimateur GMC donne des

bons local minima / maxima par rapport à l’estimateur CC. Les mauvais résultats de l’estimateur CC sont le manque de stabilité avec l’apparition de plusieurs oscillations dans les
images grandes résolution. Ici, les valeurs locales minima / maxima sont extraites du graphe

8


0.050005

0.1

GMC estimator: grid step=0.1

0.05

0.05

0.049995

0

0.04999

-0.05

0.049985

-0.1

0.04998

-0.15

0.049975

-0.2

0.04997

-0.25

0.049965

GMC estimator: grid step=0.1
CC estimator: grid step=0.1

-0.3
0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

0

20

40

(a)

60

80

100

120

140

(b)

160

180

(c)

Fig. 2.5 – Les résultats et comparaison de l’estimateur GMC avec l’estimateur de courbure
discrète basé sur le cercle circonscrit.
de courbure par des valeurs de la quantification pour la précision.
L’expérimentation au dessus démontre l’un des avantages d’estimateur GCM. C’est précis
et stable. En fait, dans le document de ce travail [1], l’auteur a présenté d’autres expérimentations et différentes comparaisons avec d’autres estimateurs. L’estimateur GMC a été comparé
avec la version flou de l’estimateur CC, qui a été proposé par Nguyen et Debled [26]. C’est la
méthode de l’estimation de la courbure discrète basée sur le cercle circonscrit et des segments
flous maximaux (appelé par NDC estimateur). Dans des cas lisses du contour, l’estimateur
GMC nous donne des résultats plus précis et plus stable que l’estimateur GMC (la Fig. 2.6).
Des résultats en détail ont été présentés dans le document de GMC [1].
Pour la suite, dans la cadre de ce travail, nous allons exploiter les avantages de l’estimateur
GCM comme la stabilité et la précision pour définir une nouvelle approche robuste pour la
segmentation d’objets dans des images bruitées. Une fonction de courbure de référence associée
avec la valeur de longueur sont considérées pour l’analyse des caractéristiques géométriques
d’une forme dans une image en niveaux de gris.
0.6

GMC estimator, width=2
NDC estimator, width=2

0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1

0

(a)

100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

(b)

Fig. 2.6 – La comparaison des estimateurs GMC et NDC.

9


Chapitre 3

Extraction du contour à partir de la
forme de référence
3.1
3.1.1

Construction de la liste des candidats potentiels
Extraction du chemin passant entre deux points

Les ciseaux intelligents (Live-wire ou intelligent scissors) [9] est un algorithme de segmentation interactive proposé par Eric N. Mortensen et Wiliam A. Barrett dans le but de faire de
la composition d’images. Le principe est de détecter le contour d’un objet potentiel à partir
de points initialisé pas l’utilisateur et la position de la souris.
On définit cet algorithme comme le problème de recherche dans un graphe à deux dimensions, le but étant de trouver le chemin optimal entre un noeud de départ et un ensemble de
noeuds d’arrivée. Pour l’image, un noeud représente un pixel et les contours sont créés à partir
des pixels et de leurs voisins en 8-connexité. Le chemin sera optimal lorsque sa fonction de
coût sera elle minimale. Pour cela, on propose deux problèmes à résoudre qui sont le chemin

optimal et le coût. L’algorithme de Dijkstra est utilisé pour rechercher le chemin optimal. La
valeur du coût est déterminée par une fonction de coût.
• Algorithme de recherche de frontières (Boundary-Searching Algorithme) :
L’algorithme de Dijkstra [27] sert à résoudre le problème du plus court chemin entre deux
sommets d’un graphe connexe dont le poids lié aux arêtes est positif ou nul. L’algorithme
porte le nom de son inventeur, l’informaticien néerlandais Edsger Dijkstra, a été publié en
1959. À base de cet algorithme, Mortensen et Barett proposent un algorithme de recherche de
frontières.
Les notations :
– s : le sommet initial, L est la liste des noeuds actifs.
– N(q) : la liste des 8 voisins de q.
– E(q) est vrai si le noeud q est marqué/traité.
– T(q) : coût total entre s et q.
– Cost(p,q) : coût local de p vers q.
– Min(L) : retourne le noeud ayant un coût minimal dans L.
– B(q) : noeud précédant q dans le chemin du plus court chemin vers s.

10


Algorithme de recherche de frontières :
T(s)=0
Add s to L
while(L != empty)
q=min(L)
E(q)=TRUE
for each r ∈ N (q) s.t not E(r) do
if r∈L and T(q)+cost(q,r)remove r from L
if r not ∈ L then

T(r) = T(q)+cost(q,r)
B(r) = q
add r into L
∞

∞

∞

∞

∞

∞

∞

∞

∞

∞

∞

∞

∞

∞

∞

∞

∞

∞

∞

∞

∞

∞

∞

∞

∞

7

2

11

∞

∞

∞

7

2

9

5

∞

∞

∞

∞

∞

∞

∞

∞

4

0

1

∞

∞

∞

4

0

1

6

∞

∞

∞

∞

∞

∞

∞

∞

13

7

7

∞

∞

∞

13

7

6

14

∞

(a)

(b)

(c)

∞

6

6

12

∞

∞

∞

6

6

12

∞

∞

∞

6

6

12

14

23

∞

7

2

9

5

∞

20

7

2

9

5

∞

20

7

2

9

5

9

∞

4

0

1

6

∞

16

4

0

1

6

∞

16

4

0

1

6

13

∞

13

7

6

14

∞

18

13

7

6

14

∞

18

13

7

6

14

∞

(d)

(e)

(f)

Fig. 3.1 – Illustration de l’algorithme de recherche de frontières.
Dans la Fig. 3.1(a), on met en fait une valeur max infinie, ou alors supprime le signe
"infinie" dans la figure pour tous les pixels, (b) on calcule les valeurs des voisins du sommet
initial, (c,d,e) on choisit le voisin qui a la valeur minimale, et on re-calcule les valeurs de ses
voisins. A partir de la figure (f), on peut déterminer le plus court chemin entre 2 points en
gris dans l’image.
• La fonction de coût :
Plusieurs articles [8], [28], [29] décrivent les moyens de calculer les coûts entre un pixel et son
11


(a) l’image origine

(b) l’image laplacien

(c) l’image Sobel X

(d) l’image Sobel Y

Fig. 3.2 – Illustration des images gradients.
voisin dans l’image. Ceux choisis pour être mis en œuvre dans ce document sont les Gradient
Magnitude (fG ), Laplacian Zero-Crossing (fZ ), Gradient Direction (fD ) et Edge Pixel Value
(fP ).
Si p et q sont deux pixels voisins dans l’image, la fonction du coût local de p vers q cost(p,q)
est définie par :
cost(p, q) = ωG ∗ fG (p) + ωZ ∗ fZ (p) + ωD ∗ fD (p, q) + ωP ∗ fP (p)

(3.1)

Òu chaque valeur de ω est le poid de la fonction correspondante et les coefficients doivent
respecter la condition suivante : ωG + ωZ + ωD + ωP = 1. Cependant, ces poids peuvent être
facilement ajustés. Dans cette approache, nous proposons d’utilise les poids de ωG = 0,7 , ωZ
=0,1 , ωD =0,1 , ωP =0,1. C’est défini de manière empirique.
Gradient Magnitude fG :
Le gradient est une dérivation au premier ordre et est donné par la formule :
∇I =

∂I
∂I
Ix +
Iy
∂x
∂y

où Ix (resp. Iy ) est un vecteur unitaire suivant x (resp. suivant y).

12


Le gradient, en un pixel dune image numộrique, est un vecteur caractộrisộ par son amplitude et sa direction. Lamplitude est directement liộe la quantitộ de variation locale des
niveaux de gris. La direction du gradient est orthogonale la frontiốre qui passe au point
considộrộ. La mộthode la plus simple pour estimer un gradient est donc de faire un calcul de
variation monodimensionnelle cest--dire en ayant choisi une direction donnộe.
Lopộrateur de Sobel permet destimer localement la norme du gradient spatial bidimensionnel dune image en niveaux de gris. Il amplifie les rộgions de fortes variations locales
dintensitộ correspondant aux contours. Cet opộrateur consiste en une paire de masques de
convolution 3x3 dont une rotation de 90permet de passer dun masque de convolution
lautre. Ce masque est conỗu pour rộpondre maximal aux contours horizontaux et verticaux.

Lapplication sộparộe de chacun des masques donne une estimation des composantes horizontales et verticales du gradient par un simple filtrage linộaire avec un masque 3x3.
Lopộrateur utilise des matrices de convolution avec limage pour calculer des approximations des dộrivộes horizontales et verticales. Soit I limage source, Gx et Gy deux images qui
en chaque point contiennent des approximations respectivement de la dộrivộe horizontale et
verticale de chaque point. Ces images sont calculộes comme suit :


1 0 +1
Gx = 2 0 +2 I
1 0 +1


+1 +2 +1
Gy = 0
0
0 I
1 2 1

Il est ensuite possible de calculer la norme et la direction du gradient en chaque point
partir des composantes du gradient Gx et Gy par la norme euclidienne :
G=

G2x + G2y

Mais pour obtenir un algorithme plus rapide, nous approcherons cette norme par :
G = |Gx | + |Gy |
La norme du gradient ainsi estimộe correspond lintensitộ attribuộe au pixel courant.
Cest donc limage de la norme du gradient que lon visualise gộnộralement. Alors, la fonction
de coỷt fG de la partie de gradient magnitude est :
fG (p) = 1

G(p) Gmin
Gmax Gmin

Laplacian Zero-Crossing fZ :
Laplacien est une dộrivation au deuxiốme ordre :
L(x, y) =

2I
2I
+
x2 y 2

Dans le cas dune image, il nexiste pas une dộrivộe seconde unique mais quatre dộrivộes
partielles. En pratique, on lốve cette ambiguùtộ en ayant recours opộrateur laplacien qui fait
la somme des deux dộrivộes partielles principales seulement.
13


Les considérations concernant le bruit dans la dérivée première sont encore plus importantes dans les calculs de dérivée seconde. On utilise donc couramment une combinaison de
lissage et laplacien ce qui correspond au laplacien d’une gaussienne.
L’estimation de la dérivée seconde étant très sensible aux bruits, il convient de filtrer très
fortement l’image avant d’en mesurer le laplacien.
La matrice est de convolution :


−1 −1 −1
IL = −1 8 −1 ∗ I
−1 −1 −1
Alors, la fonction de coût fZ de la partie de Laplacian Zero-Crossing est :
fZ (p) =

0 si IL (p) = 0
1 si IL (p) = 0

Gradient Direction fD :
Le gradient de direction ou d’orientation ajoute une contrainte “smoothness” à la frontière des
images gradients par association de la relation entre les grands coûts et leur directions dans la
frontière. La direction du gradient est simplement la direction du vecteur unitaire défini par
Gx (p) et Gy (p). Alors, la fonction de coût fD de la partie de gradient direction est :
fD (p, q) =

2
[acos[dp (p, q)] + acos[dq (p, q)]]
3π

Où :
dp (p, q) = D ′ (p).L(p, q)
dq (p, q) = L(p, q).D′ (q)
D(p) est un vecteur unitaire de la direction du gradient et D’(p) est un vecteur unitaire
perpendiculaire de D(p).
1
[Gx (p), Gy (p)]
D(p) =
255
1
D′ (p) =
[Gy (p), −Gx (p)]
255
L(p,q) est un vecteur du lien bidirectionnel normalisé entre les pixels p et q comme la
différence de la direction ou de l’orientation est minimisée.

L(p, q) =

1
p−q

p − q si D ′ (p).(p − q) ≥ 0
q − p si D ′ (p).(p − q) < 0

Edge Pixel Value fP :
Edge Pixel Value est une value de niveau de gray d’un pixel dans l’image origine. Alors, la
fonction de coût fP de la partie de Edge Pixel Value :
fP =

1
I(p)
255

14


3.1.2

Méthode de la construction des candidats potentiels

On note Ps et Pe sont les deux points références qui sont initialisés par l’utilisateur. A patir
de l’algorithme de l’extraction du chemin passant entre deux points, on propose une méthode
pour construire une liste de candidats potentiels ζ associé au segment Ps Pe .
On note le plus court chemin de Ps à Pe par S(Ps , Pe ). Le plus court chemin de Ps à Pe
passant un point pk est noté par Sk : Sk = {S(Ps , pk ), S(pk , Pe )}. Normalement dans l’image
n’est pas visiblement très bruité Fig. 3.3, il est difficile à extraire le contour entre 2 points plus

loin comme (a). Alors, on a besoin d’un autre point pk à recouvrer des meilleurs candidats
possibles.

(a)Le contour passe par 2 points

(b)Le contour passe par 3 points

Fig. 3.3 – Un cas exemple du besoin de la construction de la liste de candidats.
On calcule le point M milieu de la ligne droite Ps Pe . On note Ps′ et Pe′ sont les images de
Ps et Pe qui sont obtenu par rotation d’un angle de θ centrée en M de la ligne droite Ps Pe .
La liste des candidats potentiels ζ θ associée avec l’angle θ est défini par :
ζ θ = {Qk |Qk ∈ µ′ < a′ x + b′ y + c′ < µ′ + ω ′ and Qk M > Qk+1 M };
Où : a’, b’, c’ sont associés avec la ligne droite Ps′ Pe′ . Fig. 3.4 représente une illustration des
P2

pi
M1,2
θ
pk

P1

Fig. 3.4 – Illustration de la liste des candidats potentialités.
candidats associés avec une angle θ.

15


Afin d’augmenter la probabilité de sélectionner la meilleur liste de candidats potentiels, on
utilise trois valeurs de l’angle θ : π4 , π2 and 3π

4 . Et la liste de l’ensemble des candidats potentiels
π
π
3π
est défini par : ζ = ζ 4 ∪ ζ 2 ∪ ζ 4 .

3.2

Sélection du meilleur contour

Dans cette approche, on note deux points de référence par Ps et Pe qui sont initialisés par
l’utilisateur. A partir de la liste des candidats potentiels ζ associés au points Ps Pe , on propose
trois étapes de la sélection des candidats afin d’obtenir le meilleur contour. La sélection est
basée sur des contraintes géométriques et photométrique. Les informations géométriques de
référence associés aux points Ps Pe sont définis par les valeurs constants qui respectent la forme
de référence. A partir d’une forme de référence initiale, on calcule la courbure Cref associé
aux points Ps Pe par l’estimateur GMCB avec une valeur d’épaisseur v qui dépend au niveau
bruit de l’image. Ensuite, on construit l’ensemble des informations géométriques de référence
{Cref , Errperi , Cmax , Cmin }. Où, Cmax et Cmin sont les valeurs minimales et maximales de
la courbure Cref . Errperi est le pourcentage d’erreur admissible de périmètre de l’intervalle
initial Ps Pe .

3.2.1

Contrainte du minimum local d’énergie.

La méthode de la construction de la liste des candidats potentiels est une méthode "glouton". On a considéré tous les cas possibles dans l’espace de candidats associé aux points Ps Pe .
Alors, on ne peut pas éviter des candidats ambigus. Ici, on propose la première sélection des
candidats afin de choisir les candidats significatifs et de réduire le nombre de candidats. Cette
première sélection de candidats est basée sur le calcul de l’énergie.

0.3

all candidates

Energie function
Min locaux

selectioned candidates (local minima energy)

0.29

0.28

0.27

0.26

0.25

0.24

0.23
0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

(a)

(b)
π

Fig. 3.5 – Illustration d’une courbe de l’énergie de tous les candidats de ζ 4 (a) et des contours
des candidats (b).
On calcule l’énergie Ek de tous les candidats pk ∈ ζ :
Ek = G(Ps , pk ) + G(pk , Pe )
La fonction G donne la value moyenne de coût (formule 3.1) de tous les points discrets
dans le chemin de ce candidat. La fonction G est définie par :
G(P0 , Pn ) =

i=0,n−1 (cost(Pi , Pi+1 ))

n

16


La nouvelle liste des candidats ζ1 est construite par choisir en sélectionnant les candidats
dans la liste ζ présentant un minimum local d’énergie Ek . Dans la Fig. 3.5, on considère les
π
candidats de la liste ζ 4 avec un angle π4 . La Fig. 3.5(a) représente une courbe de l’énergie
π
de tous les candidats de ζ 4 . Les croix représentent les candidats qui ont un minimum local
π
d’énergie de l’intervalle initial Ps Pe . Les contours de tous les candidats de ζ 4 sont présentés
dans la La Fig. 3.5(b), et les contours avec l’énergie minium local sont représentés en bleu avec
une épaisseur plus grande.

3.2.2

Contraintes sur la longueur du contour.

Après avoir utilisé des contraintes sur les minimum locaux d’énergie et supprimé les candidats non significatifs. On supprime les cas ambigus de candidats dans la liste ζ1 en rajoutant
une nouvelle contrainte. C’est la contrainte de longueur. En effet il peut exister des cas particuliers qui où plusieurs contours ont la même courbure(i.e : la figure 3.6)
Pe

Ps

Fig. 3.6 – Illustration des plusieurs contours avec la même courbure
On calcule la longueur Lestime = ||PS Pe || de l’intervalle initial Ps Pe . Pour chaque candidat
pk ∈ ζ1 , on estime la longueur Lk du candidat par la formule suivante :
d(xi , xi+1 ) où
d(xi , xi+1 ) = ||xi xi+1 || est la somme des distances d’un point xi à son voisin xi+1 dans le
contour du candidat k. Afin d’obtenir des candidats significatifs par la contraint de longueur,

on doit détecter les structures spéciales du contour. Ce sont des contours overlap qui ont la
structure suivante :
Ps P1 P2 ...Pi Po Pi+1 ...Pj Po Pj+1 ...Pn Pe
Et on coupe le segment overlap dans le contour(en gras), et on obtient le résultat suivant :
Ps P1 P2 ...Pi Po Pj+1 ...Pn Pe
A partir des informations de longueur Lk du contour, on construit la nouvelle liste de
candidats ζ2 par la contraint suivante :
ζ2 = {pk |

|Lk − Lestime |
≤ Errperi };
Lestime

La Fig. 3.2.2 représente un exemple de résultats différents obtenus avec les deux premières
contraintes sur une image bruitée de cercle (R = 61). Ici, on considére un ensemble de quatre
intervalles de Ps Pe . Quatre points en haut, en bas, à droite, à gauche du cercle sont utilisés pour
construire la liste des quatre segments de Ps Pe . La Fig. 3.2.2(a) représente tous les contours
possibles dans la liste ζ. (b) On applique la contrainte sur le minimum local d’energie et on
coupe les contours présentant des boucles pour enlever des candidats ambigus. Les images
Fig. 3.2.2(c) et (d) représentent les candidats qui passent l’examen de la contrainte sur la
longeur par deux valeurs du pourcentage d’erreur admissible Errperi .
17


(a) tous les candidats ζ

(b) les candidats de ζ1 non-overlap

(c) les candidats de ζ2 avec Errperi < 10%

(d) les candidats de ζ2 avec Errperi < 5%

Fig. 3.7 – Illustration des contours différences de la liste de candidats avec les deux premiers
contraintes sur une image noise de cercle (R = 61).

3.2.3

Contraintes sur la courbure.

Lorsque la deuxième sélection des candidats a été faite, nous utilisonsl’estimateur GMCB
pour mesurer la valeur de courbure Ck des candidats k dans la liste un candidat ζ2 de l’intervalle Ps Pe . Quand l’estimateur de la courbure est assez stable, la valeur de courbure est utile
pour évaluer ces candidats restants et sélectionner le meilleur candidat d’un intervalle Ps Pe .
La valeur moyenne de courbure Ck du candidat k ∈ ζ2 est définie par :
Ck =

i
i=0,n−1 (Ck )

n

Où n est le nombre de points du contour du candidat k. La plus petite liste de candidats
ζ3 est sélectionnée par une contrainte de limiter l’intervalle de courbure :
ζ3 = {pk |CM in ≤ Ck ≤ CM ax };
Nous calculons la valeur de l’erreur quadratique Errquad entre la courbure moyenne Ck∗ du
candidat pk ∈ ζ3 et la courbure référence Cref :
Errquad = (Ck − Cref )2 ;
Le meilleur contour de l’interval Ps Pe est déterminé par la valeur minimale de
l’erreur quadratique Errquad .

18