A la recherche de générateurs codes pour les langages de mots infini

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✄❪✏✆ Σ ✞✍ ✒✞✔ ✘ ✒ ✙✌✡ ✑✍✏✒ ✓✍ ✗✡ u ❴✝✆ ✞✍ ❴ ✝✞✏✆❴ ✑✍✏❴ ☞ ❴ ✠❴✆✆❜❴✝ ☞ ❴ Σ ✚
✏

(n ≥ 0)

u = a1 a2 . . . an

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✠ ❪ ✍✌✞ ❴ ✞ ❜n0 ✒ Σ∗ ❴ ✝✆ ✠✡❴ ✍✝ ❴❵❛ ✠ ❴ u☞ ❴ ✝ ❵❪ ✆✝ ✝✞ ❜ Σ|u|❴ ✆ Σ+ = Σ∗ \ { } ✒
✓✍ ω ✔ ✏ ✗✡ w ❴ ✝✆ ✞✍ ❴ ✝✞✏✆ ❴ ✏✍✑✍✏ ❴ ☞ ❴ ✠ ❴ ✆✆ ❜❴ ✝ ☞ ❴ Σ ✚
w = b1 b2 . . . bn . . .

✝ ✍ ✍ ❪ ✆ ❴ Σω ✠✡❴ ✍✝ ❴❵❛ ✠ ❴ ☞ ❴ ✝ ω ✔ ❵❪ ✆✝ ✝✞ ❜ Σ ✒
✗ ❴ ✖ ❪ ✍✖✎✆☛✍☛ ☞ ❴ u ❴ ✆ w ❴ ✝✆ ✠✡ω ✔ ❵❪ ✆ ✍ ❪ ✆☛ uw ☞☛✑✍✏ ✕ ✎ ❜ ✚

✄❪✎✏✆❜ ✚

✕

v = c1 . . . cm

uw = a1 . . . an b1 b2 . . .

✞✍ ❵❪ ✆ ☞✎✍✝ Σ∗ ✛ ✠ ❴ ✖ ❪ ✍✖✎✆☛✍☛ ☞ ❴ u ❴ ✆ v ❴ ✝✆ ✠ ❴ ❵❪ ✆ ✍ ❪ ✆☛ uv ☞☛✑✍✏
uv = a1 . . . an c1 . . . cm

✚

✝ ✍ ✍ ❪ ✆ ❴ ✠ ❴ ω ✔ ❵❪ ✆ uuu . . . ✛ ✞✍ ω ✔ ❵❪ ✆ w ❴ ✝✆ ☞✏✆ ☛✞✡✕ ✏ ✌ ✏ ✌✏✡ ✔ ✠✑✕✗☞✕ ☛✌ ✝✡✏✠
❴✜✏✝✆ ❴ ☞ ❴ ✞✜ ❵❪uω✆✝ ✑✍✏✝
❴ ✆ ✆ ❴ ✠✝ ✤✞ ❴ w = uvω ✒ ☛✠ ❴ ✝✆ ☞✏✆ ✔ ✠✑✕✗☞✕ ☛✌ ✝✏ w = vω ✒
u v
✗ ❴ ✝ ✕ ✎ ❜ ✆✏ ❴ ✝ ☞ ❴ Σ∗ ✝ ❪ ✍✆ ✎ ✕✕ ❴ ✠☛ ❴ ✝ ☞ ❴ ✝ ✞✒✏✎✒✎✌✍ ✛ ✖ ❴ ✠✠ ❴ ✝ ☞ ❴ Σω ☞ ❴ ✝ ω ✔ ✞✒✏✎✒✎✌✍ ✒ ✥ ❪ ✞ ❜
✞✍ ✠✎✍✌✎✌
❴ L ☞ ❪ ✍✍☛✛ ❪ ✍ ✍ ❪ ✆ ❴ L∗ ✠❴ ❵❪ ✍ ❪ ☞ ❴ ❴ ✍✌ ❴ ✍☞ ❜ ☛ ✕ ✎ ❜ L ✚
❴✆
L∗ = { } ∪ {u u . . . u | n > 0 u , . . . , u ∈ L}

✚

✛

❴✆ L

1 2

n

L+ = {u1 u2 . . . un | n > 0

✝ ✍ ✎ L∗ = L+ ∪ { } ✒

✍

n

1

+ ☞☛✍ ❪ ✆ ❴ ✠ ❴ ✝ ❴❵ ✏ ✌ ❜❪ ✞ ❴ ❴ ✍✌ ❴ ✍☞ ❜ ☛ ✎ ❜ L ✚
✔ ✕
✕

❴✆ u , . . . , u
1

n

∈ L}


✜ ❴ ✠✎✘❪✍ ✝✏❵ ✏✠✎✏❜❴ ✛ ❪✍ ☞☛✑✍✏✆ ✙ ✕ ✎❜✆✏❜ ☞ ❴

✠✡ ✠✎✍✌✎✌ ❴ ✝✞✏ ❫ ✎✍✆ ✚

L ω✔

❪ ✞ ❜ ✆ ❪ ✞✆ i > 0, u ∈ L \ { }}
✓✍ ✠✎✍✌✎✌ ❴ ☞ ❴ ✠✎ ✠ ❪❜❵❴ ❴ ✝✆ ☞✏✆ ✔ ✔ ☛✕✍✍✒✏✖✌ ☞ ❴ L ✒ ✗ ❴ ✠✎✍✌✎✌ ❴ L ❴ ✝✆ ✎✠ ❪❜ ✝ ✞✍
✌☛✍☛ω❜ ✔✎✆ ❴ ✞ ❜ ☞ ❴ L ✒ ✗ ✡❪ ✕ ☛ ❜ ✎✆✏L❪ ✍ ❴ ✝✆ ✠✎ ✕ω✞✏✝✝✎✍✖
❴ ✒
  ✚☞ ☎ ★☛☞ ✠ ✁ ✠ ✁ ✄ ❪ ✏✆
✞✍ ✎✠ ✕ ✦✎ ❛❴ ✆✒ L = a b ❴ ✝✆ ✞✍ ✠✎✍✌✎✌ ❴ ✝✞ ❜ Σ ✒ ✄ ❪ ✍
Σ = a+b
✞✏✝✝✎✍✖
❴
❴
✝✆
✠✡
✠✎✍✌✎✌
❴
✤✞✏
✖ ❪ ✍✆✏ ❴ ✍✆ ✆ ❪ ✞✝ ✠ ❴ ✝ ω ✔ ❵❪ ✆✝ ✎✟✎✍✆ ✞✍ ❴ ✏✍✑✍✏✆☛ ☞ ❴
ω ✔✕
L
ω✔
✠ ❪ ✏✝ ✠✎ ✠ ❴ ✆✆ ❜❴ b ✒
✄✠❴ ❪✠✎✍✌✎✌

✏✆ w ∈ Σ ∪ Σ ✞✍ ❵❪ ✆ ❪ ✞ ✞✍ ω ✔ ❵❪ ✆✒ ✝ ✍ ✎ ✕✕ ❴ ✠✠ ❴ ❴ ✍✝ ❴❵❛ ✠ ❴ ☞ ❴ ✝ ✕ ❜ ☛✑✜ ❴ ✝ ☞ ❴
❴ ✍ ❪ ✆☛ Pref(w) ☞☛✑✍✏ ✕ ✎ ❜ ✚
w
✏✠ ❴ ✜✏✝✆ ❴ v ∈ Σ ∪ Σ ✎❫❴ ✖ w = uv}
Pref(w) = {u ∈ Σ |
✄✏ ∈ Pref(w)
✛ ❪ ✍ ☞✏✆ ✤✞ ❴ u ❴ ✝✆ ✕ ❜ ☛✑✜ ❴ ☞ ❴ w ❴ ✆ ❪ ✍ ✍ ❪ ✆ ❴ u ≤ w ✒ ✗ ✡❪❜ ☞ ❜❴ ✏✍☞✞✏✆ ❴ ✝✆
✠✡❪❜u☞ ❜❴
❜✕ ☛✑✜ ❴ ✒
✄❪✏✆ X☞☛✑✍✏⊆ Σ ✎❜∪✚ Σ ✛ ❪✍ ✎✕✕ ❴✠✠❴ ❴✍✝❴❵❛ ✠❴ ☞ ❴✝ ✕ ❜☛✑✜ ❴✝ ☞ ❴ X ✠❴ ✠✎✍✌✎✌ ❴ ✍ ❪✆☛
Pref(X)
✕
Lω = {u1 u2 . . . un · · · | ✕

i

ω

ω

ω

∗

ω

∗

ω

∗

∗

✄❪✏✆

∗

ω

ω

Pref(X) =

Pref(w)

✞✍ ✠✎✍✌✎✌ ❴ ❴ ✆ Y ✞✍ ✠✎✍✌✎✌ ❴ ❪ ✞ ω ✔ ✠✎✍✌✎✌ ❴ ✛ ❪ ✍ ✍ ❪ ✆ ❴ ✚
❴✆ y ∈ Y }
XY = {xy | x ∈ X
✏✠ ❴ ✜✏✝✆ ❴ x ∈ X ❴ ✆ xv ∈ Y }
X −1 Y = {v |
✏ ❴ ✆ ✝ ❪ ✍✆ ☞ ❴ ✞✜ ✠✎✍✌✎✌ ❴ ✝✛ ✝✏ ❴ ✆ ✝ ❪ ✍✆ ☞ ❴ ✞✜ ω ✔ ✠✎✍✌✎✌ ❴ ✝✛ ❪ ✍ ☞☛✑✍✏✆ ☞ ❴ ✠✎ ✘ ❪ ✍
✝✟ ❵W☛✆ ❜ ✏✤✞X❴ W X −1 ❴ ✆ Y Z −1 ✒ Y Z
w∈X

X

✄

✡☛✂

✄

✄☎

✒ ☎✍✏ ✏✍ ✕ ✆ ✝ ✞✟ ✏✖ ✠ ✏

❪ ✏✆ ✞✍ ✠✎✍✌✎✌ ❴ ✛ ✠✎ ✞✕✏ ✕✡✌ ☞ ❴ L ✍ ❪ ✆☛ ❴ −→L ❴ ✝✆ ✠✡❴ ✍✝ ❴❵❛ ✠❴ ☞ ❴ ✝ ω✔ ❵❪ ✆✝ ✎✟✎✍✆ ✞✍ ❴
✏✍✑✍✏✆☛ ☞L❴ ✕ ❜ ☛✑✜ ❴ ✝ ☞✎✍✝ L ✚
❴ ✝✆ ✏✍✑✍✏}
−
→
L = {w ∈ Σω | Card(Pref(w) ∩ L)
☛✠ ❴ ✜✏✝✆ ❴ ✠✎ ❜❴ ✠✎✆✏ ❪ ✍ ✝✞✏ ❫ ✎✍✆ ❴ ❴ ✍✆ ❜❴ ✠✎ ✕ ✞✏✝✝✎✍✖ ❴ ω ❴ ✆ ✠✎ ✠✏ ❵ ✏✆ ❴ ✁ ✆✎ ❞ ✄ ✚

✄✒

−
→
−
→
L∗ = Lω + L∗ L

✘

✥ ❪ ✞ ❜ ✆ ❪ ✞✆ ✠✎✍✌✎✌ ❴ L ✛ ✝ ❪ ✍ ✒☞ ✠✑✌✏✖✌ ❴ ✝✆ ✞✍ ω ✔ ✠✎✍✌✎✌ ❴ ☞☛✑✍✏ ✕ ✎ ❜ ✚

✜ ❴ ✠✎✝ ✍✘❪✎✍ ✠✎☛✤✞✏❜❴❫✠✎✆✏✎✠❴❪✍✆✍ ❴✝✞✏❪❫✎✍✆❴❴ ❴✍✆❜❴❜ ❜❴✠✎

Adh(L) = {w ∈ Σω | Pref(w) ⊆ Pref(L)}

−−−−→ ✒
✛ ✍ ✕ ✞✆ ☛✖ ✏ Adh(L) = −
Pref(L)

✚☞❵❪☎✆✝★☛☞✎✟✎✍✆✠ ✁✔ ✁✞✍✄❴❪✏✆✏✍✑✍✏✆☛ ☞ ❴

✒

✕ ✞✏✝✝✎✍✖ ❴ ω ❴ ✆ ✠✡✎☞✦☛ ❜❴ ✍✖ ❴ ✁☎ ❭ ❞ ✄ ✚

Adh(L∗ ) = Lω + L∗ Adh(L)

✛ ✝ ❪ ✍ ω ✔✕ ✞✏✝✝✎✍✖ ❴ Lω = (b+ a+ )ω ❴ ✝✆ ✠✡❴ ✍✝ ❴❵❛ ✠ ❴ ☞ ❴ ✝
✞✍ ❴ ✏✍✑✍✏✆☛ ☞ ❴ b ❴ ✆ ✖ ❪❵❵❴ ✍ ✘ ✎✍✆ ✕ ✎ ❜ b ✒ ✎ ✠✏ ❵ ✏✆ ❴
ω✔
❴ ✝✆ −→L = b+aω ✆✎✍☞✏✝ ✤✞ ❴ ✝ ❪ ✍ ✎☞✦☛ ❜❴ ✍✖ ❴ ❴ ✝✆ Adh(L) = bω + b+aω ✒ ❴ ✕ ✠✞✝✛ Lω ❴ ✝✆
→
✝✆ ❜ ✏✖✆ ❴❵❴ ✍✆ ✏✍✖✠✞✝ ☞✎✍✝ −
✒
L∗ = bΣω
✣❜❪ ✏✝ ❪ ✕ ☛ ❜ ✎✆✏ ❪ ✍✝ ✚ ✠✎ ✕ ✞✏✝✝✎✍✖ ❴ ω ✛ ✠✎ ✠✏ ❵ ✏✆ ❴ ❴ ✆ ✠✡✎☞✦☛ ❜❴ ✍✖ ❴ ✍ ❪ ✞✝ ✕ ❴❜❵❴ ✆✆ ❴ ✍✆ ☞ ❴
✖ ❪ ✍✝✆ ❜ ✞✏ ❜❴ ☞ ❴ ✝ ω ✔ ✠✎✍✌✎✌ ❴ ✝ ✙ ✕ ✎ ❜ ✆✏ ❜ ☞ ✡✞✍ ✠✎✍✌✎✌ ❴ ✑✍✏✆✎✏ ❜❴ ✒
 

L = b+ a+
✛
a

❡

✄
✜


✡☛ 

✁✂

✍✌ ✒ ✕✍✏✎✓ ✔✕✖✗✕✗✏✎ ✏✍ ω✑ ✔✕✖✗✕✗✏✎ ✟ ✕✍ ☎✌✖✖✏✔✎

✓✍ ✒☛✡✗ ✏ ✒✡✌ ✄ ✏✕ A ❴ ✝✆ ✞✍ ✤✞✏✍✆✞ ✕ ✠ ❴ ✆ (Σ, Q, δ, I, T ) ✛ ❪ ✧ Σ ☞☛✝✏✌✍ ❴ ✞✍ ✎✠ ✕ ✦✎ ❛❴ ✆
☞ ✡☛✆✎✆✝✛
✞✍ ❴ ✍✝ ❴❵❛ ✠ ❴ ☞ ✡☛✆✎✆✝ ✏✍✏✆✏✎✞✜ ✛
✞✍
✑✍✏✛ Q ✞✍ ❴ ✍✝ ❴❵❛ ✠ ❴ ✑✍✏
❴ ✍✝ ❴❵❛ ✠❴ ☞ ✡☛✆✎✆✝ ✆ ❴❜❵ ✏✍✎✞✜ ❴ ✆ δ ⊆I Q⊆ ×QΣ × Q ✞✍ ❴ ✍✝ ❴❵❛ ✠❴ ☞ ❴ ✆ ❜ ✎✍✝✏✆✏❪T✍✝✒⊆ Q
❴ ✝✆ ☞✠✡✌✑ ✏ ✕✏✕✍✡✌ ✝✡✏✠ ❫ ☛ ❜ ✏✑ ❴ ❝ ✖ ❪ ✍☞✏✆✏❪ ✍✝ ✚
A
✒ ✠✡❴ ✍✝ ❴❵❛ ✠ ❴ I ☞ ✡☛✆✎✆✝ ✏✍✏✆✏✎✞✜ ❴ ✝✆ ✝✏✍✌✠ ❴ ✆ ❪ ✍ ✒
❝ ✒ ✕ ❪ ✞ ❜ ✆ ❪ ✞✆ q ∈ Q ❴ ✆ ✕ ❪ ✞ ❜ ✆ ❪ ✞✆ a ∈ Σ ✛ ✏✠ ❴✜✏✝✆ ❴ ✎✞ ✕ ✠✞✝ ✞✍ ✆ ❜ ✏✕ ✠❴ ✆ (q, a, q ) ∈ δ ✒
✥ ❪ ✞ ❜ ✆ ❪ ✞✆
∗ ✛ ✞✍ ❴ ✠ ❴ ✖✆✞ ❜❴ l ☞ ❴ u ☞✎✍✝ A ❴ ✝✆ ✞✍ ❴ ✝✞✏✆ ❴ ✑✍✏ ❴
☞ ✡☛✆✎✆✝ l = q qu .=. . qa1a∈2 .Q. +. a✆n❴ ✠✠∈❴ Σ✤✞ ❴ ✚

✟

0 1

n

✕ ❪ ✞ ❜ ✆ ❪ ✞✆ 0 ≤ i < n
✓✍ ❵❪ ✆ u ∈ Σ∗ ❴ ✝✆ ❜❴ ✖ ❪ ✍✍✞ ✕ ✎ ❜ A ✝✡✏✠ ❴ ✜✏✝✆ ❴ ✞✍ ❴ ✠ ❴ ✖✆✞ ❜❴ ❜ ☛✞✝✝✏ ❴ l ☞ ❴ u ✛ ✖✡❴ ✝✆ ✔✙✔ ☞✏ ❜❴
✆ ❴ ✠✠ ❴ ✤✞ ❴ ✚
❴ ✆ qn ∈ T
q0 ∈ I
✗ ❴ ✠✎✍✌✎✌ ❴ ❜❴ ✖ ❪ ✍✍✞ ✕ ✎ ❜ A ❴ ✝✆ ✠✡❴ ✍✝ ❴❵❛ ✠ ❴ ☞ ❴ ✝ ❵❪ ✆✝ ✎☞ ❵❴ ✆✆✎✍✆ ✞✍ ❴ ✠ ❴ ✖✆✞ ❜❴ ❜ ☛✞✝✝✏ ❴
☞✎✍✝ A ✒ ✝ ✍ ✠ ❴ ✍ ❪ ✆ ❴ L(A) ✒
✓✍ ✠✎✍✌✎✌ ❴ ❴ ✝✆ ✑✒✡✕✗✏✏✌✞ ✝✡✏✠ ❴ ✝✆ ❜❴ ✖ ❪ ✍✍✞ ✕ ✎ ❜ ✞✍ ✎✞✆ ❪❵ ✎✆ ❴ ✑✍✏✒ ☛✠ ❴ ✝✆ ❛ ✏ ❴ ✍
❴ ✎❫❴ ✖ ✠✎ ✠✎ ❵ ✏✠✠❴ ☞ ❴ ✝ ✠✎✍✌✎✌ ❴ ✝
✖ ❪ ✍✍✞ ✤✞ ❴ ✠✎ ✠✎ ❵L✏✠✠ ❴ ☞ ❴ ✝ ✠✎✍✌✎✌ ❴ ✝ ❜ ✎✆✏ ❪ ✍✍ ❴ ✠✝ ✖ ❪ ✍✖✏☞
❜❴ ✖ ❪ ✍✍✎✏✝✝✎ ❛ ✠❴ ✝ ✕ ✎ ❜ ✎✞✆ ❪❵ ✎✆ ❴ ✝ ☞☛✆ ❴❜❵ ✏✍✏✝✆ ❴ ✝✒ ✝ ✍ ✍ ❪ ✆ ❴ Rat(Σ∗) ✠✎ ✠✎ ❵ ✏✠✠❴ ☞ ❴ ✝ ✠✎✍ ✔
✌✎✌ ❴ ✝ ❜ ✎✆✏ ❪ ✍✍ ❴ ✠✝✒
❭❪ ✞✝ ✏✍✆ ❜❪ ☞✞✏✝ ❪ ✍✝ ❵ ✎✏✍✆ ❴ ✍✎✍✆ ✠❴ ✝ ✒☛✡✗ ✏ ✒✡✌✍ ☞✌ ☎ ✆ ✖ ✕ ✛ ✤✞✏ ✝ ❪ ✍✆ ☞ ❴ ✝ ✎✞✆ ❪❵ ✎✆ ❴ ✝
☞ ✡☛✆✎✆✝ ✑✍✏✝ ✝✞ ❜ ✠ ❴ ✝✤✞ ❴ ✠✝ ❪ ✍ ✞✆✏✠✏✝ ❴ ✞✍ ✎✞✆ ❜❴ ❵❪ ☞ ❴ ☞ ❴ ❜❴ ✖ ❪ ✍✍✎✏✝✝✎✍✖ ❴ ✕ ❴❜❵❴ ✆✆✎✍✆
☞ ✡✎✖✖ ❴ ✕ ✆ ❴❜ ☞ ❴ ✝ ❵❪ ✆✝ ✏✍✑✍✏✝✒
✥ ❪ ✞ ❜ ✆ ❪ ✞✆ ✔ ❵❪ ✆ w = b b · · · ∈ Σω ✛ ✞✍ ❴ ✠ ❴ ✖✆✞ ❜❴ l ☞ ❴ w ☞✎✍✝ A ❴ ✝✆ ✞✍ ❴ ✝✞✏✆ ❴
1 2
✏✍✑✍✏ ❴ ☞ ✡☛✆✎✆✝ ωl =
✆ ❴ ✠✠ ❴ ✤✞ ❴ ✚
q q . . . q · · · ∈ Qω
(qi , ai+1 , qi+1 ) ∈ δ,

✛

✘

0 1

n

✕ ❪ ✞ ❜ ✆ ❪ ✞✆ i ≥ 0
✝ ✍ ✍ ❪ ✆ ❴ Inf(l) ✠✡❴ ✍✝ ❴❵❛ ✠ ❴ ☞ ❴ ✝ ☛✆✎✆✝ ✤✞✏ ✎ ✕✕ ✎ ❜ ✎✏✝✝ ❴ ✍✆ ✏✍✑✍✏ ❵❴ ✍✆ ✝ ❪ ✞ ❫❴ ✍✆ ☞✎✍✝ ✠✎
✠ ❴ ✖✆✞ ❜❴ l ☞ ❴ w ✛ ✖✡❴ ✝✆ ✔✙✔ ☞✏ ❜❴ ✚
❴ ✝✆ ✏✍✑✍✏}
Inf(l) = {q ∈ Q | Card{i | q = q}
(qi , bi+1 , qi+1 ) ∈ δ,

i

✓✍ ✔ ❵❪ ✆ w ∈ Σω ❴ ✝✆ ❜❴ ✖ ❪ ✍✍✞ ✕ ✎ ❜ A ✝✡✏✠ ❴ ✜✏✝✆ ❴ ✞✍ ❴ ✠ ❴ ✖✆✞ ❜❴ ❜ ☛✞✝✝✏ ❴ l ☞ ❴ w ✛
✆ ❴ ✠✠ ❴ ✤✞ ❴ ✚
✖✡❴ ✝✆ ✔✙✔ ☞✏ω❜❴
❴ ✆ Inf(l) ∩ T = ∅
q0 ∈ I
✗ ✡ω ✔ ✠✎✍✌✎✌ ❴ ❜❴ ✖ ❪ ✍✍✞ ✕ ✎ ❜ A ❴ ✝✆ ✠✡❴ ✍✝ ❴❵❛ ✠ ❴ ☞ ❴ ✝ ω ✔ ❵❪ ✆✝ ❜❴ ✖ ❪ ✍✍✞✝ ✕ ✎ ❜ A ✒ ✝ ✍ ✠ ❴ ✍ ❪ ✆ ❴
✒
Lω (A)
  ☎
✆ ❴ ✠ ✤✞ ❴ Q = {q , q } ✛ I = {q } ✛
✁ ✁ ❪ ✏✆ ✠✡✎✞✆ ❪❵ ✎✆ ❴
A
(Σ, Q, δ, I, T )
❴
✆
✒ ☛✠ ❴ ✝✆ 0❜❴ ✕ 1❜ ☛✝ ❴ ✍✆☛ ✕ ✎ ❜0 ✠✎
T = {q1 } δ = {(q0 , a, q0 ), (q0 , b, q0 ), (q0 , a, q1 ), (q1 , a, q1 )}
✑✌✞ ❜❴ ✒ ✒ ✗ ❴ ✠✎✍✌✎✌ ❴ ❜❴ ✖ ❪ ✍✍✞ ✕ ✎ ❜ A ❴ ✝✆ L(A) = (a + b)∗ a ❴ ✆ ✠✡ω ✔ ✠✎✍✌✎✌ ❴ ❜❴ ✖ ❪ ✍✍✞
❴ ✝✆ Lω (A) = (a + b)∗aω ✒
✕ ✎ ❜ ✗A✡✎✞✆
❪❵ ✎✆ ❴ A ✍ ✡❴ ✝✆ ✕ ✎✝ ☞☛✆ ❴❜❵ ✏✍✏✝✆ ❴ ✖✎ ❜ ✎❫❴ ✖ ✠✡☛✆✎✆ q0 ❴ ✆ ✠✎ ✠❴ ✆✆ ❜❴ a ✛ ❪ ✍ ✎

✒

✚☞ ★☛☞ ✠ ✟ ✄

✟✟

{(q0 , a, q0 ), (q0 , a, q1 )} ⊂ δ

✏


a

a
a

q0

  ✁✂ ✄

✟ ✒✟

b
 

q1

✓✍ ✎✞✆ ❪❵ ✎✆ ❴ ✑✍✏ ✍ ❪ ✍ ✔ ☞☛✆ ❴❜❵ ✏✍✏✝✆ ❴

✓✍ ω ✔ ✠✎✍✌✎✌ ❴ L ❴ ✝✆ ✑✒✡✕✗✏✏✌✞ ✝✡✏✠ ❴ ✝✆ ❜❴ ✖ ❪ ✍✍✞ ✕ ✎ ❜ ✞✍ ✎✞✆ ❪❵ ✎✆ ❴ ☞ ❴ ☎✆ ✖✦✏✛ ❪ ✍

✎✍✝ ✖ ❴ ✖✎✝✛ ✠✡❴ ✍✝ ❴❵❛ ✠ ❴ ☞ ❴ ✝
✍ ❪ ✆ ❴ Rat(Σ
ω ✠✎ ✠✎ ❵ ✏✠✠ ❴ ☞ ❴ ✝ ✔ ✠✎✍✌✎✌ ❴ ✝ ❜ ✎✆✏ ❪ ✍✍ ❴ ✠✝✒
✠✎✍✌✎✌ ❴ ✝ ❜❴ ✖ ❪)✍✍✞✝ ✕ ✎ ❜ ✠ ❴ ✝ ✎✞✆ω❪❵
✎✆ ❴ ✝ ☞ ❴ ☎✆ ✖✦✏ ☞☛✆ ❴❜❵ ✏✍✏✝✆ ❴ ✝ ✍ ❴ ✖ ❪ ✍✖✏☞ ❴ ✕ ✎✝ ✎❫❴ω✖✔
✠✡❴ ✍✝ ❴❵❛ ✠ ❴ ☞ ❴ ✝ ω ✔ ✠✎✍✌✎✌ ❴ ✝ ❜ ✎✆✏ ❪ ✍✍ ❴ ✠✝✛ ❪ ✍ ✍ ❪ ✆ ❴ DRat(Σω ) ✠✡❴ ✍✝ ❴❵❛ ✠ ❴ ☞ ❴ ✝ ω ✔ ✞✒✏✎✒✎✌✍
✑✒✡✕✗✏✏✌✞✍ ☞✠✡✌✑ ✏ ✕✏✕✍✡✌✍ ✤✞✏ ✝ ❪ ✍✆ ❜❴ ✖ ❪ ✍✍✞✝ ✕ ✎ ❜ ✞✍ ✎✞✆ ❪❵ ✎✆ ❴ ☞ ❴ ☎✆ ✖✦✏ ☞☛✆ ❴❜❵ ✏✍✏✝✆ ❴ ✒
✓✍ ✎✞✆ ❪❵ ✎✆ ❴ ✑✍✏ A ✛ ✝✡✏✠ ❴ ✝✆ ☞☛✆ ❴❜❵ ✏✍✏✝✆ ❴ ✛ ✕ ❴❜❵❴ ✆ ☞ ❴ ❜❴ ✖ ❪ ✍✍✎★✆ ❜❴ ✠ ❴ ✠✎✍✌✎✌ ❴
❴ ✆ ✠✡ω✔ ✠✎✍✌✎✌ ❴ Lω (A) ✛ ✖ ❴ ✝ ☞ ❴ ✞✜ ❴ ✍✝ ❴❵❛ ✠❴ ✝ ☛✆✎✍✆ ❜❴ ✠✏☛✝ ✕ ✎ ❜ ✁ ✏✠ ✄ ✚
L(A)

✜

✛

✆ ✏✑

✡☛☎

✌ ✏✎ ✏✍ ω✑ ✠ ✌ ✆ ✏✎

−−−→
L(A) = Lω (A)

✆ ✆

✜
✎✍✝ ✖ ❴ ✆✆ ❴ ✝ ❴ ✖✆✏ ❪ ✍ ✛ ❪ ✍ ☛✆✞☞✏ ❴ ✞✍ ❴ ✖✠✎✝✝ ❴ ☞ ❴ ✠✎✍✌✎✌ ❴ ✝ ✕ ✎ ❜ ✆✏✖✞✠✏✘ ❜❴ ✚ ✖ ❴ ✠✠ ❴ ☞ ❴ ✝ ✖ ❪ ☞ ❴ ✝
✁☎ ✥ ✒✍ ✄ ✛ ✖✎ ❜ ✎✖✆☛ ❜ ✏✝☛✝ ✎ ❜ ✠✡✞✍✏✖✏✆☛ ☞✞ ☞☛✖ ❪ ☞✎✌ ❴ ☞ ❴ ✝ ❵❪ ✆✝✒ ✪ ❴ ✆✆ ❴ ❜❪ ❜ ✏☛✆☛ ✖ ❪ ✍✖ ❴❜ ✍ ❴
✠ ❴ ✝ ✠✎✖✆ ❪❜ ✏✝✎✆✏ ❪ ✍✝ ☞ ❴ ✝✕❵❪ ✆✝ ✝✞ ❜ ✞✍ ✠✎✍✌✎✌ ❴ ❪ ✞ ✞✍ ✠✎✍✌✎✌ ❴ ✒ ✕ ✕

✄
❪ ✏✆
☞❴ ✚
☞❴

✒ ✓✍ L✔✝ ✒✖✡✗✑✕✍✒✡✕✗✏ ☞ ✡✞✍ ✆ u ω☞ ✔ L+ ✝✆ ✞✍ ✝✞✏✆ ✑✍✏ ☞ ✆✝
L ⊆ Σ+
✆ ✠✠ ✤✞ u = u u . . . u ✒ ✓✍ L✔ ✠✎✖✆ ✏✝✎✆✏ ✍ ☞ ✡✞✍ ω ✔ ✆ w
L (u1 , u2 , . . . , un )
✝✆
✞✍
✝✞✏✆
✏✍✑✍✏
☞ L ✚ (w , w1 ,2. . . , wn , . . . ) ✆ ✠✠ ✤✞ w = w w . . . w . . . ✒
Lω
2
n
✓✍ ✠✎✍✌✎✌ C ⊆ Σ∗ ✝✆ ✞✍ ✖✗☞✌1 ✝✏ ✆2 ✞✆ n✆ ☞ C + ✎ ✞✍ ✝ ✞✠ C1✔ ✠✎✖✆
✏✝✎✆✏
✍✒
✠✎ ✘ ✍ ☛✤✞✏ ✎✠ ✍✆ ✛ C ✝✆ ✞✍ ✖ ☞ ✝✏ ✆ ✝ ✞✠ ✍✆ ✝✏ ✚

❴
✜❴ ❪

❴

❵❪

❴ ❴ ❴ ❴ ❴ ❴ ❵❪
❴❴ ❴
❴
❪❜ ❪
❵❪
❴ ❴ ❴ ❴
❴❴ ❴
❴
❴
❪ ❵❪ ❴
❴ ❴ ❴
❪❜ ❪
❪ ❴ ❴ ❴ ❴❵❴
❫ ❴ ❴ ❴

✚☞
☎ ★☛☞ ✠ ✁✢ ✁ ✗ ❴ ✠✎✍✌✎✌ ❴
❴ ✝✆ ✎✞✝✝✏ ✞✍ ✖ ❪ ☞ ❴ ✒
  ✚☞ ☎ ★☛☞ ✠ ✁✌ ✁ ✗ ❴ ✠✎✍✌✎✌ ❴
✎ ❝ ✠✎✖✆ ❪❜ ✏✝✎✆✏ ❪ ✍✝ ✚
 

C −1 C ∩ C ∗ (C ∗ )−1 = { }
L = a+b

❴

❴ ✝✆ ✞✍ ✖ ❪ ☞ ❴ ✒ ✗ ❴ ✠✎✍✌✎✌ ❴ L = a

2

L = a + ab + ba
✆ (ab, a) ✒
(a, ba)

L✔

✒✍

+ ba2 + ba

✍ ✡❴ ✝✆ ✕ ✎✝ ✞✍ ✖ ❪ ☞ ❴ ✖✎ ❜ ✠ ❴ ❵❪ ✆ aba ∈ L+

✝ ✍ ✕ ❪ ✞ ❜❜ ✎ ✆ ❜❪ ✞ ❫❴❜ ☞✎✍✝ ✁☎ ✥ ✄ ☞ ❴ ✝ ✖✎ ❜ ✎✖✆☛ ❜ ✏✝✎✆✏ ❪ ✍✝ ☞ ❴ ✝ ✖ ❪ ☞ ❴ ✝ ✖ ❪ ✍✖ ❴❜ ✍✎✍✆ ✠ ❴ ✝
❵❪ ✆✝ ✑✍✏✝✒ ✪ ❴ ✕ ❴ ✍☞✎✍✆✛ ✠❴ ✝ ✖ ❪ ☞ ❴ ✝ ✕ ❴ ✞ ❫❴ ✍✆ ✎✞✝✝✏ ✜ ✆ ❜❴ ✖✎ ❜ ✎✖✆☛ ❜ ✏✝☛✝ ✕ ✎ ❜ ✠❴ ✠✎✏✆ ☞ ❴ ✠✎✖✔
✆ ❪❜ ✏✝ ❴❜ ✠ ❴ ✝ ❵❪ ✆✝ ✏✍✑✍✏✝✒ ✪ ❴ ❜ ☛✝✞✠✆✎✆ ❴ ✝✆ ✆ ❜ ✘✝ ✞✆✏✠ ❴ ✕ ❪ ✞ ❜ ✍ ❪ ✆ ❜❴ ✕ ❜❪❛ ✠✘ ❵❴ ✒
✄ ✂✂
✁ ✁ ✁ ✞ ✙ ✟✟ ✠ ✡☛☞ ✠ ✗✕✡ ☛✏ ✞✒✏✎✒✎✌ ✕✏✖✞☛✍ ☞✒✏✍ + ✌ ✟ ✌✍ ✒✍✍✌✑✡✕✗✏✍
C
Σ
✍☛✕ ✍ ✒✏✡✌✍ ✍✗✏✡ ✠ ☛✕ ✍ ✒✞✌✏✡✌✍ ✚
✌✍✡ ☛✏ ✖✗☞✌ ✌
(i) C
✗☛✑ ✖ ✒ ☛✌ u ∈ C + ✎ uω ✒ ☛✏✌ ☛✏✕ ☛✌ C ✓✝ ✒✖✡✗✑✕✍✒✡✕✗✏ ✌
(ii) ✔

✡ ✆★✆ ✞ ✞✆☎ ✠ ✚✢ ✠
✘✚

✚

✒


✄
❪ ✏✆
✞✍ ✠✎✍✌✎✌ ❴ ✒ ❴ ✝✆ ✔ ✑✠✄ ✌ ✝✡✏✠ ✍ ❴ ✖ ❪ ✍✆✏ ❴ ✍✆ ✕ ✎✝ ☞ ❴ ✞✜ ❵❪ ✆✝ ☞ ❪ ✍✆ ✠✡✞✍
❴ ✝✆ ❜ ☛✑✜ ❴ ☞ ❴ ✠✡✎✞✆ ❜❴ ✒ ✪ ✡❴ ✝✆ ☞✏❜❴ ✛ ❪ ✞ ❜ ✆ ❪ ✞✝ ✠❴ ✝
✚
P ⊆ Σ+

✕

 

P

✔✙✔

✕

u, v ∈ P

✜ ❴ ✠✎✘❪✍ ☛✤✞✏❫✎✠❴✍✆❴ ✛ ❴✝✆ ✕ ❜☛✑✜ ❴ ✝✏ ❴✆ ✝❴✞✠❴❵❴✍✆ ✝✏ ❫☛❜✏✑ ❴ ✚
✒
✌ ✒✑✚ ☛✌ ✌ ✗ ❴ ✝ ✠✎✍✌✎✌ ❴ ✝ ✕ ❜ ☛✑✜ ❴ ✝ ✝ ❪ ✍✆ ☞ ❴ ✝ ✖ ❪ ☞ ❴ ✝✛ ❪ ✍ ✠ ❴ ✝ ✎ ✕✕ ❴ ✠✠ ❴ ✎✞✝✝✏ ✖✗☞✌✍ ✔ ✑✠✄ ✌✍ ✒
  ✚☞ ☎ ★☛☞ ✠ ✁ ✁ ✗ ❴ ✠✎✍✌✎✌ ❴
❴ ✝✆ ✞✍ ✖ ❪ ☞ ❴ ✕ ❜ ☛✑✜ ❴ ✒
u≤v⇒u=v

P

✁ ✏

✂

P −1 P = { }

P

 

L = a∗ b

✗ ❴ ✝ ✖ ❪ ☞ ❴ ✝ ✍ ❪ ✞✝ ✕ ❴❜❵❴ ✆✆ ❴ ✍✆ ☞ ❴ ☞☛✖ ❪ ☞ ❴❜ ☞ ❴ ✠✎ ✘ ❪ ✍ ✞✍✏✤✞ ❴ ✠ ❴ ✝ ❵❪ ✆✝ ✑✍✏✝ ❵ ✎✏✝ ✖ ❴
❜ ✎✠ ❪ ✞ ❜ ✠❴ ✝ ❵❪ ✆✝ ✏✍✑✍✏✝✒ ✗ ❴ ✝ ✖ ❪ ☞ ❴ ✝ ✤✞✏ ✝ ❪ ✍✆ ☞☛✑✍✏✝ ✕ ✎ ❜
✍ ✡❴ ✝✆ ✕ ✎✝ ✠ ❴ ✖✎✝ ❴ ✍ ✌☛✍☛
✗ ✒ ✆✎✏✌ ❴❜ ☞✎✍✝ ✁ ✆✎ ❡ ✄ ✎✝✝✞✕❜❴ ✍✆ ✠✡✞✍✏✖✏✆☛ ☞✞ ☞☛✖ ❪ ☞✎✌ ❴ω☞✔ ❴ ✝ ❵❪ ✆✝ ✏✍✑✍✏✝✒
✓✍ ✠✎✍✌✎✌ ❴
✝✏ ✆ ❪ ✞✆ ❵❪ ✆ ☞ ❴ ω ✎ ✞✍ ❴ ✝ ❴ ✞✠ ❴ W ✔
+ ❴ ✝✆ ✞✍
✔ ✖✗☞✌
✠✎✖✆ ❪❜ ✏✝✎✆✏ ❪ ✍ ✒ ❴W✠✎ ✘⊆❪ ✍ Σ☛✤✞✏ ❫ ✎✠ ❴ ✍✆ ❴ ω✛ W
❴ ✝✆ ✞✍ ω✔ ✖ ❪ω☞✔❴ ✝✏ ❴ ✆ ✝ ❴ ✞✠W❴❵❴
✍✆ ✝✏ ✚

✄

✜

✄✒

W −1 W ∩ W ω (W ω )−1 = { }

✚

✁ ✌ ✏ ✒✑ ☛✌ ✌ ✓✍
✖ ❪ ☞ ❴ ❴ ✝✆ ✞✍ ✖ ❪ ☞ ❴ ❵ ✎✏✝ ✠✎ ❜ ☛✖✏ ✕ ❜❪ ✤✞ ❴ ❴ ✝✆ ✠✎✞✝✝ ❴ ✖ ❪❵❵❴ ☞✎✍✝
✠✡❴ ✜ ❴❵ ✕ ✠ ❴ ✝✞✏ ❫ ✎✍✆ω ✔✚
  ☎
❴ ✝✆ ✞✍ ✖ ❪ ☞ ❴ ❵ ✎✏✝ ✖ ❴ ✍ ✡❴ ✝✆ ✕ ✎✝ ✞✍ ω✔ ✖ ❪ ☞ ❴
✁ ✁ ✗ ❴ ✠✎✍✌✎✌ ❴
a + ab + b2
❪❜ ✏✝✎✆✏❪ ✍✝ ✚
✖✎ ❜ ✠ ❴ ❵❪ ✆ abω ∈ Lω ✎ ☞ ❴ ✞✜LL=✔ ✠✎✖✆
❴ ✆ (a, bb, bb, bb, . . . )
(ab, bb, bb, bb, . . . )

✚☞ ★☛☞ ✠ ✛

✡☛

✌ ✏✎ ✏✍ ✔✕✖✗✕✗✏✎

✆ ✆

✄

☎

✔✕ ✌ ✟ ✖ ✞

✆✞ ☎

✆

✆
✍ ✌☛✍☛ ❜ ✎✠✛ ✠ ❴ ☞☛✖ ❪ ☞✎✌ ❴ ☞ ✡✞✍ ❵❴ ✝✝✎✌ ❴ ✍ ❴ ✕ ❴ ✞✆ ✜ ✆ ❜❴ ❜ ☛✎✠✏✝☛ ✤✞ ❴ ✝✏ ❪ ✍ ❜❴ ✘ ❪ ✏✆ ✠ ❴
❵❴ ✝✝✎✌ ❴ ❴ ✍✆✏❴❜ ✒ ❭ ✎✆✞ ❜❴ ✠✠❴❵❴ ✍✆✛ ✍ ❪ ✞✝ ✍ ❪ ✞✝ ✏✍✆☛ ❜❴ ✝✝ ❪ ✍✝ ✎✞✜ ✖ ❪ ☞ ❴ ✝ ☞☛✠✎✏ ❛❪❜ ✍☛ ✤✞✏

✍ ❪ ✞✝ ✕ ❴❜❵❴ ✆✆ ❴ ✍✆ ☞ ❴ ☞☛✖ ❪ ☞ ❴❜ ✠ ❴ ❵❴ ✝✝✎✌ ❴ ❴ ✍ ✠✏✝✎✍✆ ✙ ✕ ✎ ❜ ✆✏ ❜ ☞✞ ☞☛ ❛✙✞✆ ❫❴❜ ✝ ✠✎ ☞ ❜❪ ✏✆ ❴
✎❫❴ ✖ ✤✞ ❴ ✠✤✞ ❴ ✝ ✕ ✎✝ ❴ ✍ ☞✏✍ ☛ ❜ ☛✒
✓✍ ✠✎✍✌✎✌ ❴ ❴ ✝✆ ✞✍ ✖✗☞✌ ✝ ☞✠✞✒✕ ✗✑✏✠ ✝✡✏✠ ❴ ✜✏✝✆ ❴ ✞✍ ❴ ✍✆✏ ❴❜ m ≥ 0 ✕ ❪ ✞ ❜ ✠ ❴ ✤✞ ❴ ✠
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✄ ✒✙ ✜ ✓✓

(P )

∀u, v ∈ C,

✆

uC m Σω ∩ vC ω = ∅ ⇒ u = v

✓✍ ✠✎✍✌✎✌ ❴ ✤✞✏ ❫ ☛ ❜ ✏✑ ❴ ) ❴ ✝✆ ✍☛✖ ❴ ✝✝✎✏ ❜❴❵❴ ✍✆ ✞✍ ✖ ❪ ☞ ❴ ✒ ✍ ❴ ✍ ❴ ✆✛ ❪ ✍ ❫❴❜❜ ✎ ✤✞ ❴
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❛❪❜ ✍☛ ❴ ✝✆ ✝ ❪ ✞✝✔ ✖✠✎✝✝ ❴ ☞ ❴ ✖ ❴ ✠✠❴ ☞ ❴ ✝ ω✔ ✖ ❪ ☞ ❴ ✝✒
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0

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✖
= a + ba
❪✖ ☞ ❴ C = a + adb ❴ ✝✆ ✞✍✕✖ ❪ ☞ ❴ ✙P☞☛✠✎✏
❛❪❜ ✍☛ d ✒ ✗ ❴ ✖ ❪ ☞ ❴ C = a✙+ ab + b2 ❴ ✝✆0✝✎✍✝
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✛

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✄ ✂✂
✁ ✁ ✁ ✞ ✙ ✟✟ ✠✡☛☞ ✞✏ ✖✗☞✌ ✌✍✡ ✝ ☞✠✞✒✕ ✗✑✏✠ ✍✕ ✌✡ ✍✌☛✞✌ ✏ ✌✏✡ ✍✕
C

C
✌✍✡ ω ✓ ✖✗☞✌ ✌✡ C ω ∩ C ∗Adh(C) = ∅ ✌
✁ ✌ ✏ ✒✑ ☛✌ ✌ ✏
❴ ✝✆ ✑✍✏✛ ✎✠❪❜ ✝ Adh(C) = ∅ ✒ ✍ ✖ ❪ ✍✝☛✤✞ ❴ ✍✖ ❴ ✛ ✞✍ ω✔ ✖ ❪ ☞ ❴ ✑✍✏ ❴ ✝✆ ✞✍
C
✖ ❪ ☞ ❴ ✙ ☞☛✠✎✏ ❛❪❜ ✍☛✒

✡ ✆★✆ ✞ ✞✆☎ ✠ ✌ ✠
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✄

✆

✓

✙


✚

✌ ✒✑ ☛✌ ✌ ✝ ✍ ✎ ✠ ❴ ✝ ❜❴ ✠✎✆✏ ❪ ✍✝ ✝✞✏ ❫ ✎✍✆ ❴ ✝ ❴ ✍✆ ❜❴ ✠ ❴ ✝ ☞✏✍ ☛ ❜❴ ✍✆ ❴ ✝ ✖✠✎✝✝ ❴ ✝ ☞ ❴ ✖ ❪ ☞ ❴ ✝ ✚

✁ ✏

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✁

✝

+

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(Q)

L

(Q)

✂

L = a2 + a3 + b

(uLm Σω ∩ Lω ) ⊆ uLω

∀u ∈ L,
m

✒ ✗ ❴ ☞☛✠✎✏ ☞ ❴ L ❴ ✝✆ ✠ ❴ ✕ ✠✞✝ ✕ ❴ ✆✏✆ ❴ ✍✆✏ ❴❜ m ❫ ☛ ❜ ✏✑✎✍✆

L = a2 + a3

1

❴ ✝✆ ✙ ☞☛✠✎✏ 0 ✒

✄

✞✎✍✆ ✎✞ ☞☛✠✎✏ ☞✞ ✠✎✍✌✎✌ ❴

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☞☛✠✎✏
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✙
✄ ✂✂
✁ ✁ ✁ ✞ ✙ ✟✟ ✠✡☛☞ ✞✏ ✖✗☞✌ ☛✕ ✍ ✠✑✕✄ ✌ ✞✒ ✔ ✑✗✔ ✑✕✠✡✠
✌✍✡ ☛✏ ✖✗☞✌ ✝
(P )
☞✠✞✒✕ ✗✑✏✠ ✌

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✟❞


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✁ ✙ ✚ ✙✓✒✛✔ ✜ ✓✢ ✗ ✂

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✂

☛✡ ω✑ ☎ ✂ ☎✎✎✕✖ ✠ ✏✎ ✟ ✕✍ ☎✌✖✖✏✔✔✏✎

✓✍ ω ✔ ✠✎✍✌✎✌ ❴ ☞ ❴ ✠✎ ✠ ❪❜❵❴ Lω ❴ ✝✆ ☞✏✆ ω ✔ ✔ ☛✕✍✍✒✏✖✌ ☞ ❴ L ✒ ✣❪ ✞✆ ✠✎✍✌✎✌ ❴ G ✆ ❴ ✠ ✤✞ ❴
❴ ✝✆ ✎✠❪❜ ✝ ✞✍ ✎✠✏✠✑✒✡✌☛✑ ☞ ❴ Lω ✒
Gω = Lω
❪ ✏✆ L ✞✍ ✠✎✍✌✎✌ ❴ ✛ ❪ ✍ ✍ ❪ ✆ ❴ [L] ✠✎ ✝ ✒ ✏ ✕✞✞✌ ☞✌✍ ✎✠✏✠✑✒✡✌☛✑✍ ☞ ❴ Lω ✛ ✖✡❴ ✝✆✔✙✔ ☞✏❜❴ ✚

✄

ω

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[L]ω = {G ⊆ Σ+ | Gω = Lω }

❴ ✝✆ ✠✡ω✔ ✠✎✍✌✎✌ ❴ ✤✞✏ ✖ ❪ ✍✆✏❴ ✍✆ ✆ ❪ ✞✝ ✠❴ ✝ ω✔ ❵❪ ✆✝ ✎✟✎✍✆ ✞✍ ❴
✝ ✍ ✎ X = (a b) ✛ ☞ ❪ ✍✖ X ❴ ✝✆ ✞✍ ❴ ω ✔✕ ✞✏✝✝✎✍✖ ❴ ❴ ✆ a b ❴ ✝✆
✞✍ ✌☛✍☛ ❜ ✎✆ ❴ ✞ ❜ ☞ ❴ X ✛ ✞✍ ✎✞✆ ❜❴ ✌☛✍☛
❜ ✎✆ ❴ ✞ ❜ ☞ ❴ X ❴ ✝✆ Σ bΣ ✒
✝ ✍ ✝✎✏✆ ✤✞ ❴ ✚ ✝✏ L ❴ ✝✆ ✞✍ ✠✎✍✌✎✌ ❴ ❜ ✎✆✏ ❪ ✍✍ ❴ ✠✛ ✎✠ ❪❜ ✝ ✠✡ω ✔ ✠✎✍✌✎✌ ❴ L ❴ ✝✆ ❜ ✎✆✏ ❪ ✍✍ ❴ ✠✒
✗✎ ✤✞ ❴ ✝✆✏ ❪ ✍ ✏✍ ❫❴❜ ✝ ❴ ✖ ❪ ✍✖ ❴❜ ✍✎✍✆ ✠ ❴ ✝ ✌☛✍☛ ❜ ✎✆ ❴ ✞ ❜ ✝ ☞ ✡✞✍ ❴ ω ✔✕ ✞✏✝✝✎✍✖ ❴ ❜ ✎✆✏ ❪ ✍✍ ❴ ✠✠ ❴ ❴ ✝✆
❴ ✝✆✔ ✖ ❴ ✤✞ ✡✞✍ ✌☛✍☛ ❜ ✎✆ ❴ ✞ ❜ ☞ ✡✞✍ ❴ ω✔✕ ✞✏✝✝✎✍✖ ❴ ❜ ✎✆✏❪ ✍✍ ❴ ✠✠❴ ❴ ✝✆ ❜ ✎✆✏❪ ✍✍ ❴ ✠ ✢
✕ ❪ ✝☛✆❴✍ ✚ ✌☛✍☛

❜ ✎✠✛ ✝✏ L ⊆ Σ ❴ ✝✆ ❜ ✎✆✏❪ ✍✍ ❴ ✠✛ [L] ✕ ❴ ✞✆ ✖ ❪ ✍✆ ❴ ✍✏❜ ☞ ❴ ✝ ✠✎✍✌✎✌ ❴ ✝ ✍ ❪ ✍
❜ ✎✆✏❪ ✍✍ ❴ ✠✝✒ ✥✎ ❜ ❴✜ ❴❵ ✕ ✠❴ ✛ [a] ✖ ❪ ✍✆✏❴ ✍✆ ✠❴ ✠✎✍✌✎✌ ❴ ✚ {a | p ❴ ✝✆ ✕ ❜❴❵ ✏❴❜ } ✆ ❪ ✞ [a + b]
✖ ❪ ✍✆✏ ❴ ✍✆ ✠ ❴ ✠✎✍✌✎✌ ❴ ✚ a + b + {a b | n ≥ 1} ✒ ✂ ✎✏✝ ❪ ✍ ✕ ❴ ✞✆ ✆ ❪ ✞✟ ❪ ✞ ❜ ✝ ✖✦ ❪ ✏✝✏ ❜ ✞✍
✌☛✍☛ ❜ ✎✆ ❴ ✞ ❜ ❜ ✎✆✏ ❪ ✍✍ ❴ ✠ ✌ ❜ ✝ ✖ ❴ ✙ ✠✎ ✕ ❜❪ ✕ ❪ ✝✏✆✏ ❪ ✍ ✝✞✏ ❫ ✎✍✆ ❴ ✚
 

X
✒
b

∗

∗

ω

∗

∗

ω

+

ω

p

ω

ω

n n

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✡☛✏✄✆★✆
✞✒✏✎✒✎✌ ✑✒✡✕✗✏✏✌✞ ✡✌✞ ✚ ☛✌

✆

L

✌✍✡ ☛✏✌ ω ✓✔ ☛✕✍✍✒✏✖✌ ✑✒✡✕✗✏✏✌✞✞✌✎ ✒✞✗✑✍ ✕✞ ✌  ✕✍✡✌

X
X = Lω ✌

✍ ✕ ❜❴ ✍✎✍✆ ✞✍ ω ✔ ✠✎✍✌✎✌ ❴ ❜ ✎✆✏ ❪ ✍✍ ❴ ✠✛ ✖ ❴ ✍ ✡❴ ✝✆ ✕ ✎✝ ✠✎✖✏✠ ❴ ☞ ❴ ✝✎❫❪ ✏ ❜ ✝✏ ✖✡❴ ✝✆ ✞✍ ❴
✞✏✝✝✎✍✖
❴ ❪ ✞ ✍ ❪ ✍ ✛ ✖ ❪❵❵❴ ☞✎✍✝ ✠✡❴✜ ❴❵ ✕ ✠❴ ✝✞✏❫✎✍✆ ✚
ω ✔✕
  ☎
✒
❴ ✝✆ ✞✍ ω✔ ✠✎✍✌✎✌ ❴ ❜ ✎✆✏❪ ✍✍ ❴ ✠✒ ✍
✁ ✁ ❪ ✏✆
Σ = a + b X = (a2 + b)Σω
❴✍ ❴ ✆✛ ✖✡❴ ✝✆ ✞✍ ❴ ω✔✕ ✞✏✝✝✎✍✖ ❴ ❜ ✎✆✏❪ ✍✍ ❴ ✠✠❴ ✖✎ ❜ ✚

✚☞ ★☛☞ ✔ ✔ ✄

✆

(a2 + b)Σω = (a2 + a3 + b + ba)ω

✗✎ ✕ ❜❪ ✕ ❪ ✝✏✆✏ ❪ ✍ ✝✞✏ ❫ ✎✍✆ ❴ ✍ ❪ ✞✝ ❜❴ ✍✝ ❴ ✏✌✍ ❴ ✝✞ ❜ ✠✎ ☞☛✖✏☞✎ ❛ ✏✠✏✆☛ ☞ ❴ ✝ ω ✔✕ ✞✏✝✝✎✍✖ ❴ ✝
❜ ✎✆✏❪ ✍✍ ❴ ✠✠❴ ✝✒

✟✟


q1
a

a
b

q0

 ✁✂ ✄

q2

a, b

❝ ✒✟   ✓✍ ✎✞✆ ❪❵ ✎✆ ❴ ☞ ❴ ☎✆ ✖✦✏ ✕ ❪ ✞ ❜ ✠✡ω✔ ✠✎✍✌✎✌ ❴ (a

2

+ a3 + b + ba)ω

✡☞✌✑✄✆★✆✍✕ ✖✂✟✌✍✡✞✂ ✞✆☎☛✏✌✔ ✁✠ ✁✔☛✕✍✍✒✏✖✌
✁ ✞✟ ✞✟✠☞   ✡✒✏✡ ☞✗✏✏✠ ☛✏ ✞✒✏✎✒✎✌ ✑✒✡✕✗✏✏✌✞
✗✏ ✔ ✌☛✡ ☞✠✖✕
✠ ✕ ✖ ✟✌✍✡ ✞✌ ✖✒✍ ✗✏ ✓✌☛✡ ✖✗✏✍✡✑☛✕✑✌ ☛✏ ✞✒✏✎✒✎ ✌ ✑✒✡✕✗✏✏✌✞✓
ω

X

✎

✔
✌
ω ✓✔
✡✌✞
☛✌
ω
✌
L
X=L
❪ ✏✆ ✞✍ ✠✎✍✌✎✌ ❴ ✏✍✖✠✞✝ ☞✎✍✝ + ✛ ❪ ✍ ☞☛✑✍✏✆ ☞ ❴ ✞✜ ✠✎✍✌✎✌ ❴ ✝ ✤✞✏ ✝ ❪ ✍✆ ✞✆✏✠❴ ✝ ☞✎✍✝
✠✡☛✆✞☞ ❴ ☞L❴ ✝ ✌☛✍☛ ❜ ✎✆ ❴ ✞ ❜ ✝ ☞ ❴ ✠✎✍✌✎✌ ❴Σ✝ ☞ ❴ ❵❪ ✆✝ ✏✍✑✍✏✝ ✁✗✏✆ ✛ ✞✠ ✄ ✒

✄

✚

✎

✒✒ ✁ ✓✏

❴✆ u ∈ L }
✌ ✏ ✒✑✚ ☛✌ ✌ ✗ ❴ ✝ ✠✎✍✌✎✌ ❴ ✝ Stab(L ) ❴ ✆ χ(L ) ✕ ❴ ✞ ❫❴ ✍✆ ❪ ✞ ✍ ❪ ✍ ✜ ✆ ❜❴ ✌☛✍☛ ❜ ✎✆ ❴ ✞ ❜ ✝ ☞ ❴
✖ ❪❵❵❴ ☞✎✍✝ ✠ ❴ ✝ ❴ ✜ ❴❵ ✕ ✠ ❴ ✝ ✝✞✏ ❫ ✎✍✆✝ ✚
L
  ✚☞ ☎ ★☛☞ ✔ ✁✟ ✁ ✄ ❪ ✏✆
✛ ❪ ✍ ✎ Stab(L ) = a = χ(L ) ✒ ✜ ✎✍✝ ✖ ❴ ✖✎✝ Stab(L )
❴ ✝✆ ✞✍ ✌☛✍☛ ❜ ✎✆ ❴ ✞ ❜ ☞ ❴ LL =✒ a
  ✚☞ ☎ ★☛☞ ✔ ✁✢ ✁ ✄ ❪ ✏✆
✛ ✎✠ ❪❜ ✝ Stab(L ) = Σ ✍ ✡❴ ✝✆ ✕ ✎✝ ✌☛✍☛ ❜ ✎✆ ❴ ✞ ❜ ☞ ❴ L ✖✎ ❜
L=a b
✒ ✂ ✎✏✝ χ(L ) = Σ bΣ ❴ ✝✆ ✞✍ ✌☛✍☛ ❜ ✎✆ ❴ ✞ ❜ ☞ ❴ L ✒
a ∈
/L
✗✎ ✕ ❜❪ ✕ ❜ ✏☛✆☛ ✝✞✏ ❫ ✎✍✆ ❴ ✕ ❪❜ ✆ ❴ ✝✞ ❜ ✠✎ ✖ ❪ ✍✝✆ ❜ ✞✖✆✏ ❛ ✏✠✏✆☛ ☞ ❴ ✝ ✠✎✍✌✎✌ ❴ ✝ Stab ❴ ✆ χ ✒
Stab(Lω ) = {u ∈ Σ+ | uLω ⊆ Lω }
χ(Lω ) = {u ∈ Σ+ | uLω ⊆ Lω

✁

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

+

ω

ω

∗

ω

ω

∗

ω

ω

ω

+

∗

ω

✂ ✞✂ ✞✆☎ ✔ ✁ ✠ ✁✟ ✁ ✞✟ ✕✡ ✟✟ ✟ ✕✡ ✟ ✡☞ ✠ ✗✕✡ ☛✏ ✞✒✏✎✒✎✌ ✑✒✡✕✗✏✏✌✞

✡✍✗✏✡✄✆★✆✑✒✡✕✗✏✏✌✞✍
✌✡ ✕✞✍ ✌☛ ✍ ✌✏✡ ✡✑✌ ✖✗✏✍✡✑☛✕✡✍ ✁ ✒✑✡✕✑ ☞ ✟☛✏ ✒☛✡✗

Lω ✂

✔

✌

✎

L

 

✝

✎

✔

✌✡ χ(Lω )
✒✡✌ ✑✌✖✗✏✏✒✕✍✍✒✏✡

Stab(Lω )

✏

✗ ❴ ✠✎✍✌✎✌ ❴ χ ✍ ❪ ✞✝ ☞ ❪ ✍✍ ❴ ✞✍ ❴ ✖✎ ❜ ✎✖✆☛ ❜ ✏✝✎✆✏ ❪ ✍ ☞ ✡✞✍ ❴ ω ✔✕ ✞✏✝✝✎✍✖ ❴ ❜ ✎✆✏ ❪ ✍✍ ❴ ✠✠ ❴ ✛
✞✏✝✝✎✍✖ ❴ ✝ ❜ ✎✆✏ ❪ ✍✍ ❴ ✠✠ ❴ ✝ ✝ ❪ ✍✆ ☛✌✎✠ ❴ ✝ ✝✏ ❴ ✠✠ ❴ ✝ ❪ ✍✆ ❵ ✜ ❵❴ ❴ ✍✝ ❴❵❛ ✠ ❴

✖✡❴ ✝✆ ✔✙✔ ☞✏ ❜❴ ✚ ☞ ❴ ✞✜
ω ✔✕
❴
✆
❜
❜❪
✤✞
❴❵❴
☞ ✡❪ ✧ ✕ ❜❪ ✕ ❪ ✝✏✆✏ ❪ ✍ ✝✞✏ ❫ ✎✍✆ ❴ ✚
✛
☛✖✏
✍✆✛
✕
χ
✄ ✂✂
✁ ✁ ✁ ✞ ✄ ☛✞ ✡ ✠☞ ✠ ✗✕✌✏✡ ✌✡ ☞✌☛   ✞✒✏✎✒✎✌✍ ✑✒✡✕✗✏✏✌✞✍ ✎ ω
✍✕
L = Kω
✌✡ ✍✌☛✞✌ ✏ ✌✏✡ ✍✕ χ(Lω ) = χ(K ω ) ✌ L K

✡ ✆★✆ ✞ ✞✆☎ ✔ ✠ ✢
☛

✂ ✂

☎✟

✌ ✔✆ ✒ ✏✎ ✆ ✏ ✆ ✞✠☎✆ ✕ ☎✔☎✍ ✞
✆

✆

✡❫ ✎✍✆ ☞ ✡✎ ❛❪❜ ☞ ❴❜ ✠ ❴ ✝ ✌☛✍☛ ❜ ✎✆ ❴ ✞ ❜ ✝ ☞ ✡ ✔ ✠✎✍✌✎✌ ❴ ✝✛ ✍ ❪ ✞✝ ✖ ❪ ✍✝✏☞☛ ❜❪ ✍✝ ✠ ❴ ✝ ✕ ❜❪❛ ✠✘ ❵❴ ✝
✝✏ ❵ ✏✠✎✏ ❜❴ ✝ ☞✎✍✝ ✠ ❴ ❵❪ ✍☞ ❴ ☞ ❴ ✝ ✠✎✍✌✎✌ ❴ ✝ ω✑✍✏✆✎✏
❜❴ ✝✒
✣❪ ✞✆ ☞ ✡✎ ❛❪❜ ☞ ✛ ❪ ✍ ❜ ✎ ✕✕ ❴ ✠✠ ❴ ✤✞ ❴ ✠✤✞ ❴ ✝ ☞☛✑✍✏✆✏ ❪ ✍✝✒ ❪ ✏✆ S ⊆ Σ+ ✞✍ ✠✎✍✌✎✌ ❴ ✛ ❪ ✍ ☞✏✆
✤✞ ❴ S ❴ ✝✆ ✞✍ ✍✌ ✏ ✕ ✓✎✑✗☛✔ ✌ ✝✏ S ❴ ✝✆ ✠ ❴❜❵ ☛ ✕ ✎ ❜ ✖ ❪ ✍✖✎✆☛✍✎✆✏ ❪ ✍ ✛ ✖✡❴ ✝✆ ✔✙✔ ☞✏ ❜❴ ✚

✄

S = S+

✟❝


✄❪✞✏ ✞✍✤✞ ❴✠✎✍✌✎✌❴✝✆❴❴✍✌ ❴✍☞❜☛ ❫☛✎❜❜✏✑ ❴✒ ✚
L ⊆ Σ+

L+ = S

✛ ✎✠ ❪❜ ✝ ❪ ✍ ☞✏✆ ✤✞ ❴ L ❴ ✝✆ ✞✍ ✎✠✏✠✑✒✡✌☛✑ ☞ ❴ S

L
✝ ✍ ✍S❪ ✆ ❴ Rac(S) ✛ ✠✎ ✕✑✒✖✕✏✌
☞ ❴ S ✛ ✞✍ ✠✎✍✌✎✌ ❴ ☞☛✑✍✏ ✕ ✎ ❜ ✚

✒✍

Rac(S) = S \ S 2

✥ ❪ ✞ ❜ ✞✍ ✝ ❴❵ ✏✔ ✌ ❜❪ ✞ ✕ ❴ S ☞ ❪ ✍✍☛✛ ✏✠ ❴ ✝✆ ❛ ✏ ❴ ✍ ✖ ❪ ✍✍✞ ✤✞ ❴ ✁☎ ✥ ✄ ✚ S ❴ ✝✆ ✠ ❴ ✕ ✠✞✝ ✌ ❜ ✎✍☞
✌☛✍☛ ❜ ✎✆ ❴ ✞ ❜ ✕ ❪ ✞ ❜ ✠✡✏✍✖✠✞✝✏ ❪ ✍ ☞ ❴ S ❴ ✆ ✝✎ ❜ ✎✖✏✍ ❴ Rac(S) ❴ ✝✆ ✠ ❴ ✕ ✠✞✝ ✕ ❴ ✆✏✆ ✌☛✍☛ ❜ ✎✆ ❴ ✞ ❜
❪✍ ☞❴ S ✒
✕ ❪ ✞✝❜✍✠✡✏✍✖✠✞✝✏
✝✡✏✍✆☛ ❜❴ ✝✝ ❴ ✎✞✝✝✏
✎✞✜ ✌☛✍☛ ❜ ✎✆ ❴ ✞ ❜ ✝ ✖ ❪ ☞ ❴ ✝✒ ✗✎ ✤✞ ❴ ✝✆✏ ❪ ✍ ☞ ❴ ✠✡❴ ✜✏✝✆ ❴ ✍✖ ❴ ☞ ❴ ✖ ❴ ✝
✌☛✍☛ ❜ ✎✆ ❴ ✞ ❜ ✝ ❴ ✝✆ ✆ ❪ ✞✆ ✙ ✠✎✏✆ ❜ ☛✝ ❪ ✠✞ ❴ ✁☎ ✥ ✄ ✚ ✞✍ ✝ ❴❵ ✏✔ ✌ ❜❪ ✞ ✕ ❴ S ❴ ✝✆ ❴ ✍✌ ❴ ✍☞ ❜ ☛ ✕ ✎ ❜ ✞✍
✖ ❪ ☞ ❴ ✝✏ ❴ ✆ ✝ ❴ ✞✠ ❴❵❴ ✍✆ ✝✏ Rac(S) ❴ ✝✆ ✞✍ ✖ ❪ ☞ ❴ ✒
❴ ✠✎ ✘ ❪ ✍ ☛✤✞✏❫✎✠❴ ✍✆ ❴ ✛ ✕ ❪ ✞ ❜ ✞✍ ❴ ω✔✕ ✞✏✝✝✎✍✖ ❴ ❜ ✎✆✏❪ ✍✍ ❴ ✠✠❴ ☞ ❪ ✍✍☛ ❴ ✛ ✍ ❪ ✞✝ ✖✦ ❴❜ ✖✦ ❪ ✍✝
☞☛✖✏☞
❴❜ ☞ ❴ ✠✡❴✜✏✝✆ ❴ ✍✖ ❴ ☞ ✡ ✌☛✍☛ ❜ ✎✆ ❴ ✞ ❜ ✝ ❪ ✝✝☛☞✎✍✆ ☞ ❴ ✝ ✕ ❜❪ ✕ ❜ ✏☛✆☛✝ ❜❴❵ ✎ ❜ ✤✞✎ ❛ ✠❴ ✝ ✚
✠✙❴ ✝ ✌☛✍☛ ❜ ✎✆ ❴ ✞ ❜ ✝ ✑✍✏✝✛ ✠ ❴ ✕ ✠✞✝ω ✔ ✕ ❴ ✆✏✆ ✌☛✍☛ ❜ ✎✆✕❴ ✞ ❜ ✛ ✠ ❴ ✕ ✠✞✝ ✌ ❜ ✎✍☞
✌☛✍☛ ❜ ✎✆ ❴ ✞ ❜ ✛ ❴ ✆✖✒ ✎✏✝
✖ ❴ ✝ ✕ ❜❪❛ ✠✘ ❵❴ ✝ ✍ ❴ ✝ ❪ ✍✆ ✕ ✠✞✝ ✎✞✝✝✏ ✝✏ ❵ ✕ ✠ ❴ ✝ ✤✞ ❴ ☞✎✍✝ ✠ ❴ ✖✎✝ ✑✍✏✆✎✏ ❜❴ ✒
✓✍ ☞ ❴ ✝ ❜❴❵ ✏ ❴❜ ✝ ❜ ☛✝✞✠✆✎✆✝ ✝✞ ❜ ✠ ❴ ✝ ✌☛✍☛ ❜ ✎✆ ❴ ✞ ❜ ✝ ❴ ✝✆ ☞ ❴ ☞☛✖✏☞ ❴❜ ✝✏ ✞✍ ❴ ✞✏✝✝✎✍✖ ❴
❜ ✎✆✏❪ ✍✍ ❴ ✠✠❴ ❴✕✝✆ ❴ ✍✌ ❴ ✍☞ ❜ ☛ ❴ ✕ ✎ ❜ ✞✍ ✠✎✍✌✎✌ ❴ ✑✍✏✒ ✪ ❴ ✕ ❜❪❛ ✠✘ ❵❴ ❴ ✝✆ ❜ ☛✝ ❪ ✠✞ ✕ ✎ ❜ω✔✕✒ ✗✎✆✆ ❴ ✞✜
❴ ✆ ☛✒ ✣✏❵❵❴❜❵ ✎✍ ☞✎✍✝ ✁✗✣ ❡ ✄ ✒
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✑✍✏ ☞ ❴ ✌☛✍☛ ❜ ✎✆ ❴ ✞ ❜ ✝
❵ ✎✜✏❵ ✎✞✜ ✒
✪ ❴ ✠✞✏ ☞ ❴ ✠✡❴ ✜✏✝✆ ❴ ✍✖ ❴ ☞ ❴ ✝ ✌☛✍☛ ❜ ✎✆ ❴ ✞ ❜ ✝ ❵ ✏✍✏ ❵ ✎✞✜ ❴ ✝✆ ❛❴ ✎✞✖ ❪ ✞ ✕ ✕ ✠✞✝ ✖ ❪❵ ✕ ✠✏✤✞☛ ✚ ❪ ✍
✝✎✏✆ ✤✞ ✡✞✍ ❴ ω ✔✕ ✞✏✝✝✎✍✖ ❴ ❜ ✎✆✏ ❪ ✍✍ ❴ ✠✠ ❴ ✍ ✡✎ ✟✎ ❵ ✎✏✝ ☞ ❴ ✕ ✠✞✝ ✕ ❴ ✆✏✆ ✌☛✍☛
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✎ ✞✍ ✍ ❪❵❛❜❴ ✏✍✑✍✏ ☞ ❴ ✌☛✍☛ ❜ ✎✆ ❴ ✞ ❜ ✝ ❵ ✏✍✏ ❵ ✎✞✜ ✒
✥✎ ❜❵ ✏ ✠ ❴ ✝ ✌☛✍☛ ❜ ✎✆ ❴ ✞ ❜ ✝ ❵ ✏✍✏ ❵ ✎✞✜ ☞ ✡✞✍ ❴ ω ✔✕ ✞✏✝✝✎✍✖ ❴ ❜ ✎✆✏ ❪ ✍✍ ❴ ✠✠ ❴ ✛ ✍ ❪ ✞✝ ✍ ❪ ✞✝ ✏✍ ✔
✆☛ ❜❴ ✝✝ ❪ ✍✝ ✎✞✜ ✌☛✍☛ ❜ ✎✆ ❴ ✞ ❜ ✝ ✎✟✎✍✆ ☞ ❴ ✝ ✕ ❜❪ ✕ ❜ ✏☛✆☛✝
❫ ✏✝✔✙✔ ❫ ✏✝ ☞✞ ☞☛✖ ❪ ☞✎✌ ❴ ☞ ❴ ✝ ❵❪ ✆✝ ❪ ✞
❵❪ ✆✝✛ ✖ ❴ ✝ ❪ ✍✆ ✠❴ ✝ ✌☛✍☛ ❜ ✎✆ ❴ ✞ ❜ ✝ ✖ ❪ ☞ ❴ ✝✒

ω✔
  ✙ ✗✏✏✠✌ ✚ Lω ✞✍ ❴ ω ✔✕ ✞✏✝✝✎✍✖ ❴ ❜ ✎✆✏ ❪ ✍✍ ❴ ✠✠ ❴
✛ ☛✌✍✡✕✗✏ ✚ ❴ ✜✏✝✆ ❴ ✔ ✆ ✔ ✏✠ ✞✍ ✖ ❪ ☞ ❴ ❜ ✎✆✏ ❪ ✍✍ ❴ ✠ C ✆ ❴ ✠ ✤✞ ❴ Lω = C ω ✢
 
✪ ❴ ✆✆ ❴ ✤✞ ❴ ✝✆✏ ❪ ✍ ✕ ❴ ✞✆ ✜ ✆ ❜❴ ✕ ❪ ✝☛ ❴ ✕ ❪ ✞ ❜ ✍ ✡✏ ❵ ✕ ❪❜ ✆ ❴ ✤✞ ❴ ✠✠ ❴ ✖✠✎✝✝ ❴ ☞ ❴ ✖ ❪ ☞ ❴ ✝ ✚ ✠ ❴ ✝ ✖ ❪ ☞ ❴ ✝
❜ ☛✑✜ ❴ ✝✛ ✠❴ ✝ ✖ ❪ ☞ ❴ ✝ ✙ ☞☛✠✎✏ ❛❪❜ ✍☛✛ ✠❴ ✝ ω✔ ✖ ❪ ☞ ❴ ✝✛ ❴ ✆✖✒ ✪ ❴ ✝ ✕ ❜❪❛ ✠✘ ❵❴ ✝ ✝ ❪ ✍✆ ❴ ✍✖ ❪❜❴ ❪ ✞ ❫❴❜ ✆✝
✕✝✎✞✠
✖ ❴ ✠✞✏ ☞ ❴ ✝ ✖ ❪ ☞ ❴ ✝ ✕ ❜ ☛✑✜ ❴ ✝ ✤✞✏ ❴ ✝✆ ❜ ☛✝ ❪ ✠✞ ✕ ✎ ❜ ☛✒ ✗✏✆ ❪❫ ✝☞✟ ☞✎✍✝ ✁✗✏✆ ❛ ✄ ✒

✝ ✞

✝

✞

✒✍

✜

✒

✆

✂

✒✏ ✆

✂

✓✟

☛ ☞✕   ☎ ✒ ✕ ✂   ✏✍ ✒ ✕ ✁ ✌ ✟ ✕✖✍✎

✂  

✜
✎✍✝ ✖ ❴ ✆✆ ❴ ✝ ❴ ✖✆✏ ❪ ✍ ✛ ❪ ✍ ✖ ❪ ✍✝✏☞✘ ❜❴ ✠ ❴ ✕ ❜❪❛ ✠✘ ❵❴ ☞ ❴ ❜❴ ✖✦ ❴❜ ✖✦ ❴ ☞ ❴ ✌☛✍☛ ❜ ✎✆ ❴ ✞ ❜ ✝ ❵ ✎✜✏✔
❵ ✎✞✜ ☞ ✡✞✍ ❴ ✞✏✝✝✎✍✖ ❴ ❜ ✎✆✏❪ ✍✍ ❴ ✠✠❴ ✒
ω ✔✕
✣❪ ✞✆ ☞ ✡✎ ❛❪❜
☞ ✛ ❪ ✍ ❜❴❵ ✎ ❜ ✤✞ ❴ ✤✞ ❴ Lω ✍ ✡✎ ✕ ✎✝ ✆ ❪ ✞✟ ❪ ✞ ❜ ✝ ☞ ❴ ✕ ✠✞✝ ✌ ❜ ✎✍☞ ✌☛✍☛ ❜ ✎✆ ❴ ✞ ❜
❪
✞
❜
✠✡✏✍✖✠✞✝✏
❪
✖✡❴ ✝✆ ✔✙✔ ☞✏ ❜❴ ✞✍ ✌☛✍☛ ❜ ✎✆ ❴ ✞ ❜ ✤✞✏ ✖ ❪ ✍✆✏ ❴ ✍✆ ✆ ❪ ✞✝ ✠ ❴ ✝ ✎✞✆ ❜❴ ✝✛ ✖ ❪❵❵❴
✕✏✍☞✏✤✞☛ ☞✎✍✝ ✠✡✍❴ ✜✛ ❴❵
✕ ✠ ❴ ✝✞✏ ❫ ✎✍✆ ✚
  ☎
❴✆
✁ ✁ ✁✗✣ ✄ ❪ ✏✆
✛ ❪ ✍ ✝✎✏✆ ✤✞ ❴
Σ = a + b L = Σ∗ (a2 + b2 )Σ∗

✚☞ ★☛☞ ✔ ✌ ✒✏ ✄

❴ ✆ (L + b) = L
✖✎ ❜ ✛ ✕ ✎ ❜ ❴ ✜ ❴❵ ✕ ✠ ❴ ✛ (ab) ∈/ L ✒ ✜ ❪ ✍✖ L

(L + a)ω = Lω

❵ ✎✏✝ (L + a + b) = L
✌ ❜ ✎✍☞ ✌☛✍☛ ❜ ✎✆ ❴ ✞ ❜ ✒
ω

ω

ω

ω

✟✎

ω

ω

ω

✍ ✡✎ ✕ ✎✝ ☞ ❴ ✕ ✠✞✝


✥✞✏✝✤✞ ❴ Lω ✍ ✡✎ ✕ ✎✝ ✆ ❪ ✞✟ ❪ ✞ ❜ ✝ ☞ ❴ ✕ ✠✞✝ ✌ ❜ ✎✍☞ ✌☛✍☛ ❜ ✎✆ ❴ ✞ ❜ ✛ ❪ ✍ ✖ ❪ ✍✝✏☞✘ ❜❴ ✠ ❴ ✝ ✌☛✍☛ ✔
❜ ✎✆ ❴ ✞ ❜ ✝ ❵ ✎✜✏❵ ✎✞✜ ✒
✓✍ ✠✎✍✌✎✌ ❴ L ⊆ Σ+ ❴ ✝✆ ✏ ✒  ✕ ✏ ✒✞ ✝✡✏✠ ❴ ✝✆ ❵ ✎✜✏ ❵ ✎✠ ✕ ❪ ✞ ❜ ✠✡✏✍✖✠✞✝✏ ❪ ✍ ☞✎✍✝ [L] ✒
ω
✪ ✡❴ ✝✆ ✔✙✔ ☞✏ ❜❴ ✛ ✕ ❪ ✞ ❜ ✆ ❪ ✞✆ u ∈ Σ+ ✚
✏ ❵ ✕ ✠✏✤✞ ❴ u ∈ L
(L + u)ω = Lω

✗✎ ☞☛✖✏☞✎ ❛ ✏✠✏✆☛ ☞ ❴ ✠✡❴ ✜✏✝✆ ❴ ✍✖ ❴ ☞ ❴ ✝ ✌☛✍☛ ❜ ✎✆ ❴ ✞ ❜ ✝ ❵ ✎✜✏ ❵ ✎✞✜ ❴ ✝✆ ☛✍ ❪ ✍✖☛ ❴ ☞✎✍✝ ✠✎
❜❪
✕ ✕ ❪ ✝✏✆✏ ❪ ✍ ✝✞✏ ❫ ✎✍✆ ❴ ✚

✂ ✞✂ ✞✆☎ ✔ ✁✟ ✁ ✠ ✁ ✞✟ ✞✟✠☞ ✠ ✗✕✡ ☛✏ ✞✒✏✎✒✎ ✌ ✑✒✡✕✗✏✏✌✞ ✌ ✞ ✟ ✓ ✞✒✏✎✒✎✌
✡☛✏✄ ✆★✆
✒☞ ✌✡
✌✍ ✞✒✏✎✒✎✌✍
✏✗ ✙ ✑✌ ✄ ✏✕ ✏✗✏ ✏☛✞ ☞ ✟ ✎ ✠✏✠✑✒✡✌☛✑✍ ✒ ✕ ✒☛
L

✏

✏   ✏

ω
Lω
✌
 
M1 , M2 , . . . , Mn
✙ ✌ ✔ ✞☛✍ ✎
✑✌✖✗✏✏✒✕✍✍✒✏✡
Lω ✌

✏

ω✓
✡✗☛✡
✔ ✌☛ ✍ ✌✏✡   ✡✑✌ ✖✗✏✍✡✑☛✕✡✍ ✝ ✔ ✒✑✡✕✑ ☞ ✟☛✏ ✒☛✡✗ ✏ ✒✡✌
✎

✠✏✠✑✒✡✌☛✑
☞✌
✌✍✡
✕✏✖✞☛✍
☞✒✏✍
☛✏
☞✌✍
✎✠✏✠✑✒✡✌☛✑✍
✏
✒
 
✕
✏
✒☛
 
✌
ω✓
Lω
ω✓
  ☎
❴✆
✁✂ ✁ ✁✗✏✆ ✄ ❪ ✏✆
✛ ✎ ❝ ✌☛✍☛ ❜ ✎✆ ❴ ✞ ❜ ✝
❵ ✎✜✏❵ ✎✞✜ M , M ❪ ✧ ✚ Σ = a + b L = Σ∗(a2 + b2)Σ∗ Lω

✒✒ ✄

✚☞ ★☛☞ ✔

1

 

2

❴ ✆ M = L + (ba) b
✜
✎✍✝ ✠ ❴ ✖✎✝ ❪ ✧ L ✎ ✞✍ ✞✍✏✤✞ ❴ ✌☛✍☛ ❜ ✎✆ ❴ ✞ ❜ ❵ ✎✜✏ ❵ ✎✠✛ ✎✠ ❪❜ ✝ ✖ ❴ ✌☛✍☛ ❜ ✎✆ ❴ ✞ ❜ ❴ ✝✆ ✠ ❴
✕ ✠✞✝ ✌ ❜ ✎✍☞ ✌☛✍☛ ❜ ✎✆ ❴ ✞ ❜ ✒ ✝ ✍ ✎ ✠ ❴ ✖ ❪❜❪ ✠✠✎✏ ❜❴ ✝✞✏ ❫ ✎✍✆ ✚
M1 = L + (ab)∗ a

∗

2

ω

✦✆☛✏ ✄✆☛☛✞☛✍☎✎✑✒✏☞
✞✄☞ ✔ ✁✟ ✁✠✎✠✏✠✑✒✡✌☛✑
✁ ✞✟ ✞✟✠☞ ✠ ✗✕✡
✔

✌

L

☛✏ ✞✒✏✎✒✎✌ ✑✒✡✕✗✏✏✌✞ ✌ ✁ ✏ ✍✒✕✡ ☞✠✖✕☞✌✑ ✍✕ Lω ✒☞ ✏ ✌✡

✄
✏ ❴ ✝✆ ✞✍ ✌☛✍☛ ❜ ✎✆ ❴ ✞ ❜ ☞ ✡✞✍ ❴ ✔✕ ✞✏✝✝✎✍✖ ❴ ✛ ✎✠ ❪❜ ✝

❴ ✝✆ ✎✞✝✝✏ ✞✍ ✌☛✍☛ ❜ ✎✆ ❴ ✞ ❜ ✒
✆ ✍ ✖❪✍✝☛✤✞ ❴✍✖❴ ✛ ✝✏ ❴✝✆ ✠❴ ✠✞✝ ✌❜✎✍☞ ✌☛✍☛❜✎✆❴✞ ❜ ✛ ✎✠❪❜✝
❪ ✞ ❴ ✝✆ ✞✍
ω✓

L

L+

ω

✕
L
L = L+
L
✝ ❴❵ ✏✔ ✌ ❜❪ ✞ ✕ ❴ ✒
✪ ❪❵❵❴ ✠✡☛✌✎✠✏✆☛ ☞ ❴ ☞ ❴ ✞✜ ✠✎✍✌✎✌ ❴ ✝ ❴ ✝✆ ☞☛✖✏☞✎ ❛ ✠ ❴ ✛ ❪ ✍ ❴ ✞✆ ☞☛✖✏☞ ❴❜ ✝✏ ✞✍ ✠✎✍✌✎✌ ❴
❴ ✝✆ ❵ ✎✜✏❵ ✎✠ ❪ ✞ ✍ ❪ ✍ ❴ ✍ ✠❴ ✖ ❪❵ω✔✕ ✎ ❜ ✎✍✆ ✎❫❴ ✖ ✠❴ ✝ ✌☛✍☛ ❜ ✎✆ ❴ ✞ ❜✕✝ ❵ ✎✜✏❵ ✎✞✜ ✒
✄ ☎ ✄ ✁ ✁ ✁ ✞✟ ✞✟✠☞ ✠ ✗✕✡ L ☛✏ ✞✒✏✎✒✎ ✌ ✑✒✡✕✗✏✏✌✞ ✌ ✁ ✏ ✍✒✕✡ ☞✠✖✕☞✌✑ ✍✕ L ✌✍✡
✏ ✒   ✕ ✏ ✒✞ ✗☛ ✏✗✏ ✌
✗ ❴ ✝ ❵❪ ✆✝ ☞ ❴ ✝ ✌☛✍☛ ❜ ✎✆ ❴ ✞ ❜ ✝ ✝ ❪ ✍✆ ✏✝✝✞✝ ☞ ❴ ✝ ✠✎✍✌✎✌ ❴ ✝ Stab ❴ ✆ χ ✤✞✏ ✝ ❪ ✍✆ ☞ ❪ ✍✖ ☞ ❴ ✞✜
❵ ✎✟ ❪❜ ✎✍✆✝✒
✄ ✂✂
✁ ✁ ✁ ✞✟ ✕✡ ✟✟☞ ✠ ✗✕✡ ☛✏ ✞✒✏✎✒✎✌✎
✌✡
✍✗✏✡ ☞✌☛   ✏ ✒ ✓
L
Stab(Lω ) χ(Lω )
✂ ✗✑✒✏✡✍ ☞✌
✎ ✖ ✟✌✍✡ ✝ ☞✕✑✌ ✎ ✔ ✗☛✑ ✡✗☛✡

✚
✓✓
[L]ω
G ∈ [L]ω
✌✡ G ⊆ χ(Lω )
G ⊆ Stab(Lω )

✦✆ ✆☛☛ ✞ ☞ ✔ ✟ ✔

✡ ✆★✆ ✞ ✞✆☎ ✔ ✟ ✔

✄

✚✞

✝

✞

✌ ✒✑ ☛✌ ✌ ✏ Stab(Lω ) ❜❴ ✝ ✕ ✒ χ(Lω ) ❴ ✝✆ ✌☛✍☛ ❜ ✎✆ ❴ ✞ ❜ ☞ ❴ Lω ✛ ✎✠ ❪❜ ✝ Stab(Lω )
❴ ✝✆ ✠❴ ✕ ✠✞✝ ✌ ❜ ✎✍☞ ✌☛✍☛ ❜ ✎✆ ❴ ✞ ❜ ☞ ❴ Lω ✒
χ(Lω )
✁ ✏

☛ ☞ ☎✖ ☎ ✒ ✕ ✂   ✏✍ ✠ ✌ ✆ ✏✎

✂ ☎

✝❜❴✝✕ ✒

✄
❪ ✏✆ ✞✍ ✠✎✍✌✎✌ ❴ ✛ ❪ ✍ ✖✦ ❴❜ ✖✦ ❴ ☞ ❴ ✝ ✌☛✍☛ ❜ ✎✆ ❴ ✞ ❜ ✝ ❵ ✏✍✏❵ ✎✞✜ ☞ ❴ ✕ ❪ ✞ ❜ ✠✡✏✍✖✠✞✝✏❪ ✍ ✒
✣❪ ✞✆ ☞ ✡✎ ❛❪❜ ☞ ✛ ❪ ✍ ❜❴❵ ✎ ❜ ✤✞ ❴ ✤✞ ❴
✍ ❴ ❪ ✝✝✘☞ ❴ ✟✎ ❵ ✎✏✝ ☞ ❴ ✠✞✝ ❴ ✆✏✆ ✌☛✍☛ ❜ ✎✆ ❴ ✞ ❜
L

Lω
❴ ✝✆ ❴ ✚✕
✖ ❪❵❵❴ ✠✎ ✕ ❜❪ ✕ ❪ ✝✏✆✏ ❪ ✍ ✝✞✏ ❫ ✎✍✆ ❴ ✠✡✎✆✆

✟✑

✕

Lω

✕


✡✠✞✠✄✆★✆✌✏✡✂ ✞✂✗☛✑✞✆☎ ✞✔✟✕✏✖✞☛✍✕✗✏
✁✢ ✁ ✠ ✁ ✞✟ ✞✟✠☞ ✠ ✗✕✡

✎

L ⊆ Σ+ [L]ω

✏✌ ✖✗✏✡✕✌✏✡ ✂ ✒ ✏ ✒✕✍ ☞✌ ✔ ✞☛✍ ✔ ✌✡✕✡

✔
✌

✙ ✠ ✏ ✗✏✍✡✑✒✡✕✗✏ ✌ ✝ ✍ ✍ ❪ ✆ ❴ P rem(L) = L \ (LL+ ) ✒ ☛✠ ❴ ✝✆ ✖✠✎✏ ❜ ✤✞ ❴ ✚
✏

Lω = (P rem(L))ω = (P rem(L)2 )ω

❴ ✆ ✤✞ ❴ ✚

✜ ❪✍✖

P rem(L) ∩ P rem(L)2 = ∅

✍ ✡✎ ✕ ✎✝ ☞ ❴ ✕ ✠✞✝ ✕ ❴ ✆✏✆ ✌☛✍☛ ❜ ✎✆ ❴ ✞ ❜ ✒
✥✞✏✝✤✞ ❴ Lω ✍ ✡✎ ✟✎ ❵ ✎✏✝ ☞ ❴ ✕ ✠✞✝ ✕ ❴ ✆✏✆ ✌☛✍☛ ❜ ✎✆ ❴ ✞ ❜ ✛ ✍ ❪ ✞✝ ☛✆✞☞✏ ❴❜❪ ✍✝ ☞ ❪ ✍✖ ✠ ❴ ✝ ✌☛ ✔
✍☛ ❜ ✎✆ ❴ ✞ ❜ ✝ ❵ ✏✍✏ ❵ ✎✞✜ ✕ ❪ ✞ ❜ ✠✡✏✍✖✠✞✝✏ ❪ ✍ ☞✎✍✝ [L] ✒
✓✍ ✠✎✍✌✎✌ ❴ L ⊆ Σ+ ❴ ✝✆ ✏ ✕✏✕ ✏ ✒✞ ✝✡✏✠ ❴ ✝✆ ❵ω✏✍✏ ❵ ✎✠ ✕ ❪ ✞ ❜ ✠✡✏✍✖✠✞✝✏ ❪ ✍ ☞✎✍✝ [L] ✒
ω
✪ ✡❴ ✝✆ ✔✙✔ ☞✏ ❜❴ ✛ ✕ ❪ ✞ ❜ ✆ ❪ ✞✆ u ∈ Σ+ ✚
✏ ❵ ✕ ✠✏✤✞ ❴ u ∈/ L
(L \ {u})ω = Lω
  ☎
✁ ✁
  ✥ ❪ ✞ ❜ ✆ ❪ ✞✆ n ≥ 1 ✛ ✠ ❴ ✠✎✍✌✎✌ ❴ an ❴ ✝✆ ❵ ✏✍✏ ❵ ✎✠✒
✗
❴
✠✎✍✌✎✌
❴
❴ ✝✆ ❵ ✏✍✏❵ ✎✠✒
 
a2 + a3 + b
  ☎

✁ ✁ ✗ ❴ ✠✎✍✌✎✌ ❴
✍ ✡❴ ✝✆ ✕ ✎✝ ❵ ✏✍✏ ❵ ✎✠ ✖✎ ❜ ✏✠ ❴ ✜✏✝✆ ❴ ✠ ❴ ✌☛✍☛ ❜ ✎✆ ❴ ✞ ❜
L = a+ ba+
✤✞✏ ❴ ✝✆ ✝✆ ❜ ✏✖✆ ❴❵❴ ✍✆ ✏✍✖✠✞✝ ☞✎✍✝ a+ ba+ ✒
a+ b
✄ ✂✂
✁ ✁ ✁ ✞✟ ✞✟✠☞ ✠ ✗✕✡ ☛✏ ✞✒✏✎✒✎✌ ✑✒✡✕✗✏✏✌✞ ✌ ✁ ✏ ✔ ✌☛✡ ☞✠✖✕☞✌✑ ✍✕ ✌✍✡
L
L
☛✏ ✞✒✏✎✒✎✌ ✏ ✕✏✕ ✏ ✒✞ ✌
✥ ❪ ✞ ❜ ✞✍ ✠✎✍✌✎✌ ❴ ✑✍✏ ✛ ❪ ✍ ❴ ✞✆ ✆ ❜❪ ✞ ❫❴❜ ✞✍ ✌☛✍☛ ❜ ✎✆ ❴ ✞ ❜ ❵ ✏✍✏ ❵ ✎✠ ❴ ✍ ✖✦ ❴❜ ✖✦✎✍✆
☞✎✍✝ ✠ ❴ ✝ ✝ ❪ ✞✝ ✔ ❴ ✍✝ ❴❵❛ ✠ ❴ ✝ ☞L❴ L ✒ ✕❪ ✍✖✛ ☞✎✍✝ ✠ ❴ ✖✎✝ ☞ ❴ ✝ ω ✔✕ ✞✏✝✝✎✍✖ ❴ ✝ ✑✍✏ ❵❴ ✍✆ ❴ ✍✌ ❴ ✍ ✔
☞ ❜ ☛ ❴ ✝✛ ✠ ❴ ✕ ❜❪❛ ✠✘ ❵❴ ☞ ❴ ✠✡❴ ✜✏✝✆ ❴ ✍✖ ❴ ☞ ❴ ✝ ✌☛✍☛ ❜ ✎✆ ❴ ✞ ❜ ✝ ❵ ✏✍✏ ❵ ✎✞✜ ❴ ✝✆ ✆ ❪ ✞✆ ✙ ✠✎✏✆ ❜ ☛✝ ❪ ✠✞ ✒
✎✏✝ ☞✎✍✝ ✠ ❴ ✖✎✝ ✌☛✍☛ ❜ ✎✠✛ ✖ ❴ ✕ ❜❪❛ ✠✘ ❵❴ ❴ ✝✆ ❪ ✞ ❫❴❜ ✆✒
✗✎ ✕ ❜❪ ✕ ❪ ✝✏✆✏ ❪ ✍ ✝✞✏ ❫ ✎✍✆ ❴ ✍ ❪ ✞✝ ☞ ❪ ✍✍ ❴ ✞✍ ❴ ❜❴ ✠✎✆✏ ❪ ✍ ❴ ✍✆ ❜❴ ✠ ❴ ✝ ✠✎✍✌✎✌ ❴ ✝ ❵ ✏✍✏ ❵ ✎✞✜
❴ ✆ ✠❴ ✝ ✖ ❪ ☞ ❴ ✝✒
Lω

✝

✞

✚☞ ★☛☞ ✔ ✛
✚☞ ★☛☞ ✔ ✤
✡ ✆★✆ ✞ ✞✆☎ ✔ ✢ ✔

✜

✂

✡ ✄ ✆★✆ ✂ ✞✂ ✞✆☎ ✔ ✁✢ ✁✟ ✁ ✞✟ ✞✟✠☞ ✠ ✗✕✡ ✌ ✠ ✕ ✌✍✡ ☛✏ ✖✗☞✌ ✒✞✗✑✍ ✌✍✡ ✕✏✕ ✒✞✌
✙ ✠ ✗✏✍✡✑✒✡✕✗✏ ✌ ✄ ✞ ✕✕ ❪ ✝ ❪ ✍✝ ✤✞ ❴ ✍ ✡❴ ✝✆ ✕ ✎✝ ❵ ✏✍✏ ❵ ✎✠✛ ✖✡❴ ✝✆ ✔✙✔ ☞✏ ❜❴ ✏✠ ❴ ✜✏✝✆ ❴ ✞✍ ❵❪ ✆
✆ ❴ ✠ ✤✞ ❴
✒ ✜ ❪ ✍✖ ✠ ❴ ❵❪ ✆ ✎ ❝ ✔ ✠✎✖✆ ❪❜ ✏✝✎✆✏ ❪ ✍✝✛ ✏✠ ✟ ✎ ✞✍ ❴
✖ ❪ ✍✆ ❜ ✎☞✏✖✆✏ ❪ ✍ ✎❫❴ ✖ ✠✎ ❜❪ ❪ ✝✏✆✏ ❪ ✍ ✟ ✒✑ ✒ ✟ ✒
C ⊆ Σ+

✏

✎

C

C

✏

✏

C

C \ {u} = C ω

u ∈ C

uω

C

✕ ✕

✌ ✒✑ ☛✌ ✌ ✗✎ ❜ ☛✖✏ ✕ ❜❪ ✤✞ ❴ ❴ ✝✆ ✠✎✞✝✝ ❴ ✛ ✖✎ ❜ ✛ ✕ ✎ ❜ ❴ ✜ ❴❵ ✕ ✠ ❴ ✛ ✠ ❴ ✠✎✍✌✎✌ ❴ a2 + a3 + b ❴ ✝✆
❵ ✏✍✏❵ ✎✠✛ ❵ ✎✏✝ ✖ ❴ ✍ ✡❴ ✝✆ ✕ ✎✝ ✞✍ ✖ ❪ ☞ ❴ ✒
✁ ✏

✂

☛

✄

✚

✁ ✆ ✝ ✞✟

✏✖ ✠ ✏✎

✜✞✏✝✝✎✍✖
✎✍✝ ✖ ❴ ✆✆ ❴ ✝ ❴ ✖✆✏ ❪ ✍ ✛ ❪ ✍ ✖ ❪ ✍✝✏☞✘ ❜❴ ✞✍ ❴ ✝ ❪ ✞✝ ✔ ✖✠✎✝✝ ❴ ☞ ❴ ✝ ✔ ✠✎✍✌✎✌ ❴ ✝ ❜ ✎✆✏ ❪ ✍✍ ❴ ✠✝ ✚ ✠ ❴ ✝
❴ ✝ ❜ ✎✆✏❪ ✍✍ ❴ ✠✠❴ ✝ ✤✞✏ ✝ ❪ ✍✆ ☞ ❴ ✝ ✎☞✦☛ ❜❴ ✍✖ ❴ ✝ ✁☎ ❭ ✒ ❞✄ ✒ ✪ ❴ ✆✆ ❴ ✖✠✎✝✝ ❴ ✖ ❪ ✍✆✏❴ ✍✆ ✠❴ ✝
ω

ω ✔✕
✞✏✝✝✎✍✖
ω ✔✕

❴ ✝ ✑✍✏❵❴ ✍✆ ❴ ✍✌ ❴ ✍☞ ❜ ☛ ❴ ✝✛ ❴ ✆ ✠❴ ✝ ❴✜ ❴❵ ✕ ✠❴ ✝ ✤✞ ❴ ✍ ❪ ✞✝ ✖ ❪ ✍✝✏☞☛ ❜❪ ✍✝ ✝ ❪ ✍✆ ✏✝✝✞✝
☞ ❴ ✖ ❴ ✆✆ ❴ ✖✠✎✝✝ ❴ ✒
✝ ✍ ✠✏ ❵ ✏✆ ❴ ✍ ❪ ✆ ❜❴ ❜❪❛ ✠✘ ❵❴ ☞✎✍✝ ✞✍ ❜❴❵ ✏ ❴❜ ✆ ❴❵ ✝ ✎✞✜ ✎☞✦☛ ❜❴ ✍✖ ❴ ✝✛ ✖✎ ❜ ✠ ❴ ❜❪
❛ ✠✘ ❵❴ ❴ ✝✆ ☞☛✟ ✙ ❛ ✏❴ ✍ ✖✕❪❵ ✕ ✠✏✤✞☛ ☞✎✍✝ ✖ ❴ ✕✖✎✝✔ ✠ ✙ ✛ ❵ ✜ ❵❴✕ ✝✏ ❪ ✍ ✎ ✞✍ ✞✍✏✤✞ ❴ ✌☛✍☛ ❜ ✎✆✕❴ ✞ ❜✔
❵ ✎✜✏❵ ✎✠ ❛ ✏❴ ✍ ✖ ❪ ✍✍✞ ✒

✟✍


✘

✝ ✍ ☞✏✆ ✤✞ ✡✞✍ ω ✔ ✠✎✍✌✎✌ ❴ X ❴ ✝✆ ✞✍ ❴ ✒☞ ✠✑✌✏✖✌ ✝✡✏✠ ❴ ✜✏✝✆ ❴ ✞✍ ✠✎✍✌✎✌ ❴ L ✆ ❴ ✠ ✤✞ ❴
✒
X = Adh(L)
−−−−→ ✛ ❪ ✍ ✎ ✠ ❴ ✖ ❪❜❪ ✠✠✎✏ ❜❴ ✝✞✏ ❫ ✎✍✆ ✚
✪ ❪❵❵❴ Adh(L) = −
Pref(L)
✄ ☎ ✄ ✁ ✁ ✁ ✠ ✗✕✡ X ☛✏✌ ✒☞ ✠✑✌✏✖✌ ✑✒✡✕✗✏✏✌✞✞✌✎ ✒✞✗✑✍ X ✌✍✡ ☛✏ ω ✓ ✞✒✏✎✒✎ ✌
✑✒✡✕✗✏✏✌✞ ☞✠✡✌✑ ✏ ✕✏✕✍✡✌ ✌
✎✍✝ ✠ ❴ ✖✎✝ ❪ ✧ X ❴ ✝✆ ✞✍ ❴ ω ✔✕ ✞✏✝✝✎✍✖ ❴ ❜ ✎✆✏ ❪ ✍✍ ❴ ✠✠ ❴ ✛ ❪ ✍ ✎ ✚
✄ ✂✂
✁ ✁ ✁ ✞✟ ✞✟  ☞ ✠ ✗✕✡ ☛✏ ✞✒✏✎✒✎✌ ✑✒✡✕✗✏✏✌✞✎ ω ✌✍✡ ☛✏✌ ✒☞ ✠✑✌✏✖✌ ✍✕
L
L
✌✡ ✍✌☛✞✌ ✏ ✌✏✡ ✍✕ Lω = Adh(L∗ ) = Adh(Pref(L
∗ )) ✌
✍ ✌☛✍☛ ❜ ✎✠✛ Stab(Lω ) ❜❴ ✝ ✕ ✒ χ(Lω ) ✍ ✡❴ ✝✆ ✕ ✎✝ ✌☛✍☛ ❜ ✎✆ ❴ ✞ ❜ ☞ ❴ Lω ✒ ✎✏✝ ✏✠ ✠✡❴ ✝✆
☞✎✍✝ ✠ ❴ ✖✎✝ ☞ ✡✞✍ ❴ ✎☞✦☛ ❜❴ ✍✖ ❴ ✒
✄ ✂✂
✁ ✁ ✁ ✞✟ ✕✡ ✟✟☞ ✠ ✗✕✡ ☛✏ ✞✒✏✎✒✎ ✌ ✑✒✡✕✗✏✏✌✞ ✌ ✠ ✕ ω ✌✍✡ ☛✏✌ ✒☞ ✠✑✌✏✖✌✎
L
L
✒✞✗✑✍ ✗✏ ✒ ✚
✕✂ Stab(Lω ) = χ(Lω ) ✌
✕✕✂ Stab(Lω ) ✌✍✡ ☛✏ ✎✠✏✠✑✒✡✌☛✑ ☞✌ Lω ✌

✁ ✌ ✏ ✒✑ ☛✌ ✌
✎✍✝ ✖ ❴ ✖✎✝✛ Stab(Lω ) = χ(Lω ) ❴ ✝✆ ✠ ❴ ✕ ✠✞✝ ✌ ❜ ✎✍☞ ✌☛✍☛ ❜ ✎✆ ❴ ✞ ❜ ☞ ❴ Lω ✒
❪ ✏✆ L ✞✍ ✠✎✍✌✎✌ ❴ ❜ ✎✆✏❪ ✍✍ ❴ ✠✛ ✍ ❪ ✞✝ ☞✏❜❪ ✍✝ ✤✞ ❴ Lω ❴ ✝✆ ✄ ✏✕✏ ✌✏✡ ✌✏✎✌✏☞✑✠ ✝✏ ❴ ✆
✝ ❴ ✞✠ ❴❵❴ ✍✆ ✝✡✏✠ ❴ ✜✏✝✆ ❴ ✞✍ ✠✎✍✌✎✌ ❴ ✑✍✏ ✎ ✕✕ ✎ ❜ ✆ ❴ ✍✎✍✆ ✙ [L] ✒
ω
✄ ✂✂
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L
L
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✝

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✞

✂

✘

✘

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✄

✡ ✆★✆ ✞ ✞✆☎ ✔ ✌ ✟
✌

✙ ✠ ✏ ✗✏✍✡✑✒✡✕✗✏ ✌

✄✒ ❪✝✏✆❜

✘

✞✍ ✠✎✍✌✎✌ ❴ ✑✍✏ ✆ ❴ ✠ ✤✞ ❴ ✚ Lω ✁ F ω ✒ ✝ ✍ ✝✎✏✆ ✤✞ ❴ Adh(F ∗ ) =
✖✎ ❜ F ❴ ✝✆ ✑✍✏ ✒ ❪ ✍✖ Lω = Adh(F ∗ ) ❴ ✆ ✖✡❴ ✝✆

F
Adh(F ) = ∅

✝

✞✜

✞✍ ❴ ✎☞✦☛ ❜❴ ✍✖ ❴ ✒
✁ ✌ ✏ ✒✑ ☛✌ ✌ ✗✎ ❜ ☛✖✏ ❜❪ ✤✞ ❴ ❴ ✝✆ ✠✎✞✝✝ ❴ ✖ ❪❵❵❴ ☞✎✍✝ ✠✡❴ ✜ ❴❵ ✠ ❴ ✝✞✏ ❫ ✎✍✆ ✚
✕
✕
  ☎

✒
✪
❪❵❵❴
✁✂ ✁ ✁✗✣ ❡ ✄ ❪ ✏✆
✛ ☞ ❪ ✍✖
L = a + b + ab∗ c
Adh(L) = {abω } ⊂ Lω

F ω + F ∗ Adh(F )

✚

✒ ✄

✚☞ ★☛☞ ✔

❴ ✆ L ❴ ✝✆ ✞✍ ❴ ✎☞✦☛ ❜❴ ✍✖ ❴ ✒ ✄ ✞ ✕✕ ❪ ✝ ❪ ✍✝ ✤✞ ❴ L ❴ ✝✆ ✑✍✏❵❴ ✍✆ ❴ ✍✌ ❴ ✍☞ ❜ ☛ ✚ L = F ✎❫❴ ✖
✞✍ ✠✎✍✌✎✌ ❴ ✑✍✏✒ ✄ ❪ ✏✆ n ✠ ❴ ✕ ✠✞✝ ✌ ❜ ✎✍☞ ❴ ✍✆✏ ❴❜ ☞ ❴ ✠✡❴ ✍✝ ❴❵❛ ✠ ❴ {|u| | u ∈ F } ✒ ✪ ❪❵❵❴
F
❴ ✆ b ca ∩ L = ∅ ✚ ✏✠ ✟ ✎ ✞✍ ❴ ✖ ❪ ✍✆ ❜ ✎☞✏✖✆✏❪ ✍ ✒
ab ca ∈ L
Adh(L∗ ) = Lω + L∗ Adh(L) = Lω

ω

n

ω

ω

ω

∗

ω

ω

✟❡

ω

ω


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✁ ✙ ✚ ✙✓✒✛✔ ✜ ✓✢ ✕✣ ✗ ✔ ✢ ✁ ✓✙ ✢✜ ✑✛✒✛ ✢

✔ ✂ ✦✢✛ ✒ ✚✛✢
❭❪ ✞✝ ❜ ✎ ✕✕ ❴ ✠✠❪ ✍✝ ✠❴ ✕ ❜❪❛ ✠✘ ❵❴ ✚ ✕ ❪ ✞ ❜ ✞✍ ❴ ✖✠✎✝✝ ❴ ☞ ❴ ✖ ❪ ☞ ❴ ✝ C ☞ ❪ ✍✍☛ ❴ ❴ ✆ ✞✍ ✠✎✍✌✎✌ ❴
❜ ✎✆✏❪ ✍✍ ❴ ✠ L ✛ ❪ ✍ ✝ ❴ ☞ ❴❵ ✎✍☞ ❴ ✝✡✏✠ ❴✜✏✝✆ ❴ ✞✍ ✖ ❪ ☞ ❴ C ☞✎✍✝ C ✆ ❴ ✠ ✤✞ ❴ C = L ✒ ✆ ✍
❴✍ ❴ ✆✛ ✖ ❴ ✆✆ ❴ ✤✞ ❴ ✝✆✏❪ ✍ ✖ ❪ ✍✖ ❴❜ ✍ ❴ ✕ ✠✞✝✏❴ ✞ ❜ ✝ ✝ ❪ ✞✝✔✕ ❜❪❛ ✠✘ ❵❴ ✝ ✤✞ ❴ ✠✡❪ ✍ ❪❛ ✆✏❴ ✍✆ ❴ ✍ ✑✜✎✍✆
✠ ❴ ✝ ✖✠✎✝✝ ❴ ✝ ☞ ❴ ✖ ❪ ☞ ❴ ✝ ✚ ✖ ❪ ☞ ❴ ✕ ❜ ☛✑✜ ❴ ✝✛ ✖ ❪ ☞ ❴ ✝ ✙ ☞☛✠✎✏ ❛❪❜ ✍☛✝✛ ω ✔ ✖ ❪ ☞ ❴ ✝✛ ❴ ✆✖✒ ✣❪ ✞✆ ❴ ✝✆
❪ ✞ ❫❴❜ ✆ ✝✎✞✠ ✕ ❪ ✞ ❜ ✠❴ ✝ ✖ ❪ ☞ ❴ ✝ ✕ ❜ ☛✑✜ ❴ ✝✒ ✪ ❴ ✖✦✎ ✕ ✏✆ ❜❴ ❴ ✝✆ ✖ ❪ ✍✝✎✖ ❜ ☛ ✙ ✠✡☛✆✎✆ ☞ ❴ ✠✡✎ ❜ ✆ ☞ ❴ ✖ ❴ ✝
✕ ❜❪❛ ✠✘ ❵❴ ✝ ✁✗✏✆ ✓ ✟❛ ✛ ✁ ✞✠ ✓ ❡❛ ✛ ✜ ❴❫ ✓✓ ✄ ✒
ω

 

☛✡

ω

✌ ✏✎ ☎ ✟✞ ✄   ✏✎

✆ ✆

✜
✎✍✝ ✖ ❴ ✆✆ ❴ ✝ ❴ ✖✆✏ ❪ ✍ ✛ ❪ ✍ ❫ ✎ ✖ ❪ ✍✝✏☞☛ ❜❴❜ ✠ ❴ ✕ ❜❪❛ ✠✘ ❵❴ ✕ ❪ ✞ ❜ ✠✎ ✖✠✎✝✝ ❴ ☞ ❴ ✝ ✖ ❪ ☞ ❴ ✝ ✕ ❜ ☛ ✔
❴
✝✒
✑✜ ✣❪ ✞✆ ☞ ✡✎ ❛❪❜ ☞ ✛ ❪ ✍ ✕ ❜ ☛✝ ❴ ✍✆ ❴ ✠✎ ❵ ☛✆✦ ❪ ☞ ❴ ☞ ❴ ☛✒ ✗✏✆ ❪❫ ✝☞✟ ☞✎✍✝ ✁✗✏✆ ✓ ✟❛ ✄ ✕ ❪ ✞ ❜
☞☛✖✏☞ ❴❜ ✝✏ ✞✍ ω ✔ ✠✎✍✌✎✌ ❴ ❜ ✎✆✏ ❪ ✍✍ ❴ ✠ ❴ ✝✆ ✞✍ ❴ ω ✔✕ ✞✏✝✝✎✍✖ ❴ ☞ ✡✞✍ ✖ ❪ ☞ ❴ ✕ ❜ ☛✑✜ ❴ ✒
✄ ✆★✆ ✂ ✞✂ ✞✆☎ ✟ ✁ ✠ ✁ ✠ ✁ ✞ ✙ ✌ ✍✡✡☞ ✠ ✗✕✡ ☛✏ ✞✒✏✎✒✎✌ ✑✒✡✕✗✏✏✌✞ ✌✡
✡✎✠✏✠✑✒✡✌☛✑✍
✒ ✕ ✒☛ ☞✌
✏ ✏✗✡✌ ✚
✏   ✏

✁✏

✒✚

 

Lω ✌ ✁

L

M1 , M2 , . . . , Mn

✞✌✍

Ri = {u ∈ Mi | u−1 Lω = Lω }

☎ ✌ Lω ✒ ☛✏ ✎✠✏✠✑✒✡✌☛✑ ✖✗☞✌ ✔ ✑✠✄   ✌ ✍✕ ✌✡ ✍✌☛✞✌✏ ✌✏✡ ✍ ✟✕✞ ✌  ✕✍✡✌ ☛✏ Ri ✡✌✞ ✚ ☛✌ Ri

✌✍✡ ☛✏ ✎✠✏✠✑✒✡✌☛✑ ☞✌ Lω ✌
✆ ✌ ✠ ✕ Ri ✌✍✡ ☛✏ ✎✠✏✠✑✒✡✌☛✑ ☞✌ Lω ✎ ✒✞✗✑✍ Pi = Ri \ RiΣ+ ✌✍✡ ☛✏ ✎✠✏✠✑✒✡✌☛✑ ✖✗☞✌
✔ ✑✠✄   ✌ ☞✌ Lω ✌
✪ ❪❵❵❴ ✠ ❴ ✝ ✠✎✍✌✎✌ ❴ ✝ ✝ ❪ ✍✆ ✖ ❪ ✍✝✆ ❜ ✞✖✆✏ ❛ ✠ ❴ ✝ ✎ ❜ ✆✏ ❜ ☞ ✡✞✍ ✎✞✆ ❪❵ ✎✆ ❴ ❜❴ ✖ ❪ ✍✍✎✏✝
✝✎✍✆ M ✛ ✏✠ ❴ ✍ ❜❴ ✝✝ ❪❜ ✆ ✞✍R❴i ❵ ☛✆✦ ❪ ☞ ❴ ✕ ❪ ✞ ❜ ☞☛✖✏☞✙❴❜✕ ✝✏ ✞✍ ❴ ω ✔✕ ✞✏✝✝✎✍✖ ❴ ❜ ✎✆✏ ❪ ✍✍ ❴ ✠✠ ❴✔
☞ ❪ ✍✍☛ ❴ i❴ ✝✆ ❴ ✍✌ ❴ ✍☞ ❜ ☛ ❴ ✕ ✎ ❜ ✞✍ ✖ ❪ ☞ ❴ ✕ ❜ ☛✑✜ ❴ ✒
✝ ✁ ✄ ✞ ☎ ✁ ✁ ✁ ✞✟ ✕✡ ✡ ☎ ☞ ✠ ✗✕✡ L ☛✏ ✞✒✏✎✒✎✌ ✑✒✡✕✗✏✏✌✞ ✌ ✁ ✏ ✔ ✌☛✡ ☞✠✖✕☞✌✑ ✍✕ Lω ✌✍✡
✌✏✎ ✌✏☞✑✠ ✔ ✒✑ ☛✏ ✖✗☞✌ ✔ ✑✠✄   ✌ ✌
✙ ✠ ✏ ✗✏✍✡✑✒✡✕✗✏ ✝ ✍ ✞✆✏✠✏✝ ❴ ✠✎ ❵ ☛✆✦ ❪ ☞ ❴ ✝✞✏ ❫ ✎✍✆ ❴ ✕ ❪ ✞ ❜ ☞☛✖✏☞ ❴❜ ✠✡❴ ✜✏✝✆ ❴ ✍✖ ❴ ☞ ❴ ✝ ✌☛✍☛ ✔
❜ ✎✆ ❴ ✞ ❜ ✝ ✖ ❪ ☞ ❴ ✝ ✕✌❜ ☛✑✜ ❴ ✝ ✚
❪ ✍ ✖✎✠✖✞✠❴ ✠❴ ✝ ✌☛✍☛ ❜ ✎✆ ❴ ✞ ❜ ✝ ❵ ✎✜✏❵ ✎✞✜
☞❴ ✒

✩ ✆ ☞✟✠✠
 

✙

✟✏

M1 , M2 , . . . , Mn

Lω


 
 

❪ ✍ ✖✎✠✖✞✠❴ ✠❴ ✝ ✠✎✍✌✎✌ ❴ ✝ R , R , . . . , R ✒
✝✡✏✠ ❴ ✜✏✝✆ ❴ R = L ✛ ✎✠ ❪❜ ✝ P = R \ R Σ ❴ ✝✆ ✞✍ ✌☛✍☛ ❜ ✎✆ ❴ ✞ ❜ ✖ ❪ ☞ ❴ ✕ ❜ ☛✑✜ ❴ ☞ ❴
✒ ✄ ✏✍ ❪ ✍ ✏✠ ✍ ✡✟ ❴ ✍ ✎ ✕ ✎✝✒
L
1

i

ω

ω

n

2

i

i

i

+

ω

✚☞
☎ ★☛☞ ✟ ✁ ✠ ✁ ✁✜ ❴❫ ✓✓ ✄ ✄ ❪ ✏✆
❵ ✎✜✏❵ ✎✞✜ ✚
 

✗ ❴ ✝ ✠✎✍✌✎✌ ❴ ✝ ✚

Σ =a+b

M1 = R1 = L + (ab)∗ a

❴ ✆ L = Σ (a
∗

❴✆

2

✒

+ b2 )Σ∗ Lω

✎ ❝ ✌☛✍☛ ❜ ✎✆ ❴ ✞ ❜ ✝

M2 = R2 = L + (ba)∗ b

P1 = R1 \ R1 Σ+ = a + b(ab)∗ a2 + b(ab)∗ b
P2 = R2 \ R2 Σ+ = b + a(ba)∗ b2 + a(ba)∗ a

✝ ❪ ✍✆ ☞ ❴ ✝ ✌☛✍☛ ❜ ✎✆ ❴ ✞ ❜ ✝ ✖ ❪ ☞ ❴ ✝ ✕ ❜ ☛✑✜ ❴ ✝ ☞ ❴ Lω ✒
❪ ✞✝ ✠✡✦✟ ✕ ❪ ✆✦✘✝ ❴ ✚ Lω ✎ ✞✍ ✕ ✠✞✝ ✌ ❜ ✎✍☞ ✌☛✍☛ ❜ ✎✆ ❴ ✞ ❜ ☞ ❪ ✍✆ ✠✎ ❜ ✎✖✏✍ ❴ ❴ ✝✆ ✞✍ ✖ ❪ ☞ ❴ ✛
❪ ✍ ✎ ✠❴ ❜ ☛✝✞✠✆✎✆ ✝✞✏❫✎✍✆ ✚
✄ ✂✂
✁ ✁ ✁ ✞ ✄ ☛✞ ✡   ✒☞ ✠ ✗✕✡ ✌✍✡ ☛✏ ✖✗☞✌ ✑✒✡✕✗✏✏✌✞ ✏✗✏ ✔ ✑✠✄   ✌ ✡✌✞ ☛✌ +
✌✍✡ ✞✌ ✔ ✞☛✍ ✎✑✒✏☞ ✎✠✏✠✑✒✡✌☛✑ ☞✌ C ωC✌   ✞ ✏✟✌  ✕✍✡✌ ✔ ✒✍ ☞✌ ✎✠✏✠✑✒✡✌☛✑ ✖✗☞✌ ✔ ✑✠✄   ✌C☞✌

✄

✡ ✆★✆ ✞ ✞✆☎ ✟ ✠ ✔

✚

Lω ✌

✚☞ ★☛☞ ✟ ✔ ✄

  ☎
✞✍ ✖ ❪ ☞ ❴ ✍ ❪ ✍ ❜ ☛✑✜ ❴ ❴ ✆ + = Stab(C ω ) ❴ ✝✆
✁ ✁ ❪ ✏✆
✠ ❴ ✕ ✠✞✝ ✌ ❜ ✎✍☞ ω ✔ ✌☛✍☛ ❜C✎✆ =
❴ ✞ ❜a ☞+❴ abC ω+✒ b2❪ ✍✖ ✏✠ ✍ ✡✟ ✎ ✕ ✎✝✕ ☞ ❴ ✖ ❪ ☞ ❴ ✕C❜ ☛✑✜
❴ ✤✞✏ ❴ ✍✌ ❴ ✍☞ ❜❴
✒
Lω

☛

✌ ✏✎

  ✂

✆ ✆

✜

☎

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✜
✎✍✝ ✖ ❴ ✆✆ ❴ ✝ ❴ ✖✆✏ ❪ ✍ ✛ ❪ ✍ ❫ ✎ ✖ ❪ ✍✝✏☞☛ ❜❴❜ ✠ ❴ ✕ ❜❪❛ ✠✘ ❵❴ ✕ ❪ ✞ ❜ ✠✎ ✖✠✎✝✝ ❴ ☞ ❴ ✝ ✖ ❪ ☞ ❴ ✝ ✙ ☞☛✠✎✏
❛❪❜ ✍☛✒ ✥ ❪ ✞ ❜ ✠✡✏✍✝✆✎✍✆✛ ✍ ❪ ✞✝ ✍ ❴ ❪ ✝✝☛☞ ❪ ✍✝ ✎✝ ❴ ✍✖ ❪❜❴ ✠✎ ✝ ❪ ✠✞✆✏❪ ✍ ✌☛✍☛ ❜ ✎✠❴ ❪ ✞ ❜ ✖ ❴

✕ ❴ ✤✞ ❴ ☞✎✍✝✕ ✠ ❴ ✖✎✝ ✆ ❜ ✘✝ ✎ ❜ ✆✏✖✞✠✏ ❴❜ ❪ ✧
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✕ ❴ ❴ ✝✆ ✞✍ ✖ ❪ ☞ ❴ ✒
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ω

✎ ✕✞✍ ✕ ✠✞✝

✡ ✙☞ ✠ ✗✕✡ ☛✏ ✖✗☞✌ ✑✒✡✕✗✏✏✌✞ ✚ ☛✕ ✏✟✌✍✡ ✔ ✒✍ ☞✠✞✒✕ ✙✗✑✏✠
✡✌✡✄✡✌✞✆★✆✚☛✌✂ ✞✂ ✞✆☎ ✌✍✡✟ ✁✔✞✌✁✠ ✁ ✞☛✍✞ ✄☛✞✎✑✒✏☞
✞ ✏✟ ✒ ✒✍ ☞✌ ✎✠✏✠✑✒✡✌☛✑ ✖✗☞✌
✎✠✏✠✑✒✡✌☛✑ ☞✌

✙

C+

✔

 

C

Cω ✌

 

✁

✔

✝

✝

☞✠✞✒✕ ✗✑✏✠ ☞✌ Lω ✌
  ☎
✞✍ ✖ ❪ ☞ ❴ ✍ ❪ ✍ ω ✔ ✖ ❪ ☞ ❴ ✛ ☞ ❪ ✍✖ ✖ ❴ ✍ ✡❴ ✝✆ ✕ ✎✝ ✞✍
✁ ✁ ❪ ✏✆
C = a + ab + b2
✖ ❪ ☞ ❴ ✙ ☞☛✠✎✏ ❛❪❜ ✍☛✒ C + = Stab(C ω ) ❴ ✝✆ ✠ ❴ ✕ ✠✞✝ ✌ ❜ ✎✍☞ ✌☛✍☛ ❜ ✎✆ ❴ ✞ ❜ ☞ ❴ C ω ✒ ✡✠ ❪❜ ✝ C ω
☞ ❴ ✌☛✍☛ ❜ ✎✆ ❴ ✞ ❜ ✖ ❪ ☞ ❴ ✙ ☞☛✠✎✏ ❛❪❜ ✍☛✒
✍ ✡✎ ✕ ✎✝
❭❪ ✞✝ ❜ ☛✝ ❴ ✍✆ ❪ ✍✝ ✏✖✏ ✞✍ ❴ ✖ ❪ ✍☞✏✆✏❪ ✍ ✍☛✖ ❴ ✝✝✎✏❜❴ ✕ ❪ ✞ ❜ ✤✞ ✡✞✍ ω✔ ✠✎✍✌✎✌ ❴ ✝ ❪ ✏✆ ❴ ✍✌ ❴ ✍ ✔
☞ ❜ ☛ ✕ ✎ ❜ ✞✍✕ ✖ ❪ ☞ ❴ ✙ ☞☛✠✎✏ ❛❪❜ ✍☛✒
✄ ✂✂
✁ ✁ ✁ ✞✠ ✡✒ ✟  ☞ ✠ ✗✕✡ ☛✏ ✞✒✏✎✒✎✌ ✑✒✡✕✗✏✏✌✞ ✌ ✠ ✕ ω ✌✍✡ ✌✏✎✌✏☞✑✠ ✔ ✒✑
☛✏ ✖✗☞✌ ✝ ☞✠✞✒✕ ✗✑✏✠✎ ✒✞✗✑✍ Lω ✌✍✡L☛✏ ✞✒✏✎✒✎✌ ✑✒✡✕✗✏✏✌✞ ☞✠✡✌✑L✏ ✕✏✕✍✡✌ ✌

✚☞ ★☛☞ ✟ ✟ ✄

✡ ✆★✆ ✞ ✞✆☎ ✟ ✙✔ ✔

✟✒


✚☞❴☎✒ ★☛☞✄✞ ✟❪✁✝✢❪✁ ✄❪✤✞✏✆ ❴

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✝
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✞
❴ ❴ ❵❪
❴
❴ ❜ ❴
✜❪
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❪ ❪ ❜ ❪
✄❴ ❪ ❜❪ ❪ ❪ ✎ ❝ ❝ ❴ ❴ ❴ ❜ ❜ ❪ ❴ ❛❪❜
✌ ✏ ✒✑✚ ☛✌ ✌ ✪ ❴ ✆✆ ❴ ✖ ❪ ✍☞✏✆✏ ❪ ✍ ✍ ✡❴ ✝✆ ✕ ✎✝ ✝✞   ✝✎✍✆ ❴ ✛ ✖✎ ❜ ✛ ✕ ✎ ❜ ❴ ✜ ❴❵ ✕ ✠ ❴ ✠✡ω ✔ ✠✎✍✌✎✌ ❴ (a +
❴ ✝✆ ✞✍ ❴ ✎☞✦☛ ❜❴ ✍✖ ❴ ✛ ☞ ❪ ✍✖ ✏✠ ❴ ✝✆ ☞☛✆ ❴❜❵ ✏✍✏✝✆ ❴ ✒ ✂ ✎✏✝ ✏✠ ✍ ❴ ✕ ❴ ✞✆ ✕ ✎✝ ✜ ✆ ❜❴
ab + b )
❴ ✍✌ ❴ ✍☞ ❜ ☛ ✕ ✎ ❜ ✞✍ ✖ ❪ ☞ ❴ ✙ ☞☛✠✎✏ ✝❴✜ ❴❵ ✕ ✠❴ ✎ ✒✎ ✞ ✒
✜ ✎✍✝ ✖✠❴❪❵❵❴
✖✎✝ ❪ ✧ L ❴ ✝✆ ✞✍ ✠✎✍✌✎✌ ❴ ✙ ☞☛✠✎✏ 0 ✛ ✏✠ ❴ ✜✏✝✆ ❴ ✆ ❪ ✞✟ ❪ ✞ ❜ ✝ ✞✍ ✌☛✍☛ ❜ ✎✆ ❴ ✞ ❜ ✖ ❪ ☞ ❴
☞☛✠✎✏

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✙
0
 

✛ ❪ ✍ ❫✎

✕ ✖✎
✔
L = b2 Σ ∗ + a
Lω
✝
✒
✎
✠
✆
☞✎✍✝
−
→
✍✏✝✆
✍✝
✍
ω
2
n
2
ω
1
L = R
u1 = b a

R
b a
✕✕ ✆
☞✎✍✝ −
☞✎✍✝
☞✎✍✝
✆
→ ✛✠
−
→ ✛ ✆✖✒ ✆ ✠✡
✖✎
2
n
n
2
n
ω
1
2
1
R
R
u2 = b a ba
R
b a ba
ω✔
✎ ✞✍ ✏✍✑✍✏✆☛ ☞ ✕ ☛✑✜ ✝ ☞✎✍✝ R ✒ ✍✖✛ w ✎ ✕✕ ✎ ✆✏ ✍✆ ✙ −
→✛
w = b2 an1 ban2 ban3 . . .
R

☞
✡
✧
✠✎
✎☞✏✖✆✏
✒
✛
✖
✍✆
✍
w∈
/ Lω
✠ ✍ ✠✎ ✕ ✕ ✝✏✆✏ ✍ ✒ ✒ ✛ Lω ✍ ✡ ✝✆ ✕ ✎✝ ✍✌ ✍☞ ☛ ✕ ✎ ✞✍ ✖ ☞ ✙ ☞☛✠✎✏ ✍☛✒
✁

2 ω

✂ ✞✂ ✞✆☎ ✟ ✁✔ ✁✟ ✁ ✞ ✙ ✌ ✍✡✡ ✄ ☛✞ ✡ ✙☞ ✠ ✗✕✡ ✌✍✡ ☛✏ ✞✒✏✎✒✎✌ ☞✠✞✒✕ ✙✗✑✏✠ ✁ ✞✌ ✖✗☞✌
✡✑✠✄✆★✆
✄
✌
✍ ✠✑✕✄ ✌
✔
✌
  ✚☞ ☎ ★☛☞ ✟ ✁✌ ✁ ✄ ❪ ✏✆
✛ ❪ ✍ ✕ ❴ ✞✆ ❫ ☛ ❜ ✏✑ ❴❜ ✤✞ ❴ ❴ ✝✆ ✙ ☞☛✠✎✏ ❛❪❜ ✍☛
✒ ✜ ❪ ✍✖
✎

 

 

✎

✝

L

P ω = Lω

P = L \ LΣ+

L = Σ∗ (a2 + b2 )Σ∗

Lω

0

P = L \ LΣ+ = (b + )(ab)∗ a2 + (a + )(ba)∗ b2

❴ ✝✆ ✞✍ ✌☛✍☛ ❜ ✎✆ ❴ ✞ ❜ ✖ ❪ ☞ ❴ ✕ ❜ ☛✑✜ ❴ ☞ ❴ L ✒
✜
✎✍✝ ✠ ❴ ✖✎✝ ✌☛✍☛ ❜ ✎✠✛ ❵ ✜ ❵❴ ✝✏ ❪ ✍ ✍ ❴ ✝✎✏✆ ✕ ✎✝ ☞☛✖✏☞ ❴❜ ✝✏ ✞✍ ω ✔ ✠✎✍✌✎✌ ❴ ❴ ✝✆ ❴ ✍✌ ❴ ✍☞ ❜ ☛
❜ ✞✍ ✖ ❪ ☞ ❴ ✙ ☞☛✠✎✏ ❛❪❜ ✍☛✛ ❪ ✍ ✝✎✏✆ ☞☛✖✏☞ ❴❜ ✝✏ ✖ ❴ ✠✞✏✔ ✖✏ ❴ ✝✆ ❴ ✍✌ ❴ ✍☞ ❜ ☛ ✕ ✎ ❜ ✞✍ ✠✎✍✌✎✌ ❴
✕ ✎☞☛✠✎✏✒
✪ ❴ ❜ ☛✝✞✠✆✎✆ ❴ ✝✆ ☞☛ ❵❪ ✍✆ ❜ ☛ ✕ ✎ ❜ ✁ ✒ ✜ ❴❫❪ ✠☞ ❴❜ ☞✎✍✝ ✁✜ ❴❫ ✓✓ ✄ ✒
✙
ω

☛

   

✜

ω

✑ ✠ ✌ ✆ ✏✎ ✏✍ ✠ ✌ ✆ ✏✎

✎✍✝ ✖ ❴ ✆✆ ❴ ✝ ❴ ✖✆✏ ❪ ✍ ✛ ✠ ❴ ✕ ❜❪❛ ✠✘ ❵❴ ❴ ✝✆ ✎ ❛❪❜ ☞☛ ✕ ❪ ✞ ❜ ✠✎ ✖✠✎✝✝ ❴ ☞ ❴ ✝ ω ✔ ✖ ❪ ☞ ❴ ✝ ❴ ✆ ✕ ❪ ✞ ❜
✖ ❴ ✠✠ ❴ ☞ ❴ ✝ ✖ ❪ ☞ ❴ ✝✒ ✥ ❪ ✞ ❜ ✠✡✏✍✝✆✎✍✆✛
✍ ❪ ✞✝ ✍ ✡✎❫❪ ✍✝ ✕ ✎✝ ☞ ❴ ✝ ❪ ✠✞✆✏ ❪ ✍ ✌☛✍☛ ❜ ✎✠ ❴ ✕ ❪ ✞ ❜ ✖ ❴ ✝ ☞ ❴ ✞✜
❜❪❛
✠✘
❵❴
✝✒
✕ ✣❪ ✞✟ ❪ ✞ ❜ ✝ ✝ ❪ ✞✝ ✠✡✦✟ ❪ ✆✦✘✝ ❴ ✚ ✎ ✠✞✝ ✌ ❜ ✎✍☞ ✌☛✍☛ ❜ ✎✆ ❴ ✞ ❜ ☞ ❪ ✍✆ ✠✎ ❜ ✎✖✏✍ ❴ ❴ ✝✆ ✞✍
ω
✖ ❪ ☞ ❴ ✛ ✠✎ ❜ ☛ ✕ ❪ ✍✝ ❴ ✕ ❪ ✞ ❜ ✕✠ ❴ ✝ ω ✔ ✖ ❪ ☞ ❴L✝ ❴ ✝✆ ✠✎✕ ✝✞✏ ❫ ✎✍✆ ❴ ✚
✄ ✂✂
✁ ✁ ✁ ✞ ✄ ✟ ✂ ✡  ☞ ✠ ✗✕✡ ☛✏ ✖✗☞✌ ✑✒✡✕✗✏✏✌✞ ✏✗✏ ✖✗☞✌ ✡✌✞ ☛✌ + ✌✍✡
✞✌ ✔ ✞☛✍ ✎✑✒✏☞ ✎✠✏✠✑✒✡✌☛✑ ☞✌ C ω ✌   ✞ C✏✟✌  ✕✍✡✌ ✔ ✒✍ ☞✌ ✎ ✠✏✠✑✒✡✌☛✑ωω✓ ✓ ✖✗☞✌ ☞✌ C ω C✌
  ☎
✞✍ ✖ ❪ ☞ ❴ ✍ ❪ ✍ ω ✔ ✖ ❪ ☞ ❴ ❴ ✆ C + = Stab(C ω ) ❴ ✝✆ ✠ ❴
✁✂ ✁ ❪ ✏✆
C = a + ab + b2
✒
✡✠
❪❜

✝✛
✠✞✝
✌
❜
✎✍☞
✌☛✍☛
❜
✎✆
❴
✞
❜
☞
❴
✍ ✡✎ ✕ ✎✝ ☞ ❴ ✌☛✍☛ ❜ ✎✆ ❴ ✞ ❜ ω ✔ ✖ ❪ ☞ ❴ ✒
Cω
Cω
✕
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☛✏ ✞✒✏✎✒✎✌ ✡✌✞ ☛✌ Rac(Stab(Lω )) ✌✍✡ ☛✏ ✖✗☞✌ ✌
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L
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Lω

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G
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❴ ✆ L = Σ∗a2 ✒ ✝ ✍ ✎ Stab(Lω ) = Σ+ ✛ ☞ ❪ ✍✖ Lω ❴ ✝✆
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Σ = a+b
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L \ LΣ+ = (b + )(ab)∗ a2

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✝ ✍ ✝✡✏✍✆☛ ❜❴ ✝✝ ❴ ✙ ✖ ❴ ✆✆ ❴ ✦✟ ✕ ❪ ✆✦✘✝ ❴ ✖✎ ❜ ✚
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✝✥ ❜❪ ❪✝✏✆✏❪✍ ✎ ✒❝ ✒✟✞ ✛ ✞✍ ✔✖❪❴☞✝✛❴ ✠✝❴✥✝ ❜❪✖❪✕☞❪❴✝✏✆✏✞❪❜✍✝✛✎✠✒❴✎✝✒✟✞✖❪✒☞✪❴✝❴✠✎✖✏❜✖✞✠✎✏
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☞ ✡✞✍ ✌☛✍☛ ❜ ✎✆ ❴ ✞ ❜ ω ✔ ✖ ❪ ☞ ❴ ✑✍✏✒
✄ ✂✂
✁ ✁ ✁ ✞ ✄ ☛✞ ✡   ☞ ✠ ✗✕✡ ☛✏ ✞✒✏✎✒✎✌ ✝ ☞✠✞✒✕ ✗✑✏✠ ✡✌✞ ☛✌ + ✌✍✡ ✞✌
L
L
✔ ✞☛✍ ✎✑✒✏☞ ✎✠✏✠✑✒✡✌☛✑ ☞✌ Lω ✌ ✠ ✕ Lω ✌✍✡ ☛✏✌ ✒☞ ✠✑✌✏✖✌✎ ✒✞✗✑✍ ✖ ✒ ☛✌ ✖✗☞✌ C ✡✌✞ ☛✌
✌✍✡ ☛✏ ω ✓ ✖✗☞✌ ✄ ✏✕ ✌
C ω = Lω
✍ ✞✆✏✠✏✝✎✍✆ ✖ ❴ ❜ ☛✝✞✠✆✎✆✛ ✍ ❪ ✞✝ ✎✠✠ ❪ ✍✝ ❜❪ ✞ ❫❴❜ ✤✞ ❴ ✠ ❴ ✝ ✠✎✍✌✎✌ ❴ ✝ ☞ ❴ ✝ ❴ ✜ ❴❵ ✕ ✠ ❴ ✝
✝✞✏ ❫ ✎✍✆✝ ✍ ❴ ✝ ❪ ✍✆ ✕ ✎✝ ❴ ✍✌ ❴ ✍☞ ❜ ☛✝ ✕ ✎ ❜ ✞✍ ✖ ❪ ☞✕❴ ✒
  ☎
✞✍ ✠✎✍✌✎✌ ❴ ✙ ☞☛✠✎✏ ❛❪❜ ✍☛ 1 ✒ ✝ ✍ ✎
✁ ✁ ❪ ✏✆
L = a2 + a3 + ba + b
✤✞✏
❴
✝✆
✠
❴
✠✞✝
✌
❜
✎✍☞
✌☛✍☛
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❴
✞
❜ ✒ ✝ ✍ ✝✞ ✕✕ ❪ ✝ ❴ ✤✞ ❴ ✠✡ω✔ ✖ ❪ ☞ ❴ W ❴ ✝✆
Stab(Lω ) = L+

✕
✌☛✍☛ ❜ ✎✆ ❴ ✞ ❜ ☞ ❴ Lω ✒
✛ ✏✠ ❴ ✜✏✝✆ ❴ ✞✍ ❴ ✍✆✏ ❴❜ i > 1 ✆ ❴ ✠ ✤✞ ❴ ai ∈ W ✒
  ✖ ❪❵❵❴ aω ∈ Lω ❴ ✆ (ab)ω ∈
/ Lω
❪❵❵❴
✏✠
❴
✜✏✝✆
❴
✞✍ ❴ ✍✆✏ ❴❜ i ≥ 0 ✆ ❴ ✠0✤✞ ❴ ai abai ∈ W ✒
✖
✛
 
ai abaω ∈ W ω

✝

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✄

✝

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✞

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0

0

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1

0

1


 

✖ ❪❵❵❴ ai abai abaω ∈ W ω ✛ ✏✠ ❴ ✜✏✝✆ ❴ ✞✍ ❴ ✍✆✏ ❴❜ i
0

1

2

≥0

✆ ❴ ✠ ✤✞ ❴ ✚

ai0 abai1 abai2 ∈ W

❴ ✆ ✎✏✍✝✏ ☞ ❴ ✝✞✏✆ ❴ ✛ ❪ ✍ ❪❛ ✆✏❴ ✍✆ ✞✍ ❴ ✝✞✏✆ ❴ ✏✍✑✍✏❴ (i ) ✒
✛ ☞ ❪ ✍✖ ✏✠ ✍ ✡✟ ✎ ✎✝ ☞ ✡ ✖ ❪ ☞ ❴ ✑✍✏ ✤✞✏ ❴ ✍✌ ❴ ✍☞ ❜❴ ✁✁ ✞✠ ✓ ❡❛ ✄ ✒
✄❴✠❪✝✍ ✍✠✎✎ ✕card(W
❜❪ ✕ ❪ ✝✏✆✏)❪ ✍= ✑∞✒✟ ✒✟ ✛ ✏✠ ✍ ✡❴✜✏✝✆ ❴ ✕✕✎✝ ☞ ❴ ω✖ ❪✔☞ ❴ C ✆ ❴ ✠ ✤✞ ❴ C = L ✒L
  ✚☞ ☎ ★☛☞ ✢ ✁✔ ✁ ✄ ❪ ✏✆
✞✍ ✠✎✍✌✎✌ ❴ ✙ ☞☛✠✎✏ ❛❪❜ ✍☛ 2 ✒ ✆ ✆
L = a + a + aba + aba
❴
✝✆
✠
❴
✠✞✝
✌
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✌☛✍☛
❜

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❴
✞
❜
☞
❴
✁✜ ❴❫ ✓✓ ✄ ✒
Stab(L ) = L
L
✆
✎ ❜ ✆✏ ❜ ☞ ❴ a +a +ba+b
✍ ❴ ✍ ❴ ✆✛ ❪ ✍ ✕ ❴ ✞✆ ❪❛✕✆ ❴ ✍✏ ❜ ✠ ❴ ✠✎✍✌✎✌ ❴ a +a +aba+aba
✙
✕
❴ ✍ ✎ ✕✕ ✠✏✤✞✎✍✆ ✠❴ ❵❪❜ ✕ ✦✏✝❵❴ f ✚
❴ ✆ b → aba
a→a
✜ ❪✍✖✛ ❪✍ ✖❪✍✝✏☞✘❴❜❴✆ ✠❴✎✞✝✝✏
✞✍ ❴ ✝✞✏✆ ❴ ✏✍✑✍✏ ❴ ☞ ❴ ❵❪ ✆✝ ❴ ✍ ✞✆✏✠✏✝✎✍✆ ✖ ❴ ✠✠ ❴ ☞✞ ✠✎✍✌✎✌ ❴
❵❪❜ ✕ ✦✏✝❵❴ f ✚
a + a + ba + b
 

j j≥0

ω

ω

2

ω

3

2

ω

+

2

2

ω

3

2

2

3

3

✆ ✍ ✖❪✍✝☛✤✞ ❴✍✖❴ ✛ ✍ ✡✎ ✕ ✎✝ ☞ ❴ ✌☛✍☛❜✎✆❴✞ ❜ ✖❪ ☞ ❴ ✒
  ✚☞ ☎ ★☛☞ ✢ ✁✟ ✁ ✄ ❪ ✏✆
✞✍ ✠✎✍✌✎✌ ❴ ✙ ☞☛✠✎✏ ❛❪❜ ✍☛ ✒ ✝ ✍ ✎

✝
✤✞✏ ❴ ✝✆ ✠ ❴ ✠✞✝ ✌ ❜ ✎✍☞ ✌☛✍☛ ❜ ✎✆ ❴ ✞ ❜ ✒ ✍ ✝✎✏✆ ✤✞ ❴ ✍ ❴ ❴ ✞✆ ✎✝ ✜ ✆ ❜❴ ❴ ✍✌ ❴ ✍☞ ❜ ☛ ✎ ❜
✞✍ ✔ ✖ ❪ ☞ ❴ ✁✡✞✌✕ ✓✏ ✄ ✒ ✜ ❪ ✍✖ ✝ ❴ ✠ ❪ ✍ ✠✎ ✕ ❜❪ ✕ ❪ ✝✏✆✏ ❪ ✍ ✑ ✒ ✟ ✒ ✟ ✛ ✕✍ ✡✎ ✕ ✎✝✕ ☞ ❴ ✌☛✍☛ ❜ ✎✆ ❴ ✞ ❜ ✖ ❪✕☞ ❴ ✒
ai0 abai1 . . . abain

ai0 a2 baai1 . . . a2 baain

→

Lω

L = a + ab + bab

1

L+

☛

Stab(Lω ) =

L

Lω

ω

  ✏ ✂ ✟☎ ✎✍ ☎ ✁ ✂ ✏ ☎ ✌ ✂ ✟ ✍ ✟ ✌ ✂ ✂ ✏ ✟ ✂ ✖ ✗ ✞ ✖ ✞✟ ✕✍✏ ✂ ✟ ✠ ✌ ✆ ✏
✜ ✎✍✝ ✖❴✆✆❴ ✝❴✖✆✏❪✍ ✛ ✍ ❪✞✝ ☛✆✞☞✏❪✍✝ ☞ ❴✝ ❴✜ ❴❵ ✠❴✝ ☞ ✡ ✞✏✝✝✎✍✖❴✝ ❜✎✆✏❪✍✍ ❴✠✠❴✝✛
❪ ✧ ✠❴ ✝ ❜ ☛✝✞✠✆✎✆✝ ❴✜✏✝✆✎✍✆✝ ✍ ❴ ✍ ❪ ✞✝ ✕ ❴❜❵❴ ✆✆ ❴ ✍✆ ✕ ✎✝✕ ☞ ❴ ✆ ❜❪ω✞✔✕❫❴❜ ✞✍ ✌☛✍☛ ❜ ✎✆ ❴ ✞ ❜ ✖ ❪ ☞ ❴ ✒

✆❵✍☛✆✦✌☛✍☛❪ ☞ ❴❜✎✠✏✝✎✍✆
✖ ❴ ✝ ❴ ✜ ❴❵ ✕ ✠ ❴ ✝✛ ✍ ❪ ✞✝ ❪❛ ✆ ❴ ✍ ❪ ✍✝ ✞✍ ❴ ✦ ❴ ✞ ❜ ✏✝✆✏✤✞ ❴ ✚ ✖ ❴ ✍ ✡❴ ✝✆ ✕ ✎✝ ✞✍ ❴
❪ ✞ ❜ ❜ ☛✝ ❪ ✞☞ ❜❴ ✠❴ ❜❪❛ ✠✘ ❵❴ ✛ ❵ ✎✏✝ ☞✎✍✝ ✆ ❪ ✞✝ ✠❴ ✝ ✖✎✝ ❪ ✧ ❪ ✍ ✎ ✝✞ ✕ ❜❪ ☞✞✏❜❴
☞ ❴ ✝ ✌☛✍☛ ❜ ✎✆✕ ❴ ✞ ❜ ✝ ✖ ❪ ☞ ❴ ✝✛ ✖ ❴ ✆✆ ❴✕ ❵ ☛✆✦ ❪ ☞ ❴ ✕ ❴❜❵❴ ✆ ☞ ❴ ✠ ❴ ✝ ❜❴ ✆ ❜❪ ✞ ❫❴❜ ✒
✗ ✡✏☞☛ ❴ ☞ ❴ ✠✡✦ ❴ ✞ ❜ ✏✝✆✏✤✞ ❴ ❴ ✝✆ ☞ ❴ ✆ ❜ ✎✍✝✠ ❪❜❵❴❜ ✞✍ ✌☛✍☛ ❜ ✎✆ ❴ ✞ ❜ L ✕ ❪ ✞ ❜ ❪❛ ✆ ❴ ✍✏ ❜ ✞✍ ✎✞✆ ❜❴
✌☛✍☛ ❜ ✎✆ ❴ ✞ ❜ L ✎✟✎✍✆ ☞ ❴ ✝ ✕ ❜❪ ✕ ❜ ✏☛✆☛✝ ✕ ❜❪ ✖✦ ❴ ✝ ☞ ❴ ✖ ❴ ✠✠ ❴ ✝ ☞ ❴ ✝ ✖ ❪ ☞ ❴ ✝✒ ✥✞✏✝✛ ❪ ✍ ✖ ❪ ✍✆✏✍✞ ❴
✎❫❴ ✖ L ✛ ❴ ✆✖✒ ✗ ❴ ✕ ❜❪ ✖ ❴ ✝✝✞✝ ✝ ❴ ✕ ❪ ✞ ❜ ✝✞✏✆ ✟✞✝✤✞ ✡✙ ✖ ❴ ✤✞ ❴ ✠✡❪ ✍ ✆ ❜❪ ✞ ❫❴ ✞✍ ✖ ❪ ☞ ❴ ✒
✝ ✍ ✝✡✏✍✆☛ ❜❴ ✝✝ ❴ ✙ ❝ ✆ ❜ ✎✍✝✠ ❪❜❵ ✎✆✏ ❪ ✍✝ ✝✞ ❜ ✠ ❴ ✝ ✌☛✍☛ ❜ ✎✆ ❴ ✞ ❜ ✝ ✚
✟✒ ✝✏❵ ✕ ✠✏✑ ❴❜ ✠❴ ✠✎✍✌✎✌ ❴ L
❝ ✒ ❴ ✍✠❴❫❴❜ ✠❴ ✝ ❵❪ ✆✝ ☞✎✍✝ ✠✎ ✕ ✎ ❜ ✆✏❴ ✎ ❵❛ ✏✌✞ ✄ A(L) ☞ ❴ L ✛ ❪ ✧ ✚
☎ ✂

A(L) = {u ∈ L | uω ∈ (L \ {u})ω }

✗✎ ✕ ❜❴❵ ✏✘ ❜❴ ✆ ❜ ✎✍✝✠ ❪❜❵ ✎✆✏ ❪ ✍ ❴ ✝✆ ✟✞✝✆✏✑☛ ❴ ✕ ✎ ❜ ✠✎ ❵ ✏✍✏ ❵ ✎✠✏✆☛ ☞✞ ✌☛✍☛ ❜ ✎✆ ❴ ✞ ❜ ✖ ❪ ☞ ❴ ✛
✠✎ ☞ ❴ ✞✜✏✘ ❵❴ ✕ ✎ ❜ ✠✡✞✍✏✖✏✆☛ ☞ ❴ ✠✎ ✠✎✖✆ ❪❜ ✏✝✎✆✏ ❪ ✍ ☞ ❴ ✖ ❴❜ ✆✎✏✍✝ ❵❪ ✆✝ ✕ ☛ ❜ ✏ ❪ ☞✏✤✞ ❴ ✝✒
✪ ❪❵❵❴ ✠ ❴ ✠✎✍✌✎✌ ❴ P rem(L) = L \ LL+ ❴ ✝✆ ✞✍ ✌☛✍☛ ❜ ✎✆ ❴ ✞ ❜ ☞ ❴ Lω ✛ P rem(L)
✍ ❪ ✞✝ ✕ ❴❜❵❴ ✆ ☞ ❴ ✝✏ ❵ ✕ ✠✏✑ ❴❜ ✠ ❴ ✠✎✍✌✎✌ ❴ L ✒ ✗ ❴ ✝ ✠✎✍✌✎✌ ❴ ✝ P rem(L) ❴ ✆ L \ LStab(Lω )
❪ ✍✆ ✠❴ ✝ ✕ ❜❪ ✕ ❜ ✏☛✆☛✝ ✝✞✏❫✎✍✆ ❴ ✝ ✚
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L

✡ ✆★✆ ✞ ✞✆☎ ✢ ✔ ✠

☎ ✌ L \ LStab(Lω ) ⊆ P rem(L) ✌

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