Một áp dụng của biểu thức truy hồi trong giải toán

Tr

ng THPT Nguy n ình Chi u ậ M Tho

N m h c: 2015 ậ 2016

M T ÁP D NG C A BI U TH C TRUY H I TRONG GI I TOÁN
Biên so n: Trung Nguy n
Trong bài vi t này, tôi xin trình bày s l
ph

tv

nh lí Viète trong

ng trình b c hai, b c ba và h th c truy h i, sau đó áp d ng

vào gi i m t s bài toán quen thu c.
1. NH Lụ VIỆTE TRONG PH
H TH C TRUY H I.
1.1.

nh lí Viète trong ph

 N u ph

NG TRỊNH B C HAI, B C BA VÀ

ng trình b c hai.

ng trình b c hai ax2  bx  c  0  a  0  có hai nghi m x1 , x2 thì

b

S
x
x



1
2

a
.

c
 P  x .x 
1 2

a
Ng

c l i, n u hai s Q x1 , x2 th a x1  x2  S, x1.x2  P thì x1 , x2 là nghi m

c a ph

ng trình x2  Sx  P  0 .

 Cho ph

ng trình b c hai ax2  bx  c  0  a  0  có hai nghi m x1 , x2 .

t Sn  x1n  x2n , n 

*

thì ta có aSn 2  bSn1  cSn  0

H th c (1) g i là h th c truy h i.
N u x1.x2  0 , ta quy

c S0  2 thì (1) đúng v i m i n .

Th t v y, ta có

Sn 2  x1n2  x2n2   x1n1  x2n1   x1  x2   x1 x2  x1n  x2n 
 b  c
  x1n1  x2n1      x1n  x2n 
 a  a
c
b
Sn1  Sn

a
a
Nhân hai v cho a và chuy n v ta có (1).
Trang: 1

(1)

Tr
1.2.

ng THPT Nguy n ình Chi u ậ M Tho
nh lí Viète trong ph

 N u ph

N m h c: 2015 ậ 2016

ng trình b c ba.

ng trình b c ba ax3  bx2  cx  d  0  a  0  có ba nghi m

x1 , x2 , x3 thì

b


x

x

x
1
2
3

a


c

 x1 x2  x2 x3  x3 x1 
a

d

 x1 x2 x3   a

 Cho ph

ng trình b c ba ax3  bx2  cx  d  0  a  0  có ba nghi m

x1 , x2 , x3 .

t Sn  x1n  x2n  x3n , n 

*

thì ta có aSn3  bSn 2  cSn1  dSn  0

(2)

H th c (2) g i là h th c truy h i.
N u x1.x2 .x3  0 , ta quy
2.

c S0  3 thì (1) đúng v i m i n .

NG D NG TRONG GI I TOÁN.
D ng 1. TệNH GIÁ TR BI U TH C.
Ví d 1. Cho x1 , x2 là hai nghi m c a ph

Không gi i ph

ng trình x2  2 x  6  0 .

ng trình hãy tính giá tr c a bi u th c A 

1
1
 7.
7
x1 x2

Phân tích
V i s h tr c a máy tính c m tay (ti p theo s vi t t t là: MTCT), vi c tính
giá tr c a A là đ n gi n. Tuy nhiên, vi c tính toán sao cho khoa h c c ng nh
khi cho l y th a cao h n thì bài toán s khó kh n h n nhi u.

Trang: 2


Tr

ng THPT Nguy n ình Chi u ậ M Tho

N m h c: 2015 ậ 2016

Trong d y h c, b n thân tôi đã cho h c sinh tính đ n S4 và đ n S5 thì không
ph i em nào c ng th c hi n đ

c b ng công c đ i s bình th

ng (khai tri n

l y th a).
Vi c xây d ng h th c truy h i và tính toán k t h p v i MTCT là gi i quy t
khéo léo nh t.
H

ng d n
t Sn  x1n  x2n , n 

thì ta có Sn2  2Sn1  6Sn .

(3)

Theo đ nh lý Viète ta có S0  2, S1  2, P  6 .
Theo (3) ta có S2  16, S3  44, S4  184, S5  632, S6  2368, S7  8528.
(S d ng MTCT Casio 570VN Plus: 2=;2=;nh p 2Ans+6PreAns,=…)
Khi đó A 

S7 8528 533


.
P 7  67 17496

Ví d 2. (Trích đ thi ch n H c sinh gi i L p 12, t nh Ti n Giang,
n m h c 2014 – 2015, B ng A)
Không gi i ph

ng trình b c ba x3  3x  1  0 , hãy tính t ng các l y

th a b c 8 c a ba nghi m đó.

H

ng d n

Bài toán này có nhi u h

ng gi i. Trong khuôn kh bài này, tôi xin đ ngh

hai cách gi i nh sau.
Cách 1. S d ng h th c truy h i (2).
t Sn  x1n  x2n  x3n , n 

thì ta có Sn3  3Sn1  Sn .

Theo đ nh lí Viète ta có:

S0  3; S1  0; S2   x1  x2  x2   2  x1x2  x2 x3  x3 x1   6
2

Trang: 3

(4)

Tr

ng THPT Nguy n ình Chi u ậ M Tho

T đó ta tính đ

N m h c: 2015 ậ 2016

c S3  3S1  S0  3; S4  3S2  S1  18;...; S8  186.

Ho c phân tích :
S8  3S6  S5  3(3S4  S3 )  (3S3  S2 )  ...  28S2  27 S1  6S0  186

Cách 2. Phơn tích l y th a.
Ta có

x3  3x  1
 x4  x  3x  1
 x8  x2  3x  1  x  9 x3  6 x2  x
2

 


 x8  x 9  3x  1  6 x2  x
  x3 

 x8  6 x3  28 x2  9 x  6  3x  1  28 x2  9 x

 x8  28 x2  27 x  6
Do đó

x18  x28  x38  28  x12  x22  x32   27  x1  x2  x3   18
 28S2  27 S1  18  186
V i cách gi i th 2, n i dung bi u th c truy h i không th y rõ, nh ng l i là
ph

ng pháp t duy r t t t cho h c sinh.

Ví d 3. Không s d ng máy tính, tính giá tr c a bi u th c



 
9

B 2 3  2 3

Phân tích

Trang: 4



9


Tr

ng THPT Nguy n ình Chi u ậ M Tho

Bài toán này tho t nhìn, h c sinh s gi i theo h

N m h c: 2015 ậ 2016

ng khai tri n l y th a t

th p đ n cao, th c hi n tính toán trên gi y.



 

 





Tuy nhiên, n u đ ý l i, ta th y 2  3  2  3  4; 2  3 2  3  1
do đó ta có th xây d ng ph

ng trình b c hai đ gi i quy t b ng bi u th c truy

h i (1).
H

ng d n









t 2  3  x1, 2  3  x2 thì x1  x2  4, x1.x2  1 .
Do đó, x1 , x2 là nghi m c a ph
t Sn  x1n  x2n , n 
Ta tính đ

ng trình x2  4 x  1  0 .

thì ta có Sn 2  4Sn1  Sn .

c S0  2; S1  4;...; S9  140452.

Do đó B  S9  140452 .

D ng 2. ÁP D NG TRONG CÁC BÀI TOÁN S



Ví d 4. Ch ng minh r ng Sn  3  2 2

H C.

  3  2 2  , n

n

n

, là s

nguyên và Sn không chia h t cho 5 v i m i n .

Phân tích
V i gi thi t này, chúng ta có th ki m tra d dàng m t vài giá tr đ u
S0 , S1 , S2 ,... là s nguyên và không chia h t cho 5. Do đó, ta th y có th s d ng

ph

ng pháp ch ng minh quy n p đ gi i quy t bài toán.
V i ph

ng pháp quy n p, ta l i c n liên h gi a Sk và Sk 1 (trong gi thi t

quy n p). Do đó, n y sinh ý t

ng xây d ng công th c truy h i cho Sn .
Trang: 5


Tr
H

ng THPT Nguy n ình Chi u ậ M Tho

N m h c: 2015 ậ 2016

ng d n
t x1  3  2 2 , x2  3  2 2 thì x1  x2  6, x1 x2  1 đó đó x1 , x2 là hai

nghi m c a ph

ng trình x2  6 x  1  0 .

Khi đó theo h th c (1) ta có Sn 2  6Sn1  Sn .
1. Ta ch ng minh Sn nguyên b ng quy n p.
D th y, S0  2; S1  6 nguyên.
Gi s Sk ; Sk 1 nguyên ta có Sk  2  6Sk 1  Sk nên Sk  2 nguyên, m i k  0 .
2. Ta ch ng minh Sn không chia h t cho 5 v i m i n.
T

ng t trên, ta c ng có Sn2  6Sn1  Sn  35Sn  5Sn1  Sn1 .

Suy ra Sn2   Sn1 mod5 .
Suy ra Sn   Sn3  Sn6   Sn9  ...mod5 .
Do đó, áp d ng ph

ng pháp quy n p, ta có S1  6, S2  34, S3  198 không

chia h t cho 5 nên Sn  n

 không chia h

t cho 5.

Ví d 5. Tìm s nguyên l n nh t không v



t quá 5  2 6



11

.

Phân tích
Khi s d ng MTCT đ b m tr c ti p thì k t qu tràn màn hình, và s d ng
các k thu t MTCT đ x lý tràn màn hình ta v n thu đ

c k t qu . Tuy nhiên,

rõ ràng không th áp d ng n u bài toán không cho phép s d ng MTCT.
H

ng d n
t x1  5  2 6, x2  5  2 6 thì x1  x2  10, x1 x2  1. Ta có x1 , x2 là nghi m

c a x2  10 x  1  0 .

Trang: 6


Tr

ng THPT Nguy n ình Chi u ậ M Tho

t Sn  x1n  x2n thì Sn 2  10Sn1  Sn . Ta tính đ

N m h c: 2015 ậ 2016

c

S0  2; S1  10, S2  98,...,
S9  912.670.090, S10  9.034.502.498, S11  10 S10  S9  89.432.354.890



Mà 0  x111  5  2 6



11

1

11
Suy ra 89.432.354.889  x11
2  89.432.354.890  x1  89.432.354.890 .

V y: S nguyên l n nh t không v



t quá 5  2 6



Ví d 6. Tìm ch s t n cùng c a s  5  3 3




2015

là ph n nguyên c a x – s nguyên l n nh t không v



11

là 89.432.354.889.

 . (Ký hi u x , x
 

t quá x).

Phân tích
ý

r ng

bi u

th c

liên

h p

5  3 3  x2   1;0  .

Do

0  Sn  x1n  Sn  1 .
H

ng d n
t x1  5  3 3, x2  5  3 3. Suy ra x1  x2  10, x1 .x2  2 .
Do đó x1 , x2 là nghi m c a x2  10 x  2  0 .
t Sn  x1n  x2n thì Sn2  10Sn1  2Sn .
Ta có: S0  2; S1  10; S2  96; S3  940;...
Ta có: 1  x2  0 . Suy ra 0  Sn  x1n  Sn  x2n  Sn  1. Do đó:  x1n   Sn .
B ng quy n p ta ch ng minh đ

c Sn  0mod10 n u n l .

Suy ra S2015  0mod10 .

Trang: 7

đó

Tr



ng THPT Nguy n ình Chi u ậ M Tho

V y:  5  3 3




2015

N m h c: 2015 ậ 2016

   x2015   S  0mod10 , ngh a là ch s t n cùng là 0.
2015
  1 

Trang: 8


Tr

ng THPT Nguy n ình Chi u ậ M Tho

N m h c: 2015 ậ 2016

Ví d 7. Tìm đa th c b c 9 có h s nguyên và nh n m  9

4 99
làm

9
4

nghi m.

H

ng d n
t x1  9

c a ph

4
9
, x2  9 . Suy ra x1  x2  m, x1.x2  1 . Do đó x1 , x2 là nghi m
9
4

ng trình x2  mx  1  0 .
t Sn  x1n  x2n thì Sn2  mSn1  Sn .

Ta tính đ

c

S0  2; S1  m; S2  m2  2;

S3  mS2  S1  m m2  2    m  m3  3m

....
S9  m9  9m7  27m5  30m3  5m
Ta l i có S9  x19  x29 

4 9 97
  .
9 4 36

Suy ra S9  m9  9m7  27m5  30m3  5m 

97
36

Hay 36m9  324m7  972m5  1080m3  108m  97  0
Suy ra m là nghi m c a ph

ng trình h s nguyên

36 x9  324 x7  972 x5  1080 x3  108x  97  0
V y: P  x  36 x9  324 x7  972 x5  1080 x3  108x  97 là đa th c c n tìm.

Trang: 9


Tr

ng THPT Nguy n ình Chi u ậ M Tho

N m h c: 2015 ậ 2016

D ng 3. ÁP D NG VÀO DÃY S .

un 

Ví d 8. Cho dãy s

xác đ nh nh sau

u1  6, u2  40, un 2  6un1  2un , n  1 .

a) Xác đ nh s h ng t ng quát c a dãy s .
b) Ch ng minh u2k chia h t cho 2k1 v i m i k
c) Ch ng minh r ng v i m i k

*

*

.

thì u2 k 1 chia h t cho 2 k và

không chia h t cho 2k1 .

Phân tích
Vi c xác đ nh s h ng t ng quát c a dãy s cho b i bi u th c truy h i tuy n
tính là đ n gi n. S d ng ph

ng trình đ c tr ng và công th c nghi m ta có k t

qu .
H

ng d n
a) Xét ph

ng trình đ c tr ng x2  6 x  2  0 có hai nghi m x1,2  3







n



n

nên un  a 3  11  b 3  11 .
T đây và u1  6; u2  40 suy ra a=b=1.



 



n

n

V y un  3  11  3  11 .
b) V i m i k



*

, ta có

  3  11   20  6 11   20  6 11 
 2 10  3 11   10  3 11  



u2 k  3  11
k

2k

2k

k

k

k

Trang: 10

k

11


Tr

ng THPT Nguy n ình Chi u ậ M Tho

Suy ra u2k chia h t cho 2 k .



 
k

Sk  10  3 11  10  3 11



N m h c: 2015 ậ 2016

k t thúc bài toán ta c n ch ng minh

k

chia h t cho 2.

Th t v y, 10  3 11, 10  3 11 là hai nghi m c a x2  20 x  1  0 nên ta có
Sk 2  20Sk 1  Sk . V i S1  20; S2  398 s d ng ph

ng pháp quy n p ta suy ra

Sk chia h t cho 2 v i m i k.

V y: u2 k 2k1 .
Chú ý r ng t đơy ta có kh ng đ nh u2k  2k1. A, A .
c) S d ng ph

ng pháp quy n p toán h c.

D th y, k=1 thì u1  6 chia h t cho 21 nh ng không chia h t cho 211  4 .
Gi s kh ng đ nh đúng v i k=m>1, ngh a là u2m1  2m.B v i B nguyên và
không chia h t cho 2 (B nguyên, l ). Ta s ch ng minh kh ng đ nh đúng v i
k=m+1.
Th t v y, u2( m1)1  u2 m1  6u2 m  2u2 m1  6  2m1. A  2  2m.B  2m1  6 A  B
Mà 6A B nguyên, l nên u2 m1 chia h t cho 2m1 mà không chia h t cho 2m 2 .
V y có đi u c n ch ng minh.

Trang: 11


Tr

ng THPT Nguy n ình Chi u ậ M Tho

N m h c: 2015 ậ 2016

Ví d 9. (Trích đ thi ch n h c sinh gi i L p 12, t nh Ti n Giang, n m
h c 2014 – 2015, B ng A)



Tìm lim un v i un  2  2



(kí hi u x  x   x là ph n l c a x).

n

Phân tích
Bài toán này khá hay và vi c áp d ng Viète h u nh không t
các ví d đã nêu

ph n tr

ng minh nh

c. Tuy nhiên đ ý l i bi u th c liên h p 2  2 g i

ý ta s d ng đánh giá nh trong Ví d 6 và t đó có th tính đ

c gi i h n c a

dãy.
H

ng d n
t x1  2  2 , x2  2  2 thì x1 , x2 là nghi m c a x2  4 x  2  0 .
t Sn  x1n  x2n thì Sn2  4Sn1  2Sn , n

*

.

Ta có S1  4, S2  12 là các s nguyên nên b ng quy n p ta ch ng minh đ
Sn nguyên v i m i n.



Ta có 0  x1  2  2  1  0  x1n  2  2



n

 1 nên x2n  Sn  x1n  x2n  x2n  1.

T đây suy ra Sn  1  x2n  Sn và  x2n   Sn  1. (vì Sn nguyên)
Do đó:  x2n   x2n   x2n   x2n   Sn  1   x2n  Sn   1   x1n  1 .



T đây và lim x1n  lim 2  2



n



 0 ta suy ra lim 2  2

Trang: 12

   limx   1.
n

n
2

c


Tr

ng THPT Nguy n ình Chi u ậ M Tho

N m h c: 2015 ậ 2016

3. H TH NG BÀI T P RỆN LUY N.
Bài 1. Cho x1 , x2 là hai nghi m c a x2  5  m2  1 x  1  0 .
1. Ch ng minh Sn  x1n  x2n , n 

là s nguyên.

2. Tìm s d khia chia S2015 cho 5.
Bài 2. Cho ph

ng trình x3  ax2  bx  1  0, a , b 

.

1. Ch ng minh a  5, b  3 là c p s h u t duy nh t làm cho ph
trên có ba nghi m trong đó m t nghi m là 2  5 .

ng trình

2. Tìm s d khi chia x12015  x22015  x32015 cho 4, v i x1 , x2 , x3 là ba nghi m
c a ph ng trình.
n

Bài 3. Cho dãy s

un 

n

3 5   3 5 
v i un  
 
 .
2
2


 


1. Ch ng minh r ng u n là s t nhiên.
2. Tìm các giá tr c a n đ u n là s chính ph

ng.



Bài 4. Tìm hai ch s t n cùng c a ph n nguyên c a s

Bài 5. Tìm hai ch s bên trái và bên ph i d u ph y c a s



Bài 6. Cho dãy s có un  7  4 3

 
n



29  21





3 2

2002



2002

.

n

 7  4 3 . Ch ng minh r ng u n nguyên

và không chia h t cho 13 v i m i n.
Bài 7. Cho x1 , x2 là hai nghi m c a ph

ng trình x2  ax  1  0  a 

.

1. Ch ng minh x15  x25 nguyên.
2. Tìm giá tr nh nh t c a a đ x15  x25 chia h t cho 25.
Bài 8. Tìm đa th c b c 6, h s nguyên nh n m  6



3 6 256

làm nghi m.

4
3



n

Bài 9. Ch ng minh r ng ph n th p phân c a 5  26 , n 
ch s gi ng nhau.

Trang: 13

*

b t đ u b ng n


Tr

ng THPT Nguy n ình Chi u ậ M Tho

N m h c: 2015 ậ 2016

TÀI LI U THAM KH O
1. Võ

i Mau, Toán nâng cao

2. Tr n V n K , Phân lo i và ph

i s 10, Nhà xu t b n Tr , 1996.
ng pháp gi i toán

b n Tr , 1999.
3. T p chí Toán h c và Tu i tr , 2004.
4.

thi h c sinh gi i các t nh.

Trang: 14

i s 10, Nhà xu t