Luận văn phonon âm trong hình thức luận dao động biến dạng

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN MINH HÙN G

PHONON ÂM TRONG HÌNH THỨC LUÂN DAO ĐÔNG BIẾN DANG

LUẬN VĂN THẠC sĩ KHOA HỌC VẬT CHẤT

HÀ NỘI, 2016


NGUYỄN MINH HÙN G

PHONON ÂM TRONG HÌNH THỨC LUÂN DAO ĐÔNG
BIẾN DANG
Chuyên ngành: Vật lí lí thuyết và Vật lí toán
Mã số: 60 44 01 03

LUẬN VĂN THẠC sĩ KHOA HỌC VẬT CHẤT

Người hướng dẫn khoa học:
PGS.TS. NGUYỄN THỊ HÀ LOAN
Đầu tiên tôi xin chân thành cảm ơn PGS.TS Nguyễn Thị Hà Loan, người đã hướng dẫn tôi thực hiện luận văn
này. Cô đã cung cấp những tài liệu và truyền thụ cho tôi những kiến thức mang tính khoa học và hơn nữa là phương
pháp nghiên cứu khoa học. Sự quan tâm, bồi dưỡng của cô đã giúp tôi vượt qua những khó khăn ừong qua trình hoàn


thành luận văn cũng như trong quá trình học tập và nghiên cứu. Đối với tôi, cô luôn là tấm gương sáng về tinh thần
làm việc không mệt mỏi, lòng hăng say với khoa học, lòng nhiệt thành quan tâm bồi dưỡng thế hệ ừẻ.
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong Khoa Vật Lý trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2 và các thầy

cô ừong phòng sau đại học, tạo mọi điều kiện giúp tôi hoàn thành khóa học.
Hà Nội, thảng 7 năm 2016
Hoc viên thưc hiên

Trong quá trình nghiên cứu luận văn về đề tài: “Phonon âm ừong hình thức luận dao động biến dạng”, tôi đã
thực sự cố gắng tìm hiểu, nghiên cứu đề tài để hoàn thành khóa luận. Tôi xin cam đoan luận văn này được hoàn
thảnh do sự nỗ lực của bản thân cùng với sự hướng dẫn chỉ bảo tận tình hiệu quả của PGS.TS Nguyễn Thị Hà Loan.
Đây là đề tài không trùng với các đề tài khác và kết quả đạt được không trùng với kết quả của các tác giả khác.
Hà Nội, tháng 7 năm 2016
Hoc viên thưc hiên

Nguyễn Mình Hùng


MỤC LỤC


5

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Biến dạng lượng tử có nhiều dạng khác nhau và chỉ trong thời gian gàn
đây việc thống nhất các dạng mới được nghiên cứu đầy đủ. Dao động biến
dạng lượng tử đang được nhiều nhà Vật lý trong và ngoài nước nghiên cứu bởi
chúng có nhiều ứng dụng trong các mô hình Vật lý. Ví dụ chúng liên quan đến
những vấn đề đa dạng trong Vật lý lí thuyết như nghiên cứu nghiệm của
phương trình Yâng - Blaster lượng tử, vấn đề tán xạ ngược lượng tử, mẫu hoà
tan chính xác trong Cơ học thống kê, trong quang lượng tử, sự quay và sự rung
động của hạt nhân và đặc biệt là trong môi trường đậm đặc, dao động mạng
tinh thể...

Theo xu hướng trong và ngoài nước, tôi áp dụng hình thức luận dao động
biến dạng để nghiên cứu về tính chất vật lý của môi trường đậm đặc. Một trong
những ứng dụng đó là nghiên cứu phonon âm.
2. Mục đích nghiên cứu
- Nghiên cứu phonon âm bằng hình thức luận dao động biến dạng của
mạng tinh thể.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Tìm phonon âm bằng hình thức luận dao động biến dạng của mạng tinh
thể.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Nghiên cứu dao động mạng tinh thể biến dạng.
- Tìm toán tử năng lượng của dao động mạng tinh thể.
- Giải phương trình để tìm phonon âm trong hình thức luận dao động
mạng tinh thể biến dạng.


6

5. Phương pháp nghiền cứu
- Sử dụng các kiến thức trong Vật lý thống kê, cơ học lượng tử và các
phương pháp giải tích toán học.
- Các phương pháp nghiên cứu của Vật lý lí thuyết và Vật lý toán.
- Các phương pháp nghiên cứu của Vật lý chất rắn.
6. Những đóng góp mới của đề tài
Viết tổng quan vể dao động mạng tỉnh thể biến dạng, áp dụng giải phương
trình để tìm phonon âm của dao động mạng tỉnh thể và có thể tìm hiểu các cơ
sở cho các quá trình lượng tử hóa mới.


NỘIDUNG

Chương 1. DAO ĐỘNG MẠNG TINH THẺ
1.1. Dao động mạng tinh thể

1.1.1

Dao động tử điều hòa
Đe nghiên cứu các hệ vật lý cụ thể khác nhau, người ta thường sử dụng một số mô hình lượng tử trong vật lý

hiện đại. Một ừong số các mô hình đó là dao động tử lượng tử.
Các toán tử sinh a+, toán tử hủy a của dao động tử lượng tử thỏa mãn các hệ thức giao hoán
Toán tử số dao động N được biểu diễn qua các toán tử sinh a+, toán tử hủy a theo hệ thức:
N = a+a

(2)

Toán tử số dao động N, toán tử sinh a+, toán tử hủy a thỏa mãn các hệ thức giao hoán
[iV,al = —a
r1
[iV,ữ+] = fl+

(3)

Thật vậy:
[N,a] = Na - aN = a+aa — aa+a = a+aa — (a+a + l)a = a+aa —
a+aa - a = —a
[N, a+] = Na+ - a+N
= a+aa+ — a+a+a
= a+(a+a + 1) — a+a+a = a+a+a + a+ — a+a+a = a+
Toán tử số dao động N xác định dương vầ N = N+ .
Gọi I n) là vecto riêng của toán tử N ứng với trị riêng n ừong không gian Hilbert. Ta có

N\nj=n\n)

(4)

Từ hệ thức (3) và (4) ta có thể chứng minh được:
Naịn) = (aN — ữ)|n)
= ữ(iV -l)|n)
= ữ(n-l)|n)

(1 )


= (n-l)a|n)
Na+1 n) = (a+N + a+)\n)
— a+ (N + ì)\n)
= a+(n + l)|n)

(5)

= (n + l)ữ+ \n)
Có nghĩa là nếu I rì) là một vecto riêng của toán tử N ứng với trị riêng n thì a\rì) và a+ ịn) là vecto riêng của
toán tử N ứng với trị riêng (n - 1) và (n +1). Chứng minh tương tự ta sẽ có ... a2|n),a|n),|n),a+|n),(a+)2|n),.... là dãy các
vecto riêng của N ứng với các trị riêng ... n - 2, n - 1, n, n + 1, n + 2,...


Vì iV là toán tử xác định dương (các trị riêng của nó phải không âm) nên dãy sẽ có kết thúc nào đó ở cận dưới.

Giá trị riêng của cận dưới này là n = 0. Vì vậy ta định nghĩa một vecto đặc biệt |0) trong không gian Hilbert có tính
chất sau:
ữ|0) = 0 (0|0) = 1

Ở đây Ịo) là trạng thái chân không.

Ta có Nịo) = 0 nên Ịo) là vecto riêng của N ứng với trị riêng bằng không. Dãy các toán tử a + tác dụng lên chân không

0),a + |0),(a+)210), ...,ịa + Ỵ |0)... là dãy các vecto riêng của N ứng với các trị
riêng0, 1,2,...,n, ...

1.1.2

Vậy trong không gian Hilbert thì dãy các vecto riêng đã chuẩn hóa của toán tử N có thể viết như sau:

(6)
ịn\n') =
õIt
Dao động mạng tình thể[6]

nr
ì

(7)
Trong đó: n! = n(n — l)(n — 2)....l


Việc nghiên cứu các tính chất của tinh thể gặp khó khăn vì phải xác định chuyển động của rất nhiều hạt
(nguyên tử, phân tử) tương tác với nhau. Vì vậy chúng ta áp dụng các phương pháp gàn đúng và một trong các
phương pháp đó là phương pháp chuẩn hạt. Trong phương pháp này ta coi trạng thái kích thích của tinh thể như ừạng
thái của một khối khí lí tưởng gồm các kích thích sơ cấp không tương tác với nhau. Các kích thích đó mô tả chuyển
động của tập thể các nguyên tử chứ không phải chuyển động của từng nguyên tử riêng lẻ. Các kích thích sơ cấp
chuyển động trong thể tích tinh thể như là các chuẩn hạt (phonon) có năng lượng và xung lượng xác định. Chúng ta
đi xem xét với từng trường hợp của mạng tinh thể.Chuỗi các nguyên tử cùng loại xếp đặt cách đều nhau một khoảng

bằng a (hằng sốmạng tinh thể) trên trục Ox, mỗi nguyên tử có khối lượng M và dao động xung quanh vị trí cân bằng
của nó.
Tọa độ của nguyên tử thứ n ở vị trí cân bằng:
xn = na
Độ dịch chuyển của nguyên tử thứ n:
u„(t)=u(xn,t)
Giả thiết thế năng giữa 2 nguyên tử kề nhau , ở các nút thứ n và n+1 tỉ lệ với độ dời bình phương tương đối
[Un+i(t) — Iín(t)] và bỏ qua tương tác giữa các nút không kề nhau. Khi đó thế năng toàn phần của hệ là:
u= jSK+i(t) - un(t)]2
Trong đó: a là hệ số tỉ lệ.
Động năng toàn phần của hệ:
rp__ yi rdnn(t)-|

2 ¿mL dt J

Xung lượng của nguyên tử thứ n ứng với tọa độ un (t) là:
dun(t)

Pn(t)=M-

dt

Động năng toàn phần:
T= — SnPn(t)
Năng lượng toàn phần của hệ:
E=^InPn(t)+7lK+i(t) -

0]2

Khi lượng tử hóa ta thay hàm pn(t) bằng toán tử xung lượng và hàm un (t) bằng toán tử tọa độ suy rộng ũ^.

Hamiltonian của hệ trở thành:


H=^-InPn(t)+7lK+i(t) - Un(0]2
Giữa các toán tử và có các hệ thức giao hoán:

(8)


ĨMn> PTĨÌ ~ ihổnm[un,um] = 0
[p^Æ] = 0
Các toán tử và tưcmg ứng với nút thứ n và phụ thuộc vào tọa độ xn của nút này. Ta khai triển các toán tử này
theo các sóng phẳng với vectơ sóng nằm ttong vùng Brillouin thứ nhất:
iïïi=-^Y*elkXnuï

(9)

PÏ = jiï'£‘eikXnP*

(1°)

Nhân hai vế của (9) với e~ik'Xn rồi lấy tổng D“=0 ta được:
y°° p - i k ' x n _Ly p i i k - k ' i x 7 1 f p '
£in=0 un

Nên:

En=o“ne

ik X n

'

c

— 'jjfZjk

c

u

k

Theo khai triển Fourier ta có:
1
VÏ
V

QÌỌí-k'^xn

— 8k,k'

= JÛ'LkÔ kl k'U k

= Jũuk
Hay

u» =

ik B

* «n

(11)

Tương tự nhân 2 vế của (10) với e~ik'Xn rồi lấy tổng X" ta được:
n= ^n=0e-ikXnK
Ta có các hệ thức giao hoán sau:
[Ufc'»Pfc] = ilrôfc,-fc'
K,v] = 0
[Pk,Pk'] = 0

(12)


Mặt khác thay (9) và (10) vào (8) ta được:
B = lk(^P-kPk + 2 sin2(Ệ)u_kuk)
Thay:
4 a „ / ka\

M sín ( 2 ) = “ (/°
Cuối cùng ta được:
H = ỵk(^P^kPk + ^Mú)2(k)úrkuỊ;) (13)
1.2. Phonon âm

1.2.1

Phổ năng lượng của dao động tử điều hòa
Toán tử năng lượng của dao động tử điều hòa có dạng
H =^— + —mứ)2x2

2m2

(14)

Toán tử xung lượng p và toán tử tọa độ X có thể biểu diễn qua các toán
tử sinh («+), toán tử hủy (a) dao động theo hệ thức sau:

(15)

Từ hệ thức (14) và (15) ta có thể biểu diễn toán tử năng lượng của
Các toán tử sinh (« ), toán tử hủy (ữ) có thể biểu diễn ngược lại qua các
toán tử xung lượng p và toán tử tọa độ X như sau:
1
~ "ncox)
____1
a
= y]2m
í „ I -ncữX^
h
a=

(16)

1
■SỈ2,
~irửi
dao động tử điều hòa qua các toán tử sinh (« ), toán tử hủy (ữ) dao động

như sau:

u-h
H = - , . a a)
oV

+\
ỉ

Để tìm phổ năng lượng của dao động tử điều hòa ta phải đi giải phương trình sau:


h
n

H\n) = E,\n)
X— . a+a)\n) = En\n)

•> \

Vậy phô năng lượng của dao
điêu
hòa E
n động
l tử
+ a+a
\n)}=En\n) n
r- r }
n

IV

h
IV

h
IV

h

-)■

l)|n) + iv|n)| = En In)
■ -)\n) + n\n)} = En\n)
- ■ -)+n}\n)=E,\n)

K-----)|n) = £»

1.2.2

Phonon âm
Để tìm phổ năng lượng của dao động mạng tinh thể ta hãy đưa toán tử năng lượng của dao động mạng tinh thể

ở công thức (13) về dạng viết trong biểu diễn lượng tử hóa làn thứ hai bằng cách đặt như sau:
VMÍOOOÚĨ =

(SỊ + a!„)

(18)


Trong các biểu thức trên ak và ak là các toán tử mới được biểu diễn ngược lại qua ũ^yầp^ như sau:

a
k—
a

Và

í=7

(20)

[^,a+] = ổkjk/
[ữk, ßfc'] o

[ak,ak,] = 0
Từ (18) và (19) ta suy ra:

(ak + a!k)

uw =

2
MùiQì)

Pk = -i

Mho)(/c) (a - a! )
k
k

Hay ta có:

=

P-k = -i

O-fc + o
2
M(ùQì)
MhúìQĩ) (a_ - a )
k
k

Nên:
P-kPk

u_kuk

Mhcü(fc) (a_k + a+)(ak + a!k)
2
MìvùiQì) (fl-fcafc CL-k^-k Q-k^k ^k ®-k)
(a_k + ak )(ak + a!k)

2
Mco(f (a-kak + a-kO-tk + atak + <«-k)
2 M c)
u>Ợ
ì)
h


1

6
Suy ra (13) trở thành:
ít = L^cax +
(21)

Theo hệ thức giao hoán (20) ta có:
a

k ak ~ ak ak

a

k ak 1

=

1 * ak ak ~

Do đó:
H= Y,khú)(Jì) akã^ + const

(22)

Có thể chọn gốc tính năng lượng sao cho “const” ở công thức (22) trở nên
bằng 0 do đó:
k
Như vậy có thể coi mạng tinh thể dao động như một hệ nhiều hạt mà a k và
ak là các toán tử hủy và sinh hạt có vec tơ sóng k xung lượng hk và năng lượng
hù)(k). Các hạt này là các lượng tử trong dao động của mạng tinh thể gọi là các

phonon.
Trong thực tế ta không có các hạt thật mà chỉ có các ừạng thái dao động
khác nhau của mạng tinh thể được mô tả giống như một hệ hạt có nghĩa là các
phonon không phải là các hạt thật mà chỉ là các giả hạt hay còn gọi là các chuẩn
hạt. Dao động của chuỗi nguyên tử cùng loại là các sóng âm và các phonon
trong trường họp này gọi là các phonon âm. Việc nghiên cứu phổ năng lượng
của dao động mạng tinh thể quy về bài toán tìm các véc tơ riêng
và trị riêng của Hamiltonian (21) trong đó các toán tử và a k thỏa mãn các hệ thức
giao hoán (20). Để làm điều này ta đưa vào toán tử số dao động Nk:
Nk=a£ak
Hệ thức giao hoán giữa toán tử Nk với các toán tử ak và ak có dạng:
[Nk, ak ] = — ak

(28
(23)
)

(24)


[Nk,a+ ] = a+
Từ hệ thức giao hoán (20) ta có thể chứng minh hệ thức (24) như sau:
[Nk, ak] = Nkak — akNk
- akakak

— a

kakak

= akakak — (akak + 1) ak =

akakak — akakak — ak
- — ak
[Nk, ak] = Nkak — akNk
= a k a k a k “ a k a k a k = a k( a k a k
+ l) “ a k a k a k

= a

kakak + ak

“akakak

= aỉ^
Gọi |nk) là véc tơ riêng của toán tử Nk ứng vói trị riêng nk trong không
gian Fock đã trực chuẩn thì:
Nk|nk) = nk|nk)

(25)

|nk> = ^|0>

(26)

ở đây |0) là trạng thái chân không thỏa mãn điều kiện:
<0|0) =

1

ak|0> = 0
Từ hệ thức (20) và (26) có thể chứng minh được rằng:

a

k K) = V ĩh > k - 1 )

a

kK> = Vnk + llnk + 1>

Thật vây: aklnk> = ak^|^|0)

(27)


= akak

(a^-1 10
•/nk! )

= (akaí+ 1)^10)
= (Nk + l)SÈ^l|0>
_ N k + 1 ( a k) n k 1 | Q \
vĩĩk! - J (nk-1)!
_ ( n k - l + 1) ( ai ^ k " 1 I Q V
•/nk'

V ( n k - 1) !

= VũkK - 1)
a£|nk>= aí ^|S|0)
(ak)^k+1

-/nk! |0>

V (nk + 1)

T (ak)nk+1
1
•/ (nk+
1)!

0

| >

= V ( n k + 1) 1 n k + l )

Đe tìm phổ năng lượng của dao động mạng tinh thể cho chuỗi nguyên tử
cùng loại chúng ta giải phương trình:
H|nk> = EnkK>

(29)

Hay thay H từ công thức (21) vào biểu thức (29) ta thu được:

Ifc^p[aka£ + a£ak]|nk) = EnJnk) (30) -{aka£ lnk) + akak|
nk)} = EnJnk)
-> I<1}^%Nk + l)|nk> + Nk|nk)} = Enk|nk)
I^^T^íCnk + l)|nk) + nk|nk>} = Enk|nk)
->

S

(«H^{(nk + l) + nk}|nk> = EnJnk>

-> S™h(0(k)(nk+i)|nk> = Enk|nk)


Vậy:
Enk = l“ñw(k)(nk + i)


Chương 2. DAO ĐỘNG BIẾN DẠNG CỦA MẠNG TINH THẺ
2.1 Dao động biến dạng của mạng tinh thể:
2.1.1

Dao động biến dạng —q [2]
Dao động biến dạng -q được mô tả bởi các toán tử sinh dao động a+, toán

tử hủy dao động a, tuân theo các hệ thức giao hoán
(31)

(32)

(33)
Và toán tử N thỏa mãn hệ thức giao hoán
[N,aị = -a

(34)

Gọi I n) là vecto riêng của toán tử N ứng với trị riêng n thì

(35)
Trong không gian Fock thì các vecto cơ sở là các vecto riêng đã chuẩn
hóa của toán tử số dao động N có dạng
(36)
Ở đây Ịo) là trạng thái chân không và ở trên ta dùng kí hiệu:

M,!=[',Un-1U',-2]s--[1l,


Từ hệ thức (31) và (36) ta có thể chứng minh được các hệ thức sau:
a+a n

\ )q ~ \.n\ \n)q
aa+\n) =[n + l] |n)
Thật vậy từ công thức (32) ta có: aa+|n)q = [N]q|n)q = [n]q|n>q
Từ công thức (31) ta có: aa+|n>q = (qa+a + q“N)|n)q = (q[N]q + q“N)|
n)q = q[N]q|n)q + q“N|n>q = q[n]q|n>q + q“n|n)q = (q[n]q + q-n)|n)q
= «ĩỆ^ + ‘rn)|n><
q

n+l_q-

n+l_q-n-l -1

n-1
n+1

q -q- q-q
= [n+
2.1.2

q-q

1

n+l+q-

|
n> l]q|n)
q

|
n)
c

Dao động biến dạng -q của mạng tình thể [2]
Ở phàn này ta xây dựng dao động biến dạng -q của mạng tinh thể, nó là

cơ sở để nghiên cứu dao động mạng tinh thể theo những quá trình lượng tử hóa
mới.
Các toán tử sinh dao động (öfc), toán tử hủy dao động ) ứng với vecto
sóng k thỏa mãn các hệ thức giao hoán biến dạng -q như sau:
aka+k,-qa+kak,=qNkổkk,
[ak,ak] = [a+k,a+k,~\ = 0
Toán tử số dao động Nk được định nghĩa:
[Nkị=a+kak

(40)

Sử dụng các hệ thức (39) và (40) có thể chứng minh được:

=

~ak^kk'

= a

k^ìdc'

(41)

Gọi Ink) là vecto riêng của toán tử Nk ứng với trị riêng nk thì
N

k\nk)q=nk\nk)q
(42)


Trong không gian Fock biến dạng -q thì I nk) có dạng
= [nk — 1 + l]a —— |nk — l)a
Jq

[nk]q'

L k

k /q

(43)
Trong đó |0) là trạng thái chân không biến dạng -q và
(44)

h],!=h],-h -!],•["* -2],-l1],
Từ các hệ thức (39), (40) và (42) có thể chứng minh được rằng
a+

kh)g=Ậnk+ì]gh+1)g

a

(45)

kh)g=^hĩgh-l)g

Thật vậy:
—

y/[^k]q l^k l)q

=a^OT|0>’

aílnk>q = aí

= J[nk + l]q (.3k)nk+1 |0)q
VL

k Jq

7 [n k + l ] q !

1

'q

= 7[nk + l]q|nk + l>q
2.2 Phonon âm trong hình thức luận dao động mạng tinh thể biến dạng:
2.2.1 Phổ năng lượng của dao động biến dạng -q:
Toán tử năng lượng H của dao động biến dạng -q được biểu diễn qua các
toán tử sinh dao động a+, toán tử hủy dao động a theo hệ thức
H = ^ ^ . a+aj

(46)


Để tìm phổ năng lượng của dao động biến dạng -q chúng ta đi giải
phưong trình sau
Iỉ\n)q = E (47)
Thay (36) và (46) vào phưorng trình (47) và giải
* ...........a (48)
2 ; ■'
Từ (32) và (48) ta có:
*2 (L-

1

h

■ *],!"),+[JV]JnU = 'E"l'í)í

2

(L-

],+[WUlM^=£”l")í


h

(L- -],+[”], }|B>,=£.|»),
Từ đó suy ra phổ năng lượng En có dạng
£

2

. = *2 ,L- -!+M,}

(49)

Như vậy phổ năng lượng của dao động biến dạng -q bị gián đoạn và các
vạch quang phổ không cách đều nhau.
2.2.2 Phonon âm trong hình thức luận dao động mạng tỉnh thể biến dạng:
Toán tử năng lượng của dao động biến dạng -q của mạng tinh thể có
thể biểu diễn qua các toán tử sinh dao động a\, toán tử hủy dao động ak theo hệ
thức
k

^

H=ỵmh - (50)

Ở đây ^(1) là lấy tổng theo vecto sóng k trong vùng Brillouin thứ nhất.

k
Để tìm phổ năng lượng của dao động biến dạng -q của mạng tinh thể ta
cần giải phương trình
Iỉ\n t ) t =E(51)
Thay (47) và (50) vào phương trình (51) ta có

Suy ra phổ năng lượng có dạng:


E

nk= 2

(55)

Như vậy phổ năng lượng của dao động biến dạng -q của mạng tinh
thể sẽ có dạng từng đám cách không đều nhau, trong mỗi đám có nhiều vạch
phổ phân bố gàn nhau nhưng khoảng cách giữa các vạch cũng không đều nhau.
Dao động mạng tinh thể biến dạng -q ta đang xét được diễn tả bằng
Hamiltonian (50) với các toán tử a£ và ak thỏa mãn các hệ thức giao hoán (39).
Vì vậy có thể coi dao động mạng tinh thể biến dạng -q như hệ nhiều hạt với a k
là toán tử sinh hạt có véc tơ sóng k xung lượng hk và năng lượng hm(k) còn a k
là toán tử hủy hạt như thế. Các hạt này là các lượng tử trong biến dạng -q của
mạng tinh thể và gọi là các phonon âm -q.
Ta tìm các phương trình chuyển động:
a

k - íak» H}
da k dH 3 a k 3 H d x d p d p d x