Tài liệu Toán Cao cấp C

TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG
KHOA SƯ PHẠM

TOÁN C
Ths. DIỆP HOÀNG ÂN

AN GIANG, THÁNG 6 NĂM 2016


MỤC LỤC
CHƯƠNG 1: GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN ................................................... 1
1. KHÁI NIỆM HÀM SỐ MỘT BIẾN ...................................................................................................................... 1
1.1 Hàm số: ........................................................................................................................................................... 1
1.2 Hàm số hợp: ................................................................................................................................................... 1
1.3 Hàm số ngược: ............................................................................................................................................... 1
1.4 Các loại hàm số: .............................................................................................................................................. 2
1.5 Hàm số sơ cấp ................................................................................................................................................ 3
2. GIỚI HẠN HÀM MỘT BIẾN ............................................................................................................................. 4
2.1 Giới hạn hàm một biến ................................................................................................................................... 4
2.2 Giới hạn một phía: .......................................................................................................................................... 5
2.3 Các tính chất: .................................................................................................................................................. 5
2.4 Một số giới hạn cơ bản: .................................................................................................................................. 6
2.5 Vô cùng bé, vô cùng lớn: ................................................................................................................................ 7
3. HÀM MỘT BIẾN LIÊN TỤC .............................................................................................................................. 9
3.1 Hàm số liên tục: .............................................................................................................................................. 9
3.2 Hàm số liên liên tục trên khoảng .................................................................................................................... 9
3.3 Các tính chất ................................................................................................................................................... 9
4. BÀI TẬP THỰC HÀNH ................................................................................................................................... 10
4.1 Bài tập giới hạn ............................................................................................................................................. 10
4.2 Bài tập về hàm liên tục: ................................................................................................................................ 16
5. BÀI TẬP RÈN LUYỆN ..................................................................................................................................... 20

CHƯƠNG 2: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN............................................................... 23
1. Đạo hàm cấp một và đạo hàm cấp cao ........................................................................................................ 23
1.1 Đạo hàm: ...................................................................................................................................................... 23
1.2 Đạo hàm trái: ................................................................................................................................................ 23
1.3 Đạo hàm phải: .............................................................................................................................................. 23
1.4 Đạo hàm trên khoảng: .................................................................................................................................. 23
1.5 Đạo hàm cấp hai: .......................................................................................................................................... 23
1.6 Đạo hàm cấp cao: ......................................................................................................................................... 23
1.7 Quy tắc đạo hàm: ......................................................................................................................................... 24
1.8 Các công thức tính đạo hàm ......................................................................................................................... 24
2. Vi phân hàm một biến: ................................................................................................................................ 25
2.1 Vi phân hàm một biến: ................................................................................................................................. 25
2.2 Tính chất ....................................................................................................................................................... 25
2.3 Vi phân cấp cao: ........................................................................................................................................... 26
2.4 Các quy tắc lấy vi phân ................................................................................................................................. 26

i


3. Ứng dụng của đạo hàm và vi phân ............................................................................................................... 26
3.1 Khử dạng vô định trong tình giới hạn (Quy tắc L’Hospital) .......................................................................... 26
3.2 Tìm cực trị hàm số: ....................................................................................................................................... 27
3.3 Cách tìm cực trị của hàm số: ........................................................................................................................ 27
3.4 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: ............................................................................................... 28
3.5 Tính gần đúng: .............................................................................................................................................. 28
4. BÀI TẬP THỰC HÀNH ................................................................................................................................... 28
4.1 Tính đạo hàm bằng định nghĩa: .................................................................................................................... 28
4.2 Tính đạo hàm hàm số phụ thuộc tham số: ................................................................................................... 29
4.3 Tính vi phân: ................................................................................................................................................. 30

4.4 Tìm giới hạn bằng quy tắc L’hospital: ........................................................................................................... 30
5. BÀI TẬP RÈN LUYỆN ..................................................................................................................................... 31

CHƯƠNG 3: PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN ......................................................................................... 33
1. Tích phân bất định ....................................................................................................................................... 33
1.1 Nguyên hàm: ................................................................................................................................................ 33
1.2 Tích phân bất định ........................................................................................................................................ 33
1.3 Tính chất: ...................................................................................................................................................... 33
1.4 Tích phân một số hàm sơ cấp: ...................................................................................................................... 33
2. Các Phương pháp tính tích phân .................................................................................................................. 34
2.1 Phương pháp đổi biến .................................................................................................................................. 34
2.2 Phương pháp tích phân từng phần: ............................................................................................................. 36
3. Tích phân của một số dạng hàm số thường gặp: .......................................................................................... 38
3.1 Tích phân các hàm số hữu tỷ: ....................................................................................................................... 38
3.2 Tích phân các hàm số lượng giác:................................................................................................................. 41
3.3 Tích phân các hàm số vô tỷ: ......................................................................................................................... 44
4. Tích phân xác định: ...................................................................................................................................... 46
4.1 Bài toán mở đầu: .......................................................................................................................................... 46
4.2 Tích phân xác định: ....................................................................................................................................... 46
4.3 Quy ước: ....................................................................................................................................................... 47
4.4 Các tính chất của tích phân xác định: ........................................................................................................... 47
4.5 Công thức đạo hàm theo cận trên và công thức Newton – Leibnitz: ........................................................... 48
4.6 Phương pháp tính tích phân xác định: ......................................................................................................... 50
5. BÀI TẬP THỰC HÀNH ................................................................................................................................... 51
6. BÀI TẬP RÈN LUYỆN ..................................................................................................................................... 54

CHƯƠNG 4: ĐẠO HÀM – VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN ........................................................... 57
1. Khái niệm hàm số hai biến ........................................................................................................................... 57
1.1 Khoảng cách trong mặt phẳng...................................................................................................................... 57

ii


1.2 Lân cận của một điểm .................................................................................................................................. 57
1.3 Hàm hai biến................................................................................................................................................. 57
2. Giới hạn của hàm số hai biến ....................................................................................................................... 57
2.1 Giới hạn hàm hai biến .................................................................................................................................. 57
2.2 Tính chất 1: ................................................................................................................................................... 58
2.3 Tính chất 2: ................................................................................................................................................... 58
2.4 Nguyên lý kẹp ............................................................................................................................................... 58
3. Sự liên tục của hàm hai biến: ....................................................................................................................... 59
3.1 Hàm hai biến liên tục tại một điểm: ............................................................................................................. 59
3.2 Hàm hai biến liên tục trên miền D ................................................................................................................ 59
3.3 Tính chất 1. ................................................................................................................................................... 59
3.4 Tính chất 2. ................................................................................................................................................... 60
4. Đạo hàm riêng cấp một và đạo hàm riêng cấp cao:...................................................................................... 60
4.1 Đạo hàm riêng của hàm hai biến .................................................................................................................. 60
4.2 Đạo hàm riêng cấp cao ................................................................................................................................. 61
4.3 Tính chất. ...................................................................................................................................................... 63
5. Vi phân toàn phần của hàm hai biến............................................................................................................ 63
5.1 Vi phân hàm hai biến .................................................................................................................................... 64
5.2 Vi phân toàn phần cấp hai ............................................................................................................................ 64
6. Ứng dụng của đạo hàm và vi phân hàm hai biến ......................................................................................... 64
6.1 Cực trị hàm hai biến: .................................................................................................................................... 65
6.2 Cực trị có điều kiện của hàm hai biến: ......................................................................................................... 66
6.3 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất: .................................................................................................................. 67
7. BÀI TẬP THỰC HÀNH ................................................................................................................................... 69
8. BÀI TẬP RÈN LUYỆN ..................................................................................................................................... 71

CHƯƠNG 5: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .................................................................................... 74

1. Phương trình vi phân .................................................................................................................................. 74
1.1 Khái niệm về phương trình vi phân .............................................................................................................. 74
2. Các loại phương trình vi phân cấp 1 ............................................................................................................ 75
2.1 Phương trình có biến phân ly ....................................................................................................................... 75
2.2 Phương trình thuần nhất (đẳng cấp) ............................................................................................................ 76
2.3 Phương trình vi phân hoàn chỉnh ................................................................................................................. 78
2.4 Phương trình tuyến tính: .............................................................................................................................. 81
2.5 Phương trình Bernouli: ................................................................................................................................. 83
3. Phương trình vi phân cấp 2 ......................................................................................................................... 84
3.1 Phương trình vi phân cấp hai giảm cấp được ............................................................................................... 84
3.2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai có hệ số là hằng số....................................................................... 86

iii


4. BÀI TẬP THỰC HÀNH ................................................................................................................................... 94
4.1 Phương trình vi phân biến số phân li sau ..................................................................................................... 94
4.2 Tìm nghiệm riêng các phương trình vi phân thỏa mãn điều kiện đầu ......................................................... 95
4.3 Phương trình vi phân thuần nhất (đẳng cấp) sau......................................................................................... 96
4.4 Phương trình vi phân hoàn chỉnh (Toàn phần): ........................................................................................... 97
4.5 Phương trình vi phân tuyến tính cấp một .................................................................................................... 97
4.6 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 hệ số hằng ...................................................................................... 98
5. BÀI TẬP RÈN LUYỆN ..................................................................................................................................... 98

CHƯƠNG 6: LÝ THUYẾT CHUỖI ............................................................................................... 100
1. Chuỗi số ..................................................................................................................................................... 100
1.1 Khái niệm chuỗi số ..................................................................................................................................... 100
1.2 Tính chất: .................................................................................................................................................... 101
2. Chuỗi số dương ......................................................................................................................................... 101
2.1 Dấu hiệu so sánh: ....................................................................................................................................... 101

2.2 Dấu hiệu D’Alembert, Cauchy, Tích phân: .................................................................................................. 103
3. Chuỗi số có dấu bất kỳ ............................................................................................................................... 104
3.1 Chuỗi đan dấu. Dấu hiệu Leibnitz: .............................................................................................................. 104
3.2 Chuỗi có dấu bất kỳ: ................................................................................................................................... 105
3.3 Chuỗi luỹ thừa: ........................................................................................................................................... 105
4. BÀI TẬP THỰC HÀNH ................................................................................................................................. 107
4.1 Dùng các dấu hiệu so sánh, xét tính hội tụ của các chuỗi số ...................................................................... 107
4.2 Dùng dấu hiệu Cô - si hoặc Đalămbe hoặc dấu hiệu tích phân Cô – si ....................................................... 108
4.3 Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi đan dấu (hoặc chuỗi có dấu bất kỳ) sau ................................................. 109
5. BÀI TẬP RÈN LUYỆN ................................................................................................................................... 109

CHƯƠNG 7: MA TRẬN - ĐỊNH THỨC .................................................................................... 111
1. Ma trận ...................................................................................................................................................... 111
1.1 Ma trận và các loại ma trận: ....................................................................................................................... 111
1.2 Các phép toán của ma trận ........................................................................................................................ 113
2. Định thức ................................................................................................................................................... 115
2.1 Khái niệm về phép thế ................................................................................................................................ 115
2.2 Định nghĩa và tính chấtt của định thức ...................................................................................................... 116
2.3 Tính chất của định thức .............................................................................................................................. 118
2.4 Khai triển định thức .................................................................................................................................... 120
2.5 Các phương pháp tính định thức ............................................................................................................... 121
3. Hạng của ma trận ....................................................................................................................................... 123
3.1 Hạng của ma trận ....................................................................................................................................... 123
3.2 Các phương pháp tính hạng ma trận.......................................................................................................... 123

iv


4. Ma trận nghịch đảo: .................................................................................................................................. 124
4.1 Ma trận khả nghịch .....................................................................................................................................124

4.2 Các phương pháp tìm ma trận nghịch đảo .................................................................................................125
5. BÀI TẬP THỰC HÀNH ................................................................................................................................. 126
5.1 Các phép toán về ma trận .......................................................................................................................... 126
5.2 Tính định thức ............................................................................................................................................127
5.3 Giải phương trình, bất phương trình định thức .........................................................................................128
5.4 Hạng của ma trận .......................................................................................................................................128
5.5 Ma trận nghịch đảo ....................................................................................................................................129
5.6 Giải phương trình ma trận ..........................................................................................................................129
6. BÀI TẬP RÈN LUYỆN ................................................................................................................................... 130

CHƯƠNG 8: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH .................................................................. 134
1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU .................................................................................................................... 134
1.1 Định nghĩa hệ phương trình tuyến tính(hpttt) ...........................................................................................134
1.2 Nghiệm của hpttt ........................................................................................................................................134
2. ĐIỀU KIỆN ĐỂ HỆ CÓ NGHIỆM .................................................................................................................... 134
3. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH ....................................................................... 135
3.1 Phương pháp Crame...................................................................................................................................135
3.2 Phương pháp Gauss (phương pháp khử dần ẩn số). ..................................................................................135
4. BÀI TẬP rèn luyện ...................................................................................................................................... 140
4.1 Giải các hệ phương trình tuyến tính sau bằng phương pháp Crame .........................................................140
4.2 Giải các hệ phương trình tuyến tính sau bằng phương pháp Gauss .......................................................... 141
4.3 Giải và biện luận các hệ phương trình tuyến tính sau ................................................................................142

v


CHƯƠNG 1: GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN

1. KHÁI NIỆM HÀM SỐ MỘT BIẾN
1.1 Hàm số:

Cho X , Y là các tập con của tập hợp các số thực  , quy tắc f cho tương ứng mỗi số
x  X với một số duy nhất y  Y được gọi là hàm số một biến số thực.

Ta viết
f : X Y
x  y  f ( x)

Tập X được gọi là miền xác định. Tập f  X    y  Y / y  f  x  , x  X  được gọi là
miền giá trị của hàm số f .
Chú ý: Nếu hàm số cho bởi một công thức dạng y  f  x  thì miền xác định là tập hợp tất cả
giá trị của x làm cho biểu thức f  x  có nghĩa.
Ví dụ 1. 1. Hàm số y  f ( x)  x3 có miền xác định là  và miền giá trị là 
 1

Hàm số y  3 x  1 có miền xác định X    ;   và miền giá trị là T   0;   .
 3


1.2 Hàm số hợp:
Cho hai hàm số:
g :Y  Z
f : X Y
và
y  z  g ( y)
x  y  f ( x)

Một hàm số h : X  Z xác định bởi z  h( x)  g ( f ( x)) được gọi là hàm số hợp của
hàm f và hàm g . Kí hiệu là f  g .
Ví dụ 1. 2. Cho các hàm số y  f ( x)  x3 và y  g ( x)  sin x khi đó hàm hợp của

 

 

f  g ( x )  g  f  x    g x 3  sin x3 .

1.3 Hàm số ngược:
Cho hàm số y  f  x  xác định trên X và nhận giá trị trên Y , nếu với mọi y0  Y tồn
tại x0  g ( y0 )  X sao cho y0  f ( x0 ) thì hàm số y  g ( x) xác định trên Y và nhận giá trị
trên X được gọi là hàm ngược của hàm số y  f ( x) , kí hiệu là f 1 ( x ) .

1


Ví dụ 1. 3. Xét hàm số f  x   x3 xác định trên  và nhận giá trị trên  . Khi đó hàm số
g ( x )  3 x là hàm ngược của hàm f .

1.4 Các loại hàm số:
1.4.1 Hàm đơn điệu:
Cho hàm f xác định trên  a, b  .
Hàm f được gọi là tăng nếu với x1 , x2 thuộc  a, b  , x1  x2  f  x1   f  x2  . f được
gọi là giảm nếu x1  x2  f  x1   f  x2  .
Các hàm số tăng hoặc giảm gọi chung là các hàm số có tính đơn điệu.
1.4.2 Hàm chẵn, hàm lẻ:
Cho hàm

f

xác định trên tập X . Hàm

x  X   x  X , f   x   f  x  .

f

Hàm

f

được

được gọi là hàm chẵn nếu
gọi

là

hàm

lẻ

nếu

x  X   x  X , f   x    f  x  .
Hàm chẵn có đồ thị đối xứng qua trục tung, hàm lẻ có đồ thị đối xứng nhau qua gốc toạ
độ.
1.4.3 Hàm bị chặn:
- Ta gọi hàm số y  f ( x) là bị chặn trên trong tập D   nếu tồn tại số M   sao
cho f ( x)  M với mọi x  D .
- Ta gọi hàm số y  f ( x) là bị chặn dưới trong tập D   nếu tồn tại số N   sao cho

f ( x)  N với mọi x  D .

- Hàm số y  f ( x) được gọi là bị chặn trong tập D   nếu nó vừa bị chặn trên và vừa
bị chặn dưới, tức là tồn tại số 0  M   sao cho f ( x)  M với mọi x  D .
Ví dụ 1. 4. Các hàm số y  sin x, y  cos x là các hàm số bị chặn vì 1 mà | sin x | 1 và
| cos x | 1 với mọi x   .

-

Còn hàm số y 

1
là hàm số không bị chặn trong khoảng (0,  ) .
x

1.4.4 Hàm tuần hoàn
Giả sử hàm số f : X   xác định trên tập hợp số thực X . Nếu tồn tại một số dương

T sao cho với mọi x  X ta đều có: x  T  X & f ( x  T )  f ( x) (1) thì f gọi là một hàm
số tuần hoàn.

2


Từ đẳng thức trên suy ra: Với mọi x  X thì f ( x)  f ( x  T )  f ( x  2T )  ...
Nếu trong tập hợp các số T  0 thỏa mãn đẳng thức (1) có số nhỏ nhất thì số đó được
gọi là chu kì của hàm số tuần hoàn f .
Ví dụ 1. 5. Các hàm số f ( x )  sin x & g ( x)  2 cos  x  3  là những hàm số tuần hoàn có
chu kì 2, hàm số h( x )  2sin  2 x  5  có chu kì .
1.5 Hàm số sơ cấp
Ta gọi các hàm số gồm: hàm hằng, hàm luỹ thừa, hàm số mũ, hàm logarit, hàm lượng
giác, hàm lượng giác ngược là các hàm số sơ cấp cơ bản.

Ta gọi các hàm cho bởi một công thức duy nhất, trong đó có hữu hạn phép toán hàm
(tổng, hiệu, tích, thương và hợp hàm) tác động lên một số hữu hạn các hàm sơ cấp cơ bản là
các hàm số sơ cấp.
Sau đây là một số hàm số sơ cấp cơ bản.
1.5.1 Hàm số mũ:
Hàm số mũ y  a x , với 1  a  0. có miền xác định là  , miền giá trị là (0,  ) . Nếu

a 1 thì hàm đồng biến, 0  a 1 thì hàm nghịch biến.
1.5.2 Hàm số lôgarit
Hàm lôgarit y  log a x, với 1  a  0 có miền xác định là (0,  ) , miền giá trị là

 . Nếu a  1 thì hàm đồng biến 0  a 1 thì hàm nghịch biến. Hàm lôgarit y  log a x là
hàm số ngược của hàm số mũ y  a x .
1.5.3 Hàm số lũy thừa:
Hàm lũy thừa có dạng y  x , với   .
-

Nếu  là số hữu tỷ thì miền xác định của hàm lũy thừa phụ thuộc vào  . Chẳng hạn
1
2

y  x có miền xác định là (0,   ) ; nhưng hàm số y  x



1
3

có miền xác định lại là:

 \{0} .

-

Nếu  là số vô tỷ dương thì ta quy ước miền xác định là [0,  ).

-

Nếu  là số vô tỷ âm thì ta quy ước miền xác định của nó là (0,   ).

1.5.4 Các hàm số lượng giác.
-

Hàm số y  sin x có miền xác định  , miền giá trị [ 1, 1] , là hàm lẻ, tuần hoàn với
chu kỳ 2 .

3


-

Hàm số y  cos x có miền xác định  , miền giá trị [1,1] là hàm chẵn, tuần hoàn với
chu kỳ 2.

-

Hàm số y  tan x có miền xác định: x  (2k  1) 2 , k  , miền giá trị  , là hàm lẻ,

-

tuần hoàn với chu kỳ  .
Hàm số y  cot x có miền xác định: x  k , k  miền giá trị  , là hàm lẻ, tuần
hoàn với chu kỳ  .

1.5.5 Các hàm số lượng giác ngược
-

Hàm y  arcsin x là hàm ngược của hàm số y  sin x

-

Hàm y  arccos x là hàm ngược của hàm số y  cos x

-

Hàm y  arctan x là hàm ngược của hàm số y  tan x

-

Hàm y  arc cot x là hàm ngược của hàm số y  cot x

Tóm tắt định nghĩa của các hàm số ngược:
Hàm số lượng giác ngược

Miền xác định

Miền giá trị

y  arcsin x  x  sin y

1  x  1

 2  y  2

y  arccos x  x  cos y

1  x  1

0  y 

y  arctan x  x  sin y

  x   

 2  y  2

y  arccot x  x  sin y

  x   

0  y 

2. GIỚI HẠN HÀM MỘT BIẾN
2.1 Giới hạn hàm một biến
Cho hàm số y  f  x  xác định trên  a, b  có thể trừ điểm x0   a, b  . Ta nói hàm số

y  f  x  có giới hạn là L khi x  x0 nếu với mọi   0 (có thể bé bao nhiêu tùy ý) ta luôn
tìm được số   0 sao cho với mọi giá trị x  ( x0   ; x0   ) \  x0  ta đều có f  x   L   .
Khi đó ta viết lim f  x   L .
x x0

Nói theo cách bình thường, hàm số y  f ( x) có giới hạn là L khi x tiến tới x0 nếu hàm
số đó nhận giá trị rất gần L khi x có giá trị gần x0 .

4


2.2 Giới hạn một phía:
Nếu x  x0 mà x  x0 thì ta quy ước viết x  x0 và nếu x  x0 mà x  x0 thì ta quy
ước ta viết x  x0 .
2.2.1 Giới hạn bên trái
Số L được gọi là giới hạn trái của hàm số y  f ( x) khi x  x0 nếu với mọi   0
luôn tìm được   0 sao cho với mọi x   x0   ; x0  ta luôn có f  x   L   . Khi đó viết
lim f  x   L .

x  x0

2.2.2 Giới hạn bên phải
Số L được gọi là giới hạn phải của hàm số y  f ( x) khi x  x0 nếu với mọi   0
luôn tìm được   0 sao cho với mọi x   x0 ; x0    ta luôn có f  x   L   . Khi đó viết
lim f  x   L .

x  x0

Chú ý: lim f  x   L  lim f  x   lim f  x   L .
x  x0

x  x0

x  x0

2.3 Các tính chất:
2.3.1 Tính chất 1:

 xn    a, b 

lim f  x   A khi và chỉ khi với mọi dãy
x  x0

lim f  xn   A .
n 

2.3.2 Tính chất 2:
Nếu lim f  x   A, lim g  x   B, A, B   thì
x  x0

x  x0

5

sao cho lim xn  x0 đều có
n 






(i) lim f  x   g  x   A  B;
x  x0

(ii) lim f  x  g  x   AB;
x  x0

(iii) lim
x  x0

f  x A

g  x B

(iv) lim f  x 

gx

x  x0

 B  0 ;

 AB

 B  0.

2.3.3 Tính chất 3:
Nếu f ( x)  g ( x)  h( x) & lim f ( x)  lim h( x)  L  lim g ( x)  L.
x  x0

x  x0

x  x0

2.4 Một số giới hạn cơ bản:

sin x
1
x0 x

1

lim

3

lim

5

x  

7

x 0

2

lim arctan x 

x 

2

x 0

tan x
1
x 0 x

6

x  

8

lim

lim tan x   
2

lim arctan x  

12

x 

lim a x  0 ;

( 0  a  1)

lim log a x   

x 

(a 1)
lim log a x   

x 

( 0  a  1)

14

16

18

6

2

lim arc cot x  

lim a x   , ( a  1)

x  



x 

x  

x 

arcsin x
1
x

4

10

11

17



lim

lim arc cot x  0

x 

15

arctan x
1
x

lim tan x   

9

13

2

lim a x  0, ( a 1)
lim a x   

x 

( 0  a  1)

lim log a x   ,

x  0

( a  1)
lim log a x   

x  0

( 0  a  1)


19

lim

a x 1
 ln a
x 0
x

20

lim

21

lim

(1  x)  1
1
x 0
x

22

lim

23

lim

ln (1  x)
1
x 0
x

24

lim

25

lim

x 

xp
0
ex

 1
lim 1    e
x 
x

log a (1  x)
1

x 0
x
ln a
x 

1
 0 (  0)

x
1

26

lim 1  x  x  e

28

1
 1
lim 1    .
x  
x
e

x

27

e x 1
1
x 0
x

x 0

x

2.5 Vô cùng bé, vô cùng lớn:

2.5.1 Vô cùng bé:
Hàm   x  được gọi là vô cùng bé khi x  x0 nếu lim   x   0.
x  x0

2.5.2 Vô cùng lớn:
Hàm   x  được gọi là vô cùng lớn khi x  x0 nếu lim   x   .
x  x0

2.5.3 So sánh hai vô cùng bé
Xét hai vô cùng bé f ( x) và g ( x)  khi x  x0 hay x    .
(i) Nếu lim

x  x0
( x  )

f ( x)
 0 thì ta nói f ( x) là vô cùng bé bậc cao so với g ( x) (nghĩa là f ( x)
g ( x)

dần tới 0 nhanh hơn g ( x) đến nỗi tỷ số
(ii) Nếu lim

x x0
( x  )

(iii) Nếu

lim

f ( x)

vẫn còn dần tới 0)
g ( x)

f ( x)
 k  0 thì ta nói f ( x) và g ( x) là vô cùng bé cùng bậc .
g ( x)

x x0
( x  )

f ( x)
 1 thì f ( x) và g ( x) được gọi là hai (VCB) tương đương, ký
g ( x)

hiệu là : f ( x)  g ( x).
Chú ý: Nếu   x  là vô cùng bé khi x  x0 thì

7

1
là vô cùng lớn khi x  x0 .
  x


2.5.4 So sánh các vô cùng lớn:
Xét hai vô cùng lớn f ( x) và g ( x) ( khi x  x0 hay x  )
(i) Nếu

lim

x  x0
( x  )

(ii) Nếu lim

x x0
( x  )

f ( x)
   thì ta nói f ( x) là vô cùng lớn bậc cao so với g ( x).
g ( x)
f ( x)
 k  0 ( k  const ) thì ta nói f ( x) và g ( x) là hai vô cùng lớn cùng
g ( x)

bậc.
(iii)Nếu lim

x  x0
( x  )

f ( x)
 1 thì f ( x) và g ( x) được gọi là hai vô cùng lớn tương đương,
g ( x)

ký hiệu là: f ( x)  g ( x).
2.5.5 Ứng dụng thay các vô cùng bé, vô cùng lớn trong tính giới hạn
Giả sử f ( x), F ( x), g ( x), G ( x) là các vô cùng bé (hay các vô cùng lớn)) đồng thời khi

x a

 lim f ( x).g ( x)  lim F ( x).G ( x)
xa
 f ( x)  F ( x)
 xa
Nếu 

f ( x)
F ( x)
 lim
 g ( x)  G ( x)
 xlim
xa G ( x)
 a g ( x)
Ví dụ 1. 6. Xét các giới hạn:
(a) lim
x 0

sin x
 1 nên sin x ~ x khi x  0 .
x

x 1
 lim
x 1
x  1 x1
cấp khi x  1 .

(b) lim





x  1  2 nên x  1 và

(c) Cho     0 thì lim
x 0

x  1 là hai vô cùng bé cùng

x

 lim x    0 nên x là vô cùng bé cấp cao hơn

x

0
x


vô cùng bé x khi x  0 .

ex
x
(d) lim   nên e là vô cùng lớn cấp cao hơn x khi x   .
x  x
2.5.6 Một số vô cùng bé tương đương:
1

sin x  x

khi x  0

8


2

tan x  x

khi x  0

3

x2
1  cos x 
2

khi x  0

4

arcsin x  x

khi x  0

5

arctan x  x

khi x  0

6

ea x 1  a x

khi x  0

7

a x  1  x ln a

khi x  0

8

ln(1  ax)  ax

khi x  0

9

(1  x )  1  x

khi x  0 và   0

10

(     )  

11

( A  B  C)  A

 ,  ,  là các (VCB) khi x  a và  là (VCB) bậc
thấp nhất (Quy tắc ngắt bỏ (VCB) bậc cao)

A, B, C là các (VCL) khi x  a và A là (VCL)
bậc cao nhất (Quy tắc ngắt bỏ (VCL) bậc thấp)

3. HÀM MỘT BIẾN LIÊN TỤC
3.1 Hàm số liên tục:
Cho hàm số y  f  x  xác định trên  a, b  , x0   a, b  . Hàm f  x  được gọi là liên
tục tại x0   a, b  nếu lim f  x   f  x0  .
x  x0

-

Nếu lim f  x   f  x0  ta nói hàm f liên tục trái tại x0 .

-

Nếu lim f  x   f  x0  ta nói hàm f liên tục phải tại x0 .

x  x0

x  x0

3.2 Hàm số liên liên tục trên khoảng
Hàm số liên tục trên khoảng  a, b  nếu nó liên tục tại mọi điểm trên khoảng đó. Hàm số

liên tục trên đoạn  a, b  nếu nó liên tục trên khoảng  a, b  và liên tục trái tại b liên tục phải
tại a .
3.3 Các tính chất
3.3.1 Tính chất 1:
Hàm số y  f  x  liên tục tại x0   a, b  nếu và chỉ lim f  x   lim f  x   f  x0  .
x  x0

9

x  x0


Hàm số không liên tục tại x0 thì được gọi là gián đoạn tại điểm đó.
3.3.2 Tính chất 2:
Nếu các hàm số f  x  và g  x  cùng liên tục tại x0 thì các hàm sau đây cũng liên tục
tại x0 .
(i)

f  x  g  x ;

(ii)

f  x g  x;

(iii)

f  x
 g  x0   0  ;
g  x

(iv)

f  x

g x

 g  x   0.

3.3.3 Tính chất 3:



Nếu hàm f  x  liên tục tại x0 , hàm g  y  liên tục tại y0  f  x0  thì hàm g f  x 
liên tục tại x0 .
3.3.4 Tính chất 4:
Nếu hàm số liên tục trên đoạn  a, b  thì nó bị chặn trên đoạn đó và do đó có giá trị lớn
nhất và nhỏ nhất trên đoạn đó.
Lưu ý: Các hàm sơ cấp liên tục trên tập xác định của nó.
4. BÀI TẬP THỰC HÀNH
4.1 Bài tập giới hạn
4.1.1 Chứng minh:
a) lim

x 6

1
4 x2 1
1
 13 ; b) lim  0 , c) lim


x x
x 1 ( x  1) 2
2x 1

Giải

a)

4 x2  1
4 x 2  1  13(2 x  1)
(2 x  1).(2 x  1)  13(2 x  1)
 13 

2x 1
2x 1
(2 x  1)

10






(2 x  1) (2 x  1  13)
(2 x  1)

 x6 



2


4 x2 1
 2 x  12  2 x  6 
 13    2 x  6  
2x 1
4x2 1
4 x2  1
 13    lim
 13, (đpcm).
x 6 2 x  1
2x 1

 x6   



b) Cho   0 bé tùy ý. Ta có:

M

1



1
1
1
 0  hay    x  do đó nếu lấy

x
x


  thì với mọi x thỏa mãn điều kiện x  M 

số A  0 cho trước bất kỳ, f ( x ) 

 

1
1
 0    lim  0. c) Với một
x x
x

1
1
 A  x 1 
. Chọn
2
( x  1)
A

1
1
ta được f ( A)  0 với mọi x mà 0  x  1    lim

x 1 ( x  1) 2
A

4.1.2 Chứng minh hàm số f ( x)  cos

1
không có giới hạn khi x  0.
x

Giải.
Nếu chọn hai dãy số có số hạng tổng quát : xn 

1
1
chúng ta suy
& xn 
2n
(2n  1) 2

ra: lim xn  lim xn  0, mặt khác chúng ta lại có:
n 

n 

+

 1
lim f  xn   lim cos  1

n 
n 
 2 n


  lim cos 2n 1
 n 

+


lim f  xn   lim cos  11
 (2 n 1) 
n 
n 

2


  lim cos(   n )  0
2
 n


Như vậy: lim xn  lim xn  0 nhưng lim f  xn   1  0  lim f  xn    lim f ( x).
n

n

n

4.1.3 Tìm các giới hạn sau:
a) I a  lim

x2

x2  5
,
x2  3

b) I b  lim

 x 1 
c) I c  lim 

x   2 x  1 

x 1

2  1 x
,
2x

x2

11

n 

x 0


Giải

Vì: a), b) không thuộc dạng vô định nào, nên ta có:

a) I a  lim

x 2

b) I b  lim

x 1

x2  5 4  5

 9.
x2  3 4  3
2  1 x

2x

2  1  1 2. 2

 2.
2.1
2

1

x 1
1
1
2

x
c) Vì : lim
 lim
 , còn lim x   , nên I c    .
1 2
x  2 x  1 x  
x  
 2
2
x
1

Theo kiến thức về hàm số mũ a x đã biết thì khi cơ số 0  a  1 thì lim a x  0,
x

1
Do đó I c   
2



 0.

4.1.4 Tính các giới hạn sau:
2 x2  x  3
a ) lim 3
; b) lim
x  x  8 x  5
x 

x
x x x

Giải.

2

1

3

 
2
3
2x2  x  3
0
a ) lim 3
 lim x x8 x5   0, (chia cho x3 )
x  x  8 x  5
x  1 
1
2
3
x

x

b) lim

x 

x x x

x

1

 lim

x  

1

1
x

 1 ( chia cho x )


1
x3

4.1.5 Tính các giới hạn sau:

a) lim

x  2

x3  3x 2  2 x
3 

 1
; b) lim 


2
x 1  1  x 1  x 3 
x  x6

Giải.

( x  2) ( x 2  x)
x3  3x 2  2 x
x 2  x ( 2) 2  2
a) lim

lim

lim

x  2
x  2 ( x  2) ( x  3)
x  2 x  3
2  3
x2  x  6

12




42

2
 .
5
5

 1

3 
3
1  x  x2  3
 1
b) lim 


lim


lim
 x1 
2 
2
x1  1  x 1  x 3 
 1  x (1  x)(1  x  x )  x 1 (1  x)(1  x  x )
 (1  x ) ( x  2)
x2  x  2
x2
3
 lim

  lim

 1 .
2
2
2
x 1 (1  x )(1  x  x )
x 1 (1  x ) (1  x  x )
x 1 1  x  x
3

 lim

lim

4.1.6 Tìm giới hạn:

x 1 3

x 1
x 1

Giải.
lim

x 1 3

 lim

x 1

x 1
( x  1) ( x  1)( 3 x 2  3 x  1)
( x  1)( 3 x 2  3 x  1)
 lim
 lim
x  1 x1 ( 3 x  1)( x  1)( 3 x 2  3 x  1) x1 ( x  1)( x  1)
3

x2  3 x  1 3
 .
2
x 1

4.1.7 Tính

I  lim

x0

2  1  cos x
x2
.

Giải

( 2  1  cos x )( 2  1  cos x )
2  (1  cos x)

lim

x 0
x 0 x 2 ( 2  1  cos x )
x 2 ( 2  1  cos x )

I  lim

2

2sin 2x
1  cos x
2
1
2

lim

.1.

2
x 0 x 2 ( 2  1  cos x )
x 0
8
4.  2x  ( 2  1  cos x ) 4 ( 2  2)

 lim

4.1.8 Tìm các giới hạn sau:

a ) I a  lim 
x 0 

1 x

1  x  1

2 x 

x

 x2 
; b) I b  lim 

x   2 x  1 

x2

Giải.
1 x

 1  x  1
a ) I a  lim 

x0  2  x 

x

1 x
1
 1 x  1
 lim 

 & lim
 1  Ia  .

x0  2  x 
2 x0 1  x
2

13

x

 x2  2x 1 
; c) I c  lim  2
 .
x  x  4 x  2 




 x2 
b) Ib  lim 

x  2 x  1 

x

2





1 
  lim 
 x  2 



2
x
1

x

lim x2

 x 





1
  
2



 0.

x

x

x
  x2  2 x  1
 x2  2 x  1 

2x 1 

c) I c  lim  2

lim
1


1

lim
1

  2

 


x  x  4 x  2 
x  
x  
x2  4 x  2 



  x  4x  2  


x2  4 x  2
2 x 1

 lim   1  22 x 1 
x  4 x 2 
x 









x (2 x 1)
x2  4 x  2

1
x
lim
x  1  4  2
x x2
2

e

2 x2  x
2
x  x  4 x  2

lim

e

 e2 .

4.1.9 Tìm các giới hạn sau:

a) lim

ln(a  x)  ln a
ln x  1
; b) lim
xe x  e
x

a) lim

ln  a a x 
ln  1  ax
ln(a  x)  ln a
 lim
 lim
x0
x 0

x
x
x

x 0

Giải.

x 0

  lim ln  1  ax   1
x 0

ln  1  xe  1 
ln xe
ln x  1
ln x  ln e
 lim
 lim
 lim
xe x  e
xe
xe x  e
xe
xe
xe

b) lim



ln 1  x e e
1
 lim
xe
e x e
e

  1.
e

4.1.10 Tìm các giới hạn sau:
a ) lim
x 0

esin 2 x  esin x
e2 x  1
; b) lim
x 0
3x
x

Giải.

a ) lim
x 0

e2 x  1 2
e2 x  1
2 2

 . lim
 1.  .
3x
3 x 0 2 x
3 3

 esin 2 x  1 esin x  1 
esin 2 x  esin x
 lim 


x 0
x 0
x
x
x



b) lim

14

a ax

a










 2. e sìn 2 x  1 sin 2 x e sìnx  1 sin x 

 lim 
.

.
x0 
sin 2 x
2x
sin x
x 


e sìn 2 x  1
sin 2 x
e sìnx  1
sin x
 2 lim
. lim
 lim
. lim
 2.1  1.1  2  1  1.
x  0 sin 2 x
x0 2 x

x  0 sin x
x0
x

4.1.11 Bằng cách thay thế các vô cùng bé tương đương tính các giới hạn sau:
a ) I a  lim

x 0

7 x  sin 2 x
;
sin 5 x  x 3

1  4 x 1

b) I b  lim

x 0 5 1  15 x

1

;

2014

x
earcsin
 6 1  6 x2  2
arcsin( x3  3x)
c) I c  lim

; d ) I d  lim
.
x0
x 0
ln(1  7 x)
ln(1  tan 2 x )

Giải.

a) I a  lim

x 0

7 x  sin 2 x
7x
7x 7
 lim
 lim
 .
3
x 0 sin 5 x
x 0 5 x
5
sin 5 x  x

1
.4. x
2
b) I b  lim
 lim 2

 .
5
1
x 0
1  15 x  1 x 0 .15. x 3
5
1  4 x 1

c) I c  lim

x 0

d ) I d  lim

arcsin( x3  3 x)
x3  3x
3x
3
 lim
 lim
 .
x0
x 0 7 x
ln(1  7 x)
7x
7

earcsin

2014 x

 6 1  6 x2  2

ln(1  tan 2 x )

x 0

 lim



e

arcsin 2014 x

x 0




1   1  6 x 2





ln(1  tan 2 x )

6.x 2
1

e arcsin x  1
arcsin 2014 x
6
 lim

lim

lim
 lim
2
x 0 ln(1  tan 2 x )
x 0 ln(1  tan 2 x )
x 0
x

0
tan x
tan 2 x
1
2 6
1  6x



2014



x 2014
x2

 lim
 lim
 lim x 2012  lim1  0  1  1.
2
2
x 0
x 0 x
x 0
x 0
x

4.1.12 Tính

I  lim

x 



x2 1  x



Giải.

15



1

6


 1




 I  lim ( x 2  1  x)  (  ) 2  1  (  )  (   )  1     ,
x 

 I  lim ( x  1  x)  lim
2

x  

( x 2  1  x)( x 2  1  x)

x  

1

 lim

x  

( x 2  1  x)

x2  1  x

0

2x 1

4.1.13 Tính I  lim

x 

x2  x  1

Giải.
2x 1

 I  lim

x  

 I  lim

x 

4.1.14 Tính

x2  x  1
2x 1
x2  x  1

I  lim

x 0

x  12

 2 lim

 x  12 

x 

2

 34

2( x  12 )

 lim

x  

1 2
2

x  



2

 lim

 lim
3
4

1

x 

x  



3

4 x 1

2
1



2



3

4 x 1

2



2
 2.
1 0



2



2

2
1 0

2

1  cos 4 x
x

Giải:

2 sin 2 x
2sin 2 2 x
 lim
x 0
x

x

Vì : lim

1  cos 4 x

x

 lim

1  cos 4 x
2sin 2 2 x
 2 sin 2 x
sin 2 x
 lim
 lim
  2 2 lim
  2 2 (*)



x
x
x
2x
x 0
x 0
x 0

 lim

1  cos 4 x
2 sin 2 2 x
2 sin 2 x
sin 2 x
 lim
 lim
 2 2 lim
 2 2 (**)
x
x
x
x0 
x  0
x 0  2 x

x 0

x 0 

x 0 

. Do đó :

4.2 Bài tập về hàm liên tục:
4.2.1 Chứng minh rằng các hàm số a ) y  x 2 , b) y 

3

x liên tục tại x0  .

Giải.
a )    0, x0   : x 2  x02  ( x  x0 ) 2  2 x0 ( x  x0 )

2

 x  x0

2

 2 x0 x  x0  

2

 x  x0  2 x0 x  x0    0 (1). Đặt t  x  x0  (1)  t 2  2 x0 t    0 (2)
2

  x0     
với t   x0 

x0

2

   t1, 2   x0 

2

2

x0   .

x0   thì thỏa mãn (2), nên x  x0   x0 

16

2

x0  


2

x0      0 thì x  x0    x 2  x02   nên hàm số

Lại đặt:  x0 

y  x 2 liên tục tại x0  .

b)    0 & x0  , ta có:



x  x0
2

13  33 2
3
x0  
x0

 x
2

 4

3



x  3 x0 

x  x0
3

x 2  3 x.x0  3 x02

x  x0
3
   x  x0  . 3 x02 . .
3 3 2
4
. x0
4

3
Đặt:   . 3 x02 .  x  x0   
4
x  x0  .

x  3 xo   nên hàm số y 

3

3

x liên tục tại điểm

1

khi x  0

6
f ( x)  
3
 1  x  1  x khi x  0

x
4.2.2 Cho hàm số
.
Xét tính liên tục của hàm số trên tại điểm x  0.
Giải

1
 f (0)  .
6
1 x  3 1 x
( 1  x  1)  ( 3 1  x  1)
 lim f ( x)  lim
 lim
x 0

x0
x 0
x
x
 lim

x 0

3
1 x 1
1 x 1 1 1 1
 lim
    f (0) .
x 0
x
x
2 3 6


1  cos 2 x
x    2 , 2  \ 0
 sin x 
f ( x)  
sin x

2
khi x  0

4.2.3 Cho hàm số:
.

Xét tính liên tục của hàm số tại x  0.
Giải.

x    2 , 2  \ 0  f ( x)  sin x 

2 sin x
1  cos 2 x
2sin 2 x
 sin x 
 sin x 
sin x
sin x
sin x

17



2 sin x
 lim f ( x)  lim  sin x 


sin x
x 0
x 0 


  sin 0  2  0  2 



2 sin x
 lim f ( x)  lim  sin x 


sin x
x 0
x 0 


  sin 0  2  0  2   2.


2.

Vì: lim f ( x)  2   2  lim f ( x )  f ( x ) gián đoạn tại điểm x  0.
x  0

x  0

4.2.4 Cho hàm số
 1
sin khi x  0
. Xét tính liên tục của hàm số tại x  0.
f ( x)   x
 1 khi x  0

Giải.
Chọn hai dãy điểm

 x n  và  xn  với xn  n1

& xn 

2
. Khi đó ta có:
 (1  4 n)

Chọn hai dãy điểm

 x n  và  xn  với xn  n1

& xn 

2
. Khi đó ta có:
 (1  4 n)

n
 xn 
 0  lim f ( x n )  lim sin
n

n

n
 xn 
 0  lim f ( xn )  lim sin
n

n 

1
1
n

 sin n   0,

(1)

1


 lim sin   2n   1, (2)
2
n 
2

 (1  4n)

Từ (1) và (2)  lim f ( x n )  lim f ( xn )  lim f ( x ) không tồn tại, nên hàm số f ( x) không
n

n 

n 

liên tục (gián đoạn) tại điểm x  0.

4.2.5 Cho hàm số

 sin  x
khi x  1

f ( x)   x 1
 
khi x  1


.

Chứng tỏ rằng hàm số f ( x) liên tục trên toàn bộ .
Giải
+ Nếu x  1  f ( x ) 

sin  x
là hàm liên tục nên f ( x) liên tục trên  \{1),
x 1

18

(1).


+ Tại x  1  f (1)    .

x  t 1
sin  x
sin  (t  1)

sin(   t )
 lim
 lim
 lim
Đặt: t  x  1 
t 0
t
t
( x 1)  t  0 x 1 x 1 t  0
sin(   t )
sin  t
   lim
   .1     f (1)  f ( x) liên tục tại x 1, (2). Từ (1) và
 t 0
 t 0  t
t

  lim

(2) suy ra f ( x) liên tục trên toàn bộ .

ax 2  bx 3 khi x  1

4.2.6 Cho hàm số: f ( x)  
5
khi x  1, với a, b là các tham số thực.
 2 x  3b khi x  1

Tìm các giá trị a và b để f ( x) liên tục tại điểm x  1.
Giải

 Khi x 1 f (1)  5

(1)

 lim f ( x)  lim (ax 2  bx  3)  a  b  3
x 1

(2)

x 1

 lim f ( x)  lim (2 x  3b)  2  3b
x1

(3)

x1

Từ (1), (2) và (3) ta suy ra: Hàm số f ( x) liên tục tại điểm x 1 khi và chỉ khi:

lim f ( x)  lim f ( x)  f (1)  a  b  3  2  3b  5

x1

x 1

a  b  3  5 a  b  2
a  3




.
  3b  2  5   3b  3  b   1
4.2.7 Cho hàm số

 e x khi x  0
f ( x)  
. Chọn a như thế nào để f ( x) liên tục trên toàn bộ .
 a  x khi x  0
Giải
Miền xác định của f ( x) là toàn bộ  .
+ Nếu x  0  f ( x )  e x là một hàm liên tục  x (,0),

(1)

+ Nếu x  0  f ( x)  a  x là một hàm liên tục  x (0, ),

(2)

+ Tại x  0  f (0)  a; lim f ( x )  lim e x  eo  1; lim f ( x )  lim ( a  x )  a.
x  0

x  0

19

x  0

x  0