Tóm tắt lý thuyết độ từ hóa của các hệ spin giả hai chiều

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
---- ----

Lê Thị Ngân

LÝ THUYẾT ĐỘ TỪ HÓA CỦA CÁC HỆ SPIN
GIẢ HAI CHIỀU

Chuyên ngành: Vật lí lí thuyết và vật lí toán
Mã số:

60 44 01 03

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

HÀ NỘI

1


MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Màng mỏng là một hay nhiều lớp vật liệu được chế tạo sao cho chiều dày nhỏ
hơn rất nhiều so với các chiều còn lại (chiều rộng và chiều dài). Khi chiều dày của
màng mỏng đủ nhỏ so với quãng đường tự do trung bình của điện tử hoặc các chiều dài
tương tác thì tính chất của màng mỏng hoàn toàn thay đổi so với tính chất của vật liệu
khối.
Màng từ có thể là đơn tinh thể, đa tinh thể, vô định hình hoặc là đa lớp. Ứng
dụng bao gồm các lĩnh vực bộ lưu trữ quang từ, đầu ghi cảm ứng, cảm biến từ trở, các
thành phần xử lý và lưu trữ của máy tính. Màng mỏng từ tính và tính chất của nó đã

thu hút rất nhiều sự quan tâm chú ý của nhiều nhà khoa học trong suốt 30 năm qua.
Đặc biệt là những hiệu ứng liên quan đến sự phụ thuộc vào độ dày màng mỏng.
Một số tác giả đã nghiên cứu và chỉ ra được sự phụ thuộc độ từ hóa và nhiệt độ
Curie vào độ dày màng mỏng bằng phương pháp phiếm hàm mật độ (DFT) và phương
pháp tích phân phiếm hàm.
Dựa trên những ý tưởng đó, luận văn này sẽ đi sâu nghiên cứu về độ từ hóa và
sóng spin màng từ siêu mỏng với vài lớp spin nguyên tử bằng phương pháp hàm Green
nhiệt độ hai thời điểm và phương pháp gần đúng ngắt chuỗi của Bogolyubov và
Tiablikov. Với tên luận án là: “Lý thuyết độ từ hóa của các hệ spin giả hai chiều”.

2. Phương pháp nghiên cứu
Trong luận văn này, chúng ta sử dụng phương pháp hàm Green nhiệt độ hai thời

2


điểm và phương pháp ngắt chuỗi của Bogolyubov và Tiablikov để nghiên cứu tính toán.
Đồng thời, công cụ Matlab cũng được sử dụng để tính toán số và vẽ đồ thị.
3.

Cấu trúc của luận văn.

Luận văn ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, gồm có 3
chương:
Chương 1: Hàm Green nhiệt độ hai thời điểm
Chương 2: Độ từ hóa và phổ sóng spin trong gần đúng Bogoliubov và Tiablikov
Chương 3: Độ từ hóa và phổ sóng spin trong màng mỏng từ một lớp và hai lớp spin
nguyên tử

3

CHƯƠNG 1: HÀM GREEN NHIỆT ĐỘ HAI THỜI ĐIỂM
1.1.

Định nghĩa hàm Green

Chúng ta định nghĩa hàm Green chậm (ký hiệu r – retarded), nhanh (a –
advanced) và nguyên nhân (c – causal) như sau:

( r ) ( t , t ') =
G AB

A( t ) | B( t ')

( r)

( a ) ( t , t ') =
G AB

A( t ) | B( t ')

( a)

c)
G (AB
( t , t ') = A( t ) | B( t ')

= θ ( t − t ') [ A( t ) , B( t ') ] ξ
= −θ ( t '−t ) [ A( t ) , B( t ') ] ξ

( c)

(
1.1a)
(
1.1b)

= Tξ A( t ) B( t ')
(1.1c)

([ ,j])ξ
G AB
(E)

Ở đây ký hiệu giao hoán tử và
trật tự thời gian cũng như hàm bậc

thang θ(x) có ý nghĩa là

[ A( t ) , B( t ') ] ξ

= A( t ) B( t ') − ξB( t ') A( t )
(1.2a)

Tξ A( t ) B( t ') = θ ( t − t ') A( t ) B( t ') + ξθ ( t '−t ) B( t ') A( t )

(
1.2b)

(1.2c) θ ( x ) = 1, x > 0
0, x < 0
Tham số ξ = 1 hay -1 được
chọn tuỳ theo sự tiện lợi không phụ thuộc vào định luật giao hoán cho A, B. Thông
thường người ta chọn ξ = 1 nếu các toán tử A, B thể hiện qua các toán tử kiểu Bose và
ξ = -1 nếu chúng được thể hiện qua các toán tử kiểu Fermi.

4


Một trong các tính chất của hàm Green là do chúng được biểu thị qua các hàm
tương quan nên chúng cũng chỉ là hàm số của hiệu thời gian (t – t’).
(j = r, a, c) G ( j ) ( t , t ') = G ( j ) ( t − t ')
AB
AB
(1.3)
Ta viết được phương trình chuyển động (viết chung cho cả ba loại hàm Green)
i

d
dt

A( t ) | B( t ')

( j)

= iδ ( t − t ') [ A( t ) , B( t ') ] ξ +

[ A( t ) , H ] | B( t ') ( j )
(j=r,a,c)

1.2

(1.4)

Biểu diễn Fourier cho hàm Green

Vì hàm Green là hàm của biến (t – t’) (cũng như các hàm tương quan) ta có thể
phân tích các hàm đó theo tích phân Fourier
G ( j ) ( t − t ') =
AB

∞

∫

(1

G ( j ) ( E ) e − iE ( t − t ') dE

−∞

AB

( j()j )
GGAB
Et)' )
AB(t(−

.5a)

gọi là ảnh Fourier của nguyên
hàm .

Biến đổi Fourier ngược cho ta mối liên hệ giữa ảnh Fourier và nguyên hàm

( j) ( E) = 1
G AB

∞

(1

( j)
iE ( t )
∫ G AB ( t ) e dt

2π − ∞

.5b)

Với j = r, a, c
Sử dụng (1.5a) ta có thể viết phương trình chuyển động cho hàm Green (1.4):
∞
∞
i ∞ − iE(t − t')
(j) − iE(t − t')
e
dE =
dE [ A,B ] ξ + ∫

∫ E A|B
∫ e
E
2π − ∞
−∞
−∞

5

[ A,H ]

B

(j) − iE(t − t')
e
dE
E


Hay
E A| B

( j)
E

=

i
2π

[ A, B ] ξ

+

[ A, H ]

B

( j)
E

(1.6)
Ở đây, ký hiệu biểu thị hàm

( j)

GAAB
|B
[ A,H
] ( EB(E)j )(j)
E

Green ảnh , còn là hàm Green ảnh

của hàm Green bậc cao tương ứng.
1.3

Biểu diễn phổ cho hàm Green

Ảnh Fourier cho hàm Green chậm (1.30) bây giờ được biểu diễn qua hàm cường

độ phổ như sau:

∫ (e

∞

i
G(r) ( E) =
AB

2π

ωθ

−∞

)

(1.

dω
− ξ ..I AB ( ω )
E − ω + iε

7)

Bằng cách hoàn toàn tương tự ta có biểu diễn cho hàm Green nhanh

( a) ( E ) =
G AB

∫ (e

∞

i
2π

ωθ

)

− ξ ..I AB ( ω )

−∞

dω
E − ω − iε

(1.8)

((1.8) chỉ khác (1.7) khi thay +iε → -iε)
Trong (1.7) (1.8) E được coi là thực. ÷ Bây giờ nếu ta coi E là đại lượng phức thì
(1.7), (1.8) có thể viết chung làm một công thức
i
G AB ( E ) =
2π

∫ (e

∞

−∞

ωθ

)

G ( r ) ( E )
dω
− ξ .I AB ( ω )
=  AB
E − ω G ( a ) ( E )
 AB

,

Im E > 0

,

Im E < 0
(1.9)

(1.7) (1.9) được gọi là biểu diễn phổ ÷ cho hàm Green.

6


( ar )

G AB
(E)

Hàm Green chậm và nhanh là
các hàm giải tích trong nửa mặt phẳng

trên (ImE > 0) và dưới (ImE < 0) tương ứng. Cả hai hàm đó có thể xem như một hàm
giải tích GAB(E) có một cực trên trục thật (cho nên trong tính toán nhiều khi ta không
viết ký hiệu hàm Green chậm, nhanh – r hoặc a).
Cũng tương tự ta có thể thiết lập biểu diễn phổ cho hàm Green nguyên nhân
∞

 eω θ

ξ
I
(
ω
)
−

dω
AB
2π −∫∞
 E − ω + iε E − ω − iε 

i
G ( c) ( E ) =
AB

(1.10)

Sử dụng biểu diễn sau cho hàm delta – Dirac
1 ( ε →1 0 )
= P iπδ ( x )
x
±
i
ε
x
1)

(1.1

P – ký hiệu chỉ giá trị chính
Sử dụng (1.11) ta viết (1.10) trong dạng khác

( c) ( E ) =
G AB

i
2π

∞


1
1





I AB ( ω ) eω θ  P
− iπδ ( E − ω )  − ξ  P
+ iπδ ( E − ω )  dω
 E −ω

 E −ω


−∞

∫

( c) ( E ) =
G AB

(

)

∞

i
1
eω θ − ξ I AB ( ω )  P
− iπ
∫
2π − ∞
 E − ω

eω θ + ξ


δ ( E − ω ) dω

eω θ − ξ

(1.12)
Hàm Green nguyên nhân (1.12) chỉ xác định trên trục thật (E thực) ở nhiệt độ hữu
hạn θ ≠ 0 không thể khai triển vào mặt phẳng phức được, do đó người ta ít sử dụng nó.
Từ nay về sau ta sẽ sử dụng hàm Green nhanh hoặc chậm mà thôi.
Một ứng dụng quan trọng của biểu diễn phổ (1.12) là ta có thể xác định cường độ
7


phổ IAB(ω) nếu biết ảnh Fourier GAB(E)
I AB ( ω ) = { G AB ( ω + iε ) − G AB ( ω − iε )}

1

(1

eω θ − ξ .13)

CHƯƠNG 2 : ĐỘ TỪ HÓA VÀ PHỔ SÓNG SPIN TRONG GẦN ĐÚNG
BOGOLIUBOV VÀ TIABLIKOV
2.1 Chuỗi Hàm Green spin cho màng mỏng
m a = − gµ B S

Xét màng mỏng có từ tính có

độ dày hữu hạn n lớp nguyên tử nhưng trong mặt xOy có đối xứng tịnh tiến, số spin
trong một mặt phẳng mạng spin là N (N ~ ∞), mỗi nguyên tử có moment từ spin .
Xét mạng spin nguyên tử trong màng mỏng mô tả trên hình 1:

8


Sν j

h

z

ν
y

rν j

aν z

…

ν=1

Rj

x

O

Hình 1: Mô hình màng mỏng gồm nhiều lớp spin nguyên tử trong hệ tọa độ
Trục z vuông góc với mặt màng. Mặt phẳng xOy song song với mặt màng.
a là hằng số mạng;
rνj = R
Srννjj + aνzˆ

là vectơ chỉ vị trí spin ();

là vectơ 2 thành phần mô tả vị trí R j của spin trên mặt xOy.
là thành phần vectơ vị trí trên trục aνzˆ Oz.
Hamiltonian Heisenberg mô tả hệ spin tương tác với nhau trong màng
H =−

H =−

1
Jνj ,ν ' j 'Sνj Sν ' j ' − gµ B h∑ Sνzj
∑
2 νj ,ν ' j '
νj

)

(

1
Jνj ,ν ' j ' Sνxj Sνx' j ' + Sνyj Sνy' j ' + Sνzj Sνz' j ' − gµ B h∑ Sνzj
∑

2 νj ,ν ' j '
νj
(2.1)

(

Jνj ,ν ' j ' = J rνj − rν ' j '

9

)


Tương tác trao đổi giữa hai spin ở rνrν' jj ' nút mạng và chỉ phụ thuộc khoảng cách.

(

J
= Jνν ' R j − R j '
(2.2) νj ,ν ' j '
R j − R j'

)

Hay tích phân trao đổi là hàm

tuần hoàn của Error: Reference source not found.
Số hạng thứ hai trong (2.1) là số hạng tương tác của các spin trong màng mỏng
với trường ngoài h song song với trục Oz.
Thông thường ta sử dụng các toán tử tăng giảm spin

±
x
z
(2.3) Sνj = Sνj ± iSνj ; Sνj
y

Sử dụng (2.3) ta có thể viết Hamiltonian (2.1) trong dạng sau

H =−

){

(

}

1
Jνν ' R j − R j ' Sν−j Sν+' j ' + Sνzj Sνz' j ' − gµ B h ∑ Sνzj
∑
2 ν jν ' j '
νj

(2.4)

(2.4) là Hamiltonian Heisenberg cho hệ spin màng mỏng trong trường ngoài viết cho
các biến toán tử Error: Reference source not found.
Để nghiên cứu động học của hệ ở nhiệt độ hữu hạn, ta tính hàm Green chậm sau

Gνrj ,ν ' j ' ( t , t ') =

Sν+j ( t ) | Sν−' j ' ( t ')
(2.5)

[

Gνrj ,ν ' j ' ( t , t ') = θ ( t − t ') Sν+j ( t ) , Sν−' j ' ( t ')

]

−

(2.6)

1
Gνrjν ' j ' ( E ) =

2π

+∞

∫ d (t − t ' )e

iE (t − t ')

−∞

δ (t − t ' ) =

1
2π

+∞

∫ dEe

−∞

10

Gνrjν ' j ' (t − t ' )

(2.7)

− iE (t − t ')

(2.8)


Ta có phương trình chuyển động SS−+ trong biểu diễn năng lượng cho hàm Green
νν'jj '
chậm xây dựng dựa trên các toán tử ,

EGνrj ,ν ' j ' ( E ) =

(

i
Sνzj δνν 'δ jj ' − ∑ Jν 1ν R j1 − R j
π
ν j

1 1

Sνz j Sν+j Sν−' j '
1 1

−

)

Sνzj Sν+ j Sν−' j '
1 1


r 


r

+
−
 + gµ B h Sνj Sν ' j '
E
E


r
E

(2
.9)

Nếu lấy đạo hàm theo t tiếp cho hàm Green bậc cao hơn nữa và tiếp tục quá trình đó ta
sẽ nhận được chuỗi phương trình móc xích cho các hàm Green

[Sν ( t ), H ] Sν
+
j

−
' j' ( t )

;

[ Sν ( t ), H ], H ] Sν

−
' j ' ( t ) ...

+
j

Chuỗi móc xích cho các hàm Green không giải chính xác được mà cần phải áp dụng
một phép gần đúng nào đó, ở đây chúng ta sử dụng phép ngắt chuỗi của Bogolyubov và
Tiablikov, và nhận được một phương trình hữu hạn, sau đó giải hệ để tìm biểu thức cho hàm
tương quan.
2.2 Phương trình cho độ từ hóa và phổ sóng spin
Ở đây, trong gần đúng đơn giản S z nhất ta áp dụng công thức ngắt chuỗi của
νj
Bogolyubov và Tiablikov thể hiện các hàm
Green bậc cao ở vế bên phải của (2.18) qua

hàm Green ban đầu và trung bình thống kê toán tử , cụ thể là:

Sνzj Sν+ j Sν−' j '
1 1
Sνz j Sν+j Sν−' j '
1 1

→ Sνz
→ Sνz
1

Sν+ j Sν−' j '
1 1
Sν+j Sν−' j '

(2
.10)
Từ đây ta có

phương trình:



i
Jν 1ν ( 0 ) Sνz1  Gννr ' ( k ,E ) + ∑ %
Jν 1ν ( k ) Sνz Gνr1ν ' ( k ,E ) = Sνz δνν '
E − g µBh − ∑ %
π
ν1
ν1



11


(2.11)

~
Jν1ν ( k )

Trong (2.11) là ảnh Fourier không
gian của tích phân trao đổi lấy trong gần

đúng lân cận gần nhất:

 4 J s ,ν = ν 1
 p ,ν = ν 1 ± 1

∑ Jν 1ν (0) = ∑ Jν 1ν (R) = ∑ Jν 1ν ( R j1 − R j ) =  J
~

ν1

ν1,R

ν 1 j1

(2.12)

∑ Jν 1ν ( k ) = ∑ Jν 1ν ( R j1 − R j )e

~

ν1

j1

(

)

(

)

 2 J s cos k x a + cos k y a ;ν = ν 1
ik R j1 − R j
=
;ν = ν 1 ± 1
J p
(2.13)

Js là tích phân trao đổi giữa các spin lân cận gần nhất trong một lớp spin và Jp là tích
phân trao đổi giữa các spin là lân cận gần nhất thuộc các lớp spin cạnh nhau.

CHƯƠNG 3: ĐỘ TỪ HÓA VÀ PHỔ SÓNG SPIN TRONG MÀNG MỎNG ĐƠN
LỚP VÀ HAI LỚP SPIN NGUYÊN TỬ
3.1

Màng mỏng đơn lớp spin nguyên tử với trao đổi dị hướng

Với màng mỏng là đơn lớp, ta có υ = υ 1 = 1. Hàm Green chỉ có một loại nên ta bỏ chỉ
số 1 đi cho thuận tiện và biểu thị hàm Green chậm là

12


G1r j ,1 j' ( t ,t' ) =

S1+j ( t ) | S1−j' ( t' )

≡ G ±j , j' ( t ,t' )

G11r ( E,k ) ≡ G ± ( E,k )

Ảnh Fourier của nó là .
Thay vào phương trình

(2.23) ta có biểu thức cho hàm Green chậm sau:

Sz
i
G ( E,k ) =
π  E − g µBh − %
J 11 ( 0 ) S z + %
J 11 ( k ) S z 

±

(3.1a)

(3.1a) có dạng

Sz
i
G ( k ,E ) =
π  E − E ( k ) 
±

(3.2)

Vì các cực của hàm Green tương ứng với phổ năng lượng của sóng spin nên trong
trường hợp màng 1 lớp, phổ năng lượng sóng spin có dạng:

~
~
E ( k ) = gµ B h + J11 ( 0 ) S z − J11 ( k ) S z

(3
.3)

Ta xét trên một lớp màng, và giả định rằng chỉ xét đến những tương tác trao đổi giữa
các lân cận gần nhất.
Tuy nhiên, trường hợp trao đổi đẳng hướng giữa các spin là lân cận gần nhất trong
màng đơn lớp với mô hình Heisenberg theo định lý Mermin – Wagner tại T ≠ 0K không tồn
tại trật tự tầm xa. Điều này có nghĩa các trao đổi đẳng hướng giữa các spin lân cận gần nhất
trong màng đơn lớp là không được mô tả thích hợp trong phép gần đúng Bogolyubov và
Tiablikov. Tuy nhiên, Hamiltonian Heisenberg hai chiều đẳng hướng chỉ là mô hình lý tưởng.
Trên thực tế luôn có các loại tương tác khác như: tương tác dị hướng do trường tinh thể trong
mặt phẳng mạng, tương tác giữa các lớp hai chiều… phá vỡ đối xứng và màng mỏng đơn lớp
vẫn có thể có trật tự xa.

Vì vậy, ta khảo sát trường hợp tương tác dị hướng trong màng mỏng đơn lớp.

13


Cho rằng là tương tác trao đổi giữa các lân J s 12 cận gần nhất dọc theo hướng Ox, tương tác
trao đổi giữa các lân cận gần nhất dọc theo hướng Oy. Khi đó, ta có:

~
J11 ( k ) = 2 J s1 cos k x a + 2 J s 2 cos k y a
(3.4)

~
J11 ( 0 ) = 2 J s1 + 2 J s 2
(3.5)
Lúc này, phổ năng lượng được xác định theo công thức:

[

]

E ( k ) = gµ B h + 2 J s1 + J s 2 − J s1 cos k x a − J s 2 cos k y a S z

(3.6)

Đặt là tham số đặc trưng cho tính
J z
ρ = Ss 2
m = J s1 dị hướng của tương tác trao dổi trong
S

màng mỏng đơn lớp. là đại lượng đặc

trưng cho độ từ hóa.
Ta nhận được biểu thức cho phổ năng lượng của sóng spin không thứ nguyên (trong
đơn vị Js1)

ε k (τ ) =

E( k )
= B + 2 1 − cos k x a + ρ 1 − cos k y a mS
J s1

[

(3.8) là từ trường không thứ
nguyên (trong đơn vị Js1)

B=

(

)]

(3.7)

1
gµ B h
J s1

Với độ từ hóa được xác định thông qua biểu thức

m=

1
1+

1
∑∑
NS k x k y

1

 B + 2 1 − cos k x a + ρ ( 1 − cos k y a )  mS 




exp 
−1
τ


(3.9)

14


τ=

là tham số nhiệt độ không thứ

k BT
J s1 nguyên.

h
Cụ thể, để đơn giản hóa, ta có thể xem xét hệ không chịu ảnh hưởng bởi trường
ngoài, hay cho = 0. Từ các biểu thức trên kết hợp với việc sử dụng công cụ Matlab để tính
toán số và vẽ đồ thị, ta có các kết quả sau:

1

m

0.8
0.6
Hình 3.1 : Sự phụ thuộc của độ từ hóa m của màng mỏng từ đơn lớp vào nhiệt độ
Nhận xét:

0.4
-

Xét đồ thị trường hợp S=1, ρ=0.6 và trường hợp S=1, ρ=1.7, dễ dàng nhận ra,

độ từ hóa m tăng khi giá trị tham số dị hướng ρ tăng. Chọn tại cùng nhiệt độ, giá trị độ từ hóa

τc

τc

trong trường hợp ρ=0.6 nhỏ hơn giá trị độ từ hóa trong trường hợp ρ=1.7 (ví dụ: τ=0.01, m =
0.76(0.89) với ρ=0.6(1.7)).

0.2
0
-

Xét đồ thị trường hợp S=1, ρ=1.7 và trường hợp S=2, ρ=1.7, có thể nhận thấy

0.02

0.04

giá trị độ từ hóa tăng khi giá trị spin tăng. Tại cùng nhiệt độ, giá trị Spin tăng thì độ từ hóa
cũng tăng (ví dụ: tại τ=0.01, m=0.89(0.98) với S=1(2)).
-

Nhiệt độ Curie τc có giá trị nhỏ nhất ở trường hợp S=1, ρ=0.6, và nhận giá trị

15


lớn nhất ở trường hợp S=2, ρ=1.7. Như vậy, đường cong độ từ hóa cũng phụ thuộc vào giá trị
spin và tham số dị hướng trong mặt màng.

10

E

k

k

E E

k

20
5
10
10
0
−π-3
-4
0
5 −π-3
4

-2

-1

-2

-1

Hình 3.2: Sự phụ thuộc của phổ năng lượng sóng spin vào vectơ sóng ở các nhiệt độ

10
2
0
45

0
-4
0

E E
k

k

khác nhau, trường hợp S=1, ρ=1.7

Hình 3.3: Sự phụ thuộc của phổ năng lượng sóng spin vào vectơ sóng trong không

gian ba chiều, trường hợp S=1, ρ=1.7

2

Hình 3.4: Sự phụ thuộc của phổ năng lượng sóng spin vào vectơ sóng ở cùng nhiệt độ
τ=0.01

−π-3

Nhận xét:

−π-3

0
16

-2

ky

-2

-2

-1

-1 -4


Phổ sóng spin trong εkk →
→00 vùng Brillouin thứ nhất khi véc tơ sóng

-

do đó sóng spin trong màng mỏng đơn lớp có trao đổi dị hướng có thể gọi là sóng spin âm
học (acoustics spin wave ) theo cách gọi tương tự với phổ phonon trong chất rắn.
-

Từ hình 3.2 ta rút ra hai vấn đề sau: Thứ nhất, giá trị năng lượng của

sóng spin phụ thuộc vào nhiệt độ, nhiệt độ tỷ đối τ tăng thì giá trị năng lượng ε k cũng tăng.
Thứ hai, đồ thị thứ nhất được vẽ theo tham số ky (kx=0), đồ thị thứ hai được vẽ theo tham số kx
(ky=0). Trường hợp vẽ phổ năng lượng theo tham số k y, giá trị năng lượng lớn hơn, do theo
trục này xuất hiện tham số dị hướng ρ.
-

Hình 3.4 cho biết, giá trị năng lượng của sóng spin tăng khi chỉ số spin

S và giá trị tham số dị hướng trong mặt màng ρ tăng. Đồ thị thứ hai trong hình 3.4, nhận thấy
vẽ theo tham số kx(không có sự góp mặt của tham số dị hướng ρ) phổ năng lượng trong trường
hợp S=1, ρ=1.7 lớn hơn trong trường hợp S=1, ρ=0.6. Điều này chứng tỏ, giá trị năng lượng
cũng tỷ lệ thuận với giá trị độ từ hóa.
Những nhận xét này cho thấy kết quả tính toán số hoàn toàn phù hợp với công thức đã
tính toán được ở trên.
3.2

Độ từ hóa và phổ sóng spin trong màng mỏng từ hai lớp
3.2.1

Hệ phương trình cho hàm Green phụ thuộc chỉ số lớp spin

ν ,ν ' = 1,2

Với màng spin tự do hai lớp thì

chỉ số lớp có thể có các giá trị
Ta nhận được 2 phương trình sau:

{E − gµ

~

B h − J 11

(0)

}

~
±
S 1z − J 21 ( 0 ) S 2z G11
( k , E ) + J~11 ( k ) S1z G11± ( k , E ) = i S1z
π

~
±
− J 21 ( k ) S 1z G21
( k ,E )

17

(3.10)


{E − gµ

~

B h − J 12

(0)

}

~
±
±
S1z − J 22 ( 0 ) S 2z G21

( k , E ) = − J~22 ( k ) S 2z G21
( k ,E )

~
±
− J 12 ( k ) S 2z G11
( k ,E )

(3.11)

±
đối G ± ( kS, zE ) == G
S 2z22
, E.S)
11 1
12
21 (=km
xứng của màng mỏng từ tự do, hai lớp spin hoàn toàn giống nhau nên giá trị trung

Do

tính

bình của hình chiếu moment spin lên trục z không phụ thuộc các chỉ số 1, 2 nên ta có và ; .
Đặt

Ek ,m = g µ B h + 2J s mS  2 − ( cos k x a + cos k y a )  + J p mS

(3
.12)

Ở đây JS và Jp là tích phân trao đổi trong các lớp và giữa hai lớp.Giải phương trình
(3.10) và (3.11) cho ta biểu thức của các hàm Green chậm:
±
G22
( k , E ) = G11± ( k , E ) =


i
1
1
( E − Ek ,m )
−
2πJ p
 E − Ek ,m + J p mS E − Ek ,m − J p mS

(

)

(

)






(3.13)

±
±
G12
( k , E ) = G21
( k ,E ) = −

imS 
1
1
−
2π  E − Ek ,m + J p mS E − Ek ,m − J p mS

(

)

(

)





(3.14)

Tương tự như trường hợp màng mỏng 1 lớp, ta nhận được phổ năng lượng của sóng
spin từ cực của hàm Green chậm (3.13) gồm hai nhánh sóng spin:

[ (

)]

Ek+,m = Ek ,m + J p mS = gµ B h + 2 J s mS 2 − cos k x a + cos k y a + 2 J p mS
(3.15)

[ (

Ek−,m = Ek ,m − J p mS = gµ B h + 2 J s mS 2 − cos k x a + cos k y a

)]

(3
.16)

Ta xét trường hợp trao đổi trong mặt lớp là đẳng hướng, bằng Js , nhưng trao đổi giữa

18


hai lớp là Jp ≠ Js.
Phổ năng lượng sóng spin (3.15) (3.16) trong dạng không thứ nguyên được viết như
sau:

{

Ek+,m
ε (τ ) =
= B + 2  2 − ( cos k x a + cos k y a ) + η  mS
Js

+
k

{

Ek−,m
ε (τ ) =
= B + 2  2 − ( cos k x a + cos k y a )  mS
Js
−
k

Bη==

}

gJµp h
JJss

}

(3.17)

(3.18)

(3.19)

B ,được xác định theo biểu thức(3.19)η là từ trường không thứ nguyên và tham số
trao đổi dị hướng giữa các lớp (trong đơn vị Js).
Với hàm Green chậm (3.13), ta nhận được nghiệm của độ từ hóa m:

−1
β = + ;−


1
1

m = 1 +

∑
β
 2 NS k ,β exp ε k ,m τ − 1 

(

)

;

(3.20)

Giải số cho phương
trình độ từ hóa (3.20) với

phổ sóng spin ta được sự phụ thuộc của mô men từ tỷ đối vào nhiệt độ cho những tham số dị
hướng và giá trị spin S khác nhau (xem hình (3.4)).

19

η

1

m

0.8
0.6
Hình 3.5: Sự phụ thuộc của độ từ hóa m của màng mỏng từ hai lớp vào nhiệt độ
Từ hình vẽ trên ta có một số nhận xét sau

0.4

- Xét đồ thị trường hợp S=1, η=1.7 và trường hợp S=2, η=1.7, hoàn toàn phù

hợp với kết quả nhận được trong trường hợp màng mỏng từ đơn lớp, giá trị độ từ hóa tăng khi
giá trị spin S tăng.

τc

τc

- Xét trường hợp S=1, η=1.7 và trường hợp S=1, η=0.005, nhận thấy, giá trị độ

0.2
0

từ hóa tăng khi giá trị tham số dị hướng η tăng. Cụ thể, tại cùng nhiệt độ, khi giá trị tham số

0.02

0.04

giảm thì giá trị độ từ hóa cũng giảm (ví dụ: tại τ=0.01, m=0.93(0.91) khi η=1.7(0.005)).

0.06

- Độ cong độ từ hóa cũng phụ thuộc vào giá trị spin và giá trị tham số dị hướng

η. Nhiệt độ Curie cũng phụ thuộc giá trị spin và tham số dị hướng η, giá trị lớn nhất của τ c là
trường hợp S=2, η=1.7 và giá trị nhỏ nhất là tại trường hợp S=1, η=0.005.

20


+

Ek

5

E

k

Ek

0
-4
30 −π

-2

0
ky

2

10
20
5

+

Ek

k k

EE

π

Ek

100-4 −π

Hình 3.6: Sự phụ thuộc của phổ năng lượng của sóng spin vào vectơ sóng ở cùng nhiệt

-2

0
ky

độ trong trường hợp màng mỏng từ hai lớp, S=1

2

π

Hình 3.7: Sự phụ thuộc của phổ năng lượng của sóng spin vào vectơ sóng ở cùng nhiệt
độ (trong không gian ba chiều), trường hợp màng mỏng từ hai lớp, η=1.2

0
4

2

0
21

ky

-2

-4


k

E

15
10
5
0
-4
15
10
5
0
-4

khe
khe

−π -3

-2

-1

Hình 3.8: Sự phụ thuộc của phổ năng lượng của sóng spin vào vectơ sóng ở cùng nhiệt

E

k

độ trong trường hợp màng mỏng từ hai lớp, η=1.2

khe

Từ hình 3.6 và hình 3.8, ta nhận εk ±−+→
( τ 0) thấy nhánh có khe ở tâm vùng Brillouin
k

(k=0) có thể gọi là nhánh sóng spin quang

học (optical spin wave branch), tiến tới 0

khi cho nên có thể gọi là nhánh sóng spin âm học (acoustic spin wave branch). Khi η như

khe

nhau, tại cùng giá trị nhiệt độ, độ lớn khe năng lượng giữa các nhánh sóng spin tỷ lệ thuận với
giá trị spin. Khi S như nhau, tại cùng giá trị nhiệt độ, độ lớn khe năng lượng giữa các nhánh

−π-3

sóng spin tăng khi giá trị tham số dị hướng η tăng.

m = m(τ )

-2

Tính toán phổ năng lượng cho các

nhánh sóng spin được chỉ ra trên hình (3.6), (3.7) và (3.9). Ta thấy giữa hai nhánh sóng có khe
năng lượng phụ thuộc nhiệt độ thông qua độ từ hóa
(3.21) ∆ε ± = 2ηmS ; η = J p

J s1

3.2.2

Trường hợp trao đổi dị hướng cả trong các lớp và giữa hai lớp spin

ηρ =

Ta khảo sát trường hợp phức tạp
J sp2
Js1s1 hơn khi tương tác trao đổi giữa các lân

22

-1


cận gần nhất trong mỗi lớp là khác nhau và bằng Js1 , Js2 , tương tác trao đổi giữa hai lớp là Jp
nói chung là khác với Js1 , Js2 . Để thuận tiện tính toán trong các đơn vị không thứ nguyên ta
đưa vào các tham số đặc trưng cho trao đổi không đồng nhất,.
Lập luận tương tự như trường hợp màng mỏng đơn lớp. Ta có biểu thức rút gọn của
phổ năng lượng của sóng spin:

Ek+, m
+
ε k (τ ) =
= B + 2 1 + cos k x a + ρ 1 − cos k y a + η mS
J s1

[

{

) ] }

(

Ek−, m
−
ε k (τ ) =
= B + 2 1 + cos k x a + ρ 1 − cos k y a mS
J s1

{

[

(

)] }

(3.22)

(3.23)

1

m

0.8

Js1).

−1
β = +;−


1
1
m = 1 +

∑
β
 2 NS k ,β exp ε k ,m τ − 1 

(

)

0.6

B được xác định thông qua biểu thức (3.8) là từ trường không thứ nguyên (trong đơn vị

Khi đó, độ từ hóa được xác định thông qua biểu thức sau
;

0.4

(3.24)

Giải số phương trình (3.24) sử dụng công cụ Matlab (xem phụ lục) ta được các kết quả

trình bày trên hình 3.7

0.2
0

0.02

τc τc
23

0.04

τc
0.06

0.0


k

10

E

5

[ A,
khe

khe

0
-4

−π-3

-2

-1

Hình 3.9: Sự phụ thuộc của độ từ hóa m của màng mỏng từ hai lớp vào nhiệt độ
Nhận xét:

Như vậy độ từ hóa là tỷ lệ thuận với sự tăng cường độ tương tác trao đổi trong các lớp
spin và với cường độ tương tác trao đổi giữa các lớp.

5

E

k

Hình 3.10: Sự phụ thuộc của phổ năng lượng sóng spin vào vectơ sóng ở cùng nhiệt

độ, trường hợp màng mỏng 2 lớp có dị hướng, η=1.2, S=1

khe khe

Hình 3.11: Sự phụ thuộc của phổ η = 1.2 năng lượng sóng spin vào vectơ sóng ở các
nhiệt độ khác nhau, trường hợp màng mỏng 2 lớp có dị hướng ρ=1.7, , S=1

0
-4

−π-3 24

-2

-1


15

E

k

10
5

Hình 3.12: Sự phụ thuộc của phổ năng lượng sóng spin vào vectơ sóng ở các nhiệt độ
khác nhau (trong không gian ba chiều), trường hợp màng mỏng 2 lớp có dị hướng
Một số kết quả trong luận văn đã được báo cáo tại Hội nghị Khoa học Khoa Vật lý và
gửi đăng Tạp chí Khoa học ĐHQGHN.
Nhận xét:
-

0

4

dị hướng ρ.
-

Hình 3.11 cho thấy, giá trị khe năng lượng không phụ thuộc vào giá trị tham số

2

Hình 3.12, nhận thấy giá trị khe năng lượng phụ thuộc vào nhiệt độ tỷ đối τ và

0

phụ thuộc vào giá trị độ từ hóa m.
-

-2

Nhận xét chung về phổ năng ε −+ ( τ ) lượng của sóng spin cho trường hợp hai lớp
k

màng ta thấy xuất hiện hai nhánh sóng spin

quang học và spin âm học

ky

Có khe năng lượng, giá trị của khe năng lượng này phụ thuộc vào nhiệt độ bằng

25

-4