Tóm tắt trường vô hướng hấp dẫn với hằng số hấp dẫn

LUẬN VĂN THẠC SĨ

TRƯỜNG VÔ HƯỚNG HẤP DẪN
VỚI HẰNG SỐ HẤP DẪN

Người hướng dẫn khoa học:PGS. TS. Phan Hồng Liên

Học viên: Phạm Thị Kim Thoa

Lý do chọn đề tài:
Mô hình vật lý hiện đại cho thấy có bốn loại tương tác cơ bản trong tự nhiên:
tương tác hấp dẫn, tương tác điện từ, tương tác mạnh và tương tác yếu.
Cuối thập niên 1960, người ta đã thống nhất được tương tác điện từ và tương
tác yếu trong mô hình Glashow- Weinberg- Salam (lý thuyết điện yếu). Về sau, mô
hình này kết hợp thêm với tương tác mạnh, ta có mô hình chuẩn (Standard model)
[5]. Tương tác hấp dẫn hiện vẫn đang bị nằm ngoài sự thống nhất này.
Lý thuyết tương đối rộng của Einstein đã có rất nhiều đóng góp cho Vật lý,
giải thích được chuyển động của điểm cận nhật sao Thủy, tiên đoán được sự lệch tia
sáng khi đi gần Mặt Trời. Sau đó ông còn sử dụng lý thuyết này để mô tả mô hình
cấu trúc của toàn thể vũ trụ khi cho xuất hiện thêm hằng số vũ trụ Λ vào phương
trình trường của mình. Mặc dù những nghiên cứu ngay sau đó đã bác bỏ hằng số
này và chính bản thân Einstein cũng bác bỏ nó nhưng những nghiên cứu trong vài
thập niên nay lại thấy cần thiết nhắc lại hằng số này.

1


Xuất phát từ những vấn đề đề cập ở trên, em nhận thấy đề tài “ Trường vô
hướng hấp dẫn với hằng số hấp dẫn ” là một vấn đề hay và thời sự nên muốn tìm
hiểu, nghiên cứu.
Mục đích nghiên cứu:

Nghiên cứu phương trình trường của Einstein khi có mặt hằng số vũ trụ

để

dự đoán về sự tồn tại của một trường vô hướng mà khối lượng liên quan đến hằng
số hấp dẫn vũ trụ được nói ở trên, đồng thời bước đầu tìm hiểu về hằng số vũ trụ
theo quan điểm của Vũ trụ học ngày nay.
Phương pháp nghiên cứu
Luận văn được nghiên cứu dựa trên cơ sở lý thuyết tương đối rộng của
Albert Einstein xây dựng cùng với nền tảng toán học cho nó là hình học Riemann
trong không-thời gian 4 chiều Minkowski. Từ hình thức luận Tetrad xét trường vô
hướng hấp dẫn liên quan đến hằng số hấp dẫn vũ trụ .
Cấu trúc luận văn
Ngoài phần Mở đầu và phần Kết luận, Tài liệu tham khảo, cấu trúc của luận
văn gồm 3 chương
Chương 1. Giới thiệu tổng quan về lý thuyết tương đối tổng quát của
Einstein và tương tác hấp dẫn.
Chương 2. Nghiên cứu về hình thức luận tetrad, tính đối ngẫu hiệp biến tổng
quát, trên cơ sở đó xây dựng các phương trình cho trường vô hướng hấp dẫn.
Chương 3. Trình bày khái quát về hằng số hấp dẫn vũ trụ liên quan tới
những giải thích của Vũ trụ học về giãn nở vũ trụ.

2


Chương 1
Nguyên lý bất biến tương đối tổng quát khẳng định rằng mọi quá trình vật lý
đều diễn ra như nhau trong mọi hệ quy chiếu quán tính, và do đó các phương trình
vật lý tương ứng phải bất biến với phép biến đổi tổng quát:

x µ → x 'µ = f

µ

( x)

(1.2.1)

Để xây dựng các đại lượng vật lý thỏa mãn nguyên lý bất biến trên, ta đưa
vào khái niệm tensor. Đây là khái niệm quan trọng giúp ta tìm được Lagrangian bất
biến và do đó xây dựng được các lý thuyết vật lý thỏa mãn nguyên lý bất biến.
Tensor

Dựa vào phép biến đổi (1.2.1) tensor được định nghĩa như sau:
Tensor phản biến (Contravariant) cấp n là tập hợp các thành phần

T µ1 µ 2 ...µ n ( x) biến đổi theo quy luật:

T'

µ1µ2 ... µn

∂x 'µ1 ∂x 'µ2 ∂x 'µn ν1ν 2 ...ν n
( x ') = ν1
...
T
( x)
∂x ∂xν 2 ∂xν n

Tensor hiệp biến (Covariant) cấp n là tập hợp các thành phần

(1.2.2)

Tµ1µ2 ...µn ( x)

biến đổi theo qui luật:

∂xν1 ∂xν 2 ∂xν n
T ' µ1µ2 ... µn ( x ') = µ1
...
Tν1ν 2 ...ν n ( x)
∂x ' ∂x 'µ2 ∂x ' µn

3

(1.2.3)


Một cách tổng quát, tensor hỗn hợp phản biến cấp m và hiệp biến cấp n (còn
gọi là Mixed (m, n) - tensor) là tập hợp các thành phần

Tν1µν12µ...2ν...n µm ( x) biến đổi theo

qui luật:
µ1µ2 ... µm

T 'ν1ν 2 ...ν n

∂x 'µ1 ∂x 'µ2 ∂x 'µm ∂xσ1 ∂xσ 2 ∂xσ n λ1λ2 ...λm
( x ') = λ1

...
...
Tσ1σ 2 ...σ n ( x)
∂x ∂x λ2 ∂x λm ∂x 'ν1 ∂x 'ν 2 ∂x 'ν n
(1.2.4)

Tensor độ cong
Khác với đạo hàm bình thường, các đạo hàm hiệp biến không giao hoán với
nhau, tức là:

∇ µ , ∇ν  ≡ ∇ µ ∇ν − ∇ν ∇ µ ≠ 0
Ta hãy tính giao hoán tử của các đạo hàm hiệp biến khi tác dụng lên một
vectơ hiệp biến:

∇ µ , ∇ν  Gλ ( x) ≡ ∇ µ ∇ν Gλ ( x) − ∇ν ∇ µ Gλ ( x)

(1.3.1)

*Tính

∇ µ ∇ν Gλ ( x) = ∂ µ (∇ν Gλ ( x)) − Γσµν ( x)(∇σ Gλ ( x)) − Γσµλ ( x)(∇ν Gσ ( x))
σ
ρ
ρ
= ∂ µ (∂ν Gλ − Γνλ
Gσ ) − Γσµν (∂σ Gλ − Γσλ
Gρ ) − Γσµλ (∂ν Gσ − Γνσ
Gρ )
σ
σ

ρ
= ∂ µ ∂ν Gλ − ∂ µ Γνλ
Gσ − Γνλ
∂ µ Gσ − Γσµν ∂σ Gλ + Γσµν Γσλ
Gρ
ρ
−Γσµλ ∂ν Gσ + Γσµλ Γνσ
Gρ

*Tính ∇ν ∇ µ Gλ ( x ) , tương tự ta có:

4

(1.3.2)


σ
∇ν ∇ µ Gλ ( x) = ∂ν ∂ µ Gλ − ∂ν Γσµλ Gσ − Γσµλ ∂ν Gσ − Γνµ
∂σ Gλ
σ
ρ
σ
σ
ρ
+Γνµ
Γσλ
Gρ − Γνλ
∂ µ Gσ + Γνλ
Γ µσ
Gρ

(1.3.3)

Thay (1.3.3) và (1.3.3) vào (1.3.1) ta có:
σ
σ
∇ µ , ∇ν  Gλ ( x) = ∂ µ ∂ν Gλ − ∂ µ Γνλ
Gσ − Γνλ
∂ µ Gσ − Γσµν ∂σ Gλ
ρ
ρ
+Γσµν Γσλ
Gρ − Γσµλ ∂ν Gσ + Γσµλ Γνσ
Gρ − ∂ν ∂ µ Gλ + ∂ν Γσµλ Gσ
σ
σ
ρ
σ
σ
ρ
+Γσµλ ∂ν Gσ + Γνµ
∂σ Gλ − Γνµ
Γσλ
Gρ + Γνλ
∂ µ Gσ − Γνλ
Γ µσ
Gρ

suy ra:
σ

ρ
σ
ρ
∇ µ , ∇ν  Gλ ( x) = (∂ν Γσµλ − ∂ µ Γνλ
)Gσ + (Γσµλ Γνσ
− Γνλ
Γ µσ
)Gρ
σ
ρ
σ
ρ σ
= (∂ν Γσµλ − ∂ µ Γνλ
+ Γ µλ
Γνρ
− Γνλ
Γ µρ )Gσ

(thay σ → ρ , ρ → σ )
Đặt:

σ
ρ
σ
Rσ .λνµ = ∂ν Γ σµλ − ∂ µ Γνλ
+ Γ µλ
Γνρ
− Γνλρ Γ σµρ

Vậy:

∇ µ , ∇ν  Gλ ( x) = Rσ .λνµ Gσ ( x)

(1.3.4)

σ
trong đó: R .λνµ được gọi là tensor độ cong Riemann.

Phương trình Einstein và tác dụng bất biến
Để xem sự phân bố vật chất ảnh hưởng đến hình học không gian hay hình
học không gian quyết định đến nội dung vật lý? Einstein đi tìm mối quan hệ đó như
sau:
Trong lý thuyết tương đối hẹp, khi có Lagrangian bất biến L(x) thì tác dụng

∫

4
được định nghĩa bởi: S = d xL( x ) cũng bất biến.

5


Trong lý thuyết tương đối rộng thì không vậy. Để xây dựng tác dụng bất biến
thay vì d 4 x ta phải đi tìm phần tử bất biến tương ứng.
trong lý thuyết tương đối rộng, từ Lagrangian bất biến L(x) ta có thể lập tác
dụng bất biến dạng:

S = ∫ d 4 x − g L( x)
Lagrangian bất biến của hệ trường vật chất ϕ ( x) và trường hấp dẫn thể hiện
trong metric tensor g ( µλ ) ( x) . Einstein đã chọn L(ϕ , g ) = R + L(ϕ , ∇ µϕ ) , với R = Lg .

Do đó tác dụng bất biến mô tả hệ trường vật chất và trường hấp dẫn như sau:

S = ∫ d 4 x − g ( R + L(ϕ , ∇ µϕ )) = S g + Sϕ

(1.5.5)

∫

4
với S g = d x − g R mô tả bản thân trường hấp dẫn.

Sϕ = ∫ d 4 x − g L(ϕ , ∇ µϕ ) mô tả trường vật chất tương tác với trường
hấp dẫn.
Phương trình chuyển động thu được từ nguyên lý tác dụng tối thiểu đối với
tác dụng (1.5.5):

∂S = ∂Sϕ + ∂S g = 0

(1.5.6)

Kết quả là:

c3
−1
∂S g = −
( g µν .R + Rµν )δ g µν − gd 4 x
∫
16π k 2
Tính ∂Sϕ như sau:

6

[13] (1.5.14)


∂Sϕ =

1
Tµν δ g µν − gd 4 x
∫
2c

[13]

(1.5.15)
Như vậy phương trình trường Einstein (1916) là:

1
8π k
Gµν = Rµν − Rg µν = 4 Tµν
2
c
trong đó Gµν là tensor Einstein, Rµν tensor Ricci, R là độ cong vô hướng,

Tµν tensor năng- xung lượng (một tập hợp các đại lượng xác định mật độ năng
lượng, mật độ xung lượng và mật độ ứng xuất).
Các tensor Gµν và Rµν là những hàm số của g µν - mô tả hình học của
không thời gian. Bên trái ta có không gian cong, còn bên phải là sự phân bố vật chất
và năng lượng [6].
Các kết quả này dẫn đến kết luận rằng tính chất hình học của không thời

gian được quyết định bởi trường vật chất.
Qui ước lấy các hằng số c=1, h = 1 , nhưng giữ nguyên hằng số Newton [24]
thì có các phương trình Einstein là:

1
Rµν − Rg µν = 8π GTµν
2
(thay kí hiệu hằng số hấp dẫn Newton k bởi kí hiệu G )
Sau này Einstein đã sửa đổi phương trình của mình bằng việc đưa
thêm vào
hằng số vũ trụ Λ bằng cách thay Lg = R − 2Λ (không còn dạng Lg = R )
nên phương trình dưới hình thức như sau:

7


1
Rµν − Rg µν + Λg µν = 8π GTµν
2
Đây chính là Phương trình vũ trụ Einstein (1917). Như vậy trong chương này
ta đã nghiên cứu được tổng quan về Lý thuyết tương đối tổng quát của Einstein và
tương tác hấp dẫn cùng với nền tảng toán học là hình học Riemann cong – là cơ sở
lý thuyết cho các tính toán ở chương sau.

CHƯƠNG 2
NGUYÊN LÝ ĐỐI NGẪU HIỆP BIẾN TỔNG QUÁT VÀ CÁC
TRƯỜNG VÔ HƯỚNG HẤP DẪN
Tetrad
Tetrad (còn gọi là Vierbein) là bộ bốn vector độc lập tuyến tính, thường được
kí hiệu là ν

(a)

( x) , trong đó a được gọi là chỉ số Vierbein, nhận các giá trị 0, 1, 2, 3.

Từ bây giờ ta kí hiệu các chữ cái Latin thường a, b, c… là các chỉ số Vierbein, còn
các chữ cái Hi lạp µ ,ν , ρ ... vẫn là các chỉ số Lorentz của không - thời gian 4 chiều
(a)
(a)
mà ta kí hiệu trong chương trước. Vierbein ν ( x) có các thành phần ν µ ( x) thoả

mãn điều kiện:

ν µ( a ) ( x).ν ( b ) µ ( x) = η ab

(2.1.1)

trong đó η ab là metric phẳng Minkowski:

η ab = diag (1, −1, −1, −1)
Các phương trình của trường vô hướng hấp dẫn
Từ định đề tetrad:

8


Dα qµa ( x) = 0

(2.3.1)

và cấu trúc bậc bốn, cùng các phương trình của trường hấp dẫn ta có:

1 µ
(W
+ W
hµ ) B ( x ) = 0
2
1 µ
(W
− W
hµ )C ( x) = 0
2
Một cách tương tự cho tensor Ricci, chúng ta có:

Rµν =
và

1
(∂µ∂ν hσσ +W
hµν −∂ν ∂σ hσµ − ∂µ∂σ hσν )
2

R =W
hµµ −∂µ∂ν hµν

(2.3.10)

ta được:

1

1
(W
+ R + ∂ µ ∂σ hµν ) B ( x) = 0
2
2
1
1
(W
− R − ∂ µ ∂σ hµν )C ( x) = 0
2
2

Mặt khác, từ phương trình Einstein

1
Rg µν − Rµν = −8πγ Tµν + Λg µν
2
mà

(2.3.9)

R = 4Λ + 8πγ Tµµ

(2.3.12)
ta được:

9


(W

+2Λ) B ( x) = j.B ( x)
(W
−2Λ)C ( x) = − j.C ( x)
trong đó j ≡

(2.3.13)

1 µ ν
∂ ∂ hµν + 4πγ Tµµ
2

Từ các phương trình (2.3.13), chúng ta có thể kết luận rằng các trường B(x)
và C(x) như là các trường vô hướng với khối lượng bình phương bằng:

mB2 = − mC2 = 2Λ

(2.3.14)

Điều này có nghĩa rằng một trong số chúng có tính chất của hạt tachyon
trong lý thuyết dây, trừ khi Λ = 0 .
Trong giới hạn của lý thuyết hiệu dụng trong không – thời gian phẳng,
Lagrangian tương tác cho những trường này và trường hấp dẫn có thể là:

1
Lint ( Bhµν ) ~ ( ∂ µ ∂ν hµν + 4πγ Tµµ ) B 2
4
1
Lint (Chµν ) ~ −( ∂ µ ∂ν hµν + 4πγ Tµµ )C 2
4

(2.3.15)

Chúng ta có thể nói rằng vấn đề được xem xét trên đây liên quan chặt chẽ
đến khái niệm đối ngẫu. Điều đáng lưu ý là dự đoán về sự tồn tại của một trường vô
hướng mà khối lượng liên quan đến hằng số hấp dẫn Λ . Chúng có bản chất hấp dẫn
và một trong số chúng là tachyon ( như trong lý thuyết dây ) – hạt có bình phương
khối lượng âm.
CHƯƠNG III
VỀ HẰNG SỐ HẤP DẪN VŨ TRỤ Λ
Về hằng số hấp dẫn vũ trụ Λ

10


Hằng số vũ trụ lần đầu tiên được Einstein đưa ra năm 1917 như một lực hấp
dẫn để giữ cho vũ trụ ở trạng thái cân bằng tĩnh. Trong Vũ trụ học hiện đại, nó là
ứng cử viên hàng đầu cho năng lượng tối, gây ra gia tốc của sự mở rộng vũ trụ [22].
Có nhiều nhà vũ trụ học chủ trương phục hồi thuật ngữ hằng số vũ trụ trên cơ
sở lý thuyết. Lý thuyết trường hiện đại liên kết thuật ngữ này với mật độ năng lượng
của chân không. Mật độ năng lượng của chân không ρ vac được định nghĩa với

ρ vac =

Λ
. Với mật độ năng lượng này có thể so sánh với các dạng khác của vật
8π G

chất trong Vũ trụ, nó sẽ đòi hỏi Vật lý mới: thêm một thuật ngữ hằng số vũ trụ có ý
nghĩa sâu sắc đối với vật lý hạt và sự hiểu biết của chúng ta về các lực cơ bản của tự
nhiên [26].

Các quan sát bằng chứng cho sự gia tốc Vũ trụ
Bằng chứng việc quan sát vũ trụ đang gia tốc là rất mạnh mẽ, với nhiều thực
nghiệm khác nhau bao gồm khoảng thời gian rất khác nhau, quy mô chiều dài, và
quá trình vật lý, trong đó nếu coi vũ trụ là phẳng thì sẽ có một mật độ năng lượng
khoảng 4% vật chất baryon, 23% vật chất tối, và 73% năng lượng tối (hằng số vũ
trụ).
a, Vũ trụ xuất hiện trẻ hơn so với các ngôi sao lâu đời nhất.
Một vũ trụ phẳng chỉ tạo bởi vật chất sẽ chỉ có khoảng 9 tỷ năm tuổi một vấn đề lớn cho rằng đây là vài tỷ năm trẻ hơn so với các ngôi sao lâu đời nhất.
Mặt khác, một vũ trụ phẳng với 74% hằng số vũ trụ sẽ là khoảng 13,7 tỷ năm tuổi.
Do đó, Vũ trụ phải đang gia tốc giải đã quyết được nghịch lý tuổi.
b, Có quá nhiều thiên hà xa xôi.
Sử dụng số lượng thiên hà giữa hai dịch chuyển đỏ như một biện pháp
đo thể tích không gian, các nhà quan sát đã đo thể tích ở xa dường như quá lớn so

11


với những tiên đoán về một vũ trụ giảm gia tốc. Một vũ trụ gia tốc có thể giải thích
những quan sát mà không viện đến bất kỳ sự tiến hóa thiên hà lạ.

c, Độ phẳng quan sát được của vũ trụ mặc dù không đủ
vật chất.
Sử dụng các phép đo biến động nhiệt độ trong bức xạ nền vi sóng vũ
trụ từ khi vũ trụ ~ 380.000 năm tuổi có thể kết luận rằng vũ trụ là không gian phẳng
với một vài phần trăm.

KẾT LUẬN
Các kết quả chính của luận văn:


Đã trình bày tổng quan và có hệ thống phương trình tổng quát

Einstein cùng với hình học không gian Riemann cong.


Giới thiệu hình thức luận Tetrad, tính đối ngẫu hiệp biến tổng

quát, trên cơ sở đó xây dựng các phương trình cho một loại trường vô hướng
hấp dẫn thỏa mãn phương trình Klein – Gordon. Dự đoán về sự tồn tại của
một trường vô hướng mà bình phương khối lượng liên quan đến hằng số hấp
dẫn .


Chỉ ra vai trò của hằng số hấp dẫn vũ trụ trong một số lý

thuyết. Thu nhận được một số bằng chứng thực nghiêm giải thích sự giãn nở
vũ trụ.

12