dap an DTQG Nghe an

Sở Gd&Đt Nghệ an
Kỳ thi chọn đội tuyển dự thi hsg quốc gia lớp 12
Năm học 2007 - 2008
hớng dẫn chấm, đáp án và biểu điểm chấm đề chính thức
Môn: Toán
Ngày thi: 06/11/2007
----------------------------------------------
1
2
Câu Nội dung Điểm
Câu 1 3 đ
Đặt u=
x
≥0; v =
y
≥0. Ta có hệ:





=+
=−
vvuu
u
vuv
3)(
2
)(
22
22

⇒





=+
=−
uvvuu
uv
vuv
3)(
2
)(
222
222

⇒
u
4
−v
4
+2u
2
v
2
=
7
2

uv (1)
Mặt khác (u
4
−v
4
) uv =
3
2
uv
⇔




=−
=
2
3
0
44
vu
uv
0,75
Nếu uv=0
⇒
u=v=0
⇒
x=y=0. Thử lại thấy thỏa mãn.
Nếu u
4

- v
4
=
2
3
thay vào (1) ta có :4(uv)
2
−7(uv) +3=0
⇔





=
=
4
3
1
uv
uv
1,0
Với :





=−
=

2
3
1
44
vu
uv
⇔







=−−
=
01
2
3
1
48
uu
u
v
⇔






=
=
4
4
2
1
2
v
u

⇔





=
=
2
1
2
y
x
Thử lại thấy thỏa mãn. 0,5
Với :








=−
=
2
3
4
3
44
vu
uv
⇔







=−−
=
0
256
81
2
3
4
3
48
uu

u
v
⇔







=
=
2
3
2
27
4
4
v
u

⇔







=

=
4
3
4
33
y
x
Thử lại thấy thỏa mãn.
Vậy hệ đã cho có ba nghiệm: (x;y) = (0;0),








4
3
;
4
33
;)
2
1
;2(
.
0,75
Câu 2 3 đ
A

M
L P
H C

D

B F
Kẻ qua B đường thẳng song song với CH cắt AC kéo dài tại F.
Ta chứng minh AB=CF.

0,5
Giả sử AD,BM,CH đồng quy tại L khi đó ta có:
AM
FC
MC
FC
LM
BL
AM
AB
===

Suy ra: AB=FC
1
Gọi P là hình chiếu vuông góc của B trên AC. Vì
·
ACB
nhọn
Suy ra: FP>FC =AB

⇒
FP>AB
⇒
BFcosF > BFtgF ⇒ SinA > cotgA
0,75
⇒ Sin
2
A > CosA
⇒
Cos
2
A + CosA −1<0
------------------------HẾT---------------------
3