bàn về một dạng phương trình

Bàn về một dạng phương trình
Trước đây trong diễn đây đã trao đổi về cách giải phương trình chứa hai hàm
ngược nhau.
Trong bài viết này tôi muốn trao đổi với các bạn một cách tiếp cận khác qua đó
các bạn thấy được lời giải tự nhiên hơn và phát triển thêm một số bài khó hơn.
Ví dụ 1: Giải phương trình: .
Giải:
Đặt .
Vậy ta có hệ phương trình :
. Trừ hai phương trình của hệ:
(Do ) Thay vào hệ ta có:
.
Vậy phương trình có ba nghiệm: .
Bình luận: Bài toán trên là bài toán khá đơn giản và có lẽ nhiều bạn không mấy
khó khăn để giải bài toán này. Tuy nhiên từ bài toán trên ta có thể tổng quát
được dnagj phương trình trên như sau:
* Dạng tổng quát bài toán trên: (I)
Để giải phương trình này ta đặt ta có hệ:
. Đây là hệ đối xứng loại II với hai ẩn t và y.
* Từ dạng trên ta cho bằng những biểu thức cụ thể và biến đổi đi ta có
được những phương trình mà ta thường gọi là chứa hai hàm ngược nhau. Do đó
khi gặp phương trình chứa hai hàm ngược nhau ta tìm cách biến đổi về dạng
trên. Ta xét một số ví dụ sau:
Ví dụ 2: Giải phương trình :
Giải: Điều kiện :
PT
Đặt .
Ta có hệ :

*
(thỏa ).

*
(thỏa đk ).
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: .
Ví dụ 3: Giải phương trình:
Giải: ĐK:
PT
Đặt
Ta có hệ phương trình:
. Do nên Từ (2) ta có: thay
vào (1) ta được:
.Vậy phương trình đã cho có nghiệm: .
Chú ý : Ở (II) nếu ta thay hằng số b bằng một biểu thức thì ta vẫn giải phương
trình bằng cách làm tương tự như trên.
Ví dụ 4: Giải phương trình : .
Giải: Điều kiện :
Phương trình
Đặt và .
Ta có : .
* .
* .
Vậy phương trình có hai nghiệm: .
Ví dụ 5: Giải phương trình :
Giải:
Ta thấy không là nghiệm của phương trình . Chia hai vế phương trình cho
ta được: .
Đặt , ta có:
.
Đặt , ta có hệ phương trình :
Thử lại ta thấy ba nghiệm này thỏa phương trình
Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm: .

Những ví dụ trên ta đã thay b ở (II) bằng một biểu thức chứa x. Vậy nếu thay a
bằng một biểu thức chứa x thì như thế nào ? ta còn giải quyết được theo cách
trên nữa hay không?. Ta xét ví dụ sau.
Ví dụ 6: Giải phương trình : .
Giải:
PT
Đặt ,
Ta có hệ phương trình :
*
phương trình vô nghiệm.
*
hệ vô nghiệm.
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.