Một số bài toán tối ưu trong lý thuyết xếp hàng và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

BỘ QUỐC PHÒNG

VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ QUÂN SỰ

------------

PHAN THỊ LOAN

MỘT SỐ BÀI TOÁN TỐI ƢU TRONG
LÝ THUYẾT XẾP HÀNG VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI – 2015


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BỘ QUỐC PHÒNG
VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ QUÂN SỰ

PHAN THỊ LOAN

MỘT SỐ BÀI TOÁN TỐI ƢU TRONG LÝ
THUYẾT XẾP HÀNG VÀ ỨNG DỤNG
Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học
Mã số: 62 46 01 06

NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC:

1. NCVCC. TS Nguyễn Hồng Hải
2. PGS. TS Hồ Đăng Phúc

HÀ NỘI - 2015


i

LỜI CAM ĐOAN
T i xin c m o n

y là c ng tr nh nghiên c u c

tr nh bày trong luận án là trung thực và ch

t ng

riêng t i. Các kết quả

c i c ng bố trong bất k

c ng tr nh nào khác.

T c giả

NCS Phan Thị Loan


iv

MỤC LỤC
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT ............................... vii
DANH MỤC CÁC THUẬT NGỮ .............................................................. viii
DANH MỤC CÁC BẢNG ............................................................................ ix
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ ........................................................................ x
MỞ ĐẦU ........................................................................................................ 1
CHƢƠNG 1.6MỘT SỐ KIẾN THỨC LIÊN QUAN................................. 6
1.1. Một số khái niệm lý thuyết xác suất và thống kê toán học ................... 6
1.1.1. Biến ng u nhiên .............................................................................. 6
1.1.2. Một số biến ng u nhiên ................................................................... 7
1.1.3. Quá tr nh ng u nhiên....................................................................... 9
1.2. Quy ho ch tuyến t nh và quy ho ch nguyên tuyến t nh ..................... 12
1.2.1. Quy ho ch tuyến t nh .................................................................... 12
1.2.2. Quy ho ch nguyên tuyến t nh ....................................................... 13
1.3. Lý thuyết ồ th ................................................................................... 14
Kết luận Ch

ng 1 ....................................................................................... 16

CHƢƠNG 2. MẠNG HÀNG ĐỢI M/M/m VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN
TRONG MẠNG HÀNG ĐỢI ................................................................. 17
2.1 M ng hàng

i M/M/m ....................................................................... 17

2.1.1. Luật Little’s .................................................................................... 21
2.1.2. T nh chất PASTA ........................................................................... 22
2.1.3. C n b ng xác suất ........................................................................... 22
2.1.4. Trung b nh ộ dài hàng

i và trung b nh th i gi n ch

i ......... 23

2.1.5. Ph n phối th i gi n ch

i và th i gi n l u trú ........................... 23

2.2. Bài toán ph n chi tối u d ng yêu c u vào m ng ............................... 24
2.2.1. Bài toán quy ho ch nguyên tuyến t nh và thuật toán Gomory ....... 25


v

2.2.2. Một số bài toán ph n chi tối u d ng yêu c u vào m ng ............. 28
2.3. Bài toán luồng cực
2.3.1. Đ t vấn

i .......................................................................... 32

....................................................................................... 33

2.3.2. Bài toán c chế ph c v tối u ....................................................... 34
2.3.3. Ph

ng pháp giải bài toán t m luồng cực

i c

FORD-

FULKERSON .......................................................................................... 36
Kết luận Ch

ng 2 ....................................................................................... 42

CHƢƠNG 3. MỘT SỐ BÀI TOÁN THỰC TẾ VỀ MẠNG PHỤC VỤ 43
3.1. Tối u h

m ng ph c v cho bài toán trong Trung t m ph c v dự

trên c chế d ng vào và c chế u tiên ph c v .......................................... 43
3.1.1. Các khái niệm v hệ kh i thác d liệu ........................................... 44
3.1.2. M ph ng c
th

ng m i ................................................................................................ 47

3.2. Tối u h
h

m ng ph c v cho bài toán ph c v trong Trung tâm

m ng ph c v th ng qu k thuật t m

ng cho m ng

ng th ng tin (Information - Centric Network)....................................... 54
3.2.1. Đ t vấn

....................................................................................... 54

3.2.2. Các k thuật ICN

ng

3.2.3. M h nh m ng ph c v

c nghiên c u phát tri n....................... 56
xuất ...................................................... 57

3.2.4. Bảng

nh d nh (N me Prefix T ble) ............................................ 59

3.2.5. Bảng

nh tuyến (Routing T ble) ................................................... 60

3.2.6. Phát hành NDO (NDO Publication)............................................... 64
3.2.7. T m

ng (Routing) ..................................................................... 64

3.2.8. M h nh h
h

quá tr nh ến c

các NDO trong m ng ph c v

ng thông tin ........................................................................................ 66

3.2.9. Đánh giá th nghiệm ...................................................................... 68
Kết luận Ch

ng 3 ....................................................................................... 75


vi

KẾT LUẬN .................................................................................................. 76
DANH MỤC CÁC C NG TRÌNH KHOA H C Đ C NG BỐ .............. 78
TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................................. 79


vii

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT
Ký hiệu

Ý nghĩa

R+
N+

[0, )
Tập các số tự nhiên

E

Kh ng gi n tr ng thái

TH(N)
Rn

ng c

m ng

Kh ng gi n Euclic n chi u

q(i, j)

C

ng ộ chuy n tr ng thái

Xác suất chuy n tr ng thái

p ij

V' (x) =

Th ng l

dv(x)
dx

D

Var
f :DR

FCFS

J cobi n c

phép biến

i

Tập nghiệm chấp nhận
Ph

c

ng s i

Hàm m c tiêu
Đến tr

c ph c v tr

λi

C

ng ộ sinh

μi

C

ng ộ t

c

(LPct)

Bài toán quy ho ch tuyến t nh chuẩn tắc

(PT)

Bài toán vận tải

(DT)

Bài toán ối ng u

Im

M trận

A-1

M trận ngh ch ảo

x opt

Ph

v. .k
IP

nv

ng án vận chuy n tối u c

bài toán gốc

“v i i u kiện”
Bài toán quy ho ch nguyên (Integer Progr mming)

NDO

Một ối t

ICN

M ng h

ng d liệu

c gán tên (N me D t Object)

ng th ng tin (Inform tion Centric Network)


viii

DANH MỤC CÁC THUẬT NGỮ
h nh

Accuracy

ng việ

u

u

Job

Trạm hoặ nút mạng

Stastion

Qu hoạ h tu n t nh

Linear programming

Qu hoạ h ng u nhi n

Stochastic programming

T i u h a ng u nhi n

Random Optimization

Thu t to n

Simplex Algorithm

i to n
Ph

n h nh
n

ng

ng ph p ự tiểu hi ph

Equilbrium Problems
The least – cost method

ảng ịnh danh

Name Prefix Table

ảng ịnh tu n

Routing Table

Tm

ờng

Routing

ix

DANH MỤC CÁC BẢNG
Bảng 3.1. Bảng kh i thác d liệu

..

Bảng 3.2. Bảng bi u diễn các m t hàng

c ph c v t i tr m

Bảng 3.3. Bảng bi u diễn các m t hàng

c ph c v toàn hệ thống

45
.

.

48
49

Bảng 3.4. Bảng NPT c

dom in 1

..

61

Bảng 3.5. Bảng NPT c

dom in 2

..

61

Bảng 3.6. Bảng NPT c

dom in 3

..

61

Bảng 3.7. Bảng NPT c

dom in 4

..

61

Bảng 3.8. Bảng RT c

R2: l n cập nhật

u tiên

Bảng 3.9. Bảng RT c

R2: l n cập nhật th h i

63
.

63

Bảng 3.10. Bảng RT c

R1: l n cập nhật

u tiên

.. 64

Bảng 3.11. Bảng RT c

R3: l n cập nhật

u tiên

.. 64

Bảng 3.12. Bảng RT c

R4: l n cập nhật

u tiên

.. 64

Bảng 3.13. Bảng RT c

R2: l n cập nhật th b

Bảng 3.14. Bảng RT c

R1: l n cập nhật th h i

...

64

Bảng 3.15. Bảng RT c

R3: l n cập nhật th h i

...

64

Bảng 3.16. Bảng RT c

R4: l n cập nhật th h i

...

65

Bảng 3.17. D nh m c d liệu t i một số router
Bảng 3.18. Bảng kết quả o thực nghiệm

. 64

74
. 75


x

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ
H nh 2.1. M h nh m ng c 1 hàng

i..

H nh 2.2. M h nh m ng c m hàng

i

....................
.

.

Hình 2.3. Bi u th tr ng thái c n b ng xác suất

.

Hình 2.4. M h nh m ng ph c v m tr m c trọng số

H nh 2.7. M h nh bài toán luồng cực
H nh 3.1. Bi u diễn s

ồ m ng

17
.

.

22

..

........ 35

H nh 2.5. M h nh m ng ph c v v i trọng số và d ng
H nh 2.6. M h nh m ng ph c v v i nguồn và

17

ch

i

..

..

.
..

.

.. 36

i

.

42
.

H nh 3.2. Bi u diễn m h nh quá tr nh ến c

..

.

.

các NDO

.

H nh 3.3. Quá tr nh sinh túy

H nh 3.4. Quá tr nh sinh t
H nh 3.5. Bi u diễn s

35

ồ m ng trên OMNeT++

..

..

60
... 67
.

69

...

69

.... 70

Hình 3.6. Bi u diễn m ph ng qu n hệ NDO và th i gi n ph c v
H nh 3.7. S

ồ toàn cảnh c

m ng ICN

c m ph ng

H nh 3.8. M ng ICN v i nhi u router trên OMNeT++

72
.

73
74


1

MỞ ĐẦU
Trong thực tiễn c ng nh trong kho học k thuật chúng t th
t

ng các ối t

ng

i h i ph c v một yêu c u nào

ng u nhiên t i các hệ thống ph c v nào

ng g p hiện

m ng t nh ám

ng và

v d nh : khách hàng ến gi o d ch t i

ngân hàng, khách hàng ến một ph ng khám, các cuộc iện tho i t i một t ng ài,
khách hàng xếp hàng th nh toán trong siêu th ,
ng u nhiên và chúng c th

các yêu c u xuất hiện một cách

c ph c v , ho c c th b t chối ph c v và i r

kh i hệ thống (hệ ph c v mất mát) nếu hệ thống quá tải ho c khả năng c
thống v
tiên

t quá ng

hệ

ng gi i h n. Các m h nh trên v m t toán học gi i o n

c gọi là lý thuyết ph c v

ám

ng, gi i o n s u này th

thuyết xếp hàng (Queuing Theory) h y m

u

ng gọi là lý

h nh m ng hàng

i (Queueing

Network).
L ch s lý thuyết xếp hàng

c h n một trăm năm. Bài viết c

“W iting time nd Number of C lls” năm 1907
v lý thuyết xếp hàng. Nh ng ph
ch nh xác v

c coi là c ng tr nh

u tiên viết

ng pháp s d ng trong bài báo này ch

c sự

m t m h nh toán học. Năm 1909, v i qu n i m toán học chính xác

h n A.K.Erl ng

viết bài báo “The Theory of Prob bilies

nd Telephone

Convers tions” ánh dấu một mốc qu n trọng trong l ch s phát tri n c
xếp hàng,

Joh nnsen

t n n m ng c

lý thuyết

v i tr quá trình Poisson trong lý thuyết xếp hàng. Năm

1960, bài toán tối u trong lý thuyết xếp hàng l n

u tiên

c xem xét bởi ch nh

A.K.Erl ng trong c ng tr nh “On the R tion l Determin tion of the Number of
Circuits”. Tiếp s u nh ng c ng tr nh m ng t nh khởi
học c tên tu i

u, hàng lo t các nhà toán

qu n t m nghiên c u và phát tri n lý thuyết này nh : Cormmelin,

Jensen, Feller, Kolmogorov, Pllaczeck, David, Duda R.O, Gromoll, Ghodsi A,
Jarschel, Hande P, Hitchcock, Horst R, Jain R, Barry Nelson L, Koopmans, F.Kelly,
Kum r, V ng Zikun,

[49], [50], [52], [53], [54], [55], [56], [60], [61], [62], [63],

[64], [66], [67], [68], [69], [70], [72], [73], [74], [75], [76], [77], [82], [83], [84],
[85], [86], [87], [90], [91], [92], [93], [94], [95], [101], [102], [103], [104], [105].


2

V i sự phát tri n c

kho học k thuật, thực tiễn c ng trở lên phong phú và

ph c t p h n nhi u, các m h nh c

i n kh ng c n

khả năng m tả

giải quyết

c n . Chẳng h n trong m ng viễn th ng, d ng yêu c u c ng việc (jobs) ến hệ
thống kh ng c n là d ng Poisson n

mà là “B M rkov”, chẳng h n trong m ng

máy t nh t i các nút (Server) và quá tr nh l u chuy n gi o diện gi
trên nhi u l p (t l p Internet,
c ng c nhi u c ng o n,

các nút diễn r

,Applic tion, User) và mỗi c ng việc (mỗi job)

Bởi vậy,

xuất hiện các c ng tr nh v m ng

l p

(Multi Class). Tiêu bi u trong gi i o n này là các tác giả J.R.J ckson, F.Kelly,
Ngày n y, lý thuyết xếp hàng (lý thuyết m ng hàng

i)

c nghiên c u

và ng d ng rộng r i trên thế gi i trong nhi u lĩnh vực nh : b u ch nh viễn th ng,
hàng kh ng, gi o th ng, quản lý siêu th ,

và

c biệt h n cả là trong m ng viễn

th ng và m ng máy t nh.
Trong lý thuyết m ng hàng

i (Queueing Network), h

ng nghiên c u cực

i tiện ch m ng NUM (Network Utility M ximiz tion) là một trong nh ng h
nghiên c u qu n trọng

và

ng

c nhi u ng

i qu n t m nghiên c u. Đ c

nhi u kết quả

c c ng bố theo h

nghiên c u

c Hong Chen, D vid D.Y o phát tri n trong m ng v i hàng

trong

ng

ng này [68], [91], [96], [98]. N i bật các

tác giả Hong Chen, D vid D.Y o s d ng “th ng l

ng”

i,

ánh giá hiệu

quả m ng [57].
Trong luận án này, chúng t i muốn tr nh bày một số ph
giải quyết bài toán m ng hàng
v m ng hàng
i tr

i. Luận án

ng pháp khác nh u

r và giải quyết một số bài toán

i, c th dự trên nh ng nghiên c u các kết quả c

các tác giả

c, chúng t i

r và giải quyết h i bài toán phân chia tối u dòng yêu c u

vào m ng. Bài toán

c chúng t i phát bi u và nghiên c u v n (thuật giải, sự tồn

t i nghiệm,

), tiếp

tr nh bày một c ng c

giải bài toán

r .

Tiếp theo luận án tr nh một số ng d ng thực tế. Đối v i một hệ ph c v ,
hiệu quả ph c v m ng ph thuộc vào nhi u yếu tố nh kiến trúc c
năng và chất l

ng ph c v c

các tr m ở các nút c

m ng, khả

m ng, quy luật và c

ng ộ


3

dòng vào [31], [34]. Ngoài r c h i yếu tố rất qu n trọng c ảnh h ởng ến hiệu
quả ph c v c

m ng,

là c chế d ng vào và c chế u tiên ph c v , m c ộ

ảnh h ởng này c th
nh tr ng thái c
c

c xác

một nút và c

nh một cách

nh l

ng th ng qu các th ng số

m ng, th ng số v th ng l

m ng, th ng số v th i gi n ph c v trong m ng. Hi u

ng c

một nút và

c qu n trọng là xác

nh c chế d ng vào và c chế u tiên ph c v s o cho h p lý ối v i t ng m ng.
T

chúng t i

r và ch ng minh các mô hình v luồng cực

i [4].

Kh i phá d liệu là quá tr nh t m kiếm các m u m i, nh ng th ng tin ti m ẩn
m ng t nh dự oán trong các khối d liệu l n, nh ng c ng c kh i thác d liệu c
th dự oán nh ng xu h
m ng t nh dự báo c

ng trong t

u thế hẳn so v i ph n t ch th ng th

kiện trong quá kh c
DSSs) tr

c

ng l i, việc ph n t ch c

các hệ hỗ tr r quyết

kh i thác d liệu

ng dự trên nh ng sự

nh (Decision Support Systems

y [77], [81], [82], [86]. Kh i thác d liệu là một lĩnh vực m i xuất

hiện, nh m tự ộng h

kh i thác nh ng th ng tin, tri th c h u ch, ti m ẩn t

thúc ẩy khả năng sản xuất, kinh do nh, c nh tr nh và thu

c kết quả tốt nhất.

Các kết quả nghiên c u c ng v i nh ng ng d ng thành c ng

m ng l i nhi u l i

ch, ồng th i c
chúng t i

u thế h n hẳn so v i các c ng c truy n thống. Ch nh v lý do

nghiên c u s d ng hệ kh i thác d liệu [48], [50] vào

số ý t ởng v t ch c c chế d ng vào, c chế u tiên ph c v
bài toán gi o d ch trong Trung t m th
V vậy, nhi u vấn
c u và phát tri n. V i lý do

xuất một

c ng d ng cho

ng m i [8].

qu n trọng thuộc lý thuyết xếp hàng c n

c nghiên

, chúng t i chọn “Một số bài toán tối ưu trong lý

thuyết xếp hàng và ứng dụng” làm

tài luận án tiến s . Luận án b o gồm các ch

nghiên c u:
+ Ch

ng 1 một số kiến th c liên qu n, gi i thiệu các khái niệm c bản c

thuyết xác suất,

il

lý

ng ng u nhiên, quá tr nh ng u nhiên, quá tr nh Poisson, quá

tr nh M rkov, bài toán quy ho ch và lý thuyết ồ th (xem [1], [9], [10], [11], [13],
[14], [15], [16], [17], [18], [19], [20], [21]).


4

+ Ch

ng 2 luận án tr nh bày t ng qu n v m ng hàng

trong m ng hàng

i, c th bài toán ph n chi tối u dòng yêu c u vào m ng [3],

[6], [7] và bài toán luồng cực
+ Ch

i, một số bài toán

i trong m ng [4].

ng 3 luận án tr nh bày một số mô hình bài toán thực tế v m ng ph c

v , trong

chúng t i tối u h

cho m ng h

m ng ph c v v i ng d ng k thuật t m

ng

ng th ng tin (Inform tion-Centric Network) trong m ng hàng

[79], và x y dựng m h nh bài toán trong Trung t m th

i

ng m i dự trên c chế

dòng vào và c chế u tiên ph c v [8].
Cấu trúc của luận n
Ngoài ph n mở

u, kết luận, các d nh m c c ng tr nh c ng bố và ph n ph

l c. Luận án chi làm b ch
Ch
Ch

ng.

ng 1 tr nh bày một số kiến th c liên qu n ph c v cho Ch

ng 2 và

ng 3.
Ch

ng 2 tr nh bày m ng ph c v , bài toán ph n chi tối u

toán luồng cực
Ch

u vào và bài

i trong m ng.

ng 3 tr nh bày một số ng d ng thực tế, tr nh bày ph

m h nh kh i thác d liệu trong m i tr
th ng qu k thuật t m

ng ph n tán và tối u h

ng cho m ng h

ng pháp d ng
m ng ph c v

ng th ng tin (Inform tion - Centric

Network).
C c kết quả chính của luận n
Các kết quả ch nh c

luận án

c c ng bố trong 05 bài báo c ng bố trên

T p ch Nghiên c u kho học K thuật và C ng nghệ qu n sự [3], [4], [5], [7], [8]
và T p ch

ng d ng Toán học [6]; Kỷ yếu Hội ngh Kho học và C ng nghệ NICS

2014 [79]. Các kết quả

c tác giả semin r báo cáo t i Viện C ng nghệ Th ng

tin, Viện Kho học và C ng nghệ qu n sự; Ph ng Xác suất và thống kê toán học,
Viện toán học, Viện Hàn l m Kho học Việt N m; Hội ngh Toán ng d ng toàn
quốc l n th 3 (Hà Nội, ngày 23-25 tháng 12 năm 2010) và Ph ng hội thảo Khoa


5

học T ng c c Hậu c n - K thuật, Bộ C ng n (Hà Nội, tháng 5 năm 2011, tháng 11
năm 2012, tháng 11, 12 năm 2013); Hội ngh NICS 2014 do Qu phát tri n Kho
học và C ng nghệ quốc gi (NAFOSTED) t ch c ngày 13-14 tháng 3 năm 2014;
Semin r hội thảo Luận án ngày 19 tháng 3 năm 2014 t i Viện C ng nghệ Th ng tin
và Bảo vệ cấp C sở ngày 17 tháng 6 năm 2014 t i Viện Kho học và C ng nghệ
qu n sự, Bộ Quốc ph ng.


6

CHƢƠNG 1.
MỘT SỐ KIẾN THỨC LIÊN QUAN
Trong Ch

ng này chúng t i tr nh bày một số khái niệm và kết quả c n thiết

ph c v cho việc tr nh bày các kết quả nghiên c u v m ng hàng

i. Ở

y

chúng t i chỉ nêu các kết quả c n việc ch ng minh chúng t i kh ng tr nh bày (ch ng
minh chúng t c th xem c th tài liệu th m chiếu liên qu n [1], [9], [10], [11],
[13], [14], [15], [16], [17], [18], [19], [20], [21].
1.1. Một số kh i niệm lý thuyết x c suất và thống kê to n học
1.1.1. Biến ngẫu nhiên
Ký hiệu (,
ϭ-

i số Borel

A, P) là không gian xác suất c

B trên

bản; (R,

B ) là kh

ng gi n o v i

ng thẳng thực R.

Định nghĩa 1.1.1 ( ại l ợng ng u nhi n)
Một ánh x
nhiên ( i khi ng

o

c ξ : (,

A )  (R, B )

c gọi là một

il

ng ng u

i t c ng gọi là biến ng u nhiên).

Giả s ξ là một

il

ng ng u nhiên.

Định nghĩa 1.1.2 (H m ph n ph i ủa i n ng u nhi n)
Hàm i m
F(x)  P(  x)  x  R

gọi là hàm ph n phối c

il

ng ng u nhiên ξ .

V i các biến ng u nhiên r i r c v i tập giá tr

F(x) 

p
i: xi
trong

pi  P(ξ  x i ) .

(1.1)

i

x

i

i  1, 2,... thì

(1.2)


7

V i biến ng u nhiên ξ liên t c c

f(x)  0  x  R khi

hàm mật

ộ ph n bố f(x),

:
x

F(x) 

 f(t)dt.

(1.3)



Giả s ξ là một

il

ng ng u nhiên, khi

Định nghĩa 1.1.3 (Kỳ vọng to n họ
Đ il

t c :

ủa ại l ợng ng u nhi n)

ng

p x
x i

i

i

nếu ξ là biến ng u nhiên r i r c



Eξ=

 xf(x) dx nếu ξ

là biến ng u nhiên liên t c c mật ộ xác suất f(x)



Đ

c gọi là k vọng toán học c

Th ng th

ng c ng th c

il

ng ng u nhiên ξ.

nh nghĩ nêu trên ng

i t th

Eξ   xdF(x)

Định nghĩa 1.1.4 (Ph
Đ il

i khi ng

i d ng
(1.4)

ng sai ủa ại l ợng ng u nhi n)

ng
Varξ = E(ξ - Eξ)2

Đ

ng viết d

c gọi là ph

ng s i c

i t c n d ng ký hiệu D ξ

il

(1.5)

ng ng u nhiên ξ. Trong một số tài liệu
th y cho Var ξ .

1.1.2. Một số biến ngẫu nhiên
1.1.2.1. Biến ng u nhiên c ph n phối Poisson
Ta nói ξ là biến ng u nhiên c ph n phối Poisson v i th m số λ (λ > 0) nếu:


8

i, ξ là biến ng u nhiên r i r c nhận các giá tr 0, 1, 2, , n,

λ n -λ
ii, pn = P(ξ = n) = e
n!
Th m số λ trong

(n = 0,1,2,...)

nh nghĩ c n gọi là c

ng ộ c

d ng Poisson.

L u ý r ng: Nếu ξ c ph n phối Poisson v i th m số λ thì

Eξ = Varξ = 

([16], [17]).
1.1.2.2.

Biến ng u nhiên c ph n phối m

T n i biến ng u nhiên ξ c ph n phối m v i th m số λ (λ > 0) nếu ξ là
biến ng u nhiên liên t c c mật ộ ph n bố

λ e-λx v i x  0

f(x) =

0

v i x<0

Dễ thấy r ng nếu ξ c ph n phối m v i th m số λ th hàm ph n phối c
n c d ng:
1 - λ e-λx v i x  0

F(x) =

0

v i x<0

Nếu ξ c ph n phối m v i th m số λ thì

Eξ =

1
; Varξ = 12 (xem [17]).
λ
λ

1.1.2.3. Biến ng u nhiên c ph n phối Erl ng


9

Giả s

ξ1 , ξ 2 ,...,ξ k là các biến ng u nhiên ộc lập c ng ph n phối m v i

th m số λ (λ > 0) . Đ t
k

ξ =  ξi

(1.6)

i 1

Khi
(th ng th

biến ng u nhiên ξ

ph n phối c

c gọi là ph n phối Erl ng

c ký hiệu là Erk ( λ) ) và biến ng u nhiên ξ

ng ph n phối Erl ng

c gọi là biến ng u nhiên tu n theo quy luật ph n phối Erl ng.
Nếu ξ có phân phối Erl ng th t c :
e-λx λ k x k-1
(k  1)!

v i x>0

0

v i x  0,

f(x) =

và
Eξ =

k
.
λ

(1.7)

1.1.3. Qu trình ngẫu nhiên
Giả s  là một tập con c

Xét ánh x

R, ký hiệu:   R.

X :  x   R.

Định nghĩa 1.1.5 (Qu tr nh ng u nhi n)
Nếu ánh x X :  x   R th
X( θ, ω ) là một
x
θ

o

il

m n i u kiện: v i mỗi θ  cố

ng ng u nhiên (nghĩ là v i mỗi θ cố

c v i biến th h i) th X( θ, ω )
c gọi là biến th i gi n.

nh th

nh th X(θ,) là ánh

c gọi là một quá tr nh ng u nhiên. Biến

10

Nếu   0,1, 2,...,n,... thì X( n, ω )

c gọi là d y biến ng u nhiên h y

c n gọi là quá tr nh ng u nhiên v i th i gi n r i r c.
Nếu   0, T  hay   0,   thì X( θ, ω )

c gọi là quá tr nh ng u

nhiên v i th i gi n liên t c.
Trong h u hết các tài liệu v ý nghĩ c
d ng là biến t và quá tr nh ng u nhiên th
ho c

θ là biến th i gi n nên ng

ng

it h y

c viết là X( t, ω ) ho c X t (ω)

n giản là X t .
D

i

y luận án tr nh bày một số l p quá tr nh ng u nhiên qu n trọng và

c n d ng cho các ch

ng s u.

1.1.3.1. Quá trình Poisson
Ta n i r ng qú tr nh X(t), t  0 là quá tr nh Poisson v i c

ng ộ λ

(ho c th m số λ ) nếu:
i. X(t) nhận các giá tr 0,1,2,
ii. X(t), t  0 là qú

tr nh c

gi

số

ộc lập, t c là v i bất k

0  t 0  t1  ...  t n các gi số X(t1 ) - X(t 0 ), X(t 2 ) - X(t1 ),..., X(t n ) - X(t n-1 ) là

các biến ng u nhiên ộc lập.
iii. Mỗi gi số X(s+ t) - X(t) c ph n phối Poisson v i th m số λs v i mọi

s  0, t  0 .
iv. X(0)  0.
T

nh nghĩ ta có X(t) c ph n phối Poisson v i th m số λt nên suy ra
E[X(t)]  Var[X(t)]  λt .

(xem [17]).
1.1.3.2. Quá trình Markov


11

Giả s X(t) là một quá tr nh ng u nhiên. T ký hiệu
 t  σ( X(s),s  t)

(1.8)

 t  σ(X(t))

(1.9)

 t  σ( X(s),s > t)

(1.10)

Định nghĩa 1.1.6 (Quá trình Markov)
Quá tr nh ng u nhiên X t = X(t, ω)

c gọi là quá tr nh M rkov nếu

E(Xt /  s )  E(Xt / s ), s và t > s

(1.11)

Giả s X t là quá tr nh M rkov. Ký hiệu E là tập tất cả các giá tr c
E

X t ; khi

c gọi là kh ng gi n tr ng thái.
Nếu E c lực l

ng kh ng quá ếm

Nếu X t là x ch M rkov, t = 0, 1, 2,

c th X t
th X t

c gọi là xich Markov.
c gọi là xich M rkov v i

th i gi n r i r c.
Nếu t [0, ) thì X t
Các tên gọi c ng t

c gọi là xich M rkov v i th i gi n liên t c.

ng tự nh quá trình Markov.

Đối v i xich Markov, tính Markov (1.11)

c phát bi u

n giản h n là:

P[Xt n+1 = j/Xt0 = i0 , Xt1 = i1 ,..., Xt n-1 = in-1 , Xt n = i ] =

= P[Xt = j/Xt = i]
n+1

0

(1.12)

v i mọi t 0 < t1 < ...< t n-1 < t n < t n+1 và i0 , i1 , ..., in-1 , i, j là các tr ng thái.
Giả s

X t là một xích Markov, giá tr xác suất
P(s, i, t, j) = P[Xt = j/Xs = i], (s < t)

(1.13)


12

c gọi là xác suất x ch chuy n t tr ng thái i ến tr ng thái j ở th i i m t v i
i u kiện n ở tr ng thái i t i th i i m s (s < t), h y ng

i t gọi

n giản là xác

suất chuy n, ký hiệu p(s, i, t, j).
Nếu xác suất chuy n p(s, i, t, j) chỉ ph thuộc vào khoảng cách th i gi n (t c
là ph thuộc vào t – s), nghĩ là:
p(s, i, t, j) = p(s + h, i, t + h, j)
thì X t

(1.14)

c gọi là X ch M rkov thu n nhất.
Các kết quả qu n trọng v X ch m rkov c th t m thấy trong [13], [14],

[15], [16], [17].
1.2. Quy hoạch tuyến tính và quy hoạch nguyên tuyến tính
1.2.1. Quy hoạch tuyến tính
Bài toán quy ho ch tuyến t nh

c phát bi u d

i d ng s u:

n

f(x) = c,x = c jx j  max (min)

(1.15)

j=1

v i các ràng buộc:

n

a x
ij

j1

j

 (, ) bi

xj  0

D ng chuẩn c

(i  1, m)

(1.16)

( j  1, n)

bài toán quy ho ch tuyến t nh là d ng s u:
f(x) = c, x  max (min)

(1.17)

v i các ràng buộc:
n

a x

j1

ij

xj  0

D ng ch nh tắc c

j

 bi

(i  1, m)

( j  1, n)

bài toán quy ho ch tuyến t nh là d ng:

(1.18)


13

f(x)= c, x  max (min)

(1.19)

v i các ràng buộc:
n

a x
j1

ij

j

 bi

xj  0

(i  1, m)

(1.20)

( j  1, n)

Chúng t l u ý r ng bất k bài toán quy ho ch tuyến t nh nào c ng c th
v một trong h i d ng chuẩn ho c ch nh tắc nh các phép biến
Thông th
pháp

n h nh

ng bài toán quy ho ch tuyến t nh ng

i t th

i tuyến t nh.
ng d ng ph

ng

giải [19], [20], [21].

1.2.2. Quy hoạch nguyên tuyến tính
Bài toán quy ho ch nguyên tuyến t nh

c phát bi u nh s u:

f(x, y)  max (min)

(1.21)

gi (x, y)  0,

(1.22)

V i các ràng buộc:
i = 1, m

Trong
x = (x1 , x 2 ,...,x p ),

p  N

y  (y1 , y 2 ,...,yq ),

q  0  N 

Ta có x  Dx v i D x là tập các véc t

c

tọ

ộ nguyên trong R p ;

y  Dy  R q ; Các hàm f(x, y) và gi (x, y) là các hàm tuyến t nh theo các biến
x i và y j (i = 1, p; j = 1, q) và p + q = n là số biến c

Nếu D x chỉ ch

các véc t c tọ

bài toán.

ộ thuộc 0,1 thì ta có bài toán quy

ho ch nguyên tuyến t nh “0 - 1”.
Nếu q = 0 th bài toán
Tr

ng h p ng

cl i

c gọi là bài toán quy ho ch nguyên hoàn toàn.

c gọi là bài toán quy ho ch nguyên bộ phận.

14

Đ giải bài toán quy ho ch nguyên ng
ph

ng pháp chẳng h n nh : ph

- Doig), ph

i t

ng pháp Gomory, ph

x y dựng

c một số

ng pháp Nhánh cận (L nd

ng pháp Monte - Carlo [74], [83]. Các bài toán quy ho ch tuyến t nh,

quy ho ch nguyên tuyến t nh sẽ

c s d ng ở ch

ng s u.

1.3. Lý thuyết đồ thị

Trên thực tế có nhi u bài toán liên qu n t i một tập các ối t
mối liên hệ gi

chúng,

i h i phải

và t ng quát b ng ng n ng ký hiệu,
c

t r một m h nh bi u diễn một cách ch t chẽ
là ồ th . Nh ng ý t ởng c bản c

n

r t thế kỷ th XVIII bởi nhà toán học Thuỵ Sĩ Leonh rd Euler, ng

d ng m h nh ồ th

giải bài toán v nh ng c y c u Konigsberg n i tiếng.

M c d Lý thuyết ồ th
nhi u ng d ng hiện
sự r

ng và nh ng

ic

c kho học phát tri n t rất l u nh ng l i c

i. Đ c biệt trong khoảng vài m

i năm trở l i

máy t nh iện t và sự phát tri n nh nh ch ng c

ồ th càng

y, c ng v i

Tin học, Lý thuyết

c qu n t m ến nhi u h n. Đ c biệt là các thuật toán trên ồ th

có nhi u ng d ng trong nhi u lĩnh vực khác nh u nh : M ng máy t nh, Lý thuyết
m , Tối u hoá, Kinh tế học v.v... Chẳng h n nh trả l i c u h i hai máy tính trong
m ng c th liên hệ

c v i nh u h y kh ng; h y vấn

ph n biệt h i h p chất

hoá học c c ng c ng th c ph n t nh ng l i khác nh u v c ng th c cấu t o c ng
c giải quyết nh m h nh ồ th .
Đ c th t m hi u k vấn
1.3.1.1. Một số

này, ộc giả c th th m khảo [72], [80], [81].

nh nghĩ

Định nghĩa 1.1.7 ( ồ thị)
Đồ th (Gr ph) là một cấu trúc r i r c gồm các ỉnh và các c nh nối các ỉnh
.Đ

c m tả h nh th c: G = (V, E), V gọi là tập các ỉnh (Vertices) và E gọi là

tập các c nh (Edges). C th coi E là tập các c p (u, v) v i u và v là h i ỉnh c

V.


15

Định nghĩa 1.1.8. ( ồ thị có trọng s )
Đồ th có trọng số là ồ th mà mỗi c nh (h y cung) c
một số thực, gọi là trọng số c

.

ng i ngắn nhất

Trong các ng d ng thực tế, bài toán t m
c

c gán thêm

c nh (cung), th hiện chi ph phải tốn (khoảng cách,

th i gi n, ti n b c, ...) khi i qu c nh (cung)
1.3.1.2. Bài toán

n

ng i ngắn nhất gi

h i ỉnh

một ồ th liên th ng c một ý nghĩ to l n, nhi u bài toán thực tế qu n trọng có

th d n v bài toán nh vậy. V d , bài toán chọn một hành tr nh tiết kiệm nhất
(theo tiêu chuẩn khoảng cách, th i gi n ho c chi ph ) trên một m ng gi o th ng
ng bộ,

ng th y ho c

ng kh ng; bài toán chọn một ph

ng pháp tiết kiệm

nhất

r một hệ thống ộng lực t tr ng thái xuất phát ến tr ng một tr ng

thái

ch, bài toán lập l ch thi c ng các c ng các c ng o n trong một c ng tr nh thi

c ng l n, bài toán lự chọn

tin, v.v

ng truy n tin v i chi ph nh nhất trong m ng th ng

Hiện n y c rất nhi u ph

nh ng, th ng th

ng các thuật toán

ng pháp

c x y dựng dự trên c sở lý thuyết ồ th t

r là các thuật toán c hiệu quả c o nhất. S u
ài c

ng i cho bài toán

giải các bài toán nh vậy. Thế
y chúng t i chỉ nêu

ng i ngắn nhất. Một số thuật toán

nh nghĩ

ộ

tm

ng

i ngắn nhất ộc giả c th xem k h n t i tài liệu [2], [4], [20].
Định nghĩa 1.1.9.(

dài của

ờng i)

Cho G là ồ th có trọng số và (P) là một
dài c

ng i trên G. T

ng i (P) là t ng trọng số c a tất cả các c nh trên (P).

nh nghĩ

ộ