VẬN DỤNG CAO PHẦN ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM

Chương 1. KSHS và Ứng dụng đạo hàm
Vấn đề 1. Đơn điệu hàm số
Biên soạn và sưu tầm: Nguyễn Bảo Vương
Phần 4. VẬN DỤNG CAO
Vì đây là Phần Vận Dụng Cao nên chúng tôi sẽ giới thiệu các bạn các bài toán
khó liên quan đến đơn điệu chứa tham số.
BÀI TOÁN. Định m để hàm số y  f ( x, m) đơn điệu trên

 ;   ,   ;  ,  ;  ...
Lời bình: Đây là bài toán, đã có rất nhiều tài liệu viết, khá chi tiết, tuy nhiên đa
số sử dụng phương pháp là dùng tam thức bậc 2 để giải quyết, nay tôi gửi các
bạn phương pháp khác, thích hợp với thi toán Trắc nghiệm, vì tôi đánh giá, khi
các bạn thực sự hiểu vấn đề phương pháp này, tôi tin rằng các bạn sẽ nhanh
hơn trong tính toán, để đưa ra đáp án đúng. Phương pháp này tôi xin đặt tên
là, Bảng mab
Phương pháp mab:
Cơ sở phương pháp là xử lý tham số ( chẳng hạn m) thoả mãn trên

 ;   ,   ;  ,  ;  ... theo một trong bốn yêu cầu:

1. f '( x)  ax2  bx  c  0; x   a; b  (*)  f  x  đồng biến trên  a; b 
2. f '( x)  ax2  bx  c  0; x   a; b   f  x  nghịch biến trên  a; b 
Ở đây, chúng tôi xét trường hợp cho bài toán (*)
Bước 1. Xét các trường hợp đặc biệt khi tham số m0 làm cho a f '  0 , Lúc đó tìm
được ngay tập nghiệm S của (*)
So sánh S với  ;   , kết luận nhận hoặc loại m0
Bước 2. Tính  f ' xét dấu theo m:  f ' và a f '  0 vào cùng một bảng mab. Để
chia miền m hợp lý theo dấu  f ' , a f '
Bước 3. Đặt  ;   vào vị trí hợp lý của bảng xét dấu f '( x) phụ thuộc vào a, và
 qua các trường hợp trên.

Bước 4. Hợp nghiệm của m trong các trường hợp kể trên để đưa ra m thoả mãn
ycbt

1


Số điện thoại: 0946.798.489

Ghi chú: Bài toán là có thể giải bằng đồ thị trên  a; b  tiện lợi và nhanh gọn khi
tham số m có bậc nhất, và có thể độc lập được m ra khỏi x
Ở đây ta thường sử dụng định lý đảo về dấu như sau cho tam thức bậc hai
g( x)  ax2  bx  c

● x1    x2  ag    0 (không xét dấu  g )

ag    0

S
b
●   x1  x2   g  0
(với    x1  x2 ).
2
2a

S    0
 2

ag    0

S

b
● x1  x2     g  0
(với    x1  x2 )
2
2
a

S
   0
 2

CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN (ĐƯỢC TRÌNH BÀY, THEO TỰ LUẬN)
Bài 1. Định các giá trị tham số m, để hàm số sau đồng biến trên nữa khoảng





 2;   y  x3   m  1 x2  2m2  3m  2 x  2m  2m  1 .

Lời giải và phân tích
Hàm số đồng biến trên  2;    g( x)  f '  x   0; x  2





 g  x   3x2  2  m  1 x  2m2  3m  2  0; x  2
Với ag  3  0 . Tính









 'g   m  1  3 2m2  3m  2   'g  7 m2  m  1  0, m
2

Lúc này ta gọi x1 ; x2  x1  x2  là hai nghiệm của g  x  , ta có


Chương 1. KSHS và Ứng dụng đạo hàm
Vấn đề 1. Đơn điệu hàm số
Biên soạn và sưu tầm: Nguyễn Bảo Vương

 2;  

 2;   vô lý


x
g  x  f '  x  0

x1





x2


0

0



 ag g  2   0
2m2  m  6  0
3


YCBT  x1  x2  2   S

 2  m 
2

m  5
 20
2

Bài 2. Định a để hàm số y 

x3
  a  1 x2   a  3  x ngịch biến trên  0; 3 
3

Lời giải và phân tích
ycbt  g( x)  f '( x)  x2  2  a  1 x   a  3   0, x   0; 3 
Ta có ag  1  0 nên  g '   a  1   a  3   a2  a  4  0, x
2

Ta xét dấu g  x 

x

 0; 3 



g  x

x1



0



x2



0



 g  0   0
  a  3   0
12


a
ycbt  x1  0  3  x2  
7

 g  3   0
9  6 a  6  a  3  0

Phương pháp đồ thị
ycbt  g( x)  f '( x)  x2  2  a  1 x   a  3   0, x   0; 3 
 x2  2x  3   2x  1 a; x   0; 3  lúc đó ta có  2x  1  0

 G  x 

x2  2x  3
 a 1
2x  1

3


Số điện thoại: 0946.798.489

Với G '  x  

2x2  2x  8

 2x  1

2

 0; x   0; 3  G  x  : tăng, suy ra a  max G( x) 
 0;3

12
7

Trên là 2 bài tôi nói về phương pháp mab, vì thời gian nguyên cứu còn ngắn, và
sức khoẻ đang không tốt, như đã hứa tôi cố gắng giới thiệu sơ cho các bạn đọc
mab. Chúc các bạn đọc thành công trong học tập, công tác và mạnh khoẻ.

Sau đây, là các bài toán tôi trích từ quyển sách “KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM của NGUYỄN PHÚ KHÁNH” gửi các bạn đọc, để các
bạn đọc được rỏ hơn về dạng toán này.

Bài toán 01: TÌM m ĐỂ HÀM SỐ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN TRÊN
KHOẢNG K 

 ;   , ;   ,  ;  , ;  .

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài 1: Định m để hàm số :
1. y 

2x  1
nghịch biến trên (2; )
xm

2. y 

mx  4
nghịch biến trên khoảng  ;1 .
xm

3. y 

2x2  3x  m
đồng biến trên khoảng (; 1) .
x 1

4. y 

x2  2mx  3m 2
nghịch biến trên khoảng ( ;1) .
2m  x

5. y 

x2  5x  m 2  6
đồng biến trên khoảng 1;   .
x3

6. y 

mx2  6x  2
nghịch biến trên nửa khoảng 1;   .
x2

Bài 2: Định m để hàm số :


Chương 1. KSHS và Ứng dụng đạo hàm
Vấn đề 1. Đơn điệu hàm số
Biên soạn và sưu tầm: Nguyễn Bảo Vương
1. y  x3  (1  2m)x2  (2  m)x  m  2 đồng biến trên khoảng (0; ) .
2. y  x3  3x2  mx  4 đồng biến trên khoảng (; 0) .
3. y 

x3
 mx2  (1  2m)x  1 đồng biến trên 1;   .
3

4. y  x3  (m  1)x2  (2m2  3m  2)x  m(2m  1) đồng biến trên  2;  
1
5. y  mx3  2  m  1 x2   m  1 x  2013 đồng biến trên khoảng  2;   .
3





6. y  x3   m  1 x2  2m 2  3m  2 x  2013m  2m  1 đồng biến trên nửa
 2;  

Bài 3: Định m để hàm số :
1. y  2x3  3(2m  1)x2  6m(m  1)x  1 đồng biến trên khoảng (2; )
2. y  x3  (m  1)x2  (2m2  3m  2)x nghịch biến trên (2; )
1
3. y  (m 2  1)x3  (m  1)x2  2x  1 (m  1) nghịch biến trên khoảng (; 2)
3
.
1
4. y  mx3  (m  1)x2  3(m  2)x  1 đồng biến trên (2; ) .
3

5. y  x3  3x2  mx  4 nghịch biến trên khoảng  0;   .
6. y  2x3  2x2  mx  1 đồng biến trên khoảng 1;   .
Lời giải tác giả:
Bài 1:
1. Hàm số nghịch biến trên (2; )  hàm số xác định trên (2; ) và
m  2
m  (2; )
1

x  (2; ), y'  0  

1  m2.
2
2m  1  0
m  

2

5

Số điện thoại: 0946.798.489


 y'  0, x   ;1
2. Hàm số nghịch biến trên khoảng  ;1 khi và chỉ khi 

m   ;1
2

2  m  2
m  4  0

 2  m  1

m  1

m   ;1

3. Ta có: f(x)  0  m  2x2  4x  3 . Đặt g(x)  2x2  4x  3  g'(x)  4x  4
Hàm số cho đồng biến trên (; 1)  y'  0, x  (; 1)  m  min g(x)
( ; 1]

4. Đặt t  x  1 ,khi đó : f(x)  0 trở thành:
g(t)  t 2  2(1  2m)t  m2  4m  1  0
2m  1
Hàm số cho nghịch biến trên ( ;1)  y'  0, x  ( ;1)  
g(t)  0, t  0

 

m  0
 '  0


m  0
 '  0
 m  0
1

Với m  thì    

 
 S  0
4m  2  0
2
 m  2  3



2

 P  0
 m  4m  1  0

5. x2  6x  9  m2  0 , x  1;   ( vì  x  3   0 , x  1 ) hay  x  3   m 2
2

2

với x  1;   . Xét g  x    x  3  trên khoảng 1;   và g'  x   2  x  3  với
2

x  1  x  3  4 tức g'  x   8  0 với x  1;   . g  x  đồng biến trên

khoảng 1;   và lim g  x   16 lim g  x    .
x1

x

Khi đó m 2   x  3  , x  1;    m2  16 hay 4  m  4 .
2

6. Hàm nghịch biến trên nửa khoảng 1;    f  x   mx2  4mx  14  0 ,
x  1;    .

Cách 1: Dùng tam thức bậc hai
 Nếu m  0 khi đó   không thỏa mãn.


Chương 1. KSHS và Ứng dụng đạo hàm
Vấn đề 1. Đơn điệu hàm số
Biên soạn và sưu tầm: Nguyễn Bảo Vương
 Nếu m  0 . Khi đó f  x  có   4m2  14m
 Nếu 0  m 

7
thì f  x   0 x 
2

, nếu f  x  có hai nghiệm x1 ,x2 thì

f(x)  0  x   x1 ; x2  nên   không thỏa mãn.
 Nếu m  0 hoặc m 

x1

7
. Khi đó f  x   0 có hai nghiệm
2

2m  4m 2  14m
2m  4m 2  14m
; x2 
m
m

Vì m  0 hoặc m 

7
 x1  x2  f  x   0  x  x1 hoặc x  x2
2

Do đó f(x)  0 x  1;    x2  1  3m  4m 2  14m  m  
Cách 2:   m 

14
x  4x
2

Ta có ming  x   g 1  
x1

14
.
5

 g  x  x  1;    m  min g  x 
x1

14
14
m .
5
5

Bài 2:

1
5
1. f    m   m .
4
2
2. Ta có: y  3x2  6x  m . y có   3(m  3) .
+ Nếu m  3 thì   0  y  0, x  hàm số đồng biến trên

 m  3

thoả

+ Nếu m  3 thì   0  phương trình y  0 có 2 nghiệm phân biệt x1 ,x2
(x1  x2 ) . Khi đó hàm số đồng biến trên các khoảng (; x1 ),(x2 ; ) .

Do đó hàm số đồng biến trên khoảng (; 0)

7


Số điện thoại: 0946.798.489

   0
m  3


 0  x1  x2  P  0   m  0
S  0
2  0



3. x  (1; ) ,x2  2mx  1  2m  0  x  (1 : ) ,x2  1  2m(x  1)
 x  (1; ) ,

x2  1
 2m (do x  1  0 khi x  1).
x1

Xét hàm số f  x  

x2  2x  1

x2  1
 0 với mọi x  (1; ) .
, x  (1; ) . f '(x) 
x1
(x  1)2

1
x  (1; ) ,f(x)  2m  min f(x)  2m  f(1)  2m  1  2m  m  .
x[1; )
2

4. f(x)  3x2  2(m  1)x  (2m2  3m  2)  0 x [2; )
Vì x1  x2 nên f(x)  0  x  x1 hoặc x  x2 .
Do đó f(x)  0 x [2; )  x2  2   '  5  m


3
m  5
m  5

 2
 2  m  .
2
2
 '  (5  m)


2m  m  6  0

5. y'  0, x   2;    mx2  4  m  1 x  m  1  0, x   2;  





 x2  4x  1 m  4x  1, x   2;    m 
Xét hàm số g  x  
 g'  x  

 2;   và

4x  1
2

x  4x  1

2x  2x  1





x2  4x  1

lim g  x  

x 2 

2

4x  1
2

x  4x  1

, x   2;  

,x   2;  

 0, x   2;    g  x  nghịch biến trên khoảng

9
9
.
, lim g  x   0 . Vậy m 
13
13 x





6. f  x   3x2  2  m  1 x  2m 2  3m  2  0 , x  2;  


Chương 1. KSHS và Ứng dụng đạo hàm
Vấn đề 1. Đơn điệu hàm số
Biên soạn và sưu tầm: Nguyễn Bảo Vương
Vì tam thức f  x  có  '  7m2  7m  7  0 ,m 

x1 

nên f  x  có hai nghiệm :

m  1  '
m  1  '
; x2 
. Vì x1  x2 nên f  x   x  x1 hoặc x  x2
3
3

Do đó f  x   0 x  2;    x2  2   '  5  m  2  m 

3
2

Bài 3:
1. Hàm số đồng biến trên các khoảng (; m), (m  1; ) , hàm số đồng biến
trên (2; )  m  1  2  m  1
2. Hàm số nghịch biến trên khoảng (2; )  y'  0 và x1  x2  2
 '  0

 3
  '  0
3
  m  2
  
 m2
 2
x


2

x

2

0
2
  2 
m  5
  1

  x  2  .  x  2   0
2
  1

3. Đặt t  x – 2 ta được: y  g(t)  (m2  1)t 2  (4m2  2m  6)t  4m2  4m  10
Hàm số cho nghịch biến trong khoảng (; 2)  g(t)  0, t  0
2

a  0
m  1  0
TH1: 
 
2
  0

3m  2m  1  0

m 2  1  0

a  0
3m 2  2m  1  0


  0
TH2: 
  2
4m  4m  10  0
S

0


 2m  3
P  0

 m  1  0

4. Xét hàm số g  x  
Ta có: g'  x  

x2  2x
liên tục trên khoảng  0;1 .
4x  1

4x2  2x  2

 4x  1

2

, x   0;1 : g'  x   0  x 

1 1
1
, g   .
2
2 4

9


Số điện thoại: 0946.798.489

Hơn nữa lim g  x   0, lim g  x  
x0

x1

1
. Dựa vào bảng biến thiên suy ra m  0 .
5

5. y'  3x2  6x  m  0, x  0  m  3x2  6x  f  x 
Ta có f '  x   6x  6  0, x  0 và f  0   0 . Từ đó ta được : m  0 .
6. Cách 1: y'  0, x  1;    g  x   6x2  4x  m,x  1 .
g'  x   12x  4  0, x  1  g  x  đồng biến trên khoảng 1;  





và lim g  x   lim 6x2  4x  2, lim g  x   
x1

x1

x

Dựa vào bảng biến thiên suy ra 2  m  m  2
1
a  hoặc f  x   0 có hai
3
nghiệm thỏa mãn x1  x2  1 *  . Đặt t  x  1  x  t  1 , khi đó g  t   f  t  1

Cách 2: Khi và chỉ khi hoặc  '  2  6m  0  m 

. Điều kiện  *   g  t   6t 2  8t  2  m có hai nghiệm không dương, tức là
 '  0
 g
Sg  0  ...  b  .

Pg  0

Bài toán 02: TÌM m ĐỂ HÀM SỐ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN TRÊN
KHOẢNG XÁC ĐỊNH

 ;  , ; .

Bài 1: Định m để hàm số :
1. y  x4  2mx2  3m  1 đồng biến trên khoảng (1; 2).
2. y  x3  (m  2)x2  (3m  2)x  2 đồng biến trên đoạn  3; 4 
Bài 2: Tìm m để hàm số:
1
1. y  x3   2m  1 x2  mx  2 nghịch biến trên khoảng  0;1 .
3

2. y 

x3
 (m  1)x2  (2m  1)x  m nghịch biến trên (0; 3) .
3


Chương 1. KSHS và Ứng dụng đạo hàm
Vấn đề 1. Đơn điệu hàm số
Biên soạn và sưu tầm: Nguyễn Bảo Vương
3. y  x3  3x2  3(m2  1)x  1 đồng biến trên (1; 2) .
4. y  x – 3x   2m  1 x – 4. biến trên [2; 1]
3

2

5. y  x3  3x2   m  1 x  4m nghịch biến trên khoảng  1;1 .
6. y  mx3  x2  3x  m  2 đồng biến trên khoảng  3; 0  .
Lời giải tác giả:
Bài 1:
1. + m  0 , y  0, x  (0; )  m  0 thoả mãn.

+ m  0 , y  0 có 3 nghiệm phân biệt:  m , 0,
Hàm số cho đồng biến trên (1; 2) 

m.

m 1 0 m 1.

Vậy m   ;1 .

2. x [3; 4],3x2  2(m  2)x  3m  2  0  x [3; 4],3x2  4x  2  m(2x  3)
 x  [3; 4],

g'(x) 

3x2  4x  2
3x2  4x  2
 m . Xét g  x  
, x  [3; 4] .
2x  3
2x  3

6x2  18x  8
(2x  3)

2



2[3x(x  3)  4]
(2x  3)2

 0 với mọi x thuộc đoạn  3; 4 

17
 g  x  đồng biến trên đoạn  3; 4   min g(x)  g(3) 
x[3;4]
3

Bài 2:
1. Cách 1. f(x)  mx2  2(m  1)x  3(m  2)  0, x  (2; ) (3)
TH 1: m  0 khi đó (3) chỉ đúng với mọi x  3 .
TH 2: m  0 ta thấy trường hợp này không tồn tại m thỏa mãn yêu cầu bài
toán.
TH 3: m  0 , f(x) có  '  2m2  4m  1

11


Số điện thoại: 0946.798.489

* Nếu  '  0  m 

2 6
(do m  0 )  f(x)  0 x 
2

* Nếu  '  0  0  m 

2 6
(*).

2

Khi đó f(x) có hai nghiệm x1  x2 và
 x  x1
f(x)  0  
 f(x)  0, x  2  x 2  2
 x  x2



m  1  '
2
 2   '  m  1  3m 2  2m  0  m 
m
3

Kết hợp với (*) 

2
2 6
2
m
. Vậy m  là những giá trị cần tìm.
3
2
3

Cách 2: Xét hàm số g(x) với x  2 . Ta có : g'(x) 

2(x2  6x  3)

(x2  2x  3)2

 g'(x)  0  x  3  6 , lim g(x)  0 .
x

 m  g(x) x  (2; )  m  maxg(x) 
x 2

2. Xét hàm số f(x) 

2
.
3

x2  2x  1
,x  [0; 3] ,m  0 .
x1

3.
 Nếu m  1  m  1  m  0  y'  0 x nên hàm số đồng biến trên

m  1  1
 m 3.
 Nếu m  0 , suy ra yêu cầu bài toán  
m  1  2
m  1  2
 m  3 .
 Nếu m  0 , suy ra yêu cầu bài toán  
m  1  1

4. Hàm số nghịch biến trên [2; 1]
 x [2; 1], y'  0  x  [2; 1],3x2  6x  1  2m .

Xét h  x   3x2 – 6x  1 trên [2; 1]

.


Chương 1. KSHS và Ứng dụng đạo hàm
Vấn đề 1. Đơn điệu hàm số
Biên soạn và sưu tầm: Nguyễn Bảo Vương
x [2; 1],h(x)  2m  min h(x)  2m  10  2m  m  5
x[ 2; 1]

5. Cách 1 : Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng  1;1 khi và chỉ khi





y'  0, x   1;1 . Xét hàm số g  x    3x2  6x  1 , x   1;1
 g'  x   6x  6  0, x   1;1  g  x  nghịch biến trên khoảng  1;1 và

lim g  x   2, lim g  x   10 . Vậy m  10 thoả yêu cầu.

x1

x1

Cách 2 : y''  6x  6

Nghiệm của phương trình y''  0 là x  1  1 . Do đó, hàm số đã
cho nghịch biến trên khoảng  1;1 khi và chỉ khi m  lim g  x   10 .
x1

6. Xét hàm số g  x  
g'  x  

6x2  18x
9x4

lim g  x   

x3

2x  3
3x2

liên tục trên khoảng  3; 0  , ta có

 0, x   3; 0   g  x  nghịch biến trên khoảng  3; 0  và

4
4
.
, lim g  x    . Dựa vào bảng biến thiên suy ra m  

27
27 x0

13