Luận văn thạc sĩ vật lý nghiên cứu biến dạng đàn hồi của hợp kim thay thế AB xen kẽ c

LỜI CẢM ƠN
Em xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Nguyễn
Quang Học, TS Nguyễn Thị Hòa – người thầy, người cô đã tận tình hướng dẫn chỉ
bảo em trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn thạc sĩ.
Em xin trân trọng cảm ơn các thầy giáo, cô giáo Bộ môn Vật lý lý thuyết,
Khoa Vật lý và Phòng Sau đại học, ĐHSP Hà Nội, các bạn Lớp Cao học Vật lý lý
thuyết K22 và gia đình đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ để em thực hiện đề tài luận
văn.
Hà Nội, ngày 4 tháng 10 năm 2015
Tác giả luận văn

Nguyễn Thị Thúy


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan rằngluận vănmang tên “Nghiên cứu biến dạng đàn hồi của
hợp kim thay thế AB xen kẽ nguyên tử C ” là công trình nghiên cứu riêng của tôi.
Các số liệu trình bày trong luận văn là trung thực, đã được các đồng tác giả cho
phép sử dụng và chưa từng được công bố trong bất cứ công trình nào khác.
Hà Nội, ngày 4 tháng 10 năm 2015
Tác giả luận văn

Nguyễn Thị Thúy


MỤC LỤC
2.2.3. Hệ số nén đẳng nhiệt..........................................................................................34
2.2.4. Môđun đàn hồi đẳng nhiệt..................................................................................35
Môđun đàn hồi đẳng nhiệt được cho bởi......................................................................35
2.2.5. Nhiệt dung đẳng tích..........................................................................................35

2.2.6. Nhiệt dung đẳng áp.............................................................................................35
2.2.7. Hệ số nén đoạn nhiệt..........................................................................................36
2.2.8. Môđun đàn hồi đoạn nhiệt..................................................................................36
Môđun đàn hồi đoạn nhiệt được cho bởi......................................................................36


DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT

KL

Kim loại

HKTT

Hợp kim thay thế

HKXK

Hợp kim xen kẽ

PPTKMM

Phương pháp thống kê mômen

TN

Thực nghiệm

LPTK

Lập phương tâm khối

LPTD

Lập phương tâm diện

LGXC

Lục giác xếp chặt

NXB

Nhà xuất bản

ĐHSP

Đại học Sư phạm

ĐHQG

Đại học Quốc gia

KH& KT

Khoa học và Kỹ thuật

GD

Giáo dục

DFT

Lý thuyết phiếm hàm mật độ

LDA

Gần đúng mật độ địa phương

AB INITIO

Từ các nguyên lý đầu tiên

DFPT

Lý thuyết nhiễu loạn phiếm hàm mật độ

PPPW

Sóng phẳng giả thế

SCGF

Hàm Green tự hợp

MEAM

Nguyên tử nhúng biến dạng

MD

Động lực học phân tử

CPA

Gần đúng thế kết hợp

GGA

Gần đúng građiên suy rộng

QHA

Gần đúng chuẩn điều hòa

TB

Liên kết chặt

FEM

Phương pháp phần tử hữu hạn

MDSM

Phương pháp mô phỏng động lực học phân tử


DANH MỤC CÁC BẢNG SỐ
Bảng 3.1. Các thông số thế n-m và hệ số Poisson của các kim loại....................64
Bảng 3.2. Các thông số thế n-m của một số vật liệu phi kim..............................65

Bảng 3.3. Sự phụ thuộc nhiệt độ và nồng độ nguyên tử thay thế Cu của khoảng
lân cận gần nhất trung bình đối với HKTT Al-Cu ở P = 0.................................72
Bảng 3.4. Sự phụ thuộc nhiệt độ và nồng độ nguyên tử thay thế Mg của khoảng
lân cận gần nhất trung bình đối với HKTT Al-Mg ở P = 0................................72
Bảng 3.5. Sự phụ thuộc nhiệt độ và nồng độ nguyên tử thay thế Cu của khoảng
lân cận gần nhất trung bình đối với HKTT Au-Cu ở P = 0................................72
Bảng 3.6. Sự phụ thuộc nhiệt độ và nồng độ nguyên tử thay thế Zn của khoảng
lân cận gần nhất trung bình đối với HKTT Cu-Zn ở P = 0................................73
Bảng 3.7. Sự phụ thuộc nhiệt độ của khoảng lân cận gần nhất trung bình a(1010m) đối với các HKTT ở một nồng độ nguyên tử thay thế xác định và P = 0
theo PPTKMM và TN[57].....................................................................................74
Bảng 3.8. Sự phụ thuôc nhiệt độ và nồng độ nguyên tử thay thế Cu của các
môđun đàn hồi E, G, K (1010Pa) đối với HKTT Al-Cu ở P = 0.........................74
Bảng 3.9. Sự phụ thuôc nhiệt độ và nồng độ nguyên tử thay thế Mg của các
môđun đàn hồi E, G, K (1010Pa) đối với HKTT Al-Mg ở P = 0........................76
Bảng 3.10. Sự phụ thuôc nhiệt độ và nồng độ nguyên tử thay thế Cu của các
môđun đàn hồi E, G, K (1010Pa) đối với HKTT Au-Cu ở P = 0........................77
Bảng 3.11. Sự phụ thuôc nhiệt độ và nồng độ nguyên tử thay thế Zn của các
môđun đàn hồi E, G, K (1010Pa) đối với HKTT Cu-Zn ở P = 0........................78
Bảng 3.12. Sự phụ thuôc nhiệt độ và nồng độ nguyên tử thay thế Al của các
môđun đàn hồi E, G, K (1010Pa) đối với HKTT Au-Al ở P = 0.........................78
Bảng 3.13. Các hằng số đàn hồi E, G, K (1010Pa) của các kim loại ở P = 0, T =
300K theo PPTKMM và TN [18,39,47]................................................................79
Bảng 3.14. Sự phụ thuôc nhiệt độ và nồng độ nguyên tử thay thế Cu của các
hằng số đàn hồi C11, C12, C44 (1011Pa) đối với HKTT Al-Cu ở P = 0............80


Bảng 3.15. Sự phụ thuôc nhiệt độ và nồng độ nguyên tử thay thế Mg của các
hằng số đàn hồi C11, C12, C44 (1011Pa) đối với HKTT Al-Mg ở P = 0............81
Bảng 3.16. Sự phụ thuôc nhiệt độ và nồng độ nguyên tử thay thế Cu của các
hằng số đàn hồi C11, C12, C44 (1011Pa) đối với HKTT Au-Cu ở P = 0...........81

Bảng 3.17. Sự phụ thuôc nhiệt độ và nồng độ nguyên tử thay thế Zn của các
hằng số đàn hồi C11, C12, C44 (1011Pa) đối với HKTT Cu-Zn ở P = 0...........82
Bảng 3.18. Sự phụ thuộc nhiệt độ của các hằng số đàn hồi C11, C12, C44
(1011Pa) đối với Cu, Al ở P = 0 theo PPTKMM và TN [15,47]..........................82
Bảng 3.19. Sự phụ thuộc nhiệt độ và nồng độ nguyên tử xen kẽ Li của khoảng
lân cận gần nhất trung bình giữa các nguyên tử Au trong HKXK Au-Li ở P = 0
................................................................................................................................. 86
Bảng 3.20. Sự phụ thuộc nhiệt độ của các môđun đàn hồi E, K, G (1010Pa) đối
với HKXK Au-0,05Li ở P = 0................................................................................87
Bảng 3.21. Sự phụ thuộc nồng độ nguyên tử xen kẽLi của các môđun đàn hồi
E, K, G (1010Pa) đối với HKXK AuLi ở P = 0, T=300K....................................88
Bảng 3.22. Sự phụ thuộc nhiệt độ của các hằng số đàn hồi C11, C12 (1010Pa)
đối với HKXK Au-0,05Li ở P = 0..........................................................................88
Bảng 3.23. Sự phụ thuộc nồng độ nguyên tử xen kẽ Li của các hằng số đàn hồi
(1010Pa) đối với HKXK AuLi ở P = 0, T = 300K................................................89
Bảng 3.24. Sự phụ thuộc nhiệt độ và nồng độ nguyên tử xen kẽ Li của khoảng
lân cận gần nhất trung bình a đối với Au-0,06Cu-xLi ở P = 0...........................90
Bảng 3.25. Sự phụ thuộc nhiệt độ và nồng độ nguyên tử thay thế Cu của
khoảng lân cận trung bình a đối với Au-xCu-0,05Li ở P = 0..............................90
Bảng 3.26. Sự phụ thuộc nhiệt độcủa các môđun đàn hồi E, K, G (1010Pa) đói
với Au-0,1Cu-0,05Li ở P = 0..................................................................................92
Bảng 3.27. Sự phụ thuộc nồng độ nguyên tử thay thế Cu của các môđun đàn
hồi E, K, G (1010Pa) đối với Au-xCu-0,05Li ở P = 0, T=300K...........................92
Bảng 3.28. Sự phụ thuộc nồng độ nguyên tử xen kẽ Li của các môđun đàn hồi
E, K, G (1010Pa) đối với Au-10Cu-xLi ở P = 0, T=300K....................................92


Bảng 3.29. Sự phụ thuộc nhiệt độ của các hằng sốđàn hồi C11, C12 (1010Pa)
đối với Au-0,1Cu-0,05Li ở P = 0...........................................................................94
Bảng 3.30. Sự phụ thuộc nồng độ nguyên tử xen kẽ Li của các hằng số đàn hồi

C11, C12 (1010Pa) đối với Au-0,1Cu-xLi ở P = 0, T=300K................................94
Bảng 3.30. Sự phụ thuộc nồng độ nguyên tử thay thế Cu của các hằng số đàn
hồi C11, C12 (1010Pa) đối với Au-xCu-0,05Li ở P = 0, T=300K........................94
Bảng 3.31.Khoảng lân cận gần nhất và các môđun đàn hồi E, K, G của Au ở P
= 0, T = 300K tính theo PPTKMM và TN[45, 56]...............................................96
Bảng 3.32.Các hằng số đàn hồi của Au ở P = 0, T = 300K tính theo PPTKMM,
các phương pháp tính toán khác và TN[56]........................................................96


DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ
Hình 1.1. Hợp kim thay thế và hợp kim xen kẽ.....................................................8
Hình 1.2.Giản đồ pha của Au[42]...........................................................................9
Hình 1.4. Nội lực và ứng suất trong vật rắn........................................................23
Hình 1.5. Biến dạng dài dưới tác dụng locủa ứng suất pháp tuyến...................26
Hình 1.6. Biến dạng trượt dưới Θdụng của ứng suất tiếp tuyến........................26
Hình 2.1. Mẫu thanh trụ tròn biến dạng đàn hồi................................................37
Hình 2.2.Biến dạng kéo dọc Hình 2.3. Sự phụ thuộc của lực vào độ lớn biến
dạng........................................................................................................................ 38
Hình 2.4.Sự giảm thể tích dưới tácdụng của lực nén..........................................40
Hình 2.5. Biến dạng trượt dưới tác dụng của ứng suất tiếp tuyến.....................42
Hình 3.1. Đường cong thế năng tương tác giữa hai hạt......................................64
Hình 3.2. ở P = 0.....................................................................................................72
Hình 3.3. ở P = 0.....................................................................................................72
Hình 3.4. ở P = 0.....................................................................................................73
Hình 3.5. ở P = 0.....................................................................................................73
Hình 3.6. ở P = 0, T = 300K (a) và T= 700K (b)...................................................75
Hình 3.7. ở P = 0, (a) và (b)...................................................................................76
Hình 3.8. ở P = 0, 1, 6 và 10%...............................................................................77
Hình 3.9. ở P = 0, 1, 7 và 10%...............................................................................77
Hình 3.10. ở P = 0, 3, 7 và 10%.............................................................................79

Hình 3.11. ở P = 0, T = 300K (a) và T= 700K (b).................................................79
. Hình 3.12. ở P = 0, (a) và (b)...............................................................................83
Hình 3.13. ở P = 0, T = 300K (a) và T= 700K (b).................................................83
Hình 3.14. ở P = 0, (a) và (b).................................................................................84
Hình 3.15. ở P = 0,T =300K (a) và T= 700K (b)...................................................85
Hình 3.16. ở P = 0, (a) và (b).................................................................................85
Hình 3.17. ở P = 0, T = 300, 600 và 800K.............................................................86


Hình 3.18. ở P = 0,..................................................................................................86
Hình 3.19. ở P = 0 và T = 100, 300, 500, 700 và 1000K đối với Au-Li................87
Hình 3.20. ở P = 0 và 0, 0,3, 1, 3 và 5% đối với Au-Li.........................................87
Hình 3.21.ở P = 0,...................................................................................................88
Hình 3.22.ở P = 0,T = 300K...................................................................................88
Hình 3.23.ở P = 0,...................................................................................................89
Hình 3.24. ở P = 0,..................................................................................................89
Hình 3.25. ở P = 0, T = 100, 500,700 và 1000K đối với Au-0,06Cu-Li...............91
Hình 3.26. ở P = 0, T = 300, 500, 700 và 1000K đối với Au-xCu-0,05Li.............91
Hình 3.27. a(T) ở P = 0,0, 0,5, 0,7và 1% đối với Au-0,06Cu-xLi........................91
Hình 3.28. a(T) ở P = 0, 0, 2, 4 và 6 % đối với Au-xCu-0,05Li...........................91
Hình 3.29................................................................................................................93
ở P = 0,.................................................................................................................... 93
Hình 3.30................................................................................................................93
ở P = 0,.................................................................................................................... 93
Hình 3.31................................................................................................................93
ở P = 0,.................................................................................................................... 93
Hình 3.32................................................................................................................95
ở P = 0,.................................................................................................................... 95
Hình 3.33................................................................................................................95
ở P = 0,.................................................................................................................... 95

Hình 3.34................................................................................................................95
ở P = 0,.................................................................................................................... 95


MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Sự phát triển của khoa học và công nghệ vật liệu là một trong những vấn đề
then chốt để công nghiệp hóa và hiện đại hóa đất nước. Hiện nay, do nhu cầu phát
triển của khoa học kĩ thuật đặc biệt là công nghệ chế tạo vật liệu mới đòi hỏi phải
chế tạo các vật liệu có tính chất cơ lí đáp ứng yêu cầu của khoa học công nghệ cũng
như phục vụ cuộc sống con người.
Một trong những lĩnh vực lôi kéo được nhiều nhà khoa học cả lý thuyết lẫn
thực nghiệm đó là việc nghiên cứu các tính chất cơ của kim loại và hợp kim. Đặc
biệt là các nghiên cứu về quá trình biến dạng của vật liệu nói chung và kim loại,
hợp kim nói riêng gần đây được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu.
Kim loại và hợp kim là loại vật liệu rất phổ biến. Tuy nhiên, ta rất ít gặp các kim
loại sạch mà hầu hết các kim loại có tạp hay nói khác đi đó chính là các hợp kim, mà
chủ yếu là hợp kim nhiều thành phần. Hầu hết các hợp kim đều cho ta những đặc tính
vượt trội so với kim loại nguyên chất hợp thành.Do đó,việc nghiên cứu quá trình biến
dạng của hợp kim đóng một vai trò rất quan trọng và có ý nghĩa thực tiễn cao.
Hợp kim có nhiều tính chất vượt trội so với các kim loại nguyên chất hợp
thành.Trong thực tế rất ít gặp các kim loại sạch mà phần lớn các kim loại có tạp hay
nói cách khác đó chính là các hợp kim mà chủ yếu là hợp kim nhiều thành phần.
Tùy theo cấu hình của từng loại hợp kim, người ta chia hợp kim hai thành
phần làm hai loại là hợp kim thay thế (HKTT) và hợp kim xen kẽ (HKXK). Đối
với HKTT, các nguyên tử kim loại ở nút mạng được thay thế bởi các nguyên tử
kim loại khác có kích thước gần như nhau và sự thay thế này có thể là trật tử hoặc
không trật tự. Đối với HKXK, các nguyên tử kim loại ở nút mạng tinh thể được
giữ nguyên và xen kẽ vào các khoảng trống giữ các nút mạng là các nguyên tử
khác có kích thước nhỏ hơn như là các nguyên tử C, Si, Li, H,… với nồng độ

nguyên tử xen kẽ rất nhỏ cỡ một vài phần trăm.
Hợp kim nói chung và HKXK nói riêng là những vật liệu phổ biến trong
khoa học và công nghệ vật liệu. Việc nghiên cứu hợp kim xen kẽ đã và đang thu hút

1


sự quan tâm của nhiều nhà nghiên cứu.
Phương pháp thống kê mômen (PPTKMM) do GS Nguyễn Hữu Tăng đề
xuất và được nhóm nghiên cứu của GS Vũ Văn Hùng tại Đại học Sư phạm Hà Nội
phát triển mạnh trong khoảng 30 năm trở lại đây. Về nguyên tắc, có thể áp dụng
PPTKMM để nghiên cứu các tính chất cấu trúc, nhiệt động, đàn hồi, khuếch tán,
chuyển pha, … của các loại tinh thể khác nhau như kim loại, hợp kim, tinh thể và
hợp chất bán dẫn, chất bán dẫn có kích thước nano, tinh thể ion, tinh thể phân tử,
tinh thể khí trơ, siêu mạng, tinh thể lượng tử, màng mỏng, grafen,…với các cấu trúc
LPTK, LPTD, LGXC, kim cương, sunfua kẽm,… trong khoảng rộng của nhiệt độ từ
0K đến nhiệt độ nóng chảy và dưới tác dụng của áp suất. Gần đây, một số kết quả
nghiên cứu về HKTT và HKXK bằng PPTKMM được đề cập trong một số công
trình chẳng hạn như nghiên cứu tính chất nhiệt động của HKTT AB với các cấu trúc
LPTD và LPTK trong luận án TS của Phạm Đình Tám (1998)[10], nghiên cứu tính
chất đàn hồi của HKXK AB với cấu trúc LPTK trong luận văn ThS của Nguyễn Thị
Thu Hiền (2009)[6], nghiên cứu biến dạng đàn hồi của HKTT AB xen kẽ nguyên tử
C với cấu trúc LPTK trong luận văn ThS của Hồ Thị Thu Hiền (2009)[8], ,… Có
nhiều kết quả thu được phù hợp tốt với số liệu thực nghiệm đã công bố. Việc nghiên
cứu tính chất đàn hồi của HKXK AB xen kẽ nguyên tử C với cấu trúc LPTD bằng
PPTKMM còn là một vấn đề bỏ ngỏ.
Với tất cả những lý do đó, chúng tôi quyết định chọn đề tài là“Nghiên cứu
biến dạng đàn hồi của hợp kim thay thế AB xen kẽ nguyên tử C với cấu trúc
LPTD bằng phương pháp thống kê mômen”.
2. Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu biến dạng đàn hồi của HKTT AB xen kẽ nguyên tử C với cấu
trúc LPTD ở áp suất không khi tính đến ảnh hưởng phi điều hòa của dao động mạng
được xây dựng trên PPTKMM trong đó đưa ra biểu thức giải tích của năng lượng tự
do, khoảng cách trung bình giữa các nguyên tử, các môđun đàn hồi E, G, K và các
hằng số đàn hồi C11, C12, C44 phụ thuộc vào nhiệt độ và nồng độ nguyên tử thay thế
và nồng độ nguyên tử xen kẽ
Vùng nhiệt độ nghiên cứu đối với HKTT AB xen kẽ nguyên tử C với cấu trúc

2


LPTD khi tính sốlà vùng nhiệt độ nghiên cứu đối với HKTT AB tương ứng. Kết
quả tính số đối với HKTT AB xen kẽ nguyên tử C trong trường hợp giới hạn khi
nồng độ nguyên tử xen kẽ C bằng không là kết quả tính số đối với HKTT AB tương
ứng. Khi nồng độ nguyên tử thay thế B bằng không thì kết quả tính toán đối với
HKTT AB xen kẽ nguyên tử C là kết quả tính toán đối với HKXK AC và kết quả
tính toán đối với HKTT AB là kết quả tính toán đối với kim loại chính A. Một số
kết quả tính toán đối với kim loại chính A và HKTT AB được so sánh với thực
nghiệm.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Các HKTT AB với cấu trúc LPTD như AlCu, AlMg, AuCu, AuAl, CuZn
với nồng độ nguyên tử thay thế B rất nhỏ so với nồng độ A ở áp suất không trong
vùng nhiệt độ nghiên cứu đối với kim loại A theo thực nghiệm.
HKXK AC với cấu trúc LPTD như AuLi.với nồng độ nguyên tử xen kẽ C rất nhỏ
so với nồng độ A ở áp suất không trong vùng nhiệt độ nghiên cứu đối với kim loại
A theo thực nghiệm.
HKTT AB xen kẽ nguyên tử C với cấu trúc LPTD như AuCuLi có nồng độ C rất
nhỏ so với nồng độ B và nồng độ B rất nhỏ so với nồng độ A ở áp suất không trong
vùng nhiệt độ nghiên cứu của HKTT AB hoặc HKXK AC tương ứng.
Vùng nhiệt độ nghiên cứu từ 0 đến 1000K, vùng nồng độ nguyên tử thay thế

nghien cứu từ 0 đến 25% và vùng nồng độ nguyên tử xen kẽ nghiên cứu từ 0 đến 25%.
4. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu chủ yếu là PPTKMM.
PPTKMM dựa vào một công thức truy chứng đối với các mômen được xây
dựng trên cơ sở ma trận mật độ trong cơ học thống kê lượng tử. Công thức này cho
phép biểu diễn các mômen cấp cao qua các mômen cấp thấp hơn và do đó có thể
xác định tất cả các mômen của hệ mạng. Công thức mômen cho phép nghiên cứu
các tính chất nhiệt động phi tuyến của vật liệu khi tính đến tính phi điều hòa của dao
động mạng.

3


Về nguyên tắc, có thể áp dụng PPTKMM để nghiên cứu các tính chất cấu
trúc, nhiệt động, đàn hồi, khuếch tán, chuyển pha, … của các loại tinh thể khác
nhau như kim loại, hợp kim, tinh thể và hợp chất bán dẫn, chất bán dẫn có kích
thước nano, tinh thể ion, tinh thể phân tử, tinh thể khí trơ, siêu mạng, tinh thể lượng
tử, màng mỏng, graphen,… với các cấu trúc LPTK, LPTD, LGXC, kim cương,
sunfua kẽm, florite,… trong khoảng rộng của nhiệt độ từ 0 K đến nhiệt độ nóng
chảy và dưới tác dụng của áp suất. PPTKMM đơn giản và rõ ràng về mặt vật lý.
Một loạt tính chất cơ nhiệt của tinh thể được biểu diễn dưới dạng các biểu thức giải
tích trong đó có tính đến các hiệu ứng phi điều hòa và tương quan của các dao động
mạng. Có thể dễ dàng tính số biểu thức giải tích của các đại lượng cơ nhiệt.
PPTKMM không phải sử dụng sự làm khớp và lấy trung bình như phương pháp
bình phương tối thiểu. Các tính toán theo PPTKMM trong nhiều trường hợp phù
hợp tốt với thực nghiệm hơn các phương pháp tính toán khác. Có thể kết hợp
PPTKMM với các phương pháp khác như phương pháp biến phân 4ung, phương
pháp từ các nguyên lý đầu tiên, mô hình tương quan phi điều hòa của Einstein,
phương pháp phonon tự hợp, phương pháp hàm phân bố một hạt, phương pháp
trường tự hợp, … Một nhóm các nhà nghiên cứu ở Việt Nam, Nhật Bản và Hàn

Quốc đang phát triển mạnh PPTKMM trong thời gian gần đây.
5. Bố cục của luận văn
Chương 1: Tổng quan về hợp kim xen kẽ và các phương pháp nghiên cứu
tính chất đàn hồi của kim loại và hợp kim.
Chương 2: Nghiên cứu biến dạng đàn hồi của hợp kim thay thế AB xen kẽ
nguyên tử C với cấu trúc LPTD ở áp suất P = 0
Chương 3: Áp dụng tính số và thảo luận kết quả

4


CHƯƠNG 1
TỔNG QUAN VỀ HỢP KIM XEN KẼ VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP
NGHIÊN CỨU BIẾN DẠNG ĐÀN HỒI CỦA KIM LOẠI VÀ HỢP KIM
1.1.Hợp kim và hợp kim xen kẽ
Trong tự nhiên thường tồn tại ba nhóm vật liệu chủ yếu là chất hữu cơ, chất
vô cơ và kim loại trong đó nhóm vật liệu kim loại đóng vai trò hết sức quan trọng
đối với khoa học vật liệu vì đây là loại vật liệu phổ biến nhất. Tuy nhiên, ta rất ít
gặp kim loại sạch mà hầu hết là các kim loại có tạp hay nói cách khác đó là các hợp
kim. Tùy theo cấu hình của từng loại hợp kim mà ta có thể phân chia chúng làm hai
loại là hợp kim thay thế và hợp kim xen kẽ.
Đối với hợp kim thay thế, các nguyên tử kim loại ở nút mạng được thay thế
bởi các nguyên tử kim loại khác có kích thước gần như nhau và sự thay thế này có
thể là trật tự hoặc vô trật tự. Vì vậy, mạng tinh thể ít bị biến dạng.
Đối với hợp kim xen kẽ (hoặc hợp kim ngoài nút), các nguyên tử kim loại ở
nút mạng tinh thể được giữ nguyên và xen kẽ vào các chỗ trống là các nguyên tử
khác có kích thước bé hơn như silic, liti, hiđrô,…với nồng độ hạt xen kẽ rất nhỏ cỡ
vài phần trăm. Khi xen kẽ như vậy, mạng tinh thể bị biến dạng cục bộ và các tính
nhiệt động, tính đàn hồi, độ cứng của tinh thể bị thay đổi. Điều này có ý nghĩa rất
quan trọng trong công nghệ vật liệu.

Một hợp chất xen kẽ hoặc một hợp kim xen kẽ là một hợp chất được tạo
thành khi một nguyên tử có bán kính đủ nhỏ nằm trong một “lỗ trống” xen kẽ trong
một mạng kim loại. Các ví dụ về các nguyên tử nhỏ là hiđrô, bo, cacbon và nitơ.
Các hợp chất này đóng vai trò quan trọng trong công nghiệp chẳng hạn như một số
cacbua và nitrua kim loại chuyển tiếp.
Ý tưởng về các hợp chất xen kẽ đã được đưa ra thảo luận vào cuối những
năm 1930 và chúng thường được gọi là các pha Hagg. Các kim loại chuyển tiếp
thường kết tinh theo các cấu trúc LPTD và LGXC. Cả hai cấu trúc này có thể được
xem như được tạo thành bởi các lớp nguyên tử xếp chặt theo kiểu lục giác. Trong cả
hai loại mạng giống nhau này, có hai loại khoảng trống hay lỗ trống. Loại thứ nhất

5


có 2 lỗ trống tứ diện ứng với một nguyên tử kim loại, nghĩa là một lỗ trống ở giữa
bốn nguyên tử kim loại. Loại thứ hai có một lỗ trống bát diện ứng với một nguyên
tử kim loại, nghĩa là một lỗ trống ở giữa sáu nguyên tử kim loại.
Một sự hiểu biết đầy đủ hơn về cấu trúc của các kim loại, các pha nhị nguyên
và tam nguyên của các kim loại và phi kim loại chứng tỏ rằng nói chung ở nồng độ
thấp của nguyên tử nhỏ, có thể mô tả pha như một dung dịch và điều này gần đúng
với mô tả lịch sử của hợp chất xen kẽ nói trên. Ở các nồng độ cao hơn của nguyên
tử nhỏ, có thể có mặt các pha với các cấu trúc mạng khác nhau và chúng có thể có
một phạm vi của các phép hợp thức (stoichiometry).
Một ví dụ là sự hòa tan của cacbon trong sắt. Dạng của sắt nguyên chất bền
vững trong khoảng nhiệt độ từ 910 đến 1390 oC được ký hiệu là γ − Fe. Nó tạo thành
một dung dịch rắn với cacbon được gọi là austenit.
Người ta thường hiểu « hợp kim » như là « một hỗn hợp của các kim loại ».
Đó là một sự nhầm lẫn vì một số hợp kim chỉ chứa một kim loại và nó tạo hỗn hợp
với các chất khác không phải là kim loại. Ví dụ như gang là một hợp kim của chỉ
một kim loại là sắt với một chất không phải là kim loại là cacbon. Hợp kim là một

vật liệu được tạo thành bởi ít nhất hai nguyên tố hóa học khác nhau trong đó phải có
một kim loại. Thành phần kim loại quan trọng nhất của một hợp kim (thường chiếm
nồng độ 90% hoặc hơn) được gọi là kim loại chính, kim loại mẹ hay kim loại cơ sở.
Các thành phần khác của một hợp kim được gọi là các tác nhân tạo hợp kim và có
thể là kim loại hoặc không phải kim loại. Chúng có mặt trong hợp kim với các
lượng nhỏ hơn nhiều (đôi khi chỉ chiếm nồng độ dưới 1%). Mặc dù một hợp kim
đôi khi là một hợp chất (các nguyên tố tạo thành hợp chất được liên kết hóa học
đồng thời), nó thường là một dung dịch rắn (các nguyên tử của các nguyên tố được
hỗn hợp với nhau giống như muối hỗn hợp với nước).
Nếu các nguyên tử của tác nhân tạo hợp kim thay thế các nguyên tử của kim
loại chính, ta có được một hợp kim thay thế (substitution alloy)(Hình 1.1). Một hợp
kim như thế chỉ được tạo thành nếu các nguyên tử của kim loại cơ sở và các nguyên
tử của tác nhân tạo hợp kim có các kích thước gần như nhau. Trong hầu hết hợp

6


kim thay thế, các nguyên tố thành phần rất gần nhau trong bảng hệ thống tuần hoàn.
Ví dụ như đồng thau là một hợp kim thay thế trên cơ sở của đồng trong đó các
nguyên tử kẽm thay thế từ 10 đến 35% các nguyên tử đồng. Đồng thau là một hợp
kim vì đồng và kẽm nằm gần nhau trong bảng hệ thống tuần hoàn và có các nguyên
tử với các kích thước gần như nhau.
Các hợp kim xen kẽ (interstitial alloy) được tạo thành nếu tác nhân hoặc các
tác nhân tạo hợp kim có các nguyên tử với các kích thước nhỏ hơn nhiều so với các
kích thước của nguyên tử chính (Hình 1.1). Trong trường hợp này, các nguyên tử
tác nhân trượt giữa các nguyên tử của kim loại chính trong các khoảng trống goặc
các khe. Thép là một ví dụ về hợp kim xen kẽ trong đó một số tương đối nhỏ của
các nguyên tử cacbon trượt trong các khe giữa các nguyên tử lớn trong một mạng
tinh thể của sắt.
Ta có thể đưa ra một số ví dụ về các cách thức khác nhau trong đó các

nguyên tử xen kẽ tham gia vào hợp kim và các quá trình có liên quan. Các hợp kim
xen kẽ rõ ràng là sản phẩm chủ yếu của công nghiệp thép một cách chủ ý để làm
cứng và tạo thành cacbua hoặc một cách tự nhiên làm tạp chất cần được làm cực
tiểu. Các kim loại cứng chịu nóng được sử dụng trong các công cụ cacbua hoặc cái
tương tự là các hợp kim xen kẽ cơ bản. Các quá trình khuếch tán và ôxi hóa chất rắn
phụ thuộc vào sự có mặt của các nguyên tử xen kẽ trong dòng chảy. Các quá trình
làm cứng bề mặt như sự nitrua hóa bao hàm việc đi vào mạng tinh thể của chúng
(nói chung không bền nhưng kéo dài). Việc có mặt các nguyên tử xen kẽ trong các
chia tách vi mô chẳng hạn như tại các lệch mạng, các biên hat thường xác định độ
bền cơ học hoặc đứt gãy của các hợp kim. Các hợp kim « xen kẽ nhân tạo » được
tạo ra khi chiếu xạ hạt nhân vào các kim loại và nhiều mối liên quan mới có thể
sinh ra từ đó.
Trong phạm vi luận văn này, chúng tôi nghiên cứu các HKXK ba thành phần
như AuAlNi, AuAgNi, AuCuLi với kim loại chính là Au. Ở áp suất 0,1 MPa, vàng
có cấu trúc LPTD với hằng số mạng a = 0,40785 nm tại 25oC và điểm nóng chảy ở
1064oC. Giản đồ pha của Au được chỉ ra trên Hình 1.2[42].

7


Trong luận văn chúng tôi nghiên cứu HKXK ba thành phần ABC với cấu
trúc LPTD. Hợp kim này là một HKTT AB xen kẽ nguyên tử C. Trong mô hình
nghiên cứu của chúng tôi đối với hợp kim này, các nguyên tử chính A nằm ở các
đỉnh và tâm mặt của ô cơ sở hình lập phương. Các nguyên tử thay thế B thay thế các
nguyên tử A ở các tâm mặt của ô cơ sở. Còn nguyên tử xen kẽ C nằm ở vị trí tâm
khối của ô cơ sở.

Hình 1.1. Hợp kim thay thế và hợp kim xen kẽ.

8

Hình 1.2.Giản đồ pha của Au[42]
1.2. Các phương pháp lý thuyết chủ yếu trong nghiên cứu biến dạng đàn
hồi của kim loại và hợp kim
Một phương pháp rất quan trọng thường dùng nghiên cứu các tính chất cơ
của vật liệu trong các quá trình biến dạng đó là phương pháp từ các nguyên lý đầu
tiên hoặc các phương pháp abinitio [14,25,36]. Phương pháp này được sử dụng
trong các tính toán động lực học phân tử (MD) của chất rắn nhằm cung cấp một
cách chính xác các tính chất điện và dao động mạng dưới tác dụng của các lực. Các
phép gần đúng hay được sử dụng trong phương pháp abinitio phải kể đến gồm
phương pháp gần đúng mật độ địa phương LDA (Local-Density Approximation)
[25],phương pháp gần đúng građiên suy rộng GGA (Generalized Gradient
Approximation) [36],phương pháp gần đúng chuẩn điều hòa QHA (Quasihamonic
Approximation) và phương pháp sóng phẳng giả thế PPPW (Pseudo-potential
plane-wave method) [43,44],…Nội dung của phương pháp abinitio được trình bày
vắn tắt dưới đây.

r r

r

Xét một hệ gồm N hạt nhân có các tọa độ R1 , R2 ,..., Rn , có xung lượng

r r

r

r r

r

tương ứng là P1 ,P2 ,...,Pn và Ne electron có tọa độ r1 , r2 ,..., rNe , có spin tương ứng là

9


s1, s2,…,sNe. Hamiltoniên của hệ có dạng:

r
r
Ne
PI2
Pi 2 1
e2
1
Z I Z J e2
Z I e2
H =∑
+∑
+ ∑ r r + ∑ r r −∑ r r
2 i > j ri − rj 2 I > J RI − RJ
I =1 2 M I
i =1 2mi
i , I RI − ri
N

r
r
r r

= TN + Te + Vee ( r ) + VNN R + VeN r , R ,

( )

(

)

(1.1)

r

Ở đây, TN, Te lần lượt là toán tử động năng của hạt nhân và electron, Vee ( r ) ,

r
r r
VNN R ,VeN r , R lần lượt là toán tử thế năng tương tác giữa các electron, các hạt

( )

(

)

nhân và hạt nhân với electron.

(

r r

r r

)

Ký hiệu hàm sóng mô tả trạng thái của hệ là ψ X , R với X ( r , s ) là tập
hợp các biến số tọa độ và spin của các electron. Khi đó phương trình trị riêng của
toán tử H có dạng:

r
r
r r
r r
TN + Te + Vee ( rr ) + VNN R + VeN rr, R ψ X , R = E.ψ X , R



( )

(

) (

)

(

)

(1.2)

Electron nhẹ hơn hạt nhân 10ung ngìn lần, nên ta có thể áp dụng phương pháp tách

(

r r

)

(

r r

)

biến để tìm nghiệmψ X , R . Nghiệm ψ X , R được tìm dưới dạng

r r
r r
r
ψ X,R =φ X,R χ R

(

)

(

) ( )

r

( )

(1.3)

(

r r

)

trong đó χ R là hàm sóng của hạt nhân, còn φ X , R là hàm sóng của electron.
Chú ý rằng
r r
r h2 N 1
r r
r
r
r r
r r
r
φ X , R ∇ 2I χ R + χ R ∇ 2I φ X , R + 2∇ Iφ X , R ∇ I χ R 
TN φ X , R χ R = ∑

2 I =1 M I 

(

) ( )

(

)

( )

( )

(

(

r r

)

(

)

( )

(1.4)

)

Gần đúng Born-Oppenheimer bỏ qua số hạng ∇ I φ X , R vì hàm sóng hạt nhân

r
χ R định xứ hơn hàm sóng electron. Do đó, ta có thể xem rằng

r
r r
∇ I χ R >> ∇ Iφ X , R

( )

( )

(

10

)


Thay (1.3) vào (1.2), ta có
r
r r
r
r r
r
r
r r
r
Te + Vee ( rr ) + VeN rr, R  φ X , R χ R + φ X , R TN χ R + VNN R φ X , R χ R



(

) (

) ( )

(

)

( )

( ) (

) ( )

r r
r
= E.φ X , R χ R

(

(

r r

) ( )

(1.5)

r

) ( )

Chia hai vế của (1.5) cho hàm φ X , R χ R , ta có

r
Te + Vee ( rr ) + VeN rr , R 

 φ Xr , Rr = E − TN
r r
φ X,R
r
Vế phải của (1.6) chỉ là hàm của R nên ta có thể viết
r
r r
r
Te + Vee ( rr ) + VeN rr , R  φ X , R = ε R φ



(

)

(

)

(

)

(

) (

)

r
+ VNN R
r
χ R (1.6)
r
χ R

( )

( )

( )

r r

( ) ( X ,R)

(1.7)

Phương trình (1.7) chính là phương trình trị riêng của Hamiltonien electron

r
r

r r
H e R = Te + Vee ( r ) + VeN r , R

( )

(

)

r r
r
r
Từ đó suy ra hàm riêng ϕn X , R ứng với trị riêng ε R phụ thuộc tham số R là

(

)

( )

r

( )

vị trí của các hạt nhân.Đối với mỗi nghiệm ε R

ta

sẽ có một phương

trình trị riêng củaHamiltonien của các hạt nhân

r
r
r
r
TN + VNN R + ε R  χ R = E.χ R



( ) ( ) ( )

( )

(1.8)

Do đó, phương trình Schrodinger đối với hệ các hạt nhân có dạng

ih

r
r
r
r
∂
χ R, t = TN + VNN R + ε R  χ R, t
∂t

( )

( )

( ) ( )

(1.9)

Trong nhiều trường hợp, có thể bỏ qua các hiệu ứng không đoạnnhiệt và tacó thể
chỉ nghiên cứu chuyển động ở trạng thái cơ bản của các electron

r
r r
r
r r
Te + Vee ( rr ) + VeN rr , R  φo X , R = ε o R φo X , R ,



(

ih

) (

)

( ) (

)

r

r
r
r
∂
χ R, t = TN + VNN R + ε o R  χ R, t
∂t

( )

( )

11

( ) ( )

(1.10)


r

( )

Vấn đề đặt ra là cần biết ε o R , mà nó chỉ có thể giải được bằng phương

r

( )

pháp gần đúng. Năng lượng trạng thái cơ bản ε o R ở cấu hình đã cho của các hạt
nhân tìm được bằng cách cực tiểu hóa một hàm nào đó của ε ( n ) đối với tất cả các

r

mật độ electron n ( r )

r
n( r ) =

∑

s1 , s2 ,... s Ne

r r
r
r
r
∫ dr1...drNe ϕo r1, s1, r1, s1..., rNe , sNe

(

)

2

r
trong đó r và s là vị trí riêng và spin tương ứng.

(1.11)

r

Theo lý thuyết của Kohn-Sham, trạng thái đơn hạt electron ψ i ( r ) với i=1,2,
…,Ne/2 , mỗi hàm bao gồm một electron có spin hướng lên và một spin hướng
xuống và khi đó mật độ electron có dạng

r
r
n( r ) = ∑ ψ i ( r )

2

(1.12)

i

Do đó, hàm ε ( n ) được xác định bởi biểu thức

r
r
h2
e 2 r r n ( r ) n ( r ')
2
ε { ψ i }  = −
∑ ψ i ∇ ψ i + 2 ∫ drdr ' rr − rr ' +
2m i
r r
r r
+ε xe ( n ) + ∫ drn ( r ) VeN r , R (1.13)

(

)

Số hạng thứ nhất là động năng, số hạng thứ hai là tương tác Coulomb trực tiếp từ lý
thuyết Hartree-Fork, số hạng thứ ba là các năng lượng tương quan và trao đổi và số
hạng thứ tư là tương tác giữa mật độ electron với thế năng ngoài gây bởi hạt nhân.
Hàm ε { ψ i }  này được cực tiểu hóa đối với { ψ i } thỏa mãn điều kiện trực chuẩn

ψ i ψ j = δ ij

(1.14)

Kết hợp sự cực tiểu hóa này với phương trình động lực học mô tả chuyển động cổ
điển của hạt nhân có dạng

r
r
r
r
r
M 1 R1 '' = −∇1Eo R , Eo R = ε o R + VNN R .

( )

( ) ( )
12

( )

( )

(1.15)


Cần phải tiến hành cực tiểu hóa mỗi cấu hình hạt nhân. Do đó, nếu phương trình
(1.15) được giải nhờ phương pháp mô phỏng động lực học phân tử(MD) thì sự cực
tiểu hóa cần được tiến hành ở mỗi bước của phép mô phỏng.
Phương pháp abinitio được sử dụng khá rộng rãi trong các nghiên cứu về
tinh thể kim loại và hợp kim Trong quá trình sử dụng, phương pháp này đã bộc lộ
cả mặt tích cực và mặt hạn chế. Ưu điểm của phương pháp này ở chỗ nó có khả
năng nghiên cứu nhiều pha vật liệu khác nhau và có thể được sử dụng để mô hình
hóa các môi trường liên kết phức tạp như các thủy tinh và các chất rắn vô định hình.
Nó cũng có thể được sử dụng để mô hình hóa các vật liệu không có sẵn số liệu thực
nghiệm.Các lực giữa các nguyên tử, các trị riêng, vectơ riêng của điện tử được biểu
diễn khá chính xác.Các tính chất cấu trúc, điện tử và dao động của các vật liệu mô
hình đều có thể tính được.phương pháp này có thể nghiên cứu nhiều loại nguyên tử
khác nhau.
Bên cạnh đó, phương pháp này tồn tại một số nhược điểm như quá trình tính
toán đòi hỏi giới hạn các hệ tương đối nhỏ, các hệ có cấu trúc đơn giản với một vài
nguyên tử trên ô mạng cơ sở.Các số liệu của abinitio thường tập trung vào vùng
nhiệt độ thấp (chủ yếu ở 0K), trong khi các số liệu thực nghiệm thường ở nhiệt độ
cao hơn.
Để nghiên cứu các tính chất của các hệ mô hình lớn hơn, đòi hỏi một phương
pháp đơn giản và ít tính toán. Một trong số các cách đơn giản hóa trực tiếp dựa trên
các kỹ thuật LDA từ các nguyên lý đầu tiên là phương pháp Hamiltoniênliên kết
chặt TB (Tigh Binding) [17].Chi tiết của phương pháp này được mô tả bởi
Harison[19] với các nét chính sau đây.
Trong phương pháp này, năng lượng toàn phần E đối với trạng thái cơ bản
của hệ có dạng gần đúng là tổng của hai số hạng

r
E Ri

({ } ) = E

BS

+ U rep = ∑ ε n + U rep ,

(1.16)

n

r

{ }

trong đó EBS là năng lượng cấu trúc vùng và Urep là thế đẩy, Ri

13

(i=1,2,…N) là


vectơ vị trí nguyên tử. Năng lượng cấu trúc vùng EBS là tổng các giá trị riêng ε n đối
với điện tử lấp đầy trong đó { ε n } là một hệ trị riêng đối với Hamiltonien H của hệ

H ψ n = εn ψ n .

(1.17)

Để tìm các năng lượng điện tử { ε n } ta cần xây dựng và chéo hóa ma trận
Hamiltonien với các phần tử

H mn = ψ m H ψ n .

(1.18)

Các hàm riêng thực { ψ n } của Hamiltonien (1.17) chưa biết và do đó cần
khai triển nó thành một cơ sở của các hàm đã biết

ψ n = ∑ Cniα φiα .
i ,α

(1.19)

Chỉ số chạy itheo tất cả các nguyên tử trong hệ, chỉ số α chạy theo tất cả các quỹ
đạo cơ sở định vị trên một nguyên tử đã cho.Thay (1.19) vào (1.18), các phần tử ma
trận Hmn có thể thu được như những sự kết hợp tuyến tính của các phần tử ma trận
giữa các quỹ đạo cơ sở

H iα , jβ = φiα H φ jβ .

(1.20)

Thế đẩy Urep ở (1.16) là năng lượng đẩy giữa các hạt nhân Zi và năng lượng
do hiệu chỉnh việc tính gấp đôi năng lượng điện tử-điện tử trong số hạng cấu trúc
vùngEBS

U rep =

1
∑ ( Z i Z j / Rij ) − EDC .
2 i, j

(1.21)

Ở đây ta đã giả thiết rằng U rep có một sự phụ thuộc đơn giản từ hình học
nguyên tử và có thể được biểu diễn như là một tổng của các thế tương tác cặp tác
dụng gần. Mỗi một thế chỉ phụ thuộc vào khoảng cách giữa các cặp nguyên tử
tương ứng và thế đẩy có thể được làm khớp với số liệu abinitio.
Phương pháp TB được sử dụng để xây dựng mô hình tính các hằng số đàn
hồi, các môđun khối, thể tích nguyên tử,…của các tinh thể có cấu trúc LPTD và

14


LGXC [30]. Trong quá trình áp dụng, phương pháp TB tỏ ra là một phương pháp có
nhiều ưu điểm như cung cấp thông tin về cấu trúc điện tử của vật liệu mô hình và
có hiệu quả tính toán cao hơn nhiều so với các phương pháp abinitio.Tuy nhiên
phương pháp TB có nhược điểm ở chỗ nó phụ thuộc vào việc làm khớp với số liệu
thực nghiệm hoặc các số liệu tính toán từ phương pháp ab-initio.Số hạng năng
lượng đẩy chỉ có thể xác định bằng một công thức kinh nghiệm.Phương pháp đòi
hỏi giải ít nhất một bài toán trị riêng hoặc vectơ riêng của ma trận bằng mô phỏng
MD. Điều này dẫn tới khả năng ứng dụng của phương pháp TB bị thu hẹp lại và chỉ
phù hợp với các hệ có số nguyên tử nhỏ.
Trong những năm gần đây, một phương pháp là phương pháp phần tử hữu
hạn FEM (Finite Element Method) được phát triển mạnh và sử dụng rộng rãi trong
nghiên cứu tính chất cơ của kim loại, hợp kim nói chung và nghiên cứu về các quá
trình đàn- dẻo cũng như đàn hồi của các vật liệu nói riêng [30,31].Phương pháp này

được áp dụng trong cả hai quá trình rắn –dẻo và đàn-dẻo [31].
Đối với quá trình rắn-dẻo trong [30], các tác giả đã xây dựng lý thuyết dựa
trên hệ thống công thức rắn-dẻo nhớt. Xuất phát từ nguyên lý biến phân, hàm vật
chất có thể viết như sau

 ε&

1
Φ = ∫  ∫ σ d ε&÷dV + β ∫ ε&v2 dV − ∫ Ti vi dS .

÷
2 V
V0
ST


(1.22)

Ở đây σ là ứng suất hiệu dụng, ε& là tốc độ biến dạng hiệu dụng, V là thể tích điều
khiển, ε&v là tốc độ biến dạng khối, β là một hằng số dương, Ti là ngoại lực tác
dụng lên bề mặt ST và vilà vận tốc dòng.
Vận tốc dòng được xác định từ giá trị cực tiểu của hàm Φ . Nghiệm của
phương trình trên nhận được bằng cách sử dụng phương pháp Newton-Raphson.Giá
trị vận tốc tới hạn được suy ra từ phép lặp trực tiếp. Vì thế, thay vì việc tìm giá trị
cực tiểu của hàm Φ ta giải phương trình vi phân tuyến tính sau

K ∆v = F .

(1.23)

Ở đây, K là ma trận cứng, ∆v là độ biến thiên của vectơ vận tốc và F là vectơ lực

15


không cân bằng.
Trong [32], một nguyên lý tương tự đã được áp dụng. Trong phần thể tích Ω
, theo nguyên lý công ảo đối với bất kỳ trường vận tốc ảo nào, tenxơ tốc độ biến
dạng ảo ε&∗ đều được trộn với áp suất theo công thức [16]

σ
∗
∗
∫Ω ε&∗ dv − ∂Ω∫ τ v dv − Ω∫ pdiv ( v ) dV = 0.
C

(1.24)

Ở đây, σ ' là tenxơ ứng suất lệch, τ là ứng suất trượt và p là áp suất.
Đối với quá trình đàn-dẻo trong [30], mô hình tính toán dựa trên cơ sở sử
dụng lý thuyết đàn-dẻo. Trung tâm của lý thuyết này là việc giải phương trình cân
bằng động lực học

&= P − I .
Mu&

(1.25)

&là gia tốc nút, P là lực toàn phần tác dụng lên
Ở đây, M là ma trận khối lượng nút, u&

nút và I là nội lực bên trong nút. Nghiệm của phương trình trên chính là gia tốc của
nút

(

)

−1
&
u&
P( t ) − I ( t ) .
( t) = M

(1.26)

Các công thức sau được dùng để tính vận tốc và độ dời trung bình của nút

u&

∆t 
t+ ÷
 2 

= u& ∆t 

t− ÷
 2

∆t(
(

+

t +∆t )

+ ∆t( t )

2

) u&&, u
t

( t +∆t )

= u ( t ) + ∆t ( t +∆t ) u& t + ∆t  . (1.27)



÷
2

Khi áp dụng phương pháp FEM vào nghiên cứu quá trình biến dạng phi
tuyếncủa vật liệu, quá trình tính toán khá phức tạp. Các biểu thức thu được thường
mô tả dưới dạng tenxơ khá cồng kềnh và khó tính toán [27]
Trên đây là các phương pháp phổ biến trong nghiên cứu tính chất cơ và đàn
hồi của vật liệu được áp dụng gần đây.Một phương pháp thường được sử dụng
trước đây là phương pháp động lực học phân tử(MD). Đây là phương pháp thống
kê cổ điển dùng để nghiên cứu tính chất cơ của vật rắn nói chung và đặc biệt thường
được sử dụng trong nghiên cứu các biến dạng của tinh thể, kim loại và hợp kim
[28].

16