Ôn thi vào lớp 10

Ôn tập chuẩn bị thi vào lớp 10 theo chủ đề
Mục lục
Mục lục......................................................................................................................................................1
Phần I: đại số............................................................................................................................................2
Chủ đề 1: Căn thức Biến đổi căn thức....................................................................................................2
Dạng 1: Tìm điều kiện để biểu thức có chứa căn thức có nghĩa...............................................................................2
Dạng 2: Biến đổi đơn giản căn thức..........................................................................................................................2
Dạng 3: Bài toán tổng hợp kiến thức và kỹ năng tính toán.......................................................................................3
***************************************..........................................................................................5
Chủ đề 2: Phơng trình bậc hai và định lí Viét...........................................................................................5
Dạng 1: Giải phơng trình bậc hai.............................................................................................................................5
Dạng 2: Chứng minh phơng trình có nghiệm, vô nghiệm..........................................................................................5
Dạng 3: Tính giá trị của biểu thức đối xứng, lập phơng trình bậc hai nhờ nghiệm của phơng trình bậc hai cho tr-
ớc...............................................................................................................................................................................7
Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để phơng trình có nghiệm, có nghiệm kép, vô nghiệm.....................................8
Dạng 5: Xác định tham số để các nghiệm của phơng trình ax2 + bx + c = 0 thoả mãn điều kiện cho trớc.............9
Dạng 6: So sánh nghiệm của phơng trình bậc hai với một số.................................................................................10
Dạng 7: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phơng trình bậc hai không phụ thuộc tham số.........................10
Dạng 8: Mối quan hệ giữa các nghiệm của hai phơng trình bậc hai......................................................................11
***************************************************.................................................................13
Chủ đề 3: Hệ phơng trình.........................................................................................................................14
A - Hệ hai phơng trình bậc nhất hai ẩn:............................................................................14
Dạng 1: Giải hệ phơng trình cơ bản và đa đợc về dạng cơ bản..............................................................................14
Dạng 2: Giải hệ bằng phơng pháp đặt ẩn phụ........................................................................................................16
Dạng 3: Xác định giá trị của tham số để hệ có nghiệm thoả mãn điều kiện cho trớc.............................................17
B - Một số hệ bậc hai đơn giản:...............................................................................................18
Dạng 1: Hệ đối xứng loại I......................................................................................................................................18
Dạng 2: Hệ đối xứng loại II....................................................................................................................................20
Dạng 3: Hệ bậc hai giải bằng phơng pháp thế hoặc cộng đại số...........................................................................22
Chủ đề 4: Hàm số và đồ thị......................................................................................................................24
Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số........................................................................................................................................24

Dạng 2: Viết phơng trình đờng thẳng......................................................................................................................24
Dạng 3: Vị trí tơng đối giữa đờng thẳng và parabol...............................................................................................24
************************************************......................................................................25
Chủ đề 5: Giải bài toán bằng cách lập phơng trình, hệ phơng trình......................................................25
Dạng 1: Chuyển động..............................................................................................................................................25
(trên đờng bộ, trên đờng sông có tính đến dòng nớc chảy)....................................................................................25
Dạng 2: Toán làm chung làn riêng (toán vòi n ớc).............................................................................................26
Dạng 3: Toán liên quan đến tỉ lệ phần trăm...........................................................................................................26
Dạng 4: Toán có nội dung hình học........................................................................................................................27
Dạng 5: Toán về tìm số...........................................................................................................................................27
Chủ đề 6: Phơng trình quy về phơng trình bậc hai.................................................................................28
Dạng 1: Phơng trình có ẩn số ở mẫu......................................................................................................................28
Dạng 2: Phơng trình chứa căn thức........................................................................................................................28
Dạng 3: Phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối......................................................................................................28
Dạng 4: Phơng trình trùng phơng...........................................................................................................................29
Dạng 5: Phơng trình bậc cao..................................................................................................................................29
Chủ đề 1: Nhận biết hình, tìm điều kiện của một hình...........................................................................31
Chủ đề 2: Chứng minh tứ giác nội tiếp, chứng minh nhiều điểm cùng nằm trên một đờng tròn..........32
Chủ đề 3: Chứng minh các điểm thẳng hàng, các đờng thẳng đồng quy...............................................35
Chủ đề 4: Chứng minh điểm cố định.......................................................................................................36
Chủ đề 5: Chứng minh hai tam giác đồng dạng và chứng minh đẳng thức hình học............................37
*************************...................................................................................................................38
Chủ đề 6: Các bài toán về tính số đo góc và số đo diện tích....................................................................38
***************************...............................................................................................................39
Chủ đề 7: Toán quỹ tích...........................................................................................................................39
Chủ đề 8: Một số bài toán mở đầu về hình học không gian....................................................................40
Ôn tập chuẩn bị thi vào lớp 10 theo chủ đề

Phần I: đại số
Chủ đề 1: Căn thức Biến đổi căn thức.

Dạng 1: Tìm điều kiện để biểu thức có chứa căn thức có nghĩa.
Bài 1: Tìm x để các biểu thức sau có nghĩa.( Tìm ĐKXĐ của các biểu thức sau).
3x16x 14)
x2x
1
)7
x5
3x
3x
1
13)
x7
3x
6)
65xx
1
12)
27x
x3
5)
35x2x 11) 12x 4)
73xx 10)
147x
1
3)
2x 9) 2x5 2)
3x 8) 13x 1)
2
2
2

2
2
2
++


+


+
+
+

+
+


+
Dạng 2: Biến đổi đơn giản căn thức.
Bài 1: Đa một thừa số vào trong dấu căn.
>


2 2
3 5 2 2
a) ; b) x (với x 0); c) x ;
5 3 x 5
x 7
d) (x 5) ; e) x
25 x x

Bài 2: Thực hiện phép tính.
a) ( 28 2 14 7) 7 7 8; d) 6 2 5 6 2 5;
b) ( 8 3 2 10)( 2 3 0,4); e) 11 6 2 11 6 2
c) (15 50 5 200 3 450): 10; f)
+ ì + + +
+ +
+
3 3
3;
3
3 3
5 2 7 5 2 7
g) 20 14 2 20 14 2 ; h) 26 15 3 26 15 3
+
+ + +
Bài 3: Thực hiện phép tính.
2 3 6 216 1 14 7 15 5 1
a) ( ) b) ):
3
8 2 6 1 2 1 3 7 5
5 2 6 8 2 15
c)
7 2 10

ì +

+
+
Giáo viên:
Phạm Thị Thu Thủy

- THCS Dân Tiến - Khoái Châu
2
Ôn tập chuẩn bị thi vào lớp 10 theo chủ đề

Bài 4: Thực hiện phép tính.
62126,5126,5 e)
77474 d) 25353 c)
535)(3535)(3 b) 1546)10)(15(4 )
+++
+++
++++
a
Bài 5: Rút gọn các biểu thức sau:
53
53
53
53
d)
65
625
65
625
c)
113
3
113
3
b)
1247
1

1247
1
a)
+

+

+
+

+

+
+

+++

+
Bài 6: Rút gọn biểu thức:
10099
1
...
43
1
32
1
21
1
c)
34710485354b) 4813526a)

+
++
+
+
+
+
+
+++++
Bài 7: Rút gọn biểu thức sau:
4
3y6xy3x
yx
2
e)
)4a4a(15a
12a
1
d)
;
4a
a42a8aa
c)
1.a và 0a với,
1a
aa
1
1a
aa
1 b)
b.a và 0b 0,a với,

ba
1
:
ab
abba
a)
22
22
24
++


+


+
>

+
+
+
>>

+
Bài 8: Tính giá trị của biểu thức
( )( )
a.)y)(1x(1xybiết , x1yy1xE e)
1.x2x9x2x16biết , x2x9x2x16D d)
0;3yy3xxbiết , yxC c)
;1)54(1)54(x với812xxB b)
549
1
y;
25
1
x khi2y,y3xxA a)
2222
2222
22
33
3
2

=++++++=
=+++++=
=+++++=
+=+=
+
=

=+=
Dạng 3: Bài toán tổng hợp kiến thức và kỹ năng tính toán.
Bài 1: Cho biểu thức
21x
3x
P


=
a) Rút gọn P.
b) Tính giá trị của P nếu x = 4(2 -
3
).
c) Tính giá trị nhỏ nhất của P.
Bài 2: Xét biểu thức
1.
a
a2a
1aa
aa
A
2
+

+

+
+
=
a) Rút gọn A.
Giáo viên:
Phạm Thị Thu Thủy
- THCS Dân Tiến - Khoái Châu
3
Ôn tập chuẩn bị thi vào lớp 10 theo chủ đề

b) Biết a > 1, hãy so sánh A với
A
.
c) Tìm a để A = 2.
d) Tìm giá trị nhỏ nhất của A.
Bài 3: Cho biểu thức
x1
x
2x2
1
2x2
1
C

+
+

=
a) Rút gọn biểu thức C.
b) Tính giá trị của C với
9
4
x
=
.
c) Tính giá trị của x để
.
3
1
C
=
Bài 4: Cho biểu thức
222222
baa
b
:
ba
a
1
ba
a
M

+

=
a) Rút gọn M.
b) Tính giá trị M nếu
.
2
3
b
a
=
c) Tìm điều kiện của a, b để M < 1.
Bài 5: Xét biểu thức
.
2
x)(1
1x2x
2x
1x
2x
P
2

++
+



=
a) Rút gọn P.
b) Chứng minh rằng nếu 0 < x < 1 thì P > 0.
c) Tìm giá trị lơn nhất của P.
Bài 6: Xét biểu thức
.
x3
1x2
2x
3x
6x5x
9x2
Q

+


+

+

=
a) Rút gọn Q.
b) Tìm các giá trị của x để Q < 1.
c) Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị tơng ứng của Q cũng là số nguyên.
Bài 7: Xét biểu thức
( )
yx
xyyx
:
yx
yx
yx
yx
H
2
33
+
+

=
a) Rút gọn H.
b) Chứng minh H 0.
c) So sánh H với
H
.
Bài 8: Xét biểu thức
.
1aaaa
a2
1a
1
:
1a
a
1A








+

+
+=
a) Rút gọn A.
b) Tìm các giá trị của a sao cho A > 1.
c) Tính các giá trị của A nếu
200622007a
=
.
Bài 9: Xét biểu thức
.
x1
2x
2x
1x
2xx
39x3x
M


+
+

+

+
+
=
a) Rút gọn M.
Giáo viên:
Phạm Thị Thu Thủy
- THCS Dân Tiến - Khoái Châu
4
Ôn tập chuẩn bị thi vào lớp 10 theo chủ đề

b) Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị tơng ứng của M cũng là số nguyên.
Bài 10: Xét biểu thức
.
3x
3x2
x1
2x3
3x2x
11x15
P
+
+



+
+

=
a) Rút gọn P.
b) Tìm các giá trị của x sao cho
.
2
1
P
=
c) So sánh P với
3
2
.
***************************************
Chủ đề 2: Phơng trình bậc hai và định lí Viét.
Dạng 1: Giải phơng trình bậc hai.
Bài 1: Giải các phơng trình
1) x
2
6x + 14 = 0 ; 2) 4x
2
8x + 3 = 0 ;
3) 3x
2
+ 5x + 2 = 0 ; 4) -30x
2
+ 30x 7,5 = 0 ;
5) x
2
4x + 2 = 0 ; 6) x
2

2x 2 = 0 ;
7) x
2
+ 2
2
x + 4 = 3(x +
2
) ; 8) 2
2
x
2
+ x + 1 =
3
(x + 1) ;
9) x
2
2(
3
- 1)x - 2
3
= 0.
Bài 2: Giải các phơng trình sau bằng cách nhẩm nghiệm:
1) 3x
2
11x + 8 = 0 ; 2) 5x
2
17x + 12 = 0 ;
3) x
2
(1 +

3
)x +
3
= 0 ; 4) (1 -
2
)x
2
2(1 +
2
)x + 1 + 3
2
= 0 ;
5) 3x
2
19x 22 = 0 ; 6) 5x
2
+ 24x + 19 = 0 ;
7) (
3
+ 1)x
2
+ 2
3
x +
3
- 1 = 0 ; 8) x
2
11x + 30 = 0 ;
9) x
2

12x + 27 = 0 ; 10) x
2
10x + 21 = 0.
Dạng 2: Chứng minh phơng trình có nghiệm, vô nghiệm.
Bài 1: Chứng minh rằng các phơng trình sau luôn có nghiệm.
1) x
2
2(m - 1)x 3 m = 0 ; 2) x
2
+ (m + 1)x + m = 0 ;
3) x
2
(2m 3)x + m
2
3m = 0 ; 4) x
2
+ 2(m + 2)x 4m 12
= 0 ;
5) x
2
(2m + 3)x + m
2
+ 3m + 2 = 0 ; 6) x
2
2x (m 1)(m 3) = 0 ;
7) x
2
2mx m
2
1 = 0 ; 8) (m + 1)x

2
(2m 1)x
3 + m = 0 ;
9) ax
2
+ (ab + 1)x + b = 0.
Giáo viên:
Phạm Thị Thu Thủy
- THCS Dân Tiến - Khoái Châu
5
Ôn tập chuẩn bị thi vào lớp 10 theo chủ đề

Bài 2:
a) Chứng minh rằng với a, b , c là các số thực thì phơng trình sau luôn có nghiệm:
(x a)(x b) + (x b)(x c) + (x c)(x a) = 0
b) Chứng minh rằng với ba số thức a, b , c phân biệt thì phơng trình sau có hai nghiệm
phân biết:
x) (ẩn 0
cx
1
bx
1
ax
1
=

+

+

c) Chứng minh rằng phơng trình: c
2
x
2
+ (a
2
b
2
c
2
)x + b
2
= 0 vô nghiệm với a, b, c
là độ dài ba cạnh của một tam giác.
Chứng minh rằng phơng trình bậc hai:
(a + b)
2
x
2
(a b)(a
2
b
2
)x 2ab(a
2
+ b
2
) = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt.
Bài 3:
a) Chứng minh rằng ít nhất một trong các phơng trình bậc hai sau đây có nghiệm:

ax
2
+ 2bx + c = 0 (1)
bx
2
+ 2cx + a = 0 (2)
cx
2
+ 2ax + b = 0 (3)
b) Cho bốn phơng trình (ẩn x) sau:
x
2
+ 2ax + 4b
2
= 0 (1)
x
2
- 2bx + 4a
2
= 0 (2)
x
2
- 4ax + b
2
= 0 (3)
x
2
+ 4bx + a
2
= 0 (4)

Chứng minh rằng trong các phơng trình trên có ít nhất 2 phơng trình có nghiệm.
c) Cho 3 phơng trình (ẩn x sau):
(3) 0
cb
1
x
ba
ba2a
cx
(2) 0
ba
1
x
ac
ac2c
bx
(1) 0
ac
1
x
cb
cb2b
ax
2
2
2
=
+
+
+

+

=
+
+
+
+

=
+
+
+
+

với a, b, c là các số dơng cho trớc.
Chứng minh rằng trong các phơng trình trên có ít nhất một phơng trình có nghiệm.
Bài 4:
a) Cho phơng trình ax
2
+ bx + c = 0.
Biết a 0 và 5a + 4b + 6c = 0, chứng minh rằng phơng trình đã cho có hai nghiệm.
b) Chứng minh rằng phơng trình ax
2
+ bx + c = 0 ( a 0) có hai nghiệm nếu một trong
hai điều kiện sau đợc thoả mãn:
a(a + 2b + 4c) < 0 ;
5a + 3b + 2c = 0.
Giáo viên:
Phạm Thị Thu Thủy
- THCS Dân Tiến - Khoái Châu

6
Ôn tập chuẩn bị thi vào lớp 10 theo chủ đề

Dạng 3: Tính giá trị của biểu thức đối xứng, lập phơng trình bậc hai nhờ nghiệm của
phơng trình bậc hai cho trớc.
Bài 1: Gọi x
1
; x
2
là các nghiệm của phơng trình: x
2
3x 7 = 0.
Tính:
( )( )
4
2
4
1
3
2
3
1
1221
21
21
2
2
2
1
xxF ;xxE

;x3xx3xD ;
1x
1
1x
1
C
;xxB ;xxA
+=+=
++=

+

=
=+=
Lập phơng trình bậc hai có các nghiệm là
1x
1
và
1x
1
21

.
Bài 2: Gọi x
1
; x
2
là hai nghiệm của phơng trình: 5x
2
3x 1 = 0. Không giải phơng

trình, tính giá trị của các biểu thức sau:
.
x4xx4x
3xx5x3x
C
;
x
1
x
1
1x
x
x
x
1x
x
x
x
B
;x3x2xx3x2xA
2
2
1
2
21
2
221
2
1
2

211
2
1
2
2
1
2
1
2
21
3
22
2
1
3
1
+
++
=









+
++

+
+=
+=
Bài 3:
a) Gọi p và q là nghiệm của phơng trình bậc hai: 3x
2
+ 7x + 4 = 0. Không giải phơng
trình hãy thành lập phơng trình bậc hai với hệ số bằng số mà các nghiệm của nó là
1p
q
và
1q
p

.
b) Lập phơng trình bậc hai có 2 nghiệm là
2610
1
và
7210
1
+
.
Bài 4: Cho phơng trình x
2
2(m -1)x m = 0.
a) Chứng minh rằng phơng trình luôn luôn có hai nghiệm x
1
; x
2

với mọi m.
b) Với m 0, lập phơng trình ẩn y thoả mãn
1
22
2
11
x
1
xy và
x
1
xy
+=+=
.
Bài 5: Không giải phơng trình 3x
2
+ 5x 6 = 0. Hãy tính giá trị các biểu thức sau:
( )( )
2
2
1
1
21
1
2
2
1
1221
x
2x

x
2x
D ;xxC
;
1x
x
1x
x
B ;2x3x2x3xA
+
+
+
==

+

==
Bài 6: Cho phơng trình 2x
2
4x 10 = 0 có hai nghiệm x
1
; x
2
. Không giải phơng trình
hãy thiết lập phơng trình ẩn y có hai nghiệm y
1
; y
2
thoả mãn: y
1

= 2x
1
x
2
; y
2
= 2x
2

x
1
Bài 7: Cho phơng trình 2x
2
3x 1 = 0 có hai nghiệm x
1
; x
2
. Hãy thiết lập phơng trình
ẩn y có hai nghiệm y
1
; y
2
thoả mãn:
Giáo viên:
Phạm Thị Thu Thủy
- THCS Dân Tiến - Khoái Châu
7
Ôn tập chuẩn bị thi vào lớp 10 theo chủ đề

=
=



+=
+=
1
2
2
2
2
2
1
1
22
11
x
x
y
x
x
y
b)

2xy
2xy
a)
Bài 8: Cho phơng trình x
2
+ x 1 = 0 có hai nghiệm x
1
; x
2
. Hãy thiết lập phơng trình ẩn
y có hai nghiệm y
1
; y
2
thoả mãn:





=+++
+=+







+=+

+=+
0.5x5xyy
xxyy
b) ;
3x3x
y
y
y
y
x
x
x
x
yy
a)
21
2
2
2
1
2
2
2
121
21
1
2
2
1
1

2
2
1
21
Bài 9: Cho phơng trình 2x
2
+ 4ax a = 0 (a tham số, a 0) có hai nghiệm x
1
; x
2
. Hãy
lập phơng trình ẩn y có hai nghiệm y
1
; y
2
thoả mãn:
21
2121
21
xx
y
1
y
1
và
x
1
x
1
yy

+=++=+
Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để phơng trình có nghiệm, có nghiệm kép, vô
nghiệm.
Bài 1:
a) Cho phơng trình (m 1)x
2
+ 2(m 1)x m = 0 (ẩn x).
Xác định m để phơng trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép này.
b) Cho phơng trình (2m 1)x
2
2(m + 4)x + 5m + 2 = 0.
Tìm m để phơng trình có nghiệm.
c, Cho phơng trình: (m 1)x
2
2mx + m 4 = 0.
- Tìm điều kiện của m để phơng trình có nghiệm.
- Tìm điều kiện của m để phơng trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép đó.
d, Cho phơng trình: (a 3)x
2
2(a 1)x + a 5 = 0.
Tìm a để phơng trình có hai nghiệm phân biệt.
Giáo viên:
Phạm Thị Thu Thủy
- THCS Dân Tiến - Khoái Châu
8
Ôn tập chuẩn bị thi vào lớp 10 theo chủ đề

Bài 2:
a) Cho phơng trình:
( )

06mm
1x
x12m2
12xx
4x
2
224
2
=+
+


++
.
Xác định m để phơng trình có ít nhất một nghiệm.
b) Cho phơng trình: (m
2
+ m 2)(x
2
+ 4)
2
4(2m + 1)x(x
2
+ 4) + 16x
2
= 0. Xác
định m để phơng trình có ít nhất một nghiệm.
Dạng 5: Xác định tham số để các nghiệm của phơng trình ax
2
+ bx + c = 0 thoả mãn

điều kiện cho trớc.
Bài 1: Cho phơng trình: x
2
2(m + 1)x + 4m = 0
1) Xác định m để phơng trình có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép đó.
2) Xác định m để phơng trình có một nghiệm bằng 4. Tính nghiệm còn lại.
3) Với điều kiện nào của m thì phơng trình có hai nghiệm cùng dấu (trái dấu)
4) Với điều kiện nào của m thì phơng trình có hai nghiệm cùng dơng (cùng âm).
5) Định m để phơng trình có hai nghiệm sao cho nghiệm này gấp đôi nghiệm kia.
6) Định m để phơng trình có hai nghiệm x
1
; x
2
thoả mãn 2x
1
x
2
= - 2.
7) Định m để phơng trình có hai nghiệm x
1
; x
2
sao cho A = 2x
1
2
+ 2x
2
2
x
1

x
2
nhận
giá trị nhỏ nhất.
Bài 2: Định m để phơng trình có nghiệm thoả mãn hệ thức đã chỉ ra:
a) (m + 1)x
2
2(m + 1)x + m 3 = 0 ; (4x
1
+ 1)(4x
2
+ 1) = 18
b) mx
2
(m 4)x + 2m = 0 ; 2(x
1
2
+ x
2
2
) = 5x
1
x
2
c) (m 1)x
2
2mx + m + 1 = 0 ; 4(x
1
2
+ x

2
2
) = 5x
1
2
x
2
2
d) x
2
(2m + 1)x + m
2
+ 2 = 0 ; 3x
1
x
2
5(x
1
+ x
2
) + 7 = 0.
Bài 3: Định m để phơng trình có nghiệm thoả mãn hệ thức đã chỉ ra:
a) x
2
+ 2mx 3m 2 = 0 ; 2x
1
3x
2
= 1
b) x

2
4mx + 4m
2
m = 0 ; x
1
= 3x
2
c) mx
2
+ 2mx + m 4 = 0 ; 2x
1
+ x
2
+ 1 = 0
d) x
2
(3m 1)x + 2m
2
m = 0 ; x
1
= x
2
2
e) x
2
+ (2m 8)x + 8m
3
= 0 ; x
1
= x

2
2
f) x
2
4x + m
2
+ 3m = 0 ; x
1
2
+ x
2
= 6.
Bài 4:
a) Cho phơnmg trình: (m + 2)x
2
(2m 1)x 3 + m = 0. Tìm điều kiện của m để
phơng trình có hai nghiệm phân biệt x
1
; x
2
sao cho nghiệm này gấp đôi nghiệm kia.
Giáo viên:
Phạm Thị Thu Thủy
- THCS Dân Tiến - Khoái Châu
9
Ôn tập chuẩn bị thi vào lớp 10 theo chủ đề

b) Ch phơng trình bậc hai: x
2
mx + m 1 = 0. Tìm m để phơng trình có hai

nghiệm x
1
; x
2
sao cho biểu thức
)xx2(1xx
3x2x
R
21
2
2
2
1
21
+++
+
=
đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá
trị lớn nhất đó.
c) Định m để hiệu hai nghiệm của phơng trình sau đây bằng 2.
mx
2
(m + 3)x + 2m + 1 = 0.
Bài 5: Cho phơng trình: ax
2
+ bx + c = 0 (a 0).
Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để phơng trình có hai nghiệm mà nghiệm này
gấp đôi nghiệm kia là 9ac = 2b
2
.

Bài 6: Cho phơng trình bậc hai: ax
2
+ bx + c = 0 (a 0). Chứng minh rằng điều kiện cần
và đủ để phơng trình có hai nghiệm mà nghiệm này gấp k lần nghiệm kia (k > 0) là :
kb
2
= (k + 1)
2
.ac
Dạng 6: So sánh nghiệm của phơng trình bậc hai với một số.
Bài 1:
a) Cho phơng trình x
2
(2m 3)x + m
2
3m = 0. Xác định m để phơng trình có
hai nghiệm x
1
; x
2
thoả mãn 1 < x
1
< x
2
< 6.
b) Cho phơng trình 2x
2
+ (2m 1)x + m 1 = 0. Xác định m để phơng trình có hai
nghiệm phân biệt x
1

; x
2
thoả mãn: - 1 < x
1
< x
2
< 1.
Bài 2: Cho f(x) = x
2
2(m + 2)x + 6m + 1.
a) Chứng minh rằng phơng trình f(x) = 0 có nghiệm với mọi m.
b) Đặt x = t + 2. Tính f(x) theo t, từ đó tìm điều kiện đối với m để phơng trình f(x) = 0
có hai nghiệm lớn hơn 2.
Bài 3: Cho phơng trình bậc hai: x
2
+ 2(a + 3)x + 4(a + 3) = 0.
a) Với giá trị nào của tham số a, phơng trình có nghiệm kép. Tính các nghiệm kép.
b) Xác định a để phơng trình có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 1.
Bài 4: Cho phơng trình: x
2
+ 2(m 1)x (m + 1) = 0.
a) Tìm giá trị của m để phơng trình có một nghiệm nhỏ hơn 1 và một nghiệm lớn hơn
1.
b) Tìm giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm nhỏ hơn 2.
Bài 5: Tìm m để phơng trình: x
2
mx + m = 0 có nghiệm thoả mãn x
1
- 2 x
2

.
Dạng 7: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phơng trình bậc hai không phụ
thuộc tham số.
Bài 1:
Giáo viên:
Phạm Thị Thu Thủy
- THCS Dân Tiến - Khoái Châu
10
Ôn tập chuẩn bị thi vào lớp 10 theo chủ đề

a) Cho phơng trình: x
2
mx + 2m 3 = 0. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của
phơng trình không phụ thuộc vào tham số m.
b) Cho phơng trình bậc hai: (m 2)x
2
2(m + 2)x + 2(m 1) = 0. Khi phơng trình
có nghiệm, hãy tìm một hệ thức giữa các nghiệm không phụ thuộc vào tham số m.
c) Cho phơng trình: 8x
2
4(m 2)x + m(m 4) = 0. Định m để phơng trình có hai
nghiệm x
1
; x
2
. Tìm hệ thức giữa hai nghiệm độc lập với m, suy ra vị trí của các
nghiệm đối với hai số 1 và 1.
Bài 2: Cho phơng trình bậc hai: (m 1)
2
x

2
(m 1)(m + 2)x + m = 0. Khi phơng
trình có nghiệm, hãy tìm một hệ thức giữa các nghiệm không phụ thuộc vào tham số m.
Bài 3: Cho phơng trình: x
2
2mx m
2
1 = 0.
a) Chứng minh rằng phơng trình luôn có hai nghiệm x
1
, x
2
với mọi m.
b) Tìm biểu thức liên hệ giữa x
1
; x
2
không phụ thuộc vào m.
c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x
1
; x
2
thoả mãn:
2
5
x
x
x
x
1

2
2
1
=+
.
Bài 4: Cho phơng trình: (m 1)x
2
2(m + 1)x + m = 0.
a) Giải và biện luận phơng trình theo m.
b) Khi phơng trình có hai nghiệm phân biệt x
1
; x
2
:
- Tìm một hệ thức giữa x
1
; x
2
độc lập với m.
- Tìm m sao cho |x
1
x
2
| 2.
Bài 5: Cho phơng trình (m 4)x
2
2(m 2)x + m 1 = 0. Chứng minh rằng nếu ph-
ơng trình có hai nghiệm x
1
; x

2
thì: 4x
1
x
2
3(x
1
+ x
2
) + 2 = 0.
Dạng 8: Mối quan hệ giữa các nghiệm của hai phơng trình bậc hai.
Kiến thức cần nhớ:
1/ Định giá trị của tham số để phơng trình này có một nghiệm bằng k (k 0) lần một
nghiệm của phơng trình kia:
Xét hai phơng trình:
ax
2
+ bx + c = 0 (1)
ax
2
+ bx + c = 0 (2)
trong đó các hệ số a, b, c, a, b, c phụ thuộc vào tham số m.
Định m để sao cho phơng trình (2) có một nghiệm bằng k (k 0) lần một nghiệm của ph-
ơng trình (1), ta có thể làm nh sau:
i) Giả sử x
0
là nghiệm của phơng trình (1) thì kx
0
là một nghiệm của phơng trình
(2), suy ra hệ phơng trình:

Giáo viên:
Phạm Thị Thu Thủy
- THCS Dân Tiến - Khoái Châu
11
Ôn tập chuẩn bị thi vào lớp 10 theo chủ đề

(*)
0c'kxb'xka'
0cbxax
0
2
0
2
0
2
0





=++
=++
Giải hệ phơng trình trên bằng phơng pháp thế hoặc cộng đại số để tìm m.
ii) Thay các giá trị m vừa tìm đợc vào hai phơng trình (1) và (2) để kiểm tra lại.
2/ Định giá trị của tham số m để hai phơng trình bậc hai tơng đơng với nhau.
Xét hai phơng trình:
ax
2
+ bx + c = 0 (a 0) (3)

ax
2
+ bx + c = 0 (a 0) (4)
Hai phơng trình (3) và (4) tơng đơng với nhau khi và chỉ khi hai phơng trình có cùng 1 tập
nghiệm (kể cả tập nghiệm là rỗng).
Do đó, muỗn xác định giá trị của tham số để hai phơng trình bậc hai tơng đơng với nhau ta
xét hai trờng hợp sau:
i) Trờng hợp cả hai phơng trinhg cuùng vô nghiệm, tức là:





<
<
0
0
)4(
)3(
Giải hệ trên ta tịm đợc giá trị của tham số.
ii) Trờng hợp cả hai phơng trình đều có nghiệm, ta giải hệ sau:







=
=

(4)(3)
(4)(3)
(4)
(3)
PP
SS
0
0
Chú ý: Bằng cách đặt y = x
2
hệ phơng trình (*) có thể đa về hệ phơng trình bậc nhất 2 ẩn
nh sau:



=+
=+
c'ya'xb'
caybx
Để giải quyết tiếp bài toán, ta làm nh sau:
- Tìm điều kiện để hệ có nghiệm rồi tính nghiệm (x ; y) theo m.
- Tìm m thoả mãn y = x
2
.
- Kiểm tra lại kết quả.
Giáo viên:
Phạm Thị Thu Thủy
- THCS Dân Tiến - Khoái Châu

12
Ôn tập chuẩn bị thi vào lớp 10 theo chủ đề

Bài 1: Tìm m để hai phơng trình sau có nghiệm chung:
2x
2
(3m + 2)x + 12 = 0
4x
2
(9m 2)x + 36 = 0
Bài 2: Với giá trị nào của m thì hai phơng trình sau có nghiệm chung. Tìm nghiệm chung đó:
a) 2x
2
+ (3m + 1)x 9 = 0; 6x
2
+ (7m 1)x 19 = 0.
b) 2x
2
+ mx 1 = 0; mx
2
x + 2 = 0.
c) x
2
mx + 2m + 1 = 0; mx
2
(2m + 1)x 1 = 0.
Bài 3: Xét các phơng trình sau:
ax
2
+ bx + c = 0 (1)

cx
2
+ bx + a = 0 (2)
Tìm hệ thức giữa a, b, c là điều kiện cần và đủ để hai phơng trình trên có một nghiệm
chung duy nhất.
Bài 4: Cho hai phơng trình:
x
2
2mx + 4m = 0 (1)
x
2
mx + 10m = 0 (2)
Tìm các giá trị của tham số m để phơng trình (2) có một nghiệm bằng hai lần một
nghiệm của phơng trình (1).
Bài 5: Cho hai phơng trình:
x
2
+ x + a = 0
x
2
+ ax + 1 = 0
a) Tìm các giá trị của a để cho hai phơng trình trên có ít nhất một nghiệm chung.
b) Với những giá trị nào của a thì hai phơng trình trên tơng đơng.
Bài 6: Cho hai phơng trình:
x
2
+ mx + 2 = 0 (1)
x
2
+ 2x + m = 0 (2)

a) Định m để hai phơng trình có ít nhất một nghiệm chung.
b) Định m để hai phơng trình tơng đơng.
c) Xác định m để phơng trình (x
2
+ mx + 2)(x
2
+ 2x + m) = 0 có 4 nghiệm phân biệt
Bài 7: Cho các phơng trình:
x
2
5x + k = 0 (1)
x
2
7x + 2k = 0 (2)
Xác định k để một trong các nghiệm của phơng trình (2) lớn gấp 2 lần một trong các
nghiệm của phơng trình (1).
***************************************************
Giáo viên:
Phạm Thị Thu Thủy
- THCS Dân Tiến - Khoái Châu
13
Ôn tập chuẩn bị thi vào lớp 10 theo chủ đề

Chủ đề 3: Hệ phơng trình.
A - Hệ hai phơng trình bậc nhất hai ẩn:
Dạng 1: Giải hệ phơng trình cơ bản và đa đợc về dạng cơ bản
Bài 1: Giải các hệ phơng trình
Giáo viên:
Phạm Thị Thu Thủy
- THCS Dân Tiến - Khoái Châu

14
Ôn tập chuẩn bị thi vào lớp 10 theo chủ đề




=
=



=
=+



=+
=+



=+
=+



=
=

=+
=
1815y10x
96y4x
6) ;
142y3x
35y2x
5) ;
142y5x
024y3x
4)
106y4x
53y2x
3) ;
53y6x
32y4x
2) ;
5y2x
42y3x
1)
Bài 2: Giải các hệ phơng trình sau:
Giáo viên:
Phạm Thị Thu Thủy
- THCS Dân Tiến - Khoái Châu
15
Ôn tập chuẩn bị thi vào lớp 10 theo chủ đề

( ) ( )
( ) ( )

( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )







=
+
+
=
+
+








=+
+

+
=+

+=+
+=+



=+
=+
5
6y5x
103y-6x
8
3yx
2-5y7x
4) ;
7
5x6y
y
3
1x
2x
4
27y
5
3
5x-2y
3)
;
121x3y33y1x
543y4x42y3-2x

2) ;
4xy5y54x
6xy32y23x
1)
Dạng 2: Giải hệ bằng phơng pháp đặt ẩn phụ
Giải các hệ phơng trình sau
Giáo viên:
Phạm Thị Thu Thủy
- THCS Dân Tiến - Khoái Châu
16