Biểu diễn dao động tử của đại số Su(2)q

1

MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ....................................................................................................... 2
CHƯƠNG I: HÌNH THỨC LUẬN DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA ............ 5
1.1. Biểu diễn số hạt của dao động tử điều hòa tuyến tính .......................... 5
1.2. Biểu diễn ma trận của các toán tử sinh, hủy Boson ............................ 13
Kết luận chương I: ................................................................................. 17
CHƯƠNG II: CÁC THỐNG KÊ LƯỢNG TỬ ....................................... 18
2.1. Xây dựng thống kê lượng tử bằng phương pháp GIBBS .................... 18
2.1.1. Phương pháp GIBBS................................................................... 18
2.1.2. Phân bố Bose - Einstein .............................................................. 19
2.1.3. Phân bố Fermi - Dirac................................................................ 20
2.2. Xây dựng các phân bố thống kê bằng phương pháp lý thuyết trường
lượng tử. ................................................................................................... 21
2.2.1. Xây dựng thống kê Bose - Einstein .............................................. 21
2.2.2. Xây dựng thống kê Fermi - Dirac. .............................................. 23
Kết luận chương II ................................................................................. 29
CHƯƠNG III: CÁC THỐNG KÊ LƯỢNG TỬ BIẾN DẠNG ................ 30
3.1. Lý thuyết q - số.................................................................................. 30
3.2. Dao động tử điều hòa biến dạng q ..................................................... 32
3.1.1. Dao động tử Boson biến dạng q .................................................. 32
3.1.2. Dao động tử Fermion biến dạng q .............................................. 34
3.3. Phân bố thống kê ............................................................................... 35
3.2.1. Phân bố thống kê Bose-Einstein biến dạng q .............................. 35
3.2.2. Phân bố thống kê Fermi - Dirac biến dạng q .............................. 36
3.3. Dao động tử biến dạng R ................................................................... 37
3.3.1. Dao động tử Boson biến dạng R ................................................. 37
3.3.2. Phân bố thống kê của dao động tử Boson biến dạng R ............... 39
Kết luận chương III................................................................................ 41
CHƯƠNG IV: ĐẠI SỐ LƯỢNG TỬ SU (2)............................................. 42

4.1. Biểu diễn dao động tử của đại số SU(2) ............................................. 42
4.2. Đại số lượng tử một thông số SU(2)q ................................................. 49
Kết luận chương IV ............................................................................... 53
KẾT LUẬN CHUNG ................................................................................. 54
DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ ĐƯỢC CÔNG BỐ ..................... 55
TÀI LIỆU THAM KHẢO.......................................................................... 56


2

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong những năm gần đây, việc nghiên cứu Vật lý vi mô nói chung và
lý thuyết trường lượng tử nói riêng đã tạo nên cơ sở của thế giới quan vật lý
để lý giải bản chất của các hạt vi mô về mặt cấu trúc và các tính chất của nó.
Cùng với sự phát triển của lịch sử loài người, vật lý học cũng đã trải qua
nhiều giai đoạn phát triển và đạt được nhiều thành tựu quan trọng. Từ cơ học
cổ điển của Niutơn đến thuyết điện từ trường của Maxwell và Faraday, ngày
nay vật lý học hiện đại với khuynh hướng thâm nhập sâu vào cấu trúc vi mô
của vật chất người ta thấy rằng ngoài các quy luật tìm thấy trong vật lý cổ
điển ở đây xuất hiện các quy luật mới là quy luật thống kê. Vật lý thống kê là
một bộ phận của vật lý hiện đại nó nghiên cứu các hệ nhiều hạt bằng phương
pháp thống kê. Để tìm các định luật phân bố thống kê lượng tử có rất nhiều
phương pháp trong đó có phương pháp lý thuyết trường lượng tử. Lý thuyết
trường lượng tử đã tạo nên cơ sở của thế giới quan vật lý để lý giải bản chất
của các hạt vi mô về mặt cấu trúc và các tính chất của nó. Từ đó lý thuyết
trường lượng tử đã mở ra con đường để nhận biết các quá trình vật lý xảy ra
trong thế giới vi mô, thế giới của các phân tử, nguyên tử, hạt nhân và các hạt
cơ bản.
Một trong những phương pháp đó là phương pháp biến dạng của lý

thuyết nhóm lượng tử và đại số lượng tử. Việc nghiên cứu các dao động tử
biến dạng mà trong đó các toán tử sinh, huỷ dao động tử tuân theo các hệ thức
giao hoán biến dạng nhằm giải quyết các bài toán phi tuyến tính trong quang
học lượng tử, nhóm lượng tử trong đó có đại số lượng tử SU(2)q, các bài toán
phi tuyến của dao động mạng trong vật lý chất rắn, làm chính xác và phong
phú thêm những hiểu biết về thế giới hạt vi mô. Việc mở rộng nhóm lượng tử


3

và đại số lượng tử đã thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà vật lý trong
nước và trên thế giới cùng với sự quan tâm ngày càng nhiều đến các hạt tuân
theo các thống kê khác với Bose - Einstein, Fermi - Dirac quen thuộc như
thống kê vô hạn, thống kê biến dạng, thống kê Para boson
Đề tài: “Biểu diễn dao động của đại số SU(2)q” cũng nằm trong
hướng nghiên cứu này, với hy vọng góp phần hiểu biết đầy đủ hơn về thế giới
quanh ta, đặc biệt là thế giới các hạt vi mô. Vì vậy, chúng tôi đã lựa chọn
hướng nghiên cứu về đề tài này.
2. Mục đích nghiên cứu
Từ hình thức luận dao động tử điều hoà chúng tôi tìm được biểu diễn
ma trận của các toán tử sinh hủy số hạt của dao động tử Bozon, Fermion biến
dạng q. Từ đó chúng tôi đi xây dựng đại số lượng tử SU(2)q.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu và viết tổng quan về các dao động tử lượng tử, các toán tử
sinh huỷ số hạt của dao động tử Bozon, Fermion
- Xây dựng các hình thức luận dao động tử điều hoà thu được biểu diễn
ma trận của các toán tử sinh huỷ số hạt, dao động tử điều hoà biến dạng q.
- Xây dựng phân bố thống kê của các dao động tử điều hoà biến dạng q
đại số lượng tử đơn giản nhất SU(2)q.
- Trên các cơ sở đó nghiên cứu các dao động tử có thống kê lượng tử.

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu các dao động tử lượng tử trong lý thuyết trường lượng tử
và các nhóm lượng tử trong đó có đại số lượng tử SU(2) cho hệ hạt vi mô.
5. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp lý thuyết trường lượng tử, phương pháp nhóm lượng tử
- Phương pháp vật lý thống kê và các phương pháp giải tích khác


4

- Đề tài đã sử dụng kết hợp hình thức luận dao động tử điều hòa và hình
thức luận các trạng thái kết hợp cho các hệ hạt vi mô để nghiên cứu các dao
động tử lượng tử.
6. Tên đề tài, kết cấu của luận văn.
- Tên đề tài: “Biểu diễn dao động của đại số SU(2)q”
- Kết cấu của luận văn: Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn được
kết cấu làm 4 chương:
Chương I: Hình thức luận dao động tử điều hòa
Chương II: Các thống kê lượng tử
Chương III: Các thống kê lượng tử biến dạng
Chương IV: Đại số lượng tử SU(2)q


5

CHƯƠNG I: HÌNH THỨC LUẬN DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA
1.1. Biểu diễn số hạt của dao động tử điều hòa tuyến tính
Dao động tử điều hòa một chiều là một chất điểm có khối lượng m,
chuyển động dưới tác dụng của lực chuẩn đàn hồi f = -kx dọc theo một đường
thẳng nào đó.

Ta có biểu thức toán tử Hamiltonian của dao động tử điều hòa một
chiều [1], [6]:
2
P x m  2
H

x
2m
2

(1.1)

Trong đó: xˆ  qˆ  x là toán tử tọa độ
pˆ x  pˆ   i

d
là toán tử xung lượng.
dx

Hệ thức giao hoán giữa pˆ và qˆ
ˆ ˆ   pq
ˆ ˆ  qp
ˆ ˆ  i  d x  x   i   d   i  d x  i x d
 p,q
dx
dx
dx
dx
ˆ ˆ    i d  x   ix d   i
 p,q

dx
dx

  p,q
ˆ ˆ    i

(1.2)

Do đó ta có thể biểu diễn toán tử Hamiltonian theo pˆ và qˆ như sau:
2

H

Ta đặt:

pˆ
 m qˆ
2m
2
2

2

pˆ  i m  aˆ  aˆ 
2


qˆ 

h  aˆ  aˆ 

2m


ˆ theo aˆ a và aˆ  như sau:
Khi đó ta biểu diễn H

(1.3)


6

2

pˆ
H
 m qˆ  1 .i . m .  aˆ  aˆ
2m
2
2m
2
2

2

2

 1 .   aˆ  aˆ    aˆ  aˆ  
2 2
 1 .   aˆ  aˆ  aˆ  aˆ    aˆ  aˆ
2 2

ˆ ˆ  2aˆ aˆ 
 1 .   2aa
2 2


2











2

 m .   aˆ  aˆ
2 2m
2



2

2





 aˆ  aˆ 




ˆ ˆ  aˆ aˆ 
   aa
2






(1.4)

Ta biểu diễn các toán tử aˆ và aˆ  a ngược lại qua pˆ và qˆ :
pˆ
2
pˆ  i m  aˆ  aˆ   aˆ  aˆ 
  ipˆ
2
m 
i m 
2




  aˆ  aˆ   aˆ  aˆ 
2m


qˆ 



qˆ
 qˆ 2m


2m

Từ đó ta thu được:
m  qˆ  i pˆ 


2 
m

aˆ 

m  qˆ  i pˆ  a


2 
m



aˆ 

(1.5)
(1.6)

Dễ dàng chứng minh được các toán tử aˆ và aˆ  thỏa mãn hệ thức giao
hoán:

ˆ ˆ  1
a,a


(1.7)


7

Thật vậy:
ˆ ˆ   aa
ˆˆ
a,a




pˆ 
m  qˆ  i pˆ  m  q-i



 ˆ

2 
m  2  
m



 aˆ aˆ 

m  qˆ  i pˆ  m  qˆ  i pˆ 




2 
m  2 
m



1  2ipq
ˆ ˆ  2iqp
ˆ ˆ   i  pq
ˆ ˆ  qp
ˆˆ 1
2 


Vậy ta thu được toán tử Hamiltonian có dạng:
H   aˆ aˆ  1  

2


(1.8)

ˆ  aˆ aˆ 1, 5
Ta đưa vào toán tử mới N


(1.9)


Hệ thức giao hoán giữa toán tử N với các toán tử aˆ và aˆ là:
ˆ ˆ   Na
ˆ ˆ  aN
ˆ ˆ  aˆ aa
ˆˆ  aa
ˆ ˆ aˆ   aˆ aˆ  aa
ˆ ˆ  aˆ  1.aˆ  aˆ
+  N,a





ˆ ˆ  aˆ N

ˆ 1
Hay: Na









(1.10)

ˆ ˆ   Na
ˆ ˆ  aˆ N
ˆ  aˆ aa
ˆ ˆ  aˆ aˆ aˆ  aˆ  aa
ˆ ˆ  aˆ aˆ   aˆ .1
+  N,a











ˆ ˆ  aˆ N
ˆ 1
Hay Na




















(1.11)

ˆ ứng với trị riêng n.
Ta ký hiệu n là véc tơ riêng của toán tử N
ˆ như sau:
Khi đó ta có phương trình hàm riêng, trị riêng của toán tử N

ˆ n n n
N

(1.12)

ˆ n  n n n n n n
 nN
ˆ n
nN
n aˆ aˆ n

nn
nn


n



Vì: n n     r  dr  0
2

n

 
n aˆ aˆ n   aˆ  r  dr  0
2



n

(1.13)


8

Kết luận 1:
ˆ là các số không âm.
Các trị riêng của toán tử N

Xét véc tơ trạng thái thu được aˆ n bằng cách tác dụng toán tử aˆ lên

ˆ và sử dụng
véc tơ trạng thái n . Tác dụng lên véc tơ trạng thái này toán tử N
công thức (1.10) ta có:





ˆ ˆ n  aˆ N
ˆ  1 n  aN
ˆ ˆ n  aˆ n
Na

(1.14)

 aˆ  n  1 n   n  1 aˆ n

Hệ thức trên có ý nghĩa là:
ˆ N
Véc tơ trạng thái aˆ n cũng là véc tơ trạng thái riêng của toán tử N

ứng với trị riêng (n - 1).
Tương tự như vậy aˆ 2 n ;aˆ 3 n ... cũng là véc tơ trạng thái của toán tử
ˆ ứng với trị riêng (n - 2), (n - 3)…
N

Ta tiếp tục xét véc tơ trạng thái aˆ n , tác dụng lên véc tơ trạng thái này

ˆ , sử dụng công thức (1.11) ta có:
toán tử N





ˆ ˆ n  aˆ N
ˆ  1 n  aˆ N
ˆ n  aˆ n
Na






(1.15)

 aˆ  n  1 n   n  1 aˆ n






Hệ thức trên có ý nghĩa là: Véc tơ trạng thái aˆ cũng là véc tơ trạng thái
ˆ ứng với trị riêng (n + 1).
riêng của toán tử N

Tương tự như vậy aˆ 2 n ;aˆ 3 n cũng là véc tơ trạng thái riêng của toán

ˆ ứng với trị riêng (n + 2), (n + 3)…
tử N
Kết luận 2:
ˆ ứng với trị riêng n thì aˆ n
Nếu n là một véc tơ riêng của toán tử N
p

ˆ ứng với trị riêng n – p (p = 1,2,3…)
cũng là một véc tơ riêng của toán tử N


9

ˆ
Kết hợp kết luận 1 và kết luận 2 ta thấy n là một trị riêng của toán tử N
ˆ .
thì chuỗi các số không âm n – 1, n – 2, n – 3… cũng là trị riêng của toán tử N

Vì chuỗi này giảm dần nên phải tồn tại một số không âm nhỏ thì:
aˆ n

min

(1.16)

0

Vì nếu aˆ n min  0 thì đó là véc tơ trạng thái ứng với trị riêng
n 1 n
min

min

trái với giả thiết nmin là trị riêng nhỏ nhất.

ˆ n 0
Từ (1.16) ta có: aˆ  aˆ n min  N
min
ˆ n
Mặt khác theo định nghĩa N

min

n

min

(1.17)
n

min

(1.18)

So sánh hai phương trình (1.17) và (1.18) ta đi đến kết luận như sau:
Kết luận 3:
ˆ là nmin có giá trị bằng 0. Véc tơ trạng
Trị riêng nhỏ nhất của toán tử N
ˆ được ký hiệu 0 . Véc tơ trạng thái này
thái ứng với trị riêng nhỏ nhất của N

thỏa mãn điều kiện aˆ 0  0 .
Ta có:
ˆ N ứng với trị riêng n = 1.
+ aˆ 0 tỉ lệ với véc tơ riêng l của N


ˆ 1  1 1 *
Thật vậy ta có: N

ˆ ứng với trị riêng 0 + 1 = 1,
Mà aˆ  0 là một véc tơ riêng của toán tử N
ˆ ˆ 0  1aˆ 0 .  * * 
tức là Na




Từ (*) và (**) ta thấy:

ˆ ứng với trị riêng là 1.
1 là véc tơ riêng của toán tử N
ˆ ứng với trị riêng là 1.
aˆ 0 là véc tơ riêng của toán tử N


ˆ ứng với trị
Vì vậy aˆ  0 phải tỉ lệ với véc tơ riêng l của toán tử N
riêng n = 1.


10

ˆ ứng với trị
+ Tương tự aˆ 0 tỉ lệ với véc tơ riêng 2 của toán tử N
2

ˆ ứng với trị
riêng n = 2, …, aˆ  n 0 tỉ lệ với véc tơ riêng n của toán tử N
riêng n.
ˆ   aˆ aˆ  1     N
ˆ  1    N
ˆ  
Từ biểu thức: H

2


2
2


ˆ 0  N
ˆ 0   0 . Vì N
ˆ 0 0 0 0
H
2
ˆ 0   0  E 0
H
2
0

ˆ ứng với trị riêng E  1 
Nên: 0 là véc tơ riêng của H
2
0

ˆ ứng với trị riêng E   1  1  
1 là véc tơ riêng của H

2
1

…………………………………………………………..
ˆ ứng với trị riêng E   n  1  
n là véc tơ riêng của H

2

n

Vậy các trạng thái dừng của dao động tử điều hòa có năng lượng gián
đoạn với các giá trị cách đều nhau, hiệu số năng lượng giữa hai trạng thaí kề
nhau luôn luôn bằng một lượng tử năng lượng  .
E   2  1    5 

2
2
2

E   1  1    3 

2
2
1

 E  E  E   
12

2

1

Trạng thái 0 có năng lượng thấp nhất là E0, trạng thái tiếp theo 1
với năng lượng E   có thể được xem như là kết quả việc thêm một lượng
0

tử năng lượng  vào trạng thái 0 . Trạng thái tiếp theo 2 ứng với năng
lượng E    E  2 có thể được xem như là kết quả của việc thêm một

1

0


11

lượng tử năng lượng  vào trạng thái 1 , cũng có nghĩa là thêm hai lượng
tử năng lượng  vào trạng thái 0 . Nếu ta lấy gốc tính năng lượng là E0, thì
có thể coi trạng thái 0 là trạng thái không chứa lượng tử nào. Vì vậy 0
được gọi là trạng thái chân không, 1 là trạng thái chứa một lượng tử, 2 là
ˆ
trạng thái chứa hai lượng tử … n là trạng thái chứa n lượng tử. Toán tử N

có các giá trị nguyên không âm, cách nhau một đơn vị được đoán nhận là toán
tử số năng lượng. Toán tử aˆ khi tác dụng lên n cho một trạng thái tỉ lệ với
n  1 do đó được đoán nhận là toán tử hủy lượng tử năng lượng. Toán tử aˆ 

khi tác dụng lên n cho một trạng thái tỉ lệ với n  1 do đó được đoán nhận
là toán tử sinh lượng tử năng lượng. Nếu ta tưởng tượng rằng lượng tử năng
ˆ sẽ là toán tử số hạt, aˆ sẽ là toán tử hủy hạt, aˆ 
lượng là một hạt thì toán tử N

sẽ là toán tử sinh hạt, khi đó trạng thái n với năng lượng E   sẽ là trạng
n

thái chứa n hạt, đó là biểu diễn số hạt của dao động tử điều hòa.
Trong cơ học lượng tử trạng thái dừng của một dao động tử điều hóa có
thể coi là tập hợp của nhiều hạt, mỗi hạt có năng lượng bằng  [1], [3], [5].
Như ta đã lập luận ở trên khi toán tử aˆ tác dụng lên n cho một trạng



thái tỉ lệ với n  1 và toán tử aˆ khi tác dụng lên n cho một trạng thái tỉ lệ
với n  1 . Do đó chúng ta sẽ tính các hệ số tỉ lệ  ,  ,  trong các hệ thức:
n

aˆ n   n  1
n



aˆ n   n  1
n

n

n   aˆ 0
n

Để cho các véc tơ là trực giao và chuẩn hóa thì:

n

n


12

m, n  

khi m  n
khi m  n

1

0

m ,n

+ Tìm n:
ˆ n
ˆ n
nN
nN
Chúng ta có n 

nn

m,n

Vì m = n nên m, n = 1

ˆ n  n aˆ aˆ n
n n N


Mặt khác n aˆ    *n n  1
*

2

2

n

n

Do đó: n   n  1  n  1   n  1 n  1  
n

n

Coi n là thực nên   n
n

+ Tìm n:

ˆ n  n aˆ  aˆ n  n aa
ˆˆ 1 n
Ta có n  n N
*

Mặt khác: n aˆ   n  1
n

ˆ n  n aa
ˆˆ 1 n
Do đó: n  n N
*

2

  n 1  n 1 1   1
n

n

n

2

Coi n là số thực nên   n  1    n  1
n

n

+ Tìm n:
Ta có n   aˆ 0    aˆ
n

n

 n    aˆ
n





n 1

n

0

n

  1
n!
n

0

1

1

n 1

3



aˆ 0

 1     aˆ




n

n 2

 n      ...
n



0

 n      aˆ

 n 



n

n 1

0





n 2

2 ...

n

1.2.3...n n  

n

n! n

aˆ 1     aˆ


n

0





n 2

 2
1


13

Vậy ta thiết lập được các công thức sau:
ˆ n n n
N

aˆ n  n n  1

(1.19)



aˆ n  n  1 n  1

(1.20)

n  1 aˆ 0
n!

(1.21)

n

1.2. Biểu diễn ma trận của các toán tử sinh, hủy Boson
Ta đã tìm được các hệ thức giao hoán của toán tử sinh hạt và toán tử
hủy hạt [1], [2], [5]:
ˆ ˆ  1
a,a
ˆ ˆ    aˆ ,aˆ   0
a,a






(1.22)

Mở rộng các hệ thức này cho hệ nhiều hạt ở nhiều trạng thái khác nhau
như sau:


aˆ ,aˆ   




(1.23)

v





v



aˆ ,aˆ   aˆ ,aˆ   0




(1.24)

Hệ thức giao hoán trên được thực hiện trong không gian Fock với véc

ˆ.
tơ cơ sở riêng đã chuẩn hóa của toán tử số dao động tử N
n  1 aˆ 0
n!
n



Tác dụng toán tử aˆ , aˆ lên các véc tơ trạng thái n ta được:
aˆ n  n n  1


aˆ n  n  1 n  1
ˆ được biểu diễn theo các toán tử sinh hạt và hủy hạt:
Với toán tử số hạt N
ˆ  aˆ aˆ
N



14

Ta sẽ xem xét là đối với các hạt Boson là các hạt có Spin nguyên thì nó
có tuân theo các hệ thức giao hoán hay không?
Để trả lời câu hỏi này ta xây dựng véc tơ trạng thái của hệ hai hạt ở hai
trạng thái khác nhau  và :




v



  aˆ aˆ 0

(1.25)

  aˆ aˆ 0

(1.26)







v

Trong đó 0 là trạng thái chân không không chứa hạt nào.








Từ biểu thức (1.22) ta có: aˆ aˆ  aˆ aˆ do đó ta suy ra    .
v





v

Như vậy véc tơ trạng thái của hệ hai hạt đồng nhất có tính chất đối
xứng với phép hoán vị hai hạt.
Và ta biết rằng những hạt được mô tả bởi hàm sóng đối xứng là những
hạt có Spin nguyên, tức là các hạt Boson.
Kết luận 4:
Các toán tử sinh hạt, hủy hạt Boson phải tuân theo hệ thức giao hoán:
ˆ ˆ 1
a,a


aˆ
aˆ



v



,aˆ   
,aˆ   aˆ ,aˆ   0














Ta đi tìm biểu diễn ma trận của các toán tử sinh Boson aˆ  , hủy Boson

ˆ:
aˆ và toán tử số hạt N
Bằng cách áp dụng liên tiếp (1.19) và (1.20) ta có các đẳng thức sau:
ˆ ˆ n   n  1 n
aa




aˆ aˆ n  n n

ˆ ˆ  và aˆ  aˆ lần lượt

Như vậy các trị riêng của các tích những toán tử aa
bằng n + 1 và n. Do đó ma trận của những toán tử này trong biểu diễn riêng
của chúng là những ma trận chéo.


15

ˆˆ 
 aa

  n  1  và  aˆ aˆ   n





nm

nm

nm

nm

Giả sử biểu diễn ma trận của các toán tử sinh Boson aˆ  , hủy Boson aˆ
là:
a

a
aˆ  

a

 ...

a

00

a
a

10

20

a
a

11

21

...



 a 00

a
aˆ  

 a 20

 ...


10



a

01



02

12

22

...


a 01
a

a
a



11




02

12


a 21
...

a 22
...

... 

... 
... 

... 
... 

... 
... 

... 

(1.27)

Ta có:


n' aˆ n  n '
Mà n ' n  1  

Do đó

n ',n 1

n  1 n  1  n  1 n' n  1
1 khi n'  n  1

0 khi n '  n  1

 n  1
n 1 n' n 1  
0

khi n '  n  1
khi n '  n  1

Tương tự ta cũng có:
n' aˆ n  n '

Mà n ' n  1  

Do đó

n ',n 1

n n 1  n n' n 1

1 khi n '  n  1

0 khi n'  n  1

 n
n n' n 1  
0

khi n '  n  1
khi n '  n  1


16



Vậy biểu diễn ma trận của các toán tử sinh Boson aˆ , hủy Boson aˆ và
ˆ có dạng:
toán tử số hạt N

0

0
aˆ  

0
 ...

 0

1
aˆ  
 0
 ...



1

0

0

2

0

0

...

...
0

0

0

0

2

0

...

...

0

0
ˆ
N  aˆ aˆ  
0

 ...


0

... 

... 

3

... 
... 

... 

... 
... 

0 ... 

1 0 ... 
0 2 ... 

... ... ... 

(1.28)


17

Kết luận chương I:
Trong chương I tôi đã trình bày một cách lôgic, đầy dủ về hình thức
luận dao động tử điều hòa: Tính toán được các toán tử sinh hạt và hủy hạt của
dao động tử điều hòa tuyến tính, biểu diễn các toán tử sinh Boson, hủy Boson,
toán tử số hạt dưới dạng ma trận tạo cơ sở tính toán cho các chương sau.


18

CHƯƠNG II: CÁC THỐNG KÊ LƯỢNG TỬ

2.1. Xây dựng thống kê lượng tử bằng phương pháp GIBBS
2.1.1. Phương pháp GIBBS
Cơ sở của phương pháp Gibbs là thay việc khảo sát sự biến đổi vi mô
của hệ đã cho với thời gian bằng việc khảo sát một tập hợp nhiều hệ tương tự
với hệ đã cho, gọi là tập hợp thống kê, tập hợp thống kê là một hợp các hệ
tương tự với nhau có số lượng và loại hạt như nhau, ở trong các điều kiện vĩ
mô giống nhau và ở trạng thái vi mô khả hữu khác nhau. Đồng thời phải bảo
đảm rằng mỗi một hệ trong tập hợp thống kê sớm hay muộn sẽ đi qua mọi
giai đoạn biến đổi dành cho các hệ tương tự khác. Như vậy, tập hợp thống kê
cũng có thể coi như là tập hợp các trạng thái vi mô khả dĩ tương ứng với cùng
một trạng thái vĩ mô đang xét của hệ.
Phương pháp Gibbs, thừa nhận giả thuyết chuẩn Ecgodic như sau: Trị
trung bình theo thời gian của một đại lượng bằng trị trung bình theo tập hợp
thống kê.
Như vậy, theo phương pháp này, một vấn đề đặt ra là làm sao tìm được
trị trung bình theo tập hợp thống kê, muốn vậy ta phải tìm được mật độ xác
suất pha hay hàm phân bố thống kê của hệ.
Áp dụng phương pháp Gibbs đối với các hệ lượng tử, chú ý đến các đặc
tính của hạt vi mô và của hệ lượng tử, phân bố chính tắc lượng tử đối với hệ
đẳng nhiệt cho chúng ta xác xuất để hệ nằm ở trạng thái có năng lượng Ek là:
  E 
W  exp 

  
k

k

(2.1)

Trong đó  và  có ý nghĩa của năng lượng tự do và nhiệt độ thống kê.
Khi có sự suy biến, nghĩa là cùng một mức năng lượng ứng với nhiều
hàm sóng khác nhau hay là nhiều trạng vật lý khác nhau thì:


19

  E 
W  g  E  exp 

  

(2.2)

k

k

k

trong đó g  E



k

là bậc suy biến.

2.1.2. Phân bố Bose - Einstein

Nói chung số hạt trong hệ là thay đổi nên chúng ta phải xuất phát từ
phân bố chính tắc lớn lượng tử:
W  n , n ...  1 exp   N  E .g  E
N!
0

1

k

k



Với  là thế nhiệt động lớn.  là thế hóa học. Ký hiệu:
gE 
N!

G  n , n ... 
k

0

k

1

(2.3)

Vậy:



   n   


W  n , n ...  exp 



1

l

l0

0

1

 

 .G  n , n ...


0

1

(2.4)

Công thức (2.4) cho tác biết xác xuất để cho hệ số có n0 hạt nằm trên
mức 0, n1 hạt nằm trên mức 1… như vậy đó là công thức về xác suất các số
chứa đầy, nhờ công thức này ta có thể tìm được số hạt trong bình nằm trên
một mức năng lượng:
n   ...n W  n , n ...
k

k

n0

0

(2.5)

1

n1

Điều kiện chuẩn hóa:

 ...W  n , n ...  exp
0

n0

1

n1

 .Z  1

(2.6)

Trong đó Z là tổng trạng thái của hệ:
  n   

Z   ...exp 

0
1

1

l 0

n

n

1

1

 

G  n , n ...

0

1

(2.7)


20

Nghĩa là:
(2.8)

   ln Z
Dựa vào các hệ thức (2.7), (2.8) ta được:
n   


(2.9)

k

k  k 

2.1.3. Phân bố Fermi - Dirac
Trong (2.3) đại lượng G  n , n ... 
k

0

1

gE 

xuất hiện là vì ta kể đến
N!
k

khả năng xuất hiện các trạng thái vật lý mới khi hoán vị (về tọa độ) các hạt.
Đối với hệ của hạt đồng nhất Boson và Fermion tức là hệ được mô tả bằng
hàm sóng đối xứng và phản đối xứng thì các phép hoán vị đều không đưa đến
một trạng thái vật lý mới nào, bởi vì khi đó hàm sóng của hệ sẽ chỉ hoặc
không đổi dấu hoặc đổi dấu, nghĩa là diễn tả cùng một trạng thái lượng tử, do
đó đối với hệ các hạt đồng nhất Boson và Fermion ta có g  E k   N!
G  n , n ...  1
k

0

(2.10)

1

Đối với hệ hạt Boson, số hạt trên các mức năng lượng có thể có trị số
bất kỳ, ta có:


Z
l0

1
   
1  exp 


  
1

(2.11)

1

Từ đó, ta có:
  

   ln Z   ln 1  exp
 



1

l

(2.12)

l0

Theo (2.12) ta được phân bố của các số chứa đầy hay thống kê Bose –
Einstein


21

n

1

exp
1
kT

(2.13)

 

2.2. Xây dựng các phân bố thống kê bằng phương pháp lý thuyết trường
lượng tử.
2.2.1. Xây dựng thống kê Bose - Einstein
Để xây dựng thống kê Bose - Einstein ta xuất phát từ biểu thức tính giá
trị trung bình của đại lượng vật lý F [1], [2], [5]:
F



Tr e



ˆ N
ˆ
 H

ˆ

F



(2.14)

Z

trong đó Z là tổng thống kê đặc trưng cho tính chất nhiệt động của hệ
và có dạng:



Z  Tr e 

ˆ H
ˆ
 H





 n e



ˆ N
ˆ
 H



n

n0

Với   1
kT
k: là hằng số Boltzman
T: là nhiệt độ của hệ
H: là Hamiltonian của hệ
Ở trên ta đã chọn mốc tính năng lượng E  
2
0

ˆ  N
ˆ
Khi đó N n  n,H

Với  là năng lượng của một dao động tử.

ˆ n  n n và điều kiện trực chuẩn:
Mặt khác ta lại có N
m n 

m ,n

Sử dụng các biểu thức trên ta được:

(2.15)


22



Z n e



ˆ N
ˆ
 H



n0



n  ne



ˆ
    N

n  n e

n0



    n

n

n0



 e

    n

    n

n n  e

n0

, vì n n  1

n0



Ta thấy

e

    n

là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn với công bội

n0

là e

   

và số hạng đầu tiên ứng với n = 0 có giá trị bằng 1.

Vậy Z 

 
 e 
e
1
 

1
1 e 

  

(2.16)

 

ˆ vào công thức (2.14).
Thay toán tử Fˆ bằng toán tử số dao động tử N



Tr e

ˆ  aˆ aˆ 
Ta có: N




Trong đó Tr e 

ˆ N
ˆ
 H





ˆ N
ˆ
 H



ˆ
N



(2.17)

Z




ˆ  n e
N



ˆ N
ˆ
 H



n0



ˆ n  n e
N

ˆ
    N

ˆ n
N

n0





 n e

   n

n 0

n n  e

    n

n nn

n0



 e

    n

n

n 0

0e

   

 2e

   .2

 ...

Đặt x = -  ( - )




Ta có: I   e

    n

n0

n   e

n.x

n  0  e

x

2x

3x

 2.e  3.e  ...ne

nx

n0

 e  2.e  3.e  ...ne   e  e  e  ...  e
x

2x

3x

nx

  e 1  e  e  ...  e
x



x

x

2x

2x

Mà 1  e  e  ...  e

 n  1 x

x

n  1 x

  1 1e

2x

3x

 '

x

 e  '  e 1  e   e .e  e
Do đó I  

1 e 
1  e 

1  e
x

x

x

x

x

x

x

x

2

x



2

nx

'

23



 Tr e



ˆ N
ˆ
 H



e 
1  e

    



ˆ 
N

    



(2.18)

2

Thay (2.16) và (2.18) vào (2.17) ta có:

e  
e 
1  e   
 e    1
ˆ
N 

  1
e 
e 
e
1
 e    1
 e    1
  

 

  

2

 

 

 

 

ˆ 
Vậy N

1
e

   

1

2

 

 

1


e


k T

(2.19)

1

Đây là biểu thức tính số hạt trung bình ở trên cùng một mức năng
lượng  được gọi là phân bố thống kê Bose - Einstein cho hệ đồng nhất các
hạt Boson.
2.2.2. Thống kê Fermi - Dirac.
Các hạt Fermion được đặc trưng bởi các toán tử sinh hạt, huỷ hạt

Fermion bˆ , bˆ và toán tử số hạt Nˆ  bˆ  bˆ . [1], [6], [7], [12].

Hàm sóng của hệ N hạt Fermion đồng nhất k1 ,k2 ...kN ( x1 , x2 ,...xN ) có thể
lựa chọn là tổ hợp tuyến tính của tích các hàm sóng k ( xi ) của từng hạt
Fermion:

k ,k ...k ( x1 , x2 ,...xN ) 
1

2

N

1
(1)  P k1 ( x1 )k2 ( x2 )...kN ( xN ) 

N! 

k ( x1 )
1



k ( x2 ) ... k ( xN )
1

1

1 k2 ( x1 ) k2 ( x2 ) ... k2 ( xN )
...
...
...
N ! ...
kN ( x1 ) kN ( x2 ) ... kN ( xN )

(2.20)

Xét trạng thái được mô tả bởi hàm sóng  (0) .

bˆk (0)  k ( x)

(2.21)


24

Tác dụng liên tiếp các toán tử sinh hạt Fermion lên trạng thái  (0) ta
được :

1
bˆk1 bˆk2  (0) 
(1) P k1 ( x1 )k2 ( x2 ) 


2! 



1
k ( x1 )k2 ( x2 )  k1 ( x2 )k2 ( x1 )
2! 1





1
bˆk1 bˆk2 bˆk3 (0) 
(1) P k1 ( x1 )k2 ( x2 )k3 ( x3 ) 

3! 



1
k ( x1 )k2 ( x2 )k3 ( x3 )  k1 ( x1 )k2 ( x3 )k3 ( x2 )
3! 1



k1 ( x2 )k2 ( x1 )k3 ( x3 )  k1 ( x3 )k2 ( x2 )k3 ( x1 )



k1 ( x2 )k2 ( x3 )k3 ( x1 )  k1 ( x3 )k2 ( x1 )k3 ( x2 )

1
 

(1) P k1 ( x1 )k2 ( x2 )...kN ( xN )  (2.22)
… bˆk1 bˆk2 ...bˆkN  (0) 

N! 
Khi hoán vị ki, kj thì tổng (2.22) đổi dấu, do đó hàm sóng đổi dấu. Ta
có:

bˆk'bˆkbˆk1 bˆk2 ...bˆkN  (0)  bˆkbˆk'bˆk1 bˆk2 ...bˆkN  (0)





 bˆkbˆk'  bˆk'bˆk  bˆk , bˆk'  0 (tính chất phản giao hoán)

(2.23)


Vì toán tử bˆk liên hiệp với toán tử bˆk nên:

bˆ , bˆ   0
k

k'

(2.24)

 
Khi k = k’ ta thấy: bˆk bˆk  bˆk bˆk  0

Giả sử trạng thái hệ N hạt Fermion có n1 hạt ở trạng thái k1, n2 hạt ở
trạng thái k2, … ns hạt ở trạng thái ks. Hàm sóng mô tả trạng thái của hệ N hạt


25

Fermion trong biểu diễn số lấp đầy có dạng:
n1

n2

  bˆ  ... bˆ 

(n1 , n2 ,...ns )  bˆk1


k2


ks

ns

 (0)

(2.26)

Với N = n1 + n2 + … + ns
Chú ý rằng:

 

bˆk bˆk

 

bˆk bˆl

Suy ra:

nk

nl

bˆk
nk  0

khi
nk  1
 0

 bˆk
nk  0


khi
 
nl  1, l  k
bˆl bˆk
nk

 (1  nk ) bˆk

nl

 (1) nl bˆl

 

bˆk bˆk

 

bˆk bˆl

1 nk

 

 

nk

bˆk khi l  k

(2.27)


Sử dụng (2.10) ta xét tác dụng của toán tử bˆk lên hàm sóng của hệ N

hạt Fermion  (n1 , n2 ,...ns ) ta có:
n1

n2

   bˆ  ...bˆ 

bˆk (n1 , n2 ,...ns )  bˆk bˆk1


k2


ks

n1

ns

 (0)

  

 (1) n1  n2 ... nk 1 bˆk1

bˆk2

n2

n1

nk

   

...bˆk bˆk
n2

... bˆks

1 nk

  bˆ  ...bˆ 

 (1) n1  n2 ... nk 1 (1  nk ) bˆk1


k2


k

ns

 (0)

 

... bˆks

ns

 (0)

 (1) k (1  nk )(n1 , n2 ,...(1  nk ),...ns )
(Với  k  n1  n2  ...  nk 1 : tổng các số lấp đầy đứng trước k).


Vậy bˆk (n1 , n2 ,...ns )  (1) k (1  nk )( n1 , n2 ,...(1  nk ),...ns )

(2.28)

Tương tự, cho toán tử bˆk tác dụng lên hàm sóng (n1 , n2 ,...ns ) và dựa
vào định nghĩa sau: